Matemática para economia

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Notas Matema´tica para Economia I
Felipe Rivero e Thiago Salvador
Revisado por:
Maria Emilia Neves, Juliana Coelho e Yuri Ki
Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Departamento de Ana´lise
2016
F. Rivero e T. Salvador 2 Matema´tica para Economia I
Suma´rio
1 Limites 5
1.1 Noc¸a˜o intuitiva de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Limites envolvendo infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.1 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.4.2 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.3 O nu´mero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5 Ass´ıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Derivac¸a˜o 55
2.1 Noc¸a˜o intuitiva de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1.1 Coeficiente Angular da Reta Tangente ao Gra´fico de uma Func¸a˜o . 55
2.1.2 Taxa de Variac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.3 A Derivada de uma Func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2 Regras ba´sicas de derivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3 Derivac¸a˜o Impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.1 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4 Exponenciais e trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3
SUMA´RIO SUMA´RIO
2.4.1 Derivadas de func¸o˜es exponenciais e de
func¸o˜es logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.2 Derivadas de func¸o˜es trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.5 Regra da func¸a˜o inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7 Regra de L’Hoˆpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.7.1 Outras formas inderteminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Aplicac¸o˜es 119
3.1 Fun. crescente e decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2 Extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3 Concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4 Esboc¸o de gra´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.5 Problemas de Otimizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4 Va´rias varia´veis 147
4.1 Definic¸a˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2.1 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3 Regras da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.3.1 Diferenciac¸a˜o impl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4 Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4.1 O teste da Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Revisa˜o 181
F. Rivero e T. Salvador 4 Matema´tica para Economia I
Cap´ıtulo 1
Limite de func¸o˜es de uma varia´vel
real
O conceito de limite e´ o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do
Ca´lculo, como os de continuidade, derivada e integral. Nesse cap´ıtulo vamos discutir o
que sa˜o os limites e como podem ser calculados. Tambe´m vamos estudar o conceito de
continuidade.
1.1 Noc¸a˜o intuitiva de limite
De maneira geral, o processo de determinar o limite consiste em investigar o compor-
tamento do valor da imagem f(x) de uma func¸a˜o f a` medida que sua varia´vel independente
x se aproxima de um nu´mero, que pode ou na˜o pertencer ao domı´nio de f .
Vamos supor que um estudo de mercado sobre uma empresa estima que o investimento
de x milho˜es de reais geram um benef´ıcio dado pela func¸a˜o abaixo
f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 .
Os trabalhadores da empresa querem saber o valor estimado do benef´ıcio quando ha´
um investimento de 1 milha˜o de reais. Embora a func¸a˜o f na˜o seja definida em x = 1,
podemos avaliar f(x) para valores de x muito pro´ximos de 1. Para fazer isto, podemos
observar a tabela a seguir,
x 0.9 0.95 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.05 1.1
f(x) 2,9 2,95 2,99 2,999 – 3,001 3,01 3,05 3,1
5
1.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE LIMITE CAPI´TULO 1. LIMITES
Os valores da func¸a˜o na tabela sugerem que:
• f(x) se aproxima do nu´mero 3 a` medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados.
Portanto, os benef´ıcios se aproximam de 3 milho˜es de reais quando o investimento
se aproxima de 1 milha˜o.
• Podemos obter valores para f(x) ta˜o pro´ximos de 3 quanto quisermos, bastando
para isso tomar valores de x suficientemente pro´ximos de 1.
Esse comportamento pode ser descrito, intuitivamente, dizendo que o limite de f(x)
quando x tende a 1 e´ igual a 3 e abreviado por
lim
x→1
f(x) = 3 ou lim
x→1
x2 + x− 2
x− 1 = 3
Na Figura 1.1 podemos observar que o gra´fico de f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 e´ uma reta com
um ’buraco’ no ponto (1, 3), e os pontos (x, y) = (x, f(x)) no gra´fico se aproximam desse
buraco a` medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados.
Figura 1.1: Gra´fico de f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 [Video]
F. Rivero e T. Salvador 6 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE LIMITE
Temos a seguinte definic¸a˜o (informal) de limite:
Definic¸a˜o 1.1 Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto em torno de um ponto
c, exceto possivelmente em c. Se o valor de f(x) fica arbitrariamente pro´ximo de um
valor L para todos os valores suficientemente pro´ximos de c, dizemos que f tem limite
L e escrevemos
lim
x→c
f(x) = L ou f(x)
x→c−−−→ L
Ao definirmos limite, admitimos que f(x) e´ definida para todos os valores de x nas
proximidades de c, mas na˜o necessariamente em x = c. A func¸a˜o na˜o precisa nem existir
em x = c, e, mesmo que exista, seu valor f(c) neste ponto pode ser diferente do limite
quando x tende a c. Na Figura 1.2 o limite de f(x) quando x → c, e´ igual a L, embora
as func¸o˜es se comportem de forma bastante diferente em x = c.
(a) f(c) e´ igual ao limite L (b) f(c) e´ diferente de L
(c) f(c) na˜o esta´ definido
Figura 1.2: Diferentes comportamentos de limites
F. Rivero e T. Salvador 7 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
A Figura 1.3 mostra os gra´ficos de duas func¸o˜es que na˜o teˆm limite quando x tende a
c. O limite na˜o existe na figura (a) porque os limites laterais sa˜o diferentes, isto e´, f(x)
se aproxima de 5 quando x tende a c pela direita e se aproxima de 3 (um valor diferente)
quando x tende a c pela esquerda. A func¸a˜o da figura (b) na˜o tem limite (finito) quando
x tende a c porque os valores de f(x) aumentam indefinidamente a` medida que x se
aproxima de c. Dizemos que func¸o˜es como a da figura (b) teˆm um limite infinito quando
x tende a c. Limites laterais e limites infinitos sera˜o estudados mais adiante.
(a) Limites laterais distintos (b) Limite infinito
Figura 1.3: Limites laterais e limite infinito
Vamos apresentar a seguir uma definic¸a˜o precisa de limite, conceito que foi introduzido
informalmente na Definic¸a˜o1.1.
Definic¸a˜o 1.2 Seja f uma func¸a˜o com valores reais definida num intervalo aberto em
torno de un valor c, exceto possivelmente em c e seja L um nu´mero real. Dizemos que o
limite de f quando x tende a c e´ L se para todo nu´mero ε > 0 existe um nu´mero
δ > 0 tal que |f(x)− L| < ε para todo x verificando |x− c| < δ.
1.2 Propriedades dos limites
Seria muito trabalhoso calcular cada limite por meio de uma tabela, como fizemos na
sec¸a˜o anterior. O nosso objetivo agora e´ introduzir propriedades (teoremas) que permitam
simplificar o ca´lculo dos limites de func¸o˜es alge´bricas.
F. Rivero e T. Salvador 8 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
O Teorema 1.1 a seguir, se refere aos limites de duas func¸o˜es lineares elementares.
Teorema 1.1 Sejam c e k nu´meros reais. Enta˜o,
i) lim
x→c
k = k.
ii) lim
x→c
x = c.
O Teorema 1.2 mostra como calcular limites de func¸o˜es que sa˜o combinac¸o˜es aritme´ticas
de func¸o˜es cujos limites ja´ conhecemos.
Teorema 1.2 Se L, M , c e k sa˜o nu´meros reais, f e g func¸o˜es reais com valores reais e
lim
x→c
f(x) = L e lim
x→c
g(x) = M , enta˜o:
i) lim
x→c
(f(x)± g(x)) = lim
x→c
f(x)± lim
x→c
g(x) = L±M .
ii) lim
c→c
(f(x) · g(x)) = lim
x→c
f(x) · lim
x→c
g(x) = L ·M .
iii) lim
x→c
(k · f(x)) = k · lim
x→c
f(x) = k · L.
iv) lim
x→c
(f(x))n =
(
lim
x→c
f(x)
)n
= Ln onde n ∈ N.
v) Se M 6= 0, enta˜o lim
x→c
f(x)
g(x)
=
lim
x→c
f(x)
lim
x→c
g(x)
=
L
M
.
vi) lim
x→c
n
√
f(x) = n
√
lim
x→c
f(x) =
n
√
L onde n e´ um nu´mero natural ı´mpar maior que 1, ou
n e´ um nu´mero natural par e L > 0.
Exemplo 1.1 Vamos calcular os seguintes limites usando o teorema anterior:
1. lim
x→5
7.
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1, lim
x→5
7 = 7
2. lim
x→−3
(x− 5).
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i) e ii) do Teorema 1.2,
lim
x→−3
(x− 5) = lim
x→−3
x− lim
x→−3
5 = −3− 5 = −8.
F. Rivero e T. Salvador 9 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
3. lim
x→2
(x3 + 2x+ 5)
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i), ii) e iii) do Teorema 1.2,
lim
x→2
(x3 + 2x+ 5) = lim
x→2
x3 + lim
x→2
2x+ lim
x→2
5
=
(
lim
x→2
x
)3
+ 2 lim
x→2
x+ lim
x→2
5
= 23 + 2 · 2 + 5 = 17
4. lim
x→4
(3x2 − 5).
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.1 e as propriedades i), ii) e iii) do Teorema 1.2,
lim
x→4
(3x2 − 5) = lim
x→4
(3x2)− lim
x→4
5
= 3
(
lim
x→4
x
)2
− lim
x→4
5
= 3 · 42 − 5 = 43
Aplicando os Teoremas 1.1 e 1.2 podemos determinar facilmente o limite de func¸o˜es
polinomiais e de algumas func¸o˜es racionais.
Teorema 1.3 Sejam p(x) e q(x) func¸o˜es polinomiais.
i) lim
x→c
p(x) = p(c).
ii) Seja r(x) =
p(x)
q(x)
uma func¸a˜o racional e q(c) 6= 0, enta˜o lim
x→c
r(x) = r(c).
Observac¸a˜o: Os limites 2, 3 e 4 do Exemplo 1.1 podem ser calculados diretamente
aplicando o Teorema 1.3.
Exemplo 1.2 Vamos calcular os limites abaixo usando os teoremas anteriores:
1. lim
x→0
(x5 − 3x4 + 2x2 + 7).
Soluc¸a˜o: Como p(x) = x5− 3x4 + 2x2 + 7 e´ uma func¸a˜o polinomial, pelo Teorema
1.3 lim
x→0
p(x) = p(0) e, portanto,
lim
x→0
(x5 − 3x4 + 2x2 + 7) = 05 − 3 · 04 + 2 · 02 + 7 = 7.
F. Rivero e T. Salvador 10 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
2. lim
x→0
x− 2
x+ 8
.
Soluc¸a˜o: Chamando de p(x) = x − 2 e de q(x) = x + 8 e observando que q(0) =
8 6= 0 podemos aplicar o Teorema 1.3, obtendo
lim
x→0
x− 2
x+ 8
=
0− 2
0 + 8
= −2
8
= −1
4
3. lim
x→−1
2x+ 1
x2 + 3x
.
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.3 com p(x) = 2x+ 1 e q(x) = x2 + 3x,
lim
x→−1
2x+ 1
x2 + 3x
=
2(−1) + 1
(−1)2 + 3(−1) =
1
2
4. lim
x→−2
4
√
x2 − 4x+ 4.
Soluc¸a˜o: Pelo Teorema 1.3, lim
x→−2
(x2 − 4x+ 4) = (−2)2 − 4 · (−2) + 4 = 16. Usando
agora a propriedade iv) do Teorema 1.2,
lim
x→−2
4
√
x2 − 4x+ 4 = 4
√
lim
x→−2
(x2 − 4x+ 4) = 4
√
16 = 2.
5. lim
x→−1
3
√
5x− 3.
Soluc¸a˜o: Analogamente ao exemplo anterior,
lim
x→−1
3
√
5x− 3 = 3
√
lim
x→−1
(5x− 3) = 3
√
5 · (−1)− 3 = 3√−8 = −2.
6. lim
x→5
√
5x
x+ 4
.
