Matematica

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SUMÁRIO 
 
 
 
PARTE I – MATEMÁTICA 
 1. Números inteiros e racionais... .........................................................................7 
 O conjunto dos números inteiros (Z).. .............................................................8 
 Operações com números inteiros... .................................................................10 
 O conjunto dos números racionais (Q)............................................................12 
 Operações com os números racionais... .........................................................13 
 2. Números e grandezas proporcionais... ...........................................................20 
 Razão e proporção... ..........................................................................................21 
 Divisão proporcional... ......................................................................................24 
 Regra de três simples... ....................................................................................26 
 3. Porcentagem.......................................................................................................33 
 Juros simples e compostos... ...........................................................................40 
 Descontos... .......................................................................................................52 
 4. Equações e Inequações de 1º 2º graus... ........................................................59 
 Equação do 1º grau... ........................................................................................60 
 Equação do 2º grau... ........................................................................................61 
 Inequações de 1º grau... ....................................................................................64 
 Conjunto dos números reais (R)... ..................................................................66 
 Intervalos numéricos... ......................................................................................67 
 Inequações de 2º grau... ....................................................................................68 
 5. Sistema Internacional de Medidas (SI)... .........................................................72 
 Medidas de comprimento... ...............................................................................73 
 Medidas de superfície... ....................................................................................77 
 Medidas de volume... ........................................................................................79 
 Medidas de capacidade... .................................................................................80 
 Medidas de tempo... ...........................................................................................81 
 
PARTE II – RACIOCÍNIO LÓGIGO 
 1. Noções básicas de lógica... .............................................................................86 
 Conectivos... .......................................................................................................88 
 Negação... ..........................................................................................................92 
 Tautologia e contradições... .............................................................................93 
 2. Situações – problema envolvendo estrutura lógica... ...................................95 
 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
 Conjunto dos números inteiros (Z) 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos 
números naturais, o conjunto dos números não positivos e o zero. Este 
conjunto é denotado pela letra Z. Este conjunto pode ser escrito por: 
 Z = {... -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...} 
 
 
 
 
 
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta 
numérica, conforme mostra o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
- 3 < - 2, (lê-se: menos três 
é menor que menos dois); 
 
 - 1 > - 2, (lê-se: menos um 
é maior que menos dois); 
 
O oposto de – 2 é 2 e vice 
versa; 
 
O oposto de +5 é 5 e vice 
versa. 
 
 
 
 
 
Igual maior ou menor? 
Por convenção na reta numérica os números são associados em ordem 
crescente, da esquerda para direita. 
• Um número é menor que qualquer outro representado à sua 
direita. 
• Um número é maior que qualquer outro representada à sua 
esquerda. 
Módulo de um número inteiro é a distancia da representação do número 
na reta até o zero. Indica-se o módulo de um número pelo símbolo . 
2 2− = , (lê-se: módulo de – 2 é 2 ), 2 2= , (lê-se: módulo de 2 é 2 ). 
– 2 é 2 são números diferentes, mas possuem o mesmo módulo, porque 
estão à mesma distância do zero. Eles são chamados simétricos ou 
opostos. 
Todo número natural é inteiro, dizemos que 
o conjunto IN é subconjunto de Z. 
 
Temos também outros subconjuntos de Z: 
Z* = Z-{0} 
Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...} 
Z_ = conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...} 
 
Observe que Z+=IN. 
 
 9 
 
 
Exemplos: 
 
1. O gráfico mostra o resultado de uma partida de um jogo com 4 
participantes. Escreva os nomes dos participantes em ordem crescente 
de pontos. 
 
Números acima de zero são positivos (maiores que zero); 
Números abaixo de zero são negativos (menores que zero); 
Zeca, Clara, Marta e João estão na ordem crescente de pontos 
 
2. Desenhe um termômetro e marque ao lado as temperaturas registradas 
nas seguintes cidades: 
 
 
 Sugestão para a resposta: Faça uma linha vertical e 
coloque os números em ordem crescente 
de baixo para cima 
 
 
 
 
 
 
3. Associe V para as afirmações verdadeiras, F para as afirmações falsas: 
a) – 4 é maior que seu oposto ( F ), o oposto de – 4 é 4, logo – 4 < 4; 
b) – 9 é maior que o seu módulo ( F ), 9 9− = , logo – 9 < 9; 
c) 5 é menor que o oposto de – 8 ( V ), o oposto de – 8 é 8, logo 5 < 8; 
 
d) – 1500 é maior que o oposto de 2000 ( V ), o oposto de 2000 é – 2000, 
logo – 1500 > 2000. 
 
 
 
4. Represente com um número inteiro as seguintes situações: 
a) Ganhar 9 reais; +9 
b) Perder 20 pontos; - 20 
c) Subir 5 degraus; + 5 
d) Nascer em 600 anos antes de Cristo; - 600 
e) Atrasar 25 minutos. – 25 
 
 
 
 
Paris - 2 °C 
São Paulo 27 °C 
Rio de Janeiro 34 °C 
Nova York - 5 °C 
Campos do Jordão 11 °C 
34 °C 
27 
11 
 0 
- 2 
- 5 
 10 
 Operações com números inteiros (Z) 
 
 
Soma de números inteiros 
 
 
Regra dos sinais na soma: 
 
• Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. 
 
• Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do 
maior número em módulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Clara tem 600 reais em sua conta bancária e faz, sucessivamente, 
as seguintes movimentações: 
 
• Retira R$ 73 
• Deposita R$ 19 
• Retira R$ 467 
• Retira R$ 125 
 
O saldo de Clara fica positivo ou negativo depois dessas movimentações? Em 
quanto? 
 
Resposta: as retiradas são representadas por números negativos e os 
depósitos por números positivos. 
 
600
– 73 +19 – 467 – 125 = 
= 600 + 19 – 73 – 467 – 125 = 
= 619 – 665 = 
= – 46 
O saldo de Clara fica negativo em R$ 46. 
 
 
 
 
 
(+3) + (+4) = (+7) 
(-3) + (-4) = (-7) 
(+8) + (-5) = (+3) 
(-8) + (+5) = (-3) 
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser 
dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca 
pode ser dispensado. Exemplos: 
(a) - 3 + 3 = 0 
(b) + 6 + 3 = 9 
(c) + 5 - 1 = 4 
 11 
Multiplicação de números inteiros 
 
Regra dos sinais para a multiplicação: 
 
• O produto de dois números de mesmo sinal é um número positivo. 
 
• O produto de dois números de 
sinais diferentes é um número 
negativo. 
 
• Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à 
seguinte regra de Sinais 
 
 
 
Divisão de números inteiros 
 
 
Regra dos sinais para a divisão: 
A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às 
mesmas regras vistas para a multiplicação. 
Potenciação de números inteiros 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores 
iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente. 
an = a × a × a × a × ... × a, a é multiplicado por a n vezes 
Exemplos: (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8, (-5)² = (-5) x (-5) = 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(+1) × (+1) = (+1) 
(+1) × (-1) = (-1) 
(-1) × (+1) = (-1) 
(-1) × (-1) = (+1) 
 
Você sabe por que (+). ( - ) = ( - ) ? 
 
 12 
 
 Conjunto dos números racionais 
 
 
 
 Por definição, número racional é todo número que pode ser expresso como 
quociente de dois inteiros, isto é, 
 
; , , 0aQ x x a Z b
b
 
= = ∈ ≠ 
 
 
Os números 4; -3; ;
5
3
;
3
2
− 0.16; 1,2333... são racionais. Note que todo número 
inteiro é racional, isto é, Z ⊂ Q. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O conjunto Z é subconjunto do conjunto Q 
 Outros subconjuntos de Q: 
• Q* é o conjunto dos números racionais 
diferentes de zero; 
• Q+ é o conjunto dos números racionais 
positivos e o zero; 
• Q- é o conjunto dos números racionais, 
negativos e o zero; 
• Q+* é o conjunto dos números racionais e 
positivos; 
• Q-* é o conjunto dos números racionais 
negativos. 
 
 
O número 0 é racional. De fato, zero pode ser escrito como o 
quociente inteiro zero por um inteiro diferente de zero. 
 13 
 
 Operações com números racionais 
 
 Adição e Subtração 
 
 Para simplificar a escrita, 
transformamos a adição e subtração 
em somas algébricas. Eliminamos os 
parênteses e escrevemos os números 
um ao lado do outro, da mesma forma 
como fazemos com os números 
inteiros. 
 
 Exemplo 1: Qual é a soma: 
 
 
17 5
24 6
17 5 17 5 17 20 3 1
24 6 24 6 24 24 24 8
   
+ −   
   
   
+ − = − = − = − =   
   
 
 
 
 
 
Multiplicação e divisão 
 
 Na multiplicação de números racionais, devemos multiplicar numerador por 
numerador, e denominador por denominador. 
 
 
7 4 28
9 5 45
 
⋅ − = − 
 
 
 
 Na divisão de números racionais, devemos multiplicar a primeira fração pelo 
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: 
 
3 5 3 6 18 9
8 6 8 5 40 20
÷ = ⋅ = = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o produto de duas frações é igual a 1, 
essas frações são inversas uma da outra. 
 
1
5
 é a inversa de 5 
8
3
 é a inversa de 
3
8
 
 14 
Potenciação e radiciação 
 
Na potenciação, quando elevamos um número racional a um determinado 
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, 
conforme os exemplos abaixo: 
 
 
2 2
2
4
2 2
3 3 9
5 5 25
1 1
2 16
2 3 9
3 2 4
81 81 9
4 24
−
 
= = 
 
 
− = 
 
   
= =   
   
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção: 
Que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par 
é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado 
a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal. 
 Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a 
elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ 
pode ser lida como: "a elevado ao cubo". 
Raiz quadrada de um número inteiro a b= porque 
2b a= , a Z∈ . Todo número ao quadrado é positivo. Logo, não 
existem raízes quadradas de números negativos pertencentes a Z. 
25 5= porque 25 25= 
 
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número racional, 
estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. 
 
