Lista e exercícios cálculo diferencial

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE EQ. DIFERENCIAIS – PROF. JORGE JUNIOR 
Exercícios 
 
Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais. 
 
1. 
22 yx
dx
dy

 5. y’’’- 4y’’ + xy = 0 
2. 
023
2






dx
dy
x
dx
dy 6. y’+ x.cosx = 0 
3. 
yx
dx
dy
xy
dx
yd 2
2
2
5 
 7. (y’’)3 - xy’ + y’’ = 0 
4. 
0
2
2 






dx
dy
y
dx
dy
x
 8. y’’+ ex y = 2 
 
Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação diferencial dada. 
 
9. 
3
dx
dy
; y = 3x – 7 14. 
yx
dx
dy
x  2
 ; y = x2 + Cx 
 
10. 
242 xxy
dx
dy

; y = x2 - 4x 15. 
016
2
2
 y
dx
yd ; y = C1sen4x + C2cos4x 
 
11. x
xy
dx
dy
42 
; y = x2 - 4x 16. 
3
2
2
20x
dx
yd

; y = x5 + 3x - 2 
12. 
0
2
2
 y
dx
yd ; y = 2 senx + 3 cosx 17. 
0cos2  xy
dx
dy
; y = senx + cosx - e-x 
 
13. 
xey
dx
dy 
 ; y = (x + 2).e-x 18. 
22
2
2
 xy
dx
yd ; y = e
-x + x2 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. 
 
1. 
02  dxyxdy
 
9. 
0
2

y
e
dx
dy x 
2. 
03 23  xydydxyx
 10. 
03  xx e
dx
dy
e
 
3. 
0 ydxxdy
 
11. 
031 2  dydxyx
 
4. 
0cossec  ecydxxdy
 12. (1 + x2)dy – dx = 0 
5. 
y
x
dx
dy 2

 
13. (1 + x2)dy + xdx = 0 
6. 
32 

x
xy
dx
dy
 14. 
22221 yxyx
dx
dy

 
7. 
0cos3  xy
dx
dy
 15. 
yxe
dx
dy 
 
8.   0sec13 2  dyyedxtgye xx 16.     022  dyyxydxxyx 
 
Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às 
condições dadas. 
 
17. 
42 yx
dx
dy

; y (1) = 1 19. 
yxy
x
dx
dy
2
2


; y (0) = 4 
18. 
02 
dx
dy
ye x
; y (0) = 2 20. ydxdyx 2 ; y (1) = 1 
 
3 
 
 
 
Respostas 
1) y.lnx + 1 = Cy 8) y = arc tg[(ex – 1)³.k] 15) y = 
  Ce x  /1ln
 
2) y = k. 3xe 9) y = 3 x ke3  16) y =    22 1/ xxk  
3) y = C/x 10) 2y + e-2x = C 17) (2 – x³).y³ = 1 
4) y = arc cos(senx – c) 11) y = sen
  Cx 6/2
 18) y = 
xe48
 
5) 3y² = 2x³ + C 12) y = arc tg x + C 19) y² = 2.ln(x² + 1) + 16 
6) y = k. 
3x2 
 13) y = - 
Cx 1ln.5,0 2
 
20) y = x1xe
 
7) 1 = 2y².(senx + C) 14) arc tg y = x + 
 3/3x
+C 
 
 
 
Exercícios 
 
Resolva a equação diferencial homogênea dada. 
 
1. 
x
yx
y
2
'


 4. 
xy
yx
y
2
'
22 

 
2. 
)yx(2
y
'y


 (usar a subst. x = yv) 5. 
22
'
yx
xy
y


 
3. 
yx
yx
y


'
 6. 
x
yx
y
23
'


 
 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 
 
7. xdy – (2xe-y/x + y)dx = 0; y(1) = 0 
9. 
0sec 





 xdydxy
x
y
x
; y(1) = 0 
 
8. – y2dx + x(x + y)dy = 0; y(1) = 1 
10. 
022 




  xdydxyxy
; y(1) = 0 
 
4 
 
 
 
Respostas 
1) x = C.(x – y)² 
5) y = C 2
2
y2
x
e
 
9) y = x. arc sen(lnx) 
2) x = k.y² - 2y 6) y = kx² - 3x 10) y = x. sen(- lnx) 
3) x² - 2xy – y² = k 
7) xye = lnx² + 1 
 
4) x² - kx = y² 
8) y = 1xye  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
Verifique se a equação diferencial dada é exata e, se for, encontre sua solução geral. 
 
1. (2x – 3y)dx + (2y – 3x)dy = 0 
6. 2y2 2xye dx + 2xy 2xye dy = 0 
2. yexdx + exdy = 0 
7. 
0)(
1
22


ydxxdy
yx
 
3. (3y2 + 10xy2)dx + (6xy – 2 + 10x2y)dy = 0 
8. 
0)()(
22
 ydyxdxe yx
 
4. 2.cos(2x – y)dx - cos(2x – y)dy = 0 
9. 
 