Soluc¸a˜o: Sendo agora de p(x) = 5x e q(x) = x+ 4 e observando que q(5) = 9 6= 0,
pelo Teorema 1.3 obtemos que lim
x→5
5x
x+ 4
=
3 · 5
5 + 4
=
25
9
. Enta˜o, pelo Teorema 1.2,
lim
x→5
√
5x
x+ 4
=
√
lim
x→5
5x
x+ 4
=
√
25
9
=
√
25√
9
=
5
3
.
F. Rivero e T. Salvador 11 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Vamos estudar agora o limite da func¸a˜o f(x) =
x2 − 4
x− 2 quando x → 2. Um primeiro
estudo mostra que tanto o numerador quanto o denominador tende para zero quando x→
2, portanto na˜o podemos aplicar o Teorema 1.3. Habitualmente, nestes casos precisamos
de uma simplificac¸a˜o. Observamos que para todos os valores de x tais que x 6= 2 temos
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 =
���
�(x− 2)(x+ 2)
���x− 2 = x+ 2.
Portanto, a func¸a˜o f(x) e´ igual a` func¸a˜o h(x) = x+2 para todos os valores x pro´ximos
de 2 mas diferentes de 2. Como para o ca´lculo dos limites na˜o precisamos do valor no
mesmo ponto (ver Definic¸a˜o 1.1), enta˜o temos
lim
x→2
x2 − 4
x− 2 = limx→2(x+ 2) = 4,
onde podemos usar o Teorema 1.3 para o ca´lculo do segundo limite. Podemos sintetizar
a observac¸a˜o anterior no seguinte teorema:
Teorema 1.4 Se lim
x→c
h(x) = L e f(x) e´ uma func¸a˜o tal que f(x) = h(x) para todos os
valores de x pertencentes a algum intervalo ao redor de c, excluindo o valor x = c, enta˜o
lim
x→c
f(x) = lim
x→c
h(x) = L.
Exemplo 1.3 Vamos calcular os seguintes limites usando o Teorema 1.4. Para cada um
deles vamos precisar de um estudo pre´vio, bem fazendo uma fatorac¸a˜o bem usando alguma
outra te´cnica.
1. lim
x→1
x2 + x− 2
x− 1
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 na˜o esta´ definida em x = 1 pois
tanto o numerador quanto o denominador sa˜o iguais a zero quando x = 1. Fatorando
o numerador temos x2 + x− 2 = (x− 1)(x + 2). Portanto, para todos os valores x
reais tais que x 6= 1,
f(x) =
x2 + x− 2
x− 1 =
(x− 1)(x+ 2)
x− 1 =
���
�(x− 1)(x+ 2)
���x− 1 = x+ 2.
Logo,
lim
x→1
x2 + x− 2
x− 1 = limx→1(x+ 2) = 1 + 2 = 3.
F. Rivero e T. Salvador 12 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
2. lim
x→3
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3 na˜o esta´ definida para o valor x = 3, pois
o numerador e o denominador sa˜o iguais a zero cuando x tem valor de 3. Fatorando
o numerador obtemos x2−x−6 = (x−3)(x+2); fatorando o denominador obtemos
x2 − 4x + 3 = (x − 3)(x − 1). Logo, para todos os valores x reais tais que x 6= 3
obtemos
f(x) =
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3 =
(x− 3)(x+ 2)
(x− 3)(x− 1) =
���
�(x− 3)(x+ 2)
���
�(x− 3)(x− 1) =
x+ 2
x− 1 .
Enta˜o,
lim
x→3
x2 − x− 6
x2 − 4x+ 3 = limx→3
x+ 2
x− 1 =
3 + 2
3− 1 =
5
2
.
3. lim
x→−2
4− x2
2x+ 4
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
4− x2
2x+ 4
na˜o esta´ definida para x = −2 pois
tanto o numerador quanto o denominador sa˜o zero quando x = −2. Fatorando o
numerador temos 4 − x2 = (2 − x)(2 + x). Portanto, para todos os valores x reais
tais que x 6= −2,
f(x) =
4− x2
2x+ 4
=
(2− x)(2 + x)
2(x+ 2)
=
(2− x)����(2 + x)
2���
�(x+ 2)
=
2− x
2
.
Logo,
lim
x→−2
4− x2
2x+ 4
= lim
x→−2
2− x
2
=
2− (−2)
2
= 2.
4. lim
x→−2
x3 + 2x2
3x+ 6
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
x3 + 2x2
3x+ 6
na˜o esta´ definida para o valor x =−2, pois
o numerador e o denominador sa˜o iguais a zero cuando x = −2. Fatorando o
numerador obtemos x3 + 2x2 = x2(x+ 2). Enta˜o, para todos os valores x reais tais
que x 6= −2 obtemos
f(x) =
x3 + 2x2
3x+ 6
=
x2(x+ 2)
3(x+ 2)
=
x2���
�(x+ 2)
3���
�(x+ 2)
=
1
3
x2.
Assim,
lim
x→−2
x3 + 2x2
3x+ 6
= lim
x→−2
1
3
x2 =
1
3
· (−2)2 = 4
3
.
F. Rivero e T. Salvador 13 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
5. lim
x→−1
x2 + x
x2 + 3x+ 2
Soluc¸a˜o: Enta˜o a func¸a˜o f(x) =
x2 + x
x2 + 3x+ 2
na˜o esta´ definida para o valor x = −1
pois tanto o numerador quanto o denominador sa˜o zero quando x tem valor de −1.
Fatorando o numerador temos que x2 + x = x(x + 1) e fatorando o denominador
obtemos x2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1). Portanto, para todos os valores x reais tais
que x 6= −1,
f(x) =
x2 + x
x2 + 3x+ 2
=
x(x+ 1)
(x+ 2)(x+ 1)
=
x���
�(x+ 1)
(x+ 2)���
�(x+ 1)
=
x
x+ 2
.
Portanto,
lim
x→−1
x2 + x
x2 + 3x+ 2
= lim
x→−1
x
x+ 2
=
−1
−1 + 2 = −1.
6. lim
x→0
(x+ 1)2 − 1
x
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
(x+ 1)2 − 1
x
na˜o esta´ definida para o valor x = 0,
pois o numerador e o denominador se aproximam ao zero cuando x tende para 0.
Calculando o produto nota´vel no numerador e fatorando depois obtemos (x+1)2−1 =
(x2 + 1 + 2x)− 1 = x2 + 2x = x(x+ 2). Logo, para todos os valores x reais tais que
x 6= 0 obtemos
f(x) =
(x+ 1)2 − 1
x
=
x(x+ 2)
x
=
�x(x+ 2)
�x
= x+ 2.
Enta˜o,
lim
x→0
(x+ 1)2 − 1
x
= lim
x→0
(x+ 2) = 2.
7. lim
x→1
1− x
1−√x
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
1− x
1−√x na˜o esta´ definida para o valor x = 1
pois tanto o numerador quanto o denominador tem valor de zero quando x = 1.
Quando aparece uma raiz no denominador ou no numerador, multiplicamos para
obter uma identidade nota´vel da forma (a + b)(a − b) = a2 − b2. Mas, para na˜o
mudar a func¸a˜o, precisamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador
por o mesmo fator1.
1Multiplicar e dividir pelo mesmo fator e´ como multiplicar por 1.
F. Rivero e T. Salvador 14 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Assim,
f(x) =
1− x
1−√x =
(
1− x
1−√x
)(
1 +
√
x
1 +
√
x
)
=
(1− x)(1 +√x)
1− x .
Para todo valor x 6= 1, podemos simplificar a expressa˜o anterior
f(x) =
1− x
1−√x =
(1− x)(1 +√x)
1− x =
���
�(1− x)(1 +√x)
���1− x = 1 +
√
x.
Logo,
lim
x→1
1− x
1−√x = limx→1
(
1 +
√
x
)
= 1 +
√
1 = 2.
8. lim
x→4
√
x− 2
x− 4
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
√
x− 2
x− 4 na˜o esta´ definida para o valor x = 4, pois o nu-
merador e o denominador sa˜o zero cuando x = 4. Analogamente, vamos multiplicar
a func¸a˜o por
√
x+ 2√
x+ 2
, obtendo
f(x) =
√
x− 2
x− 4 =
(√
x− 2
x− 4
)(√
x+ 2√
x+ 2
)
=
(
√
x− 2)(√x+ 2)
(x− 4)(√x+ 2) =
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) .
Assim, para todo valor x 6= 4,
f(x) =
√
x− 2
x− 4 =
x− 4
(x− 4)(√x+ 2) =
���x− 4
���
�(x− 4)(√x+ 2) =
1√
x+ 2
.
Portanto,
lim
x→4
√
x− 2
x− 4 = limx→4
1√
x+ 2
=
1√
4 + 2
=
1
4
.
9. lim
x→3
√
x+ 6− 3
x− 3
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o f(x) =
√
x+ 6− 3
x− 3 na˜o esta´ definida para o valor
x = 3 pois tanto o numerador quanto o denominador sa˜o iguais a zero quando x = 3.
F. Rivero e T. Salvador 15 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Multiplicando numerador e denominador por
√
x+ 6 + 3 obtemos
f(x) =
√
x+ 6− 3
x− 3
=
(√
x+ 6− 3
x− 3
)(√
x+ 6 + 3√
x+ 6 + 3
)
=
(
√
x+ 6)2 − 9
(x− 3)(√x+ 6 + 3)
=
x− 3
(x− 3)(√x+ 6 + 3) .
Enta˜o, para todo valor real x distinto de 3 temos
f(x) =
√
x+ 6− 3
x− 3 =
x− 3
(x− 3)(√x+ 6 + 3) =
���x− 3
���
�(x− 3)(√x+ 6 + 3) =
1√
x+ 6 + 3
.
Logo,
lim
x→3
√
x+ 6− 3
x− 3 = limx→3
1√
x+ 6 + 3
=
1√
3 + 6 + 3
=
1
6
.
1.2.1 Limites laterais
Quando uma func¸a˜o e´ definida apenas de um lado de um nu´mero c, ou quando uma
func¸a˜o se comporta de forma diferente de cada lado de um nu´mero c, e´ mais natural, ao
definir o limite, exigir que a varia´vel independente tenda para c apenas do lado que esta´
sendo considerado. Essa situac¸a˜o e´ ilustrada no seguinte exemplo:
Exemplo 1.4 Seja a func¸a˜o f(x) =
{
3x− 2 se x < 3
5− x se x ≥ 3 .
A Figura 1.4 mostra que o valor de f(x) tende a 7 quando x tende a 3 para valores
menores que 3, isto e´, f(x) tende a 7 quando x tende a 3 pela esquerda. Denotamos esse
fato simbolicamente como lim
x→3−
f(x) = 7
A figura mostra, tambe´m, que o valor de f(x) tende a 2 quando x tende a 3 para valores
maiores que 3, isto e´, f(x) tende a 2 quando x tende a 3 pela direita. Simbolicamente
temos lim
x→3+
f(x) = 2
F. Rivero e T. Salvador 16 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Figura 1.4: Gra´fico de f(x). [Video]
Estes limites sa˜o chamados de limites laterais e podemos definir como:
Definic¸a˜o 1.3 Seja f(x) uma func¸a˜o real com valores reais. Chamamos de limite late-
ral a` esquerda quando x tende ao valor c ao limite da func¸a˜o quando x se aproxima
de c somente por valores menores ao valor c. Se L e´ o valor do limite lateral a` esquerda
da func¸a˜o f(x), enta˜o denotamos por lim
x→c−
f(x) = L.
Analogamente, chamamos de limite lateral a` direita quando x tende ao valor c
ao limite da func¸a˜o quando x se aproxima de c somente por valores maiores ao valor c. Se
L e´ o valor do limite lateral a` direita da func¸a˜o f(x), enta˜o denotamos por lim
x→c+
f(x) = L.
O teorema a seguir estabelece a relac¸a˜o entre limites laterais e limites.
Teorema 1.5 O lim
x→c
f(x) existe e e´ igual a L se e somente se os limites laterais sa˜o
iguais, ou seja
lim
x→c−
f(x) = lim
x→c+
f(x) = L.
No Exemplo 1.4, como lim
x→3−
f(x) 6= lim
x→3+
f(x), conclu´ımos que lim
x→3
f(x) na˜o existe.