 
Para resolvermos uma expressão numérica, efetuamos as operações 
obedecendo à seguinte ordem: 
 
Expressões sem parênteses 
1º Potenciação e radiciação, na ordem em que aparecem; 
2º Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem; 
3º Adição e subtração, na ordem em que aparecem; 
 
Expressões com parênteses, colchetes ou chaves. 
1º Calculamos o que estiver em parênteses; 
2º Calculamos o que estiver em colchetes; 
 3º Calculamos o que estiver entre chaves 
 15 
 
 
 
Exercícios de expressões numéricas 
 
 
1. Calcule o valor das seguintes 
expressões: 
 
a) 14 – (7 – 6) + (8 – 5) R: 16 
b) – 10 – (- 7 + 4 – 6) R: – 1 
c) 18 – (- 12 + 3 – 7 – 4) – 1R:37 
 
 
2. Calcule o valor das seguintes 
expressões: 
 
a) 20 – {- 2 + [1 + (+ 9 – 5) – 2] + 15 – 9} 
R:13 
 
b) – 30 – {- 4 – [- 8 + (- 6 + 12 – 2) + 2]} 
R: - 28 
 
 
3. Calcule: 
 
a) 1,6 + 3,15 R: 4,75 
b) 1,6 – 3,15 R: - 1,55 
c) – 1,6 – 3,15R: - 4,75 
 
 
4. (ESC.TEC.FED-SP) Simplificando a 
expressão 












−











−+ 1
3
2
:3:2
5
11 , 
temos:R: letra c 
a) 
12
5
 c) 
5
6
− 
b) 
21
20
 d) 
15
13
− 
 
 
5. (FGV-SP) A expressão 
31
2
−
 
 
 
+
51
2
−
 
 
 
é 
igual a:R: letra a 
a) 40 
b) 
40
1
 
c) -40 
d) 
81
2
−
 
 
 
 
 
6. (MACK-SP) A expressão 
( )
2
1
5
13
3
23²5
2
0
2
++






+−−
−
 é igual a: 
 
R: letra d 
a) 
17
3150
 c) – 90 
b) 
3150
17
 d) 
73
1530
 
 
7. (Cesgranrio) Calcule o valor da 
expressão 
7 20,333... 2
2 3
 
+ − + 
 
 
R: 
7
6
 
8. O valor da expressão 





+⋅
4
1
3
1
7
3
é: 
a) 
2
1
 b) 
8
1
 c) 
4
1
 d) 
19
10
 
 
R: letra a 
9. (PUC-SP) O valor da expressão 
( ) 3
)2(9
)4(510








−+
−−+−
é: 
 
a) -1 b) -2 c) 1 d) 2 
 
R: - 1 
 
 
 Espaço reservado para seus registros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
 Resolução de problemas 
 
 
1. Um submarino encontra-se a –228 
m de profundidade. Depois de 
algum tempo está a –184 m. O 
submarino subiu ou desceu? 
Escreva uma adição algébrica que 
resulte
na posição atual do 
submarino. 
 
2. (TRT 4ª REGIÃO 2006) Um 
armário tem 4 prateleiras. Do total 
de processos que um auxiliar 
judiciário deveria arquivar nesse 
armário, sabe-se que: 1/5 foi 
colocado na primeira prateleira, 1/6 
na segunda, 3/8 na terceira e os 62 
processos restantes na quarta. 
Assim sendo, o total de processos 
arquivados era. 
A. 240 
B. 210 
C. 204 
D. 120 
E. 105 
 
3. Uma secretária deveria telefonar 
para todos os clientes de sua 
empresa. Pela manhã, ela fez 1/3 
dos telefonemas; à tarde, 
conseguiu fazer 3/5 dos restantes. 
Que fração do serviço ainda 
precisa ser feita? 
4. Um reservatório é alimentado por 
duas torneiras A e B: a primeira 
possui uma vazão de 38 litros por 
minuto e a segunda 47 litros por 
minuto. A saída da água dá-se 
através de um orifício que deixa 
passar 21 litros por minuto. 
Deixando abertas as duas torneiras 
e a saída da água, o reservatório 
se enche em 680 minutos. Qual o 
volume do reservatório? 
 
 
Cálculos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
5. Pedro saiu de casa e fez compras 
em quatro lojas, cada uma num 
bairro diferente. Em cada uma 
gastou a metade do que possuía e 
a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de 
estacionamento. Se no final ainda 
tinha R$ 8,00, que quantia tinha 
Pedro ao sair de casa? 
 
 
 
6. O preço de uma corrida de táxi é 
igual a R$2,50 ("bandeirada"), mais 
R$0,10 por cada 100 metros 
rodados. Tenho apenas R$10,00 
no bolso. Logo tenho dinheiro para 
uma corrida de até: 
 A) 2,5 k B) 5,0 km 
 C) 7,5 km 
 D) 10,0 km E) 12,5 km 
 
7. Uma empresa de telefonia celular 
oferece planos mensais de 60 
minutos a um custo mensal de R$ 
52,00, ou seja, você pode falar 
durante 60 minutos no seu telefone 
celular e paga por isso exatamente 
R$ 52,00. Para o excedente, é 
cobrada uma tarifa de R$ 1,20 
cada minuto. A mesma tarifa por 
minuto excedente é cobrada no 
plano de 100 minutos, oferecido a 
um custo mensal de R$ 87,00. Um 
usuário optou pelo plano de 60 
minutos e no primeiro mês ele falou 
durante 140 minutos. Se ele tivesse 
optado pelo plano de 100 minutos, 
quantos reais ele teria 
economizado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
8. O gráfico a seguir apresenta 
informações sobre o impacto 
causado por 4 tipos de monocultura 
ao solo. Para cada tipo de 
monocultura, o gráfico mostra a 
quantidade de água, em litros, e a 
de nutrientes (nitrogênio, fósforo e 
potássio), em quilogramas, 
consumidos por hectare para a 
produção de 1kg de grãos de soja 
ou 1kg de milho ou 1kg de açúcar 
ou 1kg de madeira de eucalipto. 
Sobre essas monoculturas, pode-
se afirmar que: 
água nutrientes
soja milho eucaliptocana-de-
açucar
0
500
1000
1500
2000
 
A) O eucalipto precisa de cerca de 
1/3 da massa de nutrientes 
necessários de que a cana-de-
açúcar precisa para se 
desenvolver. 
B) O eucalipto é a que mais seca e 
empobrece o solo, causando 
desequilíbrio ambiental. 
C) O milho precisa do dobro do 
volume de água de que precisa a 
soja. 
 
 
Espaço reservado para seus registros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 Subiu 44m 
2 A 
3 1/ 15 
4 680x64 = 43520 litros 
5 R$ 160,00 
6 C 
7 R$ 13,00 
8 A 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
 Razão e proporção 
 
Grandeza 
È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a 
variação de um, como conseqüência o outro varia também. 
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por 
exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos 
lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si. 
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo 
maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir 
em seu percurso realizado. 
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um 
determinado tempo depende do número de operários empregados e 
trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir. 
 
Razão 
Desta forma, considere um carro qualquer com 3m de comprimento e um 
carro de kart com 2 m de comprimento. Para se fazer a comparação entre as 
medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Logo: 
3 1,5
2
= (Nota-se que o carro de corrida é 1,5 x maior que o tamanho do carro 
de kart). 
 Uma razão pode ser representada 
também da seguinte forma , 0a b
b
≠ . 
Na definição acima os termos são: 
a = chamado de antecedente 
b = chamado de conseqüente 
Exemplo: a razão de 9 para 12 é 
A palavra razão tem origem latina 
“latim” e tem como significado 
“dividir, divisão”. 
 
 Importante! 
 
 1. Lê-se: nove está para doze 
sendo que o 1 º número é 
antecedente e 2º número é 
conseqüente. 
2. Quando o antecedente de uma 
razão for igual ao conseqüente de 
outra, ou vice-versa, dizemos que 
formam duas razões inversas. Ex: 
c/d e d/c 
 
 22 
9 3
12 4
= 
Proporção – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas 
razões. 
 
3 6
2 4
= 
 Obs.: Cada elemento de uma proporção é denominado termo da 
proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes 
e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de 
uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extremos. 
 
Propriedade Fundamental da proporção 
 Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos 
extremos. 
3 6
2 4
= , 3 4=6 2⋅ ⋅ , lê-se: 3 está para 2 assim como 6 está para 4. 
Exemplos: 
1. A razão entre 0,20 e 2 é : 
 
0, 20 10 10,10
2 100 10
= = = (1 está para 10) 
 
2. A razão entre 1
3
 e 
4
7
 é: 
 
1
1 7 73
4 3 4 12
7
= ⋅ =
 
3. A razão entre 6 e 1
4
 é: 
 
6 4 2461 1 1
4
= ⋅ =
 
 
 
 
 23 
4. Se 7 x=
8 40
, calcule o valor de x. 
 
8 7.40
8 280
280
8
35
x
x
x
x
⋅ =
=
=
=
 
 
 5. A área de um retângulo é de 150m² e a razão da largura para o 
comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas. 
 Resolução 
a = largura, b = comprimento 
A = a.b (fórmula da área do retângulo) 
2
2
2
150,
2 2
,3 2 ,
3 3
150
2 150
3
2 150 3
2 450
450
2
225
15
150
15 150
150
15
10
A a b
a b
a b a
b
ab
b b
b
b
b
b
b
ab
a
a
a
= ⋅ =
= = =
=
⋅ =
= ⋅
=
=
=
=
=
=
=
=
 
As medidas do retângulo são: base igual a 10 e altura igual a 15. 
 
