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Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
 
Modelos de Filas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Notação de um Sistema com Fila por Kendall (1953) 
 A/B/c/D/E 
 
 A e B (Literais); c e D (Numéricos); E (Disciplina de 
atendimento). 
 A: Tempo entre chegadas sucessivas (distribuição dos 
intervalos); 
 B: Tempo de Atendimento/Serviço; 
 c: Capacidade de Atendimento ou quantidade de atendentes; 
 D: Capacidade máxima do sistema (nº máximo de clientes no 
sistema); 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Escolhas mais comuns de A e B, podem-se citar: 
 
 D: Distribuição determinística ou degenerada; 
 
 M: Distribuição exponencial (Poisson ou Markoviana); 
 
 Ek: Distribuição Erlang do tipo K; 
 
 G: Distribuição geral (não especificada). 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Simplificação de notação 
 
• Omitem as letras D e E. ( Ex: A/B/C) 
 
Nesse caso, assume-se um sistema com capacidade 
infinita (D) e disciplina de atendimento FIFO (E). 
 
 Ex: M/G/1/∞/FIFO ou M/G/1 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Aproveitando o exemplo..... 
 Ex: M/G/1/∞/FIFO ou M/G/1 
 
 Representa um sistema onde os tempos entre 
chegadas sucessivas seguem uma distribuição 
exponencial (M), o tempo de atendimento, uma 
distribuição geral (G) e há um (1) único posto de 
atendimento, o sistema possui capacidade infinita e 
a disciplina de atendimento empregada é a FIFO. 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Mais um exemplo..... 
 Ex: M/E₃/4/8/LIFO 
 
 Representa um sistema onde os tempos entre chegadas 
sucessivas seguem uma distribuição exponencial (M), o 
tempo de atendimento, uma distribuição Erlang do tipo 3 
(E₃), existem 4 postos de atendimento em paralelo, o 
sistema comporta no máximo 8 usuários (quatro na fila e 
quatro sendo atendidos) e a disciplina de atendimento 
empregada é a LIFO. 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Outro exemplo..... 
 Ex: M/E2/5/20/FIFO 
 
 Representa um sistema onde os tempos entre 
chegadas sucessivas seguem uma distribuição 
exponencial (M), o tempo de atendimento, uma 
distribuição Erlang do tipo 2 (E2), existem 5 
atendentes, o sistema comporta no máximo 20 
usuários e a disciplina de atendimento empregada é 
a FIFO. 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Exemplo: Caracterize 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Resposta: M/M/3/∞/FIFO. 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Processo de Chegada 
e de Atendimento 
• 60 anotações sobre a 
chegada de veículos a um 
pedágio; 
•Os valores da tabela 
mostram quantos veículos 
chegaram a cada intervalo de 
1 minuto entre 7 e 8 horas da 
manhã; 
•Chegaram 120 veículos; 
•Logo, λ= (120/60) = 2 
veículos/minuto; 
• Menor valor: zero 
chegada/minuto( 9 vezes); 
•Maior valor: 8 
chegadas/minuto( 1 vez); 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Processo de Chegada 
e de Atendimento 
• Uso da Estatística; 
•Desejamos não apenas 
conhecer o valor médio, 
mínimo e máximo, como 
também saber como os 
valores se distribuem em 
torno da média; 
• Frequência Absoluta x 
Relativa (análise adequada); 
• Fre.abs: 3 veículos(chegada) 
foi de 9; 
•Freq. Relativa (3 veículos) = 
0,15 ou 15%. 
 
•∑=60, nº total de observações. 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
•Qual é a distribuição 
estatística que mais se 
aproxima dos dados reais 
anterior? 
•Critério de aceitação: teste 
de excelência de ajustamento 
baseado no quadrado de x. 
•Assim, a distribuição que 
mais se aproxima é a de 
Poisson . 
•A distribuição de Poisson 
tem se mostrado aplicável a 
inúmeros tipos de processos 
de chegadas na vida prática 
e, assim, seu uso é bastante 
difundido em modelagem de 
filas. 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
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Fórmula da 
Distribuição de 
Poisson 
• F(x) é a frequência relativa 
(ou probabilidade) em que 
ocorrem x chegadas na 
unidade de tempo; 
• Distribuição discreta, 
definida apenas para valores 
inteiros de x; 
• Curvas por questão didática, 
pois a rigor não existe curva 
(valore inteiros); 
•Poisson tende para 
distribuição Normal à medida 
que cresce o valor de λ. 
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Fórmula Matemática da Distribuição Exponencial 
Negativa 
• F(t) é a função 
densidade, sendo λ 
o ritmo de chegada 
e t o tempo. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Poisson 
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Distribuição de Poisson 
 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Exponencial Negativa 
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• Exemplo: Dado que λ = 2 chegadas por 
minuto ou 0,033 chegadas por segundo ou IC 
= 30 segundos. 
• A) Qual a probabilidade de que o intervalo 
entre duas chegadas seja de até 30 segundos 
(0,5 min), seguindo a distribuição exp. 
negativa? 
• Resposta: F(0,5)= 2.e-2.0,5 =0,735 ou 73,5% 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Exponencial Negativa 
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• Exemplo: Dado que λ = 2 chegadas por 
minuto ou 0,033 chegadas por segundo ou IC 
= 30 segundos. 
• B) Cálculo da probabilidade de que o intervalo 
entre duas chegadas seja maior que 30 
segundos, conforme distribuição exp. 
negativa? 
• Resposta: 1 - F(0,5)= 1- 2.e-2.0,5 = 0,265 ou 
26,5% 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Exponencial Negativa 
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• Exemplo: Dado que λ = 2 chegadas por 
minuto ou 0,033 chegadas por segundo ou IC 
= 30 segundos. 
• C) Cálculo da probabilidade de que o intervalo 
entre duas chegadas esteja compreendido 
entre 12 e 24 segundos (isto é, entre 0,2 e 0,4 
minutos)? Resposta: F(0,2) - F(0,4)= 2.e-2.0,2 - 
2.e-2.0,4 = 1,341 - 0,899 = 0,442 ou 44,2%. 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 
Modelo M/M/1 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
 
