Lista 1 de cálculo 1

Prévia do material em texto

Matema´tica para a Economia I - 1a lista de exerc´ıcios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Para cada func¸a˜o abaixo, calcule os valores pedidos, quando for poss´ıvel:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1, calcule f(0), f(−1) e f(2);
(b) f(x) = x2 +
1
x
+ 1, calcule f(1), f(−1) e f(0);
(c) f(x) =
√
2x + 1, calcule f(4) e f(−2);
(d) f(x) = 3
√
x− 5, calcule f(13) e f(4).
(e) f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3 , calcule f(0), f(3) e f(5).
2 - Ache o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1;
(b) f(x) = x2 +
1
x
+ 1;
(c) f(x) =
√
2x + 1;
(d) f(x) = 3
√
x− 5;
(e) f(x) = 4
√
3x− 5 + 5
6− 2x ;
(f) f(x) =
√
x + 1
x− 1 ;
3 - Ache os limites pedidos:
(a) limx→2(3x2 − 5x + 2);
(b) limx→3(x− 1)2(x + 1);
(c) limx→−2
4
√
x2 − 4x + 4;
(d) lim
x→−1
2x + 1
x2 + 3x
;
(e) lim
x→−1
3
√
5x− 3;
1
(f) lim
x→0
x2 + 3x− 1
2x + 1
;
(g) lim
x→3
x2 − x− 6
x2 − 4x + 3;
(h) lim
x→−3
x2 + 4x + 3
x2 − x− 12;
(i) lim
x→0
(x + 1)2 − 1
x
;
(j) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 ;
(k) lim
x→3
x− 3√
x + 1− 2.
4 - Calcule os limites laterais pedidos:
(a) lim
x→2+
x3 − 2x + 5;
(b) lim
x→3−
f(x) onde f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3
(c) lim
x→1−
f(x) onde f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3
(d) lim
x→0+
f(x) onde f(x) =

x2 − 3x + 1 se x < 0
1 se x = 0
3x + 1 se x > 0
5 - Determine se as seguintes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas no valor de x dado:
(a) f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3 em x = 3;
(b) f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3 em x = 1;
(c) f(x) =

x2 − 3x + 1 se x < 0
1 se x = 0
3x + 1 se x > 0
em x = 0;
(d) f(x) =
 x
2 − 2x− 3
x + 1
se x 6= −1
3 se x = −1
em x = −1;
2
6 - Determine o valor de a para que as seguintes func¸o˜es sejam cont´ınuas no valor de x
indicado:
(a) f(x) =
 x
2 − 2x− 3
x + 1
se x 6= −1
a se x = −1
em x = −1;
(b) f(x) =

2x + 1 se x < 2
a se x = 2
6− x
2
se x > 2
em x = 2;
(c) f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− ax se x > 3 em x = 3;
(d) f(x) =

