Notas_de_aula_Sequencias

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UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Turmas 1 e 3
Notas de Aula - Sequências Numéricas
Professor(a): Rosana M. da Silva
1 Sequências Numéricas
Uma sequência é uma lista infinitas de números, que obedece uma ordem determinada pelo inteiros
positivos. Por exemplo, a sequência {a1, a2, a3, · · · , an, · · · }, onde an é o n-ésimo termo ou termo
geral. O n-ésimo termo determina a lei de formação dos termos da sequência.
Exemplos:
1. {1, 2, 3, · · · , n, · · · }
2. {1, 1
2
, 1
3
, · · · , 1
n
, · · · }
3. {2, 4, 6, · · · , 2n, · · · }
4. {−1, 2, −4, 8, · · · , (−1)n 2n−1, · · · }
5. {1, −2, 4, −8, · · · }
Definição. Uma sequência infinita de números é uma função definida por f : Z+ → R | an = f(n).
Notação. Uma sequência pode ser denotada por:
an = f(n) ou {an}∞n=1 ou {an} ou {an} = {a1, a2, a3, · · · , an, · · · }.
Exemplo: an =
1
2n
,
{ 1
2n
}∞
n=1
,
{ 1
2n
}
ou {an} =
{1
2
,
1
4
,
1
6
, · · · , 1
2n
, · · ·
}
.
Observação. O Termos geral an da sequência {5, 7, 9, 11, · · · }. pode ser representado de várias
formas, dependendo do seu indice do primeiro termo1. Por exemplo:
an = 2n+ 3, n ≥ 1, a1 = 5, a2 = 7, · · ·
an = 2n+ 1, n ≥ 2, a2 = 5, a3 = 7, · · ·
an = 2n− 1, n ≥ 3, a3 = 5, a4 = 7, · · ·
an = 2n+ 5, n ≥ 0, a0 = 5, a1 = 7, · · · .
Exemplos. Representações algébrica e gráfica de sequências numéricas.
1. an = 3 ou {an} = {3, 3, 3, · · · }.
1O indice do primeiro termo da sequencia é conhecido como n0
2. an =
1
n
ou {an} =
{
1,
1
2
,
1
3
, · · · , 1
n
, · · ·
}
.
3. an =
n
2
ou {an} =
{1
2
, 1,
3
2
, 4, · · · , n
2
, · · ·
}
.
4. an =
n− 1
n
ou {an} =
{
0,
1
2
,
2
3
,
3
4
, · · · , n− 1
n
, · · ·
}
5. an = (−1)n+1 n− 1
n
ou {an} =
{
0, −1
2
,
2
3
, −3
4
, · · · , (−1)n+1n− 1
n
, · · ·
}
.
6. an = (−1)n 1
2n+ 1
ou {an} =
{
− 1
3
,
1
5
, −1
7
, · · · ,−1)n 1
2n+ 1
, · · ·
}
.
1.1 Sequências Numéricas - Convergência, divergência e limite.
Definição. A sequência {an} converge para um número L, se para todo número real positivo ξ,
existe um número inteiro N tal forma que para todo n > N ⇒ |an − L| < ξ. Se o número L não
existe, dizemos que {an} diverge.
Se {an} converge para L, escrevemos lim
n→∞
an = L, ou, simplesmente, an → L e L é o limite da
sequência.
Figura 1: Ilustração gráfica da definição de convegência de um sequência
Resumindo: lim
n→∞
an = L, significa que ∀ξ > 0, ∃N |n > N ⇒ |an − L| < ξ.
Exemplos ilustrativos.
1. A sequência an = (−1)n 12n+1 converge para 0.
Para mostrar que an = (−1)n 12n+1 converge para 0, devemos mostrar que para todo número positivo ξ, podemos
exibir um número N tal que n > N ⇒ |an − 0| < ξ.
Observemos que |an − 0| = |(−1)n 12n+1 − 0| = |(−1)n 12n+1 | = | 12n+1 | = 12n+1 , para n ≥ 1.
Por definição de limite temos que encontrar N tal que se n ≥ N , então 12n+1 < ξ.
