Exercícios resolvidos FIsica 1

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Unidade 5 Conservação do momento linear e colisões 
5.1 Movimento do centro de massa 
Até agora os objetos foram tratados como se fossem partículas, ou seja, 
possuíssem massa, mas não tendo dimensões. Isto não é problema para o caso do 
movimento de translação de um corpo rígido, pois qualquer um de seus pontos, à 
medida que o tempo passa, sofre o mesmo deslocamento que qualquer outro ponto, de 
tal maneira que o movimento de uma partícula representa o movimento de todo o 
corpo. 
A situação parece ficar mais complicada quando o corpo roda ou vibra enquanto 
se desloca, e ainda mais complicada se, em vez de um corpo, descrevemos o movimento 
de um sistema de partículas. Veremos, nesta unidade, que há um ponto denominado 
centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única 
partícula, sujeita ao mesmo sistema de forças externas. Assim, o movimento de 
qualquer corpo ou sistema de partículas pode ser descrito em termos do movimento do 
centro de massa. 
Vamos considerar, inicialmente, um sistema simples de duas partículas com 
massas e a distâncias e , respectivamente, de uma origem , sobre o eixo . 
A posição do centro de massa do sistema é dada por: 
 
 
 
 
(5.1) 
 De (5.1) nota-se que o centro de massa tem a seguinte propriedade: o produto de 
sua distância à origem pela massa total do sistema ( ) é igual à soma dos 
produtos de cada uma das massas pela sua respectiva distância à origem, isto é, 
( ) (5.2) 
Para um sistema com partículas, , ao longo de uma linha reta, por 
definição, o centro de massa destas partículas, em relação a uma origem é: 
 
 
 
 
∑ 
∑ 
 
(5.3) 
onde são as distâncias das massas à origem em relação a qual foi 
medido. 
Para um grande número de partículas num plano, as coordenadas do centro de 
massa e são dadas por: 
{
 
 
 
∑ 
 
 
 
∑ 
 
 
(5.4) 
em que ( ∑ ) é a massa total do sistema. 
Podemos generalizar o problema para um grande número de pontos materiais 
distribuídos no espaço. As coordenadas , e do centro de massa são definidas 
pelas relações: 
{
 
 
 
 
 
 
∑ 
 
 
 
∑ 
 
 
 
∑ 
 
 
 
(5.5) 
2 
 
A posição do centro de massa é independente do sistema de coordenadas usado 
para localizá-lo. O centro de massa de um sistema de pontos materiais depende somente 
das massas dos referidos pontos e das posições relativas destas. 
 No caso de um corpo rígido, que pode ser imaginado como um sistema de pontos 
materiais agrupados muito juntos, as coordenadas do centro de massa são dadas por: 
{
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 
∫ 
 
 
 
(5.6) 
Escrevendo a equação (5.3) como e 
diferenciando duas vezes em relação ao tempo obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5.7) 
na qual é o componente da aceleração da primeira partícula, etc., e 
 
 ⁄ é 
o componente da aceleração do centro de massa. Sendo o componente segundo o 
eixo dos da força resultante atuante sobre a primeira partícula, temos, pela segunda 
lei de Newton, , , etc. 
A equação (5.7) pode ser escrita da seguinte maneira: 
 (5.8) 
em que é o componente da aceleração do centro de massa. 
Equações semelhantes podem ser consideradas para os componentes e . As três 
equações escalares podem ser resumidas numa única equação vetorial: 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (5.9) 
A equação (5.9) mostra que a massa total do conjunto de pontos materiais, 
multiplicada pela aceleração do seu centro de massa é igual à soma vetorial de todas as 
forças que atuam sobre o conjunto. No entanto, entre todas estas forças existem as 
forças internas exercidas pelos próprios pontos materiais entre si e, pela terceira lei de 
Newton, estas forças atuam em pares do tipo ação-reação e não contribuem para a soma 
em (5.9), que pode ser escrita como: 
 ⃗ ∑ ⃗ 
(5.10) 
O resultado expresso em (5.10) assegura que o centro de massa do sistema de pontos 
materiais se move como uma partícula de massa ∑ sob a influência da 
resultante das forças externas atuando sobre o sistema. Logo, o movimento do centro 
de massa representa o movimento de translação de todo o corpo. Este, na verdade, é o 
procedimento implícito em todos os diagramas de forças e resolução de problemas. 
5.2 Conservação do momento linear 
O momento linear, também chamado de quantidade de movimento linear (ou 
momentum1) de uma partícula é definido como o produto de sua massa pela sua 
velocidade, ou seja, 
 ⃗ ⃗ (5.11) 
 
1
 A expressão momentum (plural momenta) foi cunhada por Newton com o significado de “inércia em 
movimento”. Em português é traduzida para quantidade de movimento. No entanto, alguns livros trazem 
o termo momento linear ou, simplesmente, momento. Aqui vamos usar o termo momento linear. 
3 
 
Se, ao invés de uma única partícula tivermos um sistema de partículas de massas 
 , o momento linear total será dado por: 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (5.12) 
Tomando a taxa de variação de (5.12) em relação ao tempo, obtém-se: 
 ⃗⃗
 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
 ⃗⃗
 
 ∑ ⃗ 
 
(5.13) 
De (5.10) tem-se que: 
∑ ⃗ 
 
 
( ⃗ ) 
 
(5.14) 
De modo que (5.13) fica: 
 ⃗⃗
 
 
 
 
( ⃗ ) 
 
(5.15) 
ou seja, 
 ⃗⃗ ⃗ (5.16) 
Indicando que o momento linear total de um sistema de pontos materiais é igual 
ao produto da massa total do sistema pela velocidade do seu centro de massa. 
Se a resultante das forças externas que atuam em um sistema for nula, então da 
segunda lei de Newton: 
∑ ⃗ 
 ⃗⃗
 
 
 ⃗⃗
 
 ⃗⃗ 
 
(5.17) 
O resultado expresso por (5.17) mostra que se a resultante das forças externas 
que atuam em um sistema de partículas é nula, o vetor momento linear do sistema 
permanece constante. Este resultado simples, mas realmente geral, é chamado 
princípio de conservação do momento linear. O momento linear individual das 
partículas que compõem o sistema pode sofrer variações, mas sua soma permanece 
constante se a resultante das forças externas é nula. 
As partículas podem interagir entre si, mas estas interações não irão modificar o 
momento linear total do sistema, já que as forças de interação mútua entre duas 
partículas constituem um par ação-reação, não contribuindo para mudar o momento 
linear total do sistema de partículas. Do princípio de conservação do momento linear 
tem-se que um sistema não pode deslocar o seu CM sob a ação puramente de força 
internas. Além disso, o resultado obtido na equação (5.17) leva a uma generalização da 
lei da inércia: se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema se anula, 
o CM do sistema permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. 
5.3 Energia e momento linear 
Agora que já sabemos que tanto a energia cinética quanto o momento linear 
dependem do movimento, é bom deixar bem claro que são grandezas físicas diferentes. 
Enquanto a energia cinética é uma grandeza escalar, o momento linear é uma grandeza 
vetorial. 
Outra diferença entre energia cinética e momento linear é a dependência em 
relação à velocidade: o momento linear (grandeza vetorial) é proporcional à velocidade 
( ⃗ ⃗) e a energia cinética (grandeza escalar) é proporcional ao quadrado da 
velocidade ( 
 
 
 ). Isto faz toda a diferença. Vamos considerar o caso de uma bola 
com de massa com velocidade igual a⁄ e uma pedra de com velocidade 
de ⁄ . Os momentos lineares da bola e da pedra são: 
 ( )( ⁄ ) ⁄ 
4 
 
e: 
 ( )( ⁄ ) ⁄ 
Entretanto, sabemos que se alguém for atingido pela pedra o “estrago” será maior 
do que se for atingido pela bola. Por que isto acontece se ambos possuem a mesma 
quantidade de movimento? 
Vamos calcular a energia cinética da bola e da pedra: 
 
 
 
( )( ⁄ ) 
e: 
 
 
 
