Exercícios Resolvidos Física 1

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Unidade 6 Rotações e a conservação do momento angular 
6.1 Cinemática do corpo rígido 
Um corpo rígido corresponde a um conceito limite ideal, de um corpo 
indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas: um corpo é rígido quando 
a distância entre duas partículas quaisquer do corpo é invariável. Nenhum corpo real 
é perfeitamente rígido: uma barra de aço se deforma sob a ação de forças 
suficientemente intensas e duas bolas de bilhar que colidem deformam-se ao entrar em 
contato. Entretanto, as deformações são em geral suficientemente pequenas para que 
possam ser desprezadas em primeira aproximação. 
Diz-se que um corpo rígido tem um movimento de translação quando a direção de 
qualquer segmento que une dois de seus pontos não se altera durante o movimento. Isto 
implica que todos os pontos do corpo descrevem curvas paralelas, ou seja, superponíveis 
umas às outras por translação. Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento durante o 
mesmo intervalo de tempo, de modo que todos têm, em qualquer instante, a mesma 
velocidade e aceleração, que se chamam, respectivamente, velocidade e aceleração de 
translação do corpo rígido. Para estudar o movimento de translação do corpo rígido, 
basta estudá-lo para qualquer um de seus pontos (por exemplo, o centro de massa). Este 
tipo de movimento reduz-se então ao de um único ponto material. 
Fixando dois pontos e de um corpo rígido, isto equivale a fixar todos os pontos 
da reta definida por , pois todos eles têm de manter inalteradas suas distâncias de 
e . Qualquer partícula do corpo situada fora desta reta tem de manter invariável sua 
distância ao eixo , de modo que só pode descrever um círculo com centro neste eixo. 
Logo, é um eixo de rotação: todas as partículas descrevem círculos com centro no 
eixo, e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo. O estudo do 
movimento reduz-se neste caso ao estudo do movimento circular de qualquer partícula 
situada fora do eixo: tem-se uma rotação em torno de um eixo fixo, que pode ser 
descrita em termos de uma única coordenada, o ângulo de rotação. 
Fixando um único ponto do corpo, qualquer outro ponto situado a uma 
distância de tem de mover-se sobre uma esfera de raio com centro em . Tem-se 
uma rotação em torno de um ponto fixo, e o deslocamento de um ponto como sobre a 
esfera pode ser descrito por duas coordenadas: por exemplo, os ângulos de latitude e 
longitude. Essas coordenadas descrevem a posição de . 
Fixando a posição de três pontos , e não colineares, fica fixada a posição do 
corpo rígido. Com efeito, fixando e , fica fixado o eixo . O ponto não colinear só 
poderia descrever um círculo em torno de ; logo, fixando , fixa-se o corpo rígido. 
Surge agora a questão: Quantos parâmetros é preciso dar para especificar 
completamente a posição de um corpo rígido em relação a um dado referencial? 
Inicialmente, para especificar a posição de um ponto do corpo, precisa-se de 3 
coordenadas. Uma vez fixado , outro ponto do corpo à distância de permanece 
sobre uma esfera de raio , e sua posição sobre essa esfera é especificada por mais 2 
coordenadas (latitude e longitude, por exemplo). Finalmente, uma vez especificadas as 
posições dos 2 pontos e , qualquer outro ponto do corpo tem de estar sobre um 
círculo com centro no eixo , e sua posição sobre esse círculo pode ser especificada 
por mais coordenada (ângulo de rotação em torno do eixo). Logo, precisa-se de 
 coordenadas para especificar completamente a posição de um corpo 
rígido. Diz-se que um corpo rígido tem 6 graus de liberdade. 
De forma geral, chamam-se graus de liberdade de um sistema os parâmetros que 
são necessários para especificar a posição do sistema. Uma partícula livre tem 3 graus 
de liberdade e um sistema de partículas têm gruas de liberdade (3 coordenadas 
2 
 
para cada partícula). Uma partícula que se desloca sobre uma superfície tem 2 graus de 
liberdade; uma conta que desliza sobre um fio tem 1 grau de liberdade. 
O deslocamento mais geral de um corpo rígido tem 6 graus de liberdade, 3 deles 
associados à translação e os outros 3 à rotação. Um corpo rígido com um ponto fixo tem 
3 graus de liberdade, associados à rotação em torno desse ponto; se girar em torno de 
um eixo fixo, tem 1 só grau de liberdade. 
6.2 Representação vetorial das rotações 
O movimento mais simples de rotação de um corpo rígido é a rotação em torno de 
um eixo fixo. O estudo desse movimento reduz-se ao do movimento circular de um 
ponto qualquer numa seção transversal ao eixo. O sistema tem 1 grau de liberdade: a 
rotação pode ser descrita pelo ângulo de rotação do ponto nesse movimento 
circular. 
Por conseguinte, se o eixo de rotação permanece fixo, a rotação pode ser descrita 
por uma grandeza escalar, que é o ângulo de rotação . Entretanto, isto deixa de valer 
para um movimento de rotação mais geral. Por exemplo, no movimento de um pião, a 
direção do eixo de rotação varia a cada instante. Logo, para caracterizar uma rotação no 
caso geral, não basta dar um ângulo de rotação: é preciso dar também uma direção, a 
direção do eixo de rotação. 
Pode-se pensar em associar um vetor ⃗ a uma rotação pelo ângulo , a direção 
desse vetor sendo dada pela direção do eixo. O sentido de ⃗ pode ser associado ao 
sentido da rotação, convencionando-se que a rotação, vista a partir da “flecha” de ⃗ , 
é no sentido anti-horário. Entretanto, embora ⃗ tenha magnitude, direção e sentido, 
não é um vetor. 
Para provar isto, seja a operação de composição de duas rotações finitas, 
representadas por ⃗ e ⃗ (em torno de eixos quaisquer), deveria corresponder à 
soma dos “vetores” correspondentes, ⃗ ⃗ , da mesma forma que o deslocamento 
resultante de dois deslocamentos é a soma dos vetores correspondentes. A Figura 6.1 
mostra que esta operação de “soma” deixa de satisfazer à propriedade comutativa: 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (6.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 – Ilustração do fato que 
as rotações finitas não são vetores. 
Entretanto, se em lugar de rotações finitas forem consideradas apenas aquelas 
por ângulos infinitesimais, pode-se mostrar que rotações infinitesimais são 
3 
 
comutativas e têm caráter vetorial. A magnitude de ⃗ é o ângulo de rotação 
infinitesimal , e sua direção é a do eixo de rotação. Entretanto, fisicamente não há 
nada que permita associar um sentido ao vetor. Isto só pode se feito por convenção. A 
convenção usualmente adotada é a que está ilustrada na Figura 6.2: um observador com 
a cabeça na extremidade do vetor ⃗ e os pés na origem, olhando para “baixo”, vê a 
rotação ocorrer no sentido anti-horário. 
 
Figura 6.2 – Características do vetor ⃗. 
Seja agora um corpo rígido em rotação em torno de um eixo e uma seção 
transversal (perpendicular ao eixo de rotação) do corpo, tomado como o plano de um 
sistema de coordenadas com origem no eixo de rotação (Figura 6.3). 
 
Figura 6.3 – Rotação infinitesimal de um corpo rígido. 
Um ponto da seção transversal à distância da origem sofre um deslocamento 
 em consequência da rotação infinitesimal. Relacionando-se o deslocamento 
vetorial ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ com ⃗ e o vetor posição ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗, obtém-se: 
 ⃗ ⃗ ⃗ (6.2) 
Ou seja, o produto vetorial dos vetores ⃗ e ⃗ é um vetor, o deslocamento ⃗, cuja 
magnitude é dada por: 
 (6.3) 
6.3 Rotações e velocidade angular 
Quando um corpo sólido gira em torno de um eixo próprio, as coordenadas , e 
 de cada ponto no corpo aumentam e diminuem continuamente à medida que o objeto 
percorre uma trajetória circular. O uso de coordenadas , e é em geral uma forma 
complicada de descrever as rotações. Em particular, as rotações confinadas em um 
plano podem serfacilmente descritas por um ângulo. Para a maioria de nós é familiar a 
utilização de medidas envolvendo ângulos (graus e radianos). A escolha de 360 graus 
para denotar uma revolução completa foi feita pelos babilônios e que provavelmente 
teve origem nos seus estudos e interesses em astronomia, principalmente na previsão 
das estações do ano, já que a rotação da Terra em torno do Sol tem aproximadamente 
360 dias. Com isto, a rotação de um grau feita pela Terra, em sua órbita, equivaleria a 
um dia. 
4 
 
Seja o comprimento do segmento de um círculo contido no ângulo , como 
indicado na Figura 4a. Se o círculo tem um raio , o comprimento de sua circunferência 
é dado por: 
 (6.4) 
A fração de contida em é igual à fração de uma de uma revolução completa 
( ) contida em . Então, 
 
 
 
 
(6.5) 
para em graus. 
Para um dado ângulo , e são proporcionais. Devido ao frequente uso da 
relação de proporcionalidade entre e na dinâmica das rotações, é bastante 
conveniente definir uma unidade nova para ângulos: 
 (6.6) 
para em radianos. 
 
