Notas_de_aula_Series_Potencias

Prévia do material em texto

UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II - Turmas 1 e 3
Notas de Aula - Séries de Potências
Professor(a): Rosana M. da Silva
1 Séries de Potências
As somas infinitas
∞∑
n=0
cn (x − a)n, onde a e os coeficientes cn, n = 1, 2, · · · , são constantes reais,
são chamadas de Séries de Potências.
A Expressão
∞∑
n=0
cn (x−a)n, tem a forma de um polinômio, mas difere deste, uma vez que polinômios
tem grau finito e não divergem para nenhum valor de x.
Observação 1 Assim como os polinômios, séries de potências podem ser somadas, subtraídas, mul-
tiplicadas, derivadas e integradas termo a termo.
Definição 1 Uma expressão da forma
∞∑
n=0
cn x
n = c0 + c1 x+ c2 x
2 + c3 x
3 + · · · ,
onde cn é uma sequencia numérica, é uma série de potências centrada em x = 0 e
∞∑
n=0
cn (x− a)n = c0 + c1 (x− a) + c2 (x− a)2 + c3 (x− a)3 + · · ·
é uma série de potências centrada em x = a.
Exemplos
1. A série
∞∑
n=0
(
(3x− 2)n
n
é uma Série de Potências centrada em x =
2
3
e cn =
3n
n
. (
∞∑
n=0
((3x− 2)n
n
=
∞∑
n=0
3n(x− 2
3
)n
n
)
.
2.
∞∑
n=0
(
1
3
)n(x − 2)n = 1 +
(x− 2
3
)
+
(x− 2
3
)2
+
(x− 2
3
)3
+ · · · , é uma série de potências
centrada em x = 2, com cn = (
1
3
)n. Observemos que a série
∞∑
n=0
(
1
3
)n(x − 2)n é uma série
geométrica
( ∞∑
n=0
arn
)
, onde o primeiro termo a = 1 e r =
(x− 2)
3
, que converge quando∣∣∣(x− 2)
3
∣∣∣ < 1, ou seja, a série converge para 1
1− (x− 2)
3
=
3
5− x , com x variando de 1 a 5.
3. Uma série de potências centrada em x = a, com cn = k (k real), para todo n,
∞∑
n=0
k(x− a)n = k + k(x− a) + k(x− a)2 + k(x− a)3 + · · · ,
é uma série geométrica de razão (x − a), que converge quando |x − a| < 1, ou seja, 1 − a <
x < 1 + a. Se a = 0 a série é uma série geométrica de razão x.
Observação 2 Toda série de potências centrada em x = a,
∞∑
n=0
cn (x − a)n = c1 + c2 (x − a) +
c3 (x− a)2 + c4 (x− a)3 + · · · , converge quando x assume o valor a (x = a), já que, neste caso, a
soma da série é
S = c1 + c2 (a− a) + c3 (a− a)2 + c4 (a− a)3 + · · · = c1 + 0 + 0 + 0 + · · · = c1.
1.1 Raio e intervalo de convergência
Teorema 2 (Teorema de convergência de séries de potências.) Se
∞∑
n=0
cn (x− a)n é uma série de
potências, então uma das três situações sempre ocorre:
• A série converge em x = a e diverge para os demais valores de x;
• A série converge absolutamente para todo x;
• Existe um número positivo R tal que a série converge absolutamente quando x satisfaz a de-
sigualdade |x−a| < R e diverge quando´x é tal que |x−a| > R. A série pode ou não convergir
quando x = a−R ou x = a+R.
O número positivo R é chamado raio de convergência e o intervalo centrado em a de raio R é
chamado de intervalo de convergência da série de Potências.
Intervalos de Convergência:
• Se R é um real positivo, o intervalo de convergência pode ser:
– Aberto: (a−R, a+R);
– Aberto a esquerda ou a direita:
(a−R, a+R] ou [a−R, a+R);
– Fechado: [ a−R, a+R ].