Resolvendo a inequação 12n+1 < ξ obtemos n >
1−ξ
2 ξ . Portanto, tomandoN =
1−ξ
2 ξ , temos o resultado procurado,
ou seja, |(−1)n 12n+1 − 0| < ξ, para todo n > N = 1−ξ2 ξ . 2
2. A sequência an = (−1)n+1(n−1n ) não possui limite (diverge).
Podemos observar (veja exemplo 6) que os termos da sequência oscilam e se aproximam de 1 quando n é impar e
de −1 quando n é par.
Para mostrar que esse fato implica na não existência do limite, vamos supor por absurdo que an converge, ou
seja, que an → L, quando n→∞.
Se an → L, por definição de limite de uma sequência, para todo número ξ > 0, existe um inteiro N , tal que a
distância entre an, com n > N , e L é menor do que ξ.
Tomando ξ = 110 e L = 1 e calculando |an − 1|, para n impar, temos |n−1n − 1| = | − 1n | = 1n , para n ≥ 1 e
1
n <
1
10 ⇒ n > 10.
Podemos ver que todos os termos an, com n > 10 e impar, estão a uma disância menor do que 110 de L = 1,
satisfazendo a condição de existência do limite.
Por outro lado, considerando n > 10 e par, os termos an = −n−1n estão a uma disância maior do que 110 de L = 1.
De fato: |(−n−1n )− 1| = | 1−2nn | = | 1n − 2| = 2− 1n > 110 para todo n > 10.
Como an, para todo n > 10 e par, esta fora do intervalo (1− 110 , 1 + 110 ), contrariando, assim, a hipótese inicial,
de que an → L, com L = 1. Concluimos que a sequência diverge. 2
A demonstração é análoga tomando L = −1.
Definição. A sequência {an} diverge para o infinito se para todo número real positivoM existe um
inteiro N , tal que an > M sempre que n > N . E, neste caso, lim
n→∞
an =∞.
Figura 2: Exemplo de uma sequência que diverge para o infinito
Analogamente, se an < −M , sempre que n > N , temos lim
n→∞
an = −∞.
Exercício. Identifique, nos exemplos de 1 a 5, quais sequências convergem e quais divergem. No
caso de convergência identifique, usando a representação gráfica, o limite da sequência.
Calcular o limite de uma sequência, usando a definição de sequência convergente, é uma tarefa
bastante trabalhosa. Veremos, a seguir, resultados (teoremas) que, sob certas condições, "facilitam"o
cálculo do limite.
Teorema 1 Sejam {an}, {bn} sequências de números reais, A e B números reais. Se
lim
n→∞
an = A e lim
n→∞
bn = B,
as seguintes propriedades são verdadeiras.
1. Soma: lim
n→∞
(an + bn) = A+B
2. Diferença: lim
n→∞
(an − bn) = A−B
3. Produto: lim
n→∞
an bn = AB
4. Multiplicação por constante: lim
n→∞
(k an) = k A, k ∈ R.
5. Quociente: lim
n→∞
an
bn
=
A
B
se B 6= 0.
Exercicio: Sabendo que lim
n→∞
a = a, onde a é uma constante real e que lim
n→∞
n− 1
n
= 1, usando as
propriedades de limite de uma sequência, determinar:
1. lim
n→∞
1
n
2. lim
n→∞
1− n
n
3. lim
n→∞
n− 1
3n
4. lim
n→∞
n2 − 2n+ 1
n2
Teorema 2 Teorema do confronto para sequências.
Sejam {an}, {bn} e {cn} sequências de números reais. Se an ≤ bn ≤ cn for verdadeira para todo n
além de algum índice N e se lim
n→∞
an = lim
n→∞
cn = L, então lim
n→∞
bn = L.
Exemplos.
1. Mostrar que a sequência an =
senn
n
converge para 0(zero).
De fato: Sabemos que −1 ≤ senn ≤ 1. Para n > 0, temos −1
n
≤ senn
n
≤ 1
n
.
Como lim
n→∞
1
n
= 0 e lim
n→∞
− 1
n
= 0 , pelo teorema do confronto concluímos que lim
n→∞
senn
n
=
0, ou seja, a sequência {senn
n
} converge para 0. 2
2. A sequência { n!
nn
} converge?
Observemos que
(n=1) 1 ≤ 1
(n=2)
1
2
≤ 1
2
(n=3)
1
3
· 2
3
≤ 1
3
(n=4)
1
4
· 2
4
· 3
4
≤ 1
4
(n=5)
1
5
· 2
5
· 3
5
· 4
5
≤ 1
5
...
