tlansformada inversa de laplace

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Sinais e Sistemas - 16 
Rogério Largo – Setúbal 1999 16
Transformada inversa de Laplace 
 
Já foi atrás apresentada a expressão que define a transformada inversa de 
Laplace. Esse integral pode ser de resolução complicada. Existem métodos 
expeditos de obter a transformada inversa. Vamos aqui apresentar um baseado 
na expansão em fracções simples. 
 
Método da expansão em fracções simples 
 
Assume-se que a transformada de Laplace está representada por uma razão de 
polinómios, o que ocorre sempre para as funções que nos interessam no âmbito 
da engenharia. 
( )( ) ( )
1 1
1 1 0 1 1 0
1
1 11 1 0
... ...( )( )
( ) ......
m m m m
m m m m
n n
n nn
b s b s b s b b s b s b s bN sX s
D s s p s p s ps a s a s a
− −
− −
− −−
+ + + + + + + += = = − − −+ + + + 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 17 
Rogério Largo – Setúbal 1999 17
Pólos são todos diferentes (pi≠pj se i≠j). 
Em geral n>m isto é há mais pólos que zeros pelo que X(s) pode ser escrito 
como uma soma de termos em cujo denominador apenas existe um pólo (fracções 
simples): 
( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 ... n
A A AnX s
s p s p s p
= + + +− − − Ak é o resíduo de X(s) no pólo pk. 
( ) ( )
( )
k
k k
s p
N sA s p
D s =
= −
 
 
Das tabelas: 
k TLp t k
k
k
AA e
s p
←→ − 
 
 
 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 18 
Rogério Largo – Setúbal 1999 18
Exemplo: Obter x(t) a partir da sua transformada de Laplace X(s) 
( ) ( )( )( ) 31 2
5 3
1 2 3 1 2 3
As A AX s
s s s s s s
+= = + ++ + + + + + 
Os resíduos nos pólos {-1;-2;-3} obtém-se da seguinte maneira: 
( )1 1A s= + ( )( )
5 3
1
s
s
+
+ ( )( ) ( )( )
1
5 3 1
1 2 1 32 3
s
s s =−
  − +  = = −− + − + + +  
( )
( )( )2 2
5 3 7 7
1 3 1
s
s
A
s s =−
 + −= = = + + −  
( )
( ) ( )3 3
5 3 12 6
1 2 2
s
s
A
s s =−
 + −= = = − + +  
 
Então X(s) expandido em fracções simples e a sua transformada inversa são: 
( ) 1 2 31 7 6 ( ) 7 6 ( )
1 2 3
TL t t tX s x t e e e u t
s s s
− − − −− −  == + + → = − + − + + + 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 19 
Rogério Largo – Setúbal 1999 19
Pólos de ordem múltipla 
Caso existam pólos de ordem superior à primeira (vários pólos iguais) aparecem 
no denominador da função termos do tipo (s+si)r. 
 
Exemplo: 
 ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2
1
1 2 31 2 3 3 3
( ) ... rr r r
N s A A B B BX s
s s s s s ss s s s s s s s s s −
 = = + + + + + + + ++ + + + +   
O pólo com multiplicidade r tem r resíduos que se calculam da seguinte forma: 
( )
3
1 3( )
r
s s
B X s s s
=−
 = +  Notar que ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2
( )r N sX s s s
s s s s
+ = + + 
( )
3
2 3( )
r
s s
dB X s s s
ds =−
 = +  
( )
3
2
3 32
1 ( )
2
r
s s
dB X s s s
ds =−
 = +  
........ 
( ) ( ) 3
1
31
1 ( )
1 !
r
r
r r s s
dB X s s s
r ds
−
− =−
 = + − Expressão genérica para os resíduos. 
Sinais e Sistemas - 20 
Rogério Largo – Setúbal 1999 20
Exemplo: Obter a transformada inversa de X(s) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
31 2 1 2
3 3 2
1
2 11 2 1 1
BA A B BX s
s s ss s s s s
= = + + ++ ++ + + + 
( ) ( )1 3 0
1 1
21 2
s
A
s s =
 = = + +   ; ( )2 3 2
1 1
21
s
A
s s =−
 = = +   
Pólo triplo S3=-1 ⇒ ( )( ) ( )
3 11
2
X s s
s s
+ = + . Assim os resíduos B1, B2 e B3 
viram: ( )1 1
1 1 1
2 1
s
B
s s =−
 = = = − + −  
( ) ( )2 221
1
1 (2 2) 0 0
2 12s
s
d sB
ds s s s s=− =−
  − += = = = +  + 
 
