Notas_de_aula_Series_Numéricas

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UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Turmas 1 e 3
Notas de Aula - Séries Numéricas
Professor(a): Rosana M. da Silva
1 Séries Numéricas
Uma série é a soma dos termos de uma sequência infinita,
a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · =
∞∑
n=1
an,
onde an é chamado de n-ésimo termo ou termo geral da série.
O que significam essas somas infinitas? É possível calculá-las?
Uma soma de infinitos termos (números) não é o resultado da operação de adição "trivial", ela pode
resultar em um número ou tender ao infinito (±∞).
Exemplos de séries:
1.
∞∑
n=1
2n−1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·
2.
∞∑
n=1
1
2n−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·
3.
∞∑
n=1
1
2n
=
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+ · · · = 1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·
Figura 1: Ilustração gráfica da série
∑∞
n=1
1
2n , cuja soma é 1.
1.1 Somas Parciais
Chamamos de Somas parciais de uma série
∑∞
n=1 an, a soma dos n primeiros termos da série, n
finito, obtida pelo processo de adição de números, ou seja, Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an, onde
n = 1, 2, 3, ....
Exemplo: As somas parciais da série
∞∑
n=1
1
2n
, são:
S1 =
1
2
= 1
2
S2 =
1
2
+ 1
4
= 3
4
S3 =
1
2
+ 1
4
+ 1
8
= 7
8
...
Sn =
1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
+ · · ·+ 1
2n
= 2
n−1
2n
S1 S2 S3 S4 S5
Figura 2: Ilustração gráfica de somas parciais da série
∑∞
n=1
1
2n
.
Considerando a sequência das somas parcais
{Sn} = {S1, S2, S3, · · · , Sn, · · · }
= {1
2
,
1
2
+
1
4
,
1
2
+
1
4
+
1
8
, · · · , 1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2n
, · · · }
e observando a ilustração gráfica da série, vemos que a sequência de somas parciais {Sn = 2n−12n }
converge para 1, ou seja, lim
n→∞
Sn = 1.
Definição 1 Se a sequência das somas parcais {Sn}, de um série
∞∑
n=1
an, convergir para um limite
S, dizemos que a série converge, sua soma é S e escrevemos
a1 + a2 + a3 + a4 + · · · =
∞∑
n=1
an = S.
Se a sequência das somas parciais {Sn} não converge, dizemos que a série diverge.
—————————————————————–
Dada uma série
∑
an, duas perguntas devem ser respondidas:
1. A série converge ou diverge?
2. Se convergir, é possivel determinar sua soma?
—————————————————————–
Exemplo. A sequência de somas parciais da série
∞∑
n=1
6
10n
S1 =
6
10
= 0.6
S2 =
6
10
+ 6
102
= 0.66
S3 =
6
10
+ 6
102
+ 6
103
= 0.666
S4 =
6
10
+ 6
102
+ 6
103
+ 6
103
= 0.6666
· · ·
Sn =
6
10
+ 6
102
+ 6
103
+ 6
104
+ · · ·+ 6
10n
= 0.66666...︸ ︷︷ ︸
n vezes
ou
{Sn} = {0.6, 0.66, 0.666, 0.6666, 0.66666, ..., 0.66666...︸ ︷︷ ︸
n vezes
, ...}
cujo termo geral é uma dizima peródica, sn = 0.66666...︸ ︷︷ ︸
n vezes
= 6
9
= 2
3
. A sequência {Sn} converge para
2
3
e, por definição, a soma da série é
2
3
, ou seja, lim
n→∞
Sn =
2
3
, ⇒
∞∑
n=1
6
10n
=
2
3
.
Infelizmente, são poucos os casos em que podemos determinar uma fórmula para a sequência de
somas parciais {Sn} que nos permita calcular o seu limite e, consequentemente, a soma exata da
série.
Veremos a seguir duas familias de séries chamadas de Séries geométricas e Séries Telescópicas, nas
quais a n-ésima soma parcial tem uma forma que possibilita o cálculo do limite da sequência {Sn}.
1.2 Séries geométricas
As séries geométricas são da forma
a + a r + a r2 + a r3 + a r4 + · · · =
∞∑
n=1
a rn−1,
onde a, r ∈ R, |r| 6= 1 e r é a razão da série.
Exemplos - Determinar a e r.
∞∑
n=1
1
2n−1
,
∞∑
n=1
6
10n
,
∞∑
n=1
2n.
