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Apostila Engenharia 2

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Cálculo Diferencial e 
Integral II
Derivadas Parciais
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
5
Nesta Unidade, estudaremos as derivadas parciais, as derivadas direcionais e o vetor gradiente.
No mundo real, as quantidades físicas, geralmente, dependem de duas ou mais variáveis. 
Por isso, vamos direcionar os nossos estudos para funções de várias variáveis e como calcular 
as derivadas para as funções com mais de uma variável independente.
Desse modo, leia com atenção a parte teórica, procurando estabelecer relações entre o que 
você está aprendendo e as coisas que acontecem no dia a dia. Os exercícios o ajudarão a 
sedimentar esses novos conhecimentos. Então, aprofunde seus conhecimentos, investigando 
sobre o assunto na bibliografia indicada.
Lembre-se, só aprendemos alguma coisa quando essa coisa tem algum significado para nós. 
Afinal, somos os agentes na construção do nosso próprio conhecimento.
Assim sendo, organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das 
atividades propostas.
 · Derivadas Parciais: definição e interpretação geométrica;
 · Notação e cálculo de derivadas parciais;
 · Derivadas parciais de segunda ordem: como calcular;
 · Distinguir derivadas puras de derivadas mistas;
 · Derivadas direcionais e vetor gradiente;
 · Cálculo de derivadas direcionais.
Derivadas Parciais
 · Introdução
 · Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais
 · Derivadas Parciais de Segunda Ordem
 · Derivada Direcional
6
Unidade: Derivadas Parciais
Contextualização
A produção P de uma companhia, medida em toneladas, é uma função do número N de 
empregados, e do valor V dos equipamentos, em unidades de R$ 25.000,00. A função de 
produção da companhia é dada por:
( ) 0,75 0,25, 5P f N V N V= =
Atualmente, a companhia tem 80 funcionários e seu equipamento vale R$ 750,000,00.
1) Quais são os valores de N e V?
2) Calcule os valores de f, fN e fV correspondentes aos valores atuais de N e V. Forneça as 
unidades e explique o significado de cada resposta em termos de produção.
Expectativa de resposta:
O aluno deverá reconhecer que está diante de uma função (Produção) que depende de duas 
variáveis: o número N de funcionários e o valor V dos equipamentos.
A questão 1 deverá ser respondida como N=80 e V=30. O número N é o número de 
funcionários simplesmente; todavia, o número V é fornecido em unidades de R$ 25.000,00. 
Portanto, é preciso efetuar a divisão:
 
