equações do plano

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EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO 
Sejam �⃗� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e 𝑣 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) vetores diretores de um plano 𝜋, 
𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) um ponto fixo de 𝜋 e P um ponto genérico de 𝜋. 
 
Dois vetores �⃗� e 𝑣 são ditos diretores de um plano 𝜋 se não tiverem mesma direção e se 
forem paralelos a este plano. 
Note que, �⃗� , 𝑣 e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares, conforme Figura a seguir: 
 
 
 
 
Vetores coplanares 
Temos que, 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃 − 𝐴 = 𝛼�⃗� + 𝛽𝑣 , ou seja, 
𝑃 = 𝐴 + 𝛼�⃗� + 𝛽𝑣 , com 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 
 
 
Se considerarmos os eixos coordenados x, y e z, podemos escrever esta equação 
como 
𝜋: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) + 𝛼(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) + 𝛽(𝑏1, 𝑏2, 𝑏3) 
Exemplo: Qual a equação vetorial do plano 𝜋 que passa pelo ponto 𝐴(3,3, −1) e é 
paralelo aos vetores �⃗� = (−1,2,3) e 𝑣 = (2,3,6)? Obtenha algum ponto pertencente a 
este plano. 
Solução: Temos que, a equação vetorial de 𝜋 é dada por 
𝜋: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3, 3, −1) + 𝛼(−1, 2, 3) + 𝛽(2, 3, 6). 
�⃗� 
𝑣 
A 
P 
Esta é a Equação 
Vetorial do Plano. 
Para obter algum ponto de 𝜋, basta atribuir valores para 𝛼 e 𝛽. Por exemplo: 
 Para 𝛼 = 1 e 𝛽 = 0, temos 𝜋: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,3, −1) + 1(−1, 2, 3) + 0(2, 3,6) =
(2, 5, 2). Logo, o ponto (2, 5, 2) ∈ ao plano 𝜋. 
2.2.13 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 
Dada a equação vetorial do plano 𝜋, em coordenadas, e considerando a condição 
de igualdade, obtemos 
𝑥 = 𝑥0 + 𝛼. 𝑎1 + 𝛽. 𝑏1 
 𝑦 = 𝑦0 + 𝛼. 𝑎2 + 𝛽. 𝑏2 
 𝑧 = 𝑧0 + 𝛼. 𝑎3 + 𝛽. 𝑏3 
 
Nestas equações, os parâmetros 𝛼 (alpha) e 𝛽 (Beta) são variáveis auxiliares, (𝑥, 𝑦, 𝑧) é 
um ponto genérico e (𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) é um ponto dado. 
Exemplo: A partir da equação vetorial do plano 
𝜋: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,3, −1) + 𝛼(−1,2,3) + 𝛽(2,3,6) 
determinar um sistema de equações paramétricas de 𝜋. 
Solução: Temos que, as equações paramétricas de 𝜋 serão dadas por 
𝑥 = 3 − 1𝛼 + 2𝛽 
𝑦 = 3 + 2𝛼 + 3𝛽 
𝑧 = −1 + 3𝛼 + 6𝛽 
2.2.14 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Como vimos, da equação vetorial do plano, os vetores �⃗� , 𝑣 e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ são coplanares. 
Assim, pela condição de coplanaridade temos que: 
|
𝑥 − 𝑥𝑜 𝑦 − 𝑦𝑜 𝑧 − 𝑧𝑜
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
| = 0 
Desenvolvendo este determinante obtemos, 
Estas são as Equações Paramétricas 
do Plano. 
(𝑥 − 𝑥𝑜) |
𝑎2 𝑎3
𝑏2 𝑏3
| + (𝑦 − 𝑦0) |
𝑎1 𝑎3
𝑏1 𝑏3
| + (𝑧 − 𝑧0) |
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
| = 0 
Fazendo a = |
𝑎2 𝑎3
𝑏2 𝑏3
|, b = |
𝑎1 𝑎3
𝑏1 𝑏3
| e c = |
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
|, podemos reescrever a 
equação acima como 
𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜) + 𝑏(𝑦 − 𝑦𝑜) + 𝑐(𝑧 − 𝑧𝑜) = 0 
𝑎𝑥 − 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦 − 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧 − 𝑐𝑧0 = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − (𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0) = 0 
Considerando 𝑑 = −(𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0), segue que, 
𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
 
 
Exemplo: Obtenha a equação geral de um plano π que passa pelos pontos 𝐴 (1,1, −2) e 
é paralelo aos vetores �⃗� = (3, −2,2) e 𝑣 = (1,2,3). 
Solução: Temos que, 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗, �⃗� 𝑒 𝑣 são coplanares conforme a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 Vetores 𝑨𝑷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , �⃗⃗� 𝒆 �⃗⃗� coplanares 
 Logo, 
|
𝑥 − 1 𝑦 − 1 𝑧 + 2
3 −2 2
1 2 3
| = 0 
Resolvendo o determinante obtemos: 
−6(𝑥 − 1) + 2(𝑦 − 1) + 6(𝑧 + 2) + 2(𝑧 + 2) − 9(𝑦 − 1) − 4(𝑥 − 1) = 0 
A 
�⃗⃗� 
�⃗� 
P 
𝜋 
Esta é a Equação 
Geral do Plano. 
 