 Premissas: 
• Tanto as chegadas quanto o atendimento são 
marcovianos (Poisson ou Exponencial negativa); 
 
• Temos um único atendente; 
 
• Estudo tanto para os casos de população finita e 
infinita. 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
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Unidade 2: Teoria das Filas *erro no TF 
Modelo M/M/1 - Fórmulas População Infinita (>30) 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
 
• Taxa de Utilização (ρ= λ/μ) 
 
 Relação entre o ritmo médio de chegada (λ) e o ritmo médio 
de atendimento (μ). 
 
 λ < μ, sistemas estáveis, assim, ρ < 1. 
 
 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Gráfico (NF x ρ) 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
 
 Relacionamento entre NF e ρ: 
 
• NF= λ² / μ( μ- λ) = ρ²/ 1-ρ, se ρ →1 (λ = μ), a fila tende a 
aumentar infinitamente. 
 
• Em situações práticas, quando isso ocorre (por exemplo, pelo 
crescimento do ritmo de chegada causada por um aumento 
da demanda), deve-se ficar alerta, pois, se NF cresce 
exponencialmente, isso significa que o mesmo ocorrerá com o 
tempo na fila (TF) e com o tempo no sistema (TS). 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas * TA 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: M/M/1P(3) ou P(4) 
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Unidade 2: Teoria das Filas * NS 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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4) Uma fábrica tem um depósito de ferramentas no qual os 
operários vão receber as ferramentas especiais para a realização 
de determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 
1 operário por minuto) e o ritmo de atendimento (μ= 1,2 
atendimentos por minuto) seguem o modelo marcoviano 
M/M/1. A fábrica paga R$ 9,00 por hora ao atendente e R$ 18,00 
ao operário. Pede-se: 
 
a) O custo horário do sistema? 
 
Sabe-se que o custo horário do sistema é igual à soma do custo horário do 
atendente mais o custo horário dos operários que, por ficarem no sistema (na fila 
ou sendo atendido pelo servidor), não estão produzindo em seus postos de 
trabalho. Logo, 
Custo horário= Custo do atendente + custo operários (NS x R$) 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas * P(0) 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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4) Uma fábrica tem um depósito de ferramentas aonde os 
operários vão receber as ferramentas especiais para a realização 
de determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 
1 operário por minuto) e o ritmo de atendimento (μ= 1,2 
atendimentos por minuto) seguem o modelo marcoviano 
M/M/1. A fábrica paga R$ 9,00 por hora ao atendente e R$ 18,00 
ao operário. Pede-se: 
 
b) A fração do dia em que o atendente não trabalha? 
 
Lembrem-se que a fração do dia durante a qual o atendente não trabalha é 
igual ao valor da probabilidade de não haver nenhum operário no sistema. 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Filas sequenciais em uma fábrica 
Lembrete: Em qualquer sistema estável, o fluxo que entra é igual 
ao fluxo que sai. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Filas sequenciais em uma fábrica 
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Número médio de cliente na fila (NF) 
 
NF= λ² / μ (μ – λ) 
 
FILA λ μ NF 
FABRICAÇÃO 10 15 1,34 
INSPEÇÃO 10 30 0,17 
REPARO 2 20 0,01 
Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: 
M/M/1 
Dados: 
λ₁ = 10 ; 
λ₂ = 5 ; 
 
µ₁ = 15 ; 
µ₂ = 30; 
µ₃ = 20. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
População finita(< 30): Modelo M/M/1/K 
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• K: representa a quantidade finita de clientes que estão 
percorrendo o sistema. 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
População finita : Modelo M/M/1/K 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1/K - Fórmulas População Finita (< 30) 
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