 Notar que ( ) 2
1 1
2 2s s s s
=+ + 
Sinais e Sistemas - 21 
Rogério Largo – Setúbal 1999 21
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
2
3 2 22
1
1
22 2
42
1
2 21 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 21 2
2 2
s
s
s
sd dB
s s dsds s s
s s s s s s
s s
=− =−
=−
   − + = = =   +  +  
 − + + + + +  = − +  
 
 
A expansão em fracções simples e a transformada inversa vem: 
( ) ( ) ( ) )(22
1
2
1
2
1)(
1
2
1
0
1
1
2
2
1
2
1
)( 2223
1
tueetetx
sssss
sX tttTL 

 −++=→+
−++++
−+++=
−−−−
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 22 
Rogério Largo – Setúbal 1999 22
Pólos de complexos conjugados 
Pólos complexos conjugados ocorrem em pares complexos conjugados: S1⇒ S1* 
 
Na expansão em fracções simples, os resíduos A1 e A1* também são complexos 
conjugados: 
[ ] )(
)()())((
)( *
11
1 *
11*
1
*
1
1
1
*
11
tueAeA
ss
A
ss
A
ssss
sN tstsTL −− +→+++=++
−
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 23 
Rogério Largo – Setúbal 1999 23
Exemplo: 
sjsjs
s
sss
ssF
)866.05.0)(866.05.0(
1
)1(
1)( 2 −+++
+=++
+= 




=
−=
−=−
=−−
⇔−−+−+=−
⇔−−
−=+−−
⇔
++++
+=+
+++
+=
−−=
−−=
0
1
866.0866.0866.0
5.05.05.0
)866.05.0()75.0866.025.0(866.05.0
866.05.0
866.05.0)866.05.0(
)1(
)1(
1
1
)(
2
1
21
21
21
21
866.05.0
2
2866.05.021
2
21
α
α
αα
αα
αα
αα
αα
αα
jjj
j
jj
ss
sss
ss
s
A
ss
ssF
js
js
 
1
)1(
)1(
0
2 =


++
+=
=s
s
sss
sA 
 
Sinais e Sistemas - 24 
Rogério Largo – Setúbal 1999 24
[ ]
[ ]
[ ]
)()
2
3sin()
2
3cos()(
)(
3
2)5.0(
2
3)5.0(
2
3
2
3)5.0(
5.0)(
)(
4/3)5.0(
)(
1
1
)(
1
1
)(
5.05.0
2
2
1
2
2
11
2
11
1
2
11
2
tueetf
tu
s
TL
s
sTLsFTL
tu
s
sTLsFTL
s
TL
ss
sTLsFTL
sss
ssF
tt ++−=
+












−



+−
+













+−
−−=
=+


+−−=
=

+


++
−=
+++
−=
−−−
−−
−−−
 
 
 
Sinais e Sistemas - 25 
Rogério Largo – Setúbal 1999 25
Resolução de equações diferenciais 
Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais: 
Tomando a equação diferencial seguinte com as condições iniciais dadas: 
 