Figura 6.4 – (a) Realções entre , e . (b) Deslocamento angular entre e . 
Um ângulo em radianos, sendo definido como a razão entre dois comprimentos é 
um número puro. Na Fig.4b, a linha de referência de um corpo rígido em rotação faz 
um ângulo com a linha de referência fixa , em um instante . Num instante 
posterior o ângulo cresceu para . A velocidade angular média ( ̅) do corpo, no 
intervalo entre e , é definida como a razão entre o deslocamento angular 
 e o intervalo de tempo : 
 ̅ 
 
 
 
(6.7) 
 A velocidade angular instantânea ( ) é definida como o limite para o qual tende 
esta razão quando se aproxima de zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6.8) 
Como o corpo é rígido, a velocidade angular é uma característica do corpo como um 
todo e não somente de uma linha nele situada. Se o ângulo for medido em radianos, a 
unidade de velocidade angular é um radiano por segundo ( ⁄ ). Outras unidades 
como, por exemplo, rotações por minuto ( ), são de uso comum. Note que 
 ⁄ . 
6.4 Aceleração angular 
Se a velocidade angular de um corpo variar, diz-se que ele tem uma aceleração. 
Se e forem as velocidades angulares instantâneas, nos instantes e , 
respectivamente, a aceleração angular média é definida como: 
5 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
(6.9) 
e a aceleração angular instantânea é definida como limite desta razão quando se 
aproxima de zero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6.10) 
A unidade de aceleração angular é ⁄ . A velocidade angular e a 
aceleração angular são exatamente análogas à velocidade e à aceleração lineares. Como 
 ⁄ , a aceleração pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
(6.11) 
ou, usando a regra da cadeia para a derivação, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6.12) 
6.5 Rotações com aceleração angular constante 
O caso mais simples de movimento de rotação acelerado é aquele no qual a 
aceleração é constante. Neste caso, as expressões da velocidade angular e do 
deslocamento angular são facilmente encontradas por integração. Tem-se: 
 
 
 
∫ ∫ 
Se é a velocidade angular quando , segue-se que e: 
 (6.13) 
Como ⁄ , 
∫ ∫ ∫ 
cuja solução é: 
 
 
 
 
(6.14) 
Escrevendo a aceleração como: 
 
 
 
 
(6.15) 
então, 
∫ ∫ 
 
 
 
Se o ângulo tem o valor quando e se a velocidade angular inicial é , então, 
 
 
 
 
 
e, 
 
 ( ) (6.16) 
A Tabela 6.1, mostra a analogia entre as equações do movimento com aceleração 
angular constante e as do movimento com aceleração linear constante. 
6 
 
Tabela 6.1 – Analogia entre os movimentos de translação e rotação com acelerações constantes. 
Movimento com aceleração 
linear constante 
Movimento com aceleração 
angular constante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
6.6 Torque (ou momento de uma força) 
A relação básica de toda a dinâmica é ⃗ ⃗ ⁄ (ou, ⃗ ⃗ no caso em que a 
massa é constante). Esta forma é particularmente apropriada à dinâmica do ponto 
material. Para a rotação, contudo, será mais conveniente exprimir a 2a lei de Newton 
em termos de grandezas relativas ao movimento de rotação. 
Do ponto de vista cinemático, a descrição do movimento de rotação de um corpo 
rígido em torno de um eixo fixo se reduz à descrição do movimento circular de um ponto 
 do corpo numa seção transversal. Como só há 1 grau de liberdade, o ângulo de rotação 
 em torno do eixo, pode-se estabelecer uma analogia entre esse movimento e o 
movimento de translação em uma dimensão. A Tabela 6.2 mostra a correspondência 
entre grandezas lineares e angulares. 
Tabela 6.2 – Correspondência entre grandezas lineares e angulares. 
Movimento retilíneo Rotação em torno de um eixo fixo 
Deslocamento linear: Deslocamento angular (ângulo de rotação): 
Velocidade linear: ⁄ Velocidade angular: ⁄ 
Aceleração linear: ⁄ Aceleração angular: ⁄ 
Para estudar a dinâmica das rotações pode-se utilizar essa analogia a fim de 
procurar uma grandeza que desempenhe um papel análogo da força. 
Seja uma barra que possa girar em torno de um eixo fixo, sem atrito, passando 
perpendicularmente através da mesma, próximo a uma das extremidades (Figura 6.5). 
Para eliminar os efeitos do atrito e da gravidade, considera-se que a barra está apoiada 
sobre uma superfície lisa horizontal. Aplicando uma força ⃗ no ponto , a barra girará, 
isto é, será acelerada, partindo do repouso ao girar em torno do ponto do eixo. 
Aplicando a mesma força ⃗ no ponto , a barra será novamente acelerada em rotação, 
mas esta aceleração será maior que a anterior. Evidentemente, não é só a força aplicada 
que determina a aceleração angular. É certo que, aumentando o módulo da força ⃗ 
aumentará a aceleração angular, mas também, com a mesma força, pode-se aumentar a 
aceleração angular simplesmente mudando o seu ponto de aplicação. 
 
Figura 6.5 – Uma barra articulada em e livre para girar no plano do papel. 
7 
 
Aplicando, agora, uma segunda força ⃗ , como indicada na Figura 6.5, de mesmo 
módulo de ⃗ e o mesmo ponto de aplicação . Tal força, cuja linha de ação passa pelo 
eixo de rotação, não causará movimento angular. Evidentemente a direção da força tem 
importância na determinação da aceleração angular que ela dá ao corpo. 
Com o fim de sugerir uma analogia para a massa seja uma barra constituída de 
partes iguais de madeira e aço, como na Figura 6.6. 
 
Figura 6.6 – Uma barra, metade da qual é de madeira, a outra é de aço. A barra de cima está 
articulada na extremidade de madeira em e na barra de baixo a articulação é feita na 
extremidade de aço em . 
Seja uma força ⃗ aplicada no ponto no caso em que a barra está articulada na 
extremidade de madeira em . Tem-se, então, uma aceleração angular bem definida. A 
seguir a barra é invertida e a articulação é feita na extremidade de aço em . Neste 
caso, a mesma força ⃗ aplicada agora no ponto irá produzir uma aceleração angular 
maior que a anterior. A massa total da barra não foi alterada pela escolha do eixo de 
rotação e a força aplicada tem em ambos os casos, a mesma intensidade direção, 
sentido e ponto de aplicação com relação ao eixo. Contudo, as acelerações angulares 
produzidas foram diferentes. E unicamente foi alterada a distribuiçãoda massa em 
relação ao eixo de rotação. 
Se uma força ⃗ atuar sobre um ponto material , cuja posição em relação à 
origem é dada pelo vetor posição ⃗, o torque (ou momento da força) ⃗ em relação à 
origem , é definido como: 
 ⃗ ⃗ ⃗ (6.17) 
Sendo o torque uma grandeza vetorial, seu módulo é dado por: 
 (6.18) 
onde é o ângulo entre ⃗ e ⃗, sua direção é perpendicular ao plano formado por ⃗ e ⃗, 
com o sentido dado pela regra do produto vetorial de dois vetores. 
As equações (6.17) e (6.18) mostram que o torque produzido por uma força 
depende, não somente da sua intensidade, do seu sentido e da sua direção, mas também 
do ponto de aplicação da força em relação ao ponto fixo . Em particular quando ⃗ atua 
sobre o eixo fixo que passa pela origem, ⃗ é zero, de modo que o torque ⃗, em relação 
ao ponto fixo é nulo. A distância perpendicular ao eixo entre a origem e o ponto de 
aplicação da força é conhecida como braço da força (ou braço da alavanca). 
Agora que você já sabe que é um torque e não uma força que produz rotações, 
observe que sem a maçaneta de uma porta ou a borboleta da válvula do registro do 
botijão de gás, ações tão corriqueiras como abrir uma porta ou trocar o botijão seriam 
praticamente impossíveis. 
Quando a borboleta da válvula do registro do botijão de gás quebra, podemos 
resolver o problema usando um alicate, pois, com esta ferramenta, a força que faríamos 
8 
 
com a mão deixa de ser feita diretamente no eixo de rotação, o que se traduz na prática 
por uma facilidade maior em desparafusar a válvula. Algumas tarefas, como trocar pneus 
ou tirar um parafuso, estariam impossibilitadas de serem realizadas se não tivéssemos 
um meio de ampliar o torque de nossa força através das ferramentas apropriadas (no 
caso, a chave de roda e a chave de fenda). 
Observe que, quando giramos o botão que aumenta o volume de um aparelho de 
rádio antigo, tanto o botão como seu eixo faz o mesmo giro. Se entendermos que o valor 
do torque necessário para girar o botão é sempre o mesmo, independente do local onde 
a força é aplicada, fica mais fácil interpretar porque é mais fácil aumentar o volume 
girando o botão e não o seu eixo. 
A chave de boca ilustrada na Figura 6.7 tem, como outras ferramentas 
semelhantes, a vantagem de diminuir a intensidade da força que precisamos fazer para 
soltar ou apertar uma porca, pois afasta o ponto de aplicação da força do eixo de 
rotação. 
Vamos supor que fosse possível soltar a porca usando somente as mãos, e que 
toda a força fosse aplicada sobre um dos seus lados (ponto A). Neste caso, esta força 
tem um braço ( ), correspondente à distância entre o centro da porca (eixo de rotação) 
e um de seus lados. O torque em relação ao eixo, que passa pelo centro da porca, é 
dado de acordo com (6.18) por: 
 