Observac¸a˜o: Limites laterais teˆm todas as propriedades enumeradas na Sec¸a˜o 1.2.
F. Rivero e T. Salvador 17 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Exemplo 1.5 Seja f(x) =
{
4x+ 7 se x < −1
x2 + 2 se x ≥ −1 . Determinar, caso existir, limx→−1 f(x).
Soluc¸a˜o: Como a func¸a˜o tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita do valor
x = −1, vamos calcular os limites laterais. Se eles tiveram o mesmo valor, enta˜o existira´
o limite. Caso contra´rio, o limite na˜o existira´. Para calcular os limites laterais vamos
usar os teoremas 1.1, 1.2 e 1.3 da Sec¸a˜o 1.2. Assim, para obter o limite a` esquerda de
−1 da func¸a˜o f(x) usamos a expressa˜o de f(x) para x < −1, obtendo
lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1−
(4x+ 7) = 4 · (−1) + 7 = 3.
Do mesmo modo, para calcular o valor do limite a` direita de −1 de f(x), usamos o
valor da expressa˜o da func¸a˜o para os valores x ≥ −1. Logo,
lim
x→−1+
f(x) = lim
x→−1
(x2 + 2) = (−1)2 + 2 = 3.
Como lim
x→−1−
f(x) = lim
x→−1+
f(x) = 3, pelo Teorema 1.5 existe o limite de f(x) quando
x→ −1 e lim
x→−1
f(x) = 3.
A Figura 1.5 mostra a func¸a˜o f(x) e os limites laterais quando x tende a −1 pela
esquerda e pela direita.
Figura 1.5: Limites laterais de f(x) quando x→ −1− e x→ −1+.[Video]
F. Rivero e T. Salvador 18 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Exemplo 1.6 Seja g(x) =

x2 + 1 se x < 2
2 se x = 2
9− x2 se x > 2
. Determinar, caso existir, lim
x→2
f(x).
Soluc¸a˜o: Como a func¸a˜o tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita do valor x = 2,
vamos calcular os limites laterais. Primeiro vamos calcular o limite a` esquerda usando a
fo´rmula para os valores de x menores que2.
lim
x→2−
g(x) = lim
x→2−
(x2 + 1) = 22 + 1 = 5.
Analogamente, para calcular o valor do limite lateral a` direita de x = 2, usamos a
fo´rmula de g(x) para os valores maiores que 2. Assim,
lim
x→2+
g(x) = lim
x→2+
(9− x2) = 9− 22 = 5.
Como lim
x→2−
g(x) = lim
x→2+
g(x) = 5, pelo Teorema 1.5 existe o limite de g(x) quando
x→ 2 e lim
x→2
g(x) = 5.
A Figura 1.6 mostra a func¸a˜o g(x) e os limites laterais quando x tende a 2 pela
esquerda e pela direita.
Figura 1.6: Limites laterais de g(x) quando x→ 2− e x→ 2+. [Video]
Observac¸a˜o: Neste caso o valor da func¸a˜o no ponto x = 2 e´ distinto do valor do
limite quando x→ 2.
F. Rivero e T. Salvador 19 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Exemplo 1.7 Seja h(x) =
{
x+ 1 se x ≤ 3
3x− 7 se x > 3 . Determine, caso existam, os seguintes
limites:
1. lim
x→0
h(x) 2. lim
x→3
h(x) 3. lim
x→5
h(x)
Soluc¸a˜o:
1. Como a func¸a˜o h(x) tem a mesma fo´rmula a` esquerda e a` direita do valor x = 0, o
ca´lculo do limite e´ feito aplicando o Teorema 1.3. Assim,
lim
x→0
h(x) = lim
x→0
(x+ 1) = 0 + 1 = 1.
Logo, lim
x→0
h(x) = 1.
2. Como a func¸a˜o h(x) tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita do valor x = 3,
vamos calcular os limites laterais. Vamos calcular o limite a` esquerda. Para isso
usamos a fo´rmula para os valores x < 3.
lim
x→3−
h(x) = lim
x→3−
(x+ 1) = 3 + 1 = 4.
Agora vamos calcular o limite a` direita usando a fo´rmula para os valores x > 3.
lim
x→3+
h(x) = lim
x→3+
(3x− 7) = 3 · 3− 7 = 2.
Como lim
x→3−
h(x) 6= lim
x→3+
h(x), na˜o existe o limite lim
x→3
h(x).
3. Como a func¸a˜o h(x) tem a mesma fo´rmula a` esquerda e a` direita do valor x = 5, o
ca´lculo do limite e´ feito aplicando o Teorema 1.3. Assim,
lim
x→5
h(x) = lim
x→5
(3x− 7) = 3 · 5− 7 = 8.
Logo, lim
x→5
h(x) = 8.
A Figura 1.7 mostra a func¸a˜o h(x) e os limites anteriores.
F. Rivero e T. Salvador 20 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES
Figura 1.7: Limites de i), ii) e iii) de h(x). [Video]
Vamos ver um problema aplicado a` Economia.
Exemplo 1.8 Os organizadores de um evento esportivo estimam que se o evento e´ anun-
ciado com x semanas de antecedeˆncia, a receita obtida sera´ R(x) milhares de do´lares,
onde
R(x) = 15x− x2 − 50.
O custo de divulgac¸a˜o do evento para x semanas e´ C(x) milhares de do´lares, onde
C(x) = x− 5.
O lucro para os organizadores e´ definido como a diferenc¸a entre a receita e o custo.
Portanto, a func¸a˜o lucro L(x) e´ dada por
L(x) = R(x)− C(x) = (15x− x2 − 50)− (x− 5) = 14x− 45− x2.
A Figura 1.8 mostra o gra´fico da func¸a˜o lucro, onde somente precisamos mostrar
os valores de L(x) para valores positivos de x porque na˜o tem sentido considerar dias
negativos.
F. Rivero e T. Salvador 21 Matema´tica para Economia I
1.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES CAPI´TULO 1. LIMITES
Figura 1.8: Gra´fico da func¸a˜o lucro L(x)
Vemos que para o valor x = 7 a func¸a˜o lucro atinge seu valor ma´ximo, com um valor
de L(7) = 4. Logo o lucro ma´ximo ma´ximo e´ de $4.000 e e´ atingido com uma divulgac¸a˜o
de 7 semanas.
A relac¸a˜o entre receita e custo e´ definida por Q(x) =
R(x)
C(x)
=
15x− x2 − 50
x− 5 e pode
ser interpretada como o aumento da receita dependendo do custo. Se avaliamos a func¸a˜o
Q(x) no valor ma´ximo para o lucro, obtemos que
Q(7) =
15 · 7− 72 − 50
7− 5 =
6
2
= 3.
Enta˜o, para x = 7 o valor da receita e´ o triplo do custo, isto e´, R(7) = 3C(7).
Substituindo na definic¸a˜o da func¸a˜o lucro obtemos
L(7) = R(7)− C(7) = 3C(7)− C(7) = 2C(7).
Logo, o lucro ma´ximo e´ o dobro do custo.
Vamos estudar agora o que acontece quando queremos determinar R(5). Como nesse
valor lucro e receita tem valor 0, precisamos calcular o limite da func¸a˜o R(x) quando
x→ 5. Vamos fatorar a func¸a˜o. Assim, para todo valor x distinto de 5, obtemos
15x− x2 − 50
x− 5 =
−(x− 5)(x− 10)
x− 5 =
−����(x− 5)(x− 10)
���x− 5 = 10− x.
F. Rivero e T. Salvador 22 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
Portanto,
lim
x→5
R(x) = lim
x→5
(10− x) = 10− 5 = 5,
e a` medida que nos aproximamos da quinta semana, a receita e´ cinco vezes maior do que
o custo, ou seja, que R(5) = 5C(5) e
L(5) = R(5)− C(5) = 5C(5)− C(5) = 4C(5).
Mas como o valor do custo para x = 5 e´ zero, enta˜o o lucro tambe´m tem valor 0.
1.3 Continuidade
Na linguagem comum, um processo cont´ınuo e´ aquele que ocorre sem interrupc¸o˜es
ou mudanc¸as repentinas, isto e´, pequenas variac¸o˜es na varia´vel correspondem pequenas
variac¸o˜es nas imagens. Intuitivamente, dizemos que uma func¸a˜o e´ cont´ınua se podemos
desenhar o seu gra´fico sem interrupc¸o˜es, buracos ou pulos. Formalmente, a definic¸a˜o de
continuidade e´ expressa utilizando a noc¸a˜o de limite da seguinte maneira:
Definic¸a˜o 1.4 Seja c um valor de R. Uma func¸a˜o real f e´ cont´ınua em c se,
i) f(c) e´ definida,
ii) lim
x→c
f(x) existe,
iii) lim
x→c
f(x) = f(c).
Dizemos que uma func¸a˜o f e´ cont´ınua num intervalo de R se ela e´ cont´ınua em
todos os valores do intervalo, isto e´, si para todo valor c no intervalo, f e´ cont´ınua em c.
Observac¸a˜o: Uma func¸a˜o f sempre e´ cont´ınua no seu domı´nio D(f).
Na Figura 1.1 (pa´g 6), na Figura 1.2 (b) e (c) (pa´g. 7) e na Figura 1.3 (pa´g. 8) temos
exemplos de func¸o˜es na˜o cont´ınuas.
Exemplo 1.9 Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas em x = −2
1. f(x) = x3 − 2x+ 1
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o esta´ definida para o valor x = −2 e que f(−2) = −3.
Aplicando o Teorema 1.3,
lim
x→−2
f(x) = lim
x→−2
(x3 − 2x+ 1) = (−2)3 − 2 · (−2) + 1 = −3.
F. Rivero e T. Salvador 23 Matema´tica para Economia I
1.3. CONTINUIDADE CAPI´TULO 1. LIMITES
Como lim
x→−2
f(x) = f(−2), enta˜o f(x) e´ cont´ınua no valor x = −2.
Na Figura 1.9 (a) podemos olhar o gra´fico da func¸a˜o f(x).
2. g(x) =
x2 + 1
x+ 1
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o esta´ definida para o valor x = −2 e que g(−2) = −5.
Se calculamos o limite de g quando x→ −2 obtemos
lim
x→−2
g(x) = lim
x→−2
x2 + 1
x+ 1
=
(−2)2 + 1
−2 + 1 = −5,
onde aplicamos o Teorema 1.3.
Como lim
x→−2
g(x) = g(−2), enta˜o g(x) e´ cont´ınua no valor x = −2.
Na Figura 1.9 (b) podemos olhar o gra´fico da func¸a˜o g(x).
iii) h(x) =

x+ 7 se x < −2
5 se x = −2
3− x se x > −2
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o esta´ definida para o valor x = −2 e que h(−2) = 5.
Para calcular o limite de h quando x → −2 precisamos calcular os limites laterais
porque a func¸a˜o tem distintas fo´rmulas a` esquerda e a` direita de x = −2. Assim, o
limite a` esquerda de h e´
lim
x→−2−
h(x) = lim
x→−2−2
(x+ 7) = −2 + 7 = 5,
e o limite a` direita de h e´
lim
x→−2+
h(x) = lim
x→−2+
(3− x) = 3− (−2) = 5,
onde aplicamos o Teorema 1.3 para ambos os casos.
Como lim
x→−2
h(x) = h(−2), enta˜o h(x) e´ cont´ınua no valor x = −2.
Na Figura 1.9 (c) podemos olhar o gra´fico da func¸a˜o h(x).
F. Rivero e T. Salvador 24 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
(a) Continuidade de f no valor x = −2 (b) Continuidade de g no valor x = −2
(c) Continuidade de h no valor x = −2
Figura 1.9: Gra´ficos das func¸o˜es do Exemplo 1.9 [Video]
Vimos na Sec¸a˜o 1.2 que, se p(x) e q(x) sa˜o func¸o˜es polinomiais, enta˜o lim
x→c
p(x) = p(c)
e lim
x→c
r(x) = r(c) se q(c) 6= 0. De acordo com esses resultados e pela definic¸a˜o de conti-
nuidade, temos:
Teorema 1.6 Uma func¸a˜o polinomial e´ cont´ınua em todos os nu´meros reais.
