Matematica unid II

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5 Funções
5.1 Conceitos introdutórios
Neste tópico, alguns conceitos preliminares ao estudo de funções serão apresentados, tais como 
plano cartesiano e relações entre conjuntos.
5.1.1 Plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, denominadas eixo x e y. O ponto 
de cruzamento dessas retas é denominado origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos 
eixos x e y e tem o zero como marcador. 
Os eixos x e y dividem o plano em quatro áreas, os quadrantes, que são organizados no sentido 
anti‑horário e numerados em ordem crescente, com início em 1.
A ilustração a seguir apresenta o plano cartesiano e seus principais componentes:
 
y (eixo das ordenadas)
x (eixo das abscissas)
Ponto de origem
2º quadrante 1º quadrante
4º quadrante3º quadrante
0
Figura 33
 Observação
O eixo y também é chamado de eixo das ordenadas ou eixo vertical e 
o eixo x também é chamado de eixo das abscissas ou eixo horizontal.
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5.1.2 Par ordenado
Um par ordenado (a;b) representa um único ponto no plano cartesiano e vice‑versa. O par ordenado 
pode ser representado matematicamente da seguinte forma:
 
y
b
0 a x
P=(a; b)
Figura 34
 Observação
A notação do ponto P pode ser P = (a;b), P (a;b) ou P ↔ (a;b).
Observe na ilustração a seguir alguns exemplos de pontos representados no plano cartesiano:
y
x
C
D
E
B
A
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2
Figura 35
A = (1;3) ou A (1;3) ou A ↔ (1;3).
B = (2;1) ou B (2;1) ou B ↔ (2;1).
C = (‑2;2) ou C (‑2;2) ou C ↔ (‑2;2).
D = (‑2;‑3) ou D (‑2;‑3) ou D ↔ (‑2;‑3).
E = (2;‑2) ou E (2;‑2) ou E ↔ (2;‑2).
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5.1.3 Produto cartesiano (AxB)
O produto cartesiano de AxB é o conjuntos de todos os pares ordenados (x;y), tal que x pertença ao 
conjunto A e y, ao B, sendo que A e B não podem ser dois conjuntos vazios.
A notação matemática que representa o produto cartesiano é: AxB = (x | x ∈ A e y ∈ B).
Existem diversas formas de representar o produto cartesiano, tais como a notação de conjuntos, o 
diagrama de flechas e o próprio plano cartesiano. Vejamos alguns exemplos:
Dados os conjuntos A = {‑2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos:
Exemplo 01: 
Produto cartesiano AxB 
AxB = {(‑2;0), (‑2;1), (‑2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}
O produto cartesiano AxB representado no diagrama de flechas:
 
AxB
A B
–2
3
3
1
0
Figura 36
O produto cartesiano AxB representado no plano cartesiano:
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 37
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Exemplo 02: 
Produto cartesiano BxA
BxA = {(0;‑2), (0;3), (1;‑2), (1;3), (3;‑2), (3;3)}
O produto cartesiano BxA representado no diagrama de flechas:
 
BxA
B A
–2
3
3
1
0
Figura 38
O produto cartesiano BxA representado no plano cartesiano:
 
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 39
Exemplo 03: 
Produto cartesiano AxA
A2 = AxA = {(‑2;‑2), (‑2;3), (3;‑2), (3;3)}
O produto cartesiano AxA representado no diagrama de flechas:
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AxB
A B
–2
3
–2
3
Figura 40
O produto cartesiano AxA representado no plano cartesiano:
 
y
x
–3
–2
0
1
2
3
–2 1 2 3
–1
–3 –1
Figura 41
5.1.4 Relações
A relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB, sendo que A e B não podem 
ser dois conjuntos vazios. Uma relação R de A em B é denotada pelo símbolo R: A → B. Exemplo:
Dados os conjuntos A = {‑2;3} e B = {0;1;3}, temos AxB = {(‑2;0), (‑2;1), (‑2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}, 
sendo R1, R2 e R3, relações de A em B, descritas a seguir:
R1= {(‑2;0), (‑2;1), (‑2;3)}
R2= {(‑2;3), (3;0)}
R3= {(‑2;0), (‑2;1), (3;1), (3;3)}
Observe que R1, R2 e R3 são subconjuntos do produto cartesiano AxB.
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5.1.5 Domínio e imagem
Em uma relação R de A em B, um par ordenado (x;y) associa x a y, no qual y é denominado imagem 
de x em R.
Por exemplo, na relação ilustrada no diagrama a seguir, note que:
• o 1 do conjunto A está associado ao 0 do conjunto B;
• o 2 do conjunto A está associado ao 4 do conjunto B;
• o 4 do conjunto A está associado ao 6 e ao 8 do conjunto B.
 
R: A→B
A B
3
2
1
4
4
2
0
6
8
Figura 42
Assim, podemos dizer que:
• 0 é a imagem de 1;
• 4 é a imagem de 2;
• 6 e 8 são imagens de 4.
Note ainda que o elemento 3 do conjunto A não está associado a qualquer elemento de B e que o 2 
do conjunto B não é imagem de nenhum elemento do conjunto A.
Considerando uma relação R qualquer de A em B, denomina‑se domínio e imagem os seguintes 
conjuntos:
• domínio de R (ou D(R)) é o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo 
menos um elemento de B: D(R) = {1, 2, 4};
• imagem de R (ou Im(R)) é o conjunto de todos os elementos de B que são imagens de pelo menos 
um elemento de A: Im(R) = {0, 4, 6, 8}.
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5.2 Conceitos elementares de função
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B definida por uma regra de formação f na qual 
cada elemento de A é relacionado a apenas um elemento de B. A função é denotada pela notação 
f: A → B.
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 01:
 