 
 Divisão proporcional 
 24 
 
 
Grandeza Diretamente Proporcional 
È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que 
são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação 
ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido. 
 Exemplos: 
1. 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então 
ela pagará “02 y”. 
2. Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se 
ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o 
preço unitário de R$ 0,10. 
 Grandeza Inversamente Proporcional 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de 
uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, 
porém, em sentido e direção
contrários. 
Exemplo: Velocidade e tempo. 
Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros 
em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará 
apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros. 
 
Aplicações de Grandezas Proporcionais 
 
1. Um prêmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de 
um bingo. Observe a tabela e responda: 
 
a. Qual a razão entre o número de acertadores do prêmio de R$200.000,00 
para o prêmio de R$150.000,00? 
Resposta: 3
4
 
b. Qual a razão entre os prêmios da tabela acima, considerando 3 
acertadores e 4 acertadores? 
Número de acertadores Prêmio 
3 R$ 200.000,00 
4 R$ 150.000,00 
 25 
Resposta: 4
3
 
c. O número de acertadores e os prêmios são grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais? 
Resposta: Inversamente proporcionais 
 
 
2. Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 
72, 128. Determine os números x e y. 
Resposta 
32
40 72 128
32
40 128
128 32 40
128 1280
1280 10
128
18
x y
x
x
x
x
y
= =
=
= ⋅
=
= =
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
 Regra de Três Simples 
 
 
 
 
Regra de três simples 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que 
envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, 
determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
Passos utilizados numa regra de três simples 
· Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em 
colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em 
correspondência. 
· Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
· Montar a proporção e resolver a equação. 
 Exemplos: 
1. Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo 
tecido? 
 
 
Observe que as grandezas são diretamente proporcionais, aumentando o 
metro do tecido aumenta na mesma proporção o preço a ser pago. 
 
 
8 156
12 x
= 
Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas. 
A quantia a ser paga é de R$234,00. 
REGRA DE TRÊS 
Consta na história da matemática que os 
gregos e os romanos conhecessem as 
proporções, porém não chegaram a aplicá-las 
na resolução de problemas. 
Na idade média, os árabes revelaram ao 
mundo a regra de três. Nos século XIII, o 
italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios 
dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o 
nome de Regra de Três Números Conhecidos. 
 27 
 
2. Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a 
velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o 
mesmo percurso? 
 
 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais, aumentando a 
velocidade o tempo diminui na razão inversa. Resolução: 60
80 4
x
= 
 
O tempo a ser gasto é 3 horas. 
 
 
 Resolução de problemas 
 
 
1. (ESAF) Um homem dá um salto 
de 0,4m para cima, ao mesmo 
tempo em que uma pulga dá um 
pulo de 400mm. A razão entre os 
saltos é: 
a) 2 
b) 1 
c) 3 
d) ½ 
e) 4 
2. (B.B) Uma empresa possui 
atualmente 2.100 funcionários. Se 
a relação entre o número de 
efetivos e contratados é de 5 por 
2, quantos são os efetivos? 
a) 600 
b) 1.000 
c) 1.500 
d) 1.600 
e) 1.800 
 
3. (FURNAS) A razão entre as idades 
de um pai e seu filho é de 5/2. Se 
o pai tinha 21 anos quando o filho 
nasceu, qual é a idade do filho? 
a) 14 
b) 16 
c) 24 
d) 28 
e) 35 
 
4. (ESAF) A soma das idades de um 
pai, de um filho e de um neto é de 
105 anos. Sabendo-se que a idade 
do pai está para 8, assim como a o 
filho está para 5 e do neto está 
para 2, a idade, em anos, de cada 
um é, respectivamente: 
a) 66, 29 e 10 
b) 62, 31 e 12 
c) 56, 37 e 12 
d) 56, 35 e 14 
e) 58, 38 e 9 
 
5. 10. (B.B) Se dois capitais estão 
entre si na razão de 8 para 3 e o 
 28 
maior deles excede o menor em $ 
25.000,00, então a soma desses 
capitais é de: 
a) $ 75.000,00 
b) $ 65.000,00 
c) $ 40.000,00 
d) $ 60.000,00 
e) $ 55.000,00 
 
6. (T.R.F) Em duas caixas d’água há 
6.600 litros de água. Determine as 
capacidades das caixas em litros, 
sabendo que as suas capacidades 
estão , entre si, como três está 
para cinco. 
a) 3.125 e 3.475 
b) 4.200 e 2.400 
c) 4.225 e 2.375 
d) 4.125 e 2.475 
 
7. (CPTeorema) Determine a quarta 
proporcional entre os números 4, 7 
e 12. 
 
8. (CPTeorema) Com a definição de 
razão, fração e divisão, pode-se 
afirmar que: 
a) razão = fração = divisão 
b) razão = fração divisão 
c) razão fração = divisão 
d) razão fração divisão 
 
9. (T.F.R.) Uma estrada está 
representada por 15 cm em um 
mapa de escala 1/20.000. O 
comprimento real dessa estrada é: 
a) 3 km 
b) 30 km 
c) 300 m 
d) 3.000 cm 
e) 30.000 dam 
 
10. (UNICAMP) Na planta de um 
edifício em construção, cuja escala 
é 1:50, as dimensões de uma sala 
retangular são 10cm e 8cm. 
Calcular a área real da sala 
projetada. 
a) 40cm2 
b) 20m2 
c) 8m2 
d) 4m2 
 
11. Determine os antecedentes de 
uma proporção cujos 
conseqüentes são 6 e 8, sabendo 
que a soma dos quatro termos é 
84. 
 
12. A miniatura de um automóvel foi 
construída na escala de 1 :40. Se 
a roda do automóvel tem raio de 
48 cm, qual o diâmetro de cada 
roda da miniatura? 
 
13. (CFS) Um segmento de 17,1 m é 
representado num desenho em 
escala 1:90. O tamanho do 
segmento desenhado é: 
a) 9 m 
b) 9 cm 
c) 19 m 
d) 19 cm 
e) 19 dm 
 
14. (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m 
de comprimento é representado, 
em escala por um modelo de 3 cm 
de comprimento. Determine a 
altura do modelo que representa, 
na mesma escala uma casa de 
3,75 m de altura. 
 
15. Em uma maquete de um estádio 
de futebol, uma torre de 
iluminação de altura 18 metros é 
representada por um palito de 3,6 
centímetros de comprimento. Qual 
foi a escala utilizada? 
 
16. Um mapa foi construído na escala 
de 1: 250.000. Observando a 
posição de duas cidades que, no 
mapa, distam 8 cm, podemos dizer 
que na realidade a distância entre 
as duas cidades, em quilômetros, 
é aproximadamente igual a: 
a) 8 
b) 10 
c) 12 
 29 
d) 16 
e) 20 
 
17. Um mapa rodoviário foi feito 
utilizando uma escala de 1 : 1 
00000. Se neste mapa uma cidade 
A dista 40 cm de uma outra cidade 
B, qual a distância real entre essas 
cidades? 
 
18. Qual a escala em que foi 
construída a planta de uma casa, 
sabendo-se que uma porta de 
altura de 2,4 m é representada por 
uma de 0,6 cm de altura? 
 
19. (CFS) Na proporção (x – 1) : (4x -
1) :: 5 : 2 ,o valor de x é um 
número: 
a) maior que dois 
b) inteiro menor que dois 
c) fracionário, não inteiro e maior 
que dois 
d) dois 
e) fracionário, não inteiro e menor 
que dois 
 
20. (CFS) A idade de um pai, somada 
com a de seu filho, dá 45 anos. 
Sabendo-se que a idade do filho 
está para a idade do pai assim 
como 1 está para 4, podemos 
dizer que as idades são: 
a) 9 anos e 36 anos 
b) 8 anos e 32 anos 
c) 8 anos e 37 anos 
d) 6 anos e 39 anos 
 
21. (CFS) Os preços de duas peças 
de fazenda estão entre si como 7 
para 8. Sabendo-se que o triplo do 
preço de uma delas menos o 
dobro do preço da outra vale $ 
50,00, os preços dessas peças 
são: 
a) $ 60,00 e $ 70,00 
b) $ 80,00 e $ 90,00 
c) $ 70,00 e $ 80,00 
d) $ 30,00 e $ 40,00 
e) $ 50,00 e $ 60,00 
 
22. (CFC-2007) Para fazer um 
desenho animado, uma equipe de 
desenhistas usou 
aproximadamente 500 km de folha 
de papel. Sabendo que cada folha 
era
quadrada e tinha 32 cm de 
comprimento, o número de folhas 
utilizadas, aproximadamente, em 
milhão, foi: 
a) 1,8. 
b) 1,6. 
c) 1,2. 
d) 0,9. 
 
23. (CFC-2008) A razão entre os lados 
homólogos de dois triângulos é 
5/2. Se os lados do menor medem 
3 cm, 5 cm e 6 cm, os do maior 
triângulo, em cm, medem : 
a) 7,5; 12,5 e 15. 
b) 7,5; 10 e 12. 
c) 7; 12 e 15,5. 
d) 7; 12,5 e 15. 
 
24. (CFC-2008) Para que os números 
racionais 2y; 7; 4,2 e 3,5 formem 
nessa ordem uma proporção, o 
valor de y deve ser 
a) 4,2. 
b) 3,8. 
c) 3,2 
d) 2,8 
 
25. (CFC-2008) A razão entre o 
complemento e o suplemento de 
um ângulo é 2/7. Esse ângulo 
mede 
a) 28°. 
b) 32°. 
c) 43°. 
d) 54°. 
 
