Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UFCG / CCT / UAME Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Turmas 1 e 3 Notas de Aula - Sequências Numéricas Professor(a): Rosana M. da Silva 1 Sequências Numéricas Uma sequência é uma lista infinitas de números, que obedece uma ordem determinada pelo inteiros positivos. Por exemplo, a sequência {a1, a2, a3, · · · , an, · · · }, onde an é o n-ésimo termo ou termo geral. O n-ésimo termo determina a lei de formação dos termos da sequência. Exemplos: 1. {1, 2, 3, · · · , n, · · · } 2. {1, 1 2 , 1 3 , · · · , 1 n , · · · } 3. {2, 4, 6, · · · , 2n, · · · } 4. {−1, 2, −4, 8, · · · , (−1)n 2n−1, · · · } 5. {1, −2, 4, −8, · · · } Definição. Uma sequência infinita de números é uma função definida por f : Z+ → R | an = f(n). Notação. Uma sequência pode ser denotada por: an = f(n) ou {an}∞n=1 ou {an} ou {an} = {a1, a2, a3, · · · , an, · · · }. Exemplo: an = 1 2n , { 1 2n }∞ n=1 , { 1 2n } ou {an} = {1 2 , 1 4 , 1 6 , · · · , 1 2n , · · · } . Observação. O Termos geral an da sequência {5, 7, 9, 11, · · · }. pode ser representado de várias formas, dependendo do seu indice do primeiro termo1. Por exemplo: an = 2n+ 3, n ≥ 1, a1 = 5, a2 = 7, · · · an = 2n+ 1, n ≥ 2, a2 = 5, a3 = 7, · · · an = 2n− 1, n ≥ 3, a3 = 5, a4 = 7, · · · an = 2n+ 5, n ≥ 0, a0 = 5, a1 = 7, · · · . Exemplos. Representações algébrica e gráfica de sequências numéricas. 1. an = 3 ou {an} = {3, 3, 3, · · · }. 1O indice do primeiro termo da sequencia é conhecido como n0 2. an = 1 n ou {an} = { 1, 1 2 , 1 3 , · · · , 1 n , · · · } . 3. an = n 2 ou {an} = {1 2 , 1, 3 2 , 4, · · · , n 2 , · · · } . 4. an = n− 1 n ou {an} = { 0, 1 2 , 2 3 , 3 4 , · · · , n− 1 n , · · · } 5. an = (−1)n+1 n− 1 n ou {an} = { 0, −1 2 , 2 3 , −3 4 , · · · , (−1)n+1n− 1 n , · · · } . 6. an = (−1)n 1 2n+ 1 ou {an} = { − 1 3 , 1 5 , −1 7 , · · · ,−1)n 1 2n+ 1 , · · · } . 1.1 Sequências Numéricas - Convergência, divergência e limite. Definição. A sequência {an} converge para um número L, se para todo número real positivo ξ, existe um número inteiro N tal forma que para todo n > N ⇒ |an − L| < ξ. Se o número L não existe, dizemos que {an} diverge. Se {an} converge para L, escrevemos lim n→∞ an = L, ou, simplesmente, an → L e L é o limite da sequência. Figura 1: Ilustração gráfica da definição de convegência de um sequência Resumindo: lim n→∞ an = L, significa que ∀ξ > 0, ∃N |n > N ⇒ |an − L| < ξ. Exemplos ilustrativos. 1. A sequência an = (−1)n 12n+1 converge para 0. Para mostrar que an = (−1)n 12n+1 converge para 0, devemos mostrar que para todo número positivo ξ, podemos exibir um número N tal que n > N ⇒ |an − 0| < ξ. Observemos que |an − 0| = |(−1)n 12n+1 − 0| = |(−1)n 12n+1 | = | 12n+1 | = 12n+1 , para n ≥ 1. Por definição de limite temos que encontrar N tal que se n ≥ N , então 12n+1 < ξ. Resolvendo a inequação 12n+1 < ξ obtemos n > 1−ξ 2 ξ . Portanto, tomandoN = 1−ξ 2 ξ , temos o resultado procurado, ou seja, |(−1)n 12n+1 − 0| < ξ, para todo n > N = 1−ξ2 ξ . 