( )( ⁄ ) 
ou seja, a pedra tem 10 vezes mais capacidade de realizar trabalho! O momento linear 
fornece apenas impacto, enquanto a energia produz os danos. 
5.4 Sistemas de massa variável
 Os resultados obtidos até aqui parecem implicar que o deslocamento de um corpo 
só é possível se existirem forças externas capazes de impulsioná-lo. Assim, somos 
capazes de caminhar porque empurramos o solo para trás e o atrito com o solo nos 
impele para frente. Entretanto, existe outro método de propulsão de grande 
importância prática, exemplificado pelo recuo de um canhão: mesmo na ausência de 
atrito com o solo, o canhão se deslocará para trás ao disparar a bala. Isto é possível 
porque a massa inicial ( ) diminui após o disparo, se for considerado só o 
deslocamento do canhão (o do sistema permanece em repouso). 
Assim, se a massa de um corpo é variável, ele pode ser impulsionado sob a ação 
puramente de forças internas. 
 Supondo que num instante inicial (Figura 5.1) um astronauta estivesse flutuando 
no espaço, longe de qualquer campo gravitacional (∑ ⃗ ). Ele estaria se deslocando 
em movimento retilíneo uniforme com velocidade ⃗ em relação a um referencial 
inercial. Considerando que o astronauta segura um revólver, e no instante dispara uma 
bala de massa . Se a massa do (vazio) é , a massa inicial do 
sistema é: 
 ( ) (5.19) 
 
Figura 5.1 – Astronauta estivesse flutuando no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. 
Fonte: Nussenzveig, 2002, p.159. 
Seja ⃗ a velocidade com que a bala escapa em relação ao revólver. A 
velocidade ⃗ da bala em relação ao referencial inercial é dada por: 
 ⃗ ⃗ ⃗ (5.20) 
Num instante após o disparo, a massa do é: 
 ( ) (5.21) 
5 
 
e sua velocidade é: 
 ⃗( ) ⃗ ⃗ (5.22) 
Como ∑ ⃗ por hipótese, o momento linear total do sistema, ⃗⃗ se conserva. Assim: 
 ⃗⃗( ) ( ) ⃗ (5.23) 
 ⃗⃗( ) ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗ ) (5.24) 
de forma que a conservação do momento linear implica: 
 ⃗⃗ ⃗⃗( ) ⃗⃗( ) ⃗ ⃗ (5.25) 
o que dá: 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
(5.26) 
A variação de massa do sistema cuja velocidade variou de ⃗ é: 
 ( ) ( ) (5.27) 
ou seja, é negativa (o sistema do perdeu a massa da bala). A 
equação (5.26) pode então ser rescrita como: 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
(5.28) 
Se agora o astronauta substituir o revólver por uma pistola de jato, que ejete 
material (água ou gás) continuamente, a massa do astronauta (nela compreendida a 
massa da pistola) varia continuamente com o tempo, e pode-se chamar de ( ) a massa 
no instante . Supondo que a velocidade de ejeção ⃗ em relação à pistola é uma 
característica da mesma, permanecendo constante, a equação (5.28), que se aplica à 
variação de velocidade ⃗ do astronauta durante um intervalo de tempo , permite 
chegar à equação: 
 
 ⃗
 
 
 
 
 ⃗ 
 
(5.29) 
Passando ao limite em que , obtém-se: 
 
 ⃗
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
(5.30) 
onde ⃗ ⃗ é a velocidade relativa de ejeção de material em relação à pistola. 
Se ⁄ é constante durante certo período, então ⃗ também é constante, 
de modo que o segundo membro de (5.30) equivale (no sentido de ⃗ ⃗) a uma força 
constante exercida sobre o astronauta. Esta “força” chama-se o empuxo devido à 
ejeção de massa. 
Entretanto, como ( ) é variável em (5.30), o segundo membro não 
corresponde à taxa de variação temporal do momento linear do astronauta. Com efeito, 
como ⃗( ) ( ) ⃗( ) é a expressão do momento linear, tem-se que: 
 ⃗
 
 
 
 
 ⃗ 
 ⃗
 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ 
 
(5.31) 
onde foi utilizado o resultado expresso em (5.29). Logo, 
 ⃗
 
 
 
 
( ⃗ ⃗ ) 
 
(5.32) 
onde a expressão entre parênteses, pela (5.20), representa a velocidade da massa 
ejetada em relação ao referencial inercial adotado. Neste referencial, o segundo 
membro de (5.30) também equivale a uma força, no sentido de ⃗ ⃗ ⁄ . 
6 
 
Se, além das forças internas já consideradas, atuam também forças externas, 
basta acrescentá-las em (5.30) e (5.31): 
 
 ⃗
 
 
 
 
 ⃗ ⃗ 
 ⃗
 
 
 
 
( ⃗ ⃗ ) ⃗ 
 
(5.33) 
Embora deduzida no caso particular do astronauta, a equação de movimento de 
um sistema de massa variável, em qualquer das duas formas em (5.31), se aplica a 
situações bem mais gerais. Nestas expressões, ⃗ sempre representa a velocidade 
relativa ao sistema de massa variável dos elementos de massa dele removidos (ou a 
ele acrescentados, num caso em que a massa esteja crescendo) (NUSSEZVEIG, 2002). 
5.5 Impulso e momento linear 
 Se uma força externa ⃗ atua sobre um ponto material durante um intervalo de 
tempo muito pequeno , segue da Segunda Lei de Newton que: 
 ⃗ 
 ⃗
 
 ⃗ ⃗ 
 
(5.34) 
 A variação no momento linear (momentum ou quantidade de movimento) ⃗ ⃗, 
durante um dado intervalo de tempo , em que a força externa ⃗ atua sobre o 
ponto material é dada por: 
 ⃗ ⃗ ⃗ ∫ ⃗
 
 
 ∫ ⃗ 
 
 
 
 
(5.35) 
onde os índices (= inicial) e (= final) se referem aos instantes “antes” e “depois” da 
força externa ⃗ ter atuado sobre o ponto material. 
 A integral definida em (5.35) é denominada de impulso, ⃗ da força externa ⃗. Em 
consequência, a variação do momento linear de um corpo sobre o qual atua uma força 
impulsiva é igual ao impulso ⃗. Uma força impulsiva tem como característica o fato de 
ser extremamente intensa, porém atuando durante um intervalo de tempo 
extremamente curto, o “tempo de colisão”. 
5.6 Colisões elásticas e inelásticas 
Uma colisão entre duas partículas é um processo em que uma é lançada contra a 
outra, podendo trocar energia e momento linear em consequência da interação entre as 
partículas (Figura 5.2). As “partículas” podem ser corpos macroscópicos ou pertencer à 
escala atômica ou subatômica. O resultado da colisão pode ser extremamente variado. 
Podem emergir as mesmas duas partículas, caso em que o processo é denominado de 
espalhamento, como na colisão entre duas bolas de sinuca. Por outro lado, pode 
emergir um sistema muito diferente: uma só partícula, duas partículas diferentes das 
iniciais (reações químicas, reações nucleares) ou mais de duas partículas (fragmentação, 
colisões de alta energia entre “partículas elementares”). 
 