(n=n)
1
n
· 2
n
· 3
n
· 4
n
· · · n− 1
n
≤ 1
n
ou
n!
nn
≤ 1
n
Como lim
n→∞
1
n
= 0, pelo teorema do confronto concluímos que a sequência { n!
nn
} converge
para 0, ou seja, lim
n→∞
n!
nn
= 0. 2
3. Mostrar que a sequência {a
n
n!
}, a ∈ R, converge para 0(zero).(Veja o Apêndice A do livro texto).
1.2 Sequências Numéricas e funções contínuas
Os teoremas a seguir nos permitem usar resultados de funções continuas para investigarmos a con-
vergência ou divergência de sequências.
Teorema 3 - Sequências × funções continuas
Suponha que f(x) seja uma função definida para todo x ≥ N e que {an} seja uma sequência de
números reais tal que an = f(n) para todo n ≥ N . Então,
1. lim
n→∞
f(x) = L⇒ lim
n→∞
an = L.
2. lim
n→∞
f(x) =∞ ( ou −∞)⇒ lim
n→∞
an =∞ ( ou −∞).
Exercicios. Escreva os quatro primeiros termos e calcule, se existir, o limite das sequências abaixo:
1. an =
1− 2n
1 + 2n
;
2. an =
ln(n+ 1)√
n
;
3. an = n
√
n;
4. an =
sen2n
2n
;
5. an =
n+ (−1)n
n
;
6. an =
1− n
2n+1
;
7. an = (−1)n n
2
1 + n2
;
8. an = (−1)n+1 1
n2 + n
.
1.3 Sequências definidas recursivamente
Os termos de uma sequência podem serdfinidos a partir de um valor inicial e de uma regra que
determina os demais.
Exemplos:
1. a1 = 2 e an = 2n− an−1. Sequência gerada: {2, 2, 4, 4, 6, ....}
2. a1 = 1, a2 = 1 e an+1 = an + an−1. Essa sequência é conhecida como a Sequência de Fibonaci.
3. a1 = 1 e an+1 =
an
n+ 1
.
4. a1 = 2, a2 = −1 e an+2 = an+1
an
.
1.4 Sequências crescentes e decrescentes
Definição. Uma sequência {an} é dita crescente se {an ≤ an+1} para todo n. Uma sequência {an}
é dita decrescente se {an ≥ an+1} para todo n.
Exemplo - Verificar se as afirmações abaixo são verdadeiras.
1.
{√ 2n
n+ 1
}
é crescente.
2.
{ n
2n
}
é decrescente.
3.
{ n+ 1
2n− 1
}
é decrescente.
4.
{2n 3n
n!
}
é decrescente.
Dado uma sequência {an}, para verificar se é crescente ou decrescente, podemos usar a definição
de sequencia decrescente ou crescente ou a derivada de uma função continua associada a sequência
dada. 2
1. Verificando se
{√ 2n
n+ 1
}
é crescente.
1. Usando a definição.
Vamos verificar se
√
2n
n+ 1
≤
√
2(n+ 1)
n+ 2
. Como a, b > 0, a < b⇒ √a ≤ √b, basta mostrar
que
2n
n+ 1
≤ 2(n+ 1)
n+ 2
.
Resolvendo a inequação, obtemos
2n(n+ 2) ≤ 2(n+ 1)(n+ 1)
2n2 + 4n ≤ 2n2 + 4n+ 2.
4n ≤ 4n+ 2.
Assim an ≤ an+1. Portanto
{√ 2n
n+ 1
}
é crescente. 2
2. Usando a derivada de uma função.
Tomemos a função f(x) =
√
2x
x+1
. f é continua para todo x ≥ 1. calculando a sua derivada,
verificamos que
f ′(x) =
1
2
√
2x
x+1
2(x+ 1)− 2x
(x+ 1)2
=
1√
2x
x+1
1
(x+ 1)2
≥ 0, para todo x.
Portanto, {
√
2n
n+1
} é crescente. 2
2. Verificando se { n
2n
} é decrescente.
1. Usando a definição. Vamos verificar se
n
2n
≥ n+ 1
2n+1
.
n
2n
≥ n+ 1
2(2n)
⇒ n ≥ n+ 1
2
⇒ 2n ≥ n+ 1⇒ n ≥ 1.
