Estruturas de Aço, Concreto e Madeira Yopanan Rebello

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ATENDIMENTO DA EXPECTATIVA DIMENSIONAL 
Íta{o C]Qcaráo 
Projetista 
Capa 
CARLOS ROBERTO LEMOS HOMEM DE MELLO 
Revisão 
SÉRGIO ANDRADE DE MATOS DIAS 
Ilustrações 
LAMD ESTÚDIO GRÁFICO 
Projeto Editorial 
ZIGURATE EDITORA 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ- Brasil) 
R233e 
05-1978 
Rebello, Yopanan Conrado Pereira, 1949-
Estruturas de aço, concreto e madeira: 
atendimento da expectativa dimensional I 
Yopanan Conrado Pereira Rebello. - São Paulo: 
Zigurate Editora, 2005. 
Bibliografia. 
ISBN 85-85570-09-1 
1. Aço - Estrutura. 
2. Concreto- Estrutura. 3. Concreto armado. 
4. Madeira. 5. Construção de madeira. 
6. Engenharia das estruturas. 
I. Título. 
5' Edição · setembro/20 11 
CDD 624.1 
CDU 624.01 
©COPYRIGHT de Yopanan Conrado Pereira Rebello 
©COPYRIGHT desta edição Zigurate Editora e Comercial Ltda. 
Todos os direitos de reprodução reservados. 
ATENDIMENTO DA EXPECTATIVA DIMENSIONAL 
YOPANAN CONRADO PEREIRA REBELLO 
Zigurate Editora 
Às duas obras mais perfeitas que já vi: 
meus netinhos Matheus e Daniela 
Prefácio 
Meu brilhante colega, caro amigo e querido primo Yopanan: 
A ciência procura explicar o que existe e a tecnologia inventa o que não 
existe. Esta é a função do engenheiro e do arquiteto: criar o que não existe, 
com base nas teorias propostas e provadas pela ciência. 
Todos nós recebemos de nossos professores modelos físicos, ferramentas 
matemáticas, métodos de trabalho. Todos esses elementos constituem um 
sistema que, para cada conjunto de necessidades e de dados, produz um 
objeto: uma obra. A habilidade de entender e usar esse sistema, de 
eventualmente ser capaz de mudá-lo ou de aperfeiçoá-lo, não é a função 
maior do verdadeiro engenheiro ou arquiteto. Somos essencialmente 
tomadores de decisões. O que é pedido de nós é a solução ótima, a partir de 
pontos de vista que estão longe de ser meramente técnicos. Por outro lado, 
as decisões devem, quase sempre, ser tomadas sob a pressão do tempo. 
Ultimamente, temos sido tentados a achar que o engenheiro e o arquiteto, 
como muitos outros profissionais, serão substituídos pela máquina em curto 
prazo. Isso pode vir a acontecer, sim, se nos considerarmos apenas os 
executores das tarefas de transformação de dados em uma obra, segundo 
um determinado modelo. Mas, quando não há o modelo, ou quando o modelo 
não leva ao objeto desejado, só o ser humano pode, atuando em tempo real, 
intuir e criar. 
Nossa profissão é criar, é produzir, é fazer a chamada economia do mundo 
real. E no mundo de hoje as recompensas dessas atividades são cada vez 
menores se comparadas às daqueles que fazem dinheiro do dinheiro, sem 
produzir. Muito cedo somos tentados a mudar de campo. Por favor, não 
façamos isso! O mundo ainda está por ser construído. E nada, talvez apenas 
a relação de paternidade ou de maternidade, se compara ao intenso prazer 
de fazer mudar a face do mundo, de ver uma obra nossa nascer do nada e 
ficar pronta porque estávamos lá. 
Aos que se surpreendem com a mistura que faço da tecnologia com a poesia 
direi que nem tudo é exato nesta nossa profissão de números e diagramas. 
É uma ilusão o rigor matemático que procuramos impor a tudo que fazemos. 
Basta entender que o objetivo de nossas teorias é descobrir uma simplicidade 
que não existe na natureza. É dessa realidade que nos achegamos indecisos 
e tateantes por meio de aproximações e de hipóteses. 
Assim, construímos uma natureza ideal sobre a natureza real. Escondemos 
a nossa incompetência atrás de processos com nomes pretensiosos, mas na 
verdade artísticos, porque consistem em exagerar as características 
dominantes dos fatos para permitir uma síntese que mostra menos como 
esses fatos são e sim como gostaríamos que fossem. 
Assim, para as vigas de nossas construções, desenhamos diagramas de 
momentos fletores que nos permitem controlar o concreto, o aço ou a 
madeira. Mas ninguém vê esses gráficos, porque são ideais. E assim por 
diante, indefinidamente, em tudo que fazemos e pensamos. 
O lápis, o esquadro, o papel, o desenho, o projeto, o número: pensamos o 
mundo justo, o mundo que nenhum véu encobre. 
Tracemos a reta e a curva, a quebrada e a sinuosa. Tudo é preciso, de tudo 
v1veremos. 
Cuidemos com exatidão da perpendicular e das paralelas perfeitas, com 
apurado rigor. Projetemos nossas estruturas. Número, ritmo, distância, 
dimensão. 
Temos os olhos, os pulsos, as memórias. Construiremos as obras não 
permanentes que sucessivamente habitarão a Terra. Todos os dias estaremos 
refazendo nossos desenhos. 
Não nos cansemos logo. Temos trabalho para toda a vida. 
São Paulo, junho de 2005. 
Reyolando M.L.R.F. Brasil 
Engenheiro Civil 
Professor Doutor, Livre-Docente 
Escola Politécnica e Faculdade de Arquitetura e 
Urbanismo Universidade de São Paulo 
Sumário 
INTRODUÇÃO 13 
CAPÍTULO 1 
Noções básicas 17 
1. Força 19 
1.1. Forças que atuam nas estruturas 19 
1.2. Cargas que atuam nas lajes 20 
1.2.1. Peso próprio das lajes maciças 20 
1.2.2. Peso proveniente do revestimento 21 
1.2.3. Peso proveniente das cargas acidentais 21 
1.3. Cargas que atuam nas vigas 22 
1.3.1. Cargas provenientes do peso próprio da viga 23 
1.3.2. Cargas nas vigas provenientes das lajes 23 
1.3.2.1. Cargas nas vigas provenientes das lajes armadas 
em uma só direção 24 
1.3.2.2. Cargas nas vigas provenientes das lajes armadas 
emcruz25 
1.3.3. Cargas nas vigas provenientes das alvenarias 28 
CAPÍTULO 2 
Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 39 
2. Conceitos gerais 41 
2.1. Conceito de momento 41 
2.2. Estrututura isostática- Conceitos básicos 43 
2.2.1. Esforços nas vigas isostáticas 45 
2.3 . Equilíbrio externo das vigas- Cálculo das reações de apoio 49 
2.3 .1. Vigas biapoiadas sem balanços 49 
2.3.2. Vigas em balanço 64 
2.4. Equilíbrio interno das vigas - Cálculo do momento fletor 
e da força cortante 72 
2.4.1. Força cortante e momento fletor em vigas biapoiadas 
sem balanços 73 
2.4.1.1. Cargas concentradas 73 
2.4.1.2. Cargas distribuídas 90 
2.4.2. Cálculo do momento fletor e da força cortante 
em vigas em balanço 1 O 1 
2.4.2.1. Cargas concentradas 102 
2.4.2.2. Cargas distribuídas 106 
2.4.3. Cálculo da força cortante e do momento fletor 
em vigas biapoiadas com balanços 112 
CAPÍTULO 3 
Cálculo dos esforços em vigas contínuas 143 
CAPÍTULO 4 
Cálculo dos esforços nas treliças planas 177 
4.1. Determinação das cargas nos nós das treliças 179 
4.2. Projeção de forças 181 
4.3. Processo analítico para determinação das forças nas barras das treliças 183 
4.4. Polígono de forças 193 
4.5. Processo gráfico para determinação dos esforços nas barras das treliças-
Processo de Cremona 197 
CAPÍTULO 5 
Cálculo do momento fletor máximo em lajes 221 
5.1 . Cálculo dos esforços em lajes armadas em urna só direção 224 
5.2. Cálculo dos esforços em lajes armadas em cruz -Tabelas de Marcus 225 
5.3. Exercício de determinação de momentos fletores em l::úes 234 
CAPÍTULO 6 
Dimensionamento das seções estruturais 239 
6.1. Dimensionamento de barras tracionadas de aço 241 
6.2. Dimensionamento de barras tracionadas de concreto armado 243 
6.3. Dimensionamento de barras tracionadas de madeira 245 
6.4. Dimensionamento de barras submetidas a compressão simples 247 
6.4.1. Cálculo do momento de inércia da seção 247 
6.4.2. Cálculo do momento de inércia em relação a um eixo qualquer 
que não passe pelo centro de gravidade da seção 249 
6.4.3. Cálculo do momento de inércia de uma seção qualquer 
composta de retângulos 250 
6.4.4. Raio de giração de uma seção 255 
6.4.5. Esbeltez da bana 256 
6.5. Dimensionamento de barras comprimidas de aço 256 
6.6. Dimensionamento de barras comprimidas de concreto armado 264
6.7. Dimensionamento de barras comprimidas de madeira 274 
6.8. Dimensionamento de barras de aço submetidas a momento fletor 278 
6.9. Dimensionamento de barras de concreto armado submetidas a 
momento fletor 283 
6.10. Dimensionamento de barras de madeira submetidas a 
momento fletor 294 
6.11. Dimensionamento de barras submetidas a força cortante 296 
6.11.1. Cálculo da tensão de cisalhamento 296 
6.11.2. Dimensionamento de barras de aço submetidas a força cortante 304 
6.11.3. Dimensionamento de barras de concreto armado submetidas a força 
cortante 305 
6.11.4. Dimensionamento de barras de madeira submetidas a força cortante 311 
CAPÍTULO 7 
Detalhamento de armações em vigas e lajes 
de concreto armado 325 
7.1. Annação de flexão nas vigas 327 
7.2. Annação para cisalhamento nas vigas- Os estribos 329 
7.3. Annação de flexão nas lajes 430 
7 .4. Annação para cisalhamento nas lajes 331 
CAPÍTULO 8 
Execução e interpretação de plantas de fôrma 333 
CAPÍTULO 9 
Execução e interpretação de plantas de armação 339 
9.1. Lajes 343 
9.1.1. Armações positivas e negativas 343 
CAPÍTULO 10 
Demonstrações de algumas relações matemáticas 
omitidas no texto 345 
10.1. Introdução 347 
10.2. Conceitos sobre derivada 348 
10.3. Máximos e mínimos de urna função 353 
10.4. Conceitos sobre integral353 
10.5. Relação entre flecha, rotação, momento fletor, força cortante e 
carregamento 355 
10.6. Cálculo das rotações e flechas usando o gráfico de momento fletor 
como carregamento da viga - Processo de Mohr 360 
10.7. Coeficiente de transmissão de momentos fletores 363 
1 0.8. Determinação da rigidez de um tramo 365 
10.9. Cáculo do momento de engastamento perfeito 369 
Bibliografia 371 INTRODUÇAO 
INTRODUÇÃO 
"Antes e acima de todo cálculo está a idéia, modeladora do material em 
forma resistente, para cumprir sua missão" (Eduardo Torroja). 
Cada vez mais o cálculo estrutural está ficando nas mãos de matemáticos, 
que desenvolvem teorias brilhantes, de elegância irrefutável. 
No entanto, esses cálculos preciosistas afastam cada vez mais os cidadãos 
comuns, ou seja os engenheiros e arquitetos, do contato mais próximo com 
o processo de interação entre o comportamento físico e o matemático, tão 
importante para um projeto consciente. 
Cada vez mais os números falam por si sós. O problema é que eles se 
expressam, de uma maneira até elitista, em uma linguagem que não é de 
domínio de todos mas apenas daquêles que se encantam com o abstrato 
pelo abstrato. 