0)(
1 22
2


dyxdxy
yx
 
5. (4x3 – 6xy2)dx + (4y3 – 6xy)dy = 0 10. 
   0cos  dytgxyxydxxye y
 
 
 
5 
 
 
 
 
Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada. 
 
11. 
  02)1ln(
1


dyyxdx
x
y
; y(2) = 4 14. 0)3cos3(sen3  ydyydxe x ; y(0) =  
12. 
0)(
1
22


ydyxdx
yx
; y(4) = 3 
15. (2xtgy + 5)dx + (x2sec2y)dy = 0; y(0) = 0 
13. 
0)(
1
22


ydyxdx
yx
; y(0) = 4 
16. (x2 + y2)dx + 2xydy = 0; y(3) = 1 
 
Respostas 
1) x² - 3xy + y² = C 7) arc tg(x/y) = C 13) x² + y² = 16 
 
2) yex = C 
8) 
  Ce.
2
1 22 yx  
 
14) e3x.sen3y = 0 
3) 3xy² + 5x²y² - 2y = C 9) não é exata 15) x². tgy - 5x = 0 
 
4) sen(2x – y) = C 10) ey. senxy = C 
16) xy² + 
3
x 3 = 12 
5) não é exata 11) y.ln(x – 1) + y² = 16 
 
6) não é exata 12) 
5yx 22 
 
 
 
Exercícios 
Encontre o fator integrante que é função apenas de x ou apenas de y, e use-o para encontrar a 
solução geral da equação diferencial dada. 
1. ydx - (x + 6y2)dy = 0 6. (2x2y – 1)dx + x3dy = 0 
6 
 
 
 
2. (2x3 + y)dx - xdy = 0 7. y2dx + (xy - 1)dy = 0 
3. (5x2 - y)dx + xdy = 0 8. (x2 +2x + y)dx + 2dy = 0 
4. (5x2 – y2)dx + 2ydy = 0 9. 2ydx + (x – sen 
y
)dy = 0 
5. (x + y)dx + tgxdy = 0 10. (-2y3 + 1)dx + (3xy2 + x3)dy = 0 
 
Respostas 
1) FI: 1/y²  (x/y) – 6y = C 6) FI: x -1  x²y - lnx = C 
 
2) FI: 1/x²  (y/x) – x² = C 7) FI: (1/y)  xy - lny = C 
 
3) FI: 1/x²  (y/x) + 5x = C 
8) FI: 2xe
  2xe (2y + 2x² - 4x + 8) = C 
 
4) FI: e-x  e-x (y² - 5x² - 10x – 10) = C 9) FI: (1/
y
)  x. 
y
 + cos 
y
 = C 
 
5) FI: cosx  y.senx + x.senx + cosx = C 10) FI: x -3  x -2y³ + y - (1/ 2x²) = C 
 
 
 
Exercícios 
Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais. 
 
1. 
xey
dx
dy 35 
 8. dxxydxxdy 223  
2. 
xey
dx
dy 23 
 
9. xdy – 5ydx = (4x + x6)dx 
3. 
2
3 3  x
x
y
dx
dy
 10. 
32 )4(2  xy
dx
dy
x
 
4.
5
2 2  x
x
y
dx
dy
 11. dxxxydxdyx 22 32)1(  
7 
 
 
 
5. 
)23(2 3 xexy
dx
dy x 
 12. 
xxy
dx
dy
sentan 
 
6. 
)13(3 22  xeyx
dx
dy x
 13. 
72 42  xxy
dx
dy
x
 
7. 
dxexydxdy x424 
 14.52 32  xxy
dx
dy
x
 
 
Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às 
condições iniciais dadas. 
15. 
xey
dx
dy 23 
; y (0) = 2 17. 
xyecx
dx
dy
cotcos 
; y (/2) = 3/2 
16. 
32  x
x
y
dx
dy
; y (1) = 3 
18.
 dxyxdy 3
; y (0) = 1 
 
Respostas 
1) –2y = e3x + Ce5x 7) 3y = x³e4x + C
x4e
 13) 5x²y = x
5 – 35x + C 
2) y = e-2x + Ce-3x 
8) y = (-1/3) + C 3xe 
14) y = x². lnx – (5/3x) + C.x² 
3) 14x³y = 2x 7 – 7x 4 + C 9) y = x 6 – x + Cx 5 15) y = e 2x (3e x – 1) 
4) y = x³ - 5x + Cx² 
10) y =  
22
42
x
C
x8
4x

 
16) y = (x³/2) + 3x.lnx + Cx 
5) 22 xx3x eye  + C 
11) (1 + x²).y = x³ + C 17) y.senx = x +  
6) y = - e x + C 3xe 
12) y = secx[(sen²x/2) + C] 18) y = (x/3) – (1/9) + Ce -3x