Teorema 1.7 Uma func¸a˜o racional e´ cont´ınua em todos os nu´meros nos quais e´ definida.
Exemplo 1.10
1. A func¸a˜o f(x) = 3x2 − x+ 5 e´ cont´ınua em todo R.
2. A func¸a˜og(x) =
x+ 1
x− 2 e´ cont´ınua em D(g) = R − {2}, porque o denominador da
func¸a˜o tem valor zero para x = 2.
F. Rivero e T. Salvador 25 Matema´tica para Economia I
1.3. CONTINUIDADE CAPI´TULO 1. LIMITES
3. A func¸a˜o h(x) =
x− 2
x2 + 1
e´ cont´ınua em R porque o denominador nunca se anula.
Exemplo 1.11 Verificar a continuidade das seguintes func¸o˜es nos valores dados.
1. f(x) =
{
x2−4
x−2 se x 6= 2
1 se x = 2
, em x = 2.
Soluc¸a˜o: Temos que f(2) = 1 e, portanto, f esta´ definida para x = 2. Agora
vamos calcular o limite da func¸a˜o quando x tende ao valor 2. Como o numerador e
o denominador tem valor zero quando x = 2, vamos fatorar a func¸a˜o. Assim, para
x 6= 2,
x2 − 4
x− 2 =
(x− 2)(x+ 2)
x− 2 =
���
�(x− 2)(x+ 2)
���x− 2 = x+ 2.
Portanto,
lim
x→2
f(x) = lim
x→2
(x+ 2) = 2 + 2 = 4.
Como f(2) 6= lim
x→2
f(x), a func¸a˜o e´ descont´ınua em x = 2.
2. g(x) =

x2 − 1 se x < 4
15 se x = 4
3x+ 3 se x > 4
, em x = 4.
Soluc¸a˜o: Como o valor de g(4) = 15, a func¸a˜o esta´ definida em x = 4. Agora
vamos calcular o limite da func¸a˜o quando x → 4. Como a func¸a˜o tem distintas
fo´rmulas a` esquerda e a` direita, vamos calcular os limites laterais. Assim,
lim
x→4−
g(x) = lim
x→4−
(x2 − 1) = 42 − 1 = 15,
e
lim
x→4+
g(x) = lim
x→4+
(3x+ 3) = 3 · 4 + 3 = 15.
Portanto, como lim
x→4−
g(x) = lim
x→4+
g(x) = 15, enta˜o lim
x→4
g(x) = 15. Alia´s, como g(4) =
lim
x→4
g(x), a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 4.
F. Rivero e T. Salvador 26 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
3. h(x) =
{√
x+ 4 se x ≥ 0
x− 2 se x < 0 , em x = 0.
Soluc¸a˜o: Tem-se que a func¸a˜o h esta´ definida para o valor x = 0 e que h(0) = 2.
Vamos calcular o limite da func¸a˜o quando x → 0 calculando os limites laterais.
Pelas propriedades dos limites do Teorema 1.2, obtemos
lim
x→0−
h(x) = lim
x→0−
√
x+ 4 =
√
lim
x→0
(x+ 4) =
√
4 = 2.
Vamos calcular agora o limite a` direita de zero.
lim
x→0+
h(x) = lim
x→0+
(x− 2) = 0− 2 = −2.
Como os limites laterais tem valores distintos, enta˜o lim
x→0
h(x) na˜o existe e, portanto,
a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = 0.
Na Figura 4.3 podemos observar os gra´ficos das func¸o˜es f , g e h do Exemplo 1.11.
Exemplo 1.12 Seja f(x) =
{
x3−1
x−1 se x 6= 1
α se x = 1
. Determine o valor de α para que f seja
cont´ınua em todos os nu´meros reais.
Soluc¸a˜o: Pela Definic¸a˜o 1.4, precisamos que f(1) = lim
x→1
f(x). Enta˜o vamos calcular
o limite e dar esse valor para α. Como o numerador e o denominador teˆm valor zero
quando x vai para 1, vamos fazer uma fatorac¸a˜o. Assim, para todo valor x 6= 1, obtemos
x3 − 1
x− 1 =
(x− 1)(x2 + x+ 1)
x− 1 =
���
�(x− 1)(x2 + x+ 1)
���x− 1 = x
2 + x+ 1.
Logo,
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
(x2 + x+ 1) = 12 + 1 + 1 = 3.
Portanto, se α = 3, enta˜o f(1) = lim
x→1
f(x) e a func¸a˜o sera´ cont´ınua para x = 1.
Usualmente o custo de produzir uma determinada mercadoria depende do nu´mero de
unidades produzidas. Esa relac¸a˜o e´ dada pela func¸a˜o de custo, que denotamos por
C(x), onde x representa o nu´mero de unidades produzidas.
F. Rivero e T. Salvador 27 Matema´tica para Economia I
1.3. CONTINUIDADE CAPI´TULO 1. LIMITES
(a) Descontinuidade de f no valor x = 2 (b) Continuidade de g no valor x = 4
(c) Descontinuidade de h no valor x = 0
Figura 1.10: Gra´ficos das func¸o˜es do Exemplo 1.11 [Video]
Exemplo 1.13 O custo de impressa˜o de x centenas de livros educativos, em milhares de
reais, para uma editora e´ dado pela func¸a˜o de custo
C(x) =
{
x2 + 1 se x ≤ 16
252 + 100
x+
√
x
se x > 16
Vamos verificar que a func¸a˜o custo dada e´ cont´ınua. Como a func¸a˜o esta´ definida por
duas fo´rmulas, teremos que estudar a continuidade de cada uma delas e o ponto de unia˜o
de ambas.
• Para os valores x < 16, a func¸a˜o x2 + 1 e´ cont´ınua porque e´ uma func¸a˜o polinomial.
Portanto, a func¸a˜o C(x) e´ cont´ınua para tudo x < 16.
• O domı´nio da func¸a˜o 252 + 100
x+
√
x
e´ o conjunto dos nu´meros reais estritamente
F. Rivero e T. Salvador 28 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.3. CONTINUIDADE
positivos, isto e´ D = {x no R : x > 0}. Como a func¸a˜o custo esta´ definida desta
maneira para todo valor x > 16, enta˜o C(x) e´ cont´ınua para todo x > 16.
• Vamos estudar agora a continuidade no valor x = 16. Temos que C(16) = 162 +1 =
257. Agora precisamos calcular o limite de C(x) quando x → 16 usando os limites
laterais. Assim o limite a` esquerda e´
lim
x→16−
C(x) = lim
x→16
(x2 + 1) = 162 + 1 = 257,
e o limite a` direita e´
lim
x→16+
C(x) = lim
x→16
(
252 +
100
x+
√
x
)
= 252 +
100
16 +
√
16
= 257.
Portanto lim
x→16
C(x) = 257 = C(16) e a func¸a˜o C(x) e´ cont´ınua para todo x em R.
Na Figura 1.11 temos o gra´fico da func¸a˜o C(x).
Figura 1.11: Gra´fico da func¸a˜o custo C(x) do e Exemplo 1.13
F. Rivero e T. Salvador 29 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
1.4 Limites envolvendo infinito
1.4.1 Limites infinitos
Na Sec¸a˜o 1.1 calculamos o limite L dos valores f(x) de uma func¸a˜o quando x tende
para um nu´mero real c, isto e´, lim
x→c
f(x) = L onde L e´ um nu´mero real. Pode ocorrer que,
a` medida que x se aproxime de um nu´mero c, os valores de f(x) tornem-se muito grandes
(em valor absoluto). Esse fato pode ser ilustrado pelos seguintes exemplos.
Exemplo 1.14 Seja f(x) =
1
(x− 1)2 . Essa func¸a˜o na˜o e´ definida para x = 1, mas pode-
mos analisar o comportamento dos valores de f(x) quando x esta´ a` esquerda ou a` direita
desse nu´mero. Para x pro´ximo de 1, o denominador e´ muito pequeno, o que significa que
o quociente e´ muito grande. A tabela abaixo mostra o aumento de f(x) a` medida que
x→ 1.
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
f(x) 100 10.000 1.000.000 – 1.000.000 10.000 100
Observamos que quando x se aproxima de 1 pela esquerda ou pela direita, os valores de
f(x) aumentam. Se admitirmos que esses valores possam crescer ilimitadamente, diremos
que:
• O limite de f(x) = 1
(x− 1)2 quando x tende a 1 pela esquerda e´ mais infinito e
indicaremos por
lim
x→1−
f(x) = +∞.
• O limite de f(x) = 1
(x− 1)2 quando x tende a 1 pela direita e´ mais infinito e indi-
caremos por
lim
x→1+
f(x) = +∞.
Como a func¸a˜o tem o mesmo comportamento a` direita e a` esquerda de 1 conclu´ımos
que lim
x→1
f(x) = +∞. A Figura 1.12 (a) mostra um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o f .
Podemos indicar de forma ana´loga, o comportamento de uma func¸a˜o cujos valores
decrescem ilimitadamente.
F. Rivero e T. Salvador 30 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Exemplo 1.15 Vamos considerar a func¸a˜o g(x) =
x
(x+ 3)2
. A tabela a seguir mostra os
valores de g(x) para alguns valores de x na vizinhanc¸a de −3.
x - 3,1 -3,01 - 3,001 - 3 - 2,999 - 2,99 - 2,9
g(x) -310 - 30.100 - 3.001.000 – - 2.999.000 - 29.900 -290
Vemos que os valores de g(x) sa˜o negativos e muito grandes em valor absoluto para
valores de x pro´ximos de −3, isto e´, os valores de g(x) decrescem ilimitadamente a` medida
que x se aproxima de −3 pela esquerda ou pela direita.
Escrevemos, nesse caso, que lim
x→−3−
g(x) = −∞ e lim
x→−3+
g(x) = −∞. Como os limites
laterais sa˜o iguais podemos afirmar que lim
x→−3
g(x) = −∞.
O gra´fico de g aparece na Figura 1.12 (b).
Uma definic¸a˜o formal deste limite infinito e´:
Definic¸a˜o 1.5 Dizemos que a func¸a˜o real f com valores reais tem limite +∞ (−∞)
quando x tende ao valor c se para todo valor δ > 0 existe um valor M > 0 (M < 0) tal
que f(x) > M (f(x) < M) para todo valor x verificando |x− c| < δ.
Exemplo 1.16 Seja agora a func¸a˜o h(x) =
2
x−1 . Olhando a Figura 1.12 (c), vemos
que a` medida que x se aproxima de 1 pela esquerda, os valores de h(x) decrescem ilimita-
damente, isto e´, lim
x→1−
h(x) = −∞.
Vemos, tambe´m, que quando x se aproxima de 1 pela direita, os valores de h(x) crescem
ilimitadamente, ou seja, lim
x→1+
h(x) = +∞.
Como a func¸a˜o tem comportamento distinto a` esquerda e a` direita de 1, conclu´ımos
que na˜o existe limite de h(x) quando x→ 1.
O seguinte teorema estabelece o ca´lculo de limites infinitos,
Teorema 1.8 Se lim
x→c+
f(x) = L, L 6= 0 e lim
x→c+
g(x) = 0 enta˜o,
lim
x→c+
f(x)
g(x)
= ±∞,
com o sinal dependendo dos sinais de L e de g(x) a` direita de c.
F. Rivero e T. Salvador 31 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
(a) Limite infinito de f no valor x = 1 (b) Limite infinito de g no valor x = −3
(c) Distintos limites laterais para h no valor x = 1
Figura 1.12: Gra´ficas das func¸o˜es do Exemplo 1.14, Exemplo 1.15 e Exemplo 1.16 [Video]
Observac¸a˜o: O Teorema 1.8 anterior pode ser enunciado para o limite a` esquerda
de c com as mesmas concluso˜es. A existeˆncia do limite em c depende da igualdade dos
limites laterais.
Exemplo 1.17 Calcular os seguintes limites,
1. lim
x→5+
9− x
x− 5 .