• Se R = 0, a série converge apenas no ponto x = a e, neste caso, o intervalo de convergência se
degenera no ponto x = a;
• SeR =∞, a série converge absolutamente para todo x e, neste caso o intervalo de convergência
é (−∞,∞),
O raio e o intervalo de convergência podem ser determinados através do teste da razão ou do teste
da raiz.
Exemplos:
Determinar o raio e o intervalo de convergência das séries a seguir:
1.
∞∑
n=1
(3x− 2)n
n
.
Usando o teste da razão temos
lim
n→∞
∣∣∣
(3x− 2)n+1
n+ 1
(3x− 2)n
n
∣∣∣ = lim
n→∞
( n
n+ 1
)
|3x− 2| = |3x− 2|.
A série converge absolutamente se |3x − 2| < 1. Resolvendo a inequação obtemos
|3x− 2| < 1⇒ |x− 2
3
| < 1
3
⇒ 1
3
< x < 1.
Assim, a série converge absolutamente em (
1
3
< x < 1) e o Raio de convergência R =
1
3
.
O que acontece com a série quando x =
1
3
e quando x = 1?
Substituindo o valor de x =
1
3
na série dada, obtemos a série harmômica alternada,
∞∑
n=1
(−1)n
n
,
que converge.
Para x = 1, temos a série harmônica,
∞∑
n=1
1
n
, que diverge.
Conclusão:
– A s´erie dada converge absolutamente se
1
3
< x < 1;
– Converge condicionalmente se x =
1
3
e
– Diverge para outros valores de x.
Portanto, a série
∞∑
n=1
(3x− 2)n
n
converge para x ∈ [1
3
, 1) e diverge caso contrário.
O intervalo [
1
3
, 1) é o intervalo de convergência e R =
1
3
é o raio de convergência.
2.
∞∑
n=0
(2x)n.
Usando o teste da raiz temos que lim
n→∞
n
√
|2x|n = lim
n→∞
2|x| = 2|x| < 1, a série converge
absolutamente para −1
2
< x <
1
2
.
Para x = −1
2
e para x = 1
2
série diverge pelo teste do n-ésimo termo.
Portanto, a série converge para −1
2
< x <
1
2
, com raio de convergência R =
1
2
e intervalo de
convergência (−1
2
,
1
2
).
3.
∞∑
n=0
3n xn
n!
.
Usando o teste de razão temos:
lim
n→∞
∣∣∣
3n+1 xn+1
(n+ 1)!
3n xn
n!
∣∣∣ = lim
n→∞
3
n+ 1
|x| = 0 < 1 ∀ x.
A série converge absolutamente para todo x, com raio de convergência R = ∞ e intervalo de
convergência (−∞,∞).
4.
∞∑
n=1
n! (x− 4)n.
Usando o teste da razão,
displaystyle limn→∞
∣∣∣(n+ 1)! (x− 4)n+1
n! (x− 4)n
∣∣∣ = limn→∞(n + 1)|x − 4| = ∞, concluímos que a
série converge apenas para x = 4, com raio de convergência R = 0 e intervalo de convergência
degenerado no ponto x = 4.
5.
∞∑
n=1
(−1)n (x+ 2)n
n
.
Usando o teste da razão temos: lim
n→∞
∣∣∣
(x+ 2)n+1
n+ 1
(x+ 2)n
n
∣∣∣ = lim
n→∞
n
n+ 1
|x+ 2| = |x+ 2| < 1.
Assim, a série converge absolutamente para −3 < x < −1, com raio de convergência R = 1.
Verificando a convergência nas extremidades do intervalo.
Para x = −3,
∞∑
n=1
(−1)n (−1)n
n
=
∞∑
n=1
(−1)2n
n
=
∞∑
n=1
1
n
, temos a série harmônica, divergente.
Para x = −1,
∞∑
n=1
(−1)n
n
, temos a série harmônica alternada, que converge.
Portanto, a série converge, com raio de convergência R = 1 e intervalo de convergência
(−3,−1].
6.
∞∑
n=2
xn
n ln(n)
.
