VE_1_2009 - Calculo I - Prova

Prévia do material em texto

1) Uma partícula move-se ao longo de uma curva ℘ sobre a superfície z= x
2
4
 y
2
9
 começando na origem com velocidade inicial V 0=2j .
 Sabe-se que a projeção desta curva sobre o plano xy é uma curva plana  com velocidade 
escalar constante 2 e que a cada instante 
 0≥t a curvatura é t =4t Assumindo que em uma vizinhança 0 ; t0 esta curva 
nunca vai à direita do eixo y ,
(a) Determine a velocidade da curva  em um instante t0 .
(b) Sabendo que no instante 3
4
=−2, 9
2
 , determine a velocidade da curva ℘ 
no instante 
4
3pi
=t .
2) (a) Prove que f :ℝnℝ dada por f x= 〚x 〛 tem derivada com relação a 
qualquer vetor y em qualquer ponto a∈ℝn exceto em a=0 .
(b) Dado um ponto a∈ℝ2 obtenha todas as direções y∈ℝ2 tais que a superfície 
z= f  x , y dada em (a) tenha inclinação igual a 1 nos pontos h a , 
h∈ℝ* . Faça um esboço do gráfico desta superfície.
3) Mostre que para quaisquer vetores não nulos a=a1,a2 e y= y1, y2 ,existe 
h∈0 ;1 tal que ln 1
y1 y2
a1a2
=
y1 y2
a1a2h  y1 y2
4) Seja z= f  x , y uma superfície definida implicitamente pela equação 
sen xzsen  x− y=2 de modo que o ponto 3 , 114 ,−
9
4

pertence ao gráfico de f
(a) Usando derivação implícita, determine expressões em termos de x , y e z para 
∂ z
∂ y
e para 
∂2 z
∂ y2
. 
(b) Uma partícula move-se sobre a superfície na direção y passando pelo ponto 
3 , 11
4
,−9
4
 . Qual sua velocidade e aceleração neste ponto? 
 (c)Determine a equação da reta tangente à superfície no ponto 3 , 11
4
,−9
4

na direção y .