4 - Variáveis aleatórias

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Variáveis Aleatórias 
Variáveis Aleatórias 
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Introdução 
 Experimento: procedimento que pode ser repetido 
infinitamente, com um conjunto de resultados bem 
definido 
 Variável aleatória: assume valores numéricos e tem 
resultado determinado por um experimento 
 Resultados das variáveis aleatórias X e Y: x e y 
 Variável aleatória que assume os valores 0 e 1: 
binária  X = 1 é o “sucesso” e X=0 é o “insucesso” 
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Introdução 
 Variável aleatória discreta: conjunto de resultados 
finito; observações fornecidas por contagem de 
ocorrências 
 Variável aleatória contínua: conjunto de resultados 
infinitamente divisível, e, portanto não passível de 
contagem 
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Variáveis aleatórias discretas 
 Assumem um número finito de valores 
 Função X, definida no espaço amostral Ω com 
valores num conjunto enumerável de pontos da 
reta 
 A cada valor xi da v.a. X é associada uma 
probabilidade de ocorrência = probabilidade do 
evento A de Ω, cujos elementos correspondem ao 
valor xi 
P(X = xi) = P(A) 
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Variáveis aleatórias discretas 
 Qualquer variável aleatória discreta é descrita 
listando seus possíveis valores e a probabilidade 
associada a cada valor 
 Se X assume k valores possíveis {x1, ..., xk}, as 
probabilidades p1, ..., pk são (para j=1,...,k): 
pj=P(X=xj) 
0 ≤ pj ≤ 1 
p1 + p2 + ... + pk = 1 
Variáveis aleatórias discretas 
 Considere a seguinte situação: 
Quantos “6” se tira ao jogar 2 dados? 
 
 Resultados possíveis: 0, 1 ou 2 
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6 
Variáveis aleatórias discretas 
1º dado 
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2º dado 
1/6 
5/6 
5/6 
“6” 
outro 
5/6 
1/6 
1/6 
outro 
outro 
Variáveis aleatórias discretas 
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 Definamos a v.a. X: número de “6” obtidos nos 
dois lançamentos, temos: 
 
 
 
 
 
p(0) = P(X=0) = 25/36 
p(1) = P(X=1) = 10/36 
p(2) = P(X=2) = 1/36 
 
 
Resultados Probabilidades X 
6-6 1/6 * 1/6 = 1/36 2 
6-Outro 1/6 * 5/6 = 5/36 1 
Outro-6 5/6 * 1/6 = 5/36 1 
Outro-Outro 5/6 * 5/6 = 25/36 0 
Variáveis aleatórias discretas 
 Distribuição de probabilidades da v.a. X: 
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x P(x) 
0 25/36 
1 10/36 
2 1/36 
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Variáveis aleatórias discretas 
 Função de probabilidade da v.a. discreta, que assume 
os valores x1, x2, ..., xn: 
p(xi) = P(X = xi) 
 Função de probabilidade (fp) de X resume as 
informações relativas aos possíveis valores de X e suas 
probabilidades: 
f(xj) = pj 
 Para qualquer número real x, f(x) é a probabilidade que 
a variável aleatória X assume para o valor x 
 
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Variáveis aleatórias discretas 
 Função de distribuição acumulada neste caso é o 
equivalente teórico para aquela definida 
anteriormente de forma empírica para um conjunto 
de n observações 
 Dada a v.a. X, 
F(x) = P(X ≤ x) 
 De modo geral: 
P(X = xj) = F(xj) – F(xj-) 
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Medida de tendência central: 
o valor esperado 
 É um aspecto das distribuições de probabilidade, 
equivalente ao valor médio de uma variável aleatória 
 Se X é uma v.a. discreta, o valor esperado (ou 
esperança) de X, E(X) ou µX = média ponderada de 
todos os possíveis valores de X, onde os pesos são 
determinados pela fdp 
 

 



k
j
k
j
jjjj
k
j
jjkk
pxxXPxXE
xfxxfxxfxxfxXE
1 1
1
2211
)()(
)()(...)()()(
Variáveis aleatórias discretas 
 Distribuição de probabilidades da v.a. X: 
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x P(x) 
0 25/36 
1 10/36 
2 1/36 
E(X) = 0*p(0) + 1*p(1) + 2*p(2) 
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Valor conserto: R$ 2000 
Valor prêmio: R$ 400 
Valor franquia: R$ 200 
 
V.a. X -> gasto com carro sem seguro 
V.a. Y -> gasto com carro com seguro 
Probabilidade bater = ??% 
E(X) = ? 
E(Y) = ? 
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Medida de tendência central: 
o valor esperado 
 Expressão é semelhante à utilizada para a média, 
onde, no lugar das probabilidades pi, estavam as 
frequências relativas fi 
 Distinção entre elas: fi corresponde a valores 
observados da variável e pi a valores de um modelo 
teórico proposto 
 Como ambas têm a mesma interpretação, todas as 
medidas e gráficos vistos, baseados nas distribuições 
de fi possuem um correspondente na distribuição de 
uma v.a. 
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Medida de variabilidade: variância 
 Para uma v.a. X, e µ=E(X), há várias maneiras de 
medir o quanto X está distante de seu valor 
esperado  uma delas é a diferença ao quadrado, 
(X- µ)2 
 Esta distância em si é uma v.a., já que pode mudar 
a cada resultado de X 
 Valor que informa o quanto X está distante de µ, 
em média  variância: valor esperado do 
quadrado da distância de X até sua média 
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Medida de variabilidade: variância 
 