Não é o cálculo em si que concebe uma forma; o cálculo existe como 
ferramenta para comprovar e corrigir o que foi intuído. O cálculo estrutural 
é, sem dúvida, uma ferramenta importante, mas fica sem sentido se a ele 
não for ajustado um modelo físico preconcebido. Não tem sentido aplicar 
um modelo matemático a um modelo físico que não seja passível de ser 
descrito pelo modelo matemático, pois não se chegará a nenhum resultado, 
ou quando muito a um resultado errado. A mais recente norma brasileira 
para concreto armado tem, em alguns dos seus itens, verificações numéricas 
só possíveis de resolver - seus próprios autores confessam - pela via 
computacional. Para mim, isso é desconsiderar a possibilidade daquele que 
se encanta pela tradução imediata entre o físico e o matemático poder escolher 
caminhos e alternativas. É a ditadura da máquina, já prevista há muito na 
literatura de ficção científica. Pobres jovens engenheiros e arquitetos, ficam 
impedidos de saber o porque das soluções encontradas, ao lhes serem 
impostos programas de computadores que fornecem as respostas já prontas 
e indecifráveis. 
INTRODUÇÃO 
Os cálculos computacionais são bons para aqueles que carregam na mente 
verificações e verificações numéricas manuais e que podem em uma rápida 
análise saber se a resposta fornecida pela máquina é ou não consistente. 
O jovem e inexperiente profissional pode aceitar os resultados sem uma 
análise mais crítica, podendo cometer erros grosseiros para mais ou para 
menos. 
É importante que se tenha uma previsão, ainda que grosseira, dos resultados 
possíveis e da sua ordem de grandeza, para uma adequada utilização dessas 
máquinas. Se um resultado esperado não é obtido, de duas uma: ou o modelo 
físico não é correto, ou os dados fornecidos é que não o são. 
Perdoem o pobre mortal autor deste livro, que só se encanta com aquilo que 
pode ser visto. O número é importante, como importante é a linguagem. De 
nada vale conhecer a tradução de uma determinada palavra se não se sabe o 
seu significado. 
Pode ser até uma visão conservadora, mas antes de usar os processos 
computacionais é recomendável que o jovem profissional faça alguns cálculos 
manuais, para entender como se dá a correlação entre o físico e o matemático. 
Este livro tem como objetivo justamente mostrar de uma maneira bastante 
simples como os processos numéricos podem ser colocados a serviço de 
uma interpretação física. Nele, procura-se apresentar a tradução matemática 
dos fenômenos físicos por intermédio de modelos matemáticos que possam 
ser entendidos por aqueles que estejam interessados em quantificar e ajustar 
aquilo que sua intuição indica. 
Neste livro serão apresentados os dimensionamentos para estruturas de aço, 
concreto e madeira, permitindo que o leitor possa comparar os resultados, o 
que poderá ser mais um elemento de apoio na tomada de decisão na escolha 
da solução estrutural mais adequada. 
As unidades usadas são as do Sistema Técnico e não as do Sistema 
Internacional (SI), pois o autor acredita que aquelas unidades são mais 
próximas do senso comum do leitor, tanto que no dia-a-dia não se pergunta 
a outra pessoa quantos Newtons ela pesa e sim quantos kgf. 
Agradeço ao Arqt0 . Marcos Petrikas, que tão bem resolveu os exercícios 
aqui propostos. 
CAPÍTULO 1 
Noções básicas 
C/>YÍTULO 1 - ~oções básicas 
Neste capítulo serão apresentados conceitos básicos que servirão de apoio 
para o desenvolvimento das relações matemáticas utilizadas no 
dimensionamento das peças estruturais. 
Sugere-se que, para um maior aprofundamento, o leitor consulte o livro 
do mesmo autor denominado 
"A Concepção Estrutural e a Arquitetura". 
Todas as edificações são compostas de estruturas que se desenvolvem no 
espaço, logo poderiam ser tomadas como estruturas espaciais. No entanto, 
algumas soluções estruturais permitem, para maior facilidade de análise, 
ser decompostas em modelos que se desenvolvam no plano. 
Assim é o caso da laje, que pode ser estudada em dois planos verticais 
ortogonais, e o das vigas, que podem ser estudadas isoladamente nos diversos 
planos verticais em que se desenvolvem. É dessa maneira que as estruturas 
serão aqui analisadas: lajes apoiadas nas vigas depositando nestas suas cargas; 
vigas apoiadas em outras vigas ou pilares, depositando neles suas cargas. 
1. Força 
Denomina-se força ao resultado de uma massa submetida a uma aceleração. 
Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno pela relação F= M x A, 
onde F é força, M a massa e A a aceleração. 
Para caracterizar uma força, é necessário informar sua intensidade, direção 
e sentido. Não se deve confundir direção com sentido. Dada uma direção -
por exemplo - a horizontal, tem-se dois sentidos: para a direita e para a 
esquerda. 
Conhecer as forças que atuam nas estruturas é de fundamental importância, 
já que a estrutura é justamente o caminho que as forças percorrem, de um 
determinado ponto até a fundação. 
1.1. Forças que atuam nas estruturas 
As forças que atuam nas estruturas são basicamente de duas espécies: 
gravitacionais e de vento. As primeiras têm direção vertical e as segundas, 
horizontal. Podem ocorrer ocasionalmente ou durante toda a vida útil da 
estrutura; as ocasionais são denominadas cargas acidentais e as segundas, 
cargas permanentes. São exemplos de cargas acidentais, pessoas, mobiliários,
vento e veículos. Essas cargas, por serem de difícil quantificação, são 
definidas por Norma, a NBR 6120. As cargas permanentes são o peso próprio 
da estrutura, os revestimentos e as paredes. 
1 .2. Cargas que atuam nas lajes 
O primeiro elemento estrutural a receber cargas é a laje. Como a laje é uma 
superfície, a carga que normalmente atua sobre ela se distribui por toda sua 
área. Como cargas permanentes atuando nas lajes tem-se o seu peso próprio 
e os revestimentos. 
O peso próprio das lajes maciças depende da espessura da laje. No caso de 
lajes pré-moldadas e painéis, o peso próprio pode ser obtido nos catálogos 
dos fabricantes. 
1.2.1. Peso próprio das lajes maci~as 
O peso próprio da laje é uma carga de superfície, portanto ele deve ser 
calculado por unidade de área da laje, ou seja, por metro quadrado de laje. 
Para isso determina-se o peso do volume de 7 r./ de laje. Para determinar o 
peso da laje de concreto armado deve-se conhecer o peso específico do 
concreto armado ( yCA ), que é de 2.5001< ::;::F/rn 3. 
Note-se que o volume de 7 íí 1 ~· de laje é dado pela seguinte relação: 
Vol = 7 ;:1 x 7 ili x h1 . (rr 11 Of€ , 
onde 7 rn é o lado do quadrado. 
"1-- -- ___ , 
I I 
l I 
1 
I I 
I I 
I In I 
I I 
I ~ o : > I 1 :> I 
-r ---------- b 
Para determinar o peso desse volume basta multiplicá-lo pelo peso específico 
do concreto armado. Assim: 
Note-se que numericamente o peso por metro quadrado da laje depende 
apenas da altura da laje (h 1aie ). Assim, pode-se escrever: 
Resumindo, para determinar o peso da laje por metro quadrado basta 
multiplicar a espessura da laje pelo peso específico do concreto armado. 
Vale insistir que as outras dimensões da laje não importam no cálculo do seu 
peso próprio, pois não interessa determinar o peso total da laje, mas sim seu 
peso por unidade de área. A espessura da laje pode ser adotada a partir da 
experiência pessoal ou usando qualquer critério de pré-dimensionamento. 
1.2.2. Peso proveniente do revestimento 
O peso do revestimento executado sobre a laje varia um pouco em função 
da espessura do contrapiso e do tipo de piso, se cerâmico, de madeira ou 
outro. Para os casos mais comuns pode-se considerar, a favor da segurança, 
o peso do revestimento como sendo de 7 OO!cgf/r~:· . 
1.2.3. Peso proveniente das cargas acidentais 
Este peso é definido pela Norma Brasileira. Depende do tipo de uso da 
edificação, se residencial, comercial ou institucional, entre outros. 
Seguem-se alguns valores prescritos pela NBR 6120- Cargas para o cálculo 
de estruturas de edificações (Nov/1980): 
o arquibancadas: 400/<g{/rn"· 
o bancos: 200k9i/r:/ 
o piso de edifícios residenciais: 7 50kgfln ; 
o salas de aula de escolas: 300:<gf/r:··' 
o piso de escritórios: 200kçf/m~ 
o piso de lojas: 400.'<gf/m·? 
o lajes de forro: 50 /<r:_J{Im' 
o ginásio de esportes: 500 <&Jf/rn:' 
o hospitais: 200!<gf/m;: 
o restaurantes: 300kgF/:~ J :· 
o platéia de teatros e cinemas: 400!<gF/n1: 
Exemplo: 
Determinar as cargas que incidem na laje. 
Dados: 
laje para uso de escritório: 
carga acidental para piso de 
escritórios (CA = 200kgf/m~' ), 
altura da laje (h1 . ) = O, 7 2rn . o1e 
5<ll 
-+ 
'!- ----------
1 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I I 
.1 ------------------' 
I -· I ~ 
CAP 1TUi_O ' - "loções bós·c:cs 
peso próprio (ppla;e) = hla;e( m) X yCA(kgf,! m) 
Ppl . = O, 12:-n x 2.500f<qfím 3 = 300/<af/rn:; a1e '""' u 
PP/aje = 300/<gf!rn? 
revestimento do piso = 1 OOI<g f/m ' (padrão) 
carga acidental = 200!(g{/m:· (laje de piso para escritório) 
Total = 600kg[/n; ' 
1.3. Cargas que atuam nas vigas 
As vigas são consideradas elementos estruturais lineares, logo as cargas que 
atuam sobre elas são, também, cargas distribuídas linearmente. 
As cargas lineares que podem atuar em uma viga são seu peso próprio, as 
cargas das lajes e as cargas de alvenarias. 
J- - ·- alvenaria 
Nas vigas podem, ainda, atuar cargas concentradas devidas ao apoio de outras 
vigas. Essas cargas são as reações das vigas que nelas se apóiam. 
CAPÍTULO 1 - Noções básicos 
1.3.1 Cargas provenientes do peso próprio da viga 
Como o peso da viga é uma carga linear sobre ela mesma, para determiná-lo 
calcula-se o peso do volume de um metro linear de viga. Assim: 
1m 
. h 
li 
-
li 
Vol(m 3 j = 1 (rn) x b(m) x h(rn) 
Peso próprio de 1 m linear de viga ( q ) pp 
q (i<d ) = 1 rn x brn x hn: x 2.500i<c::F/n;3 w ~ ~ 
Repare que o peso da viga independe do comprimento podendo-se obter o 
peso próprio multiplicando-se diretamente as dimensões da seção transversal 
da viga (b e h) pelo peso especíico do concreto armado. Assim: 
q (l<ci/rn) = (b x h)m:: x 2.5001wf/nT' pp '-' I 0 
1.3.2. Cargas nas vigas provenientes das lajes 
Sabe-se que em função das relações entre seus vãos, as lajes podem ser 
consideradas armadas em uma só direção ou em cruz, ou seja, quando um 
dos vãos da laje tem uma dimensão bem maior que o outro. Em virtude da 
rigidez do vão menor, os esforços no vão maior são tão pequenos que podem 
ser desprezados, considerando-se que apenas o vão menor está sujeito aos 
esforços. Neste caso, a laje é armada apenas na direção em que os esforços 
são significativos, ou seja, no vão menor. Esse tipo de laje é denominado 
laje armada em uma só direção. Para fins práticos, essa situação ocorre 
quando o vão maior é maior que o dobro do vão menor (L > 2 x .€). 
Caso contrário, os dois vãos apresentam esforços significativos e a laje é 
armada nas duas direções, denominando-se laje armada em cruz. 
Na prática, isso ocorre quando o vão maior é menor ou igual ao dobro do 
menor (L 52 x .€). 