Figura 5.2 – Processo de colisão: (a) configuração inicial. (b) Processo de colisão. (c) Configuração final. 
Fonte: Nussenzveig, 2002, p.169. 
 A energia total do sistema de partículas sempre se conserva numa colisão, como 
7 
 
em qualquer processo físico, embora uma parte da energia mecânica possa converter-se 
em outras formas de energia, como o calor. Entretanto, mesmo nas colisões em que a 
energia mecânica se conserva (forças de interação conservativas), parte da energia 
cinética pode converter-se em energia potencial, ou vice-versa. 
 Quando numa colisão a energia cinética final é igual à energia cinética inicial, esta 
é dita ser uma colisão elástica. Qualquer outra colisão é uma colisão inelástica. Numacolisão inelástica a energia cinética final poder ser maior ou menor que a inicial. Um 
exemplo em que é maior é a explosão de uma granada ao colidir com o solo. Neste caso, 
energia química armazenada no explosivo se converte em energia cinética dos 
fragmentos. 
 Em geral, as colisões nem são perfeitamente elásticas nem completamente 
inelásticas, mas podem enquadrar-se entre estes extremos. A colisão entre duas bolas de 
sinuca não é perfeitamente elástica. Quando elas se chocam, ouvimos um som: logo, 
parte da energia é convertida em vibrações, que dão origem a ondas sonoras. Há 
também um (ligeiro) aquecimento da superfície de contato, ou seja, conversão parcial 
de energia mecânica em calor. Entretanto, a perda total de energia cinética é pequena – 
tipicamente, da ordem de 3% ou 4%, e pode-se desprezá-la com boa aproximação, 
tratando a colisão como se fosse elástica. 
 É sempre possível caracterizar a dissipação de energia de uma colisão 
especificando um único número , chamado de coeficiente de restituição, que 
representa a razão das velocidades relativas antes e depois da colisão. Colocada em 
termos matemáticos, o coeficiente de restituição é dado por: 
 
 
 
 
(5.36) 
De (5.36) é evidente que para uma colisão perfeitamente elástica, . Para uma 
colisão perfeitamente inelástica, . 
5.7 Colisões elásticas unidimensionais 
 Sejam duas partículas que se movem ao longo de uma reta e colidem 
elasticamente. Sejam e as massas, e e as velocidades iniciais antes da 
colisão. A velocidade relativa deve satisfazer à condição: 
 (5.37) 
para que haja colisão. Supondo que esta condição seja satisfeita e que as partículas 
estão sujeitas apenas às forças internas de interação que atuam durante a colisão, de 
modo que o momento linear total do sistema se conserva: 
 (5.38) 
 Como por hipótese a colisão é elástica, a energia cinética total também se 
conserva. Convém exprimi-la em termos dos momentos lineares das partículas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5.39) 
 Dada a configuração inicial ( ), (5.38) e (5.39) são duas equações nas duas 
incógnitas ( ), que determinam a configuração final. Para resolvê-las, (5.36) pode 
ser escrita na forma: 
 (5.40) 
e (5.39) como: 
 
 
 ( 
 
 ) (5.41) 
onde foi introduzido o parâmetro adimensional: 
8 
 
 
 
 
 
(5.42) 
 Dividindo membro a membro (5.41) por (5.40) obtém-se: 
 ( ) (5.43) 
 As equações (5.40) e (5.43) constituem um sistema de duas equações lineares nas 
duas incógnitas ( ). A equação (5.43), expressa em termos das velocidades das 
partículas, dá: 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
ou seja, 
 ( ) (5.44) 
Isto significa que a velocidade relativa entre as duas partículas se inverte em 
consequência da colisão, o que é característico de uma colisão elástica em uma 
dimensão. 
 Resolvendo o sistema formado pelas equações (5.40) e (5.43) obtém-se: 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
(5.45) 
 As equações (5.45) podem ser escritas em termos das velocidades (bastando usar 
 ): 
 (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
(5.46) 
Casos particulares: 
i) massas iguais 
 Neste caso, ⁄ , de modo que (5.45) e (5.46) dão: 
,
 
 
 ,
 
 
 
 
 
 
(5.47) 
ou seja, as partículas trocam entre si os momentos lineares e as velocidades. 
ii) Alvo em repouso 
 Neste caso, 
 (5.48) 
o que elimina os últimos termos do 2o membro em (5.45) e (5.46). Nesta situação, têm-
se dois casos extremos: 
a) 
 As equações (5.43) dão, neste caso, 
{
 
 
 
 
 
 
 
(5.49) 
Logo, quando uma partícula muito leve colide com outra muito pesada em repouso, a 
partícula leve é praticamente refletida para trás com velocidade igual e contrária à 
incidente, ao passo que a partícula pesada sofre um recuo com velocidade muito 
9 
 
pequena (tanto menor quanto menor a razão das massas). Um exemplo é a colisão 
elástica de uma bola com a superfície da Terra: o recuo sofrido pela Terra é desprezível. 
b) 
 Neste caso, as equações (5.46) dão: 
{
 
 
 
 
(5.50) 
Logo, na colisão elástica de uma partícula muito pesada com outra muito leve em 
repouso, a partícula pesada quase não é freada (“ignora” a presença da outra partícula), 
mas a leve é lançada para frente com o dobro da velocidade da partícula incidente. Um 
exemplo é o que ocorre quando uma bola bate num dos pinos no jogo de boliche 
(NUSSENZVEIG, 2002). 
5.8 Colisões unidimensionais totalmente inelásticas 
 Numa colisão totalmente inelástica entre duas partículas a energia cinética final 
não se anula, mas assume o menor valor possível, que é o valor da energia cinética 
associada ao movimento do centro de massa (CM). Com efeito, as forças que atuam na 
colisão sendo forças internas, o CM tem de permanecer em movimento retilíneo e 
uniforme, e o valor mínimo da energia cinética é aquele correspondente a esse 
movimento. 
 A conservação do momento linear dá agora: 
 ( ) (5.53) 
o que determina : 
 
 
 
 
 
(5.54) 
 Logo, a conservação do momento linear basta para determinar a configuração final 
de uma colisão totalmente inelástica (NUSSENZVEIG, 2002). 
5.9 Colisões elásticas bidimensionais 
 O tratamento de colisões em mais de uma dimensão será restringido ao caso em 
que o alvo está em repouso, já que este é o caso mais frequente na prática. Além disso, 
se ⃗ é a velocidade do alvo antes da colisão, basta passar para um referencial em 
movimento com essa velocidade (que é também inercial) para reduzir a situação à 
anterior, de forma que ela não envolve restrição de generalidade. 
 Para fixar as ideias, seja o caso, ilustrado na Figura 5.2, da colisão entre duas bolas 
de sinuca, com o alvo (massa ) inicialmente em repouso e a partícula incidente 
(massa ) tendo uma velocidade inicial ⃗ . O momento linear do sistema na 
configuração inicial é então: 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗ (5.55) 
Entretanto, para caracterizar a configuração inicial, os dados acima não são mais 
suficientes. É preciso ainda a que distância a partícula incidente passaria da outra se 
não houvesse colisão. Essa distância chama-se o parâmetro de impacto. Na Figura 5.2, 
é a distância entre a linha de movimento inicial do centro da partícula incidente e o 
centro do alvo. O resultado da colisão é muito diferente conforme o valor de . Por 
exemplo, para , tem-se uma colisão frontal, que é essencialmente unidimensional; 
se o parâmetro de impacto é maior que a soma dos raios das duas bolas, não há 
colisão.
10 
 
 
Figura 5.3 – Colisão elástica bidimensional. Fonte: Nussenzveig, 2002, p.176. 
 Se ⃗ e ⃗ são os momentos lineares finais das duas partículas, o momento linear 
do sistema na configuração final é: 
 ⃗ ⃗ ⃗ (5.56) 
Esta relação mostra que os três vetores pertencem ao mesmo plano, que se chama plano 
de colisão. 
 A equação (5.56) equivale a duas equações escalares para os componentes e 
dos vetores: 
{
 
 
 
 
(5.57) 
 As energias cinéticas inicial e final são dadas por: 
 
 
 
 
 
 
(5.58) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5.59) 
 Como a colisão é elástica, , ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(5.60) 
 Na realidade, o sistema formado pelas duas equações (5.57) e por (5.60)representam três equações escalares nas quatro incógnitas , , e . Isto 
significa que não é possível, em geral, determinar a configuração final sem fornecer 
mais um dado (isto foi possível no caso unidimensional porque ou e neste 
caso). O dado extra pode ser o parâmetro de impacto , se as forças de interação são 
conhecidas, pois isto permite, em princípio, calcular as trajetórias. 
 Considerando primeiro o caso particular de uma colisão elástica entre partículas de 
mesma massa. 
a) Massas iguais 
 Seja . Neste caso, (5.60) dá então: 
 
 
 
 (5.61) 
 Elevando ao quadrado ambos os membros de (5.56) (ou seja, tomando o produto 
11 
 
escalar dos vetores por eles mesmos), obtemos: 
 
 ( ⃗ ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ) 
 
 ⃗ ⃗ (5.62) 
o que representa a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores ⃗ , ⃗ 
e ⃗ . 
 Comparando as equações (5.61) e (5.62), conclui-se que: 
 ⃗ ⃗ 
 
