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Bases Matemáticas para 
Engenharia
Camila Pereira
CONTEÚDO DESTA AULA
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Frações
Potenciação
Radiciação
Expressões Algébricas
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Frações
 Representação das partes de um todo.
Divisão de uma pizza em 
partes iguais
Contagem de alunos conforme o 
desempenho em matemática em uma turma
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Representação de Frações
b
a
Numerador: indica quantas partes são tomadas do inteiro.
Denominador: indica em quantas partes dividimos o inteiro.
8
1
Números 
de partes
Nome da 
parte
2 Meio
3 Terço
4 Quarto
5 Quinto
6 Sexto
7 Sétimo
8 Oitavo
Números 
de partes
Nome da 
parte
9 Nono
10 Décimo
11 Onze avos
12 Doze avos
13 Treze avos
100 Centésimo
1000 Milésimo
(um oitavo)
11
3 Três onze avos
100
1
Um centésimo
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Tipos de Frações
10
9
;
15
3
;
16
4
Fração própria 
O numerador é 
menor que o 
denominador.
2
3
;
9
12
;
12
20
Fração imprópria 
O numerador é 
maior ou igual ao 
denominador.
1000
2
;
100
25
;
10
5
Fração decimal 
O denominador é 
uma potência de 
base 10, ou seja, 
o denominador é 
10, 100, 1000,...
10
0
;
8
0
;
3
0
Fração aparente
O numerador é 
múltiplo do 
denominador
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Tipos de Frações
Frações equivalentes 
Duas ou mais frações 
que representam a 
mesma porção da 
unidade.
É obtida quando
multiplicamos ou dividimos o
numerador e o denominador
pelo mesmo número
(diferente de zero).
10
5
6
3
18
9
2
1

4
3
3:12
3:9
2:24
2:18

Fração irredutível
Não pode ser mais 
simplificada.
Simplificação de frações: significa transformar a fração em uma fração 
equivalente com os menores termos.
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Tipos de Frações
Frações mistas (ou 
numerais mistos)
Um número inteiro junto 
de uma fração.
Para transformar 
uma fração em um 
número misto:
Para transformar um 
número misto em 
uma fração:
7
5
2
7
19
19 7
2
5
-14
é equivalente à fração imprópria
7
19
7
5
2
7
5
2
ou
7
5
2
2
7
5


7
19
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Comparação de Frações
Frações com o mesmo denominador
A maior fração é a que tem maior 
numerador.
Frações com o mesmo numerador
A maior fração é a que tem menor 
denominador.
3
1
3
5
3
7
3
10

8
8
6
8
4
8
2
8

6, 12
3, 6
1, 3
1, 1
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Comparação de Frações
Frações com o 
mesmo numerador e 
denominadores 
diferentes
Reduzir ao mesmo 
denominador
12
9
6
8

1° - Encontrar o MMC (mínimo múltiplo comum) que 
será o denominador comum
2
2
3
12
2° - Divide-se o MMC pelos denominadores
3° - Multiplica-se o quociente encontrado pelo 
numerador da respectiva fração. O produto encontrado 
é o novo numerador.
12
9
6
8

2 1
12
9
12
16

BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Adição ou Subtração de Frações
Frações com o mesmo 
denominador
Adicionam-se ou subtraem-se 
os numeradores e repete-se o 
denominador.
3
17
3
7
3
10

4
3
4
6
4
3

Frações com 
denominadores diferentes
Primeiro se reduzem as 
frações para o mesmo 
denominador e depois faz a 
operação.
12
29
12
21
12
8
4
7
3
2

18
13
18
2
18
15
18
2
6
5

BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Multiplicação e Divisão de Frações
Multiplicação de frações
O numerador é o produto 
dos numeradores e o 
denominador é o produto 
dos denominadores.
9
70
3
7
3
10

4
1
24
6
6
3
4
2

Divisão de frações
Multiplica a primeira 
fração pelo inverso 
da segunda 21
8
7
4
3
2
4
7
3
2

3
20
6
40
2
8
3
5
8
2
3
5

BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Potenciação
Potência de grau 
“n” de um número 
“a” é o produto de n 
fatores iguais a “a”.
...aaaan 
“n” vezes
822223 
1)1()1()1()1( 3 
9
4
3
2
3
2
3
2
2






49
9
7
3
7
3
7
3
2



















a)
b)
c)
d)
25)55(52 
Base da potência
Expoente
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Regras de Potenciação
 nnn
mnmn
n
n
baba
aaa
a
a
aa
a












 1
1
1
0
 
m nm
n
mnmn
n
nn
mnmn
aa
aa
b
a
ba
aaa












120 
221 
2
1
2 1 
532 222 
 222 5252 
222 23 
2
22
5
2
52 






  623 22 
33
1
88 
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Potenciação
 
 
 
 
01,0
100
1
10
04,0
100
4
2,0
11
11
27
1
3
1
110
2
2
9
6
3
33
0








 
 
  1
22
999
333
0
3
275
20432
18
3
23
325
927

























xx
xxx
EXERCÍCIO - Calcule as potências.
10
10
2
105
523 1 










x
xxx
xxx
EXERCÍCIO - Reduza a uma só potência.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Potenciação
EXERCÍCIO
Qual é a metade de 222?
21122
22
22
2
2
 
a)
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Potenciação
EXERCÍCIO - Calcule o valor da expressão. 
27
5
27
4
4
5
4
27
4
5
4
281
4
94
7
4
1
4
9
1
18
2
1
2
3
1
522
3
2
1
2
2
2
2
032
2
6




























b)
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Radiciação
abba nn 
Radicando
Radical
Índice
Raiz
216
5125
24
4
3