CAPÍTULO I - Noc;ões bósicos 
L ::; 2 x e 
L > 2 X f 
-----------------------~ -r-
la;e armada em uma só direção la;e armada em cruz 
1.3.2.1. Cargas nas vigas provenientes das lajes 
armadas em uma só direção 
No caso de laje armada em uma só direção, a distribuição de cargas acontece 
apenas sobre as vigas do vão maior. Para entender o porque disso, basta 
imaginar como a laje romperia, o que sem dúvida deixa claro sobre quais 
vigas ela estaria se apoiando. 
(L) lrn 
r ..... ...... ~ -·-
"-----1 ; -------'~ . ~ 
linha de ruptura 
Para determinar a carga sobre a viga, toma-se a quantidade depositada em 
um metro linear de viga. Para isso, toma-se uma faixa da laje com um metro 
de largura. A carga sobre essa faixa é determinada multiplicando-se a área 
dessa faixa pela carga por metro quadrado sobre a laje. Assim, tem-se: 
L -t L 
I 
•' 
• 
-.-;.-
I C'l 
. I l ;;:;; I• """ I lo ....... 
-
I 
-,(-
--,é]m /--
q1 . (i<gf) = q1 . (kgf/m') x 1 (rn) x R(m) OIXO Ofe ' 
Como metade da carga sobre essa faixa vai para cada uma das vigas, tem-se. 
q . (i<gf)= (q 1 . (!<gf/rn;) x 1 (m) x R(m)) + 2 ~ga Ofe 
CAPÍT~JLO 1 - !\loções bósicas 
Note-se que numéricamente o valor da carga na viga independe da largura 
da faixa, bastando multiplicar a carga da laje pela metade do vão menor da 
laje, ou seja: 
R(m) x __ 
2 
Obs: As lajes pré-moldadas comportam-se como lajes armadas em uma só 
dirção (a direção das vigotas). Seu peso é dado em tabelas fornecidas pelos 
fabricantes em função do vão e da sobrecarga (acidental+ revestimentos). 
1.3.2.2. Cargas nas vigas provenientes das lajes 
armadas em cruz 
Para entender como se dá a distribuição de cargas sobre as vigas que apóiam 
uma laje em cruz, basta observar como se dá a ruptura desse tipo de laje. 
Na laje armada em cruz, os momentos fletores são significativos nas duas 
direções. Agindo concomitantemente em direções ortogonais, esses 
momentos provocam um momento resultante que se dá em uma direção 
inclinada em relação aos lados, considerada para fins práticos a 45°. 
5m 
~ ' 45° I 
/I I ~ I 
·I I 
I I 
I I 
I I 
I I 
,I I 
,,. 
I C: 
'<C 
I 
5rn 
'('
'I 
~ 
l -linha de ruptura porção da laje sobre o vão maior 
Desta forma, a ruptura de uma laje quadrada se dará ao longo das diagonais. 
No centro de uma laje retangular, prevalece o momento na direção do menor 
vão, dando-se a ruptura paralela ao maior vão. 
L f/2 
f/2 
L - (2 X f/2) = L - f 
CAPÍTULO l - Noções básicos 
Considerando o caso mais genérico de lajes retangulares, pode-se perceber 
que as vigas do vão maior recebem um trapézio de carga e as vigas do vão 
menor, um triângulo, ou seja, a forma de ruptura mostra como a laje apóia-
se em cada direção. Uma vez entendido esse fato, a determinação da carga 
em cada direção resume-se a calcular a área de carga sobre cada viga -
triângulo ou trapézio - e distribuí-la ao longo da viga. Em outras palavras, 
na viga do lado maior, a porção de carga da laje que vai para ela é igual a 
área do trapézio multiplicada pela carga por metro quadrado sobre a laje 
(peso próprio, revestimento e carga acidental). 
Nas vigas do lado menor ocorre o mesmo, apenas que a área de carga é um 
triângulo. Assim sendo: 
Cargas nas vigas de lado menor: 
, h R(rn) f2 (rn 2) 
areado triangulo = (f(rn) x 2) + 2 = 4 . 
·h - 0• R2(rn 2) 
carga total sobre o tnangulo = q 1aie (kgf/rn"j x 4 
Como a carga sobre a viga é distribuída ao longo do seu comprimento, 
divide-se a carga total pelo comprimento da viga, ou seja .e, assim: 
f2 ( 'I 
q viga = (q laie (/<gf/m2) X 4m· /) + f (m) 
f ' ( 'I f (rn) 
qviga (kgr/m) = qloie (kg r/rn ') X 4 
Cargas nas vigas de vão maior: 
, , R(;n) 
areado trapezio = {L(m) + (L (m )- R(m))} + 2 x 2 
carga total sobre o trapézio = qtrop 
Dividindo pelo comprimento da viga de vão maior ( L) e organizando a 
fórmula tem-se: 
Resumindo, de todos esses cálculos o que é importante saber é : 
C\PÍTUL() l - Nocoes bósicc:s 
- carga na viga de vão menor: 
r ( ' '! '') R(m) q . (!wr/m) = q . rwr '?-:' x - -
vtga v laJe .,_, 4 
- carga na viga de vão maior: 
, r; .. 1 R(m) R(rn) ) q fi<Of/:n) = q . (Kcr ill' x -- x (2- L,~ ,-,-.. ) 
viga 1 "" lare ~ 1 4 . --
Exemplo: Laje para piso residencial. 
6m 
- --
l - Cargas na laje: 
----
-------
: 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
I 
Peso próprio = 01 12m x 2.500kgf/m 3 . .. . = 300kgf/m2 
Revestimento ... ... ... ...... .... .......... ..... ..... .. . = 1 OOkgf/m" 
Carga acidental (piso residencial) ........... .. = 150kgf/rn 2 
qlaie 9 L= 550kgf/m:' 
2- Cargas nas vigas V3 e V4 (vão menor): 
_ 1 r; ,;) R(rn) 
qviga menor- qlaie (.<gr 11 ' X 4 
5m 
q . = 550fwf/m·' x 
v1ga menor '-1 4 
q . = 687,5i<gf/m 
v1go menor 
3- Cargas nas vigas Vl e V2 (vão maior): 
I '/ . 1 f(rn) (2 Rrr>l) ) q = q \1<CT rn' ; x-- X ---
viga maior laJe 'J 4 L(m) 
5rn 
q = 550i<cf/nl~· x 1,25m x (2- -6 ) viga maior '--' ITl 
q . . = 687,5i<oF/n/ x 1, 17m = 804Akç;f/m 
vtgo mo10r '-' 
q . . = 804AI<of/rn V!QOma ro r '-" 
C;"'PÍTUL0 l · i'Jocões bósiccs 
1.3.3. Cargas nas vigas provenientes das alvenarias 
As alvenarias também depositam cargas por metro linear sobre a viga. 
Para determinar o peso da alvenaria sobre a viga, calcula-se o peso do volume 
de uma faixa de alvenaria de 1 metro de largura ao longo do comprimento 
da viga. 
~ 
~~ h 
. lo 
. 
L-r, 
1·'-·--
·-
L 
R 
Assim, tem-se que o volume da faixa de alvenaria é: 
Vol = 7 (rn) x b(rr;) x h(m) 
onde b é a largura da alvenaria e h a sua altura (a grosso modo considerada 
como a altura do pé direito). Para determinar o peso dessa faixa de alvenaria, 
deve-se multiplicar o seu volume pelo peso específico da alvenaria, o que 
varia de acordo com o tipo, se de tijolo, bloco ou painel. 
Os pesos específicos (v 1 ) das alvenaria mais usadas são: la ve 
o tijolos de barro maciços revestidos................ = 7 .680~r 1m 
o tijolos cerâmicos revestidos ...... .... ... ............... = 7. 120kf: JmS 
o blocos de concreto revestidos ....... .. ................. = 7 .250kg.lm l 
o blocos de concreto celular revestidos ............... = 950kgi/m · 
Quando não houver informação específica, pode-se considerar alvenarias 
externas com 25c"~ e internas com 7 5cr·: . Recomenda-se, ainda, que mesmo 
as alvenarias sem acabamento considere-se sempre como revestidas, pois 
isso pode acontecer no futuro . 
Assim, o peso dessa porção de alvenaria passa a ser: 
qalve (!<gfj = 7 (r~:) x b(:ll) x h(r:;) x y da alvenaria(:<s'/m') 
CAPÍTUlO l - Norpes bós;cos 
Nesta relação, o peso da alvenaria independe da largura da faixa de alvenaria 
e pode ser numericamente expresso da seguinte forma: 
qalve (kg{/rn) = b(m) x h(n;) x 'Ya!ve (i<gr/íil i) 
Exercícios sobre cálculo de cargas sobre vigas: 
Exemplo: Calcular as cargas sobre a viga VJ 
6 
' 
' 
I .. 
I 
.. l 
I 
' 
----------------
Dados: 
C=:::J laje para uso comercial: 
carga acidental para piso de escritórios (CA=200 (;:y{/m:·) 
altura da laje (h1 . ) = O, 7 2rn OJe 
rz;z;z::a alvenaria sobre a viga VJ de blocos de concreto revestidos: 
Cargas: 
espessura (e) = O, 7 9:1~ 
(bloco de 7 4crn com 2,5crn de revestimento de cada lado) 
altura (halve ) = 3rn 
CP = carga permanente e CA = carga acidental 
CP = peso próprio da laje + peso próprio do revestimento 
CP = O, 7 2n x 2.5001<gf/mJ + 7 OOi<of/:;1' (padrão) 
CP = 400i<cflrr.-' 
Cargas sobre a laje ( q laje) : 
q1 . =CP+ CA ate 
400 ' r/ ., 200 ' 1 ' ~ ql . == i<Çr ;;; ·· + :<qr; rrr· OJe ~ '--" 
qlaje = 600kgf/n ,:; 
CAPITULO 1 • oções bóstccs 
Carga da laje sobre a viga VJ (qvíga): 
q viga = q la i e X ~· X (2 - f) Oaje armada em cruz, viga do vão maior) 
4m 4m q . = 600kgf/m2 X - X (2 - -) 
~~ 4 6m 
q. = 6Q0kgf/m2 X Jtn X ],33 VIga 
q . = 798kgf/m 
v1go 
Carga da alvenaria sobre a viga VJ (qa/ve): 
r da alvenaria de blocos de concreto revestidos = 1.250kgf/rn3 
q = O, 19m x 3m x 1.250kgf/m3 
alve 
qolvé = 71 2,5kgf/m 
Carga total sobre a viga V 1 ( q ~ viga ) : 
q~ viga = 712,5kgf/m + 798kgf/m 
q1 . = 1.51 0,5kgf/m VlgO 
Exemplo: Calcular as cargas sobre as vigas VJ e V2 
6,5m 6,5m 
~ , v{="'""'_ .. _ .. _ .. _ .. _m"-·"_"_"_="_'111']" v,VJ Í : 
l - - -- - J--- - -------------
V2 
Dados: 
!:=::J laje para uso residencial: 
carga acidental para piso residencial (CA= 150kgf/m 2 ) 
altura da laje (h1 . ) = O, 1Om ate 
IZ!ZZã2l alvenaria sobre a viga VI, de blocos de tijolos cerâmicos revestidos: 
espessura (e) = 0,22m 
altura (hal ) = 2,8m 
ve 
CAPiTULO 1 · Noções bósicas 
Carga: 
Carga 
CP = carga permanente e CA = carga acidental 
CP = pe o próprio da laje + pe o próprio do revestimento 
CP = O, 7 Om x 2.500kgf/m3 + 7 OOkgf/m (padrão) 
CP = 250kgf/mZ + 7 00kgf/m1 
CP= 350kgf/m·· 
obre a laie (q1 • ): 'J a1e 
qio = CP + CA la 
q = 350.~gf/m' + 150kgf/m1 la f e 
q = 500kgf I m2 lo1e 
Carga da laje sobre a viga VI (qv;g): 
f. q -q x -
v>ga - lo/e 2 
(laJe annada em uma só direção onde L = 6,5m > 2 x f = 6,0m) 
q = 500kof/m7 x 3m 
viga ~ 2 
q vlgo = 500kgf/m2 x 1 ,5m 
q wgo = 750kgf/m 
Carga da alvenaria obre a iga VJ (q01._.): 
r da alvenaria de tijolo cerâmico reve tido = 1.120kgf!m3 
pe o da al enaria (qe1.te ) = 0,22m x 2,8m x 1.120kgftm 
q olve = 689, 92kg /m 
Carga total obre a viga V7 (q, viga) : 
q, YI{JO = q olve + q vigo 
q, viga = 689,92kgf/m + 750kgf/m 
q tvogo = 7.439,92kgf/m = 1.440 kgf/m 
CAPÍ-ULO I • oções bósicos 
Exemplo: Calcular as cargas sobre as vigas. 