2 2. A sequência an = (−1)n+1(n−1n ) não possui limite (diverge). Podemos observar (veja exemplo 6) que os termos da sequência oscilam e se aproximam de 1 quando n é impar e de −1 quando n é par. Para mostrar que esse fato implica na não existência do limite, vamos supor por absurdo que an converge, ou seja, que an → L, quando n→∞. Se an → L, por definição de limite de uma sequência, para todo número ξ > 0, existe um inteiro N , tal que a distância entre an, com n > N , e L é menor do que ξ. Tomando ξ = 110 e L = 1 e calculando |an − 1|, para n impar, temos |n−1n − 1| = | − 1n | = 1n , para n ≥ 1 e 1 n < 1 10 ⇒ n > 10. Podemos ver que todos os termos an, com n > 10 e impar, estão a uma disância menor do que 110 de L = 1, satisfazendo a condição de existência do limite. Por outro lado, considerando n > 10 e par, os termos an = −n−1n estão a uma disância maior do que 110 de L = 1. De fato: |(−n−1n )− 1| = | 1−2nn | = | 1n − 2| = 2− 1n > 110 para todo n > 10. Como an, para todo n > 10 e par, esta fora do intervalo (1− 110 , 1 + 110 ), contrariando, assim, a hipótese inicial, de que an → L, com L = 1. Concluimos que a sequência diverge. 2 A demonstração é análoga tomando L = −1. Definição. A sequência {an} diverge para o infinito se para todo número real positivoM existe um inteiro N , tal que an > M sempre que n > N . E, neste caso, lim n→∞ an =∞. Figura 2: Exemplo de uma sequência que diverge para o infinito Analogamente, se an < −M , sempre que n > N , temos lim n→∞ an = −∞. Exercício. Identifique, nos exemplos de 1 a 5, quais sequências convergem e quais divergem. No caso de convergência identifique, usando a representação gráfica, o limite da sequência. Calcular o limite de uma sequência, usando a definição de sequência convergente, é uma tarefa bastante trabalhosa. Veremos, a seguir, resultados (teoremas) que, sob certas condições, "facilitam"o cálculo do limite. Teorema 1 Sejam {an}, {bn} sequências de números reais, A e B números reais. Se lim n→∞ an = A e lim n→∞ bn = B, as seguintes propriedades são verdadeiras. 1. Soma: lim n→∞ (an + bn) = A+B 2. Diferença: lim n→∞ (an − bn) = A−B 3. Produto: lim n→∞ an bn = AB 4. Multiplicação por constante: lim n→∞ (k an) = k A, k ∈ R. 5. Quociente: lim n→∞ an bn = A B se B 6= 0. Exercicio: Sabendo que lim n→∞ a = a, onde a é uma constante real e que lim n→∞ n− 1 n = 1, usando as propriedades de limite de uma sequência, determinar: 1. lim n→∞ 1 n 2. lim n→∞ 1− n n 3. lim n→∞ n− 1 3n 4. lim n→∞ n2 − 2n+ 1 n2 Teorema 2 Teorema do confronto para sequências. Sejam {an}, {bn} e {cn} sequências de números reais. Se an ≤ bn ≤ cn for verdadeira para todo n além de algum índice N e se lim n→∞ an = lim n→∞ cn = L, então lim n→∞ bn = L. Exemplos. 1. Mostrar que a sequência an = senn n converge para 0(zero). De fato: Sabemos que −1 ≤ senn ≤ 1. Para n > 0, temos −1 n ≤ senn n ≤ 1 n . Como lim n→∞ 1 n = 0 e lim n→∞ − 1 n = 0 , pelo teorema do confronto concluímos que lim n→∞ senn n = 0, ou seja, a sequência {senn n } converge para 0. 2 2. A sequência { n! nn } converge? Observemos que (n=1) 1 ≤ 1 (n=2) 1 2 ≤ 1 2 (n=3) 1 3 · 2 3 ≤ 1 3 (n=4) 1 4 · 2 4 · 3 4 ≤ 1 4 (n=5) 1 5 · 2 5 · 3 5 · 4 5 ≤ 1 5 ... (n=n) 1 n · 2 n · 3 n · 4 n · · · n− 1 n ≤ 1 n ou n! nn ≤ 1 n Como lim n→∞ 1 n = 0, pelo teorema do confronto concluímos que a sequência { n! nn } converge para 0, ou seja, lim n→∞ n! nn = 0. 