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Cálculo Diferencial e Integral II Derivadas Parciais Material Teórico Responsável pelo Conteúdo: Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano Revisão Textual: Profa. Esp. Márcia Ota 5 Nesta Unidade, estudaremos as derivadas parciais, as derivadas direcionais e o vetor gradiente. No mundo real, as quantidades físicas, geralmente, dependem de duas ou mais variáveis. Por isso, vamos direcionar os nossos estudos para funções de várias variáveis e como calcular as derivadas para as funções com mais de uma variável independente. Desse modo, leia com atenção a parte teórica, procurando estabelecer relações entre o que você está aprendendo e as coisas que acontecem no dia a dia. Os exercícios o ajudarão a sedimentar esses novos conhecimentos. Então, aprofunde seus conhecimentos, investigando sobre o assunto na bibliografia indicada. Lembre-se, só aprendemos alguma coisa quando essa coisa tem algum significado para nós. Afinal, somos os agentes na construção do nosso próprio conhecimento. Assim sendo, organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das atividades propostas. · Derivadas Parciais: definição e interpretação geométrica; · Notação e cálculo de derivadas parciais; · Derivadas parciais de segunda ordem: como calcular; · Distinguir derivadas puras de derivadas mistas; · Derivadas direcionais e vetor gradiente; · Cálculo de derivadas direcionais. Derivadas Parciais · Introdução · Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais · Derivadas Parciais de Segunda Ordem · Derivada Direcional 6 Unidade: Derivadas Parciais Contextualização A produção P de uma companhia, medida em toneladas, é uma função do número N de empregados, e do valor V dos equipamentos, em unidades de R$ 25.000,00. A função de produção da companhia é dada por: ( ) 0,75 0,25, 5P f N V N V= = Atualmente, a companhia tem 80 funcionários e seu equipamento vale R$ 750,000,00. 1) Quais são os valores de N e V? 2) Calcule os valores de f, fN e fV correspondentes aos valores atuais de N e V. Forneça as unidades e explique o significado de cada resposta em termos de produção. Expectativa de resposta: O aluno deverá reconhecer que está diante de uma função (Produção) que depende de duas variáveis: o número N de funcionários e o valor V dos equipamentos. A questão 1 deverá ser respondida como N=80 e V=30. O número N é o número de funcionários simplesmente; todavia, o número V é fornecido em unidades de R$ 25.000,00. Portanto, é preciso efetuar a divisão: 750.000 30 25.000 V = = A questão 2 pede que se calcule o valor da função nesse ponto (80, 30) e, em seguida, sua derivadas parciais e seus significados: ( ) 0,75 0,25, 5P f N V N V= = ( ) ( ) ( )0,75 0,2580,30 5 80 30 313,2f = ≅ … A produção com os números atuais é de cerca de 313 toneladas. ( ) ( )0,75 0,255 ,N N V f N V N ∂ = ∂ 7 ( ) 025 0,25, 3,75 .Nf N V N V−= ( ) ( ) ( )025 0,2580,30 3,75 80 . 30 2,9Nf −= ≅ Nas atuais condições, a produção é de 2,9 toneladas por funcionário. ( ) ( )0,75 0,255 ,V N V f N V V ∂ = ∂ ( ) 0,75 0,75, 1, 25 2,6Vf N V N V −= ≅ Para cada unidade de R$ 25.000, a produção é de 2,6 toneladas. 8 Unidade: Derivadas Parciais Introdução O objetivo dessa unidade será aprofundar o conceito matemático de derivadas parciais, conforme já foi visto em Cálculo I. O cálculo de várias variáveis é o cálculo de uma variável aplicado a várias variáveis, uma de cada vez. Quando se fixa todas as variáveis independentes de uma função, exceto uma, que usaremos para ser derivada, estaremos obtendo uma derivada parcial. Calcula-se derivadas parciais, aplicando as regras utilizadas para derivar funções de uma única variável. Define-se a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0) como a derivada de f(x0 ,y0) em relação a x no ponto x= x0. Para diferenciar as derivadas parciais das derivadas ordinárias, usaremos o símbolo ∂ no lugar da letra d que é utilizada para o cálculo das derivadas ordinárias. Retomando o que já foi visto em Cálculo I: Quando temos uma função f(x)=y=x2, se vamos calcular a derivada