 
 (5.63) 
 O resultado expresso em (5.63) indica que as direções de movimento de duas 
partículas de massas iguais, após uma colisão elástica bidimensional com uma 
inicialmente em repouso, são perpendiculares. 
b) Caso geral 
 No caso geral em que e são diferentes, (5.60) se escreve como: 
 
 ( 
 
 ) (5.64) 
onde, 
 
 
 
 
(5.65) 
 Por outro lado, (5.56) dá: 
 
 ( ⃗ ⃗ )
 
 
 
 
(5.66) 
que também representa a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores 
 ⃗ , ⃗ e ⃗ . Igualando (5.64) e (5.66), obtém-se: 
( ) 
 ( ) 
 (5.67) 
que é uma equação do 2o grau na incógnita , cujas raízes são: 
 
 
 
* √ ( )+ 
(5.68) 
Para que as raízes em (5.63) sejam reais deve-se ter: 
 ( 
 ) (5.69) 
ou seja, 
 ( 
 ) (5.70) 
i) 
 Neste caso, , de maneira que (5.70) é sempre satisfeita, qualquer que seja , 
 . Por outro lado, o radical em (5.68) é sempre para , de modo 
que só é aceitável a solução com sinal positivo. 
ii) 
 Neste caso, e (5.70) leva a: 
 
 
 
 (5.71) 
ou seja, existe um valor máximo do ângulo . 
 Em particular, se , também é , de modo que uma partícula pesada 
que colide elasticamente com uma partícula leve em repouso quase não sofre deflexão. 
 Para as duas raízes em (5.68) são aceitáveis (dão ); pode-se verificar 
que elas correspondem a valores diferentes de (colisões com parâmetros de impacto 
diferentes). 
12 
 
Exercício 5.1 
Sejam duas partículas separadas por uma distância . Onde está localizado o 
centro de massa nas seguintes situações: (a) ; (b) ⁄ e (c) ? 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ ; (c) ⁄ . 
Exercício 5.2 
Três bolas A, B e C, com massas de , e , respectivamente, são 
conectadas por hastes de massas desprezíveis. As bolas estão localizadas como na figura 
a seguir. Quais são as coordenadas do centro de massa? 
 
Resposta: ; . 
Exercício 5.3 
A figura a seguir mostra uma molécula de amônia ( ), onde três átomos de 
hidrogênio ( ) formam um triângulo equilátero com o centro do triângulo a uma 
distância de cada átomo de hidrogênio. O átomo de nitrogênio ( ) 
está no vértice superior de uma pirâmide, com os três átomos de hidrogênio formando a 
base. A razão entre as massas do nitrogênio e do hidrogênio é , e a distância 
nitrogênio-hidrogênio é . Quais são as coordenadas do centro de 
massa da molécula? 
 
Resposta: ; 
 . 
Exercício 5.4 
Uma pedra é deixada cair em . Uma segunda pedra, com massa duas vezes 
maior, é deixada cair do mesmo ponto em . (a) Supondo que as pedras ainda 
não tenham atingido o solo em , a que distância do ponto inicial de queda 
está o centro de massa das duas pedras? (b) Qual é a velocidade do centro de massa das 
duas pedras nesse instante? Respostas: (a) ; (b) ⁄ . 
Exercício 5.5 
Um projétil é lançado a ⁄ , fazendo um ângulo de com o horizonte. 
Durante o seu movimento, explode, dividindo-se em duas partes, uma das quais sendo o 
dobro da massa da outra. Os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo. O 
fragmento mais leve bate num ponto a do lançamento, na direção do tiro inicial. 
Onde fica o ponto de impacto do outro fragmento? Resposta: 
13 
 
Exercício 5.6 
Um carro de está parado em um sinal de trânsito. No instante em que o 
sinal abre, o carro começa a se movimentar com uma aceleração constante de ⁄ . 
No mesmo instante, uma caminhonete de , movendo-se no mesmo sentido com 
velocidade constante de ⁄ , ultrapassa o carro. (a) Qual é a velocidade entre o CM 
do sistema carro-caminhonete e o sinal de trânsito em ? (b) Qual é a velocidade 
do CM nesse instante? Respostas: (a) ; (b) ⁄ . 
Exercício 5.7 
(a) Vimos que o centro de massa comporta-se como se toda a massa estivesse 
concentrada nesse único ponto e todas as forças externas que atuam no corpo 
estivessem aplicadas nesse ponto. É, então, necessário existir massa no centro de 
massa? 
(b) Imagine a situação de uma pessoa em pé na popa de uma canoa parada num lago 
de águas calmas e sem vento. Em dado momento, a pessoa caminha em direção à 
proa e observa que a canoa recua em direção contrária. Explique este fato com 
base no princípio de conservação do momento linear. 
(c) Com base na lei de conservação do momento linear, explique por que toda arma 
recua após disparar. 
Exercício 5.8 
 Uma pessoa de massa se agarra a uma escada de corda 
pendurada na parte de baixo de um balão de massa (incluindo 
o passageiro na cesta). O balão está inicialmente em repouso em relação 
ao solo. (a) Se essa pessoa começar a subir a escada com velocidade 
 ⁄ (em relação à escada), em que direção e com que velocidade 
(em relação ao solo) o balão se moverá? (b) Qual a velocidade escalar do 
balão depois que a pessoa para de subir a escada? 
Respostas: (a) Para baixo com velocidade ⁄ . (b) O balão ficará estacionário. 
Exercício 5.9 
Um estudante em férias decide fazer um passeio de canoa num lago tranquilo. 
Durante o passeio decide parar num bar que fica numa plataforma flutuante para tomar 
um refrigerante. Ao encostar a proa da canoa na plataforma flutuante para sair percebe 
um problema. Quando caminha da popa para a proa, a canoa se move em sentido 
contrário afastando-se do flutuante, dificultando sua saída. Desprezando o atrito entre a 
canoa e a água, e supondo que o estudante, com de massa, tenha caminhado 
 da popa para a proa da canoa que possui de massa, qual será o 
afastamento (em metros) da canoa em relação ao flutuante? Resposta: 
Exercício 5.10 
Uma pessoa de está em pé próxima à popa de uma canoa de a uma 
distância da margem. Em dado instante começa a caminhar em direção à proa 
que aponta diretamente para a margem, percorrendo a distância de ao longo da 
canoa parando próximo à proa. Supondo que não há atrito entre a canoa e a água, 
determine a nova distância entre essa pessoa e a margem. Resposta: . 
Exercício 5.11 
Uma metralhadora atira balas de com velocidade de ⁄ . O atirador, 
segurando a metralhadora com suas mãos, pode exercer uma força de , sobre a 
arma. Determine o número máximo de balas que ele pode atirar por minuto. 
Resposta: 216. 
14 
 
Exercício 5.12 
 Considere um foguete que está no espaço sideral e em repouso em relação a um 
referencial inercial. O motor do foguete é acionado por certointervalo de tempo. 
Determine a razão de massa do foguete (razão entre as massas inicial e final) neste 
intervalo para que a velocidade original do foguete em relação ao referencial inercial 
seja igual (a) à velocidade de exaustão dos gases (em relação ao foguete) e (b) duas 
vezes à velocidade de exaustão? Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ . 
Exercício 5.13 
Um foguete, situado no espaço longínquo e inicialmente em repouso em relação a 
um sistema inercial, tem uma massa de , da qual é de 
combustível. O motor do foguete fica então ligado por , durante os quais se 
consome combustível a uma taxa de ⁄ . A velocidade dos produtos de exaustão 
em relação ao foguete é de ⁄ . (a) Qual o empuxo do foguete? Após os de 
funcionamento do motor, quais são (b) a massa e (c) a velocidade escalar do foguete? 
Respostas: (a) . (b) 
 e (c) ⁄ . 
Exercício 5.14 
Em uma brincadeira comum, mas muito perigosa alguém puxa a cadeira quando 
uma pessoa está prestes a se sentar, fazendo com que a vítima caia sentada no chão. 
Supondo que a vítima possui , tenha caído de uma altura de e que a colisão 
com o piso dure , quais são os valores (a) do impulso e (b) da força média aplicada 
sobre a pessoa durante a colisão? Respostas: (a) ; (b) ̅ . 
Exercício 5.15 
Um jogador de futebol chuta uma bola com massa de que se encontra em 
repouso. O pé do jogador fica em contato com a bola por e a força do chute é 
dada por ( ) [( ) ( ) ] , para , onde está em 
segundos. Determine a intensidade (a) do impulso sobre a bola devido ao chute, (b) da 
força média do pé do jogador sobre a bola durante o contato, (c) da força máxima 
exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato e (d) da velocidade da bola 
imediatamente após perder o contato com o pé do jogador. 
Respostas: (a) (b) ̅ (c) 
 (d) ⁄ . 
Exercício 5.16 
O bloco A (com massa de ) desliza em direção ao bloco B (com massa de 
 ) ao longo de uma superfície sem atrito. Os sentidos das velocidades antes (i) e 
depois (f) da colisão estão indicados na figura a seguir. As velocidades são: ⁄ ; 
 ⁄ e ⁄ . Determine: (a) o módulo e (b) o sentido da velocidade do 
bloco A após a colisão. (c) A colisão é elástica? 
 
