Trabalho Númerico Presa vs Predador (final)

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Universidade Estadual de Campinas
	
MS211 Z – Cálculo Numérico
Professor Laécio Carvalho De Barros
Atividade III: Modelo Presa-Predador
Nome: 									RA:
Paula Rocha Machado					 159918														 
Campinas – SP
02 de Dezembro de 2016
Têm-se, segundo o modelo matemático para o modelo presa - predador, o sistema não linear:
Onde y e z representam o número de presas e número de predadores,respectivamente. Esse modelo depende de vários parâmetros como  r,  ,  β, γ, δ e σ.
Para calcular as funções, e pode-se utilizar o método de Euler, que estima o valor de cada função ponto a ponto. Plotando os dados em um gráfico, é possível, por meio de um software ou por um método de ajuste de curvas, obter a equação que melhor expressa o comportamento da função.
	Usando ,,, ,, , e com condições iniciais de: , e h = 0,125, sendo este último (h) o intervalo de tempo entre dois pontos para o quais o valor da função será calculado, temos o seguinte sistema para o método de Euler:
 
Para isso, utilizou-se o seguinte código do MatLab:
function [Y,Z,Tempo] = Solve(x0,y0)
 
%Definição dos parâmetros
 
T=200; %Tempo final
h=0.125; %Espaçamento
t=0; %Tempo inicial
m=T/h-1; %Quantidade de pontos da malha
r=0.2;a=1e-4;g=1e-3; %Constantes do sistema
s=0.2;b=0.0004;d=1e-3; %Constantes do sistema
Tempo(1)=0; %Vetor de espaçamento
 
%Condições iniciais 
 Y(1) = x0; Z(1) = y0;
 %Função da EDO [y' z']=f(y,z)
 f = @(y,z) [y*(r-a*y-g*z),z*(-s-b*z+d*y)];
 %Iterações do primeiro ao último ponto da malha
 for i=1:m
 % Metódo de Euler
 k1 = h*f(Y(i),Z(i));
 Y(i+1) = Y(i)+k1(1);
 Z(i+1) = Z(i)+k1(2);
 Tempo(i+1)=Tempo(i)+h;
end
 hold on
 figure(1)
 plot(Tempo,Y,'r') 
 title({'Presa x Tempo',['']});
 figure(2)
 plot(Tempo,Z,'g') 
 title({'Predador x Tempo',['']});
 figure(3)
 plot(Y,Z)
 title({'Presa x Predador',['']});
 hold off
 
end
No caso 2, temos que e , onde vw são os dois úlitmos algarismos do meu RA. No caso vw=18. Logo, o que código no matlab é o mesmo. O que muda é apenas os gráficos devido as condições iniciais serem diferentes, como mostrado a seguir na sistema do método de Euler:
Gráfico 1: Predador (z(t)) vs tempo (t) com condições iniciais de : e 
Gráfico 2: Presa (y(t)) vs tempo (t) com condições iniciais de : e 
Gráfico 3: Predador (z(t)) vs tempo (t) com condições iniciais de : e 
	Gráfico 4: Presa (y(t)) vs tempo (t) com condições iniciais de : e 
Percebe – se que tanto nos gráficos presa vs tempo e predador vs presa com as condições iniciais menores, as populações de ambos (presas e predadores) alcançam, em um primeiro momento, um pilar de quantidade maior do que observados nos gráficos em que as condições iniciais são maiores. Entretanto, a quantidade de ambas as populações com condições inciais menores no primeiro momento de decrescência atinge um nível de população menor do que aquela com valores inciais atingem, em um decorrer do tempo semelhante.
Por fim, é  possível perceber que com o passar do tempo, os gráficos vão convergindo para um valor. Esse valor é denominado ponto de equilíbrio, ou seja, com o tempo as populações de presa e predador tendem para um ponto de equilíbrio. Isso é visto mais claramente nos gráficos "presa vs predador" mostrados a seguir:
Gráfico 5: Presa (y(t)) vs predador (z(t)) com condições iniciais de : e 
Gráfico 6: Presa (y(t)) vs predador (z(t)) com condições iniciais de : e 
Percebe-se que esse ponto de equilíbrio (convergência de um valor) é muito próximo em ambos os gráficos, sendo o de menor condição inicial um pouco menor.
( c ) Pontos de equilíbrio
Seja o sistema de EDO dado por:
 
Os pontos de equil´ıbrio s˜ao tais que y’(t) = 0 e z’(t) = 0, ou seja, portanto:
 (2)
Primeiramente temos que o produto logo pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Suponha y = 0 temos ent˜ao, da segunda equa¸c˜ao que z(−σ − βz) = 0. Mais uma vez um destes fatores é igual a zero, mas z ≠ 0, pois do contr´ario ter´ıamos o ponto de equilíbrio trivial, logo . Ou seja, um candidato para ponto de equil´ıbrio seria ( = (0,), segundo as informações do problema, no entanto este não pode ter componentes negativas, então será descartado.
Suponha agora A partir daqui temos dois subcasos:
 Z = 0, onde teríamos como candidato o ponto de equilíbrio ( = = (2000,0), segundo as informações do problema. Este é de fato um ponto de equilíbrio.
 , onde teríamos o sistema linear:
 					(3)		
Que tem como solução e . Portanto um candidato a ponto de equilíbrio seria 
(,) = ( (4)
 (5)
 (6)
Portanto, temos que (,) é um ponto de equilíbrio desde que suas componentes sejam positivas.