Lista 4 de Cálculo 1

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Matema´tica para a Economia I - 4a lista de exerc´ıcios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Ache a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto (x0, f(x0)) em cada caso
abaixo:
(a) f(x) =
1
x
, x0 = −1;
(b) f(x) = x3 − 6x2 + 9x + 1, x0 = 3;
(c) f(x) = ln(2x + 1), x0 = 0;
(d) f(x) = x ex, x0 = 0.
2 - Um comerciante observa que quando vende x pacotes de biscoito, o lucro (em reais) e´
dado por
L(x) = 50x− 0, 1x2 + 10,
com 0 ≤ x ≤ 500. Determine a taxa de variac¸a˜o do lucro em relac¸a˜o a x para um n´ıvel de
venda de 200 pacotes. O comerciante deve esperar um aumento ou uma queda no lucro se
ele aumentar ligeiramente suas vendas?
3 - Um fabricante estima que quando produz x unidades de um produto, o custo de
produc¸a˜o (em reais) de cada unidade e´ dado por
C(x) = x3 − 30x2 + 5000.
Determine a taxa de variac¸a˜o do custo em relac¸a˜o a x para um n´ıvel de produc¸a˜o de 15
pacotes. O fabricante deve esperar um aumento ou uma queda no custo de produc¸a˜o por
unidade se ele aumentar ligeiramente sua produc¸a˜o?
4 - Encontre os limites abaixo:
(a) lim
x→2
x4 − 16
x− 2 ;
(b) lim
x→1
x3 − 3x + 2
x2 − 2x + 1;
(c) lim
x→1−
x− 1
x3 − 3x + 2;
(d) lim
x→+∞
ln(x)
x2
;
(e) lim
x→+∞
ex
x2
;
1
5 - Um comerciante observa que quando vende x pacotes de biscoito, o lucro (em reais) e´
dado por
L(x) = 50x− 0, 1x2 + 10
com 0 ≤ x ≤ 500. Determine quantos pacotes devem ser vendidos de modo a maximizar o
lucro. Qual e´ o lucro ma´ximo obtido?
6 - Um fabricante estima que quando produz x unidades de um produto, o custo de
produc¸a˜o (em reais) de cada unidade e´ dado por
C(x) = x3 − 30x2 + 5000.
Determine quantas unidades do produto devem ser produzidas para que o custo de produc¸a˜o
de cada unidade seja mı´nimo.
2
Gabarito:
1a QUESTA˜O: Lembre que a reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto (x0, f(x0)) tem
equac¸a˜o
y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).
(a) Como f ′(x) = − 1
x2
, temos que f ′(−1) = − 1
(−1)2 = −1. Ale´m disso, f(−1) =
1/(−1) = −1 e logo a equac¸a˜o da reta tangente e´
y − (−1) = −1(x− (−1)) ⇒ y = −x− 2.
(b) Como f ′(x) = 3x2 − 12x + 9, temos que f ′(3) = 3 · 9 − 12 · 3 + 9 = 0. Ale´m disso,
f(3) = 27− 6 · 9 + 9 · 3 + 1 = 1 e logo a equac¸a˜o da reta tangente e´
y − 1 = 0(x− 3) ⇒ y = 1.
(c) Como f ′(x) =
(2x + 1)′
2x + 1
=
2
2x + 1
, temos que f ′(0) =
2
2 · 0 + 1 = 2. Ale´m disso,
f(0) = ln(2 · 0 + 1) = ln(1) = 0 e logo a equac¸a˜o da reta tangente e´
y − 1 = 0(x− 3) ⇒ y = 1.
(d) Como f ′(x) = x′ · ex + x · (ex)′ = ex + xex, temos que f ′(0) = e0 + 0 e0 = e0 = 1. Ale´m
disso, f(0) = 0 e0 = 0 e logo a equac¸a˜o da reta tangente e´
y − 0 = 1(x− 0) ⇒ y = x.
2a QUESTA˜O: A taxa de variac¸a˜o no lucro e´ dada pela derivada L′(200). Temos
L′(x) = 50− 0, 2x ⇒ L′(200) = 50− 0, 2 · 200 = 50− 40 = 10.
Assim, a taxa de variac¸a˜o no lucro e´ de 10 reais, o que significa que o comerciante devera´
ter um aumento no lucro se ele aumentar ligeiramente suas vendas.
3a QUESTA˜O: A taxa de variac¸a˜o no custo de produc¸a˜o de cada unidade e´ dado por
C ′(15). Temos
C ′(x) = 3x2 − 60x ⇒ C ′(15) = 3 · 152 − 60 · 15 = −225.