Usando a chave de boca, a força será feita no seu cabo, com intensidade menor 
que a da situação anterior porque o braço desta força corresponde agora à distância 
entre o centro da porca e a extremidade da chave. O torque desta força, em relação ao 
centro da porca, será então dado por: 
 
Admitindo que das duas maneiras conseguíssemos mover a mesma porca, estes 
torques teriam a mesma intensidade, de modo que: 
 
 
 
 
 
 
 
(6.19) 
A razão entre a força aplicada diretamente na porca e aquela aplicada na 
extremidade da chave de boca é denominada vantagem-mecânica ( ). Como , a 
equação (6.19) prevê que a razão entre as forças é maior que , indicando que a força 
feita na extremidade da chave de boca foi ampliada. 
A tesoura, assim como o alicate, é uma associação de duas alavancas. Quando 
dobramos ou cortamos um pedaço de fio com um alicate, a força feita no cabo é 
ampliada na extremidade contrária. 
 
Figura 6.7 – Uma chave de boca. 
6.7 Momento angular de um ponto material 
Além da força ⃗, o outro conceito fundamental na dinâmica de uma partícula é o 
do momento linear ⃗, relacionado com ⃗ pela segunda lei de Newton: 
9 
 
 ⃗ 
 ⃗
 
 
(6.20) 
Na dinâmica de rotação de uma partícula em torno de um ponto , o análogo da 
força ⃗ é o torque ⃗ ⃗ ⃗, onde ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . Como o momento ⃗ da partícula está 
relacionado com ⃗ pela relação (6.20), obtém-se, multiplicando vetorialmente por ⃗ 
ambos os membros: 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 
 ⃗
 
 
(6.21) 
Como a regra de derivação de um produto se aplica igualmente ao produto 
vetorial (desde que não se inverta a ordem dos vetores), então, 
 ⃗ 
 ⃗
 
 
 
 
( ⃗ ⃗) 
 ⃗
 
 ⃗ 
 
 
( ⃗ ⃗) ⃗ ( ⃗) 
 
 
( ⃗ ⃗) 
(6.22) 
pois ⃗ ( ⃗) . Logo, (6.22) fica, 
 ⃗ 
 ⃗⃗
 
 
(6.23) 
onde, 
 ⃗⃗ ⃗ ⃗ (6.24) 
é o que se chama de momento angular de uma partícula (ou ponto material) em 
relação ao ponto . 
A relação ⃗ ⃗⃗ ⁄ é o análogo para rotações da relação ⃗ ⃗ ⁄ para 
translações, e representa a segunda lei de Newton para o movimento de rotação. 
6.8 Energia cinética de rotação e momento de inércia 
Estando em movimento, cada ponto material num corpo rígido em rotação possui 
certa quantidade de energia cinética. Um ponto material de massa a uma distância 
do eixo de rotação tem uma velocidade , sendo a velocidade angular do ponto 
em torno do eixo de rotação; logo, sua energia cinética é dada por: 
 
 
 
 
 
 
(6.25) 
A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todos os seus 
pontos. Sendo o corpo rígido, será constante e igual para todos os pontos. O raio 
pode ser diferente para pontos diferentes. Logo, a energia cinética total do corpo que 
gira pode ser escrita como: 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
 
(∑ 
 
 
 
) 
(6.26) 
O termo ∑ 
 
 é a soma dos produtos das massas dos pontos materiais pelos 
quadrados de suas respectivas distâncias ao eixo de rotação. Denominando esta 
quantidade por , temos que: 
 ∑ 
 
 
 
 
(6.27) 
e é chamada de inércia devida à rotação ou momento de inércia do corpo em relação 
ao eixo de rotação considerado. Deve-se notar que o momento de inércia de um corpo 
depende: (1) da forma do corpo, (2) da distância ortogonal do eixo ao centro de massa 
do corpo e (3) da orientação do corpo em relação ao eixo. 
10 
 
Em termos de momento de inércia podemos escrever agora a energia cinética do 
corpo em rotação: 
 
 
 
 
(6.28) 
Devemos entender que a energia cinética de rotação dada pela equação (6.28) é 
simplesmente a soma da energia cinética de rotação de todas as partes do corpo e não 
um novo tipo de energia. A energia cinética de rotação é uma maneira conveniente de 
exprimir a energia cinética de um corpo rígido que está girando. 
Para um corpo que não é composto de massas puntiformes discretas, mas sim de 
matéria distribuída continuamente, o processo de soma em ∑ 
 
 transforma-se 
num processo de integração: 
 ∫ 
(6.29) 
onde a integral é calculada ao longo do corpo. 
Conhecendo-se o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo 
qualquer, que passe pelo seu centro de massa, pode-se determinar o momento de 
inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo ao primeiro pelo teorema dos eixos 
paralelos (também conhecido como Teorema de Huygens-Steiner): 
 
 (6.30) 
sendo a massa do corpo e a distância perpendicular entre os eixos (paralelos). Esse 
teorema pode ser enunciado da seguinte forma: “O momento de inércia de um corpo em 
relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia que ele teria em relação a 
esse eixo ( ), se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa 
mais o seu momento de inércia em relaçãoa um eixo passando pelo seu centro de massa 
( )”. 
A Figura 6,8a mostra os momentos de inércia de um aro, primeiro em torno de 
qualquer diâmetro e depois em torno de qualquer tangente, enquanto que a Figura 6.8b 
mostra os momentos de inércia de uma esfera sólida (maciça) e de uma esfera oca em 
torno de qualquer diâmetro. 
 
Figura 6.8 – Momentos de inércia (a) de um aro e (b) de uma esfera. 
6.9 Momento angular de um sistema de pontos materiais 
Determina-se o momento angular total de um sistema constituído de muitos 
pontos materiais, em relação a uma origem, somando-se vetorialmente os momentos 
11 
 
angulares de todos esses pontos materiais, considerados isoladamente, em relação a 
essa mesma origem: 
 ⃗⃗ ∑ ⃗ ⃗ 
 
 
 ∑ ⃗⃗ 
 
 
 
 
(6.31) 
O momento angular de um sistema de pontos materiais em relação a um ponto 
fixo pode variar com o tempo. Para essa variação admitem-se duas causas: (a) torques 
aplicados aos pontos materiais do sistema por forças internas entre estes; (b) torques 
aplicados aos pontos materiais do sistema por forças externas. 
Se a terceira lei de Newton é rigorosamente certa, isto é, se as forças entre dois 
pontos materiais quaisquer não apenas são iguais e opostas, mas também atuam ao 
longo da reta definida pelos mesmos, o conjugado interno total é nulo, pois o torque 
produzido por cada par de forças de ação e reação é nulo. Assim, a primeira causa não 
contribui para a variação do momento angular total. Portanto, para um ponto de 
referência fixo apenas o segundo motivo permanece, e pode-se escrever: 
 ⃗ 
 ⃗⃗
 
 
 
(6.32) 
em que ⃗ representa a soma de todos os torques externos que agem no sistema. 
A equação (6.32) é uma generalização de (6.23) para muitos pontos materiais. 
Quando se tem apenas um ponto material, não há, evidentemente, forças ou conjugados 
internos. 
Sendo ⃗ ⃗, onde é o momento de inércia do corpo e ⃗ a soma dos torques 
(externos) aplicados a este, ambos em relação ao mesmo ponto. Comparando-se com 
(6.32), obtém-se: 
 ⃗⃗
 
 ⃗ 
Mas ⃗ ⃗⃗⃗ ⁄ e, se o momento de inércia é constante, 
 
 ⃗
 
 
 
 
( ⃗) 
e, portanto, 
 ⃗⃗
 
 
 
 
( ⃗) 
ou seja, 
 ⃗⃗ ⃗ (6.33) 
Assim, o momento angular de um corpo rígido é o produto do momento de inércia do 
corpo pela sua velocidade angular. 
6.10 Dinâmica da rotação de um corpo rígido 
Seja um corpo rígido que gire ao redor de um eixo fixo, que passe por (Figura 
6.9) perpendicularmente ao plano da figura. É necessário considerar apenas as forças 
existentes neste plano, porque as que são paralelas ao eixo não podem causar rotação 
em torno do mesmo por não produzirem nenhum torque externo. Supondo uma força 
externa ⃗, no plano, agindo sobre o corpo no ponto . Observando o corpo durante um 
tempo infinitesimal o ponto mover-se-á de uma distância infinitesimal segundo 
uma trajetória circular de raio e o corpo girará de um ângulo infinitesimal , sendo: 
 
O trabalho , realizado pela força, durante esta pequena rotação, é: 
12 
 
 ⃗ ⃗ ( )( ) 
onde é o componente de ⃗ na direção de ⃗. 
Por seu turno, o termo ( ) , é o módulo do torque instantâneo, exercido por 
 ⃗ sobre o corpo rígido, em relação ao eixo que passa por , de modo que: 
 (6.34) 
Esta expressão diferencial do trabalho realizado na rotação (em relação a um eixo 
fixo) é equivalente à expressão para o trabalho realizado na translação. 
Para obter a taxa com que se realiza trabalho no movimento de rotação (ao redor 
de um eixo fixo), deve-se dividir ambos os membros de (6.34) pelo intervalo 
infinitesimal de tempo , durante o qual o corpo se move de um ângulo , obtendo: 
 
 
 
 
 
 
(6.35) 
A equação (6.35) é, na rotação, a equivalente de para o movimento de 
translação. 
 