−6𝑥 + 6 + 2𝑦 − 2 + 6𝑧 + 12 + 2𝑧 + 4 − 9𝑦 + 9 − 4𝑥 + 4 = 0 
−10𝑥 − 7𝑦 + 8𝑧 + 33 = 0 
Portanto: 𝜋: − 10𝑥 − 7𝑦 + 8𝑧 + 33 = 0 é a Equação Geral do Plano. 
 
Existe outra maneira de representar a Equação Geral de um Plano 𝜋 baseado no vetor 
normal. 
Seja �⃗� = (𝑎, 𝑏, 𝑐) um vetor normal ortogonal a um plano π (�⃗� ≠ 0⃗ ), então �⃗� 
será ortogonal a qualquer vetor de π. 
 
 
 
 
 
 
Vetor normal �⃗� ortogonal a um plano π 
Se um vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ é ortogonal a �⃗� , então 𝑛 . 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 ⇒ (𝑎, 𝑏, 𝑐) . (𝑃 − 𝐴). Sendo 
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) e A(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) = 0 pontos pertencentes a π, segue que: 
(𝑎, 𝑏, 𝑐) . (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0 ) = 0 
𝑎(𝑥 − 𝑥𝑜) + 𝑏(𝑦 − 𝑦𝑜) + 𝑐(𝑧 − 𝑧𝑜) = 0 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − (𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0) = 0 
Fazendo 𝑑 = − (𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0) obtemos a Equação Geral do Plano π a 
partir do vetor normal dada por: 
𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 
Exemplo: Qual a equação geral do plano π que passa pelo ponto 𝐴 (4, 1, 3) e tem 
�⃗� = (2, 3, 4) como vetor normal. 
A 
P 
𝜋 
�⃗� 
Solução: Temos que, as coordenadas do vetor �⃗� correspondem aos coeficientes da 
Equação Geral do Plano, isto é; 
𝜋: 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 + 𝑑 = 0 
Se A é um ponto do plano, podemos determinar d substituindo suas coordenadas 
na equação: 
2 . 4 + 3 . 1 + 4 . 3 + 𝑑 = 0 
𝑑 = −23 
 
Assim, 
𝝅: 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 − 𝟐𝟑 = 𝟎 
Se um ou mais coeficientes na Equação Geral do Plano forem nulos, teremos os 
seguintes casos particulares da equação geral do plano: 
1º caso: 
Se 𝑑 = 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0 (o plano passa pela origem). 
2º caso: 
Se a = 0, 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (o plano é paralelo ao eixo dos x); 
Se b = 0, 𝑎𝑥 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (o plano é paralelo ao eixo dos y); 
Se c = 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑑 = 0 (o plano é paralelo ao eixo dos z). 
3º caso: 
Se 𝑎 = 𝑑 = 0, 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0 (o plano contém o eixo dos x); 
Se 𝑏 = 𝑑 = 0, 𝑎𝑥 + 𝑐𝑧 = 0 (o plano contém o eixo dos y); 
Se 𝑐 = 𝑑 = 0, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 0 (o plano contém o eixo dos z). 
4º caso: 
Se 𝑎 = 𝑏 = 0, 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 (o plano é paralelo ao plano xy); 
Se 𝑎 = 𝑐 = 0, 𝑏𝑧 + 𝑑 = 0 (o plano é paralelo ao plano xz); 
Se 𝑏 = 𝑐 = 0, 𝑎𝑥 + 𝑑 = 0 (o plano é paralelo ao plano yz). 
Exemplos: Indique a posição de cada plano em relação ao sistema cartesiano. 
Solução: 
 
a) 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟎 (o plano passa pela origem); 
b) 𝟑𝒙 + 𝟐𝒛 + 𝟑 = 𝟎 (o plano é paralelo ao eixo y); 
c) 𝟖𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟎 (o plano contém o eixo dos z). 
 
 
 
4º caso 
2º caso 
 
3º caso 
1º caso