Portanto, {
√
2n
n+1
} é decrescente para todo n ≥ 1. 2
2"Uma função é cescente (decrescente), então a sua derivada é positiva (negativa)".
2. Usando a derivada de uma função. Tomemos
f(x) =
x
ex
.
A função f é continua para todo x ≥ 1, calculando a sua derivada, verificamos que
f ′(x) =
2x − x2x ln 2
22x
=
1− x ln 2
2x
≤ 0, para todo x ≥ 1
ln 2
.
Portanto, podemos concluir que {
√
2n
n+1
} é decrescente para todo n > 1. 2
3. Observando a figura abaixo podemos ver o porquê dos métodos usados levarem a conclusões
diferentes (n ≥ 1 e n > 1).
1.5 Sequências Limitadas
Definição. Uma sequência {an} é limitada superiormente se existe um númeroM tal que an ≤M
para todo n. O númeroM é um limitante superior para {an}.
Se não existir nenhum outro limitante superior para {an} menor do que M , então M é o menor
limitante superior para {an}.
Definição. Uma sequência {an} é limitada inferiormente se existe um número M tal que an ≥ M
para todo n. O númeroM é um limitante inferior para {an}.
Se não existir nenhum outro limitante inferior para {an} maior do que M , então M é o maior
limitante inferior para {an}.
Exemplos.
1. an = 1 + (−1)n+1
{an} = {2, 0, 2, 0, ...}, onde 2 é limitante superior e 0 é limitante inferior.
2. an = cos(npi)
{an} = {−1, 1,−1, 1, ...}, onde 1 é limitante superior e − 1 é limitante inferior.
3. an = 1n
{an} =
{
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
, ...
}
, onde 1 é limitante superior e 0 é limitante inferior.
1.5.1 Sequências Limitadas - Convergência
Teorema 4 - Sequência crescente.
Uma sequência crescente {an} converge se e somente se é limitada superiormente.
Se uma sequência crescente {an} converge, ela o faz para o seu menor limitante superior.
Exemplo.
Já mostramos que
{√ 2n
n+ 1
}
é crescente. Essa sequência possui um menor limitante superior?
Teorema 5 - Sequência decrescente.
Uma sequência decrescente {an} converge se e somente se é limitada inferiormente.
Se uma sequência decrescente {an} converge, ela o faz para o seu maior limitante inferior.
Exemplos.
1. A sequência
{1 +√2n√
n
}
é limitada?
2. Toda sequência limitada converge? FALSO. Contra-exemplo:
{
cos
n
pi
}
;
{
(−1)n+1n− 1
n
}
.
3. Toda sequência limitada e convergente, converge para o seu limitante superior ou inferior?
FALSO. Contra-exemplo:
{
(−1)n n
2n2 + 1
}
1.6 Sequências de valores absolutos
Teorema 6 - Sequências de valores absolutos.
Uma sequência {an} converge para 0(zero) se e somente se a sequências de valores absolutos {|an|}
converge para 0(zero).
Exemplo.
A sequência
{ n
2n2 + 1
}
converge para 0(zero). Logo
{
(−1)n n
2n2 + 1
}
também converge para
0(zero).
1.7 Subsequências
Definição. Se os termos de uma sequência aparecem em outra sequência na mesma ordem dada,
chamamos a primeira sequência de subsequência da segunda.
Exemplo.
As sequências
{(2n− 1)− 1
2n− 1
}
=
{2n− 2
2n− 1
}
e
{
− 2n− 1
2n
}
, n = 1, 2, ..., são subsequências da
sequência
{
(−1)n+1n− 1
n
}
.
Teorema 7 - Limite e subsequências.
Se duas subsequências de uma sequência {an} possuem limites diferentes, então a sequência {an}
diverge.
Exercicios.
Escrever os quatro primeiros termos e calcular, se existir, o limite das sequências abaixo:
9. an = n sen
1
n
;
10. an = (−1)n 1
n!
;
11. an = ln(n)− ln(n+ 1);
12. an = (
1
n
)
1
ln n ;
13. an = n−
√
n2 − 1;
14. an = (1 +
1
n
)n;
15. an =
2n
n!
.
Livro Texto: Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10.
(ou Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.)
• Capítulo 10.1 - página. 10 - Exercícios: 1 - 98.
(ou Capítulo 11.1 - p. 74 - Exercícios: 1 - 84; 97 - 105.)