Usando o teste da razão temos,
lim
n→∞
∣∣∣
xn+1
(n+ 1) ln(n+ 1)
xn
n ln(n)
∣∣∣ = lim
n→∞
n
n+ 1
ln(n)
ln(n+ 1)
|x| = |x| < 1.
Assim, a série converge absolutamente em (-1,1), com raio de convergência R = 1.
Verificando a convergência nas extremidades do intervalo.
Para x = −1, a série
∞∑
n=2
(−1)n
n ln(n)
converge condicionalmente (teorema de Leibniz) e para
x = 1, a série
∞∑
n=2
1
n ln(n)
diverge (teste da integral).
A série
∞∑
n=2
xn
n ln(n)
converge com raio de convergência R = 1 e intervalo de convergência é
igual a [−1, 1).
7.
∞∑
n=1
(−1)n e
n+1
nn
(x− 1)n.
Usando o teste da raiz temos,
lim
n→∞
n
√
en+1
nn
(x− 1)n = lim
n→∞
e n
√
e
n
|x− 1| = 0.
Assim, a série converge absolutamente para todo x. Logo, raio de convergência R = ∞ e o
intervalo de convergência é todo o conjunto dos reais.
1.2 Operações em séries de potências
Na interseção de seus intervalos de convergência, duas séries de potências podem ser adicionadas
(ou subtraídas) termo a termo, da mesma forma que as séries numéricas. Elas também podem ser
multiplicadas, da mesma forma que polinômios, mas este último caso é de difícil manipulação. O
teorema a seguir nos da uma fórmula para obter os coeficientes no produto.
Teorema 3 ( Teorema da multiplicação de séries para séries de potências.) SeA(x) =
∞∑
n=0
an x
n
e B(x) =
∞∑
n=0
bn x
n convergem absolutamente para |x| < R (R é o raio de convergência), e
cn = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · ·+ an−1 b1 + an b0 =
n∑
k=0
ak bn−k,
então
∞∑
n=0
cn x
n converge absolutamente paraA(x)B(x) para |x| < R e
(
∞∑
n=0
an x
n) (
∞∑
n=0
bn x
n) =
∞∑
n=0
cn x
n.
1.3 Representação de funções por séries de potência
A série
∞∑
n=0
xn é uma série (de potência) geométrica, com a = 1 e razão r = x, que converge quando
|x| < 1, cuja soma é igual a 1
1− x . Portanto,
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · , para − 1 < x < 1.
Ou seja, a série de potências
∞∑
n=0
xn, centrada em x = 0, converge para
1
1− x no intervalo (−1, 1).
Ilustrando Graficamente.
Figura 1: Aproximação da função y = 1
1−x por y = 1 ; y = 1 + x e y = 1 + x + x
2 ;
y = 1 + x + x2 + x3 ; y = 1 + x + x2 + x3 + x4 ; y = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · · + x9 e
y = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·+ x12.
Uma série de potência
∞∑
n=0
cn x
n define uma função f , cujo domínio é o intervalo de convergên-
cia da série, onde para cada x no intervalo de convergência
f(x) = c1 + c2 x+ c3 x
2 + ...
Nestes casos, dizemos que
∞∑
n=0
cn x
n é uma representação de f(x) por uma série de potência.
Teorema 4 Se
∞∑
n=0
an x
n converge absolutamente para |x| < R, então
∞∑
n=0
an (g(x))
n converge
absolutamente para qualquer função contínua g em |g(x)| < R.
Exemplo:
Sabemos que
1
1− x = 1+x+x
2+x3+x4+ · · · , para−1 < x < 1. Substituindo x por g(x) = −4x,
obtemos
1
1 + 4x
= 1− 4x+ 16x2 + 64x3 + 128x4 + · · · , para − 1
4
< x <
1
4
.
Teorema 5 ( Teorema da derivação e integração termo a termo.) Se
∞∑
n=0
cn (x−a)n converge para
a−R < x < a+R, para algumR > 0, isto define uma função f(x) =
∞∑
n=0
cn (x−a)n, no intervalo
(a−R, a+R).