26. (CPTeorema) A razão entre o 
número de vagas para Cabo da 
Aeronáutica 2009 e o número de 
candidatos inscritos na 
especialidade de administração é 
de 2/29 . Sabendo-se que o total 
 30 
de inscritos foi de 493, quantas 
vagas há para o cargo: 
a) 30 
b) 31 
c) 32 
d) 33 
e) 34 
 
27. (CFS) Os números 4, 8, 6 e 11 
formarão, nesta ordem, uma 
proporção, se forem somados a 
um número: 
a) par 
b) ímpar 
c) primo 
d) divisor de 10 
e) múltiplo de 7 
 
28. (CPTeorema) Determine a terceira 
proporcional entre os números 7 e 
21, sendo 21 a média geométrica. 
 
29. Ao longo dos 3.000 km do 
percurso de um rali, um 
competidor usou os quatro pneus 
e mais o estepe de seu carro. Se 
todos os cinco pneus rodaram a 
mesma quilometragem, o número 
de quilômetros que cada um deles 
percorreu foi: 
a)600 
b)750 
c)1.200 
d)1.500 
e) 2.400 
 
30. Uma operadora de telefone celular 
cobra uma tarifa de R$ 0,40 por 
minuto de ligação e uma de 
telefone fixo, R$ 0,16 pelo pulso 
de 4 minutos. Comparando-se os 
dois valores, conclui- se que a 
razão entre a tarifa do celular e a 
do fixo é: 
a)8 
b)10 
c)15 
d) 29 
 
31. O produto de três números é 648. 
Sendo esses números 
proporcionais a 2, 3 e 4, sua soma 
é igual a: 
a)30 
b)27 
c)18 
d) 9 
 
32. Um determinado trabalho é feito 
por João em 9 dias, por José em 
12 e por Pedro em 18. O número 
de dias que os três juntos 
gastariam para executar esse 
trabalho é: 
a)4 
b)6 
c)7 
d) 8 
 
33. Para encher um recipiente de 5 
litros, uma torneira gasta 12 
segundos. Uma segunda torneira 
gasta 18 segundos para encher o 
mesmo recipiente. Nestas 
condições, para encher um tanque 
de 1000 litros, usando as duas 
torneiras ao mesmo tempo, serão 
necessários: 
 
a)20minutos. 
b)24minutos. 
c)33minutos. 
d)50minutos. 
e) 83 minutos. 
 
34. Roberto é arquiteto recém-
formado e trabalha no 
Departamento de Obras e Projetos 
de uma Prefeitura. Ele construiu 
uma maquete de uma praça da 
cidade na escala 1:20. Um 
sobrado de 7 m de altura, 
representado na maquete é em 
cm: 
a)350 
b)200 
c)35 
d)20 
e) 0,20 
 31 
 
35. Se 6 litros de suco forem 
misturados com água, na 
proporção de duas partes de suco 
para quatro de água, a quantidade 
de refresco obtida, em litros, será 
igual a: 
a)18 
b)24 
c)30 
d) 36 
 
36. Uma verba de R$ 2.700.000,00 
deve ser dividida entre os 
municípios A, B e C em partes 
proporcionais ao número de 
matrículas no Ensino Fundamental 
de cada um deles. O número de 
alunos matriculados de A é o 
dobro do número de alunos 
matriculados de B que, por sua 
vez, tem o triplo do número de 
matrículas de C. Com base 
nessas informações, pode-se 
afirmar que o município A deverá 
receber, em milhares de reais, 
uma quantia igual a: 
a)270 
b)810 
c)1270 
d) 1620 
 
37. O proprietário de um carro 
bicombustível verificou que 
percorria a mesma distância 
gastando 60 litros de álcool ou 42 
litros de gasolina. Concluiu, então, 
que só seria vantajoso abastecer o 
veículo com gasolina quando a 
razão entre o preço do litro do 
álcool e o preço do litro da 
gasolina fosse: 
a)menor que 0,4. 
b)maior que 0,4 e menor que 0,5. 
c)maior que 0,5 e menor que 0,6. 
d)maior que 0,6 e menor que 0,7. 
e) maior que 0,7. 
 
38. (CFO-93) Se uma vela de 36 cm de 
altura, diminui 1,8 mm por minuto, 
quanto tempo levará para se consumir? 
a) 2 horas b) 3 horas c) 2h 36 min 
d) 3h 20 min e) 3h 18min 
39. (SESD-94) 30 operários deveriam 
fazer um serviço em 40 dias. 13 dias 
após o início das obras, 15 operários 
deixaram o serviço. Em quantos dias 
ficará pronto o restante da obra? 
a) 53 b) 54 
c) 56 d) 58 
 40. (FESP-96) Doze operários, em 90 
dias, trabalhando 8 horas por dia, 
fazem 36m de certo tecido. Podemos 
afirmar que, para fazer 12m do mesmo 
tecido, com o dobro da largura, 15 
operários, trabalhando 6 horas por dia 
levarão: 
a) 90 dias b) 80 dias c) 12 dias 
d) 36 dias e) 64 dias 
 41. (Colégio Naval) Vinte operários 
constróem um muro em 45 dias, 
trabalhando 6 horas por dia. Quantos 
operários serão necessários para 
construir a terça parte desse muro em 
15 dias, trabalhando 8 horas por dia? 
a) 10 b) 20 c) 15 
c) 30 e) 6 
 
 42. (EPCAr) Um trem com a 
velocidade de 45km/h, percorre certa 
distância em três horas e meia. Nas 
mesmas condições e com a velocidade 
de 60km/h, quanto tempo gastará para 
percorrer a mesma distância? 
a) 
2h30min18s 
b) 2h37min8s 
c) 
2h37min30s 
 32 
d) 
2h30min30s 
e) 
2h29min28s 
 
 
 43. (ETFPE-91) Se 8 homens levam 
12 dias montando 16 máquinas, então, 
nas mesmas condições, 15 homens 
montam 50 máquinas em: 
a) 18 dias b) 3 dias c) 20 dias 
d) 6 dias e) 16 dias 
 
 44. (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 
barracões em 30 dias, trabalhando 6 
horas por dia. O número de horas por 
dia, que deverão trabalhar 18 pedreiros 
para fazerem 10 barracões em 20 dias 
é: 
a) 8 b) 9 c) 10 
d) 12 e) 15 
 45. (UFMG) Ao reformar-se o assoalho 
de uma sala, suas 49 tábuas corridas 
foram substituídas por tacos. As tábuas 
medem 3 m de comprimento por 15 cm 
de largura e os tacos 20 cm por 7,5 cm. 
O número de tacos necessários para 
essa substituição foi: 
a) 1.029 b) 1.050 c) 1.470 
d) 1.500 e) 1.874 
 46. (UFMG) Um relógio atrasa 1 min e 
15 seg a cada hora. No final de um dia 
ele atrasará: 
a) 24 min b) 30 min c) 32 min 
d) 36 min e) 50 min 
 
Gabarito 
1) B 2) C 3) A 4) D 5) E 6) 
D 7) 21 8) D 9) A 10) B 11) 
30 e 40 12) 2,4 cm 13) D 14) 
2,5 cm 15) 1:500 16) E 17) 
40km 18) 1:400 19) E 20) A 
21) C 22) B 23) A 24) A 25) 
D 26) E 27) A 28) 63 29) E 
30) B 31) B 32) A 33) B 34) 
C 35) A 36) D 37) E 38) D 
39) B 40) E 41) C 42) C 43) C 
44) D 45) C 46) B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
 
 Porcentagem 
 
 
No nosso dia a dia nos deparamos com expressões que refletem acréscimos 
ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 
100 unidades. Veja algumas situações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Razão centesimal ou percentual 
Toda a razão que tem como conseqüente ou denominador o número 100 é 
chamada de razão centesimal ou percentual. Veja abaixo: 
7 16 125 210
, , ,
100 100 100 100
 
Uma razão centesimal também pode ser representada de outras maneiras. 
 
Veja abaixo: 
 
A gasolina teve um aumento de 20%. 
Significa que em cada R$1,00 houve 
um acréscimo de R$20,00. 
 
O cliente recebeu um desconto de 
10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$1,00 foi 
dado um desconto de R$10,00. 
 
 
Os óleos parafínicos são os que 
apresentam um teor de resinas e 
asfaltenos entre 5 e 15 %.
Ou seja, 
em cada 1 ml de óleo há entre 5 e 
15 de resina e asfaltenos. 
 35 
 
Os resultados 7%, 16% e 125% foram obtidos através da divisão dos 
numeradores pelos denominadores. 
As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas 
percentuais. 
 
 
 
Considere o seguinte problema: 
Os óleos parafínicos são excelentes para a produção de querosene de aviação 
(QAV), diesel, lubrificantes e parafinas. Apresentam um teor de resinas e 
asfaltenos1 entre 5 e 15 % em cada litro. Em um recipiente de 20 litros, qual o 
valor estimado para 12% de resinas presentes na mistura? 
Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (12%) sobre 
a quantidade de óleo do recipiente. 
 
 
 
Portanto, em 20 litros de óleo há 2,4 de resinas, que representam a 
porcentagem procurada. 
 Logo, porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um 
determinado valor. 
 Exemplos: 
• Calcular 10% de 300. 
 
 
 
 
 
1
 Os asfaltenos são produtos oriundos do petróleo que apresentam estruturas moleculares complexas que 
tendem a formar agregados que floculam e precipitam de acordo com as condições físico-químicas do 
meio que se encontram. 
Você sabe resolver 
problemas com 
porcentagem? Vamos ver 
alguns? 
 
litros
12 2412 2412 2412 2412% de 20 = . 20 = = 2,412% de 20 = . 20 = = 2,412% de 20 = . 20 = = 2,412% de 20 = . 20 = = 2,4100 10100 10100 10100 10
 
 
1010% 300 . 300 30
100
de = =
 
 36 
 
• Calcular 25% de 200 kg. 
 