750.000 30
25.000
V = =
A questão 2 pede que se calcule o valor da função nesse ponto (80, 30) e, em seguida, sua 
derivadas parciais e seus significados:
( ) 0,75 0,25, 5P f N V N V= =
( ) ( ) ( )0,75 0,2580,30 5 80 30 313,2f = ≅ …
A produção com os números atuais é de cerca de 313 toneladas.
( )
( )0,75 0,255
,N
N V
f N V
N
∂
=
∂
7
( ) 025 0,25, 3,75 .Nf N V N V−=
( ) ( ) ( )025 0,2580,30 3,75 80 . 30 2,9Nf
−= ≅
Nas atuais condições, a produção é de 2,9 toneladas por funcionário.
( )
( )0,75 0,255
,V
N V
f N V
V
∂
=
∂
( ) 0,75 0,75, 1, 25 2,6Vf N V N V −= ≅
Para cada unidade de R$ 25.000, a produção é de 2,6 toneladas.
8
Unidade: Derivadas Parciais
Introdução
O objetivo dessa unidade será aprofundar o conceito matemático de derivadas parciais, 
conforme já foi visto em Cálculo I. O cálculo de várias variáveis é o cálculo de uma variável 
aplicado a várias variáveis, uma de cada vez. Quando se fixa todas as variáveis independentes 
de uma função, exceto uma, que usaremos para ser derivada, estaremos obtendo uma derivada 
parcial. Calcula-se derivadas parciais, aplicando as regras utilizadas para derivar funções de 
uma única variável.
Define-se a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0) como a derivada de f(x0 ,y0) em 
relação a x no ponto x= x0. Para diferenciar as derivadas parciais das derivadas ordinárias, usaremos 
o símbolo ∂ no lugar da letra d que é utilizada para o cálculo das derivadas ordinárias.
Retomando o que já foi visto em Cálculo I:
Quando temos uma função f(x)=y=x2, se vamos calcular a derivada dessa função, 
representamos com a seguinte notação:
( ) dyf x ou
dx
′
As duas notações representam a primeira derivada de uma função de uma variável. Agora, 
trabalharemos com funções de mais do que uma variável, por exemplo:
f(x,y)=x2 y+5y3
Observe que nossa função depende de duas variáveis. Se chamarmos f(x,y) de z, diremos 
que z depende de x e z depende de y. Nós podemos calcular tanto a derivada de x, como a 
derivada de y.
A notação que se usa para representar derivadas parciais é:
fx (x,y) → Derivada parcial em relação à variável x.
fy (x,y) → Derivada parcial em relação à variável y.
Pode-se usar também a notação:
( ),¶
¶
f x y
x
 → Derivada parcial em relação à variável x.
( ),¶
¶
f x y
x
 → Derivada parcial em relação à variável y.
9
Vamos recordar como derivamos uma função de uma variável:
y=2x3+5
Para achar a derivada da função y em relação à variável x, fazemos o seguinte:
( ) 3 1
2
3. 2 0
6
-= +
=
dy
x
dx
dy
x
dx
Observe que, quando a constante está atrelada a uma variável, ela compõe o cálculo do 
valor da derivada. O número dois está atrelado à variável x; portanto, ele permanece do termo 
para efeito do cálculo. O número cinco não está atrelado à variável nenhuma; portanto, como já 
foi visto anteriormente, a derivada de uma constante é zero.Desse modo, quero que você note 
que quando a constante está atrelada a uma variável, ela é “salva” pela variável, ou seja, ela 
não desaparece porque a variável está “protegendo”.
Quando vamos efetuar derivadas parciais, a variável que não estiver sendo derivada, será 
tratada como uma constante.
 
 Atenção Atenção
fx (x,y) → Derivada parcial em relação à variável x; portanto, o y terá comportamento de constante.
fy (x,y) → Derivada parcial em relação à variável y; portanto, o x terá comportamento de constante.
Exemplo:
Dada a função ( ) 3 2, 4 3 5 8 10f x y x y xy x y= − − + − , encontre suas derivadas parciais.
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação à x e, depois, em relação ày.
Primeiro passo: indicar as derivadas de cada termo em relação à variável x.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 24 3 5 8 10
,
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
= - - + -
¶ ¶ ¶ ¶ ¶x
x y xy x y
f x y
x x x x x
Segundo passo: derivar cada termo, observando que quando ele contiver a variável y, esta 
será tratada como constante.
( ) 2 2, 12 3 5 0 0xf x y x y y= − − + −
( ) 3 2, 12 3 5xf x y x y y= − −
10
Unidade: Derivadas Parciais
Terceiro passo: fazer a derivada em relação ày; portanto, agora, a variável x será tratada 
como uma constante.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 24 3 5 8 10
,
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
= - - + -
¶ ¶ ¶ ¶ ¶y
x y xy x y
f x y
y y y y y
( ) 3, 8 3 0 8 0yf x y x y x= − − + −
( ) 3, 8 3 8yf x y x y x= − +
 
 Explore Explore
Aprofunde seus conhecimentos sobre o tema, lendo o capítulo 14 da página 307 à página 314 do 
livro: THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: Addison-
Wesley, 2003. – Volume 2.
Interpretação Geométrica das Derivadas Parciais
Vamos tomar uma função z = f(x,y), ou seja, a função z depende de x e depende de y. 
Quando se calcula a derivada parcial de uma função em um determinado ponto, encontra-se a 
taxa de variação instantânea da função naquele ponto, que é numericamente igual à declividade 
da reta tangente a esse ponto em relação à variável que está sendo analisada.
Na figura 1, temos a representação de uma derivada parcial em relação à variável x, uma vez 
que y está sendo mantido constante.
Figura 1
 