Observação 1 Uma série geométrica pode ser denotada por
∞∑
n=1
a rn−1 ou
∞∑
n=0
a rn.
Exemplos.
∞∑
n=0
1
2n
,
∞∑
n=0
6
10n+1
,
∞∑
n=0
2n+1.
As somas parciais de uma série geométrica
∞∑
n=1
a rn−1.
S1 = a
S2 = a+ a r
S3 = a+ a r + a r
2
...
Sn = a+ a r + a r
2 + a r2 + · · ·+ a rn−1.
.
Calculando Sn − r Sn obtemos uma fórmula adequada para Sn, veja a seguir,
Sn = a+ a r + a r
2 + a r2 + · · ·+ a rn−2 + a rn−1.
r Sn = a r + a r
2 + a r2 + a r3 + · · ·+ a rn−1 + a rn.
Sn − r Sn = a(1− rn)
Sn(1− r) = a(1− rn)
Sn =
a
1−r (1− rn).
,
fazendo n→∞, obtemos
Sn =
{ a
1− r se |r| < 1 e
∞ se |r| > 1.
Conclusão. A série geométrica
∞∑
n=1
a rn−1 converge para
a
1− r se |r| < 1 e diverge se |r| > 1.
Exemplos
1. A série
∞∑
n=1
6
10n
=
∞∑
n=1
6
10
(
1
10
)n−1, é uma série geométrica com a =
6
10
e r =
1
10
.
Como r < 1 a série geométrica converge para
a
1− r =
6
10
1− 1
10
=
6
10
(
10
9
) =
6
9
=
2
3
.
2. A série
∞∑
n=1
pin é uma série geométrica com a = pi e razão r = pi > 1, portanto, divergente.
3.
∞∑
n=1
7
4n
.
4.
∞∑
n=0
2n+1
5n
.
1.3 Séries Telescópicas - Exemplos
Nas séries denominadas de séries telescópicas os termos (parcelas) das somas parciais aparecem
repetidos, com sinais alternados, permitindo a obtenção de uma forma simplificada para Sn, veja
alguns exemplos.
1.
∞∑
n=1
( 1√
n
− 1√
n+ 1
)
.
S1 = 1− 1√2
S2 = 1− 1√2 + 1√2 − 1√3
S3 = 1− 1√2 + 1√2 − 1√3 + 1√3 − 1√4
...
Sn = 1− 1√2 + 1√2 − 1√3 + 1√3 − 1√4 + · · ·+ 1√n − 1√n+1
Observemos que
Sn = 1− 1√
n+ 1
e lim
n→∞
Sn = 1, logo a série
∞∑
n=1
( 1√
n
− 1√
n+ 1
)
converge para 1.
2.
∞∑
n=1
1
4n2 − 1 .
Usando frações parciais podemos escrever
1
4n2 − 1 =
1
2
2n− 1 −
1
2
2n+ 1
.
Portanto,
∞∑
n=1
1
4n2 − 1 =
∞∑
n=1
1
2
( 1
2n− 1 −
1
2n+ 1
)
.
S1 =
1
2
(
1− 1
3
)
S2 =
1
2
(
1− 1
3
+ 1
3
− 1
5
)
S3 =
1
2
(
1− 1
3
+ 1
3
− 1
5
+ 1
5
− 1
7
)
...
Sn =
1
2
(
1− 1
3
+ 1
3
− 1
5
+ 1
5
− 1
7
+ · · ·+ 1
2n−1 − 12n+1
)
Observemos que
Sn = 1− 1
2n+ 1
e lim
n→∞
Sn =
1
2
. Portanto, a série
∞∑
n=1
1
4n2 − 1 converge para
1
2
.
3. Mostrar que
∞∑
n=1
(−1)n+1 2n+ 1
n(n+ 1)
= 1.
Como
2n+ 1
n(n+ 1)
=
1
n
+
1
n+ 1
temos que Sn = 1 + (−1)n+1 1
n+ 1
.
Calculando lim
n→∞
1
n+ 1
= 0 =⇒ lim
n→∞
(−1)n+1 1
n+ 1
= 0. Logo
lim
n→∞
Sn = lim
n→∞
(1 + (−1)n+1 1
n+ 1
) = 1. Portanto, a série
∞∑
n=1
(−1)n+1 2n+ 1
n(n+ 1)
converge
para 1.
1.4 Séries Divergentes
Exemplo. Mostrar que
∞∑
n=1
1
n
diverge.
