INTEGRAL INDEFINIDA MÉTODO DE PARTES

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Notas de Aula: Prof. Kelen Cristina Crivelaro Silvestre
Aula: MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR 
PARTES
2018
Notas de aula do curso de:
Cálculo II
Prof. Kelen Cristina Crivelaro Silvestre
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 𝑥𝑒−2𝑥 𝑑𝑥
Contextualização: Nem todas as integrais podemos resolver pelo método
de substituição de variável. Por exemplo
Essa integral precisamos de um outro método para resolver, o qual
chamamos método de integração por partes.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
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INTEGRAÇÃO POR PARTES
Método de Integração por Partes
Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Temos:
𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ′ = 𝑓′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
Ou
𝑓 𝑥 . 𝑔′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ′ − 𝑔 𝑥 . 𝑓′(𝑥)
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Integrando ambos os lados dessa equação, obtemos:
 𝑓 𝑥 . 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 ′𝑑𝑥 − 𝑔 𝑥 . 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥
Ou ainda,
 𝑓 𝑥 . 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥 . 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 (1)
INTEGRAÇÃO POR PARTES
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Na prática, costumamos fazer
𝑢 = 𝑓 𝑥 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥
e
𝑣 = 𝑔 𝑥 ⟹ 𝑑𝑣 = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥
Substituindo em (1), vem
 𝑓 𝑥 . 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 − 𝑔 𝑥 . 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑥 (1)
 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − 𝑣. 𝑑𝑢
INTEGRAÇÃO POR PARTES
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Exemplos: Calcular as integrais
1) 𝑥𝑒−2𝑥 𝑑𝑥
2) 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥
3) 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥
4) 𝑥 𝑠𝑒𝑛5𝑥 𝑑𝑥
5) 𝑥 𝑙𝑛3𝑥 𝑑𝑥
INTEGRAÇÃO POR PARTES
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6) (𝑥 + 1) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
7) 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
8) 𝑥3 1 − 𝑥2𝑑𝑥
9) 𝑥 𝑥 + 1 𝑑𝑥
10) (𝑥 − 1)𝑒−𝑥𝑑𝑥
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BIBLIOGRAFIA
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Makron Books.