Teoria Estruturas II Aula1

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Teoria de Estruturas II
- Estruturas hiperestáticas – 
Prof. Marcelo Lopes Martins Borges
26/janeiro/2015
Centro Universitário do Leste de Minas Gerais
UNILESTE
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Objetivo
Fornecer os fundamentos da análise estrutural através do 
cálculo de esforços e deslocamentos em estruturas 
hiperestáticas utilizando-se o Método das Forças e o Método 
dos Deslocamentos. 
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Referências bibliográficas
SORIANO, Humberto Lima, LIMA, Silvio de Souza. Análise de Estruturas – Método das Forças e Método dos Deslocamentos.
SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural – Deformações em Estruturas – Método das Forças. Volume 2.
SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural – Método das Deformações – Processo de Cross. Volume 3.
MARTHA, Luiz Fernando. Métodos Básicos da Análise de Estruturas.
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Avaliações
Primeira avaliação: 20 pontos.
Segunda avaliação: 25 pontos.
Terceira avaliação: 25 pontos.
Trabalhos: 20 pontos.
PI: 10 pontos.
Total: 100 pontos.
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Programa
1 – Introdução
2 – Métodos para análise de estruturas hiperestáticas
3 – Método das forças
4 – Método dos deslocamentos
5 – Processo de Cross
6 – Equação dos três momentos
7 – Introdução ao estudo dos cabos (complemento da Teoria de Estruturas I)
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1 – Introdução
Quando uma estrutura possuir muitas reações externas e/ou forças internas a 
serem determinadas usando apenas as equações de equilíbrio estático, ela 
será estaticamente indeterminada.
Até o início do século XX, as estruturas estaticamente indeterminadas eram 
evitadas o máximo possível pela maioria dos engenheiros.
O que fez mudar esta situação foi o avanço nos métodos de análise.
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1 – Introdução
A partir de uma breve revisão, as estruturas são classificadas quanto à 
estaticidade e estabilidade.
1 – Os apoios são em número estritamento necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura
O número de reações de apoio (número de 
incógnitas) é igual ao número de 
equações de equilíbrio. 
Estrutura isostática - equilíbrio estável.
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1 – Introdução
2 – Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura
O número de reações de apoio (número de incógnitas) é inferior ao número 
de equações. 
O número de reações de apoio não impedi os deslocamentos de corpos 
rígidos.
Estrutura hipostática - equilíbrio instável.
São estruturas inadmissíveis para as 
construções.
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1 – Introdução
3 – Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura
O número de reações de apoio (número de incógnitas) é superior ao número 
de equações de equilíbrio, não sendo possível a sua determinação.
Sistema indeterminado, sendo necessário o uso das equações de 
compatibilidade de deformações. 
Estrutura hiperestática - equilíbrio estável.
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1 – Introdução
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1 – Introdução
Na Teoria de Estruturas II, a análise se restringe ao estudo das estruturas em 
barras, desenvolvendo métodos e processos de determinação de esforços 
seccionais (tensões), deslocamentos e reações de apoio, com ênfase nas 
denominadas estruturas hiperestáticas ou estaticamente indeterminadas.
Apesar da resolução da estrutura hiperestática ser complexa, a maioria das 
estruturas é estaticamente indeterminada.
A seguir tem-se a comparação entre as estruturas isostáticas e hiperestáticas.
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1 – Introdução
1 - Os esforços internos em uma estrutura hiperestática têm, em geral, uma distribuição mais otimizada ao longo da estrutura.
 
Isto pode levar a menores 
valores para os esforços 
máximos.
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1 – Introdução
2 – Na estrutura hiperestática há um controle maior dos esforços internos por parte do analista estrutural.
 
Na Figura (a), as colunas são muito mais rígidas do que a viga, fazendo com 
que as rotações das extremidades da viga sejam muito pequenas, se 
aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas.
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1 – Introdução
Na Figura (c), a viga é 
muito mais rígida que as 
colunas, a ponto destas 
não oferecerem 
impedimento às rotações 
das extremidades das vigas, 
que se aproxima do comportamento 
de uma viga simplesmente apoiada.
A Figura (b) representa 
um caso intermediário.
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1 – Introdução
Na estrutura isostática, as reações de apoio e o diagrama de momentos 
fletores independem dos parâmetros de rígidez relativos entre vigas e 
colunas.