∞∑
n=1
1
n
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4︸ ︷︷ ︸
2 termos
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8︸ ︷︷ ︸
4 termos
+
1
9
+ · · ·+ 1
16︸ ︷︷ ︸
8 termos
+ · · ·
> 1 + 1
2
+
1
4
+
1
4︸ ︷︷ ︸
= 1
2
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8︸ ︷︷ ︸
= 1
2
+
1
16
+ · · ·+ 1
16︸ ︷︷ ︸
= 1
2
+ · · ·
Temos, assim, as seguintes desigualdades
S4 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4︸ ︷︷ ︸ > 1 + 12 + 14 + 14︸ ︷︷ ︸ = 1 + 12 + 12 > 312
S8 = 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4︸ ︷︷ ︸+ 15 + 16 + 17 + 18︸ ︷︷ ︸ > 1 + 12 + 12 + 12 > 412
S16 = 1 + · · ·+ 18 +
1
9
+ · · ·+ 1
16︸ ︷︷ ︸ > 1 + 12 + 12 + 12 + 12 > 512 .
...
S2n = 1 + · · ·+ 1
2n−1
+
1
2n−1 + 1
+ · · ·+ 1
2n︸ ︷︷ ︸ > 1 + 12 + · · ·+ 12 > (n+ 1)12︸ ︷︷ ︸
(mostrar!)
Assumindo que
S2k > (k + 1)
1
2
.
é verdadeiro e tomando k →∞ temos que (k + 1)1
2
→∞. Consequentemente,
∞∑
n=1
1
n
diverge.
Prova, usando indução finita, que S2k > (k + 1)12 .
• Verificando que a desigualdade é válida para n = 1.
S2 = 1 +
1
2
> 2
1
2
.
• Supondo que a desigualdade é verdadeira para n = k.
S2k > (k + 1)
1
2
• Mostrar quea desigualdade é válida para n = k + 1.
Ou seja, vamos mostrar que
S2k+1 > (k + 2)
1
2
.
Mas
S2k+1 = 1 +
1
2
+ 1
3
+ · · ·+ 1
2k
+
1
2k + 1
+ · · ·+ 1
2k + 2k︸ ︷︷ ︸
2ktermos
> (k + 1)1
2
+ 1
2
= (k + 2) 1
2
.
Uma vez que
1
2k + 1
+ · · ·+ 1
2k + 2k︸ ︷︷ ︸
2k termos
>
1
2 2k
+ · · ·+ 1
2 2k
=
2k
2 2k
=
1
2
. 2
A série divergente
∞∑
n=1
1
n
é chamada de série harmônica.
Teorema 2 - Se uma série
∞∑
n=1
an é convergente, então lim
n→∞
an = 0.
Teste do n-ésimo termo - Se lim
n→∞
an 6= 0 ou não existe, então a série é divergente.
Observação 2 - Se lim
n→∞
an = 0, então é necessário uma investigação adicional para determi-
nar se
a série
∞∑
n=1
an é convergente ou divergente.
Exemplos. Estudar o comportamento das séries, usando o teste do n-ésimo termo.
1.
∞∑
n=1
n sen(
1
n
). 2.
∞∑
n=1
n+ 1
2n− 3 3.
∞∑
n=1
ln n
n
4.
∞∑
n=1
n(1/n).
1.5 Adicionando ou retirando termos de uma série
Se retirarmos ou adicionarmos um número finito de termos a uma série o seu comportamento
não será alterado.
– Se
∞∑
n=1
an converge, então
∞∑
n=k
an converge para cada k > 1 e
∞∑
n=1
an = a1 + a2 + · · ·+ ak−1 +
∞∑
n=k
an.
– Reciprocamente, se
∞∑
n=k
an converge para qualquer k > 1, então
∞∑
n=1
an converge e
∞∑
n=k
an =
∞∑
n=1
an − (a1 + a2 + · · ·+ ak−1).
Exemplos
1. A série
∞∑
n=10
1
n
diverge.
Justificativa 1.
A série dada é igual a série harmônica menos S9, onde S9 = 1+ 12 +
1
3
+ 1
4
+ 1
5
+ 1
6
+ 1
7
+ 1
8
+ 1
9
.
Como a série harmônica e a série dada diferem por um número finito de termos, ambas tem o
mesmo comportamento, ou seja, divergem.
Justificativa 2.
