Exercicios de Integral Indefinida com resolução

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Universidade do Estado da Bahia - UNEB 
Departamento de Ciências Exatas e da Terra - DCET 
Curso: Engenharia de Produção Civil 
Disciplina: Cálculo II 
Professor: Armando Peixoto 
Monitor: Victor Mendes Lopes 
 
Resolução Comentada 
Integral Indefinida 
 
1. Resolução de integrais indefinidas básicas. 
2. Método da substituição (mudança de variável). 
3. Integração por partes. 
4. Divisão de polinômios. 
5. Funções racionais. 
6. Aplicações de integral indefinida. 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
2 
01) 
 ∫( 
 
 
 
 
√ 
) 
A integral da soma é a soma das integrais: 
 ∫ ∫
 
 
 ∫
 
√ 
 
A constante multiplicativa pode se retirada do integrando: 
 ∫ ∫
 
 
 ∫
 
√ 
 
Arrumando em forma de potência: 
 ∫ ∫ ∫ 
Regra 02 na tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que não é necessário colocar a constante para cada integral indefinida, pois a soma 
de constantes também é uma constante. 
02) 
 ∫( ) 
 ∫( ) 
 ∫ ∫ 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
3 
03) 
 ∫
 ( )
 ( )
 
Método da substituição (mudança de variável): 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
∫
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que deve-se voltar à variável antiga: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
Deixando mais bonito: 
 
 
 
 ( ) 
A partir de agora, treinem os olhos para enxergarem funções e suas derivadas. 
04) 
 ∫(√ )( √ ) 
 ∫( 
 
 
 
 
 
 ) 
 ∫( 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
4 
05) 
 ∫
 
√ 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06) 
 ∫
 ( )
 ( )
 
 ∫ ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫ 
Regra 04 na tabela: 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
5 
07) 
 ∫
 ( ) 
√ 
 
 ∫ ( ) 
 
√ 
 
 ( ) 
 
√ 
 
√ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
08) 
 ∫ ( ) 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
Regra 10 na tabela (em alguns livros você encontra | ( )|... pense sobre): 
 
 
 
 | ( )| 
 
 | ( )|
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
6 
09) 
 ∫ ( ) 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
10) 
 ∫
 √ 
 
 
 ∫( 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
11) 
 ∫( ) ( ) 
 ∫( ) 
 ∫( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
7 
12) 
 ∫ √ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 
13) 
 ∫
 
√ 
 
 ( ) 
 
 ( )
 
 
 
 
∫
 
√ 
 
 
 
 
 √ 
 √ 
14) 
 ∫( √ ) 
 ∫( 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
8 
15) 
 
 ∫
 
 
 
Divisão de polinômios (Ou pulo do gato): 
 ( ) 
 ( )
 ( )
 
 ( ) ⌊ ( )
 ( ) ( )
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
∫
 ( )
 ( )
 ∫ ( ) ∫
 ( )
 ( )
 ( ( )) ( ( )) 
 
 ∫( ) 
 
 
 
 
 
 
 
16) 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 
Regra 03 da tabela: 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 | | 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
9 
17) 
 ∫
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ( )) 
 
 ( ( ))
 
 
 
 
∫
 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 | ( )| 
18) 
 ∫ ( ) 
 ∫ ( ) ( ) 
Da trigonometria temos que: 
 ∫( ( )) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫
 
 
 
 ∫(
 
 
 ) 
 | | 
 | ( )| ( ) 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
10 
19) 
 ∫
 ( ) ( )
 ( )
 
 ∫( ( ) ) 
 
 
 
 
 
 
 
∫( ( ) ) 
 
 
 
 | ( )| 
 
 
 
 | ( )| 
20) 
 ∫
 ( )
 ( )
 
 ∫( ( ) ( ) ( )) 
Regra 09 e 14 da tabela: 
 ( ) ( ) 
21) 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 
 ∫
 
 
 
 ∫( 
 
 
) 
 | | 
 | | 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
11 
22) 
 ∫ ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
23) 
 ∫ 
(Maldade... começar método por partes com essa ae... ”mas fique tranqüilo”) 
Método de Integração por partes: 
 
 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ 
Percebe-se que II se difere de I pelo grau do x, que diminuiu. Por indução, se aplicarmos essa 
regra mais 2 vezes, o x terá grau 0, ou seja, será igual a 1, deixando somente o ex, no qual 
podemos integrar tranquilamente (Regra 05 da tabela). 
 