 
 
 
 
Figura 6.9 – Vista de uma seção 
transversal de um corpo rígido que gira 
em torno de um eixo fixo que passa 
pela origem do sistema de referência. 
Aplicando várias forças ⃗ , ⃗ , ... etc., sobre o corpo, no plano normal a seu eixo 
de rotação, o trabalho realizado por essas forças sobre o corpo, durante uma pequena 
rotação , será: 
 ( ) 
expressões nas quais é igual a , que é o deslocamento do ponto de aplicação de 
 ⃗ , e é o ângulo entre ⃗ e ⃗ , etc., e onde é, agora, o torque resultante em 
relação ao eixo que passa por . Ao calcular este somatório, cada torque será 
considerado positivo ou negativo segundo o sentido em que, por si só, tenderia a fazer o 
corpo girar em torno de seu eixo. Arbitrariamente, o torque é tomado como positivo se o 
efeito do mesmo produzir uma rotação no sentido anti-horário e, negativo, se produzir 
uma rotação no sentido horário. 
Como não existe movimento interno dos pontos materiais dentro de um corpo 
verdadeiramente rígido, os pontos sempre conservam posições relativas fixas entre si e 
movem-se somente em conjunto com o corpo. Logo, não há dissipação de energia dentro 
de um corpo verdadeiramente rígido. Portanto, pode-se igualar a taxa com que se 
realiza trabalho sobre o corpo àquela com que varia sua energia cinética. A taxa com 
que se realiza trabalho sobre o corpo é dado pela (6.35), e a rapidez com que varia a 
energia cinética de um corpo rígido é dada por: 
 
 
(
 
 
 ) 
Mas o momento de inércia é constante porque o corpo é rígido e o eixo está fixo. Logo: 
13 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
(6.36) 
De modo que: 
 (6.37) 
A equação (6.37) é equivalente à da 2a lei do movimento, , para o movimento de 
rotação de um corpo rígido. Aqui a soma dos torques ⃗ é análoga à soma das forças ⃗, o 
momento de inércia é análogo à massa , e a aceleração angular ⃗ é análoga à 
aceleração linear ⃗. 
6.11 Movimento combinado de translação e de rotação de um corpo rígido 
Até aqui foi considerado apenas a situação de corpos que giram em torno de 
algum eixo fixo. Contudo, quando uma bicicleta se move em linha reta, o centro de cada 
uma das rodas se desloca para frente executando um movimento de translação pura. 
Entretanto, um ponto qualquer localizado no aro da roda segue uma trajetória mais 
complexa denominada cicloide. Nesta seção será analisado o rolamento de uma roda 
considerando-o, primeiramente, como a combinação de uma translação pura com uma 
rotação pura e, em seguida, apenas como rotação. 
No caso da roda de uma bicicleta que passa a uma velocidade constante, rolando 
suavemente, sem deslizar. O centro de massa da roda move-se para frente a uma 
velocidade constante . O ponto , onde a roda e o chão estão em contato, também 
se move para frente com velocidade , de modo que ele está sempre situado 
diretamente abaixo do centro de massa. 
A Figura 6.10 mostra o movimento de rolamento de uma roda é uma combinação 
de dois movimentos: um puramente translacional e outro puramente rotacional. A Figura 
6.10a mostra o movimento puramente rotacional (como se o eixo de rotação que passa 
pelo centro estivesse estacionário): todos os pontos da roda giram em torno do centro 
com velocidade angular . Todos os pontos situados na borda externa da roda têm 
velocidade linear . A Figura 6.10b mostra o movimento puramente 
translacional (como se a roda não estivesse rolando): cada ponto da roda se move para a 
direita com velocidade . 
A combinação das Figuras 6.10a e 6.10b dá origem à Figura 6.10c, que mostra o 
movimento de rolamento real executado pela roda. Observa-se que, nesta combinação 
de movimentos, a parte inferior da roda (noponto ) está estacionária, enquanto a 
parte superior (no ponto ) se move a uma velocidade igual a , mais rapidamente 
que qualquer outra parte da roda. 
 
Figura 6.10 – O rolamento de uma roda, visto como uma combinação de um movimento puramente 
rotacional com outro puramente translacional. (a) O movimento puramente rotacional: todos os pontos da 
roda movem-se com a mesma velocidade angular . Todos os pontos que estão sobre a borda externa da 
roda movem-se com a mesma velocidade linear . As velocidades lineares ⃗ de dois destes pontos, 
no topo ( ) e na base ( ) da roda, são mostradas na figura. (b) O movimento puramente translacional: todos 
os pontos da roda movem-se para a direita com a mesma velocidade linear , idêntica à do centro da 
roda. (c) O movimento de rolamento da roda é a combinação de (a) e (b). 
14 
 
A Figura 6.11 sugere um outro modo de analisar o rolamento de uma roda 
considerando-o, agora, como sendo uma rotação pura em torno de um eixo que passa 
pelo ponto em que ele toca o solo, durante todo o tempo em que se move, ou seja, um 
eixo que passa pelo ponto na Figura 6.10c e que é perpendicular ao plano da figura. Os 
vetores mostrados na Figura 6.11 representam as velocidades instantâneas de vários 
pontos da roda durante o rolamento. 
Pergunta. Para um observador estacionário, qual é o valor da velocidade angular da 
roda da bicicleta, em torno desse novo eixo? 
Resposta. A mesma velocidade angular que o ciclista atribui à roda, ao observá-la em 
rotação pura em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. 
 
 
 
 
 
Figura 6.11 – Um corpo rolando pode, em qualquer 
instante, ser tratado como se estivesse girando em 
torno de seu ponto de contato 
Usando esta resposta para calcular a velocidade linear do topo da roda, do ponto 
de vista de um observador estacionário. Sendo o raio da roda, o topo está situado 
numa distância do eixo que passa por na Figura 6.11, de modo que a sua 
velocidade linear deve ser: 
 ( )( ) (6.38) 
o que concorda inteiramente com a Figura 6.10c. 
A Energia Cinética. Calculando agora a energia cinética da roda, medida pelo 
observador estacionário, supondo que a roda role sem escorregar em uma superfície 
horizontal, como na Figura. Em qualquer instante, a parte inferior da roda, estará em 
repouso na superfície, já que não escorrega. O eixo perpendicular à figura, que passa 
pelo ponto de contato , chama-se eixo instantâneo de rotação. Nesse instante, a 
velocidade linear de cada ponto da roda está dirigida perpendicularmente à linha que 
une ao ponto e sua intensidade é proporcional a essa distância. Isto é equivalente a 
dizer que a roda está girando em torno de um eixo fixo que passa por , com certa 
velocidade angular , nesse instante. Logo, o movimento da roda num dado instante é 
equivalente a uma rotação pura. Portanto, a energia cinética total pode ser escrita 
como: 
 
 
 
 
 
(6.39) 
sendo o momento de inércia com respeito ao eixo que passa por . 
 Aplicando agora o teorema dos eixos paralelos, 
 
 
onde é o momento de inércia da roda de massa e raio , com relação a um eixo 
que passa pelo centro de massa. A equação (6.39) transforma-se agora em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(6.40) 
15 
 
O primeiro termo 
 
 
 
 em (6.40), obtida para um movimento de rotação puro, 
representa a energia cinética que teria a roda se estivesse apenas girando em torno de 
um eixo que passa pelo seu centro de massa, sem movimento de translação; e o segundo 
 
 
 
 , é a energia cinética que teria a roda se estivesse em movimento de translação 
com a velocidade de seu centro de massa e sem girar. Deve-se notar que já não se faz 
referência alguma ao eixo instantâneo de rotação. De fato, a equação (6.40) aplica-se a 
um corpo qualquer que se mova e gire em torno de um eixo perpendicular a seu 
movimento, quer esteja rolando ou não, em uma superfície. 
Os efeitos combinados da translação do centro de massa e de rotação em torno de 
um eixo que passe pelo centro de massa são equivalentes a uma rotação pura, com a 
mesma velocidade angular, em torno de um eixo que passe pelo ponto de contato do 
corpo que rola. 
6.12 Conservação do momento angular 
Se a resultante dos torques externos em relação a um ponto fixo se anula ( ⃗ 
 ), então de (6.32): 
 ⃗⃗
 
 ⃗ ⃗⃗ 
(6.41) 
Quando a resultante dos torques externos aplicados a um sistema é nulo o vetor 
momento angular total do sistema permanece constante. Este é o princípio da 
conservação do momento angular. 
Para um sistema de pontos materiais, o momento angular total, em relação a 
um ponto é: 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
Assim, quando o momento angular total ⃗⃗ é constante, tem-se: 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ (6.42) 
em que ⃗⃗ é um vetor constante. O momento angular de cada ponto material pode 
variar, mas a sua soma permanece constante na ausência de torques externos. 
O momento angular é uma grandeza vetorial, de modo que (6.42) é equivalente a 
3 equações escalares, uma relativa a cada um dos eixos coordenados, passando pelo 
ponto de referência. A conservação do momento angular fornece, pois, três condições 
ao movimento do sistema a que se aplica. 
Se o sistema de pontos materiais é um corpo rígido, seu momento angular é dado 
por (6.33), e a equação da conservação do momento angular (6.42), torna-se: 
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (6.43) 
Isto é, o momento angular de um corpo rígido, em relação a um eixo, permanece 
constante quando os torques externos aplicados, tomados em relação ao mesmo eixo, 
são nulos. 
 