R1: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 43
Ao adotar o conjunto A como o de partida das setas e o B como o conjunto de chegada das setas, 
temos que:
• o domínio de R1 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R1 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R1 é um subconjunto do contradomínio composto pelos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,3,4,5}.
Porém, observe que R1 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A não está 
associado a nenhum elemento de B, assim, R1 é apenas uma relação. 
Exemplo 02:
R2: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 44
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Aqui, temos que:
• o domínio de R2 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R2 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R2 também é o conjunto de chegada (B).
Note ainda que R2 também não é uma função de A em B, uma vez que o elemento 4 do conjunto A 
está associado a dois elementos de B, o 4 e o 5, assim, R2 é apenas uma relação.
Exemplo 03:
R3: A→BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 45
Nesse exemplo, temos que:
• o domínio de R3 é o conjunto de partida (A);
• o contradomínio de R3 é o conjunto de chegada (B);
• o conjunto imagem de R3 é um subconjunto do contradomínio composto pelos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,2,3,4}.
Atente para o fato de que R3 é uma função de A em B, pois cada elemento do conjunto A está 
relacionado a um único elementodo conjunto B.
 Lembrete
Se uma relação é uma função de A em B, então A é o domínio da 
função, B é o contradomínio da função e o conjunto imagem da função 
é formado pelos elementos do contradomínio B que estão associados aos 
do domínio A.
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5.2.1 Domínio e imagem: análise gráfica
A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio. 
Essa variação também é chamada de variação de f. 
Imagem
Domínio
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–1,0
1,0 2,0–1,0–2,0–3,0–4,0–5,0–6,0
Figura 46
Teste da reta vertical
Uma curva no plano cartesiano só é um gráfico de uma função se nenhuma reta vertical cortar a 
curva mais de uma vez.
É curva de uma função
y
0
x
Não é curva de uma função
y
0
x
Figura 47
Definindo o domínio de uma função
O domínio é constituído por todos os valores reais de x para os quais seja possível o cálculo da 
imagem. Vejamos mais alguns exemplos:
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Exemplo 01:
f x
x
( ) =
−
2
1
O domínio da função é D=R‑{1}, pois o valor x = 1 faz que o denominador seja zero.
Exemplo 02:
f x x( ) = −1
Aqui, D = [1, ∞], pois, para x < 1, o radicando é negativo e não existe raiz quadrada de número 
negativo.
Exemplo 03:
f(x) = x2 + 2x
Aqui, D = R, pois, nesse exemplo, x pode ser qualquer valor real.
5.3 Funções definidas por fórmulas matemáticas
Uma função f:A→B pode ser representada por uma lei, como y = f(x), que estabelece um critério na 
associação dos pares ordenados (x,y) ∈ AxB. Exemplificando:
Exemplo 01:
Dado os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 2; 4; 6; 8}, nos quais a relação de f:A→B é definida pela 
função f(x) = 2x (com x ∈ A e y ∈ B e também representada por y = 2x), temos:
Quadro 06
x y = f(x) = 2x Par ordenado (x;y)
1 y = f(1) = 2.1 = 2 (1,2)
2 y = f(2) = 2.2 = 4 (2,4)
3 y = f(3) = 2.3 = 6 (3,6)
• domínio: D(f) = {1; 2; 3};
• contradomínio: C(f) = {0; 2; 4; 6; 8};
• imagem: Im(f) = {2; 4; 6}.
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Confira a representação no diagrama de flechas:
 
f: A→B
A B
3
2
1
4
2
0
6
8
Figura 48
Verifique a representação no plano cartesiano:
y
x0 9
8
7
6
5
4
3
2
1
87654321
Figura 49
Exemplo 02:
Dado os conjuntos A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} e B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, nos quais a relação de f:A→B é 
definida pela função f(x) = 2x+1 (com x ∈ A e y ∈ B, e também representada por y=2x+1), temos:
Quadro 07
x y = f(x) = 2x + 1 Par ordenado (x,y)
0 y = f(0) = 2.0 + 1 = 0+1 = 1 (0,1)
1 y = f(1) = 2.1 + 1 = 2+1 = 3 (1,3)
2 y = f(2) = 2.2 + 1 = 4+1 = 5 (2,5)
3 y = f(3) = 2.3 + 1 = 6+1 = 7 (3,7)
4 y = f(4) = 2.4 + 1 = 8+1 = 9 (4,9)
5 y = f(5) = 2.5 + 1 = 10+1 = 11 (5,11)
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• domínio: D(f) = {0; 1; 2; 3; 4; 5};
• contradomínio: C(f) = {1; 3; 5; 7; 9; 11};
• imagem: Im(f) = {1; 3; 5; 7; 9; 11}.
Veja a representação no diagrama de flechas:
f: A→B
A B
5
3
1
7
9
11
2
1
0
3
4
5
Figura 50
Confira a representação no plano cartesiano:
y
x0
8
7
6
5
4
3
2
1
7654321
10
9
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Figura 51
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5.4 Função do 1º grau (função linear ou afim)
Uma função do 1o grau é toda função f:R→R definida pela regra y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R e 
sendo a e b constantes denominadas coeficientes da função.
As principais características da função do 1º grau são:
• o gráfico da função do 1º grau é sempre uma reta;
• quando a constante a for positiva (a > 0), a função é crescente, ou seja, quanto maior o valor de 
x, maior será o valor de y;
• quando a constante a for negativa (a < 0), a função é decrescente, ou seja, quanto maior o valor 
de x, menor será o valor de y;
• quando a constante a for nula (a = 0), a função é constante, ou seja, para qualquer valor de x, o 
valor de y é sempre o mesmo;
• quando a constante b for igual a zero, o gráfico sempre passará pela origem dos eixos;
• a constante b, denominada coeficiente linear da reta, é o intercepto do gráfico no eixo y;
• a constante a, denominada coeficiente angular da reta, representa a taxa de variação de y dada 
uma variação na variável independente x;
• o coeficiente angular é dado pela relação a
y
x
y y
x x
= =
−
−
∆
∆
0
0
, assim, a partir de dois pontos, é 
 