 
 
• Calcular 5% de 3
4
 
 
 
 
• Quantos por cento 35 representa de 700? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de resoluções de problemas: 
 
1. Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, 
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador 
fez? 
SOLUÇÃO: 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 
2. Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por 
R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? 
SOLUÇÃO: 
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou 
em relação a esses R$250,00, resulte-nos R$300,00. 
3 5 3 15 35 % de = . = = = 0, 0375
4 100 4 400 80
 
2525% 200 . 200 25. 2 50
100
de = = =
35 é x% de 700. Mas quanto é x? Precisamos encontrar 
uma fração equivalente a 
35
700
 cujo denominador seja 
100. Para isso, basta dividir ambos os termos da fração 
acima por 7. Ou seja, 35 : 7 5 5%
700 : 7 100
= =
 
 37 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
3) No almoxarifado de uma loja de calçados, 32% do estoque são de sapatos 
infantil. Os outros 1700 pares restantes, são sandálias de adulto.Quantos 
calçados há no almoxarifado dessa loja. 
SOLUÇÃO: 
O total de calçados corresponde a 100%, ou seja, 32% infantil e x% adulto. 
Assim, 100% - 32% = 68%. Portanto, os 1700 pares de calçados correspondem a 68% do total. 
Logo, aplicando os conhecimentos de regra de três simples, temos: 
1700 68% 
Y 100% 
 Y = 
1700 .100 2500
68
= 
2500 pares de calçados 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: 
 Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
Um outro exemplo é quando, 
há um acréscimo de 10% a 
ser dado em um determinado 
valor. Nesse caso, podemos 
calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 
1,10, que é o fator de 
multiplicação. Se o acréscimo 
for de 20%, multiplicamos por 
1,20, e assim por diante. Veja 
a tabela 
 
 38 
 Veja a tabela 
 
 
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00 
 
 
 Resolução de problemas 
 
1. Quanto é 30% de R$ 420,00? 
 
 2. Na lanchonete, um sanduíche que 
custava R$ 2,80 teve seu preço 
aumentado em 25%. Esse sanduíche 
passou a custar: 
 
3. Sabendo que 104 alunos de uma 
escola correspondem a 20% do total, 
Quantos alunos têm a escola? 
4. 121 é quanto por cento de 550? 
 
5. Numa eleição com 2 candidatos, 
votaram 3850 eleitores. O candidato A 
obteve 1032 votos e B obteve 2048 
votos. Qual foi a porcentagem de votos 
nulos ou em branco? 
 
6. O cafezinho vendido na rede Café 
Expresso aumentou de R$ 1,60 para 
R$ 1,70. Esse aumento, em termos 
percentuais, foi de aproximadamente: 
 
7. Se 35% de todo o meu dinheiro 
correspondem a R$ 105, quanto 
possuo no total? 
 
8. O preço de um artigo em promoção 
sofreu um desconto de 20%. 
Terminada a promoção, foi aumentado 
em 20%. Seu preço atual é: 
A) igual ao inicial 
B) 98% do inicial 
C) 96% do inicial 
D) 92% do inicial 
E) 90% do inicial 
 
9. Assinale a sentença verdadeira: 
A) 6% = 0,6 
B) 13% = 1,3 
C) 140% = 1,4 
D) 20,5% = 0,0205 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 39 
 
10. Uma TV LCD foi comprada por R$ 
6.000,00 e vendida meses depois por 
R$ 5.160,00. Determine a porcentagem 
de prejuízo nessa venda. 
 
11. Em um concurso havia 15000 
homens e 10000 mulheres. Sabe-se 
que 55% dos homens e 60% das 
mulheres foram aprovados. Do total de 
candidatos, quanto por cento foram 
reprovados? 
12. Qual o valor de uma fatura pela 
qual se pagou R$ 1.900,00, sabendo-
se que o vendedor concordou em fazer 
um abatimento de 5%? 
13. ( Cesgranrio/BB – 1999) Um 
automóvel foi comprado por R$ 
20.000,00 e sofreu desvalorização de 
20% ao ano. O seu valor, em reais, 
após 3 anos será: 
A) R$ 10.240,00 
B) R$ 8.192,00 
C) R$ 6.553,60 
D) R$ 5.242,88 
E) R$ 4.194,30 
14. Rosane digitou 
1
5
das páginas de 
um material para estudos e Dilcléia 
digitou 
1
4
do número de páginas 
restantes. A porcentagem de X páginas 
que deixaram de ser digitadas é de : 
A) 20% 
B) 25% 
C) 45% 
D) 50% 
E) 60% 
 
Gabarito 
1 126 8 C 
2 R$3,50 9 C 
3 520 10 14% 
4 22% 11 42% 
5 20% 12 R$2000 
6 6,25% 13 A 
7 300 14 E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
 Juros simples e compostos 
 
JUROS SIMPLES 
 
 O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas 
sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão 
novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial 
emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. O regime de Juros 
Simples é aquele no qual os juros sempre incidem sobre o capital inicial. 
Atualmente as transações comerciais não utilizam dos juros simples e sim o 
regime de juros compostos. 
A fórmula utilizada para o cálculo dos juros simples é: 
 
 
 
Sendo que: 
J = juros c = capital i = taxa de juros t =número de 
períodos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J = c . i . t 
 
ATENÇÃO: a taxa deve ser sempre 
compatível com a unidade de tempo 
considerada. Por exemplo, se a taxa for 
de 4%a.m., para um prazo de 60 dias 
adotaremos t = 2 (2 meses). 
 
 41 
 Exemplos: 
1- Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. 
pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que 
pagarei serão: 
 C = R$1.000,00 J = c . i . t 
 i = 8% a m = 0,08 → J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
 t = 2 m J =
R$ 160,00 
2- Qual é o capital que rende R$ 6.270,00 de juros, à taxa de 55% ao ano, 
durante 3 anos? 
C = ? J = c . i . t 
J = 6.270 6.270 = C . 0,55 . 3 
i = 55% a.a = 0,55 → 1,65 c = 6.270 
t = 3 anos C = 
6.270
1,65
 = 3.800 
 C = R$ 3.800 ,00 
 
 Portanto, em 3 anos o capital de R$ 3.800,00 rende de juros R$ 6.270,00. 
 
3- Qual o tempo necessário para que o juro simples seja de 12
5
de um capital 
aplicado a uma taxa de 20% ao mês? 
DICA Atribui-se ao juro o valor 12 e ao capital o valor 5. 
J = c. i . t 
2012 = 5 . .
100
10012
100
12
t
t
t meses
=
=
 
 
4- Um comerciante contraiu de um amigo um empréstimo de R$ 600,00, 
comprometendo a pagar a dívida em 3 meses, à taxa de juros simples de 
5% ao mês (a.m). Quanto ele pagará de juros? 
Para calcularmos os juros a serem pagos, fazemos: 
1º) Em um mês, os juros são de: 
5% de 600,00 = 0,05 x 600 = 30,00 
 
 
 42 
2º) Como o prazo é de 3 meses o comerciante deverá pagar: 
J = 3 x 30,00 = 90,00 
 
Assim ao final dos 3 meses o comerciante deverá pagar: 
600,00 + 90,00 = 690,00 
 
O valor total a ser pago (R$ 690,00) é chamado de montante. 
Ao somarmos os juros ao valor principal (capital) temos o MONTANTE. 
 
 
 
MONTANTE = CAPITAL + (capital x taxa de juros x tempo) 
 
 M = C + J 
 
 
 
5- Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% 
a.a. durante 145 dias. 
SOLUÇÃO: 
Devemos expressar a taxa i e o período t na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Dividimos 
145 dias por 360 dias, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 
360 dias. 
M = C . ( 1 + i. t ) 
 
 M = 70.000 (1 + 
10,5 145
.
100 360
) = 70.000. ( 1 + 
105 145
.
1000 360
) 
M = 70.000. ( 1 + 
15.225
360.000
) = 70.000 . (
360.000 15.225
360.000 360.000
+ ) = 
M = 70.000 . 
375.225
360.000
 = 7 . 
375.225
36
 
M= 
2.626.575
36
 = 72.960,42 
M = R$ 72.960,42 
 
 
MONTANTE = CAPITAL + JUROS 
 
M = C. ( 1 + i .t) 
 43 
 
 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 
36% a.a., durante 125 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 
de juros simples em 75 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.(dia) 
Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, 
dias, poderemos calcular diretamente: 
J = c.i.t 
J = 40.000 . 0,001.125 = 5.000,00 
J = R$ 5.000,00 
SOLUÇÃO: 
Observe que expressamos a taxa i e o período t em relação à mesma unidade de tempo, 
ou seja, meses. 
Sabemos que: J = c.i.t ou seja: 3.500 = c . (1,2/100).(75/30) 
3.500 = c. 0,012 . 2,5 � 3.500 = 0,03 c � c = 
3.500
0,03
 = R$ 116.666,67 
 
 44 
3 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão 
necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4- Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que 
rendesse $1.725,00 de juros, sabendo-se que a taxa de juros de 
mercado é de 4,5% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
O objetivo é dobrar o capital, então: M = 2.C 
i = 150/100 = 1,5 a.a 
M = c. (1 + i.t) 
2c = c. (1 + 1,5.t) 
2 = 1 + 1,5 t 
 t = 
1
1,5
= 
10 2 0,6666...
15 3
= = ano 
t = 0,6666 . 12 meses = 8 meses 
 
t = 8 meses 
 
SOLUÇÃO: 
J = C.i.t 
 
1.725 = 11.500. (4,5/100).t 
1.725 = 11.500 . 0,045.t 
t = 1.725
512,5
 = 3,36 
t = 3,36 meses = 3 meses + 0,6 de um mês = 3 meses + 3/5 de um mês 
t = 3 meses e 18 3 meses e 18 3 meses e 18 3 meses e 18 dias dias dias dias 
 
 45 
 JUROS COMPOSTOS 
 
 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e 
portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados 
a cada período são incorporados ao principal (capital) para o cálculo dos juros 
do período seguinte. Da capitalização simples, já sabemos que o rendimento 
se dá de forma proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No 
regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma 
exponencial. Os juros do período, são calculados com base num capital, 
formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período 
seguinte. 
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação 
rende juros. 
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros 
capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma 
capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a 
capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente. 
 