=′
−==++
2)0(
1)0(
 )(5)(2)(3)(2
2
x
x
tutx
dt
tdx
dt
txd
 
Aplicando transformada de Laplace a ambos os membros: 
2 5( ) (0) (0) 3 ( ) 3 (0) 2 ( )S X S Sx x SX S x X S
S
′− − + − + = ⇔ 
( )
S
SSXSS 51)(232 +−−=++ 
 
Então: ( )23 5)( 2
2
++
+−−=
SSS
SSSX 
Para obter a expressão temporal de x(t) é só calcular a transformada inversa. 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 26 
Rogério Largo – Setúbal 1999 26
Representação de Fourier dos Sinais 
O estudo de sinais e sistemas usando representação sinusoidal é designado por 
análise de Fourier (Joseph Fourier, 1768-1830). 
 
A representação de Fourier a aplicar depende da classe dos sinais. A tabela 
apresentada abaixo mostra essa relação: 
 
Tabela – Relações entre as propriedades no tempo dos sinais e a 
representação de Fourier adequada. 
Propriedade 
temporal Periódico Não Periódico 
Continuo Série de Fourier Transformada de Fourier 
Discreto Série Discreta de Fourier Transformada Discreta de Fourier 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 27 
Rogério Largo – Setúbal 1999 27
Transformada de Fourier (Sinais não periódicos em tempo 
contínuo) 
 
Uma apresentação da transformada de Fourier pode ser feita como um limite 
das series de Fourier quando o período tende para infinito. 
 
Definição de transformada de Fourier: 
( ) ( ) jwtX jw x t e dt
∞ −
−∞= ∫ Transformada de Fourier (Eq. de análise) 
1( ) ( )
2
jwtx t X jw e dwπ
∞
−∞= ∫ Transformada inversade Fourier (Eq. de síntese) 
 
( ) ( )TFx t X jw←→ 
 
X(jw) descreve o sinal x(t) como uma função de frequência w e designa-se 
como a sua representação no domínio da frequência. 
 
Sinais e Sistemas - 28 
Rogério Largo – Setúbal 1999 28
Condições de convergência: Condições para garantir que X(jw) é finito é que 
x(t) seja de quadrado integrável (isto é que tenha energia finita): 
2( )x t dt
∞
−∞ < ∞∫ 
Uma condição equivalente é estabelecida se x(t) for absolutamente integrável: 
( )x t dt
∞
−∞ < ∞∫ 
e tiver um número finito de descontinuidades e de máximos ou mínimos locais 
em qualquer intervalo finito, e essas descontinuidades forem finitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 29 
Rogério Largo – Setúbal 1999 29
Transformada de Fourier de sinais básicos 
 
Função exponencial: 
 
a) x(t) = e-atu(t), a>0 
 
( )
( )
00
1( ) ( ) , 0
a jw t
at jwt a jw t eX jw e u t e dt e dt a
a jw a jw
− +∞ ∞− − − + ∞
−∞= = = − = >+ +∫ ∫ 
 
X(jw) é uma função complexa. Pode ser representado em módulo e fase: 
( ) 1
2 2
1 ( ) ( ) , ( ) , ( )j X jw wX jw X jw e X jw X jw tg
aa w
∠ −  = = ∠ = −   + 
 x(t) |X(jw)| Fase de X(jw) 
 
 
 
 
 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-5 0 5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-5 0 5
-2
-1
0
1
2
Sinais e Sistemas - 30 
Rogério Largo – Setúbal 1999 30
-1 -0.5 0 0.5 1
0
0.5
1
 
b) x(t) = e-a|t|u(t), a>0 x(t) 
 
0 ( ) ( )
0
2 2
( )
1 1 2 , 0
a t jwt a jw t a jw tX jw e e dt e dt e dt
a a
a jw a jw a w
∞ ∞− − − − +
−∞ −∞= = +
= + = >− + +
∫ ∫ ∫
 
 
Neste caso X(jw) é real. 
 
Nota: - Em (a) e (b), se a for complexo o resultado é o mesmo. Apenas a 
condição será Re{a} >0 . 
 