possível se encontrar o coeficiente angular da reta.
 saiba mais
Para o estudo gráfico de funções, um interessante programa é o iGraf, 
que permite traçar gráficos interativos. Ele é gratuito e pode ser baixado em 
<http://www.matematica.br/igraf/iGraf.jar/>. Em <http://www.matematica.
br/igraf/>, você pode obter o manual on‑line desse programa. As ilustrações 
dessa unidade, por exemplo, foram feitas usando o iGraf.
Comportamento da função do 1º grau
Quando a constante b da função é alterada, o gráfico da função é deslocado verticalmente na 
quantidade de unidades expressa em b. Observe o exemplo a seguir: a função y = x + 1 é a função y = x 
deslocada 1 unidade para cima e a função y = x – 2 é a função y = x deslocada 2 unidades para baixo:
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MateMática
–1,0–2,0–3,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0
–1,0
–2,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
+1
–2
y = x+1
y = x 
y = x –2
Figura 52
Já a constante a afeta a inclinação da reta. Quanto maior for o valor de a, mais distante a reta ficará 
do eixo x, ou seja, o ângulo formado pelo eixo x e a reta aumenta. Observe:
–2,0
–1,0
1.0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0–1,0–2,0–3,0–4,0–5,0
y = 5x
y = 3x
y = 2x
y = x
y = 0,5x
y = 0,25x
Figura 53
Para construirmos gráficos da função do 1º grau, verifiquemos os exemplos a seguir:
Exemplo 01:
Dada a função y = f(x) = 2x+6, nota‑se que f é uma função crescente, já que a = 2 > 0.
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Instruções para desenhar o gráfico da função:
1o passo: calcular o valor de y para x = 0:
y = 2x + 6
y = 2.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2o passo: calcular o valor de x para y = 0 (raiz ou zero da função):
y = 2x + 6
0 = 2x + 6
–6 = 2x ⇒ 2x = –6
x = − = −
6
2
3
Como x = –3 e y = 0, temos P2 = (–3,0).
3o passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 54
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MateMática
O gráfico da função intercepta o eixo x (ou horizontal) em ‑3 e intercepta o eixo y (ou vertical) em 6.
Perceba que, ao aumentar 1 unidade em x, a função aumenta 2 unidades em y:
f(x) = 2x + 6
f(–2) = 2.(–2) + 6 = –4 + 6 = 2
f(–1) = 2.(–1) + 6 = –2 + 6 = 4
Essa é a taxa de crescimento da função, fornecida por meio do coeficiente a. Nesse exemplo, a = 2, 
o que indica um aumento de 2 unidades em y a cada 1 unidade aumentada em x.Exemplo 02:
Dada a função y = f(x) = –2x + 6, observa‑se que f é uma função decrescente, já que a = ‑2 < 0.
Instruções para desenhar o gráfico da função:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0:
y = –2x + 6
y = –2.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2º passo: calcular o valor de x para y = 0 (raiz ou zero da função):
y = –2x + 6
0 = –2x + 6
–6 = –2x ⇒ –2x = –6
x = =
6
2
3
Como x = 3 e y = 0, temos P1 = (3,0).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
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7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 55
Observe que o gráfico da função intercepta o eixo x (ou horizontal) em 3 e o eixo y (ou vertical) em 6.
Note ainda que, ao aumentar 1 unidade em x, a função diminui 2 unidades em y:
f(x) = –2 + 6
f(1) = –2.(1) + 6 = –2 + 6 = 4
f(2) = –2.(2) + 6 = –4 + 6 = 2
Essa é a taxa de crescimento da função, fornecida por meio do coeficiente a.
Atente para o fato de que, nos exemplos, a = ‑2, o que indica um decréscimo de 2 unidades em y a 
cada 1 unidade aumentada em x.
Exemplo 03:
Dada a função y = f(x) = 6 = 0x + 6, observa‑se que f é uma função constante, já que a = 0.
Instruções para desenhar o gráfico da função:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0:
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MateMática
y = 0x + 6
y = 0.0 + 6 = 6
Como x = 0 e y = 6, temos P1 = (0,6).
2º passo: calcular o valor de y para x = 1:
y = 0x + 6
y = 0.1 + 6 = 0 + 6 = 6
Como x = 1 e y = 6, temos P2 = (1,6).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 56
O gráfico da função não intercepta o eixo x (ou horizontal) e intercepta o eixo y (ou vertical) em 6. 
Perceba que, ao aumentar 1 unidade em x, a função mantém‑se constante em y:
f(x) = 0x + 6
f(1) = 0.(1) + 6 = 6
f(2) = 0.(2) + 6 = 6
70
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1/
11
Nesses exemplos, a = 0, o que indica que não há aumento de unidades em y quando 1 unidade é 
aumentada em x.
Exemplo 04:
Dada a função y = f(x) = 2x, observa‑se que f é uma função crescente, já que a = 2 > 0.
Instruções para desenhar o gráfico da função:
1º passo: calcular o valor de y para x = 0:
y = 2x
y = 2.0 = 0
Como x = 0 e y = 0, temos P1 = (0,0).
2º passo: calcular o valor de y para x = 1:
y = 2x
y = 2.1 = 2
Como x = 1 e y = 2, temos P2 = (1,2).
3º passo: inserir os dois pontos no diagrama cartesiano e traçar uma reta que passe por eles:
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
Figura 57
71
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1/
11
MateMática
Observe que o gráfico da função intercepta tanto o eixo horizontal como o eixo vertical no zero, 
ou seja, ele passa pela origem (0,0). Além disso, ao aumentarmos 1 unidade em x, a função diminuirá 2 
unidades em y:
f(x) = 2x
f(1) = 2.(1) = 2
f(2) = 2.(2) = 4
Nesses exemplos, a = 2, o que indica um crescimento de 2 unidades em y a cada 1 unidade aumentada 
em x.
5.4.1 Ponto de intersecção de duas retas
Determinando e representando o ponto de intersecção de duas retas num mesmo sistema de 
coordenadas, temos os exemplos expostos a seguir:
Exemplo 01:
Dado o seguinte sistema de equações:
y x
y x
= − +
= −

