MecFlu Formulação pra VC e SC

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Mecânica dos Fluidos (SEM5749) – Prof. Oscar M. H. Rodriguez
 
 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos 
 
Forma Integral das Equações 
Básicas para Volume de Controle
Formulação para sistema 
vs
Formulação para volume de controle:
• fluidos são capazes de distorção e de deformação 
contínua, assim é difícil de identificar e acompanhar 
certa massa de fluido
• na prática, muitas vezes estamos interessados no 
efeito do movimento do fluido em alguma máquina 
de fluxo (bombas, turbinas, compressores, etc.), 
num motor de combustão interna, ou numa estrutura 
(tubulações, bocais, asas de aeroplanos, aerofólios 
de carros de corrida, etc.), entre outros, e não no 
movimento da massa fluida em si.
Assim, muitas vezes é mais conveniente 
aplicar as leis básicas a um volume fixo de 
espaço, ao invés de a uma massa fixa e 
definida de fluido.
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As leis Básicas do Sistema
(como equações de taxas)
1- Conservação da massa: 
“A massa, M, de um sistema é constante”
VddmM
dt
dM
sistemaVsistemamassa
sistema
sistema
∫∫
==
=
)( )( 
:onde
0
ρ
2- Segunda Lei de Newton: 
“Para um sistema movendo-se relativo a um referencial 
inercial, a soma de todas as forças externas atuando no 
sistema é igual à taxa de variação da quantidade de 
movimento linear do sistema com o tempo”
VdVdmVP
P
dt
Pd
F
sistemaVsistemamassa
sistema
sistema
ρ
∫∫
==
=
)( )( 
linear movimento de quantidade a é onde
 ,
rrr
r
r
r
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3- Primeira Lei da Termodinâmica
“Lei da conservação da energia de um sistema”
gz
V
ue
VdeedmE
dt
dE
WQ
dEWQ
sistemaVsistemamassa
sistema
sistema
++=
==
=−
=−
∫∫
2
 :onde
:por dada é sistema do totalenergia a onde
: taxade equação como
 , 
2
)( )( 
ρ
δδ
&
&
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Relação entre as Derivadas do Sistema e 
a Formulação do Volume de Controle
N: qualquer propriedade extensiva do sistema
h: propriedade intensiva (por unidade de massa) do sistema
Assim:
∫∫
==
)( )( sistemaVsistemamassa
sistema
VddmN ηρη
Portanto:
eEN
VPN
MN
==
==
==
η
η
η
 então , 
 então , 
1 então , 
rr
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Passagem da formulação de 
Sistema à Formulação de Volume 
de Controle (V.C.)
• Como massa cruza as fronteiras do volume de controle, 
variações no tempo da propriedade extensiva N associadas 
ao V.C. envolvem o fluxo de massa e as propriedades 
transportadas (por convecção) pelo fluxo de massa.
• Uma forma conveniente de levar em conta o fluxo de 
massa é aplicar um processo limite envolvendo um sistema e 
um volume de controle coincidentes em um certo instante.
• A equação final relaciona a taxa de variação da 
propriedade extensiva arbitrária, N, para um sistema com as 
variações no tempo dessa propriedade associadas com um 
volume de controle. 
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DERIVAÇÃO
Configuração do sistema e do volume de controle
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Vista ampliada da sub-região (3) 
Cont.
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Vista ampliada da sub-região (1) 
Cont.
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Forma Integral das Equações Básicas 
para Volume de Controle (cont.)
Teorema do Transporte de Reynolds:
“Relação fundamental entre a taxa de variação de 
qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de um 
sistema e as variações dessa propriedade associadas 
com um volume de controle”
∫∫
⋅+
∂
∂
=
SCCV
sistema
AdVVd
tdt
dN
r
r
ηρηρ
- O Teorema do transporte de Reynolds foi deduzido no 
instante em que o sistema e o volume de controle 
coincidem; isto é verdade pois quando ∆t → 0 o sistema e 
o volume de controle ocupam o mesmo volume e tem as 
mesmas fronteiras.
- Esta formulação é válida para volume de controle fixo e 
não deformável.
(1)
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é a taxa de variação total de qualquer 
propriedade extensiva arbitrária do 
sistema
:
sistema
dt
dN
:
∫∂
∂
CV
Vd
t
ηρ
é a taxa de variação no tempo da 
propriedade extensiva arbitrária, N, dentro 
do volume de controle:
• η é a propriedade intensiva correspondente 
a N (por unidade de massa)
• é um elemento de massa contido no 
volume de controle
• é a quantidade total da 
propriedade extensiva, N, contida 
dentro do volume de controle 
Vdρ
Vd
CV
∫
ηρ
Interpretação Física
∫
⋅
SC
AdV :
r
r
ηρ é a taxa líquida de fluxo da propriedade 
extensiva N através da superfície de 
controle:
• é a taxa de fluxo de massa 
através do elemento de área por unidade 
de tempo 
• é a taxa de fluxo da propriedade 
extensiva N através da área 
AdV
r
r
⋅ρ
Ad
r
AdV
r
r
⋅ηρ
Ad
r
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Dois pontos importantes sobre o 
Teorema do Transporte de Reynolds
1. A velocidade na equação (1) é medida em 
relação ao volume de controle
2. Para o desenvolvimento da equação (1) 
consideramos um volume de controle fixo em 
relação às coordenadas de referência x, y e z. 
Portanto, a variação da propriedade extensiva 
arbitrária, N, dentro do volume de controle deve ser 
avaliada por um observador fixo no volume de 
controle
V
r
Teorema do transporte de Reynolds para o caso de um volume 
de controle movendo-se com velocidade uniforme:
( )
SCr
SC
r
CV
sistema
VVV
AdVVd
tdt
dN
rrr
r
r
−=
⋅+
∂
∂
=
∫∫
 :onde
ηρηρ
Teorema do transporte de Reynolds para o caso de um V.C. 
deformável e movendo-se arbitrariamente:
( )
( ) ( )
tzyxVtzyxVV
AdVVd
tdt
dN
SCr
SC
r
CV
sistema
,,,,,, :onde
rrr
r
r
−=
⋅+
∂
∂
=
∫∫
ηρηρ
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Avaliação da integral de superfície do Teorema 
do Transporte para o caso especial do 
Escoamento Uniforme
• Escoamento uniforme numa seção implica que as 
propriedades e velocidade são constantes sobre toda a 
área da seção.
Supondo que na seção: ρ é constante e η é um escalar e 
é constante:
[ ]
nnnnnn
A
AVAVAdV
n
ρηηρηρ ±=⋅=⋅
∫
r
r
r
r
(Quadro negro)