1
/ 5,5,n t 
; V1 20 x 40cm P2 
-r- llltZ2Z; ;z;;zzzzzzz;mzzL'ZZZZZZZZZ2.ZZZZZZZZf1 
L1 
~ I 
I 
d = IOcm 
d = JOcm 
V3 20x30crn 
V4 20x30cm 
Ps P6 -+ 
'-" · 3,5m j,.. 2m ~ ~----~----~-~,------~1 
Considerar: 
laje para piso de escritório 
~ alvenaria de bloco cerâmico: h = 2,50m 
I - Cargas na laje: 
Peso próprio = O, 7 Om x 2.500kgf/m 3 ....... = 250kgf/m2 
Revestimento ... ,. .........
................................ = 7 00kgf/m2 
Carga acidental (piso de escritório) ............. = 200kgf/m 2 
qlaie c:::i> L = 550kgf/m 2 
'2- Cargas devidas ao peso próprio (PP) da viga: 
,-, 
( ~. ·' VJ (20 x 40cm) = V6 (20 x 40cm) 
PPV1,V6 = 0,20m x 0,40m x 2.500kgf/m 3 = 200kgf/m 
CAPÍTULO 1 · Noções bósicos 
·~_, V2(75x50cm) 
PPV2 = O, 7 5m x 0,50m x 2.500kgf/ m3 = 7 87,5kgf/m 
~ 3) V3 (20 x 30cm) = V4 (20 x 30cm) 
PPV3,V4 = 0,20m x 0, 30m x 2.500kgf/ m3 = 7 50kgf/ m 
:3) Vs (20 x 50cm) = V7 (20 x 50cm) 
PPVs,V1 = 0,20m x 0,50m x 2.500kgf/m 3 = 250kgf/m 
3 - Cargas nas vigas devidas às alvenarias. 
Incidência do peso da alvenaria sobre as vigas: 
~ VJ. V3 V4. Vs, V6 e V7 
PPalv = 0, 20m x 2,50m x 7. 7 20kgf/rn3 = 560kgf/m 
I I 
I I 1 
/ / /_ - peso específico do bloco cerâmico 
I 
I L pé-direito 
V2 
PPalv = O, 7 5m x 2,50m x 7. 7 20kgf/m 3 = 420kgf/m 
4 - Cargas nas vigas devidas às lajes: 
1/ L= 5,5m + J- VJ {600.0 'm) L ::;; 2 X l 
! L1 E' 5,5m < 2 x3m -~J j 
"' 
d = JOcm 
"' ~ ~ 5,5. 1 < 6m ::!. ::!. 
~ ~ 
., __ (600,0 laje armada em cruz 
"' 
.. 
V2 
CAPÍTULO l - Noções básicas 
-~ V2 L~ 2 xf rmo~~ ~ E s ~ 3 
li o 
~ ~ 
~ ~ 
/ 
LV3 
/i 
~ L2 c, 
d = 70 ª ~ ~ (393,0 k~lfm) 
L= 3,5m )~ 
(0,0 kgflm) 
L3 
d = 70cm 
(O,DkCJI m) 
.€ =2m 
E 
l() 
~ 
li 
3,5m < 2x2m 
3,5m < 4m 
.. laje annada em cruz 
L> 2 X l 
4,5m > 2 x 2m 
4,5m > 4m 
. . laje annada em uma só direção 
Cargas nas vigas V7 e V2 devidas a L 7 (vão maior): 
3m 3m 
qviga maior= 550kgf!m2 X 4 X (2- 5,5m) 
qvigo maior = 600kgf/m 
Cargas nas vigas V2 e V3 devidas a L2 (vão maior): 
q = q . X !:_X (2 - !_ ) 
viga maior lo1e 4 L 
2m 2m 
q vigo maior = 550kgfj m2 X 4 X (2- 3,5m) 
CAPÍTULO l - Noções básicas 
q . . = 393kgf/m 
vrga maror 
Cargas nas vigas V5 e V7 devidas a L 7 (vão menor): 
l 
qviga menor= qlcje X 4 
q = 550kgf/m 2 x 3
4
m = 4 7 2,5kgf/m 
viga menor 
Cargas nas vigas Vs e V6 devidas a L2 (vão menor): 
f 
qvigc menor= qlcje X 4 
. 2m 
qviga menor= 550kgf/ m2 X4 = 275kgf/m 
Cargas nas vigas V6 e V7 devidas a L3 (vão maior): 
l q =q X -
viga maior laje 2 
2m 
qviga maior = 550kgf/m2 X 2 = 550kgf/m 
Obs: V2 e V4 não recebem carga da laje L3 (annada em umas/o direção). 
Resumo das cargas: 
V7 (20 x 40cm) 
PPviga 
alvenaria 
laje 
200kgf/m (_!) 
560kgf!m r~ 
600kgf/m 
}; = 7 .360kgf/ m 
}; = 7,36tf/m 
CAPiTULO I · Noções básicos 
l lllll l l H= Jl.B4tf{nf 1111 1111 
.6. icl 
l 5,5m -t~p,--------~~-----------t~~ 
V2 (JS x SOem) trecho 1 
PPvigo 7 87,Skgf/m "2) 
-" 
alvenorio ·---- 420kgf/m 8) 
LI = 600kgf/m 
laje ---1 
t 
V3 (20 x 30cm) 
L2 = 393kgf/m 
L = 1.600,Skgf/m 
L = 1,6tf/m 
trecho 1 
3,571 
5,5m 
PPvigo 
- ---- 7 SOkgf/m '3' 
' ... 
alvenaria S60kgf/m 0 
laje L2 = 393kgf/m 
L = 1.103kgf/ m 
L = 1,1 tf/m 
2m 
trecho 2 
187,5kgf/m ti) 
o 
LI -- 600kgf/m 
I = 787,5kgf/m 
I= 0,79/f/m 
P3 
CAPITUlO l · Nocões básicas 
V4 (20 x 30cm) 
PPviga 
alvenaria 
laje ---- - -
Vs (20 x SOem) 
150kgf/m (D 
560kgf/m 1 A'. 
\.:...:' 
o 
L = 710kgf/m 
E= 0,77 tf/m 
trecho 1 
PPvigo ---- - 250kgf/m ~ 
olvenorío - 560kgf/m ,~-, 
laje --- L2 275kgf/m 
I = 1.085kgf/m 
I = 1,09tf/m 
2m 
-t---=.:..:..---t!.-
Ps P6 
trecho 2 
250,0kgf/m ' 4) 
560kgf/m 0 
L1 41 2,5kgf/m 
E = 1.222,5kgf/m 
I = 1,22tf/ m 
trecho 2 
2m 3m 
5m 
CAPÍTULO I - Noções básicas 
V6 (20 x 40cm) trecho 1 
PPviga 200kgf/ m (D 
alvenaria -------- 560f<gf/m @ 
laje ·-- --· -· ·----- L3 -· 550kgf/m 
-----
I; = 1.310kgf/m 
E= 1,31tf/m 
trecho 7 
trecho 2 
trecho 2 
200kgf/m Q) 
o 
I L2 = 275kgf/m 
_I 
L L3 = 550kgf/m 
E = 1.025kgf/m 
E = 1,03tf!m 
1 qi=l 7 f0~:3tf!rr 
j 0n~ -~ -l-..:::..:..__2,5m_~f~ 
4,5m 
Ps V2 
V7 (20 x SOem) trecho 1 
PPviga 250kgf/m 4) 
trecho 2 
250kgf/m r i) 
560kgf/m r alvenaria 560kgf/m \~' 
laje - ---- L3 - 550kgf/m 
E = 1.360kgf/m 
E = 1,36tf/m 
trecho 7 
L1 -· 412,5kgf/m 
E = 1.222,5kgf/m 
E = 1,22tf/m 
trecho 2 
A ~~ 
4,5m 
P3 --3m 1 
7,5m 
~P-6------~------- ~ 
CAPÍTULO 2 
Cálculo 
dos esforejos em vigas isostáticas 
CAPITULO 2 - Câlculo dos esforços em vigas isostâticos 
2. Conceitos gerais 
2.1. Conceito de momento 
É importante lembrar que momento é um esforço que provoca giro. 
À primeira vista a palavra momento não apresenta qualquer relação com a 
palavra giro. No entanto, elas estão ligadas por um fato histórico: na 
antiguidade, o tempo (momento) era medido com relógios de sol, instrumento 
constituído por uma haste vertical que, projetando sua sombra num plano, 
indica a altura do Sol e as horas do dia. Assim o tempo (momento) era 
medido pelo giro aparente do Sol em tomo da Terra. 
Para ocorrer um giro ou momento físico é necessário que existam duas forças 
iguais, de mesma direção, de sentidos contrários e não colineares, o que se 
denomina binário. 
Quanto mais afastadas estiverem as forças maior será a intensidade de 
giro. Isso é fácil perceber quando se tira o parafuso da roda do carro. Quanto 
maior for o braço da ferramenta menor será a força necessária para provocar 
o giro do parafuso. 
FI >F2 
-------' 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóficas 
Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno pela relação: 
M = Fxd 
Exemplo: Seja determinar o valor do momento da força f7 = 2,0tf em 
relação ao ponto P 7. 
'" P1 
Denomina-se distância da força ao ponto à menor distância entre a linha de 
ação da força e o ponto. 
d 
Suponha o valor de d = 4m, logo o momento de f7 em relação a P7 será: 
M = F1 X d 
M = 2,0tf x 4m 
M = Btfm 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em v1gos isostóficos 
2.2. Estrutura isostática - Conceitos básicos 
Lembrar que estrutura isostática é aquela que apresenta as mínimas condições 
de estabilidade, ou seja, não se movimenta na horizontal, não se movimenta 
na vertical e não gira em relação a qualquer ponto do plano. 
A figura abaixo mostra urna estrutura isostática. 
vínculo 
articulado 
móvel 
I / 
I 
vínculo 
/ articulado 
/ fixo 
--- pino 
A viga apresentada na figura acima é denomidada viga biapoiada, o que 
parece óbvio. Esta viga apresenta dois tipos de vínculos nos seus apoios. 
No apoio esquerdo, o vínculo é articulado móvel, pois permite que a viga 
gire e se desloque na horizontal. O vínculo da direita é um vínculo articulado 
ftxo, pois apesar de a viga poder girar em relação ao pilar, o pino impede seu 
deslocamento horizontal. 
giro e .... ./ 
deslocamento 
horizontal 
apenas giro 
Esquematicamente, a viga pode ser representada conforme a figura abaixo. 
representação esquemática 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóticas 
Uma barra fixada em uma única extremidade, em um apoio muito rígido, 
também é uma viga isotática. Para isso, o único vínculo da viga deve ser 
engastado, ou seja, não permitindo o giro e nem deslocamentos verticais e 
horizontais. 
não se desloca na vertical, 
nem na horizontal 
e não giro 
= vínculo engastado 
vínculo . ~·. engastado 1-----------
representação esquemática 
Uma viga como essa, com um único apoio engastado, é denominada viga 
em balanço. 
As vigas biapoiadas podem também apresentar balanços em um ou em 
ambos os extremos. 
balanço balanço 
vão I I 
CAPÍTULO 2 - Cólculo dos esforços em vigos isostóticos 
2.2.1. Esfor~os nas vigas isostáticas 
Quando carregadas por uma ou mais forças, as vigas isostáticas deformam-
se de maneira que suas seções, antes paralelas, giram umas em relação às 
outras, de forma que se afastam em uma das faces e se aproximam em 
outra. 