2 5
1
Tracemos os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas, apontando o ponto 
de intersecção entre elas:
1º passo: obter os pontos que a função y = –2x + 5 intercepta nos eixos x e y:
para x = 0, temos:
y = –2.0 + 5 = 5
Portanto, P1 = (0;5).
para y = 0, temos:
0 = –2x + 5
2x = 5
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
,⇒ = =x
5
2
2 5.
72
Unidade II
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Portanto, P2 = (2,5;0).
2º passo: obter os pontos que a função y = x – 1 intercepta nos eixos x e y:
para x = 0, temos:
y = 0 –1 = –1
Portanto P1 = (0; –1).
para y = 0, temos:
0 = x –1
x = 1
Portanto, P2 = (1;0).
3º passo: obter o ponto de intersecção. Para isso, basta igualar as duas equações:
–2x + 5 = x –1
–2x – x = –1 – 5
–3x = –6
x =
−
−
=
6
3
2
4º passo: substituir x em uma das equações para achar y:
y = x –1
y = 2 –1 = 1
Portanto, o ponto de intersecção é (2;1).
5º passo: traçar as retas e o ponto de interseção em um mesmo sistema de coordenadas:
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1/
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MateMática
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
Figura 58
5.5 Função do 2º grau (função quadrática)
Função do 2o grau é toda função f: R → R definida pela regra y = f(x) = ax2 + bx + c, com a e b ∈ R 
e a ≠ 0, sendo a, b e c denominados coeficientes da função.
As principais características da função do 2º grau são:
• o gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola;
• quando o coeficiente a for positivo (a > 0), o gráfico da função tem concavidade voltada para 
cima;
• quando o coeficiente a for negativo (a < 0); o gráfico da função tem concavidade voltada para 
baixo.
Ao estudar o comportamento da função quadrática, verificamos que a constante a da função do 2º 
grau está relacionada à abertura da parábola, ou seja, quanto maior o valor de a, mais fechada será a 
parábola, como mostra a ilustração a seguir:
‑1,0
74
Unidade II
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1/
11
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0–3,0–4,0–5,0
10x2
5x2
2x2
x2
0,5x2
0,25x2
0,1x2
Figura 59
A constante c da função do 2º grau, por sua vez, afeta o deslocamento vertical do gráfico. Veja:
–2,0–3,0 –1,0 1,0 2,0
–1,0
–2,0
1,0
2,0
3,0
4,0
x2+1
x2
x2‑2
+1
–2
Figura 60
75
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1/
11
MateMática
A seguir, apresentamos instruções para desenhar o gráfico da função quadrática.
1º passo: análise do coeficiente a:
• se a > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima;
• se a < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. 
a > 0 a < 0
Figura 61
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
Calcule ∆ = b2 – 4ac e analise o resultado: se ∆ > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, 
que podem ser obtidas pelas fórmulas:
x
b
a
’ =
− + ∆
2 
x
b
a
" =
− − ∆
2
Porém, se ∆>0, a parábola intercepta o eixo x (horizontal) em dois pontos diferentes (x’ e x”):
a > 0
x’ x”
a < 0
x’ x”
Figura 62
76
Unidade II
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1/
11
Se ∆ = 0, a função admite duas raízes reais e iguais que podem ser obtidas pela fórmula:
x x x
b
a
= = = −’ "
2
Além disso, se ∆ = 0, a parábola intercepta o eixo x (horizontal) em um único ponto (x’ = x”). 
Observe:
x’ = x”
a < 0a > 0
x’ = x”
Figura 63
Por fim, se ∆ < 0, a função não admite raízesreais e a parábola nunca interceptará o eixo x 
(horizontal).
a > 0 a < 0
Figura 64
3o passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
,
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1/
11
MateMática
4o passo: calcular o ponto que intercepta o eixo y (vertical). Para isso, calcule o valor de y para x = 0:
y = ax2 + bx + c, fazendo x = 0, temos que:
y = a.02 + b.0 + c
y = c
O ponto que intercepta o eixo y é (0, c).
Verifique a seguir alguns exemplos:
Exemplo 01:
Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 4x – 5:
a = 1 b = (–4) c = (–5)
1º passo: análise do coeficiente a:
Como a = 1 > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (–4)2 –4.1.(–5) = 16 + 20 = 36
Como ∆ = 36 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, calculadas a seguir:
x
b
a
’
.
=
− +
=
− −( ) +
=
+
= =
∆
2
4 36
2 1
4 6
2
10
2
5
x
b
a
"
.
=
− −
=
− −( ) −
=
−
=
−
= −
∆
2
4 36
2 1
4 6
2
2
2
1
Portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos ‑1 e 5.
3º passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
, → 
x
y
V
v
v
= −
−
= =
= − = − = −




⇒ −( )
( )
.
.
,
4
2 1
4
2
2
36
4 1
36
4
9
2 9
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Unidade II
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1/
11
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para x = 0. Assim:
O ponto que intercepta o eixo y é (0, –5)
5º passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–2,0 –1,0 3,0 4,0 5,01,0 2,0 6,0
–6,0
–7,0
–8,0
–9,0
Figura 65
Exemplo 02: 
Construa o gráfico da função f (x) = –x2 + 6x –9:
a = (–1) b = 6 c = (–9)
1º passo: análise do coeficiente a:
Como a = –1 < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
∆ = b2 – 4ac = (6)2 –4.(–1).(–9) = 36 –36 = 0
79
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1/
11
MateMática
Como ∆ = 0, a função admite duas raízes reais e iguais, calculadas a seguir:
x x x= = =
−
−( ) =
−
−
=’ "
.
6
2 1
6
2
3
Portanto, a parábola intercepta o eixo x no ponto 3.
3º passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
, → 
x
y
V
v
v
= −
−
=
−
−
=
= −
−
= −
−
=





⇒ ( )
6
2 1
6
2
3
0
4 1
0
4
0
3 0
.( )
.( )
,
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para x = 0. Assim:
O ponto que intercepta o eixo y é (0, –9)
5o passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–2,0 –1,0 3,0 4,0 5,01,0 2,0 6,0
–6,0
–7,0
–8,0
–9,0
Figura 66
80
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1/
11
Exemplo 03:
Construa o gráfico da função f(x) = x2 + 2x + 3:
a = 1 b = 2 c = 3
1º passo: análise do coeficiente a:
Como a = 1 > 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima.
2º passo: calcular os zeros ou raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (2)2 –4.1.(3) = 4 –12 = –8
Como ∆ = –8 < 0, a função não admite raízes reais, portanto, não intercepta nem toca o eixo x.
3º passo: calcular o vértice da parábola:
x
b
a
y
a
V
b
a a
v
v
= −
= −





⇒ − −



2
4
2 4∆
∆
, → 
x
y
V
v
v
= − = −
= −
−
=




⇒ −( )
2
2 1
1
8
4 1
2
12.
( )
.
,
4º passo: obter o ponto que o gráfico intercepta no eixo y. Para isso, calcule o valor de y para 
x = 0. Assim:
O ponto que intercepta o eixo y é (0,3)
5º passo: colocar todos os pontos no diagrama cartesiano e traçar o gráfico:
81
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/1
1/
11
MateMática
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–4,0 –3,0 –2,0 –1,0 1,0 2,0 3,0
8,0
Figura 67
5.5.1 Ponto de intersecção: reta e parábola
Ao determinar e representar um ponto de intersecção entre retas e parábolas num mesmo sistema 
de coordenadas, temos, por exemplo, o seguinte sistema de equações:
y x
y x x
= − +
= − + +