Podemos ver que
∞∑
n=10
1
n
=
∞∑
n=1
1
n
− (1+ 1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+
1
9
). A série harmônica
diverge e difere da série dada por um número finito de termos. Donde concluimos que a série
dada diverge.
2. A série
∞∑
n=4
1
10n
converge? Caso afirmativo, calcular a sua soma.
Podemos ver que
∞∑
n=4
1
10n
=
∞∑
n=0
1
10n
− (1 + 1
10
+
1
102
+
1
103
).
A série
∞∑
n=0
1
10n
é uma série geométrica com a = 1 e r =
1
10
. Como |r| < 1 converge para
S =
1
1− 1
10
=
10
9
.
Logo, a série
∞∑
n=4
1
10n
converge para 0, 000111111.
Outras formas de resolver:
(a). Podemos ver que
∞∑
n=4
1
10n
=
∞∑
n=1
1
10
(
1
10
)n−1 − ( 1
10
+
1
102
+
1
103
).
A série
∞∑
n=1
1
10
(
1
10
)n−1 é uma série geométrica com a = 1
10
e r = 1
10
. Como |r| < 1 converge
para S =
1
10
1− 1
10
= 1
9
.
Logo, a série
∞∑
n=4
1
10n
converge para 0, 000111111.
(b). Podemos ver que
∞∑
n=4
1
10n
=
1
104
+
1
105
+
1
106
+ · · · = 1
104
(1 +
1
10
+
1
102
+ · · · ) = 1
104
(
10
9
).
Já que a série
∞∑
n=0
(
1
10
)n é uma série geométrica com a = 1 e r = 1
10
. Como |r| < 1 converge
para S = 1
1− 1
10
= 10
9
.
Logo, a série
∞∑
n=4
1
10n
converge para 0, 000111111.
1.6 Reindexação
Uma série pode ser reindexada de acordo com a conveniência.
Exemplos:
1.
∞∑
n=1
3
(2
3
)n−1
=
∞∑
n=0
3
(2
3
)n
=
∞∑
n=−3
3
(2
3
)n+3
=
∞∑
n=3
3
(2
3
)n−3
=
3 + 3
(2
3
)
+ 3
(4
9
)
+ 3
(4
9
)
+ · · · = 3 + 2 + 4
3
+
8
9
+
16
27
+ · · ·
2. Escreva a série
1
2
− 1
4
+
1
8
− 1
18
+ · · · indexada a partir de: n = 1 ; n = 0 e n = 2.
1.7 Séries convergentes - Propriedades
Teorema 3 Sejam
∑
an = A e
∑
bn = B, duas séries convergente, então
1. Soma:
∑
an + bn =
∑
an +
∑
bn = A+B
2. Diferença :
∑
an − bn =
∑
an −
∑
bn = A−B
3. Multiplicação por constante:
∑
k an = k
∑
an = k A. Para todo real k.
Exemplos:
1. Estudar o comportamento da série
∞∑
n=1
(−1)n 2n + 3n
6n
.
Observemos que
∞∑
n=1
(−1)n 2n + 3n
6n
=
∞∑
n=1
(−1)n
3n
+
1
2n
.
A série
∞∑
n=1
1
2n
é uma série geométrica com a = 1
2
e razão r = 1
2
< 1, que converge para 1/2
1−1/2 = 1
e
a série
∞∑
n=1
(−1)n
3n
também é uma série geométrica com a = −1
3
e razão r = −1
3
e |r| < 1, que
converge para − 1/3
1+1/3
= −1
4
.
Pela propriedade da soma de séries convergentes temos que
∞∑
n=1
(−1)n2n + 3n
6n
= 1− 1
4
=
3
4
.
Consequências do teorema de séries convergentes
1. Se
∑
an converge e
∑
bn diverge, então
∑
an + bn diverge.
2. Se
∑
an diverge, então
∑
k an também diverge.
Exemplos:
1. A série
∞∑
n=1
( 3
n
+
1
5n−1
)
converge ou diverge?
Exercícios
1. A série
∞∑
n=1
3n − 1
2n
converge ou diverge? Justifique sua resposta.
2. Se
∑
an converge, com an > 0, o que se pode dizer de
∑ 1
an
?
3. Se
∑
an diverge e
∑
bn diverge, o que se pode dizer sobre
∑
(an + bn)?
4.
∑ an
bn
sempre converge se
∑
an e
∑
bn convergem?
5. Encontre séries geométricas
∑
an = A e
∑
bn = B que ilustrem que:
• ∑ an bn = C, onde C pode ser diferente de AB.