 
 ∫ 
 ∫ 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
12 
 ∫ 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 ∫ 
 
Voltando à equação II: 
 
 ( ) 
 
Voltando à equação I: 
 ( ) 
 
 ( ) 
24) 
 ∫
 ( ( ))
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ∫ 
 ( ) ∫ 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
13 
 ( ) ∫ 
 ( ) 
(E eu lhes apresento a integral do ln(x)... melhor gravar isso) 
 ( ) ( ( )) ( ) 
25) 
 ∫ ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ∫ 
 ( ) ∫ ( ) 
 ( ) ∫ ( ) 
 ∫ ( ) 
Percebe-se que II se difere de I pelo seno, que antes era cosseno. Por indução, se aplicarmos 
essa regra mais 1 vez, o seno se transformará em cosseno novamente: 
 ( ) ( ) 
 
 ∫ 
 ( ) ∫ ( ) 
 ( )Voltando à equação I: 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
( ( ) ( )) 
Normalmente integrais com cossenos e senos se resolvem assim, deve-se fazer várias vezes a 
integração por partes até que você encontre a primeira integral novamente. 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
14 
26) 
 ∫ ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 ∫ 
 ( )
 
 
 ∫ 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 ∫ ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 
 
 
 ∫ 
 ( )
 
 
 ∫
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
Voltando à equação I: 
 ( )
 
 
 
 
 
( ( )
 
 
 
 
 
 ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
15 
 
 
 (
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )) 
 
 
 
 (
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )) 
27) 
 ∫ ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 ∫ 
 ( ) ∫ ( ) 
 ( ) ∫ ( ) 
 ∫ ( ) 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ∫ ( ) 
 ( ) ( ) 
Voltando à equação I: 
 ( ) ( ( ) ( ) ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
16 
28) 
 ∫
 ( )
√ ( )
 
 ∫
 ( ) ( )
√ ( )
 
 ∫
( ( )) ( )
√ ( )
 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫
( )
√ 
 
 ∫( 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
29) 
 ∫( ) ( ) 
 ∫ ( ) ∫ ( ) 
 ∫ ( ) 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 ∫ 
 
 ( )
 
 ∫
 ( )
 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
17 
Voltando à equação I: 
 ( 
 ( )
 
 
 ( )
 
) ∫ ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
30) 
 ∫ √ 
 √ √ 
 
 √ 
 
 
 ∫ 
 √ ∫ √ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
∫ √ 
 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 √ 
 √ ∫ 
 √ 
 √ √ 
 √ ( 
 
 
) 
31) 
 ∫ ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ∫ 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
18 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
∫ ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
32) 
 ∫
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( ) 
33) 
 ∫
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
19 
34) 
 ∫
 ( ( ))
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 ( ) 
 ( ( )) 
35) 
 ∫ ( ) 
 ∫ ( ) ( ) 
 ∫( ( )) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 
36) 
 ∫ ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫ 
 
 ( ) 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
20 
37) 
 ∫
 
 
 
Integração de funções racionais (Ou super pulo do gato): 
∫
 
( ) 
 
∫
 
( ) 
 (
 
 
) ( ) 
∫
 
( ) 
 (
 
 
) ( ) 
Vamos forçar o polinômio para que ele se encaixe dentro de um dos modelos acima: 
 ∫
 
 
 
 ∫
 
( ) 
 
 ∫
 
( ) 
 