 
 
VEJA O EXEMPLO ABAIXO: 
 
Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, 
contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a 
aplicação inicial vai render 5 vezes. 
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos: 
 
1º período: 
 
% R$ 
100 1.000 
102 M 
M = R$ 1.020,00 
(nova base de cálculo para 
o período seguinte) 
 
PERÍODOS CAPITAL MONTANTE 
2º R$ 1.020,00 ⋅ 1,02 = R$ 1.040,40 
3º: R$ 1.040,40 ⋅ 1,02 = R$ 1.061,21 
4º R$ 1.061,21 ⋅ 1,02 = R$ 1.082,43 
5º R$ 1.082,43 ⋅ 1,02 = R$ 1.104,08 
 
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. 
 
 46 
No cálculo, fizemos o seguinte: 
R$ 1.000 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 ⋅ 1,02 
= R$ 1.000 ⋅ (1,02)5 
= R$ 1.000 ⋅ 1,10408 
= R$ 1.104,08 
 
 
 
Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com 
calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras. 
 
O cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na 
qual M é o montante, C o capital, i é a taxa de juros e t é a quantidade de 
capitalizações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando o cálculo composto com o cálculo simples, observe: 
 
 
CAPITAL JUROS SIMPLES MONTANTE 
R$1.000,00⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.020,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.040,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.060,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.080,00 
R$1.000,00 ⋅ 0,02 R$ 20,00 M = R$ 1.100,00 
 
Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00. 
 
Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros 
compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o 
rendimento composto passa a superar o simples. 
M = C . (1 + i)t 
 47 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1- Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros 
compostos, durante 1 ano, à taxa de 4% ao mês. 
SOLUÇÃO: 
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 
capitalizações. 
C = R$ 6.000,00 
i = 4% = 0,04 
t = 12 
 Usando a fórmula M = C.(1+i)t, obtemos: 
A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 
capitalizações. 
 
M = 600 ⋅ (1 + 0,04)12 ⇒ M = 600 ⋅ (1,04)12 
 M = 600 ⋅ 1,60103 
M = R$ 960,62
2- O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. 
Qual o valor dos juros compostos produzidos? 
 
SOLUÇÃO: 
C = R$ 500 
i = 5% = 0,05 
n = 8 (as capitalizações são mensais) 
M = C ⋅ (1 + i)t ⇒ M = 500 ⋅ (1,05)8 ⇒ M = R$ 738,73 
 
O valor dos juros será: J = M - C 
J = 738,73 – 500 
J = R$ 238,73 
 
 
 
 
 
LEMBRE que a taxa i 
tem que ser expressa na 
mesma medida de tempo 
t, ou seja, taxa de juros 
ao mês para t meses. 
Para calcularmos 
apenas os juros basta 
diminuir o principal do 
montante ao final do 
período: 
 J = M - C 
 48 
3- Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de 
juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62? 
 
SOLUÇÃO: 
M = R$ 477,62 
i = 3% = 0,03 
n = 6 (as capitalizações são trimestrais) 
M = C ⋅ (1 + i)t 
477,62 = C ⋅ (1,03)6 
C = 19405,1
62,477
 
C = R$ 400,00 
 
4- Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros compostos de 28% ao ano 
capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 12 meses, o 
montante será de quanto? 
SOLUÇÃO: 
Capitalizar significa render juros, portanto, quando se afirma que determinado capital está sujeito 
à capitalização anual, por causa da convenção de juros postecipados (considera-se que a 
formação dos juros é apenas ao final do prazo a que a taxa se refere), no caso, ao final do ano. 
Se a capitalização é semestral – o capital rende juros ao final do semestre. 
Se a capitalização é mensal – o capital rende juros ao final do mês. 
 
Para calcular o montante a juros compostos usamos a seguinte fórmula: 
M = C (1 + i)t 
Onde: M = montante; C = capital; i = taxa de juros e t = prazo. 
Lembrando que a taxa de juros e o prazo devem se referir ao mesmo período de tempo. 
Substituindo teremos: M = 200 (1+0,07)t 
Observe que o prazo t = 12 meses e a taxa de juros é trimestral. Como ambos devem se referir 
ao mesmo período, temos que fazer ambos se referirem a mês ou a trimestre. Vamos 
considerar o período trimestral. 
 
 
 
 49 
Período trimestral 
Neste caso, fazendo uma regra de três simples tem-se: 
12 meses __________ t trimestres 
3 meses __________ 1 trimestre 
logo t = 4 trimestres. Assim, temos que : 
M = 2.000 (1+0,07)4 = R$ 2.621,60 � M = R$ 2.621,60 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução de Problemas 
 
1. Qual o montante acumulado a partir 
da aplicação de R$2.895,00 a 3,5% 
ao mês durante 3 anos e meio? 
 
 
2. Investindo-se mensalmente 
$150,00 durante 6 anos e um 
trimestre, a 6% ao mês, qual o 
valor acumulado ao final do 
período? 
 
 
3. Um capital de R$ 20.000,00 foi 
investido num regime de juros 
compostos, durante 18 meses, 
numa aplicação que rende 2% ao 
mês. Calcule o montante no final 
do período. 
 
 
4. Qual o capital que precisa ser 
investido durante 5 anos, à uma 
taxa de juros compostos de 10% ao 
ano, para se obter um montante de 
R$ 1.0000,00 ao final do período? 
5. Quanto deveremos depositar 
trimestralmente numa conta que 
rende 6% ao trimestre, para termos 
R$ 2.2800,00 ao final de 105 
meses? 
 
6. Uma dívida de R$ 1.000,00 deve 
ser quitada em 12 parcelas 
mensais, à taxa de juros de 3% ao 
mês. Determine o valor de cada 
prestação. 
 
7. Investindo-se mensalmente R$ 
150,00 durante 6 anos e um 
trimestre, a 6% ao mês, qual o 
valor acumulado ao final desse 
período? 
Resposta: 
 
 
Agora é com 
você!! 
 50 
8. (FCC/CEF/1998) Um capital de R$ 
2.500,00 esteve aplicado à taxa 
mensal de 2%, num regime de 
capitalização composta. Após um 
período de 2 meses, os juros 
resultantes dessa aplicação serão 
de: 
R$ 98,00 
R$ 101,00 
R$ 110,00 
R$ 114,00 
R$ 121,00 
 
 
9. (CESGRANRIO/PETROBRÁS/199
9)Desconsiderando-se os aspectos 
tributários, uma aplicação 
financeira de R$ 100.000,00, com 
rendimento mensal contratado de 
2% ao mês, no sistema de juros 
compostos com capitalização 
mensal, terá, depois de três meses, 
o valor final para resgate igual a: 
R$ 104.040,00 
R$ 106.000,00 
R$ 106.120,80 
 R$ 108.000,00 
R$ 108.243,22 
 
10. Um capital C aplicado a juros 
compostos à taxa de 5% ao mês 
durante 3 meses resultou um 
montante de R$ 9.261,00. Encontre 
o valor desse capital. 
R$ 8.000,00 
R$ 5.500,00 
R$ 6.000,00 
R$ 7.000,00 
R$ 8.360,00 
11. João tomou emprestado 
R$20.000,00 de Carlos para pagá-
lo após 2 anos. A taxa acertada de 
juros simples foi de 30% a.a. . 
Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 
meses antes do vencimento da 
dívida, João quisesse resgatá-la e 
se nesta época o dinheiro valesse 
25% a.a. ? 
 
12. Determinar o montante 
correspondente a uma aplicação de 
R$ 450.000,00 por 225 dias, à taxa 
de 5,6% ao mês (5,6% a.m.). 
 
13. Determinar o capital necessário 
para produzir um montante de R$ 
798.000,00 no final de um ano e 
meio, aplicado a uma taxa de 15% 
ao trimestre (15% a.t.). 
 
 
14. Obteve-se um empréstimo de R$ 
10.000,00, para ser liquidado por 
R$ 14.675,00 no final de 8 meses e 
meio. Qual a taxa de juros anual 
cobrada nessa operação? 
 
15. Um capital C foi aplicado a juros 
simples de 15% ao bimestre (15% 
a.b.), por um prazo de 5 meses e 
13 dias e, após este período, o 
investidor recebeu R$ 10.280,38. 
Qual o valor C do capital aplicado? 
 
16. Um capital de R$ 5.380,00 aplicado 
por 3 meses e 18 dias, rendeu R$ 
1.839,96 de juros simples ao final 
do período. Qual a taxa mensal de 
juros simples? 
 
 51 
17. Que capital aplicado a 3% ao 
bimestre (3% a.b.), por um prazo 
de 75 dias, proporcionou um 
montante de R$ 650.000,00? 
 
18. A que taxa mensal o capital de R$ 
38.000,00 produzirá o montante de 
R$ 70.300,00 em 10 anos? 
 
19. Por quanto tempo um capital de R$ 
11.500,00 foi aplicado para que 
rendesse R$ 1.725,00 de juros, 
sabendo-se que a taxa de juros de 
mercado é de 4,5% a.m.? 
 