• ∑ an
bn
= C, onde C pode ser diferente de
A
B
, B 6= 0.
6. Livro Texto: Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10.
(Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.)
• Seção 10.2 - página 20 - Exercicios: 1 - 89.
(ou seção 11.2 - p. 86 - Exercicios: 1 - 69.)
1.8 Séries de termos não negativos
∑
an, onde an ≥ 0.
Se an ≥ 0, então a sequência de somas parciais {Sn} é crescente. Isto é,
Sn ≤ Sn+1 e Sn+1 = Sn + an.
Recordando Teorema da sequência crescente - Uma sequência crescente {an} converge se e so-
mente se for limitada superiormente.
Definição - sequência limitada - Uma sequência {an} é limitada superiormente se existe um número
M tal que an ≤M para todo n.
As séries de termos não negativos são as mais fáceis de trabalhar. A teoria de convergência dessas
séries pode ser expressa por:
Se an ≥ 0, ∀n, então a série
∑
an converge se e somente se sua sequência de somas parciais {Sn}
é limitada.
Assim, para mostrar que uma série de termos não negativos converge, é suficiente mostrar que seus
termos tendem a zero "suficientemente" rápidos para manter as somas parciais limitadas.
Como verificar se os termos de uma série estão tendendo a zero suficientemente rápidos?
1.9 Testes de convergência
Os testes de convergência, vistos a seguir, nos permitem avaliar o comportamento de séries, a partir
do seu termo geral.
Teorema 4 - Teste da Integral. Seja {an} uma seqência de termos positivos. Suponha que an =
f(n), onde f é uma função continua em x, positiva e decrescente para todo x ≥ N (N é um inteiro
positivo). Então, tanto a série
∞∑
n=N
an quanto a integral
∫ ∞
N
f(x)dx convergem ou divergem.
Exemplos.
1. Mostrar que
∞∑
n=2
1
n lnn
diverge.
Consideremos, por exemplo, a série
∞∑
n=2
1
n lnn
.
Os termos an = 1n lnn > 0, ∀n, a sequência an = 1n lnn é decrescente ( mostrar) e limn→∞
1
n lnn
= 0.
Seja f(x) = 1
x lnx
, ∀x > 1, uma função continua, positiva e decrescente.
A integral imprópria∫ ∞
2
1
x lnx
dx = lim
M→∞
∫ M
2
1
x lnx
dx = lim
M→∞
([
ln(ln x)
]M
2
)
= lim
M→∞
(
ln(ln M)− ln(ln 2)) =∞, diverge.
Pelo Teste da integral a série
∞∑
n=2
1
n lnn
também diverge.
2. A série
∞∑
n=1
n
en
converge?
3. Para que valores de p a série
∞∑
n=1
1
np
converge? (p é uma constante real)
• Se p > 1, A função f(x) = 1
xp
é cont[inua, decrescente, positiva e∫ ∞
1
1
xp
dx =
1
p− 1 .
Pelo teste da integral,a série
∞∑
n=1
1
np
converge.
• Se p < 1, lim
n→∞
1
np
=∞, pelo teste do n-ésimo termo a série diverge.
• Se p = 1, a série
∞∑
n=1
1
np
=
∞∑
n=1
1
n
é a série harmônica.
A série-p
∞∑
n=1
1
np
{
converge se p > 1 e
diverge se p ≤ 1.
Exemplos
1. A série
∞∑
n=1
1
n3
é uma série-p com p = 3 (p > 1), logo convergente.
2. A série
∞∑
n=1
1√
n
é uma série-p com p = 1/2 (p < 1), logo divergente.
Exercícios:
Livro Texto: Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10.
(ou Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.)
• Seção 10.3 - página 26 - Exercicios: 1 - 38; 41 - 42; 55 - 56.
(ou Seção 11.3 - p. 92 - Exercicios: 1 - 31; 39 - 40.)
• Seção 10.4 - página 31 - Exercicios: 1 - 54.
( ou Seção 11.4 - p. 98 - Exercicios: 1 - 40.)
• Seção 10.5 - página 36 - Exercicios: 1 - 44; 55 - 62.
(ou Seção 11.5 - p. 103- Exercicios: 1 - 44.)
Teorema 5 - Teste da Comparação. Seja
∑
an, com an ≥ 0.
1.
∑
an converge se existir uma série convergente
∑
bn, com an ≤ bn, para todo n ≥ N , para
algum inteiro N .