 (
 
 
) 
38) 
 ∫
 
 
 
 
 ∫ ∫
 
 
 
 ( ) 
 ∫ ∫
 ( ) 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
21 
 ∫ ∫
 ( )
 
 ∫
 
 
 
 ( ) 
 
 ( )
 
 ∫ ∫
 
 
 ∫
 
 
 
 ∫ ∫
 
 
 ∫
 
 
 
 ∫ ∫
 
 
 ∫
 
( ) 
 
 | | |
 
 
| 
 | | |
 
 
| 
 | | |(
 
 
)
 
| 
 |( ) (
 
 
)
 
| 
39) 
 ∫
 
 
 
 ∫( ) ∫
 
 
 
 
 ∫( ) ∫
 
 
 
 | | 
 ( ) | | 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
22 
40) 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( )
 
∫
 
 ( )
 ∫ 
 
 
∫
 
 ( )
 
 
 
 | | 
 | | 
 
 
 
 
Substituindo as informações dadas: 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 | |
 
 
 
Tempo de meia-vida: 
 
 | | 
 
 | |
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
23 
41) 
Vamos aproveitar a equação feita acima: 
 
 
E substituir as informações dadas: 
 
 | | 
Então temos a expressão: 
 
Tempo de meia-vida: 
 
 | | 
Observe que a expressão para encontrar o tempo de meia-vida foi o mesmo: 
 
 
 
 
 
 
 
42) 
Quantidade de sal presente em qualquer instante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
24 
 
 
 
∫
 
 ( )
 ∫ 
 
 
 
 | ( )| 
 | ( )| 
 
 
( ) 
 ( ) 
 
 
( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Substituindo as informações: 
 
 ( ) 
 
 
Após 1 hora: 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
43) 
 
 
 ( ) 
 
 ( )
 
 
 
∫
 
 
 ∫ 
 
 
 
 | | 
 | | ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
25 
Substituindo as informações: 
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
|Tempo para se atingir temperatura de 51°C: 
 
 
 
 
 |
 
 
| 
44) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 
 |
 
 
| 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
26 
45) 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( )
 
∫
 
 ( )
 ∫ 
 
 
∫
 
 ( )
 
 
 
 | ( )| 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 
Substituindo as informações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
Expressão geral: 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
27 
46) 
 
 
( ) 
 ( ) 
∫ ∫( ) 
 
Substituindo as informações: 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
47) 
 
 
 ( 
 
( ) 
) 
 ( 
 
( ) 
) 
∫ ∫( 
 
( ) 
) 
 ( 
 
 
) 
Substituindo os valores: 
 ( 
 
 
) 
 
 ( 
 
 
) 
Na 7ª semana: 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
28 
48) 
 ( ) 
 
 
 ( ) ∫ ( ) 
 ( ) ∫( 
 
 ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49) 
 
 
 (
 
 
∫ ( ) 
 
 ) 
 
 
 (
 
 
∫ 
 
 ) 
 (
 
 
∫ ) 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
29 
 (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
( 
 
 
 
 
 
) 
50) 
 
 a) 
 ∫
√ 
 
 
 
 
 
∫(
 
√ 
 
 
 
) 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 | | 
 b) 
 ∫( ) 
 ∫ ∫ 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 ( 
 
 
 
 
 
∫ ) ∫ 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
30 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 c) 
 ∫ ( ) ( ) ( ( )) 
 ( ) ( ) 
 
 ( )
 
 ∫ ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 ( )
 
 
 ∫
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
∫ 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 ( ( ))
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) (
 
 
 ( ( )) 
 
 
) 
 
 Resolução Comentada – Integral indefinida 
31 
 d) 
 ∫
 ( )
 √ ( )
 
 ( ) 
 
 
 
 ∫
 
√ 
 
 ∫
 
√ 
 
Regra 20 da tabela: 
 | √ | 
 | ( ) √ ( ) |