dessa função, representamos com a seguinte notação: ( ) dyf x ou dx ′ As duas notações representam a primeira derivada de uma função de uma variável. Agora, trabalharemos com funções de mais do que uma variável, por exemplo: f(x,y)=x2 y+5y3 Observe que nossa função depende de duas variáveis. Se chamarmos f(x,y) de z, diremos que z depende de x e z depende de y. Nós podemos calcular tanto a derivada de x, como a derivada de y. A notação que se usa para representar derivadas parciais é: fx (x,y) → Derivada parcial em relação à variável x. fy (x,y) → Derivada parcial em relação à variável y. Pode-se usar também a notação: ( ),¶ ¶ f x y x → Derivada parcial em relação à variável x. ( ),¶ ¶ f x y x → Derivada parcial em relação à variável y. 9 Vamos recordar como derivamos uma função de uma variável: y=2x3+5 Para achar a derivada da função y em relação à variável x, fazemos o seguinte: ( ) 3 1 2 3. 2 0 6 -= + = dy x dx dy x dx Observe que, quando a constante está atrelada a uma variável, ela compõe o cálculo do valor da derivada. O número dois está atrelado à variável x; portanto, ele permanece do termo para efeito do cálculo. O número cinco não está atrelado à variável nenhuma; portanto, como já foi visto anteriormente, a derivada de uma constante é zero.Desse modo, quero que você note que quando a constante está atrelada a uma variável, ela é “salva” pela variável, ou seja, ela não desaparece porque a variável está “protegendo”. Quando vamos efetuar derivadas parciais, a variável que não estiver sendo derivada, será tratada como uma constante. Atenção Atenção fx (x,y) → Derivada parcial em relação à variável x; portanto, o y terá comportamento de constante. fy (x,y) → Derivada parcial em relação à variável y; portanto, o x terá comportamento de constante. Exemplo: Dada a função ( ) 3 2, 4 3 5 8 10f x y x y xy x y= − − + − , encontre suas derivadas parciais. Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação à x e, depois, em relação ày. Primeiro passo: indicar as derivadas de cada termo em relação à variável x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 24 3 5 8 10 , ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = - - + - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶x x y xy x y f x y x x x x x Segundo passo: derivar cada termo, observando que quando ele contiver a variável y, esta será tratada como constante. ( ) 2 2, 12 3 5 0 0xf x y x y y= − − + − ( ) 3 2, 12 3 5xf x y x y y= − − 10 Unidade: Derivadas Parciais Terceiro passo: fazer a derivada em relação ày; portanto, agora, a variável x será tratada como uma constante. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 24 3 5 8 10 , ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = - - + - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶y x y xy x y f x y y y y y y ( ) 3, 8 3 0 8 0yf x y x y x= − − + − ( ) 3, 8 3 8yf x y x y x= − + Explore Explore Aprofunde seus conhecimentos sobre o tema, lendo o capítulo 14 da página 307 à página 314 do livro: THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: Addison- Wesley, 2003. – Volume 2. Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais Vamos tomar uma função z = f(x,y), ou seja, a função z depende de x e depende de y. Quando se calcula a derivada parcial de uma função em um determinado ponto, encontra-se a taxa de variação instantânea da função naquele ponto, que é numericamente igual à declividade da reta tangente a esse ponto em relação à variável que está sendo analisada. Na figura 1, temos a representação de uma derivada parcial em relação à variável x, uma vez que y está sendo mantido constante. Figura 1 z Declive da reta tangente ao ponto PkP y x 11 Na figura 2, temos a representação de uma derivada parcial em relação à variável y, uma vez que x está sendo mantido constante. Figura 2 z Declive da reta tangente ao ponto P k y x P Exercício 1 Encontre a declividade da reta tangente à curva de f(x,y) com o plano x = -1, no Ponto P(-1,1,-1) na função f(x,y)=x2+y2-2x3y+5xy4-1. Se buscamos a declividade da reta tangente à curva, mantendo x = -1, implica em achar a derivada parcial em relação ày. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 42 2 5 1( ) , ¶ ¶ ¶ ¶¶= + - + - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶y y x y xyx f x y y y y y y ( ) 3 3, 0 2 2 20 0yf x y y x xy= + − + − ( ) 3 3, 2 2 20yf x y y x xy= − + ( ) ( ) ( ) ( )( )3 31,1, 1 2 1 2 1 20 1 1 16yf − − = − − + − = − Portanto, o valor encontrado (-16) é a derivada parcial de f(x,y) em relação a y no ponto P ou ainda a taxa e variação instantânea da função fy (x,y) no ponto P. Exercício 2 Qual é a declividade da reta tangente à curva z=x2+y2, resultante da intersecção da função f(x,y) com o plano y = 2 no ponto P (1,1,5). 12 Unidade: Derivadas Parciais Estamos fixando o valor de y; portanto, temos que derivar a função em relação à variável x. ( ) ( ) ( ) 2 2 , ¶ ¶ = + ¶ ¶x x y f x y x x ( ), 2xf x y x= ( ) ( )1,1,5 2 1 2xf = = A derivada parcial da função f(x,y) em relação à variável x é 2. O valor encontrado é também a inclinação ou a declividade da reta tangente à curva do ponto P (1,1,5).w Derivadas Parciais de Segunda Ordem Quando se deriva uma função f(x,y) duas vezes, produz-se sua derivada de segunda ordem . Essas derivadas têm notações especiais que vou identificar resolvendo um exemplo: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de: 2 2 3 42 5 6Z x y x y xy= + − + − Nosso primeiro passo será calcular as derivadas parciais em relação àx e em relação ày. 2 2 3 42 5 6Z x y x y xy= + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 42 5 6¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + - + - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶x x y x y xy Z x x x x x 2 42 0 6 5 0xZ x x y y= + − + − 2 42 6 5xZ x x y y= − + Vamos derivar em relação ày: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 42 5 6¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + - + - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶y x y x y xy Z y y y y y 3 30 2 2 20 0yZ y x xy= + − + − 3 32 2 20yZ y x xy= − + 13 Pode-se derivar pela segunda vez tanto em relação àx, como em relação ày. Observe; Fizemos a derivada de Z em relação àx, e podemos escrever da seguintes forma: ¶ ¶ Z x Agora, queremos derivar essa função mais uma vez: 2 2: ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Z Z d Z que podemos escrever também x x x Isto é: derivada parcial de segunda ordem da função Z em relação à variável x. Podemos, também, calcular a derivada parcial de segunda ordem da função Z em relação à variável y. 2¶ ¶ ¶= ¶ ¶ ¶ ¶ Z Z Z y x y x Derivadas parciais com índice de apenas uma variável são chamadas derivadas puras e as derivadas mistas são aquelas com duas variáveis em seus índices. Exemplo de derivadas puras: 2 2¶ d Z x Exemplo de derivadas mistas: 2¶ ¶ ¶ Z y x As derivadas parciais de segunda ordem mistas de uma função são sempre iguais. Continuando o exemplo. Achamos as derivadas de primeira ordem em relação às variáveis x e y. Nosso próximo passo será calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação à primeira derivada em x: 2 42 6 5xZ x x y y= − + ( ) ( ) ( )2 42 2 6 52 ¶ ¶¶ = - + ¶ ¶ ¶ ¶ x y yxd Z x x x x 2 2 2 12 0= - +¶ d Z xy x 2 2 2 12= -¶ d Z xy x 14 Unidade: Derivadas Parciais Faremos o cálculo da derivada de segunda ordem em relação à y: Z x x y y Z x y x y Z x y x y x = − + ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ = − + 2 6 5 0 6 20 6 20 2 4 2 2 3 2 2 3 Nosso próximo passo será refazer todo o processo, utilizando, agora, a primeira derivada parcial em y. Zy y x xy Z y y y x y xy y Z y = − + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = − 2 2 20 2 2 20 2 3 3 2 2 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) 00 60 2 60 2 2 2 2 + ∂ ∂ = + xy Z y xy Em Síntese O diagrama, a seguir, mostra como proceder para achar as derivadas parciais de segunda ordem: f fx fxx fxy fyx fyy fy 15 Tem-se uma função f(x,y) que pode ser derivada parcialmente em relação àx e em relação ày. (Observe o diagrama). Cada uma dessas derivadas parciais poderá ser novamente derivada em relação às variáveis x e y. (Derivadas de segunda ordem). As derivadas parciais de segunda ordem, destacadas em vermelho: fxy efyx são iguais. Exemplos: Exercício 1 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem possíveis da função: 2 2 2Z x y xy x y= + + − Solução: Primeiro passo: calcular as derivadas de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis. Em seguida, calcular as derivadas de segunda em relação àx e ày, a saber: 2 2 2 2 2 2; ; ; ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ d Z Z d Z Z x y x y x y Note que essas derivadas são iguais. 