2.
∑
an diverge se existir uma série divergente
∑
bn, com an ≥ bn, para todo n ≥ N , para
algum inteiro N .
Exemplos
1. A série
∞∑
n=1
1
3n + 1
converge?
Temos que 3n + 1 > 3n e 1
3n+1
< 1
3n
.
A série
∞∑
n=1
1
3n
=
∞∑
n=1
1
3
(1
3
)n−1 é uma série geométrica com razão r = 1
3
< 1, convergente. Pelo
teste da comparação a série
∞∑
n=1
1
3n + 1
converge.
2. A série
∞∑
n=2
1
ln n
converge ou diverge?
Temos que ln n < n e 1
ln n
> 1
n
.
A série
∑ 1
n
diverge (série harmônica), pelo teste da comparação a série
∞∑
n=2
1
ln n
diverge.
3. A série
∞∑
n=2
n+ 1
nn
converge ou diverge?
Comparando os termos an = n+1nn com bn =
1
n2
temos
a1 = 2 > b1 = 1 a4 =
5
44
< b4 =
1
42
a2 =
3
4
> b2 =
1
4
a5 =
6
55
< b5 =
1
52
a3 =
4
33
> b3 =
1
32
a6 =
7
66
< b6 =
1
62
Assumindo que
an =
n+ 1
nn
< bn =
1
n2
, para n ≥ 4,
pelo teste da comparação concluimos que
∞∑
n=1
n+ 1
nn
coonverge, já que
∞∑
n=1
1
n2
é uma série-p (p>1)
convergente.
Provando a desigualdade: Reescrevendo
n+ 1
nn
− 1
n2
=
(n+ 1)− nn−2
nn
,
epodemos ver que nn−2 ≥ n2 para todo n ≥ 4 e nn−2 ≥ n2 ≥ 2n = n + n ≥ n + 1. Logo
(n+1)−nn−2
nn
< 0.
Teorema 6 - Teste da comparação no limite. Suponha que an > 0 e bn > 0, para todo n > N ,
sendo N um inteiro positivo.
1. Se lim
n→∞
an
bn
= L, 0 < L <∞, estão tanto
∑
an, como
∑
bn, convergem ou divergem.
2. Se lim
n→∞
an
bn
= 0 e
∑
bn converge, então
∑
an converge.
3. Se lim
n→∞
an
bn
=∞ e
∑
bn diverge, então
∑
an diverge.
Exemplos.
1. A série
∞∑
n=1
tg(
1
n
) converge ou diverge?
Tomando a série harmônica, divergente, e calculando
lim
n→∞
tg 1
n
1
n
= lim
n→∞
(sen( 1
n
)
1
n
1
cos( 1
n
)
)
= 1.
Concluimos que a série dada tem o mesmo comportamento da série harmônica, ou seja, divergente.
2. A série
∞∑
n=1
n+ 1
nn
converge?
Comparando no limite com
∞∑
n=1
1
n2
, temos que
lim
n→∞
n+1
nn
1
n2
= lim
n→∞
n+ 1
nn−2
= lim
n→∞
(
n
nn−2
+
1
nn−2
) = 0.
a série
∞∑
n=1
1
n2
é uma série-p (p=2) convergente. Portanto, pelo teste da comparação no limite,
concluimos que a série dada converge.
3. A série
∞∑
n=1
1
1 + 22 + 32 + · · ·+ n2 converge?
Usando indução finita mostra-se que 1 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+1)(n+2)
6
.
Escrevendo
∞∑
n=1
1
1 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =
∞∑
n=1
6
n(n+ 1)(n+ 2)
e comparando no limite com a
série-p (p=3) convegente
∞∑
n=1
1
n3
, temos
lim
n→∞
6
n(n+1)(n+2)
1
n3
= lim
n→∞
6n3
2n3 + 3n2 + n
= 3.
Portanto, as duas séries tem o mesmo comportamento, ou seja, convergem.
Para usar o teste de comparação ou o teste de comparação no limite devemos fazer um "julga-
mento" sobre o provável comportamento da série, verificando se é possível aproximar an do n-ésimo
termo de alguma série de comportamento conhecido.
4. Estudar o comportamento das séries.
1.
∞∑
n=1
3
n+
√
n
2.
∞∑
n=1
2n
3n− 1 3.
∞∑
n=1
n+ 1
n2
√
n
.
4.