z
Declive da reta tangente
ao ponto PkP
y
x
11
Na figura 2, temos a representação de uma derivada parcial em relação à variável y, uma vez 
que x está sendo mantido constante.
Figura 2
 z
Declive da reta
tangente ao ponto P
k y
x
P
Exercício 1
 Encontre a declividade da reta tangente à curva de f(x,y) com o plano x = -1, no Ponto 
P(-1,1,-1) na função f(x,y)=x2+y2-2x3y+5xy4-1.
Se buscamos a declividade da reta tangente à curva, mantendo x = -1, implica em achar a 
derivada parcial em relação ày.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 42 2 5 1( )
,
¶ ¶ ¶ ¶¶= + - + -
¶ ¶ ¶ ¶ ¶y
y x y xyx
f x y
y y y y y
( ) 3 3, 0 2 2 20 0yf x y y x xy= + − + −
( ) 3 3, 2 2 20yf x y y x xy= − +
( ) ( ) ( ) ( )( )3 31,1, 1 2 1 2 1 20 1 1 16yf − − = − − + − = −
Portanto, o valor encontrado (-16) é a derivada parcial de f(x,y) em relação a y no ponto P 
ou ainda a taxa e variação instantânea da função fy (x,y) no ponto P.
Exercício 2
Qual é a declividade da reta tangente à curva z=x2+y2, resultante da intersecção da função 
f(x,y) com o plano y = 2 no ponto P (1,1,5).
12
Unidade: Derivadas Parciais
Estamos fixando o valor de y; portanto, temos que derivar a função em relação à variável x.
( ) ( ) ( )
2 2
,
¶ ¶
= +
¶ ¶x
x y
f x y
x x
( ), 2xf x y x=
( ) ( )1,1,5 2 1 2xf = =
A derivada parcial da função f(x,y) em relação à variável x é 2. O valor encontrado é também 
a inclinação ou a declividade da reta tangente à curva do ponto P (1,1,5).w
Derivadas Parciais de Segunda Ordem
Quando se deriva uma função f(x,y) duas vezes, produz-se sua derivada de segunda ordem . 
Essas derivadas têm notações especiais que vou identificar resolvendo um exemplo:
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem de:
2 2 3 42 5 6Z x y x y xy= + − + −
Nosso primeiro passo será calcular as derivadas parciais em relação àx e em relação ày.
2 2 3 42 5 6Z x y x y xy= + − + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 42 5 6¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + - + -
¶ ¶ ¶ ¶ ¶x
x y x y xy
Z
x x x x x
2 42 0 6 5 0xZ x x y y= + − + −
2 42 6 5xZ x x y y= − +
Vamos derivar em relação ày:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 42 5 6¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + - + -
¶ ¶ ¶ ¶ ¶y
x y x y xy
Z
y y y y y
3 30 2 2 20 0yZ y x xy= + − + −
3 32 2 20yZ y x xy= − +
13
Pode-se derivar pela segunda vez tanto em relação àx, como em relação ày. Observe; Fizemos 
a derivada de Z em relação àx, e podemos escrever da seguintes forma:
¶
¶
Z
x
Agora, queremos derivar essa função mais uma vez:
2
2:
¶ ¶
¶ ¶ ¶
Z Z d Z
 que podemos escrever também   
x x x
Isto é: derivada parcial de segunda ordem da função Z em relação à variável x.
Podemos, também, calcular a derivada parcial de segunda ordem da função Z em relação à 
variável y.
2¶ ¶ ¶=
¶ ¶ ¶ ¶
Z Z Z
y x y x
Derivadas parciais com índice de apenas uma variável são chamadas derivadas puras e as derivadas 
mistas são aquelas com duas variáveis em seus índices.
Exemplo de derivadas puras:
2
2¶
d Z
x
Exemplo de derivadas mistas: 
2¶
¶ ¶
Z
y x
As derivadas parciais de segunda ordem mistas de uma função são sempre iguais.
Continuando o exemplo. Achamos as derivadas de primeira ordem em relação às variáveis 
x e y. Nosso próximo passo será calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação à 
primeira derivada em x:
2 42 6 5xZ x x y y= − +
( ) ( ) ( )2 42
2
6 52 ¶ ¶¶
= - +
¶ ¶ ¶ ¶
x y yxd Z
x x x x
2
2 2 12 0= - +¶
d Z
xy
x
2
2 2 12= -¶
d Z
xy
x
14
Unidade: Derivadas Parciais
Faremos o cálculo da derivada de segunda ordem em relação à y:
Z x x y y
Z
x y
x y
Z
x y
x y
x = − +
∂
∂ ∂
= − +
∂
∂ ∂
= − +
2 6 5
0 6 20
6 20
2 4
2
2 3
2
2 3
Nosso próximo passo será refazer todo o processo, utilizando, agora, a primeira derivada 
parcial em y.
Zy y x xy
Z
y
y
y
x
y
xy
y
Z
y
= − +
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= −
2 2 20
2 2 20
2
3 3
2
2
3 3
2
2
( ) ( ) ( )
00 60
2 60
2
2
2
2
+
∂
∂
= +
xy
Z
y
xy
Em Síntese
O diagrama, a seguir, mostra como proceder para achar as derivadas parciais de segunda ordem:
f
fx
fxx
fxy
fyx
fyy
fy
15
Tem-se uma função f(x,y) que pode ser derivada parcialmente em relação àx e em relação 
ày. (Observe o diagrama).
Cada uma dessas derivadas parciais poderá ser novamente derivada em relação às variáveis 
x e y. (Derivadas de segunda ordem).
As derivadas parciais de segunda ordem, destacadas em vermelho: fxy efyx são iguais.
Exemplos:
Exercício 1
Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem possíveis da função:
2 2 2Z x y xy x y= + + −
Solução:
Primeiro passo: calcular as derivadas de primeira ordem em relação a cada uma das variáveis.
Em seguida, calcular as derivadas de segunda em relação àx e ày, a saber:
2 2 2 2
2 2; ; ;
¶ ¶
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
d Z Z d Z Z
     