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = 9 − x e g(x) = x − 5, enta˜o temos que lim
x→5+
f(x) = 4 e
lim
x→5+
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
Vamos determinar o sinal do limite. Para isso precisamos fazer um estudo do sinal
do numerador f(x) e do denominador g(x) para os valores a` direita de x = 5.
F. Rivero e T. Salvador 32 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Assim, para qualquer valor x < 9, f(x) e´ sempre positivo. Para todo valor x > 5,
o valor de g(x) e´ positivo. Como estamos calculando o limite a` direita para x = 5,
enta˜o g(x) e´ sempre positivo. Portanto, como ambos f(x) e g(x) sa˜o positivos a`
direita de 5, concluimos que
lim
x→5+
9− x
x− 5 = +∞.
2. lim
x→2−
−3x
x− 2 .
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = −3x e g(x) = x − 2, enta˜o temos que lim
x→2−
f(x) = 6 e
lim
x→2−
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
Vamos determinar o sinal do limite. Precisamos estudar os valores a` esquerda de
x = 2. Assim, para qualquer valor positivo de x, temos que f(x) < 0. Para todo
valor x < 2, o valor de g(x) e´ negativo. Como estamos calculando o limite para
valores a` esquerda de 2, enta˜o g(x) < 0. Portanto, como f(x) e g(x) sa˜o negativos,
concluimos que
lim
x→2−
−3x
x− 2 = +∞.
3. lim
x→0−
x2 + 1
x2 + x
.
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = x2 + 1 e g(x) = x2 + x, enta˜o temos que lim
x→0−
f(x) = 1 e
lim
x→0−
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
Vamos determinar o sinal do limite. Precisamos estudar os valores a` esquerda de
x = 0. Temos que o valor de f(x) = 0 e´ sempre positivo para qualquer x em R.
Fatorando g(x) temos que g(x) = x(x+ 1) e, como e´ um produto de dois elementos,
sera´ positivo se ambos tivessem o mesmo sinal e negativo se tivessem sinais opostos.
Como estamos estudando o sinal a esquerda de 0, enta˜o x < 0. Por outro lado,
(x + 1) e´ positivo quando x > −1. Enta˜o temos que g(x) < 0 quanto x tende a 0
pela esquerda. Assim,
lim
x→0−
x2 + 1
x2 + x
= −∞.
4. lim
x→−2+
1− x
x+ 2
.
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = 1− x e g(x) = x+ 2, enta˜o temos que lim
x→−2+
f(x) = −3 e
lim
x→−2+
g(x) = 0. Pelo Teorema 1.8, o limite vai ser +∞ ou −∞.
F. Rivero e T. Salvador 33 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
Para determinar o sinal do limite precisamos estudar os valores a` direita de x = −2.
Para todo x < 1, temos que f(x) > 0 e para x > −2, o valor de g(x) e´ positivo.
Como estamos calculando o limite para valores a` direita e pro´ximos de −2, enta˜o
f(x) e g(x) sa˜o positivas. Logo, concluimos que
lim
x→−2+
1− x
x+ 2
= +∞.
5. lim
x→0
5
x3 − x2 .
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = 5 e g(x) = x3 − x2, enta˜o temos que lim
x→0
f(x) = 5 e
lim
x→0
g(x) = 0. Fatorando g(x) obtemos que g(x) = x2(x − 1) e a func¸a˜o e´ negativa
para todo valor x < 1 (x2 e´ sempre positivo). Como f(x) no zero e´ positiva e g(x)
e´ negativa para todo valor numa vizinhanc¸a de zero, enta˜o
5
x3 − x2 < 0 para todo
valor x perto de zero a` esquerda e a` direita. Pelo Teorema 1.8, conclu´ımos que os
limites laterais sa˜o −∞ e, portanto,
lim
x→0
5
x3 − x2 = −∞.
6. lim
x→−1
x− 2
x+ 1
.
Soluc¸a˜o: Sendo f(x) = x−2 e g(x) = x+1, enta˜o lim
x→−1
f(x) = −3 e lim
x→−1
g(x) = 0.
Vamos estudar o sinal de g(x) numa vizinhanc¸a de −1.
Temos que se x < −1, enta˜o g(x) e´ negativo e se x > −1, enta˜o g(x) e´ positivos.
Logo, aplicando o Teorema 1.8,
lim
x→−1−
x− 2
x+ 1
= +∞, lim
x→−1+
x− 2
x+ 1
= −∞.
Como os limites laterais sa˜o distintos, enta˜o concluimos que na˜o lim
x→−1
x− 2
x+ 1
na˜o
existe.
Os gra´ficos das func¸o˜es do Exemplo 1.17 esta˜o esboc¸ados na Figura 1.13.
F. Rivero e T. Salvador 34 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
(a) Gra´fico da func¸a˜o
9− x
x− 5 (b) Gra´fico da func¸a˜o
−3x
x− 2
(c) Gra´fico da func¸a˜o
x2 + 1
x2 + x
(d) Gra´fico da func¸a˜o
1− x
x+ 2
(e) Gra´fico da func¸a˜o
5
x3 − x2 (f) Gra´fico da func¸a˜o
x− 2
x+ 1
Figura 1.13: Gra´ficas das func¸o˜es do Exemplo 1.17
F. Rivero e T. Salvador 35 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
1.4.2 Limites no infinito
Estamos interessados, agora, em conhecer o comportamento dos valores f(x) de uma
func¸a˜o quando x cresce ou decresce ilimitadamente.
Vamos calcular alguns valores de f(x) =
1
x
quando x cresce ilimitadamente.
x 10 100 1000 10.000 100.000 1.00.000
f(x) 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001
Observamos que, a` medida que x cresce ilimitadamente, os valores de f(x) se aproxi-
mam de zero, isto e´, lim
x→0
f(x) = 0.
De modo geral, temos:
Teorema 1.9 Se n e´ um nu´mero inteiro positivo e c e´ um nu´mero real enta˜o
lim
x→±∞
c
xn
= 0.
O teorema anterior mostra que se temos um termo que tende para infinito no nu-
merador e un termo constante no numerador, enta˜o o limite do quociente tende para
zero.
Observac¸a˜o: O Teorema 1.9 pode ser usado para outras func¸o˜es ale´m de xn que
aumentam indefinidamente quando x→ ±∞. O Exemplo 1.18 mostra algumas delas.
Para o ca´lculo de limites no infinito de func¸o˜es polinomiais e de func¸o˜es racionais
temos os seguintes teoremas:
Teorema 1.10 Seja n un nu´mero inteiro positivo, a0, . . . , an nu´meros reias e p(x) =
a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn uma func¸a˜o polinomial. Enta˜o,
lim
x→±∞
p(x) = lim
x→±∞
anx
n.
Note que o teorema nos diz que o limite no infinito de um polinoˆmio depende somente
do termo de grau maior. Quando os valores de x aumentan muito, o valor de um polinoˆmio
se aproxima ao valor do seu termo dominante porque o valor dos outros termos e´ muito
menor em comparac¸a˜o.
Observac¸a˜o: Da mesma maneira que acontece com o Teorema 1.9, o Teorema 1.10
pode ser usado para func¸o˜es na˜o polinoˆmiais com termos dominantes que aumentam ou
diminuem ilimitadamente quando a varia´vel vai para ±∞. Alguns exemplos aparecem no
Exemplo 1.18.
F. Rivero e T. Salvador 36 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Teorema 1.11 Sejam n e m nu´meros inteiros positivos, a0, . . . , an e b0, b1, . . . , bm nu´meros
reais e p(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn e q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bmxm func¸o˜es
polinomiais. Enta˜o,
lim
x→±∞
p(x)
q(x)
= lim
x→±∞
anx
n
bmxm
= lim
x→±∞
an
bm
xn−m.
O teorema diz que o limite no infinito de um quociente de dois polinoˆmiose´ determi-
nado pelos termos de maior grau de cada um deles. Assim, se o numerador e denominador
sa˜o do mesmo grau, enta˜o para valores (absolutamente) grandes de x o limite e´ a raza˜o
entre os coeficientes das condic¸o˜es dominantes. Se o denominador e´ de grau mais elevado
do que o numerador, o limite e´ 0. Finalmente, se o grau do numerador excede o grau
do denominador, o limite e´ infinito. O sinal depende do sinal dos coeficientes dos termos
dominantes.
Exemplo 1.18 Vamos calcular os seguintes limites no infinito aplicando os teoremas
anteriores
1. lim
x→+∞
5
x4
Soluc¸a˜o: Chamando de c = 5, pelo Teorema 1.9 tem-se que o limite e´ zero.
lim
x→+∞
5
x4
= 0.
2. lim
x→−∞
2
3x5
Soluc¸a˜o: Chamando de c =
2
3
, pelo Teorema 1.9 tem-se que o limite e´ zero.
lim
x→−∞
2
3x5
= 0.
3. lim
x→+∞
7
2
√
x
Soluc¸a˜o: Apesar de que
√
x na˜o ser um polinoˆmio, temos que cresce ilimitadamente
quando x → +∞. Portanto, temos um quociente onde o numerador e´ constante e
o denominador tende para infinito. Logo,
lim
x→+∞
7
2
√
x
= 0
F. Rivero e T. Salvador 37 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
4. lim
x→−∞
(1− x2 + x3 + 3x4 − 2x7)
Soluc¸a˜o: Aplicando o Teorema 1.10,
lim
x→−∞
(1− x2 + x3 + 3x4 − 2x7) = lim
x→−∞
−2x7
Como x7
x→−∞−−−−→ −∞, enta˜o −2x7 x→−∞−−−−→ +∞. Assim,
lim
x→−∞
(1− x2 + x3 + 3x4 − 2x7) = +∞
5. lim
x→−∞
(2x5 + x2 − 4)
Soluc¸a˜o: Pelo Teorema 1.10,
lim
x→−∞
(2x4 + x2 − 4) = lim
x→−∞
2x4
Como x4
x→−∞−−−−→ +∞ porque x4 sempre e´ positivo, enta˜o
lim
x→−∞
(2x4 + x2 − 4) = +∞
6. lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + x− 7)
Soluc¸a˜o: Usando o Teorema 1.10,
lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + x− 7) = lim
x→+∞
x3
Como x3
x→+∞−−−−→ +∞, enta˜o
lim
x→+∞
(x3 − 3x2 + x− 7) = +∞
7. lim
x→+∞
(
√
x− 5x2 + 8)
Soluc¸a˜o: A func¸a˜o f(x) =
√
x − 5x2 + 8 na˜o e´ polinomial porque tem um termo
com um exponente fraciona´rio2, mas o valor do limite de f(x) quando x → ±∞ e´
como o valor do limite de x2.
2Lembrar que
√
x = x
1
2
F. Rivero e T. Salvador 38 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Assim,
lim
x→+∞
(
√
x− 5x2 + 8) = lim
x→+∞
−5x2 = −∞
porque x2 e´ sempre positivo para todo valor de x real e, portanto, −x2 e´ sempre
negativo.
8. lim
x→−∞
(x3 − cos(x) + 15)
Soluc¸a˜o: Neste caso, a func¸a˜o f(x) = x3 − 3 cos(x) + 15 na˜o e´ um polinoˆmio pois
o termo 3 cos(x) e´ uma func¸a˜o trigonome´trica limitada ja que seus valores sempre
ficam entre 1 e −1, mas o valor do limite de f(x) quando x→ ±∞ e´ o mesmo que
o valor do limite de x3. Enta˜o, temos que
lim
x→−∞
(x3 − cos(x) + 15) = lim
x→−∞
x3 = −∞
porque x3 e´ negativo para valores negativos de x.
9. lim
x→+∞
2x− 5
7x+ 8
Soluc¸a˜o: Vamos usar o Teorema 1.11. Sendo p(x) = 2x− 5 e q(x) = 7x+ 8, onde
os termos de grau maior sa˜o 2x e 7x respetivamente.