2 3. Mostrar que a sequência {a n n! }, a ∈ R, converge para 0(zero).(Veja o Apêndice A do livro texto). 1.2 Sequências Numéricas e funções contínuas Os teoremas a seguir nos permitem usar resultados de funções continuas para investigarmos a con- vergência ou divergência de sequências. Teorema 3 - Sequências × funções continuas Suponha que f(x) seja uma função definida para todo x ≥ N e que {an} seja uma sequência de números reais tal que an = f(n) para todo n ≥ N . Então, 1. lim n→∞ f(x) = L⇒ lim n→∞ an = L. 2. lim n→∞ f(x) =∞ ( ou −∞)⇒ lim n→∞ an =∞ ( ou −∞). Exercicios. Escreva os quatro primeiros termos e calcule, se existir, o limite das sequências abaixo: 1. an = 1− 2n 1 + 2n ; 2. an = ln(n+ 1)√ n ; 3. an = n √ n; 4. an = sen2n 2n ; 5. an = n+ (−1)n n ; 6. an = 1− n 2n+1 ; 7. an = (−1)n n 2 1 + n2 ; 8. an = (−1)n+1 1 n2 + n . 1.3 Sequências definidas recursivamente Os termos de uma sequência podem serdfinidos a partir de um valor inicial e de uma regra que determina os demais. Exemplos: 1. a1 = 2 e an = 2n− an−1. Sequência gerada: {2, 2, 4, 4, 6, ....} 2. a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an−1. Essa sequência é conhecida como a Sequência de Fibonaci. 3. a1 = 1 e an+1 = an n+ 1 . 4. a1 = 2, a2 = −1 e an+2 = an+1 an . 1.4 Sequências crescentes e decrescentes Definição. Uma sequência {an} é dita crescente se {an ≤ an+1} para todo n. Uma sequência {an} é dita decrescente se {an ≥ an+1} para todo n. Exemplo - Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras. 1. {√ 2n n+ 1 } é crescente. 2. { n 2n } é decrescente. 3. { n+ 1 2n− 1 } é decrescente. 4. {2n 3n n! } é decrescente. Dado uma sequência {an}, para verificar se é crescente ou decrescente, podemos usar a definição de sequencia decrescente ou crescente ou a derivada de uma função continua associada a sequência dada. 2 1. Verificando se {√ 2n n+ 1 } é crescente. 1. Usando a definição. Vamos verificar se √ 2n n+ 1 ≤ √ 2(n+ 1) n+ 2 . Como a, b > 0, a < b⇒ √a ≤ √b, basta mostrar que 2n n+ 1 ≤ 2(n+ 1) n+ 2 . Resolvendo a inequação, obtemos 2n(n+ 2) ≤ 2(n+ 1)(n+ 1) 2n2 + 4n ≤ 2n2 + 4n+ 2. 4n ≤ 4n+ 2. Assim an ≤ an+1. Portanto {√ 2n n+ 1 } é crescente. 2 2. Usando a derivada de uma função. Tomemos a função f(x) = √ 2x x+1 . f é continua para todo x ≥ 1. calculando a sua derivada, verificamos que f ′(x) = 1 2 √ 2x x+1 2(x+ 1)− 2x (x+ 1)2 = 1√ 2x x+1 1 (x+ 1)2 ≥ 0, para todo x. Portanto, { √ 2n n+1 } é crescente. 2 2. Verificando se { n 2n } é decrescente. 1. Usando a definição. Vamos verificar se n 2n ≥ n+ 1 2n+1 . n 2n ≥ n+ 1 2(2n) ⇒ n ≥ n+ 1 2 ⇒ 2n ≥ n+ 1⇒ n ≥ 1. Portanto, { √ 2n n+1 } é decrescente para todo n ≥ 1. 2 2"Uma função é cescente (decrescente), então a sua derivada é positiva (negativa)". 2. Usando a derivada de uma função. Tomemos f(x) = x ex . A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua derivada, verificamos que f ′(x) = 2x − x2x ln 2 22x = 1− x ln 2 2x ≤ 0, para todo x ≥ 1 ln 2 . Portanto, podemos concluir que { √ 2n n+1 } é decrescente para todo n > 1. 