 , pois 2
2=4
, pois 53=125
, pois 24=16
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Regras de Radiciação
 
 
nnnn
pnn p
n p
pn
nn
cbacba
aa
aa
aa





n
p
n p
n nn
n
n
n
a
a
baba
b
a
b
a




1
  33 33 
63 2 88 
9494 
3
12
3
12

9494 2 
2
1
2
2
1 

  44
3
3 
EXERCÍCIO - Calcule o valor da expressão.
Radiciação
0
22223
22232
2818
22



 18
9
3
1
2
3
3
232
8
4
2
1
2
2
2
222
a)
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Radiciação
EXERCÍCIO - Calcule o valor da expressão.
32
321248168
2148814826148
46148
2
33
3




b)
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Radiciação
Racionalização: processo de retirar as raízes do denominador das frações.
uuuuuua
n nn knkn knkn knn k  
Multiplicamos o denominador e o numerador por um termo para eliminar o 
radical do denominador.
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
RadiciaçãoEXERCÍCIOS – Racionalize as expressões.
3
6
3
3
3
2
3
2
3
2


a) b)
5
5 4
5 4
5 5
5 4
5 4
5 4
5
5
16
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2


BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Radiciação
EXERCÍCIOS – Racionalize as expressões.
y
yx
y
yx
y
y
y
x
y
x
y
x
5 22
5 5
5 22
5 2
5 2
5 3
5 2
5 3
5 2
5
3
2




c)
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Expressões Algébricas
 São todas as expressões formadas por uma parte numérica e outra, literal.
Uma pessoa ganha R$ 
30,00 por dia de 
trabalho.
EXEMPLOS
Salário = 30x
Sendo x = dias trabalhados
Uma mulher é 5 anos mais 
nova do que seu marido. Se 
a soma do casal é 69 anos, 
qual é a idade de cada um?
Idade do mulher = x
Idade da marido = x + 5
69)5(  xx
Valor Numérico de uma Expressão Algébrica
 São atribuídos valores para as incógnitas (letras).
EXERCÍCIO: Determine o valor numérico da expressão 3x2 – 2xy + y3 para x = 2 
e y = - 3.
   
3
271212
271243
332223
23
32
32




 yxyx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Expressões Algébricas
 Polinômios
Monômios: 
um termo
xy
zxy
4
10 32
Binômios: 
dois termos
xxy
x


3
2
10
123
xxyx
xx


23
2
2
13
Trinômios: 
Três termos
01
1
1 ... axaxaxa
n
n
n
n 


, sendo
0a
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Adição e Subtração de Polinômios
 Agrupar e combinar os termos semelhantes.
EXERCÍCIO
   3521432 2323  xxxxxx
a)
       
23
3154232
22
2233


xxx
xxxxxx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Adição e Subtração de Polinômios
 Agrupar e combinar os termos semelhantes.
EXERCÍCIO
   22434 232  xxxxx
b)
     
6432
24342
23
223


xxx
xxxxx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Multiplicação de Polinômios
 Usar a propriedade distributiva.
EXERCÍCIO
  5423  xx
a)
   
       
1081512
52425343
542543
2 


xxx
xxxx
xxx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Multiplicação de Polinômios
 Pode-se usar a forma vertical.
EXERCÍCIO
  5434 22  xxxx
b)
54
34
2
2


xx
xx
234 34 xxx 
xxx 12164 23 
15205 2  xx
15880 234  xxxx
1588 24  xxx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Sistemas de 2 equações
Método da adição
Somam-se as equações no intuito de eliminar uma incógnita.
c
EXERCÍCIO: Na compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos 
terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 20 reais mais caro. Quais os valores 
de cada produto?
x = produto mais caro
y = produto mais barato 
20
64


yx
yx
20
64


yx
yx
842 x
42
2
84
842



x
x
x
22
4264
6442
64




y
y
y
yx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Sistemas de 2 equações
c
EXERCÍCIO: Na compra dos dois produtos foi gasto R$ 64,00. Apesar dos produtos 
terem a mesma função, o de maior valor foi R$ 20 reais mais caro. Quais os valores 
de cada produto?
x = produto mais caro
y = produto mais barato 
20
64


yx
yx
Método da substituição
Isola-se uma incógnita em uma equação e substitui-se na outra equação.
20
64
64



yx
yx
yx
 
22
442
442
64202
2064





y
y
y
y
yy
42
2264
64



x
x
yx
BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA
Representação Gráfica de um Sistema
A solução de um sistema de equações do 1º grau com 2 incógnitas será o ordenado (x,y). 
x y x + y = 2 Par ordenado
0 2 0 + 2 = 2 (0, 2)
2 0 2 + 0 = 2 (2, 0)
x y x - y = 0 Par ordenado
0 0 0 - 0 = 0 (0, 0)
2 2 2 - 2 = 0 (2, 2)
0
2


yx
yx
O ponto de 
interseção 
representa a 
solução do 
sistema
1
22


x
x
1
21


y
y
-1
0
1
2
3
4
5
-1 0 1 2 3 4 5
y
x
x – y = 0
x + y = 2