2 2 2Z x y xy x y= + + − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2¶ ¶ ¶ ¶= + + - ¶ ¶ ¶ ¶x x y xy x y Z x x x x 22 2xZ xy y= + + ( ) ( ) ( )22 2 2 2¶¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ ¶ yxyd Z x x x x 2 2 2 22 0 0 2= + + ® =¶ ¶ d Z d Z y y x x ( ) ( ) ( )22 2 2¶¶ ¶¶ = + + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ yxyZ y x y y y 2 2 2 2 0 2 2 ¶ ¶= + + ® = + ¶ ¶ ¶ ¶ Z Z x y x y y x y x 16 Unidade: Derivadas Parciais Agora, faremos todas os passos em relação à variável y: 2 2 2Z x y xy x y= + + − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2¶ ¶ ¶ ¶= + + - ¶ ¶ ¶ ¶y x y xy x y Z y y y y 2 2 0 1yZ x xy= + + − 2 2 1yZ x xy= + − ( ) ( ) ( )22 2 2 1¶ ¶ ¶ = + - ¶ ¶ ¶ ¶ x xyd Z y y y y 2 2 0 2 0= + -¶ d Z x y 2 2 2=¶ d Z x y ( ) ( ) ( )22 2 1¶ ¶ ¶¶ = + - ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ x xyZ x y x x x 2 2 2 0 ¶ = + - ¶ ¶ Z x y x y 2 2 2 ¶ = + ¶ ¶ Z x y x y Exercício 2 Dada a função Z=xy, encontre suas derivadas de segunda ordem. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 ¶ = = ¶ ¶ = = ¶ ¶ ¶¶ = = ¶ ¶ ¶ x xy Z y x yd Z x x yZ y x y ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 ¶ = = ¶ ¶ = = ¶ ¶ ¶¶ = = ¶ ¶ ¶ y xy Z x y xd Z y y xZ x y x 17 Derivada Direcional As derivadas direcionais são extensões das derivadas parciais. As derivadas parciais analisam a variação das funções em relação aos eixos horizontal (0x) e vertical (0y). As derivadas direcionais estudam as variações das funções em qualquer direção, inclusive, as direções horizontal e vertical; o que nos permite afirmar que as derivadas parciais são casos particulares das derivadas direcionais. A derivada direcional irá nos auxiliar a determinar a declividade de uma reta tangente a uma superfície em um determinado ponto. Tome o ponto P(x0, y0) da figura 3. O deslocamento de P para Q cria o vetor v que tem uma inclinação θ com a horizontal (forma um ângulo θ coma horizontal). O nosso objetivo será calcular a derivada da função f nessa direção. Figura 3 P ν Q y y0 x0 x θ A derivada direcional de f em relação a v é dada pelo produto escalar entre o vetor u e o vetor gradiente ( )f P∇ : ( ) . f u f P u ∂ = ∇ ∂ Sendo: u: é o vetor unitário ou o versor de v . ( )Ñ f P : é o vetor gradiente. Se v não estiver com o módulo igual a 1, é preciso normalizar o vetor, ou seja, se v for dado pelas componentes a e b, então, v=(a,b). 18 Unidade: Derivadas Parciais A sua norma (seu módulo) é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes. ( ) 2 2,= = = +v a b v a b Exemplo: Normalizar o vetor ( )3,4=a ( ) ( )2 23 4 25 5= + = =a O próximo passo é dividir cada um componentes do vetor pela sua norma:3 4 , 5 5 æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø u Esse é o vetor unitário que buscávamos, ou seja, o seu módulo é igual a 1. Em Síntese Para normalizar um vetor, achamos a sua norma e, depois, divide-se cada um de seus componentes pela sua norma. = v u v O vetor gradiente é dado por: ( ) ( ) ( ), æ ö¶ ¶ ÷çÑ = ÷ç ÷÷ç¶ ¶è ø f f f P P P x y Sendo que: A primeira componente ( ) ¶ ¶ f P x é a derivada parcial de f em relação à variável x, calculada no ponto P. A segunda componente ( )¶¶ f P y é a derivada parcial de f em, relação à variável y calculada no ponto P. 19 Cada componente do vetor tem um módulo (dado pela derivada parcial) e uma direção, por exemplo, se nos interessa o gradiente de uma função de duas variáveis, a fórmula para encontrar esse gradiente é dada por: ( ) ( ) ( ), , æ ö¶ ¶ ÷çÑ = ÷ç ÷÷ç¶ ¶è ø f f f x y i j x y Se nossa função tiver três variáveis: ( ) ( ) ( ) ( ), , , , æ ö¶ ¶ ¶ ÷çÑ = ÷ç ÷÷ç¶ ¶ ¶è ø f f f f x y z i j k x y z Reveja as aulas de vetores para que você entenda com maior profundidade o assunto. Esse conteúdo foi tratado nas aulas de Geometria Analítica. Se escrevermos o vetor u em função de θ, chegaremos a seguinte conclusão: u=(cos θ,sen θ) Já sabemos que o módulo do vetor unitário vale 1. Para acharmos a derivada direcional de f em relação ao vetor u, basta fazer a multiplicação escalar entre esses dois vetores: ( ) ( ).