1ª Lista de Exercícios Vetores, Produto Escalar e Produto Vetorial

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UNIPAMPA - Universidade Federal do Pampa 
Campus: Bagé 
Curso: Eng. Química e Eng. de Energias 
Disciplina: BA011015 - Geometria Analítica 
Professor: Fábio Ronei Rodrigues Padilha 
 
 
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS: VETORES, PRODUTO ESCALAR, PRODUTO VETORIAL 
E PRODUTO MISTO 
 
 
1) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é 
paralelo ao terceiro lado igual à sua metade. 
 
2) Dados os vetores a
�
, b
�
 e c
�
, como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores: 
 
a) 4 2a b c− −
� � �
 
 
b) a b c+ +
� � �
 
 
c) ( )2b a c− +� � � 
 
3) Encontrar os números 1a e 2a tais que 1 1 2 2v a v a v= +
� �� ���
, sendo ( )10, 2v =� , ( )1 3,5v =
��
 e 
( )2 1, 2v = −
���
. 1 2R : 2 4v v v= −
� �� ���
 
 
4) Sendo ( )A 2, 4− e ( )B 4,1 extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que 
dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. ( ) ( )R : F 0,3 e G 2, 2= = 
 
5) Dados os pontos ( )A 2, 1− e ( )B 1, 4− e os vetores ( )1,3u = −� e ( )2, 1v = − −� , determinar: 
 
a) u
�
 R : 10 
 
b) u v+
� �
 R : 13 
 
c) 2 3u v−
� �
 R : 97 
 
d) A distância entre os pontos A e B. 
R : 34
6) Determinar, no Ox , um ponto P que seja equidistante dos pontos ( )A 1, 2− − e ( )B 5, 4− . 
( )R : P 3,0 
 
7) Sabendo que o ponto ( )P 3, ,m n− pertence à reta que passa pelos pontos ( )A 1, 2,4− e 
( )B 1, 3,1− − , determinar m e n . R : 4 e 2m n= − = − 
 
8) Seja o triângulo de vértices ( )A 4, 1, 2− − , ( )B 2,5, 6− e ( )C 1, 1, 2− − . Calcular o comprimento da 
mediana do triângulo relativa ao lado AB. R : 17 
 
9) Métodos para resolver sistemas lineares tais como Regra de Cramer e o escalonamento valem 
para sistemas lineares vetoriais. Utilize-os para resolver os sistema nas incógnitas x
�
, y
��
 e z
�
: 
 
0
x y z u v
x y z u v
x y z
 + − = +

− + = −

− + + =
� �� � � �
� �� � � �
� �� �
 
R : , e 
2 2
u v u v
x u y z+ −= = =
� � � �
� � �� �
 
 
10) Prove que: 
 
a) ( ) ( ), é LI , é LIu v u v u v⇔ + −� � � � � � 
b) ( ) ( ), , é LI , , é LIu v w u v u w v w⇔ + + +� � �� � � � �� � �� 
c) ( ) ( ), , é LI , ,3 é LIu v w u v w u v v⇔ + + −� � �� � � �� � � � 
 
11) Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. 
 
12) Sabendo que a distância entre os pontos ( )A 1, 2,3− e ( )B 1, 1, m− é 7, calcular m . 
R : 3 ou 9m m= − = 
 
13) Determinar α para que o vetor 1 1, ,
2 4
v α
 
= − 
 
�
 seja unitário. 
11R :
4
α = ± 
 
14) Em relação a uma base ortonormal, são dados ( )2,0, 3u = −� e ( )1,1,1v =� . Calcule, em radianos, 
a medida angular entre 
 e u v
� �
. 
1R :
39
arccosθ  = − 
 
 
15) Obter o vetor v
�
, sabendo que 4v =
�
, v
�
 é ortogonal ao eixo Oz , forma ângulo de 60º com 
vetor i
�
 e ângulo obtuso com j
�
. 
( )R : 2, 2 3,0v = −� 
 
16) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo ( )A 3, 3,3− , ( )B 2, 1, 2− e ( )C 1,0, 2 . 
� � �9 3 5R : A , B e C
284 28
arccos arccos arccos
    
= = − =         
 
 
17) Dados os pontos ( )A 2,2, 3− e ( )B 3,1, 3− , calcular os ângulos diretores do vetor AB���� . 
R : 45º , 135º e 90º 
 
18) As medidas angulares entre os vetores unitários 
 e u v
� �
, 
 e u w
� ��
 e 
 e v w
� ��
 são, respectivamente, 30, 
45 e 90 graus. Prove que ( ), ,u v w� � �� é base. 
 
19) Sejam os pontos ( )A 1, 1, 2− − , ( )B 2,1,1 e ( )C , 5,3m − . 
 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? R : 2m = 
 
b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. 11 17R : H 2, ,
10 10
 
− 
 
 
 
20) Sejam os pontos ( )A 1, 2, 1− , ( )B 1,0, 1− − e ( )C 2,1,2 . 
 
a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A. 
 
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. 8R : 19
19
 
 
c) Determinar o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A. 5 8 5R : H , ,
19 19 19
 
 
 
 
 
21) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ( )2, 6,3u = −� e 
( )4,3,1v =� . 3 2 6 3 2 6R : , , e , ,
7 7 7 7 7 7
   
− − −   
   
 
 
22) Dados os pontos ( )A 2,1,1 , ( )B 3, 1,0− e ( )C 4, 2, 2− , determinar: 
 
a) A área do triângulo ABC. 5R : 3 u.a
2
 
 
b) A altura do triângulo relativa ao vértice C. 5R : 2 u.c
2
 
 
23) Dados os vetores ( )1, 2, 1u = −� e ( )0, 1,3v = −� , calcular a área do paralelogramo determinado 
pelos vetores 3u
�
 e v u−
� �
. R : 3 35 u.a 
 
24) Qual deve ser o valor de m para que os vetores ( )2, ,0u m=� , ( )1, 1, 2v = −� e ( )1,3, 1w = − −�� 
sejam coplanares. R : 10m = − 
 
25) Verificar se os pontos ( )A 1, 2, 4 , ( )B 1,0, 2− − , ( )C 0, 2, 2 e ( )D 2,1, 3− − estão no mesmo plano. 
 
 
26) Dados os vetores ( ),5,0u x=� , ( )3, 2,1v = −� e ( )1,1, 1w = −�� , calcular o valor de x para que o 
volume do paralelepípedo determinado por u
�
, v
�
 e w
��
 seja 24 u.v. R : 4 ou 44x x= = − 
 
27) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: ( )A 1, 2,1 , ( )B 7, 4,3 , ( )C 4,6, 2 e ( )D 3,3,3 . 
R : V 4 u.v=