Impulso de Dirac: x(t) = δ(t) 
 
( ) ( ) 1jwtX jw t e dtδ∞ −−∞= =∫ 
 
Notar que δ(t) = 0 para t ≠ 0 e que ej0 = 1. 
t
0
1 δ(t)
w
0
1 X(w)
Sinais e Sistemas - 31 
Rogério Largo – Setúbal 1999 31
 
Função rectangular: 
1
1
1, 
( )
0, 
t T
x t
t T
 <=  > 
( )
( )
1
1 1
1
1 1 1
1 1
1
1( ) ( )
2 1 2 ( ) . ( ) 2
2
T jwT jwTjwt jwt
T
jwT jwT
X jw x t e dt e dt e e
jw
sen wTe e sen wT T
w j w wT
∞ −− −
−∞ −
−
= = = − −
= − = =
∫ ∫
 Sinc(w) = sen(w)/w 
 
É uma função da forma 
( )sen x
x , designada por sinc(x) 
 
Função rectangular na frequência: 
 
0
0
1, 
( )
0, 
w w
X jw
w w
 <=  > Aplicando a transformada de Fourier inversa: 
 
-15 -10 -5 0 5 10 15
-0.5
0
0.5
1
t
-T1
1 x(t)
T1
Sinais e Sistemas - 32 
Rogério Largo – Setúbal 1999 32
( )
( )
0
0 0
0
0 0 0 0
0
0
1 1 1( ) ( )
2 2 2 .
( )1 1 1 . ( )
2
w jw t jw tjwt jwt
w
jw t jw t
x t X jw e dw e dw e e
jt
w sen w te e sen w t
t j t w t
π π π
π π π
∞ −
−∞ −
−
= = = −
= − = =
∫ ∫
 
 
Deve salientar-se aqui a dualidade entre as duas funções anteriores: Um 
rectângulo num domínio corresponde a uma função “sinc” no outro. É uma 
consequência do princípio da dualidade que se enunciará mais à frente. 
 
Nota. A função “sinc”, numa formulação exacta, é definida da seguinte maneira: 
( )( ) sensinc πθθ πθ= . 
Desta forma as suas passagem por zero verificam-se nos pontos θ= ±1, ±2, etc. 
 
 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 33 
Rogério Largo – Setúbal 1999 33
Sinusóides: 
0 0
0 0 0
1sin( ) ( ) [ ( ) ( )]
2
TFjw t jw tw t e e w w w w
j j
π δ δ−= − ←→ − − + 
0 0
0 0 0
1cos( ) ( ) [ ( ) ( )]
2
TFjw t jw tw t e e w w w wπ δ δ−= + ←→ − + + 
Como é conhecido as funções sinusoidais contêm uma única frequência. Logo 
era de esperar que a sua representação em frequência desse conta desse facto. 
Em ambos os casos obtiveram-se Dirac’s localizados em ±w0 (apenas diferindo 
na fase). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
w
w0
π
TF{cos(w0 t)}
-w0
Sinais e Sistemas - 34 
Rogério Largo – Setúbal 1999 34
Tabela – Transformada de Fourier de funções elementares 
 
Função 
temporal 
x(t) 
Transformada de 
Fourier X(jw) Notas 
 e-atu(t) 
1
( )a jw+ Re{a}>0 
 e-a|t| 2 2
2 a
a w+ Re{a}>0 
 te-atu(t) 2
1
( )a jw+ Re{a}>0 
 δ(t) 1 Delta de Dirac 
 δ(t-t0) exp(-jw t0) Delta atrasado 
 
1
( )
2
trect
T 1 12T sinc(w T ) Função rectangular 
0
0( )2
w sinc w tπ ( )2 0
wrect
w 
Função rectangular na frequência 
Sinais e Sistemas - 35 
Rogério Largo – Setúbal 1999 35
 
 sen(w0t) 0 0[ ( ) ( )]w w w wj
π δ δ− − + Função seno 
 cos(w0t) 0 0[ ( ) ( )]w w w wπ δ δ− + + Função coseno 
 exp(jw0 t) 2πδ(w-w0) Exponencial complexa 
 