 
16 
 
Exercício 6.1 
A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por 
 , onde está em radianos e em segundos. Quais são as velocidades angulares 
em (a) e (b) ? (c) Qual é a aceleração angular média no intervalo de 
tempo que começa em e termina em ? Qual é a aceleração angular 
instantânea (d) no início e (e) no fim desse intervalo? Respostas: (a) ( ) ⁄ ; 
(b) ( ) ⁄ ; (c) ̅ ⁄ ; (d) e ( ) ⁄ ; (e) 
 ( ) ⁄ . 
Exercício 6.2 
Um disco, inicialmente girando a ⁄ é freado com uma aceleração angular 
constante de módulo ⁄ . (a) Quanto tempo o disco leva para parar? (b) Qual o 
deslocamento angular total descrito pelo disco durante esse tempo? (c) Quantas 
revoluções o disco executa até parar? Respostas: (a) ; (b) ; (c) 
 . 
Exercício 6.3 
A velocidade angular do motor de um automóvel é aumentada numa taxa 
constante de ⁄ para ⁄ em . (a) Qual é a aceleração angular 
em revoluções por minuto ao quadrado? (b) Quantas revoluções o motor executa nesse 
intervalo de ? Respostas: (a) ⁄ ; (b) . 
Exercício 6.4 
Nosso Sol orbita o centro da Via Láctea a uma distância entre 
 do centro galáctico. Considere que o Sol está a do 
centro da Via Láctea, movendo-se em um círculo ao redor desse centro a uma 
velocidade de ⁄ . (a) Qual a distância do sol ao centro da Via Láctea em metros? 
(b) Quanto tempo o Sol leva para fazer uma volta completa em torno do centro da 
galáxia? (c) Quantas voltas o Sol completou desde que ele foi formado, há cerca de 4,5 
bilhões de anos? Respostas: (a) ; (b) ; (c) . 
Exercício 6.5 
Partindo do repouso em , uma roda gira com aceleração angular constante. 
Quando , a velocidade angular da roda é de ⁄ . A aceleração continua até 
 , quando cessa abruptamente. De que ângulo gira a roda no intervalo de a 
 ? Resposta: . 
Exercício 6.6 
Uma roda executa 40 revoluçõesquando desacelera a partir de uma velocidade 
angular de ⁄ até parar. Supondo que a aceleração angular é constante, 
determine (a) a aceleração angular da roda. (b) o intervalo de tempo necessário para 
que a roda pare. (c) Quanto tempo é necessário para que a roda complete as 20 
primeiras revoluções? Respostas: (a) ⁄ ; (b) ; (c) . 
Exercício 6.7 
Um pulsar é uma estrela de nêutrons que gira rapidamente em torno de si própria 
e emite um feixe de rádio, do mesmo modo como um farol emite um feixe luminoso. 
Recebemos na Terra um pulso de rádio a cada revolução da estrela. O período de 
rotação de um pulsar é determinado medindo o intervalo de tempo entre os pulsos. O 
pulsar da nebulosa do Caranguejo tem período que está aumentando a uma 
taxa de ⁄ . (a) Qual é a aceleração angular do pulsar? (b) Se se 
mantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar de girar? (c) O pulsar foi 
criado pela explosão de uma supernova observada no ano de 1054. Supondo que a 
17 
 
aceleração se manteve constante, determine o período logo após a explosão. 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) ; (c) . 
Exercício 6.8 
Uma roda com oito raios de igualmente espaçados está montada em um eixo 
fixo e gira a ⁄ . Para atirar uma flecha com de comprimento paralelamente 
ao eixo da roda sem atingir um dos raios, (a) Qual é a menor velocidade que a flecha 
pode ter? Suponha que a flecha e os raios são muito finos. (b) O ponto entre o eixo e a 
borda da roda por onde a flecha passa faz alguma diferença? Caso a resposta seja 
afirmativa, para que ponto se deve mirar? Respostas: (a) ⁄ ; (b) Não. 
 
Exercício 6.9 
Um CD (“Compact Disc”) de um sistema digital de áudio possui raios interno e 
externo de sua gravação de e , respectivamente. Durante a execução, o 
disco é varrido à velocidade linear constante de ⁄ , partindo-se de seu lado 
interno para o lado externo. (a) Se a velocidade angular inicial do disco é ⁄ , 
qual é a sua velocidade angular final? (b) Quantas revoluções completas (voltas) dará o 
CD desde que começou a tocar a primeira música até o final da última se as linhas 
espirais são separadas por ? (c) Qual é o tempo total de gravação? Respostas: (a) 
 ⁄ ; (b) ; (c) . 
Exercício 6.10 
O prato de um toca-discos de vinil está girando a 
 
 
 . Uma semente de 
melancia está sobre o prato a de distância do eixo de rotação. (a) Calcule a 
aceleração da semente, supondo que ela não escorregue. (b) Qual o valor mínimo do 
coeficiente de atrito estático entre a semente e o prato para que a semente não 
escorregue? (c) Suponha que o prato atinge sua velocidade angular final em , 
partindo do repouso com aceleração constante. Calcule o menor coeficiente de atrito 
estático necessário para que a semente não escorregue durante o período de 
aceleração. Respostas: (a) ⁄ ; (b) ; (c) 
 . 
Exercício 6.11 
Uma pequena bola com de massa está presa a uma das extremidades de uma 
barra com de comprimento e massa desprezível. A outra extremidade da barra 
está pendurada em um eixo. Quando o pêndulo assim formado faz um ângulo de 
com a vertical, qual é (a) o módulo do torque exercido pela força gravitacional em 
relação a um eixo de rotação em ? (b) o sentido de giro? Respostas: (a) ̅ ; 
(b) Anti-horário. 
 
18 
 
Exercício 6.12 
Duas partículas, ambas de massa , estão presas à extremidade de uma barra 
rígida de massa desprezível e comprimento , com e . A 
barra é mantida horizontalmente no fulcro até ser liberada. Qual é o módulo da 
aceleração inicial (a) da partícula 1 e (b) da partícula 2? 
Respostas: (a) 
 ⁄ ; (b) 
 ⁄ . 
 
Exercício 6.13 
Duas partículas, ambas com massa , estão ligadas uma à outra e a um 
eixo de rotação em por duas barras finas, ambas de comprimento e massa 
 . O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular 
 ⁄ . Em relação a , quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a 
energia cinética do conjunto? Respostas: (a) ; (b) 
 . 
 
Exercício 6.14 
(a) Em um salto de trampolim, a velocidade angular de uma atleta em relação ao 
eixo que passa pelo seu centro de massa varia de zero a ⁄ em . 
Seu momento de inércia em relação ao mesmo eixo é . Durante o 
salto, quais são os módulos da aceleração angular média da atleta e do torque 
externo médio exercido pelo trampolim sobre a atleta? 
(b) O virabrequim de um automóvel transfere energia do motor para o eixo a uma 
taxa de quando gira a ⁄ . Qual o torque (em newtons-metros) 
exercido pelo virabrequim? Dado: . 
Respostas: (a) ̅ ⁄ ; ̅ . (b) 
Exercício 6.15 
Na figura a seguir, o bloco 1 tem massa e o bloco 2 tem massa 
 , e a polia, que está montada em um eixo horizontal com atrito desprezível, 
tem raio . Quando o sistema é liberado a partir do repouso o bloco 2 cai 
 em sem que a corda deslize na borda da polia. (a) Qual é o módulo da 
aceleração dos blocos? (b) Qual é o valor das tensões e ? (c) Qual é o módulo da 
aceleração angular da polia? (d) Qual é o momento de inércia da polia? 
 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) , ; (c) 
 ⁄ ; (d) 
 . 
19 
 
Exercício 6.16 
 Uma casca esférica uniforme de massa e raio pode girar 
em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda de massa desprezível, enrolada no 
equador da casca, passa por uma polia de momento de inércia e 
raio e está presa a um pequeno objeto de massa . Não há atrito no 
eixo da polia e a corda não escorrega na casca nem na polia. Qual é a velocidade do 
objeto depois de cair após ter sido liberado a partir do repouso? Use 
considerações de energia. Resposta: ⁄ . 
 