• A função f(x) tem derivadas de todas as ordens em (a − R, a + R). As derivadas podem ser
obtidas derivando a série termo a termo.
A sua derivada de primeira ordem é dada por: f ′(x) = c1 +2c2 (x− a) + 3c3 (x− a)2 + · · ·+
ncn (x− a)n−1 + · · · .
• A integral da função f(x) pode ser obtida integrando a série termo a termo, ou seja,∫
f(t) dt = c0 x+
c1
2
(x− a)2 + c2
3
(x− a)3 + · · ·+ cn
n+ 1
(x− a)n+1 + · · · .+ C
Exemplos
Seja f(x) =
1
1− x e
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · · − 1 < x < 1.
Derivando f , temos:
f ′(x) =
( 1
1− x
)′
=
1
(1− x)2 = 1 + 2x+ 3x
2 + 4x3 + 5x4 + · · · e
f ′′(x) =
( 1
1− x
)′′
=
2
(1− x)3 = 2 + 6x+ 12x
2 + 20x3 + · · · .
Integrando, obtemos∫ x
0
f(t) dt =
∫ x
0
1
1− t dt = − ln(1− x) = x+
x2
2
+
x3
3
+
x4
4
+ · · · , ou
ln(1− x) = −x− x
2
2
− x
3
3
− x
4
4
− · · · .
Observação 3 Através de uma mudança de variável, da derivação ou da integração termo a termo
de séries de potências, que convergem para funções conhecidas, podemos obter outras séries con-
vergentes com somas conhecidas.
Exemplos:
Seja
1
1− x = 1 + x+ x
2 + x3 + x4 + x5 + · · ·+ xn + · · · , −1 < x < 1.
1. Fazendo uma mudança de variável x = −x, obtemos
1
1 + x
= 1−x+x2−x3+x4−x5+· · ·+(−1)n xn+· · · , para−1 < (−x) < 1⇒ −1 < x < 1.
Derivando
( 1
1 + x
)′
=
1
(1 + x)2
= −1 + 2x− 3x2 + 4x3 − 5x4 + · · ·+ (−1)n+1 xn + · · · .
Integrando
∫ x
0
1
1 + t
dt = ln(1 + x) = x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+ · · ·+ (−1)n x
n+1
n+ 1
+ · · · .
2. Fazendo x = −(x2) (Mudança de variável) obtemos
1
1 + x2
= 1 − x2 + x4 − x6 + x8 − x10 + · · · + (−1)n x2n + · · · . para −1 < −(x2) < 1 ⇒
|x| < 1⇒ −1 < x < 1.
Integrando
∫ x
0
1
1 + t2
dt = arctg(x) = x− x
3
3
+
x5
5
− x
7
7
+ · · ·+ (−1)n x
2n+1
2n+ 1
+ · · · .
Livro Texto: Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10.
(ou Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.)
• Capítulo 10.7 - página. 51 - Exercícios: 1 - 53.
(ou Capítulo 11.7 - p. 111 - Exercícios: 11-43)
2 Série de Taylor e Maclaurin
Definição 6 Seja f uma função com as derivadas de todas as ordens em algum intervalo contendo
a como um ponto interior. Então a Série de Taylor gerada por f em x = a é
∞∑
n=0
f (k)(a)
k!
(x− a)k = f(a) + f ′(a) (x− a) + f
′′(a)
2!
(x− a)2 + f
′′′(a)
3!
(x− a)3 +
+ · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n + · · ·
Se a = 0, a Série de Taylor gerada por f em x = 0 é aSérie de Maclaurin gerada por f
∞∑
n=0
f (k)(0)
k!
xk = f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 +
f ′′′(0)
3!
x3 + · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn + · · · .
Exemplo: Escrever a Série de Taylor gerada por f(x) =
1
x
, centrada em x = 2.
f(x) =
1
x
f ′(x) = − 1
x2
f ′′(x) = 2
1
x3
f ′′′(x) = −2.3 1
x4
...
f (n)(x) = (−1)nn! 1
xn+1
f(2) =
1
2
f ′(2) = − 1
22
f ′′(2) = 2!