Logo,
lim
x→+∞
p(x)
q(x)
= lim
x→+∞
2x
7x
= lim
x→+∞
2�x
7�x
= lim
x→+∞
2
7
=
2
7
10. lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2
Soluc¸a˜o: Sendo p(x) = 2x3−3x+5 e de q(x) = 4x5−2, pelo Teorema 1.11, temos
lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2 = limx→−∞
2x3
4x5
= lim
x→−∞
2��x
3
4x���
2
5
= lim
x→−∞
2
4x2
Usando agora o Teorema 1.10, lim
x→−∞
2
4x2
= 0. Logo,
lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2 = limx→−∞
2
4x2
= 0
F. Rivero e T. Salvador 39 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
11. lim
x→+∞
x4 − 3x+ 5
2 + 4x− x2
Soluc¸a˜o: Sejam p(x) = x4− 3x+ 5 e q(x) = 2 + 4x− x2. Usando o Teorema 1.11,
lim
x→+∞
x4 − 3x+ 5
2 + 4x− x2 = limx→+∞
x4
−x2 = limx→+∞
x���
2
4
(−1)��x2
= lim
x→+∞
(−x2).
Assim, pelo Teorema 1.10,
lim
x→+∞
x4 − 3x+ 5
2 + 4x− x2 = limx→+∞(−x
2) = −∞.
12. lim
x→−∞
3− 2x+ x2 − 4x3
x3 + 5x2 + 4
Soluc¸a˜o: Usando o Teorema 1.11, temos
lim
x→−∞
3− 2x+ x2 − 4x3
x3 + 5x2 + 4
= lim
x→−∞
−4x3
x3
= lim
x→−∞
−4��x3
��x
3
= lim
x→−∞
(−4) = −4.
13. lim
x→−∞
x3 + 3x2 − 5
8− 5x− x2
Soluc¸a˜o: Sejam p(x) = x3 + 3x2 − 5 e de q(x) = 8− 5x− x2. Pelo Teorema 1.11,
temos
lim
x→−∞
x3 + 3x2 − 5
8− 5x− x2 = limx→−∞
x3
−x2 = limx→−∞
x���
1
3
(−1)��x2
= lim
x→−∞
(−x) = +∞.
Na Economia, o custo me´dio e´ o custo por unidade para produzir uma certa quanti-
dade, isto e´, o custo total dividido pelo nu´mero de unidades produzidas. Se o custo para
producir uma quantidade x e´ dado pela func¸a˜o C(x), enta˜o a func¸a˜o custo me´dio C e´
dada por
C(x) =
C(x)
x
.
Exemplo 1.19 Vamos voltar ao Exemplo 1.13 e calcular os limites no infinito para as
func¸o˜es custo C(x) e custo me´dio C(x). Lembre-se que a func¸a˜o de custo e´
C(x) =
{
x2 + 1 se x ≤ 16
252 + 100
x+
√
x
se x > 16
F. Rivero e T. Salvador 40 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Para calcular o limite de C(x) quando x → +∞, so´ precisamos estudar o valor da
func¸a˜o para valores de x muito grandes, isto e´, precisamos calcular o seguinte limite:
lim
x→+∞
(
252 +
100
x+
√
x
)
.
Neste caso, na˜o podemos usar o Teorema 1.11 porque na˜o temos um quociente de
polinoˆmios, mas podemos deduzir o limite usando argumentos similares. Na expressa˜o
100
x+
√
x
o numerador e´ constante e o denominador cresce indefinidamente quando x →
+∞. Logo,
lim
x→+∞
100
x+
√
x
= 0.
Usando as propiedades dos limites do Teorema 1.2 da Sec¸a˜o 1.2, temos
lim
x→+∞
C(x) = lim
x→+∞
(
252 +
100
x+
√
x
)
= lim
x→+∞
252 + lim
x→+∞
100
x+
√
x
= 252 + 0.
Assim, quando aumenta muito o nu´mero de livros impressos, o custo da impressa˜o e´
de aproximadamente R$252.000.
Que acontece com o custo me´dio? Na Figura 1.14 podemos ver o gra´fico da func¸a˜o
C(x)
Para calcular o limite do custo me´dio por livro impresso quando a editora quer um
nu´mero grande de exemplares, precisamos calcular
lim
x→+∞
C(x) = lim
x→+∞
C(x)
x
= lim
x→+∞
(
252
x
+
100
x(x+
√
x)
)
.
Acontece o mesmo problema com o ca´lculo do limite ja´ que na˜o temos uma relac¸a˜o de
dois polinoˆmios, mas podemos fazer um razoc´ınio ana´logo. Temos que a func¸a˜o
100
x(x+
√
x)
e´ um quociente onde o numerador e´ constante e o denominador cresce ilimitadamente
quando x aumenta. Logo,
lim
x→∞
100
x(x+
√
x)
= 0.
Usando agora o Teorema 1.9 e o Teorema 1.2, obtemos
lim
x→+∞
C(x) = lim
x→+∞
(
252
x
+
100
x(x+
√
x)
)
= lim
x→+∞
252
x
+ lim
x→+∞
100
x(x+
√
x)
= 0 + 0 = 0.
Enta˜o temos que o custo me´dio por livro tende para zero quando aumentamos o nu´mero
de livros impressos.
F. Rivero e T. Salvador 41 Matema´tica para Economia I
1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO CAPI´TULO 1. LIMITES
Figura 1.14: Gra´fico da func¸a˜o custo me´dio C(x).
1.4.3 O nu´mero e
O nu´mero irracional e, tambe´m conhecido como nu´mero de Euler3 ou nu´mero de Neper4,
e´ un nu´mero com um valor aproximado de 2.718281828459045235360287. E´ um nu´mero
importante em ca´lculo que aparece como base dos logaritmos naperianos ou naturais. E´
definido como o limite da func¸a˜o f(x) =
(
1 +
1
x
)x
quando x→∞.
3Leonhard Paul Euler (1707–1783) foi um grande matema´tico e f´ısico su´ıc¸o de l´ıngua alema˜ que passou
a maior parte de sua vida na Ru´ssia e na Alemanha. Fez importantes descobertas em campos variados
em ca´lculo, mecaˆnica, o´ptica, astronomia e grafos. E´ considerado um dos mais proeminentes matema´ticos
do se´culo XVIII.
4John Napier (1550 –1617) foi um matema´tico, f´ısico, astroˆnomo, astro´logo e teo´logo escoceˆs.Na
decodificac¸a˜o dos logaritmos naturais, Napier usou uma constante que, embora na˜o a tenha descrito, foi
a primeira refereˆncia ao nota´vel ”e”, descrito quase 100 anos depois por Leonhard Euler.
F. Rivero e T. Salvador 42 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.4. LIMITES ENVOLVENDO INFINITO
Observando a func¸a˜o f poder´ıamos pensar que o limite teria valor de 1 porque x−1
tende para 0 quando x tende para infinito, mas a tabela a seguir mostra que o limite na˜o
e´ esse.
x 10 100 1000 10000 100000 1000000
f(x) 2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828
Logo,
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Vamos ver um exemplo econo´mico de composic¸a˜o cont´ınua de interesse onde o
nu´mero e tem um papel importante. Suponha que uma quantidade de dinheiro e´ investido
e os juros sa˜o compostos apenas uma vez. Se P0 e´ o investimento inicial e r e´ a taxa de
juros (expresso como um decimal), o saldo P1 apo´s adicionar os juros sera´ de
P1 = P0 + P0r = P0(1 + r),
isto e´, multiplicamos o investimento inicial por 1 + r.
Usualmente, os bancos computam os juros mais de uma vez por ano. Se o ca´lculo e´
feito em k vezes por ano, enta˜o os juros sa˜o divididos entre as k parcelas, obtendo que o
balanc¸o no primeiro periodo e´ de
P1 = P0 + P0
r
k
= P0
(
1 +
r
k
)
.
Suponhamos agora que calculamos de novo os juros para nosso novo valor P1. Agora,
com uma taxa de juros de r e chamando de P2 ao saldo final apo´s adicionar os juros,
temos que
P2 = P1 + P1
r
k
= P1
(
1 +
r
k
)
= P0
(
1 +
r
k
)2
.
No final do primeiro ano, o balanc¸o final depois de k periodos e´ de
P0 = P0
(
1 +
r
k
)k
.
Repetindo un nu´mero t de anos, temos que o valor do investimento P dependendo to
tempo e´
P (t) = P0
(
1 +
r
k
)kt
,
pois calculamos os juros tk vezes no total.
Podemos observar como o valor do investimento aumenta a` medida que aumenta o
nu´mero de parcelas. A questa˜o natural agora seria estudar que acontece quando o ca´lculo
F. Rivero e T. Salvador 43 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
e´ instantaˆneo, isto e´, quando o nu´mero de parcelas e´ arbitrariamente grande. Portanto,
queremos calcular o limite de P0
(
1 +
r
k
)kt
quando k →∞.
Vamos escrever a fo´rmula anterior de uma forma ja´ vista anteriormente. Se chamamos
de
1
x
=
r
k
, enta˜o k = rx. Logo,
P (t) = P0
(
1 +
r
k
)kt
= P0
(
1 +
1
x
)xrt
= P0
[(
1 +
1
x
)x]rt
Como x aumenta quando k aumenta, temos que
(
1 +
1
x
)x
tende para o nu´mero e
quando x, e portanto k, aumenta indefinidamente. Assim, se os juros sa˜o calculados
instantaneamente,
P (t) = lim
x→∞
P0
[(
1 +
1
x
)x]rt
= P0
[
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x]rt
= P0e
rt,
chegando a uma func¸a˜o exponencial de base e.
1.5 Ass´ıntotas horizontais e ass´ıntotas verticais
Os limites que envolvem valores infinitos de x ou f(x) podem ser usados para descre-
ver retas conhecidas como ass´ıntotas, que esta˜o frequentemente associadas a gra´ficos de
func¸o˜es racionais.
Em particular, dizemos que uma func¸a˜o f possui uma ass´ıntota vertical em x = a
se f(x) aumenta ou diminui ilimitadamente quando x tende para a pela direita ou pela
esquerda.
Exemplo 1.20 Considerando a func¸a˜o f(x) =
2x
x− 1 , cujo gra´fico esta´ esboc¸ado na Fi-
gura 1.15, verificamos, por exemplo, que lim
x→1+
f(x) = +∞. Enta˜o a reta x = 1 e´ uma
ass´ıntota vertical do gra´fico da func¸a˜o f .
Quando f(x) tende para um valor finito b quando x aumenta ou diminui ilimitada-
mente, dizemos que a reta y = b e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico de f .
No Exemplo 1.20 anterior, lim
x→±∞
f(x) = 2. Enta˜o a reta y = 2 e´ uma ass´ıntota hori-
zontal do gra´fico de f .
F. Rivero e T. Salvador 44 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
Figura 1.15: Gra´fico da func¸a˜o f(x) e suas ass´ıntotas.
De modo geral, temos as seguintes definic¸o˜es:
Definic¸a˜o 1.6 Seja f uma func¸a˜o real com valores em R. A reta x = a e´ chamada de
ass´ıntota vertical do gra´fico de f se algum dos limites lim
x→a±
f(x) = ±∞ se verifica.
Quando o valor de x se aproxima de a, o valor da func¸a˜o tende para o infinito. Como
o valor da func¸a˜o aumenta ou diminui ilimitadamente, o gra´fico tende para o infinito na
direc¸a˜o do eixo y no valor a.
Definic¸a˜o 1.7 Seja f uma func¸a˜o real com valores no R. A reta y = b e´ chamada de
ass´ıntota horizontal da func¸a˜o f se algum dos limites lim
x→±∞
f(x) = b se verifica.
Observac¸a˜o: Para localizar as poss´ıveis ass´ıntotas verticais do gra´fico de uma func¸a˜o
racional f tal que f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q sa˜o polinoˆmios, devemos procurar valores tais
que q(a) = 0 e p(a) 6= 0. Para achar as ass´ıntotas horizontais devemos calcular os limites
de f quando x → ±∞. Se algum desses limites existe (e´ finito), enta˜o o valor do limite
determina a ass´ıntota horizontal.
F. Rivero e T. Salvador 45 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
Exemplo 1.21 Vamos achar as ass´ıntotas das seguintes func¸o˜es:
1. f(x) =
x2
x2 − 4
Soluc¸a˜o: Para calcular as poss´ıveis ass´ıntotas verticaies vamos determinar os va-
lores onde o denominador na˜o esta´ definido. Como x2 − 4 = (x + 2)(x− 2), enta˜o
sera´ zero se x = −2 ou x = 2. De fato, temos que o domı´nio da func¸a˜o f e´
D(f) = R− {−2, 2}.