x3 + x + a se x < −1
0 se x = −1
x2 − 1 se x > −1
em x = −1;
3
Gabarito:
1 - (a) Lembrando que (−1)3 = −1 e (−1)2 = 1, temos:
f(0) = 03 − 3 · 02 + 3 · 0− 1 = −1;
f(−1) = (−1)3 − 3 · (−1)2 + 3 · (−1)− 1 = −1− 3− 3− 1 = −8;
f(2) = 23 − 3 · 22 + 3 · 2− 1 = 8− 12 + 6− 1 = 1.
(b) f(1) = 3; f(−1) = 1; na˜o e´ poss´ıvel calcular f(0). (Lembre que 1−1 = −1.)
(c) f(4) = 3; na˜o e´ poss´ıvel calcular f(−2).
(d) f(13) = 3
√
8 = 2 ja´ que 23 = 8; f(4) = 3
√−1 = −1, ja´ que (−1)3 = −1.
(e) f(0) = 5 + 0 = 5; f(3) = 5 + 3 = 8; f(5) = 9− 5 = 4.
2 - (a) O domı´nio de f e´ todo o conjunto dos nu´meros reais.
(b) Temos
f(x) esta´ definida ⇔ 1
x
existe ⇔ x 6= 0.
Assim o domı´nio de f e´ o conjuntos dos nu´meros reais x 6= 0.
(c) Temos
f(x) esta´ definida ⇔ √2x + 1 existe ⇔ 2x + 1 ≥ 0⇔ x ≥ −1
2
.
Assim o domı´nio de f e´ o conjuntos dos nu´meros reais x ≥ −1
2
.
(d) O domı´nio de f e´ todo o conjunto dos nu´meros reais. (Lembre que e´ sempre poss´ıvel
tirar a raiz cu´bica de um nu´mero.)
(e) Temos
f(x) esta´ definida ⇔ 4√3x− 5 e 5
6− 2x existem
⇔ 3x− 5 ≥ 0 e 6− 2x 6= 0
⇔ x ≥ 5
3
e x 6= 3.
Assim o domı´nio de f e´ o conjunto dos nu´meros reais x ≥ 5
3
diferentes de 3.
(f) Temos
f(x) esta´ definida ⇔ √x + 1 e 1
x− 1 existem
⇔ x + 1 ≥ 0 e x− 1 6= 0
⇔ x ≥ −1 e x 6= 1.
Assim o domı´nio de f e´ o conjunto dos nu´meros reais x ≥ −1 diferentes de 1.
4
3 - (a) Como f(x) = 3x2 − 5x + 2 e´ um polinoˆmio, temos limx→2(3x2 − 5x + 2) =
3 · 22 − 5 · 2 + 2 = 12− 10 + 2 = 4;
(b) limx→3(x− 1)2(x + 1) = 16;
(c) limx→−2
4
√
x2 − 4x + 4 = 4√16 = 2, ja´ que 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16;
(d) lim
x→−1
2x + 1
x2 + 3x
=
1
2
;
(e) lim
x→−1
3
√
5x− 3 = 3√−8 = −2;
(f) lim
x→0
x2 + 3x− 1
2x + 1
= −1;
(g) Sendo p(x) = x2 − x− 6 e q(x) = x2 − 4x + 3, vemos que ambos estes polinoˆmios
teˆm raiz em 3, isto e´,
p(3) = 32 − 3− 6 = 0 e q(3) = 32 − 4 · 3 + 3 = 0.
Assim, antes de calcular o limite precisaremos fatorar estes polinoˆmios. Para isto, basta
achar suas raizes. As ra´ızes de p(x) sa˜o
x =
1±√1 + 24
2
=
1± 5
2
= 3 e − 2
e portanto p(x) se fatora como p(x) = (x− 3)(x+ 2). Analogamente, as raizes de q(x) sa˜o
x =
4±√16− 12
2
=
4± 2
2
= 3 e 1,
e portanto q(x) se fatora como q(x) = (x− 3)(x− 1). Assim
lim
x→3
x2 − x− 6
x2 − 4x + 3 = limx→3
(x− 3)(x + 2)
(x− 3)(x− 1) = limx→3
x + 2
x− 1 =
3 + 2
3− 1 =
5
2
.
(h) Sendo p(x) = x2 + 4x + 3 e q(x) = x2 − x− 12, vemos que ambos estes polinoˆmios
teˆm raiz em −3, isto e´, p(−3) = 0 e q(−3) = 0. Assim, antes de calcular o limite
precisaremos fatorar estes polinoˆmios. Para isto, basta achar suas raizes. As ra´ızes de p(x)
sa˜o
x =
−4±√16− 12
2
=
−4± 2
2
= −3 e − 1
e portanto p(x) se fatora como p(x) = (x+ 3)(x+ 1). Analogamente, as raizes de q(x) sa˜o
x =
1±√1 + 49
2
=
1± 7
2
= −3 e 4,
e portanto q(x) se fatora como q(x) = (x + 3)(x− 4). Assim
lim
x→−3
x2 + 4x + 3
x2 − x− 12 = limx→−3
(x + 3)(x + 1)
(x + 3)(x− 4) = limx→−3
x + 1
x− 4 =
−3 + 1
−3− 4 =
2
7
.
5
(i) Aqui, inicialmente parece que estamos na mesma situac¸a˜o que nos itens anteriores.
Pore´m, se expandimos o numerador desta func¸a˜o racional, temos
lim
x→0
(x + 1)2 − 1
x
= lim
x→0
(x2 + 2x + 1)− 1
x
= lim
x→0
x2 + 2x
x
= lim
x→0
x + 2 = 2.
(j) Sendo p(x) =
√
x−1 e q(x) = x−1, vemos que p(1) = 0 e q(1) = 0. Como a func¸a˜o
p(x) envolve uma raiz, o ideal e´ usarmos a varia´vel auxiliar s =
√
x. Assim
s =
√
x ⇒ s2 = x
e, substituindo na func¸a˜o, temos
√
x− 1
x− 1 =
s− 1
s2 − 1 .
Como s2 − 1 tem raizes ±1 vemos que s2 − 1 = (s + 1)(s− 1) e logo
√
x− 1
x− 1 =
s− 1
(s + 1)(s− 1) =
1
s + 1
=
1√
x + 1
.
Agora o limite pode ser calculado facilmente
lim
x→1
√
x− 1
x− 1 = limx→1
1√
x + 1
=
1
1 + 1
=
1
2
.
(k) Sendo p(x) = x − 3 e q(x) = √x + 1 − 2, vemos que p(3) = 0 e q(3) = 0. Como a
func¸a˜o q(x) envolve uma raiz, o ideal e´ usarmos a varia´vel auxiliar s =
√
x + 1. Assim
s =
√
x + 1 ⇒ s2 = x + 1 ⇒ x = s2 − 1
e, substituindo na func¸a˜o, temos
x− 3√
x + 1− 2 =
(s2 − 1)− 3
s− 2 =
s2 − 4
s− 2 .
Como s2 − 4 tem raizes ±2 vemos que s2 − 4 = (s− 2)(s + 2) e logo
x− 3√
x + 1− 2 =
s2 − 4
s− 2 =
(s− 2)(s + 2)