∞∑
n=1
1√
n3 + 2
5.
∞∑
n=3
1
ln(ln n)
6.
∞∑
n=1
(ln n)3
n3
.
7.
∞∑
n=1
n
√
n
n2
8.
∞∑
n=1
1
1 + 2 + 3 + · · ·+ n 9.
∞∑
n=1
(
1− 1
n
)n
.
(1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+ 1)
2
).
5. Encontre valores para x de forma que a série
∞∑
n=0
2n xn seja convegente.
6. Se
∑
an converge e an > 0, o que se pode dizer de
∑ an
n
?
7. Se an > 0 e bn > 0, para todo n > N , N um inteiro positivo. Se lim
n→∞
an
bn
=∞ e∑ an converge.
O que se pode dizer de
∑
bn?
O teste da razão mede a taxa de crescimento (ou decrescimento) de uma série a partir da razão an+1
an
.
Teorema 7 - Teste da razão. Seja
∑
an, com an > 0 e suponha que
lim
n→∞
an+1
an
= ρ. Então
1. Se ρ < 1, a série converge.
2. Se ρ > 1 ou ρ for infinito, a série diverge.
3. Se ρ = 1, nada podemos concluir.
Exemplos As séries dadas convergem ou divergem?
1.
∞∑
n=1
n2
en
2.
∞∑
n=1
n!
10n
3.
∞∑
n=1
1 · 3 · · · · · (2n− 1)
[2 · 4 · · · · · (2n)](3n + 1)
O teste da raiz investiga o comportamento de uma série a partir da raiz n-ésimo do n-ésimo termo
( n
√
an).
Teorema 8 - Teste da raiz. Seja
∑
an, com an ≥ 0, para n ≥ N e suponha que
lim
n→∞
n
√
an = ρ. Então
1. Se ρ < 1, a série converge.
2. Se ρ > 1 ou ρ for infinito, a série diverge.
3. Se ρ = 1, nada podemos concluir.
Exemplos
As séries dadas convergem ou divergem?
1.
∞∑
n=2
n
(ln n)n/2
2.
∞∑
n=1
(n− 2
n
)n
3.
∞∑
n=1
3n
n3 2n
1.10 Séries Alternadas
Uma série na qual os termos alternam o sinal positivo e negativo são chamadas de séries alternadas.
Exemplos:
1.
∞∑
n=1
(−1)n n = −1 + 2− 3 + 4− · · ·
2.
∞∑
n=0
(−1)n
n+ 1
= 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·
Teorema 9 - Teste da série alternada - Teorema de Leibniz. A série
∞∑
n=1
(−1)n+1 cn = c1 − c2 + c3 − c4 + · · ·
converge se as três condições abaixo forem satisfeitas:
1. cn > 0,
2. cn ≥ cn+1, ∀n ≥ N , para algum inteiro N e
3. lim
n→∞
cn = 0.
Exemplos.
1. A série harmônica alternada ∞∑
n=1
(−1)n+1
n
converge.
De fato, verificando as condições do teste de convergencia para séries alternadas temos
1. cn = 1n > 0 para todo n > 0.
2. cn ≥ cn+1, isto é, 1n > 1n+1 , já que n < n+ 1 para todo n > 0 e
3. lim
n→∞
1
n
= 0.
2. Estudar o comportamento da série
∞∑
n=1
(−1)n3
√
n+ 1√
n+ 1
.
Verificando as condições do teorema de Leibniz.
cn =
3
√
n+1√
n+1
> 0,∀n > 1.
Mas lim
n→∞
3
√
n+ 1√
n+ 1
= lim
n→∞
3
√
n√
n+ 1
= 3
√
lim
n→∞
n
n+ 1
= 3
√
1 = 3.
Portanto, pelo teste do n-ésimo termo a série diverge.
3. Idem
∞∑
n=1
(−1)n ln
(
1 +
1
n
)
4. Idem
∞∑
n=1
(−1)n+1 n
10
10n
.
Teorema 10 - O teorema da estimativa da soma. Se a série alternada
∞∑
n=1
(−1)n+1 cn satisfaz o
teorema de Leibniz, então, para n > N ,
Sn = c1 − c2 + c3 − c4 + c5 − · · ·+ (−1)n+1 cn
se aproxima da soma da série, S, com um erro em valor absoluto menor que cn+1. Além disso, o
resto da soma possui o mesmo sinal que cn+1.
Exemplo.