I
I 
I 
I 
I 
I 
I 
) 
seções se afastam 
I 
I 
I 
seções se aproximam 
I 
I 
/ 
I 
1 seções se aproximam 
I 
.seções se afastam 
I 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticos 
I 
I 
seções se 
aproximam 
seções se 
1 afastam 
' I 
seções se 
afastam 
seções se 
, aproximam 
f 
Em todas essas situações, as vigas se deformam de maneira que em relação 
ao eixo reto original aparecem flechas. 
flecha 
Este fenômeno é por isso denominado de flexão e o esforço que provoca o 
giro das seções e o aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento 
fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma seção para outra, o que é 
mais freqüente, aparece na viga a tendência de escorregamentos transversal 
e longitudinal entre as seções verticais e horizontais da viga. 
escorregamento longitudinal 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços ern vigas isostáticas 
escorregamento transversal 
Ao esforço que tende a provocar o escorregamento das fatias longitudinais 
e transversais dá-se o nome de força cortante. 
Para comprovar que a força cortante sempre aparece quando há variação 
do momento fletor, tome-se nas mãos um maço de folhas de papel (umas 50 
folhas). Aplique-se em uma das extremidades um giro (momento), deixando 
livre o outro extremo. 
Observe como as folhas escorregam. 
escorregamento longitudinal das folhas 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
Esse fenômeno pode também ser observado na ilustração: 
-
'--- '---
escorregamento 
longitudinal das fatias 
Em seguida, provoque concomitantemente giros de mesma intensidade nas 
duas extremidades. 
Observe que neste caso não há mais escorregamento das tiras, pois o momento 
não varia de uma extremidade à outra. 
não há escorregamento 
longitudinal das fatias 
-
Para dimensionar uma viga a flexão deve-se determinar os valores de 
momento fletor e da força cortante de maneira que se determine a largura e 
altura de sua seção, para que o material do qual é feita possa resistir às 
tensões de tração e de compressão provocadas pelo momento fletor e às 
tensões tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas forças cortantes. 
Como se verá mais adiante, as tensões de cisalhamento provocam também 
tensões de tração e de compressão em planos inclinados em relação a seção 
transversal da viga. 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
2.3. Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reaejões de apoio 
2.3.1. Vigas biapoiadas sem balanejos 
O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que atuam sobre as vigas 
e das reações a essas cargas provocadas pelos vículos, denominadas reações 
de apoio. As primeiras cargas são denominadas cargas externas ativas e as 
segundas, reativas. 
Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas distribuídas decorrentes 
do peso próprio da viga; as cargas aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as 
cargas concentradas devidas a outras vigas que nela se apóiam. 
Para determinação das cargas externas reativas, é necessário conhecer-se 
as forças de reação que cada vínculo é capaz de admitir. 
Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e deslocamento horizontal, 
só reage a forças verticais. Portanto, esse vículo só admite reação verticaL 
O vínculo articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e horizontal, 
admite reações vertical e horizontal. O vínculo engastado, que impede rotação 
e deslocamentos, admite reação vertical, horizontal e momento. 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóticos 
Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga estiver em 
equilíbrio estático valem as condições de estabilidade já enunciadas, ou seja, 
não anda na horizontal, não anda na vertical e não gira. Essas condições 
podem ser traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da 
estática, ou seja: 
- não anda na horizontal r::) L FH = o 
- não anda na vertical r::) L FV = o 
- não gira r::) L MB = O 
OBS: o símbolo L significa soma. 
Não andar na horizontal significa que a soma de todas as forças na horizontal 
(incluindo as projeções horizontais das forças inclinadas) deve resultar nula. 
O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que os giros 
(momentos) que as forças ativas e reativas tendem a provocar em relação a 
um ponto qualquer, preestabelecido, são nulos. 
Exemplo: determinar as reações de apoio da viga da figura abaixo. 
A 
12,011 
B 
A D_ 
3m 2m 
5m 
Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as reações possíveis 
em cada tipo de vínculo, tem-se: 
A 
12,011 
B H e 
~ ~ 
' 
3m j 2m 
---, 
5m 
VA Va 
Em seguida apliquem-se as três equações da estática: 
L FH = O, L FV = O e L FM = O 
CAPITULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóticos 
Usando a primeira equação e convencionando um sinal para as forças, ou 
seja, se a força horizontal tiver o sentido da esquerda pra a direita será positiva, 
caso contrário negativa. Essa convenção pode ser oposta a esta sem que os 
resultados sofram qualquer alteração. Assim: 
LFH =O, onde 
(+) 
e F 
(-) 
F 
- HB = O ----7 HB = O 
Como não existe nenhuma força horizontal atuando na viga, a equação resulta 
no óbvio, ou seja, a reação horizontal no apoio B é zero, não existe. 
Aplicando a segunda equação e também convencionando que as forças com 
sentido de baixo para cima são positivas e as de sentido contrário negativas, 
tem-se: 
LFV =O, onde (+) 
F 
+ VA- 2,0tf + VB = O (equação I) 
VA + VB = 2,0tf 
Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere ao giro, 
convencionando-se que se a força tender a fazer a viga girar no sentido 
horário, em relação a um ponto qualquer escolhido, ela será positiva, caso 
contrário negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é necessário 
escolher um ponto qualquer, mas qualquer mesmo, para se tomar os 
momentos das forças ativas e reativas que atuam na viga. 
Para tornar o resultado mais rápido, recomenda-se que o ponto escolhido 
(também denominado pólo de momento) para considerar os momentos das 
forças, seja um dos apoios. 
Seja, neste exemplo, o ponto B o pólo dos momentos. Assim: 
M M 
LMB =O, onde ~ e0' 
CAPÍTULO 2 · Cálculo dos esforços em vigos isostóticos 
Considere-se o momento de cada força, desconsiderando, em princípio, as 
demai ou eja: 
l
2,0tf 
A B ~,...--- ------!..---,D. 
3m 2m 
5m 
sentid_o ( + y} ~ 
ho,áno ( 
~ B 
5m 
A 
r ()jf , 
á sentido (- ) \ 1\ onli-ho,óâ~ 
A B 
..---------,7\ 
tà ~ 
L 
Portanto, tem-se: 
+ VA x Sm - 2,0tf x 2m + VB x O = O 
HB= o 
+---
momento deVA 
em re/oçõo o B 
momento de 2,0/f 
em relação a B 
momento de Vs 
em reloçõo a B 
CAPÍTULO 2 - Cólcvlo dos esforços em vigos isostóficos 
Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a reação VA, cuja 
distância ao pólo B é Sm. Sua tendência de giro em relação a B é no sentido 
horário. Soma-se a esse momento o momento da força de 2, Otf, cuja distância 
ao pólo B é de 2m e cujo sentido de giro em relação a B é anti- horário. 
No terceiro caso, a linha de ação da reação VB passa pelo ponto B, logo sua 
distância a B é zero, o que resulta em um momento nulo. 
Completando-se a equação 2, tem-se: 
VAx Sm- 4;0tfm =O 
Sm x VA = 4,0tfm 
4,0tfm VA=--5m 
VA = O,Btf 
Para determinar VB, substitui-se o valor deVA na equação 1 
VA + VB = 2,0tf 
O,Btf + VB = 2,0tf 
VB = 2,0tf- O,Btf 
VB = 7,2tf 
Exercício: Calcular as reações de apoio para a viga da figura a seguir. 
A 
l 2.0fl 11,011 r orr 
B HB 
fà b 
2m I 7m I I,Sm I 1,5m 
1 
6m 
V e 
IFH =O, onde (+) (- ) ~e~ 
- HB = 0 ~ HB = 0 
CAPfTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóticos 
~FV =O, onde 
(+ ) t e lF 
F I (-) 
+ VA- 2,0tf-1,0tf- 4,0tf + VB =O 
VA- l,Otf + VB = O 
"3)
VA + VB = l,Otf 
M M 
~ MB = O onde ~ e r--(+) d ~(-) 
A B 12,0ff B 1l,Otf B r~tf B ~---.. + ~ + ~ + e.c------I...--.~ + a~<"'"-----.6. 
1 4m! ~ tfm 1 
(+VAx6m) (-2,0tfx4m)(-1,0tfx3m) (-4,0tfx7,5m) (+VBxO) 
+ VA x 6m - 2,0tf x 4m - 7 ,Otf x 3m - 4,0tf x 7,5m + VB x O = O 
+ VA x 6m - B,Otfm - 3;0tfm - 6,0tfm = O 
6m x VA- 7 7,0tfm =O 
6m x VA = 7 7,0tfm 
VA = 7 7,0tfm 
6m 
VA = 2,8tf 
G) VA + VB = l,Otf 
2,8tf + VB = l,Otf 
VB = l,Otf- 2,8tf 
VB = 4,2tf 
V a 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigos isostálicos 
Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os resultados, usando uma 
força P qualquer atuando sobre a viga de vão f qualquer e distante a e b dos 
apoios A e B, respectivamente. 
A 
~- r 
o t b 
1 
f 
~FH =O, onde 
- HB = 0 ---7 HB = O 
~FV =O, onde 
(+)r e I F 
F -.v {- ) 
+ VA- P +VB =O 
VA + VB = P Ci) 
LMB =O, onde (+) 
+ VA X f- p X b + VB X o= o 
+VAxf-Pxb=O 
VA X f= p X b 
Pxb VA=--
f. 
VA + VB = P 
B H a 
b 
V a 
CAPITuLO 2 - Cólculo dos esforços em vigas isostóticos 
Pxb 
-f-+ VB = P 
V _ p Pxb B - - f 
VB = p X f - p X b 
f 
VB = p X (f- b) 
e 
Verificar que: 
N. ím: 
f- b = a, pois a + b = f 
VB = Pxa 
f 
Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações genéricas, sem 
necessidade de se detenninar os valores das reações usando, toda vez, as 
equações da estática. 
Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cáculo das reações parciais 
para cada carga, somando-se ao final esses valores parciais para obter a 
reação total em cada apoio. 
Exemplo: 
3m 2m 
Sm 
Vs 
CAPÍTULO 2 -Cálculo dos esforços em 11190S tsostot1cos 
Ne te ca o: 
Assim: 
P = 2, Otf, a = 3m b = 2m e f. = 5m 
VA=~ 
f 
VA = 2,0tf x 2m = 4,0tfm = O,Btf 
Sm 5m 
VA = O,Btf 
V Pxa B=--
f 
VB = 2,0tf x 3m = 6,0tfm = 1,2tf 
5m 5m 
VB = 1,2:f 
Exemplo: 
A~------~l-Z_Ot-f ~l~J-,0-H ___ l~4-,0-~--~ B 
~ ~ 
' ~ j 2r1 1 Jm J,5m 1,5!'1 
6m 
Vs 
A viga deste exemplo pode ser decomposta em três vigas, carregada cada 
uma com uma carga concentrada. Calculam-se os valores das reações para 
cada viga e somam-se esses valores parciais para obter o valor final. 
CAPfTULO 2 - Cókulo dos esforços em vigos isostóticos 
8 ,..--~-----.,..b._ 
VAI = Pxb 
I, 
6m 
VAI = 2,0tf x 4m = B,Otfm = 1 ,3tf 
6m 6m 
Pxo 
V81 =--
f. 
VBI = 2,0tf x 2m = 4,0tfm ::: Q,7tf 
6m 6m 
2a Carga: r Ol/ 
A 
!à 
3m I 3m 
. , 
6m 
VA2 
1tf 3 3tfm VA2 = . x m = -- = 0,5tf 
6m 6m 
V82 = 1 tf x 3m = 3tfm = O,Stf 
6m 6m 
8 
~ 
V82 
CAPÍTULO 2 - Cólculo dos esforços em vigas isoslóficos 
31 Carga: 
1
4,011 
A B 
fu)"r---- ------=---------;;D_ 
4,5m l I,Sm 
6m 
VA3 = 4,01f x J ,5m = 6,0rfm = 1 ,Otf 
6m 6m 
V83 = 4,0tf x 4,5m = J 8,0tfm = 3,0if 
6m 6m 
Somando- e o valores parciai tem- e: 
VA = VAI + VA2 VA3 VB = V8 7 + V82 + VB3 
VA = 1,3tf + 0,5tf + 1 ,Otf V8 = 0,7tf + 0,5tf + 3,0t.f 
VA = 2,8tf V8 = 4,2tf 
No ca o de carga unifonnemete di tribuídas obre a viga tai como eu 
peso próprio laje e alvenaria a- e o artifício de ubstituir a carga di tribtúda 
pela ua resultante . 