2 5
4 42
Façamos os gráficos das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas e apontemos o ponto 
de intersecção entre elas.
1º passo: obter os pontos que a função y = ‑2x + 5 intercepta nos eixos x e y:
para x = 0, temos:
y = –2.0 + 5 = 5
Portanto, P1 = (0;5).
82
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1/
11
para y = 0 temos:
0 = –2x + 5
2x = 5
⇒ = =x
5
2
2 5,
Portanto, P2 = (2,5;0).
2º passo: obter os pontos necessários para traçar o gráfico da função y = ‑x2 + 4x + 4:
a = (–1) b = 4 c = 4
Como a = –1 < 0, o gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.
Façamos o cálculo dos zeros ou raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (4)2 –4.(–1).4 = 16 + 16 = 32
Como ∆ = 32 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes, calculadas a seguir:
x ’
.
, ,
,=
−( ) +
−( ) =
− +
−
=
−
= −
4 32
2 1
4 5 66
2
166
2
0 83
x "
.
, ,
,=
−( ) −
−( ) =
− −
−
=
−
−
= −
4 32
2 1
4 5 66
2
9 66
2
4 83
A parábola intercepta o eixo horizontal (eixo x) em dois pontos diferentes: ‑0,83 e 4,83.
Calculemos o vértice da parábola:
 
V
b
a a
− −



 = −
−( ) − −( )



 = ( )2 4
4
2 1
32
4 1
2 8,
( )
.
,
.
,
∆
Logo, os pontos de interceptação no eixo y são: (0, c) = (0,4).
3º passo: obter o ponto de intersecção. Para isso, é preciso igualar as duas equações:
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29
/1
1/
11
MateMática
–x2 + 4x + 4 = –2x = 5
–x2 + 4x + 4 + 2x –5 = 0
–x2 + 6x –1 = 0
Calculemos as raízes da função:
∆ = b2 –4ac = (6)2 –4.(–1).(–1) = 36 – 4 = 32
Como ∆ = 32 > 0, a função admite duas raízes reais e diferentes:
x ’
.
, ,
,
− +
−( ) =
− +
−
=
−
−
=
6 32
2 1
6 5 66
2
0 35
2
0 17x ’
.
, ,
,
− +
−( ) =
− +
−
=
−
−
=
6 32
2 1
6 5 66
2
0 35
2
0 17x "
.
, ,
,=
−( ) −
−( ) =
− −
−
=
−
−
= −
4 32
2 1
4 5 66
2
9 66
2
4 83
x "
.
, ,
,=
− −
−( ) =
− −
−
=
−
−
=
6 32
2 1
6 5 66
2
1166
2
5 83
Para achar o valor de y, é necessário substituir x em uma das equações:
y’ = 2x’ + 5
y’ = 2.(0,17) + 5 = 4,66
y” = – 2x” + 5
y” = –2(5,83) + 5 = 6,66
Portanto, os pontos de intersecção entre a reta e a parábola são (0,17;4,66) e (5,83;‑6,66).
4º passo: traçar a reta, a parábola e o ponto de interseção em um mesmo sistema de coordenadas:
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- 
29
/1
1/
11
7,0
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
–2,0 –1,0 1,0 3,0 4,0 5,0
8,0
2,0 6,0
–1,0
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
‑7,0
Figura 68
5.6 equação exponencial
Uma equação exponencial é aquela que apresenta a incógnita no expoente em pelo menos 
uma potência da expressão. Para resolver uma equação exponencial, é necessário reduzir 
ambos os lados da equação a potências de mesma base a (a > 0 e a ≠ 1) e aplicar a seguinte 
propriedade:
ax1 = ax2 → x1 = x2
85
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/1
1/
11
MateMática
Veja alguns exemplos:
Exemplo 01:
2x = 23
x = 3
S = {3}
Exemplo 02:
2x = 16
2x = 24
x = 4
S = {4}
Exemplo 03:
42x = 4x+1
2x = x + 1
2x – x = 1
x=1
S = {1}
Exemplo 04:
1
3
81

 =
x
(3–1)x = 34
3–x=34
x = –4
S = {–4}
86
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11
Exemplo 05:
2 64( ) =x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
2 2
1
2 6



 =
x
x
2
6=
x = 12
S = {12}
Exemplo 06:
(3x)x+1 = 729
3x2+ x = 36
x2 + x = 6
x2 + x – 6 = 0
Ao resolver a equação, obtemos as raízes: x = –3 ou x = 2, S = {2, –3}.
Exemplo 07:
22x+1.43x+1 = 8x–1
22x+1.(22)3x+1 = (23)x–1
22x+1.26x+2 = 23x–3
28x+3 = 23x–3
8x + 3 = 3x –3
x = −
6
5
S = −

6
5
.
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MateMática
5.7 Função exponencial
Uma função exponencial é toda função f de R em R dada pela regra f(x)=ax, onde a é um número 
real positivo e diferente de 1. 
Assim, as propriedades das funções exponenciais são:
1º caso: função exponencial com base maior que 1 (a > 1):
Observe o gráfico da função y = 2x, ilustrado a seguir:
 
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0
Figura 69
Verifique que:
• como y = ax > 0, ou seja, y > 0 para todo x, o gráfico de y = ax estará localizado no 1º e no 2º 
quadrantes;
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Unidade II
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• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = ax intercepta o eixo y no ponto (0;1);
• a função y = ax, para a > 1, é crescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 > ax2.
A seguir, é apresentado o gráfico da função y = 2‑x. Essa função é semelhante à função y = 2x. A 
diferença entre elas é o expoente negativo. 
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
12,0
13,0
Figura 70
Note que o gráfico da função y = 2‑x é obtido por meio do espelhamento no eixo y do gráfico da 
função y = 2x.
2º caso: função exponencial com base entre 0 e 1 (0 < a < 1):
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MateMática
Observe o gráfico da função y
x
=