Propriedades da transformada de Fourier 
 
Usando funções simples cujas transformadas podem ser consultadas em 
tabelas e recorrendo às propriedades que se enunciam a seguir podem obter-se 
facilmente as transformadas de funções mais complicadas. 
 
i.) Linearidade 
TF{x(t)} = X(jw) 
TF{y(t)} = Y(jw) ⇒ TF{ax(t)+by(t)} = aX(jw) +bY(jw) 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 36 
Rogério Largo – Setúbal 1999 36
ii.) Deslocamento no tempo 
TF{x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x(t-t0)} = exp(-jwt0)X(jw) 
A demonstração é simples recorrendo a uma mudança de variável: τ = t-t0 : 
0 0 0( )
0 0{ ( )} ( ) ( ) ( ) ( )
jw t jwt jwtjwt jwTF x t t x t t e dt x e d e x e d e X jwτ ττ τ τ τ∞ ∞ ∞− − − −− −−∞ −∞ −∞− = − = = =∫ ∫ ∫ 
 
iii.) Deslocação na frequência (Modulação) 
TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x(t)exp(jw0t)}=X(j(w-w0)) 
 
O espectro do sinal que se encontrava em redor da origem é deslocado para w0. 
Fazendo o produto for por sinusóides, recorrendo às fórmulas de Euler obtém-
se: 
( ){ } ( )( ) ( )( )0 0 01( )s 2TF x t en w t X j w w X j w wj  = − − +  
( ){ } ( )( ) ( )( )0 0 01( ) cos 2TF x t w t X j w w X j w w = − − +  
 
 
Sinais e Sistemas - 37 
Rogério Largo – Setúbal 1999 37
 
iv.) Diferenciação e Integração 
TF {x(t)} = X(jw) ⇒ TF{x´(t)} = jwX(jw) e TF{x(n)(t)} = (jw)nX(jw) 
 
Também ( ){ } ( ) ( )1 0 ( )tTF x d X jw X j wjwτ τ π δ−∞ = +∫ 
 
v.) Escalonamento no tempo e em frequência 
TF{x(t)} = X(jw) ⇒ ( ){ } 1 jwTF x at Xa a =    , a real não nulo. 
Fazendo a = -1, também se obtém: TF{x(-t)}=X(-jw) 
 
Se a > 1 temos uma compressão na escala de tempo de que resulta um 
expansão na frequência e vice-versa. 
 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 38 
Rogério Largo – Setúbal 1999 38
vi.) Conjugado 
Sendo: TF{x(t)} = X(jw) então: TF{x* (t)} = X* (-jw), 
 
Note-se que : 
 
( ) ( )
( ) ( ){ }
*
*
*
( ) *
trocando por fica:
( ) * * , c.q.d.
jwt jwt
jwt
X jw x t e dt x t e dt
w - w
X jw x t e dt TF x t
∞ ∞−
−∞ −∞
∞ −
−∞
 = =  
− = =
∫ ∫
∫ 
 
- Propriedade do conjugado simétrico: 
Se x(t) for real então x*(t) = x(t), X*(-jw) = X(jw). Ù X(-jw) = X*(jw). 
Consequência : |X(jw)| é uma função par e Fase[X(jw)] é impar: 
 
X(-jw)= |X(-jw)|ejΦ(-w) e X*(jw)= |X*(jw)|e-jΦ(w) 
 
Sendo X(jw) = X*(-jw) ⇒ |X(jw)|= |X*(-jw)| e Φ(-jw) = -Φ(jw) 
De igual modo se vê que Re{X(jw)} é par e Im{X(jw)} é impar. 
 