x y x y x y 
Note que essas 
derivadas são 
iguais.
 
2 2 2Z x y xy x y= + + −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2¶ ¶ ¶ ¶= + + -
¶ ¶ ¶ ¶x
x y xy x y
Z
x x x x
22 2xZ xy y= + +
( ) ( ) ( )22
2
2 2¶¶ ¶
= + +
¶ ¶ ¶ ¶
yxyd Z
x x x x
2 2
2 22 0 0 2= + + ® =¶ ¶
d Z d Z
y y
x x
( ) ( ) ( )22 2 2¶¶ ¶¶ = + +
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
yxyZ
y x y y y
2 2
2 2 0 2 2
¶ ¶= + + ® = +
¶ ¶ ¶ ¶
Z Z
x y x y
y x y x
16
Unidade: Derivadas Parciais
Agora, faremos todas os passos em relação à variável y:
2 2 2Z x y xy x y= + + −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2¶ ¶ ¶ ¶= + + -
¶ ¶ ¶ ¶y
x y xy x y
Z
y y y y
2 2 0 1yZ x xy= + + −
2 2 1yZ x xy= + −
( ) ( ) ( )22
2
2 1¶ ¶ ¶
= + -
¶ ¶ ¶ ¶
x xyd Z
y y y y
2
2 0 2 0= + -¶
d Z
x
y
2
2 2=¶
d Z
x
y
( ) ( ) ( )22 2 1¶ ¶ ¶¶ = + -
¶ ¶ ¶ ¶ ¶
x xyZ
x y x x x
2
2 2 0
¶ = + -
¶ ¶
Z
x y
x y
2
2 2
¶ = +
¶ ¶
Z
x y
x y
Exercício 2
Dada a função Z=xy, encontre suas derivadas de segunda ordem.
( )
( )
( )
2
2
2
0
1
¶
= =
¶
¶
= =
¶ ¶
¶¶ = =
¶ ¶ ¶
x
xy
Z y
x
yd Z
x x
yZ
y x y
( )
( )
( )
2
2
2
0
1
¶
= =
¶
¶
= =
¶ ¶
¶¶ = =
¶ ¶ ¶
y
xy
Z x
y
xd Z
y y
xZ
x y x
17
Derivada Direcional
As derivadas direcionais são extensões das derivadas parciais. As derivadas parciais analisam 
a variação das funções em relação aos eixos horizontal (0x) e vertical (0y). As derivadas 
direcionais estudam as variações das funções em qualquer direção, inclusive, as direções 
horizontal e vertical; o que nos permite afirmar que as derivadas parciais são casos particulares 
das derivadas direcionais.
A derivada direcional irá nos auxiliar a determinar a declividade de uma reta tangente a uma 
superfície em um determinado ponto.
Tome o ponto P(x0, y0) da figura 3. O deslocamento de P para Q cria o vetor v

 que tem uma 
inclinação θ com a horizontal (forma um ângulo θ coma horizontal).
O nosso objetivo será calcular a derivada da função f nessa direção.
Figura 3
 