1
23
f ′′′(2) = −3! 1
24
...
f (n)(2) = (−1)n n! 1
2n+1
A Série de Taylor encontrada
∞∑
n=0
f (n)(2)
n!
xn = f(2) + f ′(2) (x− 2) + f
′′(2)
2!
(x− 2)2 + · · ·+ f
(n)(2)
n!
(x− 2)n + · · ·
=
1
2
− (x− 2)
2
+
(x− 2)2
23
− · · ·+ (−1)n (x− 2)
n
2n+1
+ · · · .
A série obtida é uma série geométrica, cujo primeiro termo igual a
1
2
e a razão r = −(x− 2)
2
, que converge
absolutamente para |x− 2| < 2 e sua soma é
1
2
1 +
(x− 2)
2
=
1
2 + (x− 2) =
1
x
.
Neste exemplo, a série gerada converge para f(x) =
1
x
, com 0 < x < 4.
2.1 Polinômio de de Taylor
Definição 7 Seja f uma função com as derivadas de ordem k, para k = 1, 2, ..., N , em algum intervalo
contendo a como um ponto interior. Então para um inteiro n de 0 a N , o polinômio de Taylor de ordem n
gerado por f em x = a é:
Pn(x) = f(a) + f
′(a) (x− a) + f
′′(a)
2!
(x− a)2 + f
′′′(a)
3!
(x− a)3 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n.
Exemplos:
1. Os polinômios de Taylor gerado por f(x) =
1
x
, centrados em x = 2, são da forma:
P0(x) =
1
2
.
P1(x) =
1
2
− (x− 2)
22
.
P2(x) =
1
2
− (x− 2)
22
+
(x− 2)2
23
.
P3(x) =
1
2
− (x− 2)
22
+
(x− 2)2
23
− (x− 2)
3
24
.
...
Pn(x) =
1
2
− (x− 2)
22
+
(x− 2)2
23
− · · ·+ (−1)n (x− 2)
n
2n+1
.
2. Encontar a série de Taylor e os polinômios de Taylor gerados por f(x) =
1
x2
centrada em x = 1.
f(x) =
1
x2
f ′(x) = − 2
x3
f ′′(x) = 2.3
1
x4
f ′′′(x) = −2.3.4 1
x5
...
f (n)(x) = (−1)n(n+ 1)! 1
xn+2
f(1) = 1
f ′(1) = −2
f ′′(1) = 6
f ′′′(1) = −24
...
f (n)(1) = (−1)n (n+ 1)!
A Série de Taylor é
∞∑
n=0
f (n)(1)
n!
(x− 1)n = f(1) + f ′(1) (x− 1) + f
′′(1)
2!
(x− 1)2 + · · ·+ f
(n)(1)
n!
(x− 1)n + · · ·
= 1− 2(x− 1) + 3(x− 1)2 − 4(x− 1)3 + · · ·+ (−1)n(n+ 1) (x− 1)n + · · · .
Os polinômios são da forma
Pn(x) = 1−2(x−1)+3(x−1)2−4(x−1)3+ · · ·+(−1)n(n+1) (x−1)n, para n = 0, 1, 2, 3, ..., N.
• A série encontrada converge para f(x) = 1
x2
? Em que intervalo isso ocorre?
Usando o teste da razão, obtemos
lim
n→∞
n+ 1
n
|x− 1| = |x− 1| < 1.
Portanto, a série converge para x ∈ (0, 2) (Veja Figura abaixo).
3. Encontrar a série de Taylor e os polinômios de Taylor gerados por f(x) = ex, centrados em x = 0.
A série de Taylor gerada por f em x = 0 é
f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 + · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn + · · · = 1 + x+ x
2
2
+ · · ·+ x
n
n!
+ · · · =
∞∑
k=0
xk
k!
O polinômio de Taylor de ordem n em x = 0 é
Pn(x) = 1 + x+
x2
2
+ · · ·+ x
n
n!
.
Por definição, a série obtida é a série de Maclaurin para ex.