¶ = Ñ ¶ f P u f P u Substituindo, teremos o seguinte: ( ) ( ) ( ) ( )cos , . , æ ö¶ ¶ ¶ ÷ç= q q ÷ç ÷÷ç¶ ¶ ¶è ø f f f P sen P P u x y Agora, faremos a multiplicação: o componente pintado em amarelo do 1º vetor com o componente amarelo do 2º vetor. E somar com o produto dos componentes pintados em azul. ( ) ( ) ( )cos¶ ¶ ¶= q + q ¶ ¶ ¶ f f f P x P sen P u x y Se tomarmos a direção de 0 radianos, a derivada direcional convergirá para a derivada parcial de f em relação à variável x. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos0 0 1 0¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + = + = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ f f f f f f P P sen P P P P u x y x y x 20 Unidade: Derivadas Parciais Se tomarmos a direção de 2 π radianos, a derivada direcional convergirá para a derivada parcial de f em relação à variável y. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2 ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + = + = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ f f f f f f P cos P sen P P P P u x y x y y π π Portanto, está provado que quando o vetor gradiente aponta na direção horizontal ou vertical os vetores direcionais convergem para derivada parcial em x e em y. Se tivermos o ângulo ϕ formado pelos vetores u e ( )f P∇ , então: ( ) ( ) ( ). . .¶ = Ñ = Ñ j ¶ f P u f P u f P cos u Como |u |=1, podemos reescrever a fórmula: ( ) ( ) .¶ = Ñ j ¶ f P f P cos u Podemos isolar o cosseno, passando | ( )f P∇ |para o outro lado da igualdade: ( ) ( ) ( ) ( ) ¶ ¶j = Ñ ¶ ¶j = Ñ f P ucos f P f P uarccos f P O ângulo ϕ é aquele cujo cosseno é dado pela derivada direcional de f dividida pelo vetor gradiente em P. E qual a consequência do que acabamos de ver? Se: ( ) ( ) .¶ = Ñ j ¶ f P f P cos u O cosseno de ϕ (Fi) é um valor compreendido entre -1 e 1; portanto, o maior valor que a derivada direcional possui é quando o valor de cosϕ=1. Quando o cosseno for igual a -1 é o momento em que a derivada assume seu menor valor. E a derivada será nula quando o cosseno assumir o valor zero. 21 Se ϕ=π radianos; então, teremos a derivada direcional mínima. Lembre-se que o cosseno de π=-1. ( ) ( ) ( ).¶ = Ñ p=-Ñ ¶ f P f P cos f P u Se 2 pj = radianos; então, teremos a derivada direcional nula. Lembre-se que o cosseno de 2 π =0. ( ) ( ) . 0 2 ¶ p= Ñ = ¶ f P f P cos u Se ϕ=0 radianos; então, teremos a derivada direcional máxima. Lembre-se que o cosseno de π=1. ( ) ( ) ( ).¶ = Ñ p= Ñ ¶ f P f P cos f P u Propriedades importantes: I. O vetor gradiente aponta para uma direção, segundo a qual, a função f é crescente. II. Dentre todas as direções, ao longo das quais a função f cresce, a direção do gradiente é a de crescimento mais rápido. III. O vetor gradiente de f no ponto (x,y) é perpendicular à curva de nível de f que passa por esse ponto. Dado 2:f D∈ → , diferenciável, e dado que ∈ , diz-se que o ponto (x,y)∈ D está no nível relativamente à função f quando f(x,y)=. Fixado o valor de , o conjunto dos pontos do domínio D que estão no nível K é a imagem inversa f-1 (), a qual é denominada curva de nível de f. Observe que sobre a superfície está um ponto P (figura 4) , e por esse ponto passam infinitas retas com diferentes declividades e direções. Suponhamos que eu tenha um interesse especial na reta r, que é tangente ao ponto P e tem a mesma direção do vetor u . Para achar a inclinação dessa reta é que usaremos as derivadas direcionais. A notação de usaremos para a derivada direcional na direção de u é: uD f 22 Unidade: Derivadas Parciais Então, as derivadas direcionais servem para nos dar a taxa de variação de uma função f na direção de um determinado vetor. Passos para a resolução de uma derivada direcional: 1. Derivar a função em relação a todas as variáveis (derivadas parciais); 2. Aplicar o ponto P em cada uma das derivadas parciais; 3. Normalizar o vetor diretor que nos dará o sentido da taxa de variação que queremos encontrar. Figura 4 z x y N P u Fórmulas para a resolução: Função com duas variáveis ( ) ( ) ( )1 2, , . , .