20. Um empréstimo de R$ 8.000,00 
rendeu juros de R$ 2.520,00 ao 
final de 7 meses. Qual a taxa de 
juros do empréstimo? 
 
Gabarito 
1) R$ 1.2277,70 
2) R$1.98200,00 
3) R$ 2.8564,92 
4) R$ 6.209,21 
5) R$ 203,00 
6) R$ 100,50 
7) R$1.98200,00 
8) B 
9) C 
10) A 
11) R$ 28.444,44 
12) R$ 639.000,00 
13) 420.000,00 
14) 66% a.a 
15) R$ 7.304,00 
16) 9,5% a.m 
17) 626.506,02 
18) 8,5% a.a 
19) 3 meses e 10 dias 
20) 4,5% a.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 52 
 Descontos 
 
Operação de Desconto: o que é? 
 
 
 
 
 
 
 
É esta a nossa situação: aqui nós pretendemos saber o quanto representa hoje 
um valor que era devido numa data futura. Em outras palavras, queremos 
agora “retroceder” no tempo com determinado valor monetário, e descobrir o 
quanto este valerá no dia de hoje, ou numa 
outra data anterior àquela do seu vencimento. 
 Observemos que, como estamos “retrocedendo” no tempo, ou seja, como 
estamos recuando na linha do tempo, o valor de “desconhecido” será, 
necessariamente, um valor menor do que R$5.000,00. 
 
 
 
 
 
 
 Em suma, Desconto é apenas isso: transportar um valor monetário de uma 
data futura para uma data anterior. 
 
Elementos de uma Operação de Desconto: 
� Valor Nominal (N): 
Significa o nosso valor monetário, devido numa data futura. Normalmente, o 
valor nominal figura nas questões como sendo uma obrigação (uma dívida, ou 
coisa parecida) que tem que ser paga numa data posterior à de hoje. 
 
 
 
“Suponhamos que eu tenho uma 
dívida, no valor de R$ 5.000,00, 
que tem que ser paga daqui a três 
meses, mas pretendo antecipar o 
pagamento dessa dívida e pagá-la 
hoje.” 
 
Porque
estará sofrendo 
uma operação 
financeira a qual 
chamaremos de 
DESCONTO. 
E por que o valor 
desconhecido (x) 
será um valor 
menor que o da 
dívida? 
 
 53 
 
� Valor Atual (A): 
Também chamado de “Valor Líquido” ou “Valor Descontado”. Significa o quanto 
representa o Valor Nominal, quando “projetado”para uma data anterior! É o 
quanto pagaremos hoje por aquele nosso título! Por isso recebe esse nome de 
Valor Atual. Porque atual é hoje! 
 
 
 
. 
 
� Desconto (d): 
Se eu devia uma quantia qualquer, a ser paga numa data futura, e resolvo 
antecipar o pagamento desse valor, já sei que irei pagar hoje um valor menor 
do que o que era devido. 
Essa diferença entre o valor que era devido no futuro e o valor menor que 
pagarei hoje (em função da antecipação do pagamento) é exatamente o que 
chamaremos de Desconto. 
 
 
Utilizaremos a fórmula: 
 
Outras formas que a equação acima pode assumir são as seguintes: 
 
 e 
 
 
 
� Tempo de Antecipação (t): 
Sabemos que na operação de desconto estamos na verdade “projetando” um 
valor monetário para uma data anterior. Então, “t”será, numa questão de 
desconto, a distância de tempo entre o Valor Nominal e o Valor Atual. Se o 
Valor Nominal representar uma dívida que seria paga numa data futura, e 
pretendemos pagá-la hoje, então “t” será o “tempo de 
antecipação” do pagamento daquela obrigação. 
Simplesmente isso! 
 
 
� Taxa (i): 
Este elemento já é nosso velho conhecido. É ela, a Taxa, a responsável por 
realizar a “mágica” da Matemática Financeira. É ela quem faz com que os 
valores monetários nunca fiquem parados com o transcorrer do tempo! E é 
também ela que faz com que uma quantia vencível (devida) 
numa data futura diminua de valor, caso venha a ser projetada para uma data 
anterior. 
Da mesma forma que vimos no assunto de Juros, também aqui no Desconto 
teremos taxas no Regime Simples. 
d = N – A 
N = d + A A = N – d 
O Valor Atual será necessariamente menor que o Valor 
Nominal, uma vez que, na linha do tempo, está sempre 
numa data anterior. 
 54 
Daí, continua valendo aquela nossa primeira preocupação: descobrir em qual 
dos regimes (simples ou composto) estamos trabalhando nossa operação de 
desconto! 
 
� Se a taxa é simples, estaremos numa questão de Desconto Simples. 
� Se é composta, estaremos numa questão de Desconto Composto, 
caso este, que não veremos nesse curso. 
 
Quando se lê uma questão de desconto, antes de iniciarmos a sua resolução, 
temos, impreterivelmente, que descobrir duas coisas: 
 
� Qual o regime desta operação de desconto? Simples ou Composto? Ou 
seja, estamos numa questão de Desconto Simples ou de Desconto 
Composto( não veremos esse caso)? 
 
� Qual o tipo, ou seja, qual a modalidade desta operação de desconto? É 
o Desconto por Dentro, ou o Desconto por Fora? 
Somente após respondidas estas duas perguntas, é que estaremos aptos a 
iniciar a resolução da questão. Nunca antes! 
 
Aprenderemos a identificar e a resolver as questões de Desconto Simples, 
nas duas modalidades (por dentro e por fora). 
 
 
 
 
 Sabemos que o Valor Atual é sinônimo de Valor Líquido. E o líquido fica 
onde? Fica 
dentro da garrafa. Logo, o líquido fica dentro! E líquido é o Atual. 
E o nome da garrafa, fica onde? Por fora! Assim, por fora é o Valor Nominal. 
 
 
Veja o resumo no esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO POR DENTRO OU RACIONAL ���� 100% É O VALOR LÍQUIDO 
DESCONTO POR FORA OU COMERCIAL ���� 100% É O VALOR NOMINAL 
Uma forma de 
memorizar isso é 
pensando numa garrafa 
 55 
� O Desconto Comercial [ Dc ], bancário ou por fora, o equivalente a 
juros simples, produzido pelo valor nominal [N] do título no período de 
tempo correspondente e a taxa fixada é: 
 
 
 
 
 
Onde: Dc = Desconto comercial; N = valor nominal; i = Taxa de desconto [i ÷ 
100], t = prazo. 
 
 
� Desconto Racional [Dr] ou por dentro, é o equivalente a juros simples, 
produzido pelo valor atual do título numa taxa fixada e durante o tempo 
correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1. Um título no valor de R$ 14.000,00 foi descontado num banco 3 meses antes 
do vencimento, 
a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. 
a) Calcule o desconto; 
b) Calcule o valor líquido recebido pelo empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dc = N . i . t 
1.L.W1.L.W1.L.W1.L.W'U ��= ��'U ��= ��'U ��= ��'U ��= ��1���� ��L.W1���� ��L.W1���� ��L.W1���� ��L.W
 
SOLUÇÃO: a) Dc = N. i. t 
 A = N - d 
 Dc = 14.000 . [(3,5/100) . 3] b) Ac = N - dc 
N: 14.000 Dc = 14.000 . [0,035 . 3] Ac = 14000 - 1470 
i: 3,5% a.m. Dc = 14.000 . 0,105 Ac = 12.530,00 
t: 3 meses. Dc = 1.470,00 
 
 56 
2. Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a R$ 
90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 
30% a.a.. 
a) Qual o desconto comercial; 
b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma duplicata de valor nominal igual a R$ 8.000,00, foi descontada num 
banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 
2,50% a.m.. 
a) Qual o desconto comercial; 
b) Calcule o valor líquido recebido pela empresa. [Valor Atual – VA] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A = N - d 
SOLUÇÃO: 
Dc = N. i. t Dc = 90.000 x {[(30/100)/360] x 40} Ac = N - dc 
N: 90.000 Dc = 90.000 x {[0,30/360] x 40} Ac = 90000 - 3000 
i: 30% a.a. Dc = 90.000 x 0,000833333 x 40 Ac = 87.000,00 
t: 40 dias. Dc = 90.000 x 0,033333333 
 Dc = 3.000,00 
 
 
SOLUÇÃO: A = N - d 
Dc = N. i. t Dc = 8000 x [(2,50/100) x 2] b) Ac = N - dc 
N: 8000 Dc = 8000 x [0,025 x 2} Ac = 8000 - 400 
i: 2,5% a.a. Dc = 8000 x 0,05 Ac = 7.600,00 
t: 2 meses. Dc = 400,00 
 
 
 57 
4. Uma dívida de R$ 13.500,00, será saldada 3 meses antes do seu 
vencimento. Que desconto racional será obtido, se a taxa de juros que reza 
no contrato é de 30% a.a.? 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolução de problemas: 
 
 
1- Determinar o desconto racional em cada 
uma das hipóteses abaixo, adotando-se o 
ano comercial. 
 Valor Nominal 
Taxa de Juros 
Prazo de Antecipação 
a) R$ 12.000,00 
 
27,30% a.a. 
7 meses 
b) R$ 4.200,00 
 
18,0% a.a. 
120 dias 
c) R$ 7.400,00 
 
33,0% a.a. 
34 dias 
d) R $ 3.700,00 
21,0% a.a. 
5 meses e 20 dias 
 
RESPOSTAS: 
a) Dr = 1.648,48 
b) Dr = 237, 74 
c) Dr = 223,66 
d) Dr = 333,81 
 
2- Considere um título cujo valor nominal 
seja $10.000,00. Calcule o desconto 
racional a ser concedido para um resgate 
do título 3 meses antes da data de 
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% 
a.m. R. R$1304,35 
 
 
 
 SOLUÇÃO: N: 13.500 t: 3 meses i: 30% a.a. Dr = ? 
 