Exercício 6.17 
 Uma pessoa está em pé sobre uma plataforma que gira sem atrito com velocidade 
angular de ⁄ . Seus braços estão abertos e ela segura um haltere em cada mão. O 
momento de inércia formado pela pessoa, os halteres e a plataforma em relação ao eixo 
vertical central da plataforma é de . Se, ao mover os braços para junto do 
corpo, a pessoa reduz o momento de inércia do sistema para , determine (a) a 
nova velocidade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia cinética do 
sistema e a energia cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional? 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ . (c) A pessoa realizou trabalho ao trazer os 
halteres para junto do corpo. Logo, a energia adicional veio de sua energia interna. 
Exercício 6.18 
 Uma roda com de raio, que está se movendo inicialmente a ⁄ , rola 
 até parar. Calcule o módulo (a) da aceleração linear e (b) da aceleração angular 
da roda. (c) O momento de inércia da roda em torno do eixo central é . 
Calcule o módulo do torque em relação ao eixo central devido ao atrito sobre a roda. 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ ; (c) . 
Exercício 6.19 
O virabrequim de um automóvel transfere energia do motor para o eixo a uma taxa 
de quando gira a ⁄ . Qual o torque (em newtons-metros) exercido pelo 
virabrequim? Resposta: . 
Exercício 6.20 
(a) Explique por que o puxador da porta é colocado o mais longe possível das 
dobradiças. 
(b) Usando a lei de conservação do momento angular explique por que, na prova 
olímpica de salto do trampolim de , o atleta tem a necessidade de encolher 
os braços e pernas para dar um duplo giro antesde mergulhar? 
Exercício 6.21 
 O momento angular de um volante com momento de inércia de em 
relação ao eixo central diminui de para ⁄ em . (a) Qual é o 
módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante 
esse período? (b) Supondo uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante 
20 
 
gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do 
volante? Respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ̅ 
 . 
Exercício 6.22 
 Suponha que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme. (a) Calcule sua 
energia cinética rotacional. (b) Suponha que essa energia possa ser utilizada. Por quanto 
tempo a Terra poderia suprir cada um de seus sete bilhões de habitantes com uma 
potência de ? Dados: 
 e 
 . 
Respostas: (a) 
 ; (b) 
Exercício 6.23 
 Dois cilindros, um maciço e outro oco, de mesma massa e mesmo raio rolam, a 
partir do repouso, do topo de um plano inclinado de altura . (a) Quem chegará primeiro 
à base do plano inclinado? (b) Explique essa diferença em termos das energias cinéticas 
de translação e de rotação. Dados: 
 , 
 
 
 . 
 
 
21 
 
Exercício 6.1 
A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por 
 , onde está em radianos e em segundos. Quais são as velocidades angulares 
em (a) e (b) ? (c) Qual é a aceleração angular média no intervalo de 
tempo que começa em e termina em ? Qual é a aceleração angular 
instantânea (d) no início e (e) no fim desse intervalo? Respostas: (a) ( ) ⁄ ; 
(b) ( ) ⁄ ; (c) ̅ ⁄ ; (d) e ( ) ⁄ ; (e) 
 ( ) ⁄ . 
Solução: 
A velocidade angular é dada por: 
 
 
 
 
(a) Em : 
 ( ) ( ) ⁄ 
(b) Em : 
 ( ) ( ) ⁄ 
(c) A aceleração angular média no intervalo de tempo que começa em e 
termina em é: 
 ̅ 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ⁄ ⁄
 
 ⁄ 
A aceleração angular instantânea é dada por: 
 
 
 
 
(d) Em : 
 ( ) ⁄ 
(e) Em : 
 ( ) ⁄ 
Exercício 6.2 
Um disco, inicialmente girando a ⁄ é freado com uma aceleração angular 
constante de módulo ⁄ . (a) Quanto tempo o disco leva para parar? (b) Qual o 
deslocamento angular total descrito pelo disco durante esse tempo? (c) Quantas 
revoluções o disco executa até parar? Respostas: (a) ; (b) ; (c) 
 . 
Solução: 
(a) Sendo a aceleração angular constante: 
 
 
 
 
 
 ⁄
 ⁄
 
(b) O deslocamento angular total descrito pelo disco durante esse tempo é: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ⁄ )( ) 
 
 
( ⁄ )( ) 
22 
 
(c) Como uma revolução corresponde a , tem-se que o número de revoluções o 
disco executa até parar é: 
 
 
 ⁄
 
Exercício 6.3 
A velocidade angular do motor de um automóvel é aumentada numa taxa 
constante de ⁄ para ⁄ em . (a) Qual é a aceleração angular 
em revoluções por minuto ao quadrado? (b) Quantas revoluções o motor executa nesse 
intervalo de ? Respostas: (a) ⁄ ; (b) . 
Solução: 
(a) Como a taxa de variação da velocidade angular é constante, 
 
 
 
 
 ⁄ ⁄
( )( ⁄ )
 
 ⁄ 
(b) Para saber quantas revoluções o motor executa nesse intervalo de basta 
calcular o deslocamento angular: 
 
 
 
 
 
( ⁄ ) ( ⁄ ) 
 ( ⁄ )
 
 
Exercício 6.4 
Nosso Sol orbita o centro da Via Láctea a uma distância entre 
 do centro galáctico. Considere que o Sol está a do 
centro da Via Láctea, movendo-se em um círculo ao redor desse centro a uma 
velocidade de ⁄ . (a) Qual a distância do Sol ao centro da Via Láctea em metros? 
(b) Quanto tempo o Sol leva para fazer uma volta completa em torno do centro da 
galáxia? (c) Quantas voltas o Sol completou desde que ele foi formado, há cerca de 4,5 
bilhões de anos? Respostas: (a) ; (b) ; (c) . 
Solução: 
(a) O ano-luz que é a distância que a partícula de luz, chamada fóton, viaja em um 
ano no vácuo à velocidade ⁄ , ou seja, 
 
Logo, considerando que o Sol está a do centro da Via Láctea, então 
a distância do Sol ao centro da Via Láctea em metros é: 
 
 
 
 
( ) ( )
 
 
(b) O intervalo de tempo para que o Sol complete uma volta completa em torno do 
centro da galáxia é: 
 
 
 
 
 ( )
 ⁄
 
23 
 
(c) O número de voltas em torno do centro galáctico que o Sol completou desde que 
ele foi formado, há cerca de 4,5 bilhões de anos é: 
 
 
 
 
( )( ⁄ )
 
 
Exercício 6.5 
Partindo do repouso em , uma roda gira com aceleração angular constante. 
Quando , a velocidade angular da roda é de ⁄ . A aceleração continua até 
 , quando cessa abruptamente. De que ângulo gira a roda no intervalo de a 
 ? Resposta: . 
Solução: 
O movimento consiste de dois estágios. O primeiro, no intervalo , a 
roda está sendo acelerada com aceleração angular constante dada por: 
 
 ⁄
 
 ⁄ 
O segundo estágio, no intervalo , a roda gira com velocidade angular 
constante, igual à velocidade angular no final do primeiro estágio, dada por: 
 ( 
 ⁄ )( ) ⁄ 
O deslocamento angular do primeiro estágio vale: 
 
 
 
 ( )
 
 
 
( ⁄ )( ) 
 O deslocamento angular do segundo estágio vale: 
 ( ⁄ )( ) 
Portanto, a roda irá girar no intervalo de a num ângulo de: 
 
Exercício 6.6 
Uma roda executa 40 revoluções quando desacelera a partir de uma velocidade 
angular de ⁄ até parar. Supondo que a aceleração angular é constante, 
determine (a) a aceleração angular da roda. (b) o intervalo de tempo necessário para 
que a roda pare. (c) Quanto tempo é necessário para que a roda complete as 20 
primeiras revoluções? Respostas: (a) ⁄ ; (b) ; (c) . 
Solução: 
(a) Supondo que a aceleração angular é constante, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 ( ⁄ ) 
 ( ⁄ )
 ⁄ 
(b) Sendo a aceleração angular constante, 
 
 
 
 
 ⁄
 ⁄
 
(c) O intervalo de tempo para que a roda complete as 20 primeiras revoluções é: 
 
 
 
 ( ⁄ ) 
 
 
( ) 
24 
 
 
 
 √ ( )( )
 ( )
 
 
 