Respostas: (a) ⁄ . (b) Continua movendo-se para a direita. (c) Sim. 
Exercício 5.17 
Uma bola de aço de está presa a uma corda de de comprimento e é 
solta quando a corda está horizontal. Na parte inferior de sua trajetória choca-se contra 
um bloco de metal de que está inicialmente em repouso em uma superfície 
15 
 
horizontal sem atrito, conforme indicado na figura a seguir. A colisão é elástica. 
Encontre a velocidade da bola e do bloco, imediatamente após o impacto. 
 
Respostas: ⁄ e ⁄ . 
Exercício 5.18 
 Uma bala de que se move verticalmente para cima a 
 ⁄ se choca com um bloco de , inicialmente em repouso, 
passando pelo seu centro de massa. A bala deixa o bloco movendo-se 
verticalmente para cima a ⁄ . Que altura máxima o bloco atinge 
em relação à posição inicial? Resposta: . 
Exercício 5.19 
Um bloco de madeira de está ligado a uma mola de constante elástica 
 ⁄ e repousa sobre uma superfície lisa. Uma bala de atinge o bloco e 
comprime a mola de . (a) Calcular a velocidade da bala antes da colisão. (b) Que 
fração da energia mecânica inicial se perde na colisão? 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) 98,1%. 
Exercício 5.20 
O bloco 1 de massa desliza, a partir do repouso, ao longo de uma rampa sem 
atrito de uma altura e colide com o bloco 2 de massa , inicialmente 
em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de 
atrito cinético vale e para depois de percorrer uma distância nessa região. Qual 
o valor da distância se a colisão é (a) elástica e (b) perfeitamente inelástica? 
 
Respostas: (a) ; (b) . 
Exercício 5.21 
O bloco 1 (com massa de ) está se movendo para a direita a ⁄ e o bloco 
2 (com massa de ) está se movendo para a direita a ⁄ . A superfície não tem 
atrito e uma mola com constante elástica de ⁄ está presa ao bloco 2. Quando os 
blocos colidem, a compressão da mola é máxima no instante em que os blocos têm a 
mesma velocidade. Determine a compressão da mola. Resposta: . 
 
Exercício 5.22 
Um corpo com de massa e movendo-se com velocidade 
 ⃗ ( ̂ ̂) ⁄ colide com outro corpo com de massa e movendo-se 
com velocidade ⃗ ( ̂ ̂) ⁄ . Os dois corpos permanecem unidos após a 
16 
 
colisão. Determine (a) A velocidade comum dos dois corpos após a colisão. (b) O módulo 
dessa velocidade e (c) Sua direção com o semieixo . 
Respostas: (a) ⃗ ( ̂ ̂) ⁄ ; (b) ⁄ ; (c) 
Exercício 5.23 
O próton 1, com uma velocidade de ⁄ colide com o próton 2, inicialmente 
em repouso. Depois do choque, os dois prótons se movem em trajetórias 
perpendiculares, com a trajetória do próton 1 fazendo com a direção inicial. Após a 
colisão, quais são as velocidades escalares (a) do próton 1 e (b) do próton 2? 
Respostas: (a) ⁄ (b) ⁄ 
Exercício 5.24 
Um pacote de , inicialmente em repouso, explode em três partes que 
deslizam em um piso sem atrito. O pacote estava incialmente na origem de um sistema 
de coordenadas. A parte tem massa de e velocidade ( ̂ ̂) ⁄ . A parte 
 tem massa de , velocidade escalar de ⁄ e sua trajetória faz um ângulo de 
 (no sentido anti-horário em relação ao semieixo positivo). (a) Qual é a velocidade 
escalar da parte ? (b) E, que direção ela se move em relação ao semieixo ? 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) 
Exercício 5.25 
Em uma partida de sinuca, resta apenas a bola oito a ser colocada na caçapa. O 
jogador da vez percebe que, com a disposição em que as bolas estão na mesa para 
ganhar a partida ele deve desviar a bola oito de da direção inicial da bola branca, de 
a bola branca seja desviada de pelo menos de sua direção inicial, para que a mesma 
não entre na caçapa oposta. Então ele impulsiona a bola branca, que colide 
elasticamente com a bola oito, com uma velocidade de ⁄ , conseguindo realizar a 
jogada. Após a colisão, quais são as velocidades escalares (a) da bola oito e (b) da bola 
branca? Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ . 
Exercício 5.26 
A bola B, que se move no sentido positivo do eixo com velocidade , colide com 
a bola A, inicialmente em repouso na origem. As duas bolas têm massas diferentes. Após 
a colisão, a bola B se move no sentido negativo do eixo com velocidade escalar de 
 ⁄ . (a) Qual é a orientação da bola A após a colisão? (b) Mostre que a velocidade da 
bola A não pode ser determinada a partir das informações fornecidas. 
Resposta: (a) . 
 
 
 
17 
 
Exercício 5.1 
Sejam duas partículas separadas por uma distância . Onde está localizado o 
centro de massa nas seguintes situações: (a) ; (b) ⁄ e (c) ? 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ ; (c) ⁄ . 
Solução: 
(a) Da definição de centro de massa, se a primeira partícula for colocada na origem 
do eixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Da definição de centro de massa, se a primeira partícula for colocada na origem 
do eixo : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Da definição de centro de massa, se a primeira partícula for colocada na origem 
do eixo :Exercício 5.2 
Três bolas A, B e C, com massas de , e , respectivamente, são 
conectadas por hastes de massas desprezíveis. As bolas estão localizadas como na figura 
a seguir. Quais são as coordenadas do centro de massa? Resposta: ; 
 . 
 
Solução: 
 Para esta situação as coordenadas do centro de massa das três bolas são: 
 
 
 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )
 
 
 
 
 
 
( )( ) ( )( ) ( )( )
 
 
Exercício 5.3 
A figura a seguir mostra uma molécula de amônia ( ), onde três átomos de 
hidrogênio ( ) formam um triângulo equilátero com o centro do triângulo a uma 
distância de cada átomo de hidrogênio. O átomo de nitrogênio ( ) 
está no vértice superior de uma pirâmide, com os três átomos de hidrogênio formando a 
base. A razão entre as massas do nitrogênio e do hidrogênio é , e a distância 
nitrogênio-hidrogênio é . Quais são as coordenadas (a) e (b) 
do centro de massa da molécula? 
18 
 
 
Respostas: (a) ; (b) 
 . 
Solução: 
(a) Por simetria, temos da figura que o centro de massa da molécula de amônia ( ) 
está localizado no eixo de simetria da molécula, ou seja, no eixo . Assim, 
 
(b) Para encontrar a coordenada devemos notar que os três átomos de hidrogênio 
formando a base estão no plano , de modo que: 
 
 
 
 
onde, √ . Logo: 
 
 √ 
 
 
Como ⁄ , então: 
 
( ⁄ )√ 
 ⁄
 
Logo: 
 
( )√( ) ( ) 
 
 
 
 
Outra maneira de encontrar é lembrar que 
 ⁄ e 
 
 ⁄ , de modo que: 
 