4m 
V a 
CAPÍ UlO 2 - Cólculo dos esforços em vigas isostóticos 
Como a carga distribuída é de 2,0tf/m e o seu comprimento é de 4m, sua 
resultante é de P = 2,0tf/ m x 4m = B,Otf, aplicada no meio, ou seja: 
r-B,Off 
A .-:-----.!...---7\~ B 
fd_ ~ 
2m l . 2m ' 
4m 4m 
V a V a 
Usando as equações da estática, desconsiderando a que se refere a forças 
horizontais, já que só existem cargas verticais atuando sobre a viga, tem-se: 
F 
I Fv =o (-) 
VA- 4m x 2,0tf/m + VB = O 
VA- 8,0tf + VB =O 
.!_.; VA+ VB = B,Otf 
M M 
.EMB= O ;~e C 
VA x 4m - B,Otf x 2m + VB x O = O 
VAx4m- B,Otfx 2m= O 
VAx 4m- 7 6,0tfm =O 
VAx4m = 76,0tfm 
2m 
1 
4m 
2m 
Vs 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esíorços em vigas isoslóricos 
VA = 16,0tfm 
4m 
VA = 4,0tf 
(D VA + VB = B,Otf 
4,0tf + VB = B,Otf 
VB = B,Otf - 4,0tf 
VB = 4,0tf 
Resultados que eram de se esperar: já que a carga é unifo~emente 
distribuída sobre toda a extensão da viga, metade de seu valor vru. para cada 
apoio. Generalizando, considerando a carga distribuída q e o vão f, tem-se: 
A ~ 
R./2 R./2 
e 
Vs Vs 
I FV=O (+)F~ e I F 
\li f-) 
+ VA - q X .e + VB = o 
VA + VB = q X .e 
.EMB= O (+) 
CAPÍTULO 2 ~ Cólculo dos esforços em vígos isostóticos 
R VA X R- q X R X - + VB X o = o 
2 
q X f 2 VAx.€- --=O 
2 
VAxf = qxP 
2 
q X .{2 
VA=--
2x f 
VA = q X R 
2 
VA + VB = q xfJ. 
qx l 
-- + VB= qx .f 
2 
qxf VB = q xf- --
2 
VB = 2 X q X .e - q X .e 
2 
VB = q X R 
2 
Exemplo : Calcular as reações de apoio da viga da figura. 
AI 
r ~ 1,011 
1
= 1,5t~m 
r ~3.~ 
IB 
~- h,_ 
2m t 
1 
3m 2m 
lm 
Vs 
Carga di tribuída: 
q = 1,5tf/m; R= 7m 
q x .e 1,5tf/ m x 7m VAI=-- = = 5,25tf 
2 2 
qx f 1,5tf/ m x 7m 
VB7 = -- = = 5,25tf 
2 2 
CAPÍTUlO 2 ~ Cólculo dos es orços em vigas isostóticos 
1 a Carga Concentrada: 
P7 = 1 ,Otf; a = 2m· b = 3m + 2 m = 5m 
VA2 = Pl x b = 1,0tf x 5m = O,lltf 
.e 7m 
VB2 = P x a = 1,0tf x 2m = 0,29tf 
.e 7m 
2il Carga concentrada: 
P2 = 3,0tf; a = 2m + 3m = 5m; b = 2m 
VA3 = P2 x b = 3,0tf x 2m = O,B6tf 
l 7m 
P x a 3,0tf x 5m VB3 = -- = = 2, 14tf 
fJ. 7m 
VA =VAI+ VA2 + VA3 
VA = 5,25tf + 0,71tf + 0,86tf 
VA = 6,82tf 
VB = VB I + VB2 + VB3 
VA = 5,25tf + 0,29tf + 2, 14tf 
VA = 7,68tf 
Como se viu, usando as fórmulas generalizadas, o cálculo das reações é 
bastante rápido, para qualquer carregamento. 
CAPiTuLO 2 - Cálculo dos esforços em vigos isostôticos 
2.3.2. Vigas em balanejo 
Como foi visto, uma viga em balanço é aquela em que uma das extremidades 
é totalmente livre de apoio e a outra apresenta um apoio engastado. 
p 
o comprimento do balanço 
seró identificado como .fo 
Como o vínculo engastado não admite deslocamentos horizontal e vertical 
e nem o giro da barra, ele é capaz de absorver reações horizontais, verticais 
e momento. 
p 
NIA ?, ~ ~ ~ A i ~ % ;}' ~ 
bo 
f. o 
VA 
U ando a equaçõe da estática tem-se: 
~'""0 IFH =O, onde ~ (- ) e ~--~ F r 
+ HA= O ---7 HA= O 
O que era esperado. 
CAPfTULO 2 • Cólculo dos esforços em v1gas isosrólicos 
HJ F ' IFV= O, 2) onde e (- ) 
+ VA- P =O 
VA = P 
M M 
0) .EMA= O, onde ;:J e c) 
Lembrar que a linha de ação da reação VA passa pelo ponto A, escolhido 
como pólo dos momentos. Já o momento reativo MA, apesar de estar atuando 
no pólo A, não se anula, porque ele já é um momento e não uma força, por 
isso não é multiplidado por qualquer distância. Assim: 
+ VA x O - MA + P x bo = O 
- MA + Pxbo= O 
-MA=- P X bo 
MA= Px bo 
O resultado é esperado, pois o momento de P em relação ao apoio é o seu 
valor P multiplicado pela sua distância ao apoio, bo, portanto P x bo . 
Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas 
concentradas. 
Exemplo: 
Calcular as reações de apoio para o balanço da figura. 
2,0t( r" 3,0rf NIA J ~ ~ ~ A % ~ I ~ ~ 
1m 2-71 1 
4m l 
VA 
CAPfTULO 2 - Cólculo dos esforços em vigas isostólicos 
A viga da figura da página anterior pode ser decomposta em três outras: 
c 
l
2,0tf 
~ ~ A ~~--~------------
~~ ~ @ ~ 
f 
lm 
- VA 
3m 
4m j 
VAl = 2,0tf 0/A = P) 
MAl= 2,0tf x 1m 
MAl = 2,0tfm (MA = P x bo) 
VA2 = 7,0tf 
MA:2 = 1 ,Otf x 3m 
MA2 = 3,0tfm 
3,0tf 
VA3 = 3,0tf 
fW.:3 = 3,0tf x 4m 
MA3 = 7 2,0tfm 
Somando todas as reações intermediárias, tem-se: 
VA = VAJ + VA2 + VA3 
VA = 2,0tf + 7 ,Otf + 3~0tf --7 VA = 6,0tf 
MA = MA 1 + /l/tl\2 MA3 
MA = 2,0tfm + 3,0tfm + 12,0tfm ---7 MA = 17,0tfm 
CAPÍTULO
2 - Cólculo dos esforços em vigos isoslóticas 
No caso de carga dístribufda, usa-se o mesmo artifício já usado anteriormente: 
substituí-se a carga distribuída pela sua resultante. Assim: 
F<Wri' I I I I I 
bo 
VA = P = q xbo 
VA = q x bo 
bo bo 
MA= Px- = qxbox-
2 2 
bo 
2 
MA= q x bo2 
2 
como 
q x lo 2 bo = .eo ---7 MA = -'----
2 
As vigas biapoiadas, já estudadas, também podem apresentar balanços, o 
que não altera os procedimentos vistos. 
Suponha-se a situação da figura, onde só existe a carga P concentrada aplicada 
no extremo do balanço: 
A B lp 
_&:à~------E-.,..---~ 
i -VA - f----.l--va bo 
ando as equaçõe da e tática tem-se: 
.EFV = O 
("'-) A I F 
F I e 'V ( - ) 
+ VA + VB - P = O 
I VA + VB = P 
CAPITULO 2 - Cólculo dos esforços em vigas isostóticas 
M M 
.EMB = 0 ~e~ 
+ VA x R + VB x O+ P x bo =O 
VA x R =- P x bo 
VA = _ P x bo 
R 
O resultado negativo para a reação VA indica que está ocorrendo um 
arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balanço causa nas 
reações de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do 
balanço é denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situação, a viga se 
comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos. 
CD VA + VB = p ---7 
P x bo VB=P+--
R 
P x bo 
--+VB=P 
R 
Uma outra maneira de encaminhar a solução e que pode agilizar os cálculos 
é considerar o vão independente do balanço, calcular o balanço 
independentemente e aplicar o resultado ao vão. Assim: 
A B r A 
t -~3 - A e 1-~ 1 1 
Para o balanço isoladamente tem-se: 
Vbal = P ~~lp ~ A ~ 
~~ 
f 
bo 
- -
Vba! 
Mbol = P x bo 
CAPITULO 2 - Cálculo dos esíorc;os em vigas isos.tóticas 
Aplicando esses resultados ao vão, tem-se: 
A v~~ Pl) 
6i1.1<""·-.------- -Là; B Mbo l = P x bo 
! f. 
- r-VA----=------1--Vs 
EFV = O 
f-t-) /:\1 e !F 
F ~ (-) 
+ VA- P + VB =O 
VA + VB = P 
.EMB = 0 
VAx R+ P x O+ VBxO + Mbal =O, como Mbal = P x bo, tem-se: 
VA x R + P x bo = O 
P x bo VA = ---
R 
+ VA + VB = P 
_ P x bo + VB = p 
R 
P x bo 
VB = P +---
Repare que os resultados são os mesmos. 
Prestando mais atenção aos valores obtidos, pode-se notar que: 
VA = _ P x bo 
R 
CAPÍTULO 2 • Cálculo dos esforços em vigas isostó1icos 
Sendo P x bo o momento devido ao balanço, tem-se que a reação VA é o 
momento do balanço dividido pelo vão, ou seja: 
VA = _ Mbol 
t 
ou VA = _ P x bo 
.e 
Como P é a carga no balanço, tem-se que a reação VB é igual às cargas 
existentes no balanço somadas ao momento do balanço (P x bo ), dividido 
pelo vão central, ou seja: 
VB = p + Mbol 
.e 
ou V P P x bo B= + +---
f 
Considere-se a situação apresentada na figura a seguir: 
2,0tf 3,0tf 
lllld 11 1 
D_ 
- +-----3_m ____ -tJ---~2~m--~~7~m4~~ 2~ -1 5m 
I 
Calculando-se em primeiro lugar o balanço, tem-se: 
Vbol = q X .fo + P 
Vbal = 2,0tf!m x 2m+ 3,0tf 
Vbal = 7,0tf 
Mbal = q x .e o 
2 
+ P x bo 
2 
Mbol = 2,0tf/m x (2m? + 3,0tf x 1m 
2 
Mbal = 4,0tfm + 3,0tfm 
Mbal = 7, Otfm 
J,Otf q = 2,0tf/m 
7 m (bo) 
2m (fo) 
V boi 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vtgos isostóticos 
As im, tem-se: 
2,0tf Vbol = l,Otf 
A !-1-..l.....l.....!....!.-'---"-J.....J....l-L.........._ .......... _._~ B ) Mbo< ~ 7,011m 
3m l 2m 
5m 
Vs 
Considerando-se apenas o efeito do balanço nas reações, tem-se: 
Mbl a M~ 
r 1- VA = --;- \.:.1 VB = Vbol +-f-
Con iderando- e apenas a carga do vão chega- e a: 
~= q xf.+Px b ~=qxf+Pxa 
2 .e 2 f 
2 Otf/m x 5m 2 Otf x 2m V 2,0tf/m x 5m + 2,0tf x 3m VA = I + I I B = 
2 5m 2 5m 
VA = 510tf + OIBtf I VB = 510tf + 1,2tf 
VA = 5,81( VB = 61 2tf 
Adicionando-se os efeitos do balanço, tem-se: 
0) 
,--X-., 
M bol VA = 5 Btf - -
I e 
V.A = 5 Btf - 71 Otfm 
I 5m 
VA = 51 8tf - 1 1 4tf 
VA = 4,4tf il 
(" ~ r---......______, 
tf Mbal VB = 612 . + Vbal+ -f-
VB = 6,2tf + 7,0tf + l,Otfm 
5m 
VB = 6,2tf + 7,0tf + 7 ,4tf 
VB = 741 6tf 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
Quem não se adaptar a esse processo agilizado pode usar o caminho normal 
(.E Fv = O e .EM = 0), mas seria interessante acostumar-se com o processo 
expedito, pois ele será muito vantajoso mais adiante. 