 
Como a roda para em , o valor não faz sentido. Logo, o tempo 
necessário para que a roda complete as 20 primeiras revoluções é . 
Exercício 6.7 
Um pulsar é uma estrela de nêutrons que gira rapidamente em torno de si própria 
e emite um feixe de rádio, do mesmo modo como um farol emite um feixe luminoso. 
Recebemos na Terra um pulso derádio a cada revolução da estrela. O período de 
rotação de um pulsar é determinado medindo o intervalo de tempo entre os pulsos. O 
pulsar da nebulosa do Caranguejo tem período que está aumentando a uma 
taxa de ⁄ . (a) Qual é a aceleração angular do pulsar? (b) Se se 
mantiver constante, daqui a quantos anos o pulsar vai parar de girar? (c) O pulsar foi 
criado pela explosão de uma supernova observada no ano de 1054. Supondo que a 
aceleração se manteve constante, determine o período logo após a explosão. 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) ; (c) . 
Solução: 
(a) Uma revolução completa corresponde ao deslocamento angular de , 
de modo que a velocidade angular é ⁄ ⁄ . A aceleração angular é, 
então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, para o pulsar da nebulosa do Caranguejo com período , que está 
aumentando a uma taxa de ⁄ ( ⁄ ): 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
(
 
 
) ⁄ 
O sinal negativo indica que o pulsar da nebulosa do Caranguejo está diminuindo sua 
velocidade angular, o que explica o fato de que seu período está aumentando a uma 
taxa de ⁄ . 
(b) Se a aceleração angular se mantiver constante, o pulsar da nebulosa do 
Caranguejo irá para de girar daqui a: 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
 
 ⁄
 
 
 ⁄
 ⁄
 
(c) Supondo que a aceleração se manteve constante desde que foi observado em 
1054, então o período do pulsar da nebulosa do Caranguejo logo após a explosão 
era de: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
25 
 
 
 
 
 
( ⁄ )(( ) ( ⁄ ))
 
 
Exercício 6.8 
Uma roda com oito raios de igualmente espaçados está montada em um eixo 
fixo e gira a ⁄ . Para atirar uma flecha com de comprimento paralelamente 
ao eixo da roda sem atingir um dos raios, (a) Qual é a menor velocidade que a flecha 
pode ter? Suponha que a flecha e os raios são muito finos. (b) O ponto entre o eixo e a 
borda da roda por onde a flecha passa faz alguma diferença? Caso a resposta seja 
afirmativa, para que ponto se deve mirar? Respostas: (a) ⁄ ; (b) Não. 
 
Solução: 
Para evitar que a flecha atinja um dos oito raios deve atravessar a roda num 
intervalo de tempo de, no mínimo: 
 
 
 
 
 ⁄
 ⁄
 
(a) Logo, a menor velocidade que a flecha pode ter é: 
 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
(b) Como o cálculo da menor velocidade que a flecha deve possuir não envolve 
nenhuma dependência da posição radial, não faz diferença em que ponto entre o 
eixo e a borda da roda por onde a flecha deve passar. 
Exercício 6.9 
Um CD (“Compact Disc”) de um sistema digital de áudio possui raios interno e 
externo de sua gravação de e , respectivamente. Durante a execução, o 
disco é varrido à velocidade linear constante de ⁄ , partindo-se de seu lado 
interno para o lado externo. (a) Se a velocidade angular inicial do disco é ⁄ , 
qual é a sua velocidade angular final? (b) Quantas revoluções completas (voltas) dará o 
CD desde que começou a tocar a primeira música até o final da última se as linhas 
espirais são separadas por ? (c) Qual é o tempo total de gravação? Respostas: (a) 
 ⁄ ; (b) ; (c) . 
Solução: 
(a) Como o CD o disco é varrido à velocidade linear constante ⁄ , temos 
que se a velocidade angular inicial do CD é ⁄ , então: 
 
 
 
 
 
( ⁄ )( )
 
 ⁄ 
(b) Se as linhas espirais de um CD são separadas por , então: 
26 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
( ) 
 
 
(c) O tempo total de gravação de um CD é: 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 ( ) 
 ⁄
 
Exercício 6.10 
O prato de um toca-discos de vinil está girando a 
 
 
 . Uma semente de 
melancia está sobre o prato a de distância do eixo de rotação. (a) Calcule a 
aceleração da semente, supondo que ela não escorregue. (b) Qual o valor mínimo do 
coeficiente de atrito estático entre a semente e o prato para que a semente não 
escorregue? (c) Suponha que o prato atinge sua velocidade angular final em , 
partindo do repouso com aceleração constante. Calcule o menor coeficiente de atrito 
estático necessário para que a semente não escorregue durante o período de 
aceleração. Respostas: (a) ⁄ ; (b) ; (c) 
 . 
Solução: 
(a) A velocidade angular constante, em ⁄ , do disco de vinil é dada por: 
 ( 
 
 
 ⁄ ) (
 ⁄
 ⁄
) ⁄ 
Logo, a aceleração centrípeta necessária para que a semente não escorregue é: 
 
 
 
 ( ⁄ ) ( ) ⁄ 
(b) Para que a semente não escorregue a força de atrito deve ser, pelo menos igual à 
força centrípeta, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄
 ⁄
 
(c) Se o prato atinge sua velocidade angular final em , partindo do repouso com 
aceleração constante, teremos que levar em conta as duas componentes do vetor 
aceleração, de modo que: 
 √ 
 
Onde a componente tangencial da aceleração vale 
 
 
 . Assim, 
 √ 
 √( ) ( ) √ 
 
 
 
Portanto, o novo valor do menor coeficiente de atrito estático necessário para que a 
semente não escorregue durante o período de aceleração é: 
27 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 ⁄
√( ⁄ ) 
( ⁄ ) 
( ) 
 
Exercício 6.11 
Uma pequena bola com de massa está presa a uma das extremidades de uma 
barra com de comprimento e massa desprezível. A outra extremidade da barra 
está pendurada em um eixo. Quando o pêndulo assim formado faz um ângulo de 
com a vertical, qual é (a) o módulo do torque exercido pela força gravitacional em 
relação a um eixo de rotação em ? (b) o sentido de giro? Respostas: (a) 
(b) No sentido anti-horário. 
 
Solução: 
(a) O torque exercido pela força gravitacional em relação ao eixo que passa por é 
dado por: 
 ⃗ ⃗ ⃗⃗ 
 ( )( ⁄ )( ) 
(b) Para a posição indicada o torque produz um giro no sentido anti-horário. 
Exercício 6.12 
Duas partículas, ambas de massa , estão presas à extremidade de uma barra 
rígida de massa desprezível e comprimento , com e . A 
barra é mantida horizontalmente no fulcro até ser liberada. Qual é o módulo da 
aceleração inicial (a) da partícula 1 e (b) da partícula 2? Respostas: (a) 
 ⁄ ; 
(b) 
 ⁄ 
 
Solução: 
 Tomando o giro horário como positivo: 
 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 
 ( 
 
 ) 
 
( 
 
 )
 
 ( )
 
 
 
Substituindo os valores: 
28 
 
 
 ( )
 
 
 
( ⁄ )( ) 
( ) ( ) 
 ⁄ 
(a) O módulo da aceleração inicial da partícula 1 é: 
 ( 
 ⁄ )( ) ⁄ 
(b) O módulo da aceleração inicial da partícula 2 é: 
 ( 
 ⁄ )( ) ⁄ 
Exercício 6.13 
Duas partículas, ambas com massa , estão ligadas uma à outra e a um 
eixo de rotação em por duas barras finas, ambas de comprimento e massa. O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular 
 ⁄ . Em relação a , quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a 
energia cinética do conjunto? Respostas: (a) ; (b) 
 . 
 
Solução: 
(a) As duas partículas podem ser tratadas como pontuais (discretas), de modo que o 
momento de inércia do conjunto em torno do eixo de rotação em vale: 
 
sendo o momento de inércia da barra de comprimento com um dos extremos em , 
 o momento de inércia da barra de comprimento e um dos extremos em , e os 
momentos de inércia das partículas em e . 
Para a primeira barra de comprimento , o teorema dos eixos paralelos nos diz 
que 
 , onde é o momento de inércia da barra em relação a um eixo 
passando pelo seu centro de massa e é o momento de inércia que a barra teria em 
relação a esse eixo se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. 
Logo: 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
Para a segunda barra de comprimento , o teorema dos eixos paralelos nos diz 
que: 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
Substituindo os valores: 
 (
 
 
 ) [
 
 
( ) ( )] ( ) 
29 
 
(b) A energia cinética do conjunto é dada por: 
 
 
 
 
 
 
( )( ⁄ ) 
Exercício 6.14 
(a) Em um salto de trampolim, a velocidade angular de uma atleta em relação ao 
eixo que passa pelo seu centro de massa varia de zero a ⁄ em . 
Seu momento de inércia em relação ao mesmo eixo é . Durante o 
salto, quais são os módulos da aceleração angular média da atleta e do torque 
externo médio exercido pelo trampolim sobre a atleta? 
(b) O virabrequim de um automóvel transfere energia do motor para o eixo a uma 
taxa de quando gira a ⁄ . Qual o torque (em newtons-metros) 
exercido pelo virabrequim? Dado: . 
Respostas: (a) ̅ ⁄ ; ̅ . (b) 
Solução: 
(a) A aceleração angular média da atleta é dada por: 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 ⁄ 
Se o momento de inércia da atleta em relação ao eixo que passa pelo seu centro 
de massa é , então o torque externo médio exercido pelo trampolim sobre a 
atleta vale: 
 ̅ ̅ ( )( ⁄ ) 
(b) Como ⁄ ( ) (
 