P
ν
Q
y
y0
x0 x
θ
A derivada direcional de f em relação a v

 é dada pelo produto escalar entre o vetor u e o 
vetor gradiente ( )f P∇

:
( ) . f u f P
u
∂
= ∇
∂



Sendo:
u: é o vetor unitário ou o versor de v

. 
( )Ñ

f P : é o vetor gradiente.
Se v não estiver com o módulo igual a 1, é preciso normalizar o vetor, ou seja, se v

 for dado 
pelas componentes a e b, então, v=(a,b).
18
Unidade: Derivadas Parciais
A sua norma (seu módulo) é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus 
componentes.
( ) 2 2,= = = +v a  b v a b
Exemplo:
Normalizar o vetor ( )3,4=a  
( ) ( )2 23 4 25 5= + = =a
O próximo passo é dividir cada um componentes do vetor pela sua norma:3 4
,
5 5
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø

u  
Esse é o vetor unitário que buscávamos, ou seja, o seu módulo é igual a 1.
Em Síntese
Para normalizar um vetor, achamos a sua norma e, depois, divide-se cada um de seus componentes 
pela sua norma.
=



v
u
v
O vetor gradiente é dado por:
( ) ( ) ( ),
æ ö¶ ¶ ÷çÑ = ÷ç ÷÷ç¶ ¶è ø
 f f
f P P   P
x y
Sendo que:
 A primeira componente ( )
¶
¶
f
P
x é a derivada parcial de f em relação à variável x, calculada no 
ponto P.
A segunda componente ( )¶¶
f
P
y
 é a derivada parcial de f em, relação à variável y calculada no 
ponto P.
19
Cada componente do vetor tem um módulo (dado pela derivada parcial) e uma direção, 
por exemplo, se nos interessa o gradiente de uma função de duas variáveis, a fórmula para 
encontrar esse gradiente é dada por:
( ) ( ) ( ), ,
æ ö¶ ¶ ÷çÑ = ÷ç ÷÷ç¶ ¶è ø
 f f
f x y i   j
x y
Se nossa função tiver três variáveis:
( ) ( ) ( ) ( ), , , ,
æ ö¶ ¶ ¶ ÷çÑ = ÷ç ÷÷ç¶ ¶ ¶è ø
 f f f
f x y z i   j k
x y z
Reveja as aulas de vetores para que você entenda com maior profundidade o assunto. Esse conteúdo 
foi tratado nas aulas de Geometria Analítica.
Se escrevermos o vetor u em função de θ, chegaremos a seguinte conclusão:
u=(cos θ,sen θ)
Já sabemos que o módulo do vetor unitário vale 1.
Para acharmos a derivada direcional de f em relação ao vetor u, basta fazer a multiplicação 
escalar entre esses dois vetores:
( ) ( ).¶ = Ñ
¶



f
P u   f P
u
Substituindo, teremos o seguinte:
( ) ( ) ( ) ( )cos , . ,
æ ö¶ ¶ ¶ ÷ç= q q ÷ç ÷÷ç¶ ¶ ¶è ø
 
f f f
P  sen   P   P
u x y
Agora, faremos a multiplicação: o componente pintado em amarelo do 1º vetor com o 
componente amarelo do 2º vetor. E somar com o produto dos componentes pintados em azul.
( ) ( ) ( )cos¶ ¶ ¶= q + q
¶ ¶ ¶
f f f
P x P  sen P
u x y
Se tomarmos a direção de 0 radianos, a derivada direcional convergirá para a derivada 
parcial de f em relação à variável x.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos0 0 1 0¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + = + =
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶
f f f f f f
P P  sen P P   P P
u x y x y x
20
Unidade: Derivadas Parciais
Se tomarmos a direção de 
2
π radianos, a derivada direcional convergirá para a derivada 
parcial de f em relação à variável y.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1
2 2
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + = + =
¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶  
f f f f f f
P cos P  sen P P   P P
u x y x y y
π π
Portanto, está provado que quando o vetor gradiente aponta na direção horizontal ou vertical 
os vetores direcionais convergem para derivada parcial em x e em y.
Se tivermos o ângulo ϕ formado pelos vetores u e ( )f P∇