 
O diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e reações, 
e da geometria da estrutura, sendo considerado uma vantagem para este 
tipo de estrutura.
Outra vantagem é acomodar
pequenas deformações.
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1 – Introdução
Vantagens das estruturas hiperestáticas
1 – Economia de materiais
Um elemento estrutural de um determinado tamanho pode suportar mais 
cargas sendo parte de uma estrutura continua do que se for simplesmente 
apoiado.
Estruturas continuas de concreto ou aço são de menor custo sem as juntas, os 
pinos e tudo o mais necessário para torná-las estaticamente determinadas, 
como era frequentemente a prática no passado.
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1 – Introdução
Vantagens das estruturas hiperestáticas
2 – Coeficientes de segurança maiores
Quando partes de estruturas estaticamente indeterminadas são submetidas a 
tensões acima de seus limites, frequentemente elas possuem a capacidade 
de redistribuir partes daquelas tensões para áreas menos solicitadas.
Há uma redistribuição dos momentos na estrutura.
Esse comportamento é semelhante ao caso no qual três homens estão 
caminhando com um tronco em seus ombros e um dos homens fica cansado 
e abaixa um pouco seu ombro. O resultado é a redistribuição da carga para os 
outros homens com modificações adequadas das reações, esforços cortantes 
e momentos fletores ao longo do tronco.
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1 – Introdução
Vantagens das estruturas hiperestáticas
3 – Maior rigidez e menores deslocamentos transversais
Estruturas estaticamente indeterminadas são mais rígidas e apresentam 
menores deflexões do que estruturas estaticamente determinadas. Devido a 
sua continuidade, elas são mais espessas e possuem maior estabilidade em 
relação a todos os tipos de cargas (horizontais, verticais, móveis).
4 – Estruturas mais atraentes
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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
1 – Recalque dos apoios
Podem causar variações nos momentos fletores, esforços cortantes, forças de 
reação e forças nos elementos estruturais.
2 – Desenvolvimento de outras tensões
A modificação das posições relativas dos elementos estruturais causada por 
variações de temperatura, má fabricação ou deformações internas dos 
elementos estruturais sob a ação de cargas pode ocasionar variações 
significativas das forças ao longo da estrutura.
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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
3 – Dificuldade de análise e projeto
As forças em estruturas estaticamente indeterminadas não dependem 
apenas de suas dimensões, mas também das propriedades elásticas e 
geométricas de sua seção transversal (módulo de elasticidade, momentos de 
inércia e áreas). 
Essa situação representa uma dificuldade de projeto: as forças não podem ser 
determinadas até que as dimensões dos elementos estruturais sejam 
conhecidos, e as dimensões dos elementos estruturais não podem ser 
determinados até que suas forças sejam conhecidas. 
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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
O problema é tratado admitindo-se dimensões dos elementos estruturais e 
calculando-se as forças, projetando-se os elementos para essas forças e 
calculando-se as forças para as novas dimensões e assim por diante, até que o 
projeto final seja obtido.
O projeto por esse método – o método das aproximações sucessivas – toma 
mais tempo do que o projeto de uma estrutura estaticamente determinada 
correspondente.
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1 – Introdução
Desvantagens das estruturas hiperestáticas
4 – Tensões reversasGeralmente, ocorrem mais forças reversas em estrutura estaticamente 
indeterminadas do que em estrutura estaticamente determinada. Pode ser 
necessário material adicional em determinadas seções para que sejam 
resistidas condições de carregamento diferentes e para evitar falhas por 
fadiga.
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2 – Métodos
Estruturas estaticamente indeterminadas possuem mais forças desconhecidas 
do que equações de equilíbrio estático, sendo necessário equações 
adicionais. As forças além das necessárias para manter a estrutura estável são 
denominadas forças redundantes, e podem ser forças de reação ou forças nos 
elementos que fazem parte da estrutura.
Para a análise de estruturas hiperestáticas, têm-se dois métodos principais:
Método das forças ou da flexibilidade ou da compatibilidade (MF)
As redundantes estáticas são selecionadas e removidas da estrutura de forma 
que reste uma estrutura estável e estaticamente determinada. 
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2 – Métodos
É escrita uma equação de compatibilidade para cada local de onde foi 
removida uma redundante estática, e as equações resultantes são resolvidas 
a fim de fornecerem os valores numéricos das redundantes. A seguir podem 
ser usadas as equações da estática para calcular os esforços.