1
2
, ilustrado a seguir:
 
10,0
9,0
8,0
7,0
6,0
5,0
4,0
11,0
2,0
1,0
3,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
Figura 71
Verifique que:
• como y = ax > 0, ou seja, y > 0 para todo x, o gráfico de y = ax está no 1º e no 2º quadrantes;
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x aumenta, y se aproxima de zero;
• a função y = ax intercepta o eixo y no ponto (0;1);
• a função y = ax, para 0 < a < 1, é decrescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 < ax2.
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Desse modo, podemos considerar algumas conclusões importantes:
• em ambos os casos, o eixo x é assíntota horizontal;
• o gráfico corta o eixo y no ponto (0;1);
• para a > 1, temos uma função exponencial crescente e, para 0 < a < 1, temos uma função 
exponencial decrescente.
Verifique outros exemplos:
Na ilustração a seguir, encontra‑se o gráfico da função y = ‑2x. O que ocorrerá se a função exponencial 
com base maior que 1 (a > 1) for multiplicada por um número negativo?
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
–7,0
–8,0
–1,0
–10,0
–11,0
–9,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
–12,0
1,0
–6,0
Figura 72
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MateMática
Verifique que:
• como y = ‑ax < 0, ou seja, y < 0 para todo x, então o gráfico de y = ‑ax está localizado no 3º e no 
4º quadrantes;
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = ‑ax intercepta o eixo y no ponto (0;‑1);
• a função y = ‑ax para a > 1 é decrescente, uma vez que x1 > x2 → a
x1 < ax2.
Na ilustração a seguir, encontra‑se o gráfico da função y
x
= −




1
2
. Observe o que acontece se a 
 
função exponencial com base entre 0 e 1 (0 < a < 1) for multiplicada por um número negativo. 
 
–2,0
–3,0
–4,0
–5,0
–6,0
–7,0
–8,0
–1,0
–10,0
–11,0
–9,0
–2,0 –1,0 2,0 3,01,0–3,0–4,0–5,0 4,0
–12,0
1,0
–6,0 5,0 6,0
Figura 73
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Verifique que:
• como y = ‑ax < 0, ou seja, y < 0 para todo x, o gráfico de y = ‑ax se localizará no 3º e no 4º 
quadrantes;
• o eixo x é assíntota horizontal, uma vez que, quando x diminui, y se aproxima de zero;
• a função y = ‑ax intercepta o eixo y no ponto (0;‑1);
• a função y = ‑ax, para 0 < a < 1, é crescente, uma vez que x1 > x2 → a
x
1 > ax2.
5.7.1 Crescimento exponencial
Se uma grandeza com valor inicial y0 crescer a uma taxa constante k, após um tempo x ela será 
expressa pela seguinte fórmula:
y = y0(1+k)
x
Para isso, é necessário que k e x sejam medidos na mesma unidade.
Por exemplo, daqui a 10 anos, qual será o número aproximado de habitantes de uma cidade que hoje 
tem 10.000 habitantes e cresce a uma taxa de 5% ao ano?
Para a resolução, adote: 
• y =? (número de habitantes daqui a 10 anos);
• yo = 10.000 (número de habitantes que a cidade tem hoje);
• k = 5% = 0,05 (taxa de crescimento anual);
• x = 10 (período em anos).
Ao substituir os dados na fórmula y = y0(1+k)
x, temos:
y = 10000 (1 + 0,05)10
y = 10000 (1,05)10
y = 10000.1,629
y = 16290
Assim, essa cidade terá aproximadamente 16.300 habitantes daqui a 10 anos.
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MateMática
5.8 Logaritmos
A expressão a seguir é chamada de logaritmo de b na base a:
loga b = x ⇔ a
x = b, a e b ∈ R+
No caso, a e b são números reais positivos, com a ≠ 1.
Assim, na expressão loga b = x, temos:
• a é base do logaritmo;
• b é o logaritmando;
• x é o logaritmo.
 Observação
A expressão loge x = lnx indica o logaritmo neperiano ou logaritmo 
natural, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 
2,718281828459045... (número de Euler).
Observe os exemplos a seguir:
log2 8 = 3, pois 2
3 = 8
log3 9 = 2, pois 3
2 = 9
log2
1
4
2= − , pois 2
1
4
2−
=
log5 5 = 1, pois 5
1 = 5
log4 1 = 0, pois 4
0 = 1
log3 3
1
2
= , pois 3 3
1
2
=
log1
2
8 3= −
, pois1
2
8
3