2.4. Equilíbrio interno das vigas - Cálculo do 
momento fletor e da força cortante 
De nada resolve garantir que uma viga esteja com seus vínculos bem 
projetados, que sejam capazes de reagir às cargas externas ativas que atuam 
sobre ela, se internamente a viga não possui material resistente ou em 
quantidade suficiente para resistir às solicitações internas, ou seja, de nada 
resolve a viga estar equilibrada externamente se não o estiver internamente. 
Por isso as seções das vigas devem ser dimensionadas para que não se 
desloquem na horizontal (sob a ação de tração ou de compressão axial), não 
se desloquem na vertical (sob a ação de forças cortantes) e não girem (sob 
a ação de momento fletor). 
~r--~, I 7""0""111....-;-:11....-;-:1 1~1 { { I I I I I li I I 
D. 
deslocamento horizontal 
entre seções = ruptura 
por tração simples 
deslocamento vertical 
entre seções = ruptura 
por força cortante 
giro 
entre seções = ruptura 
por momento fletor 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em v1gas isostóticas 
Portanto, para haver equilíbrio interno, as seções da viga não devem se 
deslocar na horizontal (E FH = O), na vertical (.E F v = O) e não devem girar 
(.EM = O). Por isso, o primeiro passo para dimensionar uma viga, para que 
ela permaneça em equilíbrio estático interno, é calcular os esforços internos 
de tração ou de compressão axial, de força cortante e de momento fletor. 
Como na grande maioria das vigas ocorrem apenas cargas verticais e 
portanto apenas força cortante e momento fletor, este será o foco do estudo 
aqui apresentado. 
2.4.1. Força cortante e momento fletor em vigas 
biapoiadas sem balanços 
Para determinar o valor da força cortante e do momento fletor em uma 
dada seção da viga, supõe-se a viga interrompida nessa seção e despreza-
se uma das porções resultantes do secionamento, como se ela não existisse 
e a viga se mantivesse estável pela reação apresentada pelas forças internas 
na seção. Nessa situação, estuda-se o equilíbrio da porção restante da viga 
de maneira que se garantam as mínimas condições de estabilidade, ou seja, 
que não ande na vertical e que não gire. 
2.4.1.1. Cargas concentradas 
Considere-se a viga apresentada na figura: 
12,01f A B /à,_...----::-c --~.6_ 
t2m ~ 3m t 
O primeiro passo é a análise do equilíbrio externo da viga como um to~o, 
ou seja, o cálculo das reações de apoio. Neste caso sugere-se para mru.or 
agilidade o uso das relações gerais, ou seja: 
VA = p x b e VB = p x 0 
c _f 
VA = 2,0tf x 3m 
5m 
e VB 2,0tf x 2m 5m 
onde: p = 2,0tf 
a= 2m 
b =3m 
C= 5m 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isastáticas 
VA = 7,2tf e VB = O,Btf 
Em seguida, seciona-se a viga em um ponto qualquer entre A e C, tomando-
se uma das porções restantes. Para evitar dificuldades com sinais sugere-
se tomar-se a porção da esquerda. Entretanto, o resultado será o mesmo se 
for considerada a porção da direita. 
X 
XI r2,0tf / 
I I / 
I _+_ __________ 8 
,-, 
c L::.._ 
t 
I 
I 
porção 
deprezada 
VA = 1,2if ~O,Btf 
Toma-se como origem da variável x, que define a posição da seção genérica 
analisada, o ponto A, o apoio esquerdo. Para essa porção da viga estar em 
equihbrio, ou seja, não andar na vertical e não girar, devem estar aplicados 
na seção X uma força vertical e um momento. A força vertical é denominada 
"força cortante" (QX) e o momento, "momento fletor" (MX). 
X I 
I 
~r)M, 
i~ 
Não se deve preocupar com os sentidos assumidos para a força vertical e 
para o momento: sinais negativos indicarão que
o sentido verdadeiro é o 
oposto do assumido. Considere-se inicialmente a força Qx para baixo e o 
momento Mx no sentido anti-horário. Usando as equações da estática, tem-se: 
EFV= O ~e 1. F 
F I (-) 
+ 7 ,2tf - Qx = o 
:'}_-~ Qx = 1,2tf 
Ct~PÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóticas 
Conclui-se que nesse trecho a força cortante independe de x, portanto é 
constante e igual à reação de apoio V A. 
Usando a equação de momentos e considerando um ponto conveniente como 
pólo, neste caso a seção X (elimina-se o momento da incógnita Qx, 
diminuindo-se o trabalho com a solução do sistema de equações), tem-se. 
M M 
EMX= O ~J e(~~ 
+ 7 ,2tf x x + Qx O - MX = O 
2 Mx = 7 ,2tf x x 
Observe-se que nesse trecho o momento varia linearmente com x. 
Considere-se a seguir uma outra seção, agora entre os pontos C e B. Nesta 
posição, a carga concentrada passa a ser incluída na porção restante da 
viga. 
Note-se que a origem do x é a mesma, a partir de A. 
Mantém-se também a análise da porção esquerda. 
Sugere-se, para evitar erros, que sempre se tome a porção esquerda. 
EFV =O 
( +) li\1 
e 
F 
+ 7,2tf- 2,0tf- Qx =O 
Qx =- O,Btf 
i f 
I 
\); (-) 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isosiáticos 
Observe que nesse trecho a força cortante também é constante e tem o valor 
da reação VB, agora com sinal negativo. 
EM= O 
+ 1,2tf x x- 2,0tf x (x-2m)- Mx =O 
+ 7 ,21f x x- 2,0tf x x + 4,0tfm - Mx = O 
(~ Mx = - 0,8tf x x + 4,0tfm 
Mx apresenta nesse trecho uma equação diferente, mas também variando 
linearmente em x. 
O passo seguinte é construir os gráficos de variação da força cortante e do 
momento fletor. 
Para isso, lança-se mão de suas respectivas equações e em cada trecho, 
substituindo-se x por valores entre A e B, ou seja entre O e 5m. 
Para a força cortante usam-se as equações (t') e ( 3} 
' --· "-.-·· 
A x(m) 
o 
1 
c 2 
3 
4 
B 5 
Qx(tf) 
o 
+ 7,2 
+ 7,2/-0,8 
-0,8 
-0,8 
-0,9 
i Qx = 1,2tf 
~Qx =- 0,8tf 
A grande surpresa é que, no ponto de aplicação da carga concentrada, ou 
seja x = 2 m, a força cortante apresenta dois valores. Isso significa que 
imediatamente à esquerda do ponto de aplicação da carga concentrada o 
valor da força cortante é de 7,2tf e imediatamente à direita é de 0,8tf. 
A soma desses valores resulta no valor da própria carga concentrada, ou 
seja 2,0tf. O gráfico deve ser construído em escala. Para isso, usa-se uma 
escala de forças, por exemplo 7 em = 1,0tf, para os valores da força 
cortante e outra geométrica para os comprimentos x. 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticos 
A escala é de livre escolha e deve levar em conta o tamanho final do gráfico, 
de maneira que permita uma leitura fácil e de precisão. 
Para força cortante convenciona-se desenhar os valores positivos acima da 
linha de referância. 
linha de referência (L R) + V A 
A c 
p 
B 
vs1â L--- --- --' o 
Pode-se construir esse gráfico de uma maneira mais rápida e prática, sem o 
u o da equação de QX, desenhando- e as carga verticais que atuam nas 
viga incluindo reaçõe de apoio, em escala, na po ição e no entido em que 
aparecem. Parais o inicia- e o desenho da e querda para a direita. As im, 
a primeira força a er de enhada é a reação de apoio VA, igual a 7,2tf com 
entido para cima. Marca-se es a força no gráfico. Como entre a reação e 
a força concentrada não existem outras forças o valor permanece con tante, 
o que no gráfico é representado por urna linha horizontal. Ao e cruzar a 
força concentrada de 2,0tf, coloca-se a me ma no gráfico, com entido de 
cima para baixo o que faz oro que o gráfico cruze a linha de referência, 
re ultando um valor negativo de 0,8 tf. Como novamente não ex i tem outras 
forças verticais até o apoio B, o gráfico permanece constante até encontrar 
a reação VB, no sentido de baixo para cima. 
Esse procedimento pode ser feito para qualquer quantidade de cargas 
concentradas, desde que determinadas previamente as reações de apoio. 
Para construção do gráfico de momento fletor, procede-se da maneira já 
vista para a força cortante, substituindo-se os valores de x, tomando-se o 
cuidado de observar a equação válida para cada trecho. Para valores de X 
menores que 2m, vale a equação do trecho entre A e C e para valores 
maiores que 2m, deve-se usar a equação válida para o trecho entre C e B. 
A x(rn) MX(thn) 
o o 
c 
1 + 7,2 
2 +2,4/+2,4 
i Mx = 7,2tf x x 
3 + 7,6 
4 +0,8 
~ Mx = - 0,8tf x x+4tfm 
B 5 o 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esfor·ços em vigas isostáficos 
Observe-se que, diferentemente da força cortante, no ponto de aplicação 
da carga concentrada, x = 2m, as duas equações dão o mesmo resultado. 
Como já se sabe, previamente, que o gráfico é uma reta (equação com 
variável X no primeiro grau) bastam apenas dois pontos, em cada trecho, 
para desenhá-lo. 
Ao contrário da força cortante, no Brasil, os valores positivos do momento 
fletor são desenhados abaixo da linha de referência. Essa opção visa facilitar 
a visualização da deformação da viga fletida. 
Em outros países, o gráfico é desenhado com valores positivos para cima. 
O que importa é saber interpretar os gráficos e saber o que está ocorrendo 
em termos de solicitação física. 
No caso da força cortante, os sinais positivos e negativos indicam a direção 
das trações e compressões provocadas por ela. 
A figura mostra o exemplo de uma viga de concreto trincada em conseqüência 
das forças de tração provocadas pela força cortante. 
AI..____® +-----.8 c ~-.._o_-.~1 
trincos no viga causados 
pelo forço cortante 
CAPÍTULO 2 - Cálculo elos esforços em vigas isostát1cos 
No caso do momento fletor, o importante é saber que o momento fletor 
convencionado como positivo é aquele que provoca tração nas fibras 
inferiores e compressão nas fibras superiores da viga. Assim: 
lroçõo 
Para facilitar o cálculo, pode-se generalizar os resultados para força cortante 
e para momento fletor. 
Seja a viga da figura a seguir: 
r B 
D. A~------~----------~ _ê_ c 
o b 
Trecho AC 
Pxb VA = --
R. 
e 
VB Pxa 
R. 
Vs 
IFV =O 
(-!) t I F 
i e 
F i ~ (-) 
Px b _ Qx = 0 
R. 
Pxb 
Qx =+ -R.-
ou Qx = + VA 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isosióticos 
M M 
X-Mx=O ~e f 
(+)J ~(-) 
Pxb 
-- x x + Qx x o - Mx = o f 
Pxb Mx = + -- x x ou Mx = + VA x x 
f 
Trecho CB 
a x-a 
X 
Como f- b =a 
X-Mx =o 
Pxa logo Qx = ---
f 
M 
c 
Px b x x + P (x -a)- Mx =O 
f 
Mx = + P x b x x - P (x - a) 
f 
Mx = + P x b x x - P x f (x - a) 
f 
(-) 
X-FV=O 
F 
Pxb 
--- P- Qx =o 
f 
Qx = P x b _ P 
R. 