2 3. Observando a figura abaixo podemos ver o porquê dos métodos usados levarem a conclusões diferentes (n ≥ 1 e n > 1). 1.5 Sequências Limitadas Definição. Uma sequência {an} é limitada superiormente se existe um númeroM tal que an ≤M para todo n. O númeroM é um limitante superior para {an}. Se não existir nenhum outro limitante superior para {an} menor do que M , então M é o menor limitante superior para {an}. Definição. Uma sequência {an} é limitada inferiormente se existe um número M tal que an ≥ M para todo n. O númeroM é um limitante inferior para {an}. Se não existir nenhum outro limitante inferior para {an} maior do que M , então M é o maior limitante inferior para {an}. Exemplos. 1. an = 1 + (−1)n+1 {an} = {2, 0, 2, 0, ...}, onde 2 é limitante superior e 0 é limitante inferior. 2. an = cos(npi) {an} = {−1, 1,−1, 1, ...}, onde 1 é limitante superior e − 1 é limitante inferior. 3. an = 1n {an} = { 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , ... } , onde 1 é limitante superior e 0 é limitante inferior. 1.5.1 Sequências Limitadas - Convergência Teorema 4 - Sequência crescente. Uma sequência crescente {an} converge se e somente se é limitada superiormente. Se uma sequência crescente {an} converge, ela o faz para o seu menor limitante superior. Exemplo. Já mostramos que {√ 2n n+ 1 } é crescente. Essa sequência possui um menor limitante superior? Teorema 5 - Sequência decrescente. Uma sequência decrescente {an} converge se e somente se é limitada inferiormente. Se uma sequência decrescente {an} converge, ela o faz para o seu maior limitante inferior. Exemplos. 1. A sequência {1 +√2n√ n } é limitada? 2. Toda sequência limitada converge? FALSO. Contra-exemplo: { cos n pi } ; { (−1)n+1n− 1 n } . 3. Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu limitante superior ou inferior? FALSO. Contra-exemplo: { (−1)n n 2n2 + 1 } 1.6 Sequências de valores absolutos Teorema 6 - Sequências de valores absolutos. Uma sequência {an} converge para 0(zero) se e somente se a sequências de valores absolutos {|an|} converge para 0(zero). Exemplo. A sequência { n 2n2 + 1 } converge para 0(zero). Logo { (−1)n n 2n2 + 1 } também converge para 0(zero). 1.7 Subsequências Definição. Se os termos de uma sequência aparecem em outra sequência na mesma ordem dada, chamamos a primeira sequência de subsequência da segunda. Exemplo. As sequências {(2n− 1)− 1 2n− 1 } = {2n− 2 2n− 1 } e { − 2n− 1 2n } , n = 1, 2, ..., são subsequências da sequência { (−1)n+1n− 1 n } . Teorema 7 - Limite e subsequências. Se duas subsequências de uma sequência {an} possuem limites diferentes, então a sequência {an} diverge. Exercicios. Escrever os quatro primeiros termos e calcular, se existir, o limite das sequências abaixo: 9. an = n sen 1 n ; 10. an = (−1)n 1 n! ; 11. an = ln(n)− ln(n+ 1); 12. an = ( 1 n ) 1 ln n ; 13. an = n− √ n2 − 1; 14. an = (1 + 1 n )n; 15. an = 2n n! . Livro Texto: Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10. (ou Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.) • Capítulo 10.1 - página. 10 - Exercícios: 1 - 98. (ou Capítulo 11.1 - p. 74 - Exercícios: 1 - 84; 97 - 105.)
Compartilhar