4. Encontrar a série de Taylor e os polinômios de Taylor gerados por f(x) = cos(x) centrados em x = 0.
A série de Taylor gerada por f em x = 0 é
f(0) + f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2 + · · ·+ f
(n)(0)
n!
xn + · · ·
= 1 + 0− x
2
2
+ 0 +
x4
4!
− 0 + · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
+ · · · =
∞∑
k=0
(−1)k x
2k
(2k)!
.
Como f (2n+1) = 0, o Pilonômio de Taylor de ordem 2n e 2n+ 1 são idênticos, em x = 0
P2n(x) = P2n+1(x) = 1− x
2
2
+
x4
4!
− · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!.
Por definição, a série obtida é a série de Maclaurin para cos x.
5. Encontar a série de Taylor, centrada em x = 0, gerada pela função f(x) =

0, se x = 0
−
1
x2 , se x 6= 0
Pode-se mostrar (mas não facilmente) que a função f possui derivadas de todas as ordens em x = 0 e
que fn(0) = 0 para todo n.
A série de Taylor gerada por f em x = 0 é
f(0)+f ′(0)x+
f ′′(0)
2!
x2+· · ·+f
(n)(0)
n!
xn+· · · = 0+0x++0x2+· · ·+0xn+· · · = 0+0+0+· · ·+0+· · ·
• Quando uma Série de Taylor converge para a sua função geradora?
• Com que precisão um polinômio de Taylor de uma função se aproxima da função em um dado
intervalo?
2.2 Fórmula de Taylor e o Resto
Teorema 8 Seja f uma função real contínua em intervalo aberto. Se f tem derivadas de todas as ordens em
um intervalo aberto I contendo a, então, para cada inteiro positivo n e para cada x em I , temos
f(x) = f(a) + f ′(a) (x− a) + f
′′(a)
2!
(x− a)2 + f
′′′(a)
3!
(x− a)3 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
(x− a)n +Rn(x),
onde
Rn(x) =
f (n+1)(c)
(n+ 1)!
(x− a)n+1 para algum c entre a e x.
Se Rn(x) → 0 quando n → ∞ para todo x ∈ I , dizemos que a série de Taylor gerada por f em x = a
converge para f em I , e escrevemos
f(x) =
∞∑
k=0
f (k)(a)
k!
(x− a)k.
Exemplo:
A série de Taylor gerada por f(x) = ex, centrada em x = 0, converge para f(x)? Em que intervalo isso
ocorre?
A Fórmula de Taylor para f(x) = ex, em x = 0, é
f(x) = Pn(x) +Rn(x) = 1 + x+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+
ec
(n+ 1)!
xn+1
, para algum c entre 0 e x.
Como ex é uma função crescente de x, ec está estre e0 = 1 e ex =M , para cada x fixo. Quando x é negativo,
c também é e ec < 1. Neste caso, |Rn(x)| ≤ |x
n+1|
(n+ 1)!
. Quando x é zero, ex = 1 e Rn(x) = 0. Quando x é
positivo, c tamém é e ec ≤ ex. |Rn(x)| ≤M |x
n+1|
(n+ 1)!
, quando x ≥ 0.
Como lim
n→∞
xn+1
(n+ 1)!
= 0 para todo x, lim
n→∞ Rn(x) = 0, e a série converge para e
x para todo x. Assim,
escrevemos
ex = 1 + x+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+ · · ·
Teorema 9 (Estimativa do resto) Se existe uma constante positiva M tal que f (n+1)(t), para algum t ∈
[a, x], então o resto Rn(x) na Fórmula de Taylor satisfará a desigualdade
|Rn(x)| =M |(x− a)|
(n+1)
(n+ 1)!
.
Se essas condições forem válidas para todo n e se f for contínua, com derivadas de todas as ordens em um
intervalo aberto contendo [a, x], então a série convergirá para f(x).
Exemplo:
A série de Taylor gerada por f(x) = cos x, centrada em x = 0, converge para f(x)? Em que intervalo isso
ocorre?