s− 2 = s + 2 =
√
x + 1 + 2.
Agora o limite pode ser calculado facilmente
lim
x→3
x− 3√
x + 1− 2 = limx→3
√
x + 1 + 2 =
√
3 + 1 + 2 =
√
4 + 2 = 2 + 2 = 4.
6
4 - (a) Como a func¸a˜o e´ um polinoˆmio, seus limites laterais coincidem e sa˜o iguais ao
limite da func¸a˜o no ponto dado. Logo lim
x→2+
x3 − 2x + 5 = 23 − 2 · 2 + 5 = 9;
(b) Para calcular o limite pedido devemos examinar os valores da func¸a˜o quando x
se aproxima de 3 e x < 3. Neste caso, a func¸a˜o e´ dada pelo polinoˆmio 5 + x e logo
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
5 + x = 5 + 3 = 8.
(c) lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
5 + x = 5 + 1 = 6.
(d) lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
3x + 1 = 1.
5 - (a) Para ver se a func¸a˜o e´ cont´ınua temos que calcular os limites laterais e verificar se
estes coincidem e se sa˜o iguais ao valor da func¸a˜o no ponto dado. Temos:
lim
x→3−
f(x) = 8 (calculado na questa˜o anterior)
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
9− x = 9− 3 = 6
Assim, como os limites laterais na˜o coincidem, a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua.
(b) Como para valores pro´ximos de 1 a func¸a˜o e´ definida pelo polinoˆmio 5 + x, temos
que f e´ cont´ınua em x = 1 ja´ que polinoˆmios sa˜o func¸o˜es cont´ınuas.
De outro modo, podemos verificar que f e´ cont´ınua em x = 1 calculando seus limites
laterais e vendo que este coincidemcom o valor da func¸a˜o no ponto. Temos
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
5 + x = 5 + 1 = 6
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
5 + x = 5 + 1 = 6
e como f(1) = 6, vemos que f e´ cont´ınua em x = 1.
(c) Calculando os limites laterais temos:
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
x2 − 3x + 1 = 02 − 3 · 0 + 1 = 1
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
3x + 1 = 3 · 0 + 1 = 1.
Ale´m disso, temos que f(0) = 1 por definic¸a˜o. Logo, como
lim
x→0−
f(x) = f(0) = lim
x→0+
f(x),
temos que f e´ cont´ınua em x = 0.
(d) Como a func¸a˜o e´ definida pela mesma expressa˜o para x > −1 e x < −1, vemos que
os limites laterais coincidem, ja´ que a mesma expressa˜o
x2 − 2x− 3
x + 1
deve ser usada para
calcula´-los e esta expressa˜o e´ uma func¸a˜o racional. Deste modo, temos
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1
f(x)
7
e enta˜o basta calcular o limite da func¸a˜o quando x tende a −1. Vamos proceder como nos
itens (g) e (h) da questa˜o 4. Precisaremos primeiro fatorar o polinoˆmio x2 − 2x− 3. Este
polinoˆmio tem ra´ızes
2±√4 + 12
2
=
2± 4
2
= −1 e 3
e portanto se fatora como x2 − 2x− 3 = (x + 1)(x− 3). Assim, temos
lim
x→−1
f(x) = lim
x→−1
x2 − 2x− 3
x + 1
= lim
x→−1
(x + 1)(x− 3)
x + 1
= lim
x→−1
x− 3 = −4.
Pore´m, como o valor da func¸a˜o no ponto e´ f(−1) = 3, vemos que a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua
em x = −1.
6 - (a) Como vimos na questa˜o 6(d), temos
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1+
f(x) = −4
e portanto, para que esta func¸a˜o seja cont´ınua em x = −1, temos que ter f(−1) = −4, ou
seja, a = −4.
(b) Primeiro vamos ver que os limites laterais no ponto x = 2 desta func¸a˜o coincidem:
lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
2x + 1 = 2 · 2 + 1 = 5
lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
6− x
2
= 6− 2
2
= 5.
Assim, para que a func¸a˜o seja cont´ınua em x = 2 temos que ter f(2) = 5, ou seja, a = 5.
(c) Temos f(3) = 8 e
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
5 + x = 8
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
9− ax = 9− 3a.
Assim, para que estes limites laterais coincidam e sejam iguais a f(3), temos que ter
8 = 9− 3a ⇒ a = 1/3.
Portanto a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 3 se a = 1/3.
(d) Temos f(−1) = 0 e
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
x3 + x + a = −2 + a
lim
x→1+
f(x) = lim
x→−1+
x2 − 1 = 0.
Assim, para que estes limites laterais coincidam e sejam iguais a f(−1), temos que ter
−2 + a = 0 ⇒ a = 2.
Portanto a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = −1 se a = 2.
8