 
 
Var(X)=E[(X-µ)2] = E(X2)-µ2 
 
 Desvio padrão = raiz quadrada da variância 
 


n
j
jj pXExXVar
1
2)()(
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Propriedades das medidas 
1) Se h(x) = aX + b, onde a e b são constantes 
E(aX + b) = aE(X) + b 
Var(aX + b) = a2Var(X) 
2) Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 
 
 Obs.: notações 
E(X) = μ(X) 
Var(X) = σ2(X) 
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Variáveis aleatórias contínuas 
 Variáveis para as quais os possíveis valores pertencem a um 
intervalo de números reais 
 X é contínua se assume qualquer valor real com probabilidade 
zero, porque pode assumir tantos valores possíveis que não 
podemos enumerá-los 
 Função de densidade de probabilidade (f(X)): para calcular 
eventos envolvendo uma diversidade de valores, já que não faz 
sentido discutir a probabilidade de que a v.a. contínua assuma um 
valor específico  P(a≤X≤b) 
 Lógica: área sob a fdp entre os pontos a e b  integral da função f 
entre os pontos  área total sob a fdp = 1 
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Variáveis aleatórias contínuas 
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Variáveis aleatórias contínuas 
 Ao calcular probabilidades para as v.a. contínuas, 
trabalhamos com a função de distribuição acumulada 
(fda): 
F(x) = P(X≤x) 
 Para v.a. discretas, F(x) = soma das f(x) para todos os 
valores xj, tal que xj≤x 
 Para v.a. contínuas, F(x) = área sob a f(x), à esquerda 
do ponto x 
 Como é uma probabilidade: 0 ≤ F(x) ≤ 1 
 F(x) é uma função crescente de x 
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Variáveis aleatórias contínuas 
 Propriedades de F(x) 
1. Para qualquer constante c: P(X>c)=1-F(c) 
2. Para quaisquer constantes a<b: P(a<X≤b)=F(b) – F(a) 
3. P(X≥c)=P(X>c) 
4. P(a<X<b) = P(a≤X≤b)= P(a<X≤b) 
 
 P(a ≤X≤b) = 
 
 
dxxf
b
a
 )(
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Medida de tendência central: 
o valor esperado 
 Para v.a. contínua: 
 
 Propriedades dos valores esperados: 
1. Para a constante c: E(c) = c 
2. Para as constantes a e b: E(aX+b)=aE(X) + b 
3. E(X-µ) = 0 
4. Para constantes {a1,a2,...,an} e v.a. {X1,X2,...,Xn}: 
E(a1X1+a2X2+...+anXn)=a1E(X1)+a2E(X2)+...+anE(Xn) 
dxxxfXE 


 )()(
 






 n
iii
n
i
ii XEaXaE
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Medida de tendência central: 
o valor esperado 
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Medidas de variabilidade: variância 
 Variância de uma Variável Aleatória 
 
 
 
 
 
 Var[x] denotada por σ2: medida de dispersão da 
distribuição 
 
  
 
 












contínuoéxsedxxfx
discretoéxsexfx
xExVar
N
)(
)(
][
2
2
2



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Medidas de variabilidade: variância 
Var[x] = E[x2] – μ2 
E[x2] = σ2 + μ2 
Var[a + bx] = b2 Var[x] 
Var [a] = 0 
 Para descrever uma distribuição, usualmente é 
utilizado σ, a raiz quadrada da variância  desvio 
padrão de x, que tem a mesma unidade de 
medida de x e μ 
 
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Medidas de variabilidade: variância 
 Propriedades da Variância: 
1. Variância de qualquer constante c é igual a zero: 
Var(X)=0, tal que P(X=c)=1, e E(X)=c  se uma v.a. 
tem variância zero, é constante 
2. Para quaisquer constantes a e b, 
Var(aX+b)=a2Var(X), ou seja, adicionar uma 
constante não muda a variância, mas multiplicar 
por uma constante aumenta a variância por um 
fator igual ao quadrado da constante 
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Medidas de variabilidade: variância 
 σ = dp(X) = raiz quadrada da variância 
 Propriedades: 
1. Para qualquer constante c: dp(c)=0 
2. Para quaisquer constantes a e b, 
dp(aX+b)=|a|dp(X) 
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Medidas de variabilidade: variância 
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Padronização de uma variável aleatória 
 Definição de uma nova v.a. padronizada Z, a partir de 
uma v.a. X, sua média µ, e seu desvio-padrão σ 
 
 
 Escrevendo Z = aX+b, onde a=1/σ e b=-(µ/σ) 
E(Z) = aE(X)+b = (µ/σ)-(µ/σ) = 0 
Var(Z) = a2Var(X) = (σ2/ σ2)=1 
 Assim, a v.a. padronizada Z tem média 0 e variância 1 



X
Z