Vamos estudar os limites laterais nesses valores.
• Para x = 2 temos que o numerador e´ um valor fixo e positivo e o denominador
e´ zero. Portanto, pelo Teorema 1.8 os limites laterais tendem para ±∞. Vamos
calcular o sinal deles. Para valores a` esquerda e perto de 2, x2 − 4 < 0 e para
valores a` direita e perto de 2, x2−4 > 0. Como o numerador e´ sempre positivo,
enta˜o
lim
x→2−
f(x) = −∞, lim
x→2+
f(x) = +∞.
• Para x = −2 temos tambe´m que o numerador e´ um valor fixo e positivo e o
denominador e´ zero. De novo, pelo Teorema 1.8 os limites laterais tendem para
±∞. Vamos calcula´-los. Para valores a` esquerda e perto de -2, x2 − 4 > 0 e
para valores a` direita e perto de -2, x2 − 4 > 0. Como o numerador e´ sempre
positivo, enta˜o
lim
x→−2−
f(x) = +∞, lim
x→−2+
f(x) = −∞.
Logo x = 2 e x = –2 sa˜o ass´ıntotas verticais do gra´fico de f .
Vamos estudar agora a existeˆncia de ass´ıntotas horizontais. Vamos calcular o limite
no ±∞ para f . Pelo Teorema 1.11, obtemos
lim
x→±∞
x2
x2 − 4 = limx→±∞
x2
x2
= lim
x→±∞
��x
2
��x
2
= lim
x→±∞
1 = 1.
Logo temos que lim
x→±∞
x2
x2 − 4 = 1 e, portanto, y = 1 e´ ass´ıntota horizontal do gra´fico
de f
Na Figura 1.16 podemos ver o gra´fico de f e suas ass´ıntotas.
F. Rivero e T. Salvador 46 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
Figura 1.16: Gra´fico da func¸a˜o f(x) =
x2
x2 − 4
2. g(x) =
2x√
x2 + 4
Soluc¸a˜o: Temos que o denominador nunca tem valor zero porque x2 + 4 e´ sempre
positivo. Portanto o dominio da func¸a˜o e´ D(g) = R e na˜o existem ass´ıntotas
verticais.
Vamos estudar agora a existeˆncia de ass´ıntotas horizontais estudando o limite da
func¸a˜o g quando x→ ±∞. Apesar de na˜o ter um polinoˆnio no denominador, temos
que o limite no infinito de
√
x2 + 4 e´ como o limite de
√
x2. Mas agora temos que
ter cuidado com o sinal do limite.
Como o valor de x2 sempre e´ positivo, enta˜o o limite quando x→ ±∞ de √x2 + 4
sempre sera´ +∞. Se fize´ssemos a simplificac¸a˜o √x2 = x estaremos cometendo um
erro no ca´lculo do limite pois lim
x→−∞
x = −∞. Vamos introducir a func¸a˜o valor
absoluto, que denotamos por f(x) = |x| para determinar as assinto´tas horizontais
da func¸a˜o h. A func¸a˜o valor absoluto e´ definida por
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x< 0
Logo,
lim
x→+∞
√
x2 + 4 = lim
x→+∞
√
x2 = lim
x→+∞
|x| = lim
x→+∞
x = +∞,
F. Rivero e T. Salvador 47 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
e
lim
x→−∞
√
x2 + 4 = lim
x→−∞
√
x2 = lim
x→−∞
|x| = lim
x→−∞
(−x) = +∞,
Voltando para o ca´lculo do limite de g temos,
lim
x→+∞
g(x) = lim
x→+∞
2x√
x2 + 4
= lim
x→+∞
2x√
x2
= lim
x→+∞
2x
|x| .
Logo,
lim
x→+∞
2x
|x| = limx→+∞
2x
x
= lim
x→+∞
2�x
�x
= 2,
e
lim
x→−∞
g(x) = lim
x→−∞
2x
|x| = limx→−∞
2x
−x = limx→+∞
2�x
(−1)�x = −2.
Logo y = 2 e y = −2 sa˜o ass´ıntotas horizontais do gra´fico de g.
Na Figura 1.17 podemos ver o gra´fico de g e suas ass´ıntotas.
Figura 1.17: Gra´fico da func¸a˜o g(x) =
2x√
x2 + 4
3. h(x) =
x2 + 4
x
Soluc¸a˜o: Temos que a func¸a˜o h na˜o esta´ definida para o valor x = 0 e, portanto,
seu domı´nio e´ D(h) = R+.
F. Rivero e T. Salvador 48 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
Logo a poss´ıvel ass´ıntota vertical poderia ser x = 0. Vamos estudar os limites
laterais. Como o valor do numerador para x = 0 e´ positivo e o valor do denominador
e´ zero, enta˜o pelo Teorema 1.8 os limites laterais sera˜o ±∞. Como o sinal de
denominador e´ negativo se x < 0 e positivo se x > 0, enta˜o
lim
x→0−
h(x) = −∞, lim
x→0+
h(x) = +∞.
Portanto, x = 0 e´ ass´ıntota vertical do gra´fico de h
Se calculamos os limites no infinito, pelo Teorema 1.11 obtemos
lim
x→±∞
x2 + 4
x
= lim
x→±∞
x2
x
= lim
x→±∞
x�2
�x
lim
x→±∞
x = ±∞.
Logo na˜o existem ass´ıntotas horizontais.
Na Figura podemos ver o gra´fico de h e suas ass´ıntotas.
Figura 1.18: Gra´fico da func¸a˜o h(x) =
x2 + 4
x
F. Rivero e T. Salvador 49 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
Relac¸a˜o de exerc´ıcios - 1: Limite de func¸o˜es de uma varia´vel real
1. Determine os limites
(a) lim
x→1
5− 3x− x2
(b) lim
x→3
5x2 − 7x− 3
(c) lim
x→2
x2 + 2 + 1
x2 + 2x
(d) lim
t→ 5
2
4t2 − 25
2t− 3
(e) lim
x→2
2− x2
4x
(f) lim
x→ 1
2
x2 + 1
1 +
√
2x+ 8
(g) lim
y→−2
y3 − 5y
y + 3
(h) lim
x→1
3
√
27x3 + 4x− 4
x10 + 4x2 + 3x
(i) lim
u→1
√
4− u2
u+ 3
(j) lim
t→−1
t2 + 4t+ 3
t2 − 1
(k) lim
t→1
√
8t+ 1
t+ 3
(l) lim
x→ 8
3
9x2 − 64
3x− 8
(m) lim
x→−7
x2 − 49
x+ 7
(n) lim
x→−3
3
√
x− 4
6x2 + 2
(o) lim
x→−3
x2 + 4x+ 3
x+ 3
(p) lim
y→0
(3 + y)2 − 9
y
(q) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
(r) lim
y→3
3− y
3−√3y
(s) lim
z→3
z − 3√
z + 1 + 5
(t) lim
z→−1
3z3 − 2z2 − 4z + 1
z − 1
(u) lim
y→0
y2 + 2y + 1
y + 5
(v) lim
x→0
x3 − x
x
(w) lim
u→2
u− 2
3u2 − u3
(x) lim
x→−3
9− x2
x+ 3
2. Calcule-se os limites laterais
(a) lim
x→2+
x3 − 2x+ 5
(b) lim
x→0+
√
x
(c) lim
r→−3+
r2 − 9
3− r
(d) lim
r→1+
r2 + 2r − 3
r − 1
F. Rivero e T. Salvador 50 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
3. Verifique se as func¸o˜es sa˜o cont´ınuas nos valores dados
(a) f(x) =
{
5 + x se x ≤ 3
9− x se x > 3
em x = 3.
(b) f(x) =

−1 se x < 0
x− 1 se 0 ≤ x < 1
1 se x ≥ 1
em x = 0 e x = 1.
(c) f(x) =
{
3 + x se x ≤ 1
3− x se x > 1
em x = 1.
(d) g(x) =
{
2x− 1 se x < 1
x2 se x ≥ 1
em x = 1.
(e) g(x) =
{
2− x se x > 1
x2 se x ≤ 1
em x = 1.
(f) f(x) =
 x
2 − 2x− 3
x+ 1
se x 6= 1
−4 se x = 1
em x = −1.
(g) f(y) =

y2 − 9
y − 3 se y 6= 3
2 se y = 3
em y = 3.
(h) h(z) =

3 + z2 se z < −2
0 se z = −2
11− z2 se z > −2
em z = −2.
4. Determine o valor de a para que f(x) seja cont´ınua no valor indicado.
(a) f(x) =
 9− x
2
3x+ 9
se x 6= −3
a se x = −3
em x = −3.
(b) f(x) =
{
ax+ 5 se x > 1
x2 − 3x+ 4 se x ≤ 1
em x = 1.
(c) f(x) =
 4x
2 − 36
5x− 15 se x 6= 3
a se x = 3
em x = 3.
(d) f(x) =
 x
2 − 4
x+ 2
se x 6= −2
ax+ 10 se x = −2
em x = −2.
5. Determinar os valores de α e β para que as func¸o˜es seguintes sejam cont´ınua em R.
(a) h(x) =

x− 3 se x < 1
α se x = 1
x2 − β2
x2 − 3x+ 2 se x > 1
(b) z(x) =

3(x2 + αx)
x2 − x− 2 se x < −1
−x3 se −1 ≤ x < 1
β
2
√
x se x ≥ 1
F. Rivero e T. Salvador 51 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
6. Determine, no caso de existir, os seguintes limites
(a) lim
y→1+
2y
y − 1
(b) lim
y→2−
y2
y − 2
(c) lim
y→0+
√
4 + 3y2
5y
(d) lim
y→2−
y2 + 1
y + 2
(e) lim
y→2+
y2 + 1
y + 2
(f) lim
y→2+
1
2− y
(g) lim
y→5+
1− y
(y − 5)2
(h) lim
y→1−
3 + y
(y − 1)2
(i) lim
y→3+
1
y − 3
(j) lim
y→−2
y2 + 1
y + 2
(k) lim
y→−7+
y − 7
y + 7
(l) lim
y→0
1
y3
(m) lim
y→0
−1
y2
(n) lim
y→−1−
1
2y + 2
(o) lim
y→−8−
3y
(y + 8)2
(p) lim
y→4
5
y − 4
7. Calcular os limites
(a) lim
x→∞
2x4 − 7x+ 1
(b) lim
w→−∞
2 + 5w − w2 + 4w3
(c) lim
y→∞
6y − 10y2
(d) lim
s→−∞
−s5 + s3 + 9
(e) lim
t→∞
4
t5
(f) lim
u→∞
3
−10u2
(g) lim
x→∞
−7
2x2
(h) lim
x→∞
x+ 2
x+ 4
(i) lim
x→∞
2x4 + x2 + 4
−x2 − 2x+ 7
(j) lim
y→−∞
y2 − 3y + 1
3y3 + 1
(k) lim
y→−∞
6y4 − 1
−5y3
(l) lim
r→∞
1 + r2
1− 2r
(m) lim
t→−∞
5 + t− 7t2
t3 + 2t− 1
(n) lim
y→∞
4y + 1
4− y
(o) lim
s→−∞
2s+ 3
6s+ 7
(p) lim
w→−∞
2 + 3w − w3
5
F. Rivero e T. Salvador 52 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 1. LIMITES 1.5. ASSI´NTOTAS
8. Depois de va´rios estudos sobre a populac¸a˜o de uma pais, se estima que a populac¸a˜o
em t anos desde agora sera´ de p = 0.2t2 + 1500 milhares de pessoas e que o PIB
do pais sera´ de de E =
√
9t2 + 0.5t+ 179 bilho˜es de reais. Se a renda per capita e´
determinada como o quociente entre o PIB e populac¸a˜o, determinar a tendeˆncia da
renda per capita quando t→ +∞.
Dica: Cuidado com as unidades.