 
1 L Q 1 � � 0 0 � [ � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ �� @1 L Q 1 � � 0 0 � [ � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ �� @1 L Q 1 � � 0 0 � [ � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ �� @1 L Q 1 � � 0 0 � [ � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ �� @' U = �' U = �' U = �' U = � ය � �' U = �ය � �' U = �ය � �' U = �ය � �' U = ��1
� L Q � �1 � � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ � � @�1 � L Q � �1 � � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ � � @�1 � L Q � �1 � � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ � � @�1 � L Q � �1 � � >? 0 , � 0 � 1 2? � [ � � @����
1 � � 0 0 � [ � > 0 , 0 2 � � [ �� @ 1 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � �1 � � 0 0 � [ � > 0 , 0 2 � � [ �� @ 1 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � �1 � � 0 0 � [ � > 0 , 0 2 � � [ �� @ 1 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � �1 � � 0 0 � [ � > 0 , 0 2 � � [ �� @ 1 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � �' U = � �' U = � �' U = � �' U = � � ൺ � ' U = �ൺ � ' U = �ൺ � ' U = �ൺ � ' U = ��1 � � > 0 , 0 2 � � [ � � @ �1 � �0 , 0 � ��1 � �> 0 , 0 2 � � [ � � @ �1 � �0 , 0 � ��1 � �> 0 , 0 2 � � [ � � @ �1 � �0 , 0 � ��1 � �> 0 , 0 2 � � [ � � @ �1 � �0 , 0 � �
1 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � � 1 0 1 2 , � 01 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � � 1 0 1 2 , � 01 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � � 1 0 1 2 , � 01 � � 0 0 � [ � 0 , 0 � � 1 0 1 2 , � 0' U = � �' U = � �' U = � �' U = � � ൺ �' U = � �ൺ �' U = � �ൺ �' U = � �ൺ �' U = � ��1 � �0 , 0 � � �1 , 0 � ��1 � �0 , 0 � � �1 , 0 � ��1 � �0 , 0 � � �1 , 0 � ��1 � �0 , 0 � � �1 , 0 � �
�' U = � �� 4 1 , � 4 ��' U = � �� 4 1 , � 4 ��' U = � �� 4 1 , � 4 ��' U = � �� 4 1 , � 4 �
 
 
R$ 941,86 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da dívida. 
 
 58 
3- Considere um título cujo valor nominal 
seja $10.000,00. Calcule o desconto 
comercial a ser concedido para um resgate 
do título 3 meses antes da data de 
vencimento, a uma taxa de desconto de 5% 
a.m. R. R$1500,00 
 
4- (Fiscal - MS-2000) Uma empresa 
descontou em um banco uma duplicata de 
R$2.000,00 dois meses e meio antes do 
seu vencimento, a uma taxa de desconto 
comercial de 4% a. m. O valor líquido a 
recebido é de: R. A 
A) R$ 1.800,00 
B) R$ 1.600,00 
C) R$ 1.300,00 
D) R$ 1.200,00 
E) R$ 1.500,00 
 
5- (AFRF - 2003) Um título sofre um 
desconto comercial de R$9810,00 três 
meses antes do seu vencimento a uma taxa 
de desconto simples de 3% ao mês.Indique 
qual seria o desconto à mesma taxa se o 
desconto fosse simples e racional. R. E 
a) R$ 9810,00 
b) R$ 9521,34 
c) R$ 9500,00 
d) R$ 9200,00 
e) R$ 9000,00 
 
6- Um título de R$ 5.000,00 vai ser 
descontado 60 dias antes do vencimento. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% 
a.m. pede-se calcular o desconto comercial 
e o valor descontado. 
Resposta: desconto = R$ 300,00 e valor 
descontado ou valor líquido = R$ 
4.700,00 
7- Determine o valor nominal de um título 
que, descontado comercialmente, 60 dias 
antes do vencimento e à taxa de 12% ao 
mês, resultou um valor descontado de R$ 
608,00. R. R$ 800,00 
8- Qual o prazo de antecipação de um título 
que descontado racionalmente, à taxa de 
juros de 8% a. m. produziu um desconto 
equivalente a 1/6 do seu valor nominal? R. 
2 meses e 15 dias 
9- Calcule o desconto por dentro sofrido por 
uma duplicata de R$ 8.320,00, descontada 
à taxa de 6% a.a., 8 meses antes do seu 
vencimento. R. R$ 320,00 
10- A que taxa anual, um título de R$ 
2.000,00, em 6 meses, dá R$ 400,00 de 
desconto por fora? R. 40% a.a. 
 
 
 
Espaço reservado para observações 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 60 
 Equação do 1º Grau 
 
Forma: ax + b = 0, onde a e b são números reais com a ≠ 0 
 
Importante: 
 
• Quando a equação resultar em 
 
0x = b 
Onde b é um número real, diferente de zero, a equação não tem solução. 
 
• Quando a equação resultar em 
 
0x = 0 
 
Qualquer valor de x real satisfaz a equação. 
 
Contextualizando: Os táxis da cidade onde João Vitor reside, cobram R$ 1,20 
por quilômetro rodado mais R$ 3,50 pela corrida, a conhecida “bandeirada”. 
João Vitor foi de táxi da sua casa até a escola e pagou um total de R$ 8,30. A 
distância que o táxi percorreu de sua casa até a escola foi de: 
 
Formulação Matemática: 1,20 x + 3,50 = 8,30 
 
Exemplos de problemas: 
 
1. A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Qual é o 
produto desses três números. 
 
2. Um reservatório contém combustível até 2/5 de sua capacidade 
total e necessita de 15 litros para atingir 7/10 da mesma. Qual é a 
capacidade total desse reservatório? 
 
3. Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente dividida 
entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, 
recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após 
Ana ter recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que 
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da 
herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de 
ouro que Ana recebeu foi: 
 
4. (EMBRAPA 94) Conta-se que, certa vez, um bêbado entrou em 
uma igreja e prometeu contribuir com R$ 300,00 para os pobres 
se Santo Antônio duplicasse o dinheiro que ele tinha no bolso. O 
milagre aconteceu e o bêbado colocou R$ 300,00 na caixa de 
esmolas. E gostou tanto que prometeu dar mais R$ 300,00 se o 
Santo, outra vez, multiplicasse por dois o dinheiro que ele tinha 
no bolso. Novamente o milagre aconteceu, mas quando o bêbado 
 61 
colocou os R$ 300,00 na caixa de esmolas, percebeu que ficara 
sem dinheiro algum. O dinheiro que o bêbado entrou na igreja foi: 
 
 
5. (TRE 2002 CE) Do total de X funcionários de uma repartição 
pública que fazem a condução de veículos automotivos, sabe-se que 
1/5 efetuam o transporte de materiais e equipamentos e 2/3 do 
número restante, o transporte de pessoas. Se os demais 12 
funcionários estão temporariamente afastados de suas funções, 
então X é igual a. 
a) 90 
b) 75 
c) 60 
d) 50 
e) 45 
 
 
 Equação do 2º Grau 
 
Forma: ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais com a ≠ 0. 
 
Para resolvê-la usaremos a formula de Báskara. 
 
2 20 4
2
b
ax bx c x onde b ac
a
− ± ∆
+ + = ⇒ = ∆ = −
 
Conforme o valor do discriminante ∆ existem três possibilidades quanto á 
natureza da equação dada. 
0
0
0 1
Existem duas raizes reais e desiguais
Existem duas raizes reais eiguais
Existem duas raizes complexas da formaα β
∆ > →
∆ = →
∆ < → ± −
 
Quando ocorre a última possibilidade é costume dizer-se que não existem 
raízes reais, pois, de fato, elas não são reais já que não existe, no conjunto dos 
números reais, a quando a < 0. 
 
 
 
 
 
 
 62 
 
 
Vejamos algumas destas propriedades. 
 
1. Quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número aos dois 
membros de uma igualdade, esta permanece verdadeira. 
 
 
 
Conseqüência. 
Observemos a equação: X + 2 = 3 
Subtraindo 2 nos dois membros da igualdade, temos: 
X + 2 = 3 ⇔ x + 2 – 2 = 3 – 2, assim: 
X+2 = 3 ⇔ x=1 
2. Quando multiplicamos ou dividimos os dois membros de uma igualdade 
por um número diferente de zero, a igualdade permanece verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
Conseqüência. 
Observemos a equação: -2x = 6 
Dividindo por -2 os dois membros da igualdade, temos: 
 
2 62 6
2 2
x
x
−
− = ⇔ =
− −
 , assim: 
 
2 6 3x x− = ⇔ = −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b a c b c
ou
a b a c b c
= ⇔ + = +
= ⇔ − = −
 
a b a c b c
ou
a b
a b
c c
= ⇔ ⋅ = ⋅
= ⇔ =
 
Atenção! 
 
Na resolução das equações podemos nos valer 
de algumas operações e transformá-las em 
equações equivalentes, isto é, que apresentam 
o mesmo conjunto solução no mesmo universo. 
 
 63 
 Resolução de problemas 
 
 
1. As idades de duas 
pessoas há 8 anos estavam na 
razão de 8 para 11; agora 
estão na razão de 4 para 5. 
Qual é a idade da mais velha 
atualmente? 
2. Sabendo-se que o número x 
representa o valor de 2-(-3+5 )-
[-1+ (-3+4 ) -(-2-6), quanto vale: 
 
a. o dobro do número x ? 
b. o quadrado do número 
x? 
 
3. Duas pessoas, A e B, disputam 
100