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
10n
=
1
10
− 1
102
+
1
103
− 1
104
+
1
105
− · · ·
Calculando
S3 =
1
10
− 1
102
+
1
103
=
91
1000
Segundo o teorema da estimatica da soma de séries alternadas
S ' 0, 091 com um erro inferior a |a4| = 1
104
.
Verificando o erro estimado:
A série dada é uma série geométrica,com a = 1
10
e razão = 1
10
, cuja soma exata
S =
1
10
1− (− 1
10
)
=
1
11
Portanto, a diferença
S − S3 = | 1
11
− 91
1000
| = | −1
11000
| < 1
104
.
1.11 Convergência absoluta e condicional
Definição 11 Uma série
∑
an converge absolutamente (é absolutamente convergente) se a série
de valores absolutos correspondente,
∑ |an| converge.
Exemplos.
1. A série
∞∑
n=1
(−1)n 1
n3
converge absolutamente porque a série de valores absolutos
∞∑
n=1
1
n3
é uma
série-p (p > 1) convergente.
2. A série
∞∑
n=1
(−1)n 1
n
não converge absolutamente porque a série de valores absolutos
∞∑
n=1
1
n
di-
verge.
Definição 12 Uma série
∑
an converge condicionalmente (é condicionalmente convergente) se
converge, mas não converge absolutamente.
Teorema 13 - Teste da convergência absoluta. Se
∑ |an| converge, então∑ an converge.
Exemplos. Quais das séries convergem absolutamente, quais convergem e quais divergem?
1.
∞∑
n=1
(−1)n 1
1 +
√
n
4.
∞∑
n=2
(−1)n 1
ln(n3)
2.
∞∑
n=1
(−1)n+1 n!
2n
5.
∞∑
n=1
cosnpi
n
3.
∞∑
n=1
(−1)n senn
n2
6.
∞∑
n=1
(−1)n (
√
n2 + n− n)
Teorema 14 - Teorema do rearranjo para séries absolutamente convergentes. Se
∑
an converge
absolutamente e b1, b2, b3, · · · é qualquer rearranjo da sequência {an}, então
∑
bn converge abso-
lutamente e ∑
an =
∑
bn.
Exemplo: A série
1
3
− 1
2
+
1
9
− 1
4
+
1
27
− 1
8
+ · · ·+ 1
3n
− 1
2n
+ · · · não satisfaz uma das condições
do teste de convergência para séries alternadas. Qual delas?
Chamando bn = |an|, temos que b1 = 1
3
e b2 =
1
2
, ou seja bn > bn+1 falha para todo n.
Tomando a série de termos absolutos,
∑ |an| =∑ bn, e chamando cn = bn+ bn+1 = 13n + 12n , temos
a série
∑
( 1
3n
+ 1
2n
) =
∑
1
3n
+
∑
1
2n
, que convergem absolutamante.
Portanto, pelo teorema do rearranjo de termos de séries absolutamante convergentes, a série dada é
um rearranjo da série
∑
( 1
3n
− 1
2n
) que converge.
Exemplo 6. página 41, do livro texto (ou p.108 - 11a Ed.),
Onde está o erro?
Tomemos a série harmônica alternada, convergente,
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n
= S. S = 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− 1
6
+
1
7
− 1
8
+
1
9
− 1
10
+
1
11
− 1
12
+ · · ·
Multiplicando ambos os lados por 2
2S = 2− 1 + 2
3
− 1
2
+
2
5
− 1
3
+
2
7
− 1
4
+
2
9
− 1
5
+
2
11
− 1
6
+ · · ·
Rearranjando os termos da série (agrupando os termos de mesmo denominador) temos:
2S = 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+
1
5
− 1
6
+ · · · = S, ou seja, 2 = 1.
Para obter a soma de uma série condicionalmente convergente, os termos devem ser adicionados na
ordem em que são dados.
Em uma série for absolutamante convergente, os termos podem ser somados em qualquer ordem.
Este exemplo mostra que não podemos rearranjar os termos de uma série condicionalmente conver-
gente e esperar que o resultado seja o mesmo que o da série original.
Ao rearranjar os termos de uma série alternada que converge condicionalmente, é possivel obter
novas séries que sejam divergentes ou convergentes para qualquer valor desejado.
Exercícios
Livro Texto: Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10.
(ou Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.)
• Seção 10.6 - página 37 - Exercícios: 1 - 58.
(ou Seção 11.6 - p. 101 - Exercícios: 1 - 50.)