( )√( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 
Exercício 5.4 
Uma pedra é deixada cair em . Uma segunda pedra, com massa duas vezes 
maior, é deixada cair do mesmo ponto em . (a) Supondo que as pedras ainda 
não tenham atingido o solo em , a que distância do ponto inicial de queda 
está o centro de massa das duas pedras? (b) Qual é a velocidade do centro de massa das 
duas pedras nesse instante? Respostas: (a) (b) ⁄ . 
Solução: 
(a) A localização da primeira pedra (de massa ) em é: 
 
 
 
 
 
 
( ⁄ )( ) 
19 
 
A localização da segunda pedra (de massa ) em é: 
 
 
 
 
 
 
( ⁄ )( ) 
Logo, o centro de massa das duas pedras está localizado em: 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
(b) A velocidade da primeira pedra (de massa ) em é: 
 ( 
 ⁄ )( ) ⁄ 
A velocidade da segunda pedra (de massa ) em é: 
 ( ) ( 
 ⁄ )( ) ⁄ 
Logo, a velocidade do centro de massa das duas pedras nesse instante é: 
 
 
 
 
 ( ⁄ ) ( ⁄ )
 
 ⁄ 
Exercício 5.5 
Um projétil é lançado a ⁄ , fazendo um ângulo de com o horizonte. 
Durante o seu movimento, explode, dividindo-se em duas partes, uma das quais sendo o 
dobro da massa da outra. Os dois fragmentos atingem o solo ao mesmo tempo. O 
fragmento mais leve bate num ponto a do lançamento, na direção do tiro inicial. 
Onde fica o ponto de impacto do outro fragmento? Resposta: . 
Solução: 
Das propriedades do CM: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ⁄ ) 
 ⁄
 
Exercício 5.6 
Um carro de está parado em um sinal de trânsito. No instante em que o 
sinal abre, o carro começa a se movimentar com uma aceleração constante de ⁄ . 
No mesmo instante, uma caminhonete de , movendo-se no mesmo sentido com 
velocidade constante de ⁄ , ultrapassa o carro. (a) Qual é a posição do CM do 
sistema carro-caminhonete em relação ao sinal de trânsito em ? (b) Qual é a 
velocidade do CM nesse instante? Respostas: (a) ; (b) ⁄ . 
Solução: 
 As equações horárias para o carro em MRUV são: 
 
 
 
 ( ⁄ ) 
 ( 
 ⁄ ) 
20 
 
Como a caminhonete de , movendo-se no mesmo sentido com velocidade 
constante (MRU) de ⁄ : 
 ( ⁄ ) 
Logo, em : 
 ( 
 ⁄ )( ) 
 ( 
 ⁄ )( ) ⁄ 
 ( ⁄ )( ) 
(a) A posição do CM do sistema carro-caminhonete em relação ao sinal de trânsito em 
 é: 
 
 
 
 
( )( ) ( )( )
 
 
(b) A velocidade entre o CM do sistema carro-caminhonete e o sinal de trânsito em 
 é: 
 
 
 
 
( )( ⁄ ) ( )( ⁄ )
 
 ⁄ 
Exercício 5.7 
(a) Vimos que o centro de massa comporta-se como se toda a massa estivesse 
concentrada nesse único ponto e todas as forças externas que atuam no corpo 
estivessem aplicadas nesse ponto. É, então, necessário existir massa no centro de 
massa? 
(b) Imagine a situação de uma pessoa em pé na popa de uma canoa parada num lago 
de águas calmas e sem vento. Em dado momento, a pessoa caminha em direção à 
proa e observa que a canoa recua em direção contrária. Explique este fato com 
base no princípio de conservação do momento linear. 
(c) Com base na lei de conservação do momento linear, explique por que toda arma 
recua após disparar. 
Solução: 
(a) O centro de massa (CM) de um corpo ou de um sistema de corpos comporta-se 
como se toda a massa (do corpo ou do sistema de corpos) estivesse concentrada 
nesse único ponto e todas as forças externas que atuam no corpo estivessem 
aplicadas nesse ponto. Logo, dependendo da geometria do corpo ou da geometria 
da distribuição de corpos o CM ficará localizado num ponto fora do corpo, ou num 
ponto do sistema de corpos no qual não há nenhuma massa. 
(b) De acordo com a 1ª lei de Newton, quando a pessoa está de pé na popa da canoa 
parada a resultante das forças externas é zero. Além disso, da 2ª lei de Newton, 
se a resultante das forças externas é zero, o momentum linear total do sistema 
 é conservado, ou seja, 
∑ ⃗ 
 ⃗⃗
 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗ 
Quando a pessoa caminha em direção à proa, o atrito entre seus pés (ou com a 
sola de seu calçado) e o piso da canoa é uma força interna ao sistema , 
não podendo alterar o momento linear total do sistema . 
Como inicialmente o momento linear total do sistema é nulo (a 
pessoa está de pé numa canoa parada), este deve permanecer nulo à medida que a 
21 
 
pessoa caminha, pois se assim não fosse, o momentum linear final seria diferente de 
zero (a pessoa está caminhando em direção à proa) violando o princípio de conservação 
do momento linear. Matematicamente, 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 
Portanto, sendo o momento linear uma grandeza vetorial, a única situação 
possível é a canoa se mover em sentido contrário ao do movimento da pessoa. 
(c) A situação de uma arma disparando é a mesma do item (b) já que a resultante das 
forças externas é nula antes do disparo e as forças envolvidas no disparo são do 
tipo forças internas ao sistema , não podendo alterar o momento 
linear total do sistema . 
Como inicialmente o momento linear total do sistema é nulo, este 
deve permanecer nulo após o disparo, pois se assim não fosse, o momentum linear final 
seria diferente de zero. Como a bala se movendo numa direção possui momento linear 
não nulo,temos que: 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 
Portanto, sendo o momento linear uma grandeza vetorial, a única situação 
possível é a arma se mover em sentido contrário (recuando) ao do movimento da bala. 
Exercício 5.8 
 Uma pessoa de massa se agarra a uma escada de corda 
pendurada na parte de baixo de um balão de massa (incluindo 
o passageiro na cesta). O balão está inicialmente em repouso em relação 
ao solo. (a) Se essa pessoa começar a subir a escada com velocidade 
 ⁄ (em relação à escada), em que direção e com que velocidade 
(em relação ao solo) o balão se moverá? (b) Qual a velocidade escalar do 
balão depois que a pessoa para de subir a escada? 
Respostas: (a) Para baixo com velocidade ⁄ . (b) O balão ficará estacionário. 
Solução: 
(a) Como o balão está inicialmente em repouso em relação ao solo, se essa pessoa 
começar a subir a escada com velocidade ⁄ (em relação à escada), esta 
ação corresponde a uma força interna no sistema , de modo que o 
CM sistema irá permanecer em repouso. Logo: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄ ⁄ 
Logo, o balão se moverá para baixo com velocidade ⁄ . 
(b) O balão ficará estacionário pois ação de subir a escada corresponde a uma força 
interna no sistema . 
Exercício 5.9 
Um estudante em férias decide fazer um passeio de canoa num lago tranquilo. 
Durante o passeio decide parar num bar que fica numa plataforma flutuante para tomar 
um refrigerante. Ao encostar a proa da canoa na plataforma flutuante para sair percebe 
um problema. Quando caminha da popa para a proa, a canoa se move em sentido 
contrário afastando-se do flutuante, dificultando sua saída. Desprezando o atrito entre a 
22 
 
canoa e a água, e supondo que o estudante, com de massa, tenha caminhado 
 da popa para a proa da canoa que possui de massa, qual será o 
afastamento (em metros) da canoa em relação ao flutuante? Resposta: . 
Solução: 
 As forças devidas às interações do estudante com a canoa são do tipo ação-reação 
e não contribuem para alterar o momento linear do CM do sistema 
que irá permanecer em repouso. Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5.10 
Uma metralhadora atira balas de com velocidade de ⁄ . O atirador, 
segurando a metralhadora com suas mãos, pode exercer uma força de , sobre a 
arma. Determine o número máximo de balas que ele pode atirar por minuto. 
Resposta: 216. 
Solução: 
 Da equação: 
 ⃗
 
 
 
 
( ⃗ ⃗ ) ⃗ 
Temos que se ⃗ e ⃗ , então: 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ⁄ )
 
 
 