Sinais e Sistemas - 39 
Rogério Largo – Setúbal 1999 39
Exemplo: Função real: x(t) = e-atu(t), a>0 ⇒ 
1( )X jw
a jw
= + 
portanto: 
1( ) *( )X jw X jw
a jw
− = =− , como se esperava. 
 
 - Consequências da propriedade do conjugado simétrico 
 (a) x(t) real e par então também X(jw) é real e par: 
 x(t) = x(-t) ⇒ X(-jw) = X(jw) 
 
 (b) x(t) real e impar então X(jw) é imagináriapura e par: 
 x(t) = -x(-t) ⇒ X(-jw) = -X(jw) e X(jw) = Im[X(jw)] 
 
 (c) Separando x(t) nas suas componentes par e impar, atendendo a (a) e (b), 
teremos: 
 x(t) = xP(t) + xI(t) logo TF{x(t)} = TF{xP(t)} + TF{xI(t)} 
 
 Pelo que: TF{xP(t)} = Re[X(jw)] e TF{xI(t)} = Im[X(jw)] 
 
Sinais e Sistemas - 40 
Rogério Largo – Setúbal 1999 40
Exemplo: Função real e par: x(t) = e-a|t|, a>0, 
 
 x(t) = 2Par[e-atu(t)] = 2{[e-atu(t)+ e atu(-t)]/2} , { } 1( )atTF e u t a jw− = + 
 logo { } | |2 21 22 [ ( )] 2Re[ ] { }at a taTF Par e u t TF ea jw a w− −= = =+ + c.q.d 
 
vii.) Princípio da dualidade 
Sendo: TF{x(t)} = X(jw) então: TF{X(t)} = 2π x(-jw) 
 
Exemplo: Calcular 2
2
1
TF
t
  +  . Sabemos que: { }| | 22a t aFT e a w− = + . 
A nossa função no tempo assemelha-se a esta transformada com a=1 , isto é: 
{ }| | 221tTF e w− = + . 
Pelo princípio da dualidade obtém-se: 2
2 2
1
wTF e
t
π −  = +  
Sinais e Sistemas - 41 
Rogério Largo – Setúbal 1999 41
viii.) Convolução 
Definição da convolução de x(t) com h(t): ( )* ( ) ( ) ( )
t
x t h t x h t dτ τ τ−∞= −∫ 
Esta propriedade estabelece que : TF{x(t)*h(t)} = X(jw)H(jw) 
 
ix.) Relação de Parseval 
Estabelece que a energia do sinal x(t) pode ser calculada a partir da sua 
transformada: 
 
2 21( ) ( )
2
x t dt X w dwπ
∞ ∞
−∞ −∞=∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
Sinais e Sistemas - 42 
Rogério Largo – Setúbal 1999 42
Tabela – Propriedades da transformada de Fourier 
 
Função temporal 
x(t) 
Transformada de Fourier 
X(jw) Notas 
a1x(t) + a2y(t) a1X(jw) + a2Y(jw) Linearidade 
x(t-t0) exp(-jw t0)X(jw) 
Deslocamento no 
tempo 
x(at) 


aa
1 jwX Escalamento no tempo 
x*(t) X*(-jw) Conjugação 
x(-t) X(-jw) Reflexão no tempo 
)0 x(te tjw X(j(w-w0) Modulação 
( )n
n
d x t
dt 
(jw)nX(jw) Derivação 
tx(t) 
dw
jwdXj )( 
Derivação na 
frequência 
Sinais e Sistemas - 43 
Rogério Largo – Setúbal 1999 43
( )t x dτ τ−∞∫ )()0()( wjXjwjwX δπ+ Integração 
X(t) 2πx(-jw) Dualidade 
x(t)*y(t) X(jw)Y(jw) Convolução no tempo 
x(t)y(t) 12π X(jw)*Y(jw) 
Convolução na 
frequência 
2
( )x t dt
∞
−∞∫ 
21 ( )
2
X w dwπ
∞
−∞∫ Relação de Parseval