A fórmula de Taylor para cosx, em x = 0, é
f(x) = 1− x
2
2
+
x4
4!
− · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
+R2n(x).
Como as derivadas do cosseno tem valor absolute menor ou igual a 1, pelo teorema da estimativa do resto,
tomando M = 1, temos
|R2n(x)| ≤ 1 |x
2n+1|
(2n+ 1)!
.
Para cada valor de x, R2n(x)→ 0 quando n→∞. Portanto, a série converge para cos x, para todo x. Assim,
cos x =
∞∑
n=0
(−1)n x2n
(2n)!
= 1− x
2
2
+
x4
4!
− x
6
6!
+ · · ·
2.3 Série de Taylor × Série de Potências
Uma função definida pela série de potência
∑
anx
n, com um raio de convergência R, possui uma série de
Taylor que converge para ela em todos os pontos de (−R,R). A série de Taylor gerada pela função é a própria
série
∑
anx
n.
Exemplos:
1. Escrever a série de Taylor gerada por f(x) =
1
x− 1 , em x = 0.
2. Escreva os quatro primeiros termos da série de Taylor gerada por f(x) em x = a, onde:
2.1. f(x) =
√
1− x, a = 0.
2.2. f(x) = tg(x), a =
pi
4
.
2.3. f(x) = sen(x), a =
pi
6
.
3. Escreva a série de Taylor de f(x) = sen(x), em x = 0.
4. Encontre a Série de Taylor, em x = 0, das funções abaixo.
4.1. f(x) = sen(
pi
6
x).
4.2. f(x) = x sen(
pi
6
x).
4.3. f(x) = cos(
pi
6
x).
4.4. f(x) = sen2(x).
4.5. f(x) = e−x2 .
2.4 Série Binomial
Definição 10 Para −1 < x < 1,
(1 + x)m = 1 +
∞∑
k=1
(
m
k
)
xk
onde
(
m
1
)
= m,
(
m
2
)
=
m(m− 1)
2!
e(
m
k
)
=
m(m− 1)(m− 2) · · · (m− (k − 1))
k!
, para k ≤ 3.
Exemplos:
1. Se m = −1, (−1
1
)
= −1,
(−1
2
)
=
−1(−2)
2!
e(−1
k
)
=
1 (−1− 1) (−1− 2) · · · (1− (k − 1))
k!
= (−1)k
(
k
k
)
= (−1)k.
Assim (1 + x)−1 =
1
1 + x
= 1 +
∞∑
k=0
(−1)k xk = 1− x+ x2 − x3 + · · · .
2. Substituindo x por−x, no item anterior, temos (1−x)−1 = 1
1− x = 1+
∞∑
k=0
xk = 1+x+x2+x3+ · · ·
2.5 Série de Taylor e Aplicações
• Estimativas de Erros.
• Aproximaçe˜s lineares e quadráticas.
• Cálculo de integrais não elementares.
• Soluções de equações diferenciais.
• Cálculos de limites indeterminados.
1. Determinar o número e, com um erro inferior a 10−6.
Tomando ex = 1 + x+
x2
2
+ · · ·+ x
n
n!
+Rn(x).
Fazendo x = 1, temos e = 1 + 1 +
1
2
+ · · ·+ 1
n!
+Rn(1), com Rn(1) = ec
1
(n+ 1)!
, para 0 < c < 1.
Observemos que, neste caso, 1 < ec < e e Rn(1) = ec
1
(n+ 1)!
. Sabemos que e < 3, logo
1 < ec < 3 e
1
(n+ 1)!
< Rn(1) <
3
(n+ 1)!
.
Por experimentação, verificamos que
1
9!
> 10−6 , e
3
10!
< 10−6. Assim, tomando (n + 1) como no
mínimo 10 ou n como no mínimo 9, obtemos e = 1 + 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · · + 1
9!
= 2, 718282, com um
erro inferior a 10−6.
2. Encontrar aproximações polinômiais para
√
x+ 1 e estimar o erro.
