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3 -Probabilidade

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Probabilidades 
1 
Introdução 
 Até aqui, análise de um conjunto de dados 
por meio de técnicas numéricas e gráficas 
 Distribuição de frequências: instrumento 
para avaliação da variabilidade das 
observações 
 A partir da distribuição de frequências: 
cálculo de medidas de posição e dispersão 
(variabilidade) 
 Frequências e medidas: estimativas de 
quantidades desconhecidas, associadas a 
populações das quais os dados amostrais 
foram extraídos 
Probabilidades 
REI004 – MQA I 2 
Introdução 
 Frequências (relativas): estimativas de 
probabilidades de ocorrência dos eventos 
 A partir de pressupostos e suposições: 
modelo teórico que reproduz razoavelmente 
a distribuição de frequências observadas  
modelo probabilístico é especificado 
quando são estabelecidos: 
(a) Espaço amostral, Ω: enumeração (finita ou 
infinita) de todos os resultados possíveis ou 
elementos, que são pontos amostrais 
Ω = {ω1, ω2, ..., ωn, ...} 
Probabilidades 
REI004 – MQA I 3 
Introdução 
(b) Probabilidade, P(ω), para cada ponto 
amostral  probabilidade P(A) do 
subconjunto A de Ω = probabilidade de um 
evento aleatório 
 Obs. Para ilustrar graficamente eventos: 
utilização dos diagramas usados na teoria 
dos conjuntos 
 Generalizando, se A for qualquer evento de 
Ω: soma para todos os pontos amostrais ωj 
є A 
P(A) = Σj P(ωj) 
 
Probabilidades 
REI004 – MQA I 4 
Propriedades 
 Obs. modelo probabilístico é um modelo 
teórico para frequências relativas 
1) Como a frequência relativa é um número 
entre 0 e 1, para qualquer evento A: 
0 < P(A) < 1 
P(Ω) = 1 
P(ø) = 0 
Probabilidades 
REI004 – MQA I 5 
Propriedades 
2) Dados 2 eventos A e H (por exemplo, IDH alto e 
escolaridade baixa): 
 A U H = união de A e H, quando ao menos um dos 
eventos ocorre 
 = interseção entre A e H, quando os eventos 
ocorrem simultaneamente 
 Regra da adição de probabilidades: 
 
 
HA
)()()()( HAPHPAPHAP 
Probabilidades 
REI004 – MQA I 6 
..
)(
n
n
HAP ij
Propriedades 
 Quando os eventos são mutuamente exclusivos 
(disjuntos): se A ocorre, C não ocorre e vice-versa 
 
 
 
 Quando os eventos são complementares: 
 
1)()(
1)()(




cAPAP
BPAP
BA
BA

)()()(
0)(
CPAPCAP
CAP
CA


 
Probabilidades 
REI004 – MQA I 7 
Propriedades 
 
 
)()()(
)()(
CABACBA
AAA
AAAA
AAA
BABABABA
cc
cc
cccccc










Probabilidades 
REI004 – MQA I 8 
Propriedades 
 
 
)()()(
)(1])[()(
)(1])[()(
)(1)(
BAPBPBAP
BAPBAPBAP
BAPBAPBAP
APAP
c
ccc
ccc
c




Probabilidades 
REI004 – MQA I 9 
Propriedades 
 Quando o espaço amostral é finito, Ω = 
{ω1, ω2, ..., ωn}, todos os pontos têm a 
mesma probabilidade 1/n 
 Se A é um evento contendo m pontos 
amostrais: 
 
 
 
 Neste caso, m = número de casos 
favoráveis e n = número de casos 
possíveis 
n
m
AP )(
Probabilidades 
REI004 – MQA I 10 
Probabilidade Condicional e 
Independência 
 Para 2 eventos A e B, sendo P(B) > 0, 
probabilidade condicional de A dado B 
 
 
 
 P(A): probabilidade a priori de A 
 P(A|B): probabilidade a posteriori de B 
 Se P(A|B)> P(A), a informação de que B 
ocorreu aumenta a chance de A ocorrer 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP


Probabilidades 
REI004 – MQA I 11 
Probabilidade Condicional e 
Independência 
 Regra do produto de probabilidades: 
 
 
 A independente de B se: 
 
 
 Para três eventos A, B e C: 
 
)|().()( BAPBPBAP 
)().()( APBPBAP 
Probabilidades 
REI004 – MQA I 12 
)|().|().()( BACPABPAPCBAP 
Probabilidade Condicional e 
Independência 
 Independência para 3 eventos A, B e C: 
 
 
 
 
 
 Verificadas as 3 primeiras relações 
acima, eventos são mutuamente 
independentes 
)().().()(
)().()(
)().()(
)().()(
CPBPAPCBAP
CPBPCBP
CPAPCAP
BPAPBAP




Probabilidades 
REI004 – MQA I 13

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