QX = p X b - p X f 
f 
ou Qx =- VB 
+Pxbxx- Pxfxx +Pxfxa Mx = ~~.=...:..:..:.....:___:_...:..:......::__:_:_:....:..___:_...:..:......::_:_:___::.... 
e 
Mx = + P x x (+ b- f) + P x f x a 
f 
Mx = -Pxxxa + Pxfxa 
f 
P x a x (f- x) 
Mx=------
f 
como b- f=- a 
CAPITULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isoslá1icas 
Como foi visto, o momento máximo se dá sob a carga concentrada, ou seja 
quando x = a, portanto substituindo-se x na equação, tem-se: 
Mmax = P x a x (f- a) 
R. 
Pxaxb Mmax = _:______:_:.___::___:..:....::.... 
f 
como P-a=b 
Com esse valor e os das reações de apoio, construir o gráfico toma-se 
muito fácil. No caso da força cortante desenham-se as cargas verticais; a 
partir da reação do apoio esquerdo para o momento fletor, desenha-se um 
triângulo com o valor máximo sob a carga concentrada e valendo P x a x b I f. 
A r 8 
~- c ti 
a I. b } 
VA = p X b Va = Px a 
I e e I I 
VA = p xb 
e ® 
A 8 p 
c 
Vs ~ p; a i 8 
8 ~' "1<"'"""" 
X Pxaxb 
c 
E f. ~ 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
Exemplo: Calcular a força cortante e o momento fletor máximos para a viga. 
A~--~12_,_1t-f
----~1-,0-tf----~13_,_0t-f ~B 
C O E 
l m 2m 2m 
6m 
Pl X b) + P2 X b2 + P3 X b3 VA= ---
f f f 
1m 
VA = 2, 1 tf x 5m + 1 ,Otf x 3m + 3,0tf x 1m 
6m 6m 6m 
VA = 1 ,75tf + 0,5tf + 0,5tf 
VA = 2,75tf 
Pl x a 7 P2 x a2 P3 x a3 VB = + + ---
f f f 
2, 1 tf x 7 m 1,0tf x 3m 3,0tf x 5m VB = + + --'----
6m 6m 6m 
VB = 0,35tf + 0,5tf + 2,5tf 
VB = 3,35tf 
Ou simplesmente: 
VB = (2,1tf + 7,0tf + 3,0tf)- VA 
VB = 6, 1 tf - 2,75tf 
VB = 3,35tf 
V a 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
Trecho AC 
X 
VA = 2,75tf 
EFV= O l+>,t. ri-) 
+ 2,75tf- Qx = O 
( Í-\ Qx = 2,75tf ---7 independe de x, logo é constante no trecho 
--" 
EMX= O 
+ 2,75tf x x- Mx =o 
---:-'1 \ .3_) Mx = 2, 7 5tf x x ---7 depende linearmente de x, logo é uma reta 
Trecho CO 
'I 
X 
VA =2,75tf 
EFV= O 
(-+) 1\ I F 
F e'V(-) 
+ 2,7 5tf - 2, 7 tf - Qx = o 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isoslóticos 
0,65tf- Qx = o 
(I; Qx = 0,65tf -7 constante 
M 
(+) e~ .EMx = o 
+ 2,75tf x x- 2,1 tf x (x -1 m) - Mx = O 
0,65tf x x + 2, 1 tfm - MX = O 
CD MX = 0,65tf x x + 2,1 tfm -7 reta 
Trecho DE ê..-----=-r-~~ ff-~r-~Otf~X! r)~ 
I. x-3m , 
J; FV = O 
1m 2m 
X 
1 
x- l m 
( } I I F 
F e 'V ( -) 
+ 2,75tf - 2,1 tf -1,0:f -QX= 0 
- 0,35tf - Qx = o 
~' QX =- 0,35tf -7 constante 
M M 
l;MX = O ~e~ 
+ 2,75tf x x- 2, 1 tf x (x-1 m) - 1 ,Otf x (x-3m)- MX = O 
CAPfTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas 1Sostóticos 
+ 2,75tf x X- 2, l tf x X + 2, l tfm - I,Otf x x + 3tfm - MX =O 
2 ~ Mx = - 0,35tf x x + 5, J tfm -7 reta 
Trecho EB 
m l 
1 
1m 2m x-3m 
x-l m 
1 
X 
VA=2 75tf 
LFV=O 
(+) 1\ e I F 
pl V/ (-) 
+ 2,75tf -2, 1tf - J,Otf - 3,0tf + Qx =o 
- 3,35tf + Qx = o 
(I:, Qx = - 3,35if -7 constante 
x- m, 
., 
Ob erve-se que a força cortante nesse trecho é numericamente igual à reação 
de apoio VB. 
2,75tf x x- 2, 7tfx (x-1 m) - 1,0ff x (x-3m) - 3,0tf x (x -Sm) - MX = O 
2,75tf X X-2, Jtf X X + 2,1 tfm - 1,0tfx X + 3,0tfm- 3,0tfm X X+ 15tfm - Mx = 0 
'2) Mx =- 3,35tf x x + 20, 1tfm -7 reta 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóticas 
Obtidas as equações de todos os trechos, parte-se para a construção dos 
gráficos de força cortante e de momento fletor. Para simplificar a construção 
do gráfico de força cortante usa-se o processo de desenhar as cargas verticais 
sobre a viga, incluindo as reações de apoio. Não se deve esquecer que o 
gráfico deve ser sempre desenhado em escala. 
Gráfico de força cortante 
A r'" à c 
I 
Jm 
VA = 2,75tf 
I I 
2,75 tf CD 2, ) tf 
2m 
l 
11,011 
D 
61m 
2m 
(O G [ o,65rr 1,0tf ) I 0,35tf 
+ 
x=2m ~-
13,011 B 
E :L_ 
Jm 
Vs = 3,35tf 
8 
(Q) linha de referência 
3,0tf o 3,35tf 
Pode-se verificar, no gráfico, que a força cortante máxima ocorre em um dos 
apoios, no caso o apoio B, e vale 3,35tf. 
Pode-se determinar o valor da força cortante em qualquer posição, por exemplo 
a 2m do apoio A: lê-se no gráfico o valor da ordenada para x = 2m. Neste 
exemplo, esse valor é de Q = + 0,65tf. 
Lembrar que nos pontos de carga concentrada sempre ocorrem dois valores 
para a força cortante. 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostóticas 
Por exemplo, a 3m do apoio A, ou seja no ponto de aplicação da carga 
concentrada de 7 tf, a força cortante vale 0,65tf à esquerda e- 0,35tf à direita. 
Para construir o gráfico de força cortante por esse processo pode-se dispensar 
as equações, bastando apenas conhecer as reações de apoio. 
Gráfico de momento fletor 
Como as equações de momento fletor nos diversos trechos são retas, para 
desenhar o gráfico basta conhecer os valores sob as cargas concentradas e 
ligar os pontos obtidos. 
x(m) Mx(tfm) 
o o 
7 +2J5 
3 +4,05 
5 +3,35 
6 o 
A t"' 
á c 
l m 
(O) 
(A= 2( 5tf 
2m 
trechoAC = Mx = +2,75tf x X 
trecho CO= Mx = +0,65tf x X+2, Jtfm 
trecho DE = Mx = - 0,35tf x X + 5, 7 tfm 
trecho EB = Mx =- 3,35tf x X+ 20, Jtfm 
f'"'' r Otl B 
D E b 
2•"1 Jm 
6m 
Vs = 3,35Jf 
(Q) linha de referência 
~ 
l.() 
o 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
Do gráfico obtém-se o valor do momento máximo de 4,05tfm. 
Observe que o momento máximo ocorre no mesmo ponto em que o gráfico 
da força cortante passa por um zero, ou seja, onde o gráfico cruza a linha de 
referência. Será sempre assim: onde a força cortante passa por zero o 
momento é máximo. 
A constatação dessa relação entre força cortante e momento fletor é muito 
importante, pois permite calcular o valor do momento fletor máximo sem 
passar por todas as equações, calculando-o apenas na seção onde a força 
cortante se anula. 
No exemplo apresentado, observe que a força cortante cruza a linha de 
referência, ou seja, passa por zero, na seção onde está aplicada a carga 
concentrada de 1,0tf. Assim, determinando-se o momento fletor na seção, tem-se: 
lm 2m 
VA = 2,75tf 
EMo =O 
+ 2,75tf x 3m - 2,1 tF x 2rn + 1 ,Oif x Om - Mo = O 
+ 8,25tfm - 4,2tfm - Mo = O 
Mo = + 4,05tfm 
Pode-se, ainda, simplificar muito o cálculo da viga usando um processo 
geométrico em lugar do processo analítico apresentado até aqui. 
No processo geométrico, o gráfico de momento fletor é diretamente construído 
a partir da soma dos gráficos parciais de cada carga. 
Como já visto, o gráfico de momento fletor de uma carga concentrada é 
um triângulo, cujo máximo (Mmax) se dá sob a carga concentrada e vale 
Mmax = P x a x b I f, onde P é a carga concentrada, a e b as distâncias das 
cargas aos apoios A e B, respectivamente, e f o vão da viga. 
C\PÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
Com esse processo geométrico, o exercício visto poderia ser resolvido assim: 
Pxa x b 
Mmax. = 
__ _ gráfico da carga de 2, 1 tf 
M 
2, 1 tfm x 1m x 5rn 
max = 
6m 
Mmax = 1 ,75t(m 
: 2 ' ; gráfico da carga de 1, Otf 
M 
1,0Hm x 3m x 3m 
max = 
6m 
Mmax = 1 ,5tlm 
' ' i gráfico da carga de 3,0tf 
3,0i{m x 5m x J rn 
Mmax = --- - ---
6m 
Mmax = 2,5tFm 
.:; . gráfico final = soma 
.:, i,: 
2m 2m 
Yo1 
:ê 
+ 
+ lõ 
r Otf E 
ED._ 
I. 1m f 
Tva 
YE1 I 
>'"= 
+ 
E 
+ 
O momento máximo pode ser lido diretamente do gráfico final. Neste caso, 
será a soma dos segmentos Y03 + J ,5tfm + YOl = 4,05tfrn. 
Para se obter o gráfico final, a soma dos segmentos dos gráficos parciais 
pode ser feita em quaisquer pontos. Como, neste caso, o gráfico é composto 
de retas, basta somar os valores dos gráficos parciais apenas nos pontos 
sob cargas concentradas. 
Para se obter maior precisão, o gráfico pode ser desenhado em CAD. 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticos 
2.4.1.2. Cargas distribuídas 
Considere-se a viga apresentada na figura: 
~ 111111 J ,i>firl llll 
- T 
1 1 B 
D_ 
Sn1 i 
_,_V,_A---------------------,,~8 
O primeiro passo é a determinação das reações de apoio. 
Sabe-se que no caso de cargas uniformemente distribuidas as reações de 
apoio são iguais e valem: 
q X.(! 
VA=VB= --
2 
Onde q é a carga uniformemente distribuída e .e o vão da viga: 
V _ V _ 2,0tf/m x 5m V _ V _ 5 0 f A- B- ---7 A- B- I 2 I 
Como não existem cargas concentradas, as equações para força cortante e 
momento fletor valem para todo o vão da viga. Assim, o equilíbrio da viga 
pode ser estudado em qualquer ponto entre A e B. 
~111111111111 
X 
Como já foi visto, a carga distribuída pode ser substituída pela sua resultante 
aplicada no meio, ou seja: 
CAPÍTULO 2 - Cálculo dos esforços em vigas isostáticas 
~..-------:l;__P=2_,0tf/-m x--4? lQx) 
I Mx X/2 X/2 ~r·--~----~--~~~~ 
VA = 5, 0tf 
EFV= O 
(+) í' I F 
F f e t (-) 
+ 5tf- 2,0tf X X- QX = 0 
QX = - 2,0tf X X+ 5,0tf 
Note-se que a equação