Tomando m =
1
2
, a série binomial nos dá aproximações, juntamente com estimativas de erros obtidas
pelo teorema da estimativa de série alternadas:
(1 + x)
1
2 = 1 +
x
2
+
(
1
2
)(−1
2
)
2!
x2 +
(
1
2
)(−1
2
)(−3
2
)
3!
x3 +
(
1
2
)(−1
2
)(−3
2
)(−5
2
)
4!
x4 + · · ·
(1 + x)
1
2 = 1 +
x
2
− x
2
8
+
x3
16
− 5x
4
128
+ · · ·
Truncando nos dois primeiros termos (1 + x)
1
2 ≈ 1 + x
2
, para −1 < x < 1 (x pequeno). Com um erro
inferior a
x2
8
.
(1 + x)
1
2 ≈ 1 + x
2
− x
2
8
, para −1 < x < 1 (x pequeno). Com um erro inferior a x
3
16
.
Outras aproximações podem ser obtidas através de substituição de x. Por exemplo:
(1− x2) 12 ≈ 1− x
2
2
− x
4
8
, para |x2| pequeno.
(1− 1
x
)
1
2 ≈ 1− 1
2x
− 1
8x2
, para |x| grande.
3. Para quais valores de x, sen(x) pode ser aproximado de x− x
3
3!
com um erro inferior a 3× 10−4.
A série de Taylor para sen(x) é uma série alternada para todo valor de x diferente de zero.
Pelo teorema da estimativa da soma das séries alternadas, o erro no truncamento da série de Taylor para
sen(x) depois de
x3
3!
não é maior que |x
5
5!
| = |x|
5
5!
.
sen(x) = x− x
3
3!
∣∣∣+ x5
5!
− · · · ,
Assim, o erro será menor ou igual a 3 × 10−4 se |x|
5
5!
< 3 × 10−4. Resolvendo a inequação obtemos ,
|x| < 5√360× 10−4 ≈ 0, 514.
4. Calcular a integral
∫ 1
0
sen(x2) dx, com um erro inferior a 3× 10−6.
A partir da série de Taylor para sen(x),
sen(x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+ 1)!
= x− x
3
3!
+
x5
5!
− · · · .
Substituindo x por x2, obtemos
sen(x2) = x2 − x
6
3!
+
x10
5!
− x
14
7!
+
x18
9!
− · · ·
Logo, ∫
sen(x2)dx = C +
x3
3
− x
7
7.3!
+
x11
11.5!
− x
15
15.7!
+
x19
19.9!
− · · ·
Calculando ∫ 1
0
sen(x2)dx =
1
3
− 1
7.3!
+
1
11.5!
− 1
15.7!
+
1
19.9!
− · · ·
Pelo teorema da estimativa da soma de séries alternadas, a soma dos dois primeiros termos nos dá∫ 1
0
sen(x2)dx ≈ 1
3
− 1
7.3!
≈ 0, 310,
com um erro menor que
1
11.5!
≈ 0, 00076 ≈ 10−4.
Com mais dois termos a soma é aproximadamente∫ 1
0
sen(x2)dx ≈ 1
3
− 1
7.3!
+
1
11.5!
− 1
15.7!
≈ 0, 310268,
com um erro menor que
1
19.9!
≈ 1, 450× 10−7 ≈ 10−6.
Livro Texto:Thomas 12a edição. Volume 2 - Capítulo 10.
(ou Thomas 11a edição. Volume 2 - Capítulo 11.)
• Capítulo 10.8 - página. 56 - Exercícios: 1 - 18; 23 - 29; 33-36 e 41-46.
(ou Capítulo 11.8 - p. 127 - Exercícios: 1-16; 23 - 31; 33-38.)
• Capítulo 10.9 - página. 62 - Exercícios: 1 - 44.
(ou Capítulo 11.9 - p. 135 - Exercícios: 1 - 38.)
• Capítulo 10.10 - página. 64 - Exercícios: 1 - 18; 23 - 28; 53-55.
(ou Capítulo 11.10 - p. xx - Exercícios: 1 - 14; 33 - 46.)