 =
−
log0,5 0,25 = 2 pois (0,5)
2 = 0,25
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As propriedades dos logaritmos são:
• o logaritmo de 1 em qualquer base a é igual a 0: loga 1 = 0, pois a
0 = 1;
• o logaritmo da própria base, qualquer que seja ela, é igual a 1: loga a = 1, pois a
1 = a;
• a potência de base a e expoente loga b é igual a b: a b
ablog
= ;
• produto: loga (b . c) = loga b + loga c. Por exemplo:
log2 6 = log2 (2 . 3) = log2 2 + log2 3 = 1 + log2 3
log4 30 = log4 (2 . 3 . 5) = log4 2 + log4 3 + log4 5
• quociente: log log loga a a
b
c
b c= − . Por exemplo: 
log log log10 10 10
2
3
2 3= −
log log log log2 2 2 2
1
5
1 5 5= − = −
• potência: loga b
r = r . loga b. Por exemplo:
log5 2
3 = 3 . log5 2
log log .log10 10
1
2
102 2 2=
log log .log2 2
3
2
1
27
3 3 3= = −−
• mudança de base: log
log
loga
b
b
a
=
0
0
. Por exemplo:
• log
log
log
,
,
,2
10
10
3
3
2
0 4771
0 3010
159= = ≅
• log
log
log
,
,1000
10
10
7
7
1000
0 8451
3
0 28= ≅
Assim, a partir do exposto, vejamos a aplicação dos conceitos no exemplo a seguir:
Uma cidade tem 10.000 habitantes e cresce a uma taxa de 5% ao ano. Daqui a quantos anos aproximadamente 
essa cidade terá 20.000 habitantes, ou seja, o dobro do que tem hoje? (Dado: log1,05 2 ≅ 14,2067).
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Para a resolução, adote:
• y = 20.000 (número de habitantes daqui a 10 anos);
• yo = 10.000 (número de habitantes hoje);
• k = 5% = 0,05 (taxa de crescimento anual);
• x = ? (período em anos).
Ao substituir os dados na fórmula y=y0(1 + k)
x, temos:
20000 = 10000 (1 + 0,05)x
20000
10000
1 05= ( ), x
2=(1,05)x
Usando loga b = x ⇔ a
x = b, temos:
2 = (1,05)x ⇔ log1,05 2 = x
Usando a informação dada no enunciado, obtemos que x é aproximadamente 14,2.
Portanto, a cidade terá o dobro de habitantes daqui a aproximadamente 15 anos.
5.9 Função logarítmica
A função logarítmica de base a é uma função de R+
* em R dada pela regra f(x) = loga x, com a sendo 
um número real (0 < a ≠1). Exemplos: y = log2 x, y = log10 x, log0,5 x etc.
As características das funções logarítmicas são:
• domínio: conjunto dos números reais não negativos;
• interceptos: a intersecção com o eixo x é o ponto (1;0);
• não intercepta o eixo y.
Observe os gráficos das funções f x x f x x f x x e f x x1 2 2 1
2
3 2 4 1
2
( ) = ( ) = ( ) = − ( ) = −log , log , log log , 
ilustrados a seguir:
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2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
f1(x) = log2 x
Figura 74
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
f x x2 1
2
( ) = log
–4,0
Figura 75
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2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
–4,0
–5,0
14,0 15,0 16,0
5,0
f3(x) = –log2 x
Figura 76
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,0 6,0 7,05,01,0 4,0–1,0 8,0
4,0
–2,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0
–4,0
–5,0
14,0 15,0 16,0
5,0
f x x4 1
2
( ) = − log
Figura 77
A partir da função f(x) = b . loga x, onde b é um número real, as propriedades das funções logarítmicas, 
por sua vez, são:
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• se a > 1 e b > 0, a função logarítmica é crescente;
• se a > 1 e b < 0, a função logarítmica é decrescente;
• se 0 < a < 1 e b > 0, a função logarítmica é decrescente;
• se 0 < a < 1 e b < 0, a função logarítmica é crescente.
5.10 Outras funções
5.10.1 Função polinomial
Uma função de grau n é denominada função polinomial se f(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + an–1x
1 + an, 
em que a0, a1, a2, ... , an são todos números reais com a0 ≠ 0.
Alguns exemplos de funções polinomiais:
• f(x) = 5: função constante;
• f(x) = x + 3: função de 1º grau ou linear;
• f(x) = x2 –5x + 6: função de 2º grau ou quadrática;
• f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 7: função de 3º grau ou cúbica;
• f(x) = x4 + 3x2 –2x: função de 4º grau;
• f(x) = –7x5 + x3 – x + 4: função de 5º grau e assim por diante.
5.10.2 Função racional
Função racional é toda função expressa por um quociente de dois polinômios, com denominador 
não nulo. O domínio da função racional são todos os valores de x tais que Q(x) ≠ 0. Assim, com P(x) e 
Q(x) sendo polinômios e com Q(x) ≠ 0:
f x
P x
Q x
( ) = ( )( )
Veja alguns exemplos de funções racionais:
f x
x
x x
( ) = −( )
+ +
3
2 9
2
2
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MateMática
f x
x
x
( ) = −
+
2
2
f x
x
( ) =
−
1
3
Dentre as funções racionais, há um caso importante, que é a função hipérbole f x
x
( ) =


1 , ilustrada 
a seguir:
2,0
1,0
–1,0
–2,0
–3,0
3,0
2,0 3,01,0–5,0 4,0
4,0
–6,0 5,0 6,0
–4,0
5,0
–5,0
6,0
–3,0–4,0 –1,0–2,0
Figura 78 – Função hipérbole
As propriedades da função hipérbole são:
• o domínio são os reais, exceto o zero;
• quando x se aproxima de zero f x
x
( ) =


1
, tende ao infinito.
6 sistema de equações
6.1 introdução
Chama‑se sistema de equações um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas. Para sua 
resolução, há diversos métodos, sendo o método de substituição e o de adição os mais comuns.
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6.2 identificando um sistema de equações
Todo sistema de equações do tipo 
a x b y z
a x b y w
1 1
2 2
+ =
+ =
 é denominado sistema linear de duas equações 
de m x n (lê‑se: m por n) com conjunto solução S de m equações e n incógnitas, onde m e n são números 
inteiros positivos. Veja alguns exemplos:
• x y
x y
+ =
− =

4 1
3 2
 é um sistema linear com duas equações e duas incógnitas;
• 
2 2 0
0
2 5 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =



 é um sistema linear com três equações e três incógnitas;
• 
2 4 1
3 2 7
x y z w
x y z w
+ + + =
− − + =

 é um sistema linear com duas equações e quatro incógnitas.
A solução de um sistema é expressa por uma sequência ordenada (x1, x2, ... xn). Por exemplo, a solução 
do sistema x y
x y
+ =
− =

5
3
 é o par ordenado (4;1), pois, ao substituir as incógnitas pelos valores em questão, 
 
as equações do sistema são verdadeiras. Assim, substituindo x = 4 e y = 1, temos:
x y
x y
+ =
− =
 ⇒
+ =
− =

5
3
4 1 5
4 1 3
Ou seja, o par ordenado (4;1) satisfaz as duas equações do sistema.
Já a solução do sistema 
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− − =



10
4
0
 é a tripla ordenada (5;3;2) pois, substituindo x = 5, y = 3 e 
z = 2, temos:
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
− − =



⇒
+ + =
− + =
− − =



10
4
0
5 3 2 10
5 3 2 4
5 3 2 0
Dessa forma, a tripla ordenada (5;3;2) satisfaz as trêsequações do sistema.
Quando dois sistemas possuem o mesmo conjunto solução, são denominados equivalentes. Exemplo:
x y
x y
e
x y
x y
+ =
− =

