lista1 - Sara Pinter

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Professora: Sara Regina da Rosa Pinter
A´lgebra linear
Lista 1
1. Mostre se e´ ou na˜o espac¸o vetorial cada um dos conjuntos abaixo com as respectivas
operac¸o˜es.
(a) C[a, b] (conjunto das func¸o˜es cont´ınuas de [a, b] em R), soma e produto por
escalar usual de func¸o˜es;
(b) R2, (x1, x2)⊕ (y1, y2) = (x1 + y1, 0), α(x1, x2) = (αx1, αx2);
(c) R2, (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2), α� (x1, x2) = (αx1, x2);
(d) R, x⊕ y = max{x, y}, α� x = αx;
(e) {(x, 2x, 3x);x ∈ R}, com soma e produto escalar usuais;
(f) V = {(x, y) ∈ R2; y = 5x};
2. Mostre que o elemento 0V de um espac¸o vetorial V e´ u´nico.
3. Determine se cada conjunto a seguir e´ ou na˜o subespac¸o vetorial de R2.
(a) {(x, y)|x+ y = 0}
(b) {(x, y)|xy = 0}
(c) {(x, y)|x = 3y}
(d) {(x, y)|x = 3y + 1}
(e) {(x, y)|x ≥ 0}
4. Determine se cada conjunto a seguir e´ ou na˜o subespac¸o vetorial de R3.
(a) {(x, y, z)|x+ y = 1}
(b) {(x, y, z)|x = y = z}
(c) {(x, y, z)|x = z2}
(d) {(x, x, 0)|x ∈ R}
5. Mostre que o conjunto das soluc¸o˜es do sistema linear
2x+ 4y + z = 0
x+ y + 2z = 0
x+ 3y − z = 0
e´ um subespac¸o vetorial de R3 (ou de M3×1, se olharmos o sistema na forma matri-
cial).
6. O conjunto soluc¸a˜o do sistema linear
2x+ 4y + z = 1
x+ y + 2z = 1
x+ 3y − z = 0
e´ um subespac¸o vetorial?
Observac¸a˜o: Note que o que foi mostrado no penu´ltimo item na verdade vale pra qual-
quer sistema linear homogeˆneo. Isto e´, o conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear com n
inco´gnitas e´ um subespac¸o vetorial de Rn
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