Exercício 5.11 
Uma pessoa de está em pé próxima à popa de uma canoa de a uma 
distância da margem. Em dado instante começa a caminhar em direção à proa 
que aponta diretamente para a margem, percorrendo a distância de ao longo da 
canoa parando próximo à proa. Supondo que não há atrito entre a canoa e a água, 
determine a nova distância entre essa pessoa e a margem. Resposta: . 
Solução: 
Como a resultante das forças no sistema é nula, o CM do sistema 
deve permanecer em repouso. Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
Logo, a nova distância entre essa pessoa e a margem é: 
 
Exercício 5.12 
 Considere um foguete que está no espaço sideral e em repouso em relação a um 
referencial inercial. O motor do foguete é acionado por certo intervalo de tempo. 
23 
 
Determine a razão de massa do foguete (razão entre as massas inicial e final) neste 
intervalo para que a velocidade original do foguete em relação ao referencial inercial 
seja igual (a) à velocidade de exaustão dos gases (em relação ao foguete) e (b) duas 
vezes à velocidade de exaustão? Respostas: (a) ⁄ (b) ⁄ 
Solução: 
Da equação: 
 
 ⃗
 
 
 
 
 ⃗ ⃗ 
Temos que se o foguete que está no espaço sideral e em repouso em relação a um 
referencial inercial, então ⃗ e ⃗ , de modo que tomando ⃗ ⃗⃗: 
 ⃗ ⃗⃗ (
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 ⁄ 
(a) Se a velocidade de exaustão dos gases (em relação ao foguete) for igual à 
velocidade original do foguete em relação ao referencial inercial, então , 
de modo que: 
 
 
 ⁄ 
(b) Se a velocidade de exaustão dos gases (em relação ao foguete) for igual à 
velocidade original do foguete em relação ao referencial inercial, então , 
de modo que: 
 
 
 ⁄ 
Exercício 5.13 
Um foguete, situado no espaço longínquo e inicialmente em repouso em relação a 
um sistema inercial, tem uma massa de , da qual é de 
combustível. O motor do foguete fica então ligado por , durante os quais se 
consome combustível a uma taxa de ⁄ . A velocidade dos produtos de exaustão 
em relação ao foguete é de ⁄ . (a) Qual o empuxo do foguete? Após os de 
funcionamento do motor, quais são (b) a massa e (c) a velocidade escalar do foguete? 
Respostas: (a) . (b) 
 e ⁄ . 
Solução: 
(a) Da equação: 
 
 ⃗
 
 
 
 
 ⃗ ⃗ 
Temos que se o foguete está inicialmente em repouso em relação a um sistema inercial, 
então ⃗ , de modo que: 
 ⃗⃗ 
 ⃗
 
 
 
 
 ⃗ 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 ( ⁄ )( 
 ⁄ ) 
(b) A massa do combustível ejetado é dada por: 
24 
 
 
 
 
 ( ⁄ )( ) 
Logo, a massa do foguete após os de funcionamento do motor será: 
 
 
(c) A velocidade escalar do foguete após estar ligado por é: 
 (
 
 
) 
Logo: 
 ( 
 ⁄ ) (
 
 
) ⁄ ⁄ 
Exercício 5.14 
Em uma brincadeira comum, mas muito perigosa alguém puxa a cadeira quando 
uma pessoa está prestes a se sentar, fazendo com que a vítima caia sentada no chão. 
Supondo que a vítima possui , tenha caído de uma altura de e que a colisão 
com o piso dure , quais são os valores (a) do impulso e (b) da força média aplicada 
sobre a pessoa durante a colisão? Respostas: (a) ; (b) ̅ . 
Solução: 
Pela conservação da energia: 
 
 
 
 √ √ ( ⁄ )( ) ⁄ 
(a) A variação no momento linear (momentum ou quantidade de movimento) ⃗ ⃗, 
durante um dado intervalo de tempo , em que a força externa ⃗ atua 
sobre o ponto material é dada por: 
 ( )( ⁄ ) 
(b) Logo: 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5.15 
Um jogador de futebol chuta uma bola com massa de que se encontra em 
repouso. O pé do jogador fica em contato com a bola por e a força do chute é 
dada por ( ) [( ) ( ) ] , para , onde está em 
segundos. Determine a intensidade (a) do impulso sobre a bola devido ao chute, (b) da 
força média do pé do jogador sobre a bola durante o contato, (c) da força máxima 
exercida pelo pé do jogador sobre a bola durante o contato e (d) da velocidade da bola 
imediatamente após perder o contato com o pé do jogador. 
Respostas: (a) (b) ̅ (c) 
 (d) ⁄ . 
Solução: 
(a) O impulso sobre a bola devido ao chute é: 
 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ [() ( ) ] 
 
 
 
 ∫ [( ) ( ) ] 
 
 
 *( ) ( )
 
 
+
 
 
 
25 
 
 
(b) A intensidade da força média do pé do jogador sobre a bola durante o contato é: 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
(c) A intensidade da força máxima é: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 ( ) [( 
 ) ( 
 ) 
 ] 
 [( 
 )( ) ( )( ) ] 
(d) A velocidade da bola imediatamente após perder o contato com o pé do jogador 
é: 
 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
Exercício 5.16 
O bloco (com massa de ) desliza em direção ao bloco (com massa de 
 ) ao longo de uma superfície sem atrito. Os sentidos das velocidades antes ( ) e 
depois ( ) da colisão estão indicados na figura a seguir. As velocidades são: 
 ⁄ ; ⁄ e ⁄ . Determine: (a) o módulo e (b) o sentido da 
velocidade do bloco A após a colisão. (c) A colisão é elástica? 
 
Respostas: (a) ⁄ . (b) Continua movendo-se para a direita. (c) Sim. 
Solução: 
(a) Da conservação do momento linear: 
 
 
 ( )
 
 
 
( )( ⁄ ) ( ) ( ) ⁄
 
 ⁄ 
(b) Como é , o bloco continuará movendo-se para a direita após a 
colisão. 
(c) Para saber se a colisão é elástica, devemos calcular a energia cinética antes e 
após a colisão. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( ⁄ ) 
 
 
( )( ⁄ ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )( ⁄ ) 
 
 
( )( ⁄ ) 
Como , a colisão é elástica. 
26 
 
Exercício 5.17 
Uma bola de aço de está presa a uma corda de de comprimento e é 
solta quando a corda está horizontal. Na parte inferior de sua trajetória choca-se contra 
um bloco de metal de que está inicialmente em repouso em uma superfície 
horizontal sem atrito, conforme indicado na figura a seguir. A colisão é elástica. 
Encontre a velocidade da bola e do bloco, imediatamente após o impacto. 
 
Respostas: ⁄ e ⁄ . 
Solução: 
Da conservação da energia mecânica: 
 
 
 
 
 √ √ ( ⁄ )( ) ⁄ 
(a) Sendo a colisão elástica e lembrando que , e , 
temos que: 
 (
 
 
) (
 
 
) ( ⁄ ) ⁄ 
Indicando que a bola irá recuar com velocidade a após a colisão. 
(b) Para o bloco: 
 
 
 
 
 ( )
 
( ⁄ ) ⁄ 
Exercício 5.18 
 Uma bala de que se move verticalmente para cima a 
 ⁄ se choca com um bloco de , inicialmente em repouso, 
passando pelo seu centro de massa. A bala deixa o bloco movendo-se 
verticalmente para cima a ⁄ . Que altura máxima o bloco atinge 
em relação à posição inicial? Resposta: 
Solução: 
 Da conservação do momento linear: 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
onde é a massa da bala e a massa do bloco. Logo: 
 
 
 ( )
 
 
 
( )( ⁄ ⁄ )
 
 ⁄ 
 Da conservação da energia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
( ⁄ ) 
 ( ⁄ )
 
Exercício 5.19 
Um bloco de madeira de está ligado a uma mola de constante elástica 
 ⁄ e repousa sobre uma superfície lisa. Uma bala de atinge o bloco e 
comprime a mola de . (a) Calcular a velocidade da bala antes da colisão. (b) Que 
fração da energia mecânica inicial se perde na colisão? Respostas: (a) ⁄ ; (b) 
98,1%. 
 