Assim a taxa de variac¸a˜o no custo de produc¸a˜o de cada unidade do produto e´ de −225
reais, o que significa que o fabricante deve esperar uma diminuic¸a˜o no custo de produc¸a˜o
de cada unidade se ele aumentar ligeiramente sua produc¸a˜o.
3
4a QUESTA˜O:
(a) Como
lim
x→2
x4 − 16 = 0 e lim
x→2
x− 2 = 0
podemos usar a regra de L’Hoˆpital. Temos que
lim
x→2
x4 − 16
x− 2 = limx→2
(x4 − 16)′
(x− 2)′ = limx→2
4x3
1
= 4 · 23 = 4 · 8 = 32.
(b) Como
lim
x→1
x3 − 3x + 2 = 0 e lim
x→1
x2 − 2x + 1 = 0
podemos usar a regra de L’Hoˆpital. Temos que
lim
x→1
x3 − 3x + 2
x2 − 2x + 1 = limx→1
(x3 − 3x + 2)′
(x2 − 2x + 1)′ = limx→1
3x2 − 3
2x− 2 ,
que novamente e´ um limite da forma “0/0”, ou seja,
lim
x→1
3x2 − 3 = 0 e lim
x→1
2x− 2 = 0.
Podemos enta˜o usar a regra de L’Hoˆpital novamente para obter
lim
x→1
3x2 − 3
2x− 2 = limx→1
(3x2 − 3)′
(2x− 2)′ = limx→1
6x
2
=
6
2
= 3.
(c) Como
lim
x→1−
x− 1 = 0 e lim
x→1−
x3 − 3x + 2 = 0,
podemos usar a regra de L’Hoˆpital. Temos que
lim
x→1−
x− 1
x3 − 3x + 2 = limx→1−
(x− 1)′
(x3 − 3x + 2)′ = limx→1−
1
3x2 − 3
que e´ um limite da forma “1/0”. Precisamos enta˜o fazer a ana´lise de sinais do polinoˆmio
3x2−3. Este polinoˆmio tem ra´ızes 0 e 1 e seu gra´fico e´ uma para´bola com a concavidade
para cima e portanto, vemos pela figura
que lim
x→1−
1
3x2 − 3 =
1
−0 = −∞.
4
(d) Como
lim
x→+∞
ln(x) = +∞ e lim
x→+∞
x2 = +∞,
podemos usar a regra de L’Hoˆpital. Temos que
lim
x→+∞
ln(x)
x2
= lim
x→+∞
(ln(x))′
(x2)′
= lim
x→+∞
1/x
2x
= lim
x→+∞
1
2x2
= 0.
(e) Como
lim
x→+∞
ex = +∞ e lim
x→+∞
x2 = +∞
podemos usar a regra de L’Hoˆpital. Temos que
lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
(ex)′
(x2)′
= lim
x→+∞
ex
2x
,
que novamente e´ um limite da forma “∞/∞”, ou seja,
lim
x→+∞
ex = +∞ e lim
x→+∞
2x = +∞.
Podemos enta˜o usar a regra de L’Hoˆpital novamente para obter
lim
x→+∞
ex
2x
= lim
x→+∞
(ex)′
(2x)′
= lim
x→+∞
ex
2
= +∞.
5a QUESTA˜O: Precisamos achar os nu´meros cr´ıticos de L(x), que sa˜o dados por
L′(x) = 0 ⇒ 50− 0, 2x = 0 ⇒ x = 250.
Enta˜o existe apenas um nu´mero cr´ıtico, que e´ x = 250. Para determinar se este e´ de fato
um ma´ximo relativo, devemos usar o teste da derivada segunda. Temos
L′′(x) = −0, 2 ⇒ L′′(250) = −0, 2 < 0
mostrando que de fato x = 250 e´ um valor ma´ximo. O lucro ma´ximo obtido e´ enta˜o
L(250) = 50 · 250− 0, 1 · 2502 + 10 = 6260 reais.
6a QUESTA˜O: Precisamos achar os nu´meros cr´ıticos de C(x), que sa˜o dados por
C ′(x) = 0 ⇒ 3x2 − 60x = 0 ⇒ x = 0 ou 20.
Enta˜o existem dois nu´meros cr´ıticos, que sa˜o x = 0 e x = 20. Usando o teste da derivada
segunda temos que
C ′′(x) = 6x− 60 ⇒ C
′′(0) = 0− 60 = −60 < 0 ⇒ ma´ximo
C ′′(20) = 120− 60 = 60 > 0 ⇒ mı´nimo.
Assim, o custo de produc¸a˜o por cada unidade sera´ mı´nimo quando forem produzidas 20
unidades do produto.
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