9. Un produtor determina que depois de t meses produzindo um novo produto o n´ıvel
de produc¸a˜o sera´ dado pela func¸a˜o p(t) =
6t2 + 5t
(t+ 1)2
. O que acontece com a produc¸a˜o
quando para valores muito grandes de t?.
10. Ache as ass´ıntotas horizontais e verticais das seguintes func¸o˜es
(a) f(x) =
7x
2x− 5
(b) F (x) =
−2
(x− 1)2
(c) g(y) =
1− 2x
3 + 5x
(d) G(y) =
3x2 + 1
2x2 − 7x
(e) h(t) =
3t√
2t2 + 1
(f) f(z) =
√
z
z − 2
(g) F (x) =
−2x√
x2 + 4
(h) l(y) =
y + 2√
1− y
F. Rivero e T. Salvador 53 Matema´tica para Economia I
1.5. ASSI´NTOTAS CAPI´TULO 1. LIMITES
F. Rivero e T. Salvador 54 Matema´tica para Economia I
Cap´ıtulo 2
Derivada de func¸o˜es
de uma varia´vel real
Vamos iniciar esse cap´ıtulo considerando dois problemas aplicados: o primeiro consiste em
determinar o coeficiente angular (inclinac¸a˜o) da reta tangente em um ponto do gra´fico de
uma func¸a˜o e o segundo em estudar a variac¸a˜o de uma gra´fica da relac¸a˜o entro a percen-
tagem de desemprego e a porcentagem correspondente da inflac¸a˜o. Essas duas aplicac¸o˜es,
aparentemente ta˜o diversas, va˜o conduzir ao mesmo conceito: o de derivada. Mais adi-
ante, definiremos a derivada como o limite de uma func¸a˜o. Isso vai permitir aplicar o
conceito de derivada a qualquer quantidade ou grandeza que possa ser representada por
uma func¸a˜o.
2.1 Noc¸a˜o intuitiva de derivada:
interpretac¸a˜o geome´trica e taxa de variac¸a˜o
2.1.1 Coeficiente Angular da Reta Tangente ao Gra´fico de uma
Func¸a˜o
Vamos supor que P e´ um ponto no gra´fico de uma func¸a˜o real f e queremos determinar
a reta tangente, que chamaremos de t, ao gra´fico de f em P . Sabemosque uma reta no
plano e´ determinada quando conhecemos seu coeficiente angular e um ponto pertencente
a ela. Precisamos calcular, enta˜o, o coeficiente angular da reta t. A ideia para obter esse
coeficiente angular e´ aproximar a reta tangente por retas secantes, usando limites no final
para obter o coeficiente angular.
Vamos escolher outro ponto Q no gra´fico de f e trac¸ar uma reta (secante) passando
por P e Q. Tomando Q bem pro´ximo de P , podemos fazer com que o coeficiente angular
da reta secante se aproxime do coeficiente angular da reta tangente com qualquer precisa˜o
55
2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
desejada.
Vamos supor que P = (x0, f(x0)) e´ um ponto no gra´fico de f e que a abscissa de Q
esteja a uma distaˆncia de ∆x1 de x0. Desse modo, a abscissa de Q e´ x0 + ∆x. Como Q
pertence ao gra´fico de f , a ordenada de Q e´ f(x0+∆x). Assim, Q = (x0+∆x, f(x0+∆x)).
Na Figura 2.1 temos o gra´fico de f e os pontos P e Q.
Chamando por ∆y a distaˆncia entre f(x0) e f(x0+∆x), isto e´ ∆y = f(x0+∆x)−f(x0),
o coeficiente angular ms da reta secante, que chamaremos de s e´ (ver Sesa˜o 3 da Revisa˜o)
ms =
∆y
∆x
=
f(x0 + ∆x)− f(x0)
(x0 −∆x)− x0 =
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
Se fizermos ∆x tender a zero, o ponto Q se movera´ sobre a curva y = f(x) (curva do
gra´fico da func¸a˜o f) e tendera´ ao ponto P . Ale´m disso, a reta secante s ira´ girar em torno
de P e tendera´ para a reta tangente t. Logo, quando ∆x → 0, o coeficiente angular ms
de s tende para o coeficiente angular mt de t, ou seja,
mt = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
No video associado a` Figura 2.1 podemos ver ese fato.
Essas considerac¸o˜es levam para a seguinte definic¸a˜o
Definic¸a˜o 2.1 Seja f : R→ R uma func¸a˜o real definida em um intervalo contendo x0 e
seja y0 = f(x0) a imagem de x0. Se o limite
m = lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
,
existe (e´ finito), dizemos que a reta no plano xy contendo o ponto (x0, y0) e tendo coefi-
ciente angular m e´ a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, y0).
Observac¸a˜o: Se f e´ cont´ınua em x0 e
lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
= ±∞,
dizemos que a reta vertical x = x0 e´ a reta tangente ao gra´fico de f em (x0, y0).
1A notac¸a˜o ∆x e´ usada para escrever uma variac¸a˜o pequena de un valor. Neste caso, como a variac¸a˜o
e´ feita no eixo x, denotamos por ∆x.
F. Rivero e T. Salvador 56 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA
Figura 2.1: Reta secante ao gra´fico da func¸a˜o f que pasa pelos pontos P e Q [Video]
Exemplo 2.1 Escreva a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + 4x no ponto
(1, 5).
Soluc¸a˜o: Para obter a reta tangente precisamos calcular aos coeficientes mt e b da
fo´rmula
y = mx+ b,
onde m e´ o coeficiente angular e b a ordenada na origem (ver Sesa˜o 3 da Revisa˜o). Logo,
pela Definic¸a˜o 2.1,
m = lim
∆x→0
f(1 + ∆x)− f(1)
∆x
= lim
∆x→0
(1 + ∆x)2 + 4(1 + ∆x)− (12 + 4 · 1)
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)2 + 6∆x
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)�2 + 6��∆x
��∆x
= lim
∆x→0
(∆x+ 6) = 6.
F. Rivero e T. Salvador 57 Matema´tica para Economia I
2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Logo temos que y = 6x+ b. Como a reta tangente passa pelo ponto (1, 5), temos que
5 = 6 · 1 + b⇔ b = −1,
e a reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto (1, 5) e´ y = 6x− 1.
Na Figura 2.2 podemos ver a func¸a˜o f(x) e a reta tangente obtida.
Figura 2.2: Reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f que pasa pelo ponto (1, 5)
2.1.2 Taxa de Variac¸a˜o
Vamos considerar que estamos monitorando o valor de um ativo na Bolsa de Valores ao
longo de um intervalo de tempo (um dia, uma semana, um meˆs...) dado pela func¸a˜o
V (t) e queremos determinar a taxa de variac¸a˜o do valor num instante do intervalo, isto e´,
informac¸a˜o de se o prec¸o esta´ aumentando ou diminuindo muito ou poco nesse instante.
Olhando a Figura 2.3, que pode representar o valor do ativo, podemos observar como a
inclinac¸a˜o da reta tangente oferece essa informac¸a˜o.
F. Rivero e T. Salvador 58 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA
Figura 2.3: Inclinac¸a˜o da reta tangente en va´rios pontos da func¸a˜o V (t)
Quando o valor aumenta, a reta tem inclinac¸a˜o positiva e quando diminui, a inclinac¸a˜o
e´ negativa e suas inclinac¸o˜es sa˜o maiores quanto mais aumenta ou diminui o valor.
Assim, podemos definir a taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o num ponto como o coeficiente
angular da reta tangente nesse ponto.
Definic¸a˜o 2.2 Seja y = f(x). A taxa de variac¸a˜o (instantaˆnea) de y em relac¸a˜o
a x quando x tem o valor x0 e´ dada por
lim
∆x→0
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
Exemplo 2.2 Suponha que o custo semanal, em reais, para a fabricac¸a˜o de x geladeiras
seja dado pela func¸a˜o C(x) = 8.000 + 400x–0.2x2 com 0 ≤ x ≤ 400. Determine a taxa de
variac¸a˜o da func¸a˜o custo em relac¸a˜o a` x quando x = 250.
F. Rivero e T. Salvador 59 Matema´tica para Economia I
2.1. NOC¸A˜O INTUITIVA DE DERIVADA CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O
Soluc¸a˜o: Se chamamos de C ′(x) a taxa de variac¸a˜o de C em relac¸a˜o a x, precisamos
determinar C ′(250). Logo,
C ′(250) = lim
∆x→0
C(250 + ∆x)− C(250)
∆x
= lim
∆x→0
8.000 + 400(250 + ∆x)− 0, 2(250 + ∆x)2 − 95.500
∆x
= lim
∆x→0
8.000 + 100.000 + 400∆x− 12.500− 100∆x− 0, 2(∆x)2 − 95.500
∆x
= lim
∆x→0
300∆x− 0, 2(∆x)2
∆x
= lim
∆x→0
300��∆x− 0, 2(∆x)�2
��∆x
= lim
∆x→0
(300− 0, 2∆x) = 300.
Resposta: Para um n´ıvel de fabricac¸a˜o 250 geladeiras, a taxa de variac¸a˜o do custo e´
R$300 por geladeira.
2.1.3 A Derivada de uma Func¸a˜o
Vimos nas sec¸o˜es 2.1.1 e 2.1.2 que o problema de determinar o coeficiente angular da reta
tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o em um ponto dado e o problema de encontrar a taxa de
variac¸a˜o de uma varia´vel em relac¸a˜o a` outra sa˜o ambos resolvidos pelo ca´lculo do mesmo
limite, que e´ a base de um dos conceitos fundamentais do Ca´lculo, a derivada, definida a
seguir.
Definic¸a˜o 2.3 Dada uma func¸a˜o f(x), a func¸a˜o definida por
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
e´ chamada de (func¸a˜o) derivada de f(x).
F. Rivero e T. Salvador 60 Matema´tica para Economia I
CAPI´TULO 2. DERIVAC¸A˜O 2.2. REGRAS BA´SICAS DE DERIVAC¸A˜O
Exemplo 2.3 Calcular a (func¸a˜o) derivada de f(x) = x2 + 4x.
Soluc¸a˜o: Vamos aplicar a definic¸a˜o de derivada como limite do incremento:
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x+ ∆x)− f(x)
∆x
= lim
∆x→0
(x+ ∆x)2 + 4(x+ ∆x)− (x2 + 4x)
∆x
= lim
∆x→0
���
��(x2 + 4x) + (∆x)2 + 2x∆x+ 4∆x−�����(x2 + 4x)
∆x
= lim
∆x→0
(∆x)�2 + 2x��∆x+ 4��∆x
��∆x
= lim
∆x→0
(∆x+ 2x+ 4) = 2x+ 4.
Observac¸o˜es:
i) O limite indicado na Definic¸a˜o 2.3 pode existir para alguns valores de x e deixar de
existir para outros. Se o limite existe (e´ finito) para x = a, dizemos que a func¸a˜o e´
deriva´vel (diferencia´vel) em a.
ii) A notac¸a˜o f ′ usada na definic¸a˜o anterior tem a vantagem de enfatizar que a derivada
de f e´ uma func¸a˜o de x que esta´ associada de certa maneira com a func¸a˜o f dada.
Se a func¸a˜o e´ apresentada na forma y = f(x), com a varia´vel dependente expl´ıcita,
enta˜o o s´ımbolo y′ e´ usado em lugar de f ′(x). A derivada de y = f(x) e´ tambe´m
indicada por
df
dx
ou
dy
dx
e algumas vezes por Dxy ou Dxf .
Como ja´ mostramos nas sec¸o˜es anteriores, a derivada tem uma interpretac¸a˜o geome´trica
e outra como taxa de variac¸a˜o. Assim:
• Interpretac¸a˜o Geome´trica: A derivada f ′(x) expressa o coeficiente angular da
reta tangente a` curva y = f(x) em func¸a˜o da coordenada x do ponto de tangeˆncia
(desde que o limite exista).
• Taxa de Variac¸a˜o: A derivada f ′(x) expressa a taxa de variac¸a˜o (instantaˆnea) de
y = f(x) em relac¸a˜o a x.
2.2 Regras ba´sicas de derivac¸a˜o