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2 – Métodos
Método das deformações ou rigidez ou equilíbrio
Os deslocamentos dos nós necessários para descrever completamente a 
configuração deformada da estrutura são usados em um conjunto de 
equações simultâneas. Quando estas equações são resolvidas e os valores 
desses deslocamentos encontrados, estes são substituídos nas relações força-
deformação de cada elemento estrutural para que sejam determinados vários 
esforços internos.
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2 – Métodos
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2 – Métodos
Para estruturas muito indeterminadas estaticamente, como edifícios com 
vários andares, o MF não é apropriado e útil para ser utilizado, sendo 
indicado o MD. Contudo, o MF fornecerá um entendimento do 
comportamento das estruturas indeterminadas.
O MD pode ser desenvolvido através do processo matricial, o qual é utilizado 
na análise computacional.
Atualmente, a análise matricial através dos computadores substitui quase 
completamente os métodos clássicos de análise nos escritórios de 
engenharia, porém o estudo dos métodos clássicos oferece um melhor 
entendimento do comportamento estrutural.
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2 – Métodos
“... Eficientes sistemas computacionais para a análise automática de 
estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de 
projetos. Contudo, não é recomendável a sua utilização por usuário que não 
tenha capacidade de avaliação crítica dos resultados obtidos. Para isso, é 
necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos 
implementados, e que se tenha “sentimento de comportamento 
das estruturas”. ...”
(Professor Humberto Lima Soriano, livro “Análise de Estruturas”, 2006)
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4 – Método das Forças
Sistemática
Grau de hiperestaticidade.
Escolha de um sistema isostático.
Cálculo dos deslocamentos (coeficientes de flexibilidade).
Resolução do sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos.
Obtenção dos esforços finais.
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
Número de esforços desconhecidos (reações de apoio e esforços internos) que supera o número de equações de equilíbrio disponível. 
Exemplo de cálculo do grau de hiperestaticidade
Pórtico plano com articulação (SORIANO, pgs. 75 e 76)
A rótula em D expressa que não se tem 
transmissão de momento fletor da barra CD 
para a extremidade D das barras BD e DF.
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
Na extremidade D da barra CD pode-se ter apenas esforço cortante e esforço normal, quando se “abre” a parte fechada CDEF, representada na 
 figura b: gint = 2
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
OU quando se “abre” a seção extrema esquerda da barra CD, têm-se, nessa seção, momento fletor, esforço cortante e esforço normal. Isso é um esforço seccional a mais que o caso precedente, mas tem-se também a equação de equilíbrio adicional 
Logo gint = 3  1 = 2
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
Na figura estão representados quatro reações de apoio. Como no presente plano têm-se apenas 3 equações de equilíbrio da estática (Fx = 0 , 
 Fy = 0, Mz = 0): 
 gext = 4 – 3 = 1
Logo, o grau de indeterminação estática total é: 
 gtotal = gint + gext
 gtotal = 1 + 2 = 3
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
Treliça plana
O grau de hiperestaticidade total pode ser determinado pela expressão: 
			b  r = 2  n  g 
 OU
 g = b + r – 2 x n
onde: b = número de barras;
 r = número de reações de apoio;
 n = número de nós.
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
Exemplo:
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
Outra forma de se determinar o grau de hiperestaticidade para pórticos 
planos é através do procedimento geral do prof. Luiz Fernando Martha:
g = (nº de incógnitas do problema estático) – (nº de equações de equilíbrio)
As incógnitas do problema estático dependem dos vínculos de apoio da 
estrutura e da existência de ciclos fechados (anéis).
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
(nº de incógnitas do problema estático) =
(nº de componentes de reação de apoio) + 3 x (nº de anéis)
(nº de equações de equilíbrio) = (3 equações do equilíbrio global) + (nº de 
equações vindas de articulações externas)
articulações externas = n – 1 se a articulação é completa na qual convergem n 
barras 
articulações externas = 1 se a articulação não for completa
Logo:
g = [(nº de componentes de reação de apoio) + 3 x (nº de anéis)] – [3 + (nº de equações vindas de articulações externas)]
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
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4 – Método das Forças
 1º passo: grau de hiperestaticidade
Determinação do grau de hiperestaticidade para grelhas é análoga ao 
procedimento adotado para pórticos planos
Uma barra de grelha tem três esforços internos: esforço cortante, momento fletor e momento torçor.