Solução: 
 A colisão é totalmente inelástica, pois a bala fica junto com o bloco de madeira 
após atingi-lo, de modo que da conservação do momento linear: 
 ( ) 
Como o bloco irá deslizar sobre uma superfície lisa: 
 
 
( ) 
 
 
 
(a) Para saber a velocidade da bala antes da colisão é necessário eliminar . Logo, 
 
 
 
 
E, 
( ) ( ) (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
√ ( ) 
 
 
√( ⁄ )( ) ⁄ 
(b) A velocidade do bloco logo após a bala atingi-lo é: 
 
 
 
 
 
( ) 
( ⁄ ) ⁄ 
Logo, a fração da energia mecânica inicial se perde na colisão é: 
(
 
 
) (
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
) (
( ) 
 
 
 ) 
Substituindo os valores: 
(
(( ) )( ⁄ ) ( )( ⁄ ) 
( )( ⁄ ) 
) 
Exercício 5.20 
O bloco 1 de massa desliza, a partir do repouso, ao longo de uma rampa sem 
atrito de uma altura e colide com o bloco 2 de massa , inicialmente 
em repouso. Após a colisão, o bloco 2 desliza em uma região onde o coeficiente de 
atrito cinético vale e para depois de percorrer uma distância nessa região. Qual 
o valor da distância se a colisão é (a) elástica e (b) perfeitamente inelástica? 
28 
 
 
Respostas: (a) (b) 
Solução: 
Da conservação da energia: 
 
 
 
 
 √ 
Do teorema trabalho-energia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Se a colisão for elástica com o bloco de massa , inicialmente em 
repouso: 
 (
 
 
) (
 
 
)√ 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
Logo, o valor da distância se a colisão for elástica é: 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
√ )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 ( )
 ( )
 
(b) Se a colisão for perfeitamente elástica: 
 ( ) 
 
 
√ 
√ 
 
 
Logo, o valor da distância se a colisão for perfeitamente inelástica é: 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
√ )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 
 ( )
 
Exercício 5.21 
O bloco 1 (com massa de ) está se movendo para a direita a ⁄ e o bloco 
2 (com massa de ) está se movendo para a direita a ⁄ . A superfície não tem 
atrito e uma mola com constante elástica de ⁄ está presa ao bloco 2. Quando os 
29 
 
blocos colidem, a compressão da mola é máxima no instante em que os blocos têm a 
mesma velocidade. Determine a compressão da mola. Resposta: 
 
Solução: 
Da conservação do momento linear: 
 ( ) 
 Do teorema trabalho-energia cinética: 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
( ) (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )√
 
 ( )
 √
 
 
 √
 
 
 
Substituindo os valores: 
 [( )( ⁄ ) ( )( ⁄ )]√
 
( ⁄ )( )
 √
 
 ⁄
( ⁄ )
 √
 
 ⁄
( ⁄ ) 
 
Exercício 5.22 
Um corpo com de massa e movendo-se com velocidade 
 ⃗ ( ̂ ̂) ⁄ colide com outro corpo com de massa e movendo-se 
com velocidade ⃗ ( ̂ ̂) ⁄ . Os dois corpos permanecem unidos após a 
colisão. Determine (a) A velocidade comum dos dois corpos após a colisão. (b) O módulo 
dessa velocidade e (c)Sua direção com o semieixo . 
Respostas: (a) ⃗ ( ̂ ̂) ⁄ ; (b) ⁄ ; (c) 
Solução: 
(a) Como os dois corpos permanecem unidos após a colisão, temos da conservação do 
momento linear que: 
 ⃗ ⃗ ( ) ⃗ 
 ⃗ 
 ⃗ ⃗ 
 
 
Substituído os valores: 
 ⃗ 
 ⃗ ⃗ 
 
 
( )[( ̂ ̂) ⁄ ] ( )[( ̂ ̂) ⁄ ]
 
 
30 
 
 ⃗ 
[( ) ⁄ ] ̂ [( ) ⁄ ] ̂
 
 
 ⃗ ( ̂ ̂) ⁄ 
(b) O módulo da velocidade comum dos corpos após a colisão é: 
 ⁄ 
(c) A direção que o vetor velocidade comum dos corpos após a colisão faz com o eixo 
horizontal é: 
 (
 
 
) (
 ⁄
 ⁄
) 
Exercício 5.23 
O próton 1, com uma velocidade de ⁄ colide com o próton 2, inicialmente 
em repouso. Depois do choque, os dois prótons se movem em trajetórias 
perpendiculares, com a trajetória do próton 1 fazendo com a direção inicial. Após a 
colisão, quais são as velocidades escalares (a) do próton 1 e (b) do próton 2? Respostas: 
(a) ⁄ (b) ⁄ 
Solução: 
 
Da conservação do momento linear: 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
Em termos dos componentes: 
{
 
 
 
Como , e : 
{
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
(a) Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄ 
(b) Substituindo os valores: 
 
 
 
 
( ⁄ ) 
 
 ⁄ 
 
Exercício 5.24 
Um pacote de , inicialmente em repouso, explode em três partes que 
deslizam em um piso sem atrito. O pacote estava incialmente na origem de um sistema 
de coordenadas. A parte tem massa de e velocidade ( ̂ ̂) ⁄ . A parte 
 tem massa de , velocidade escalar de ⁄ e sua trajetória faz um ângulo de 
 (no sentido anti-horário em relação ao semieixo positivo). (a) Qual é a velocidade 
escalar da parte ? (b) E, que direção ela se move em relação ao semieixo ? 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) 
Solução: 
(a) Da conservação do momento linear: 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 
 ⃗ ⃗ 
 
 
Ou seja, 
 ⃗ 
( ) ( ̂ ̂) ⁄ ( ) ( ̂ ̂) ⁄
 
 
 ⃗ ( ⁄ ) ̂ ( ⁄ ) ̂
 √ 
 
 √( ⁄ ) ( ⁄ ) ⁄ 
(b) Para encontrar a direção que a parte 3 se move devemos calcular primeiro o 
ângulo que o vetor ⃗ forma com o eixo da seguinte maneira: 
 (
 
 
) (
 ⁄
 ⁄
) 
Logo, a parte 3 irá se mover num ângulo de . 
Exercício 5.25 
Em uma partida de sinuca, resta apenas a bola oito a ser colocada na caçapa. O 
jogador da vez percebe que, com a disposição em que as bolas estão na mesa para 
ganhar a partida ele deve desviar a bola oito de da direção inicial da bola branca, de 
a bola branca seja desviada de pelo menos de sua direção inicial, para que a mesma 
não entre na caçapa oposta. Então ele impulsiona a bola branca, que colide 
elasticamente com a bola oito, com uma velocidade de ⁄ , conseguindo realizar a 
jogada. Após a colisão, quais são as velocidades escalares (a) da bola oito e (b) da bola 
branca? Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ . 
32 
 
Solução: 
 
Da conservação do momento linear: 
{
 
 
 
Considerando que as massas das bolas são iguais: 
{
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
Substituindo os valores: 
 
 ⁄
 
 ⁄ 
 
 
 
 ⁄
 
 
 ⁄ 
Portanto, os valores das velocidades escalares da bola oito e da bola branca após a 
colisão são, respectivamente, ⁄ e ⁄ . 
 
Exercício 5.26 
A bola B, que se move no sentido positivo do eixo com velocidade , colide com 
a bola A, inicialmente em repouso na origem. As duas bolas têm massas diferentes. Após 
a colisão, a bola B se move no sentido negativo do eixo com velocidade escalar de 
 ⁄ . (a) Qual é a orientação da bola A após a colisão? (b) Mostre que a velocidade da 
bola A não pode ser determinada a partir das informações fornecidas. Resposta: (a) 
 . 
Solução: 
(a) Da conservação do momento linear: 
33 
 
 ⃗ ⃗ ⃗ 
Lembrando que após a colisão a bola B se move no sentido negativo do eixo com 
velocidade escalar ⁄ e como , então em termos das componentes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
(b) A velocidade da bola A após a colisão é: 
 
 
 
 
 
 
 
Como não sabemos os valores das massas das bolas, a razão ⁄ não pode ser 
determinada, de modo que não podemos obter a velocidade da bola A após a colisão a 
partir das informações fornecidas.