 
) ⁄ . Logo, o torque (em 
newtons-metros) exercido pelo virabrequim é: 
 
 
 
 
( )( ⁄ )
 ⁄
 
Exercício 6.15 
Na figura a seguir, o bloco 1 tem massa e o bloco 2 tem massa 
 , e a polia, que está montada em um eixo horizontal com atrito desprezível, 
tem raio . Quando o sistema é liberado a partir do repouso o bloco 2 cai 
 em sem que a corda deslize na borda da polia. (a) Qual é o módulo da 
aceleração dos blocos? (b) Qual é o valor das tensões e ? (c) Qual é o módulo da 
aceleração angular da polia? (d) Qual é o momento de inércia da polia? 
 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) , ; (c) 
 ⁄ ; (d) 
 . 
Solução: 
30 
 
(a) Como a corda não desliza na borda da polia, a aceleração (constante) do conjunto 
é a mesma. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
( ) 
 ⁄ 
 
(b) Sendo , o bloco 1 subirá e o bloco 2 irá descer, ambos com a aceleração 
constante ⁄ . Logo: 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ( )( 
 ⁄ ⁄ ) 
 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ( ) 
 ( )( 
 ⁄ ⁄ ) 
(c) O módulo da aceleração angular da polia é: 
 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄ 
(d) Adotando como positivo o giro no sentido horário, temos que o torque resultante 
que atua sobre a polia vale: 
 ( ) 
Como , temos que: 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
[( ) ]( )
 ⁄
 
Exercício 6.16 
 Uma casca esférica uniforme de massa e raio pode girar 
em torno de um eixo vertical sem atrito. Uma corda de massa desprezível, enrolada no 
equador da casca, passa por uma polia de momento de inércia e 
raio e está presa a um pequeno objeto de massa . Não há atrito no 
eixo da polia e a corda não escorrega na casca nem na polia. Qual é a velocidade do 
objeto depois de cair após ter sido liberado a partir do repouso? Use 
considerações de energia. Resposta: ⁄ . 
 
Solução: 
O momento de inércia da casca esférica é dado por ⁄ , de modo que a 
energia cinética do conjunto após o bloco de massa ter descido de uma altura 
 é igual à variação da energia potencial gravitacional, ou seja, 
31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com 
 ⁄ e 
 . Como a corda não escorrega na 
casca nem na polia , de modo que: 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 √
( )( ⁄ )( )
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 ⁄ 
Exercício 6.17 
 Uma pessoa está em pé sobre uma plataforma que gira sem atrito com velocidade 
angular de ⁄ . Seus braços estão abertos e ela segura um haltere em cada mão. O 
momento de inércia formado pela pessoa, os halteres e a plataforma em relação ao eixo 
vertical central da plataforma é de . Se, ao mover os braços para junto do 
corpo, a pessoa reduz o momento de inércia do sistema para , determine (a) a 
nova velocidade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energia cinética do 
sistema e a energia cinética inicial. (c) De onde vem a energia cinética adicional? 
Respostas: (a) ⁄ ; (b) ⁄ . (c) A pessoa realizou trabalho ao trazer os 
halteres para junto do corpo. Logo, a energia adicional veio de sua energia interna. 
Solução: 
(a) As únicas forças externas que atuam sobre esta pessoa são seu peso ⃗⃗ e a reação 
normal ⃗⃗⃗ da plataforma sobre a pessoa. Ambas atuam no CM dessa pessoa de 
modo que a resultante dos torques externos em relação a um eixo fixo que passe 
pelo CM dessa pessoa é nula, ou seja, 
∑ ⃗ ⃗⃗ 
Logo: 
 (
 
 
) (
 
 
) ( ⁄ ) ⁄ 
(b) A razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial é: 
 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄
 
 
 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)(
 ⁄
 ⁄
)
 
 
32 
 
 
 
 
(c) O fato de que indica que a pessoa realizou trabalho ao trazer os halteres 
para junto do corpo. Logo, a energia adicional veio de sua energia interna. 
Exercício 6.18 
 Uma roda com de raio, que está se movendo inicialmente a ⁄ , rola 
 até parar. Calcule o módulo (a) da aceleração linear e (b) da aceleração angular 
da roda. (c) O momento de inércia da roda em torno do eixo central é . 
Calcule o módulo do torque em relação ao eixo central devido ao atrito sobre a roda. 
Respostas: (a) ⁄ ; (b)⁄ ; (c) . 
Solução: 
Como a roda, com de raio, está se movendo inicialmente a ⁄ , rola 
 até parar, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
(a) O valor da aceleração linear (suposta constante) da roda pode ser calculado a 
partir da equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde é a distância que a roda rola até parar. Substituindo os valores 
fornecidos: 
 
 
 
 
 
( ⁄ ) 
 ( )
 ⁄ 
 
(b) O valor da aceleração angular fica então: 
 
 
 
 
 ⁄
 
 ⁄ 
(c) O módulo do torque em relação ao eixo central devido ao atrito sobre a roda é 
dado por: 
 
Como o momento de inércia da roda em torno do eixo central é , então: 
 ( )( ⁄ ) 
Exercício 6.19 
O virabrequim de um automóvel transfere energia do motor para o eixo a uma 
taxa de quando gira a ⁄ . Qual o torque (em newtons-metros) exercido 
pelo virabrequim? Resposta: . 
Solução: 
 Como , temos que: 
 
 
 
 
( )( ⁄ )
( )( ⁄ ) ( )( ⁄ )⁄
 
Exercício 6.20 
(a) Explique por que o puxador da porta é colocado o mais longe possível das 
dobradiças. 
33 
 
Resposta: 
 
(b) Usando a lei de conservação do momento angular explique por que, na prova 
olímpica de salto do trampolim de , o atleta tem a necessidade de encolher 
os braços e pernas para dar um duplo giro antes de mergulhar? 
Resposta: 
Exercício 6.21 
 O momento angular de um volante com momento de inércia de em 
relação ao eixo central diminui de ⁄ para ⁄ em . (a) Qual 
é o módulo do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o volante durante 
esse período? (b) Supondo uma aceleração angular constante, de que ângulo o volante 
gira? (c) Qual é o trabalho realizado sobre o volante? (d) Qual é a potência média do 
volante? 
Respostas: (a) ; (b) ; (c) ; (d) ̅ . 
Solução: 
(a) Se o momento angular de um volante com momento de inércia de em 
relação ao eixo central diminui de ⁄ para ⁄ em , 
temos que o valor do torque médio em relação ao eixo central que age sobre o 
volante durante esse período vale: 
 ̅ 
 
 
 
 ⁄ ⁄
 
 
(b) Supondo uma aceleração angular constante, temos que o deslocamento angular 
do volante é dado por: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 ̅
 
 
pois, ̅ . 
Substituindo os valores: 
 (
 
 
) 
 ̅
 
 (
 ⁄
 
) ( ) 
( )
 ( )
( ) 
(c) O trabalho realizado pelo volante é: 
 ( )( ) 
(d) A potência média do volante é dada por: 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6.22 
 Suponha que a Terra seja uma esfera de densidade uniforme. (a) Calcule sua 
energia cinética rotacional. (b) Suponha que essa energia possa ser utilizada. Por quanto 
tempo a Terra poderia suprir cada um de seus sete bilhões de habitantes com uma 
potência de ? Dados: 
 e 
 . 
Respostas: (a) 
 ; (b) 
Solução: 
(a) A energia cinética rotacional da Terra, suposta ser uma esfera de densidade 
uniforme, é: 
34 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ) (
 
 
)
 
 
 
 
 
Substituindo os valores: 
 
 
 
 
 ( )( ) 
 ( ) 
 
(b) Supondo que a energia cinética rotacional da Terra possa ser utilizada para suprir 
cada um de seus sete bilhões de habitantes com uma potência de , 
teríamos que: 
 ̅ 
 
 
 
 
 ̅
 
 
( )( )
 
 
Exercício 6.23 
 Dois cilindros, um maciço e outro oco, de mesma massa e mesmo raio rolam, a 
partir do repouso, do topo de um plano inclinado de altura . (a) Quem chegará primeiro 
à base do plano inclinado? (b) Explique essa diferença em termos das energias cinéticas 
de translação e de rotação. Dados: 
 , 
 
 
 . 
Solução: 
(a) O rolamento não dissipa a energia mecânica inicial (que é a mesma) dos cilindros, 
apenas particiona a energia cinética final entre energia cinética de translação e 
energia cinética de rotação. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, para o cilindro oco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √ 
Para o cilindro maciço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 √
 
 
 
Como 
 
 
 , o cilindro maciço chegará primeiro à base do plano inclinado. 
(b) Como a energia mecânica inicial é a mesma para os cilindros, temos que na base 
do plano inclinado: 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
Estes resultados explicam porque o cilindro maciço chega primeiro à base do plano 
inclinado: ele transforma ⁄ de sua energia mecânica inicial (que é a mesma para os 
dois cilindros) em energia cinética de translação, enquanto que o cilindro oco 
transforma apenas a metade de sua energia mecânica inicial (que é a mesma para os 
dois cilindros) em energia cinética de translação.