PRODUTO ESCALAR resumo

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PRODUTO ESCALAR
 Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por 
. ou <,> e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
 Se = (x1, y1) e = ( x2, y2 ) então u.v = x1.x2 + y1.y2 .
 Se = (x1, y1 , z1) e = ( x2, y2 , z2) então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.
E1) Determinar.,sabendo que =(1,-2) e=(4,2).
 
E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular 
. MÓDULO DE UM VETOR
 Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor o número real não negativo calculado por.
 No , se =(x,y ) então 
 No , se =(x,y,z ) então 
E3) Dados os vetores =(1,-2,2) e=(4,3), calcular || e || .
E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m,-2), calcular m para que || = 7.
PROPRIEDADES DO MÓDULO:
 a) | u | 0 e | u | = 0 u = 0
 b) | -u | = | u |
 c) || = ||.| u |
 d) | u + v | | u | + | v |
VETOR UNITÁRIO
 
 Chama-se vetor unitário qualquer vetor v de comprimento igual a 1(um), isto é | | =1.
 
E5) Determinar o valor de n para que o vetor seja unitário.
. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
 A distância d entre dois pontos A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) é o comprimento do vetor 
 No, se A(x1, y1 ) e B( x2, y2 ) então =(x2 -x1 , y2 -y1 ) e dAB =.
 No, se A(x1, y1 , z1) e B( x2, y2 , z2) então =(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e
 dAB =.
E6) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5).
E7) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2).
VERSOR DE UM VETOR
 Versor de um vetor não nulo é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de .
 versor de=
E8) Determinar os versores dos vetores = (0,-3,4) e v = (-1,1).
PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
 
 a) .=.
 
 b) .(+) = .+.
 
 c) (.) = ().=.(), com
. ÂNGULO DE DOIS VETORES
 Se ,e é o ângulo dos vetores e, com . 
 v v – u Da lei dos co-senos: |u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cos (1) 
 
 u Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u –2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2)
 Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cos ou cos =.
E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se .
E10) O que se pode afirmar sobre u.v, se .
E11) O que se pode afirmar sobre u.v, se .
E12) O que se pode afirmar sobre u e v, se .
E13) O que se pode afirmar sobre u e v, se .
E14) Calcular os ângulos entre os vetores e, sendo:
 a) =(1,2) e=(-1,2) b) =(2,-1) e=(1,2) c) =(0,2) e=(0,1)
 d) =(1,1,4) e=(-1,2,2) e) =(2,-1,2) e=(-1,2,2) f) =(0,2,4) e=(0,1,2)
 E15) Sabendo que o ângulo entre os vetores =(2,1,-1) e=(1,-1,m+2) é , calcular m.
VETORES ORTOGONAIS
 Se é ortogonal a , o ângulo entre os vetores u e v é 90o e cos = 0, logo de 4.4. .v = 0.
 .= 0 
E16) Dados os vetores =(1,-2,2) e=(4,m,-5), calcular m para que e sejam ortogonais.
E17) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo ?
E18) Determinar um vetor ortogonal ao vetor.
E19) Dados os pontos A(5,-1,2), B(6,2,4) e C(7,1,3), determinar:
 a) as componentes de b) o módulo de c) o versor de 
E20) Dados os vetores ,e, determinar:
 a) b) c)o ângulo entre e d) o versor de 
 e) o valor de m para que o vetor seja ortogonal a -
. PROJEÇÃO DE UM VETOR
 é a projeção de sobre . Como (-).= 0 (1) e =. (2),
 u -
 substituindo a (2) em (1) e isolando ,vem: = 
 
 Substituindo o encontrado em (2), conclui-se que = 
 E21) Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo:
 a) u = (1,1) e v = (2,0) b) u = (1,1,1) e v = (3,3,0)
RESPOSTAS
 
 E1) 0 
 E2) -1 
 
 E3) 3 e 5 
 E4) m = -3 ou m = 9 
 E5) n =
 E6) (0,2,0)
 E7) (1,-2) 
 E8) ; 
 E9) u.v > 0
 E10) u.v < 0
 E11) u.v = 0
 E12) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido.
 E13) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários.
 E14) a) = arc sen(3/5) b) 90o c) 0o d) 45o e) 90o f) 0o 
 E15) m = -4 
 E16) m = -3 
 E17) SIM 
 E18) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c 
 E19) a) (-9,1,3) b) c) 
 E20) a) 21 b) 30 c) 45o d) e) m = -18
 E21) a) (1,0) b) (1,1,0)