, então:
( ) ( ) ( ). . .¶ = Ñ = Ñ j
¶
 
 

f
P  u   f P u f P cos
u
Como |u |=1, podemos reescrever a fórmula:
( ) ( ) .¶ = Ñ j
¶


f
P f P cos
u
Podemos isolar o cosseno, passando | ( )f P∇

|para o outro lado da igualdade:
( )
( )
( )
( )
¶
¶j =
Ñ
¶
¶j =
Ñ




f
P
ucos
f P
f
P
uarccos 
f P
O ângulo ϕ é aquele cujo cosseno é dado pela derivada direcional de f dividida pelo vetor 
gradiente em P. 
E qual a consequência do que acabamos de ver?
Se:
( ) ( ) .¶ = Ñ j
¶


f
P f P cos
u
O cosseno de ϕ (Fi) é um valor compreendido entre -1 e 1; portanto, o maior valor que a 
derivada direcional possui é quando o valor de cosϕ=1. Quando o cosseno for igual a -1 é o 
momento em que a derivada assume seu menor valor. E a derivada será nula quando o cosseno 
assumir o valor zero.
21
Se ϕ=π radianos; então, teremos a derivada direcional mínima. Lembre-se que o cosseno 
de π=-1.
( ) ( ) ( ).¶ = Ñ p=-Ñ
¶
 

f
P f P cos f P
u
Se 
2
pj = radianos; então, teremos a derivada direcional nula. Lembre-se que o cosseno 
de 
2
π
=0.
( ) ( ) . 0
2
¶ p= Ñ =
¶


f
P f P cos
u
Se ϕ=0 radianos; então, teremos a derivada direcional máxima. Lembre-se que o cosseno 
de π=1.
( ) ( ) ( ).¶ = Ñ p= Ñ
¶
 

f
P f P cos f P
u
Propriedades importantes:
I. O vetor gradiente aponta para uma direção, segundo a qual, a função f é crescente.
II. Dentre todas as direções, ao longo das quais a função f cresce, a direção do gradiente é a 
de crescimento mais rápido.
III. O vetor gradiente de f no ponto (x,y) é perpendicular à curva de nível de f que passa por 
esse ponto. Dado 2:f D∈ →  , diferenciável, e dado que ∈ , diz-se que o ponto 
(x,y)∈ D está no nível  relativamente à função f quando f(x,y)=. Fixado o valor de 
, o conjunto dos pontos do domínio D que estão no nível K é a imagem inversa f-1 (), 
a qual é denominada curva de nível  de f.
Observe que sobre a superfície está um ponto P (figura 4) , e por esse ponto passam infinitas 
retas com diferentes declividades e direções. Suponhamos que eu tenha um interesse especial 
na reta r, que é tangente ao ponto P e tem a mesma direção do vetor u

. Para achar a inclinação 
dessa reta é que usaremos as derivadas direcionais.
A notação de usaremos para a derivada direcional na direção de u

 é:

uD f
22
Unidade: Derivadas Parciais
Então, as derivadas direcionais servem para nos dar a taxa de variação de uma função f na 
direção de um determinado vetor.
Passos para a resolução de uma derivada direcional:
1. Derivar a função em relação a todas as variáveis (derivadas parciais);
2. Aplicar o ponto P em cada uma das derivadas parciais;
3. Normalizar o vetor diretor que nos dará o sentido da taxa de variação que queremos 
encontrar.
Figura 4
 z
x
y
N
P
u
Fórmulas para a resolução:
Função com duas variáveis
( ) ( ) ( )1 2, , . , .= + x yuD f x y f x y u f x y u
Função com três variáveis.
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , . , , . , , .= + + x y zuD f x y z f x y z u f x y z u f x y z u
Exemplo 1:
Qual é a derivada direcional da função ( ) 2, = +f x y x y y , no ponto P(2,1) na direção de 
5 2= -
 