= + x yuD f x y f x y u f x y u Função com três variáveis. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , . , , . , , .= + + x y zuD f x y z f x y z u f x y z u f x y z u Exemplo 1: Qual é a derivada direcional da função ( ) 2, = +f x y x y y , no ponto P(2,1) na direção de 5 2= - a i j Resolução: O primeiro passo é normalizar o vetor. 23 A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes. 2 2= +a x y Em seguida, vamos dividir cada componente do vetor por sua norma (é o mesmo que achar o versor): = + xi yj u a a Voltando ao nosso problema. O vetor diretor é dado por: 5 2= - a i j ( )22(5) 2 25 4 29 = + - = + = a a a Vamos achar o vetor v (vetor unitário ou versor). 5 2 29 29 -= + i j u Estando o vetor normalizado, nosso próximo passo será achar as derivadas parciais da função: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , , 2 0 2 = + ¶¶ = + ¶ ¶ = + = x x f x y x y y yx y f x y x x f x y xy xy ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , 1 , 2 ¶¶ = + ¶ ¶ = + y y yx y f x y y y f x y x y 24 Unidade: Derivadas Parciais O passo seguinte é aplicar o Ponto P(2,1) nas derivadas encontradas: ( ) 2 1, 2 = +yf x y x y ( ) ( )2 12,1 2 2 1 = +yf ( ) 1 92,1 4 2 2 = + =yf Aplicar os valores obtidos na fórmula: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2, , . , . 5 9 2 , 4. . 229 29 20 9 , 29 29 11 , 29 = + -= + -= + = x yu u u u D f x y f x y u f x y u D f x y D f x y D f x y Exemplo 2 Calcular a taxa e variação de f no ponto A na direção de a, dados: ( ) 2 3, ,f x y z x y yz z= − + ( )1, 2, 0A − 2 2a i j k= + − O primeiro passo para resolver o problema será normalizar o vetor a. Normalizar um vetor significa achar o seu versor ou o seu vetor unitário. Vamos, então, achar a norma do vetor e, em seguida, dividir cada um de seus componentes pela norma:( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 9 3= + + - = =a 25 A norma do vetor é 3. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário. 2 1 2 3 3 3 = + - u i j k Para explicitar: 1 2 3 2 3 1 3 2 3 = = - = u u u Feito isso, é preciso encontrar as derivadas parciais da função f. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3, , , , . , , . , , . 2 1 2 , , 4 1 1 3 3 3 8 1 2 9 , , 3 3 3 3 3 = + + =- ´ + ´ + ´- =- + - =- =- x y zu u u D f x y z f x y z u f x y z u f x y z u D f x y z D f x y z Agora, iremos achar o valor da cada derivada parcial aplicada ao ponto A(1,-2,0): ( ) ( )1, 2, 0 2 2 4xf − = − = − ( ) ( ) ( )2 31, 2, 0 1 0 1yf − = − = ( ) ( ) 21, 2, 0 3 2 (0) 1 1zf − = − − + = O próximo passo é substituir os valores: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , . , , . , , .u x y zD f x y z f x y z u f x y z u f x y z u= + + ( ) 2 1 2, , 4 1 1 3 3 3u D f x y z = − × + × + × − ( ) 8 1 2 9, , 3 3 3 3 3u D f x y z = − + − = − = − 26 Unidade: Derivadas Parciais Material Complementar Para aprofundar seus conhecimentos acerca do estudo sobre derivadas parciais e direcionais, utilize um dos livros da bibliografia e faça um resumo sobre os conceitos que abordam o assunto. Explore Outras indicações: • https://www.youtube.com/watch?v=j9jjZHFasYE • https://www.youtube.com/watch?v=bTXco9OwefI • https://www.youtube.com/watch?v=XrfrwH7YCp4 • https://www.youtube.com/watch?v=EZkQZdx6t58 • https://www.youtube.com/watch?v=l84cmUOtwnQ 27 Referências DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2013. FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010. THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2003. GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002. 28 Unidade: Derivadas Parciais Anotações
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