a i j
Resolução:
O primeiro passo é normalizar o vetor.
23
A norma de um vetor é dada pela raiz quadrada da soma dos quadrados de seus componentes.
2 2= +a x y
Em seguida, vamos dividir cada componente do vetor por sua norma (é o mesmo que achar 
o versor):
= +
 

 
xi yj
u
a a
Voltando ao nosso problema.
O vetor diretor é dado por: 5 2= -
 

a i j
( )22(5) 2
25 4
29
= + -
= +
=



a
a
a
Vamos achar o vetor v (vetor unitário ou versor).
5 2
29 29
-= +
 
 i j
u
Estando o vetor normalizado, nosso próximo passo será achar as derivadas parciais da função:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
,
,
, 2 0 2
= +
¶¶
= +
¶ ¶
= + =
x
x
f x y x y y
yx y
f x y
x x
f x y xy xy
( ) ( ) ( )
( )
2
2
,
1
,
2
¶¶
= +
¶ ¶
= +
y
y
yx y
f x y
y y
f x y x
y
24
Unidade: Derivadas Parciais
O passo seguinte é aplicar o Ponto P(2,1) nas derivadas encontradas:
( ) 2 1,
2
= +yf x y x
y
( ) ( )2 12,1 2
2 1
= +yf
( ) 1 92,1 4
2 2
= + =yf
Aplicar os valores obtidos na fórmula:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2, , . , .
5 9 2
, 4. .
229 29
20 9
,
29 29
11
,
29
= +
-= +
-= +
=




x yu
u
u
u
D f x y f x y u f x y u
D f x y
D f x y
D f x y
Exemplo 2
Calcular a taxa e variação de f no ponto A na direção de a, dados:
 
( ) 2 3, ,f x y z x y yz z= − +
( )1, 2, 0A −
 2 2a i j k= + −

 

O primeiro passo para resolver o problema será normalizar o vetor a. 
Normalizar um vetor significa achar o seu versor ou o seu vetor unitário.
Vamos, então, achar a norma do vetor e, em seguida, dividir cada um de seus componentes 
pela norma:( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 9 3= + + - = =a
25
A norma do vetor é 3. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para 
encontrar o seu versor ou vetor unitário.
2 1 2
3 3 3
= + -

 

u i j k
Para explicitar:
1
2
3
2
3
1
3
2
3
=
=
- =
u
u
u
Feito isso, é preciso encontrar as derivadas parciais da função f.
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2 3, , , , . , , . , , .
2 1 2
, , 4 1 1
3 3 3
8 1 2 9
, , 3
3 3 3 3
= + +
=- ´ + ´ + ´-
=- + - =- =-



x y zu
u
u
D f x y z f x y z u f x y z u f x y z u
D f x y z
D f x y z
Agora, iremos achar o valor da cada derivada parcial aplicada ao ponto A(1,-2,0):
( ) ( )1, 2, 0 2 2 4xf − = − = −
( ) ( ) ( )2 31, 2, 0 1 0 1yf − = − =
( ) ( ) 21, 2, 0 3 2 (0) 1 1zf − = − − + =
O próximo passo é substituir os valores:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3, , , , . , , . , , .u x y zD f x y z f x y z u f x y z u f x y z u= + +
( ) 2 1 2, , 4 1 1
3 3 3u
D f x y z = − × + × + × −
( ) 8 1 2 9, , 3
3 3 3 3u
D f x y z = − + − = − = −
26
Unidade: Derivadas Parciais
Material Complementar
Para aprofundar seus conhecimentos acerca do estudo sobre derivadas parciais e direcionais, 
utilize um dos livros da bibliografia e faça um resumo sobre os conceitos que abordam o assunto.
 
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Outras indicações:
• https://www.youtube.com/watch?v=j9jjZHFasYE
• https://www.youtube.com/watch?v=bTXco9OwefI
• https://www.youtube.com/watch?v=XrfrwH7YCp4
• https://www.youtube.com/watch?v=EZkQZdx6t58
• https://www.youtube.com/watch?v=l84cmUOtwnQ
27
Referências
DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 2 
ed. São Paulo: Pearson, 2013.
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
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Unidade: Derivadas Parciais
Anotações

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