+ =
− = −

10
2
3 2 26
2 5 8
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MateMática
O conjunto solução desses dois sistemas é o par ordenado (6;4), portanto, eles são sistemas 
equivalentes.
6.3 Classificação dos sistemas
A classificação de um sistema está relacionada ao número de soluções que ele possui.
Um sistema pode ser possível ou impossível, ou seja, se tiver solução, é possível, caso contrário, é 
impossível.
Se o sistema for possível e existir apenas uma solução, ele é determinado. Se ele for possível e existir 
mais de uma solução, é indeterminado. Veja a seguir:
Sistema
Possível
Impossível (SI: sistema 
impossível)
Conjunto solução vazio
Determinado (SPD: sistema possível e 
determinado)
Conjunto solução unitário
Indeterminado (SPI: sistema possível 
e indeterminado)
Conjunto solução infinito
Figura 79
Considere os exemplos a seguir para exemplificar o que foi ilustrado anteriormente:
1º: O par ordenado (1;6) é a única solução do sistema 
− + =
− = −

x y
x y
5
3 3
. Logo, ele é um sistema possível 
e determinado (SPD).
2º: O sistema 
5 5 5 10
2
x y z
x y z
− + =
− + =
 apresenta infinitas soluções, como, por exemplo: (1;1;2), (0;2;4), 
(1;0;1) etc. Consequentemente, ele é um sistema possível e indeterminado (SPI).
3º: O sistema 
x y
x y
− = −
− =

3
5
 não apresenta solução alguma, assim, ele é um sistema impossível (SI).
102
Unidade II
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6.4 solução do sistema
Como mencionamos, existem vários métodos utilizados para solucionar um sistema de equações. 
As equações a seguir formam um sistema de duas equações e duas incógnitas. Nosso objetivo é 
encontrar um par ordenado (x,y) de números reais que satisfaça as duas equações simultaneamente.
10 11
5 3 2
x y
x y
+ =
− =

Iremos resolver esse sistema primeiramente pelo método da adição.
1º passo: multiplicar a segunda equação por (‑2). A ideia é gerar um termo que, ao ser somado com 
o correspondente da outra equação, resulte em zero:
10 11
5 3 2
2
10 11
10 6 4
x y
x y
x
x y
x y
+ =
− =
 −( )
+ =
− + = −
� ���������
2º passo: somar as duas equações:
10 11
10 6 4
7 7
x y
x y
y
+ =
− + = −

=
3º passo: resolver a equação obtida a partir da soma:
y = =
7
7
1
4º passo: retornar ao sistema original e substituir o valor de y por 1 em uma das equações, para 
encontrar x:
10x + y=11
10x + 1 = 11
10x = 11–1
x = =
10
10
1
A conclusão a que chegamos é que x = 1 e y = 1 e, portanto, a solução do sistema é o par 
ordenado (1;1).
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MateMática
Agora, iremos resolver o mesmo sistema de equação usando o método da substituição:
1° passo: escolher uma das equações do sistema e isolar o y ou o x. No exemplo, a equação escolhida 
foi a primeira e a incógnita isolada será o y:
10 11
10 6 4
x y
x y
+ =
− + = −

10x + y = 11
y = 11 –10x
2° passo: substituir o resultado na outra equação. No exemplo, o y será substituído na segunda 
equação:
–10x + 6y = –4
–10x + 6(11–10x) = –4
–10x + 66 – 60x = –4
–10x – 60x = –4 –66
–70x = – 70
70x = 70
x = =
70
70
1
3° passo: retornar à equação do 1° passo e substituir o valor encontrado no 2° passo:
y=11–10x
y=11–10.1=11–10=1
A conclusão a que chegamos é a mesma, ou seja, x = 1 e y = 1 e, portanto, a solução do sistema é o 
par ordenado (1;1).
Resolvendo sistemas usando a regra de Cramer
1° passo: calcular o determinante da matriz dos coeficientes, que chamaremos de D:
D =
−
= ( ) − ( ) = − − = −10 1
5 3
10 3 1 5 30 5 35. .
2° passo: verificar se a regra de Cramer pode ser aplicada:
• se D ≠ 0, podemos prosseguir usando a regra de Cramer, pois o sistema é possível e determinado (SPD);
• se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.
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Unidade II
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3° passo: aplicar a regra de Cramer:
Para cada incógnita que se quer determinar, calcula‑se um novo determinante, que é o da matriz 
obtida, substituindo‑se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser 
determinada pela coluna dos termos independentes. Veja:
D para er ar xx ( det min ) . .=
−
= −( ) − ( ) = − − = −11 1
2 3
11 3 1 2 33 2 35
D para er ar yy ( det min ) . .= = ( ) − ( )( ) = − = −10 115 2 10 2 11 5 20 55 35
O valor de cada incógnita é quociente (razão ou divisão) de cada um desses determinantes por D:
x
D
D
x
= =
−
−
=
35
35
1
y
D
D
y
= =
−
−
=
35
35
1
Assim, novamente, a solução do sistema é o par ordenado (1;1).
7 RegRa de tRês simpLes e COmpOsta
7.1 introdução
Grandeza é tudo que pode ser medido ou quantificado, como massa, volume, capacidade, velocidade, 
tempo etc. Uma grandeza está sempre relacionada com alguma unidade: metro, quilo, horas etc.
7.2 grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, ao dobrarmos uma delas, a outra 
também dobra; ao triplicamos uma delas, a outra também triplica e assim sucessivamente. Um exemplo:
Tabela 01
Quitanda do Sr. Manoel
Preço do abacaxi
em unidades em reais
1 2,50
2 5,00
3 7,50
10 25,00
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MateMática
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: quantidade e preço. Observe que:
• ao dobrar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago também dobra;
• ao triplicar a quantidade de abacaxis, o valor a ser pago também triplica.
Logo, as grandezas expostas na tabela de quantidade e preço são diretamente proporcionais.
Toda grandeza proporcional está associada a uma razão de proporcionalidade que se mantém 
constante em todas as relações das grandezas. Verifique os exemplos a seguir:
1
2
2 50
5 00
0 5
abacaxi
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
2
3
5 00
7 50
0 67
abacaxis
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
2
10
5 00
25 0
0 2
abacaxis
abacaxis
= =
$ ,
$ ,
,
7.3 grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, ao dobrarmos uma delas, 
a outra se reduz pela metade; ao triplicamos uma delas, a outra se reduz a uma terça parte e assim 
sucessivamente. Um exemplo: todas as sextas‑feiras, Antonio, um homem muito caridoso, distribui pães 
aos moradores de rua do centro de São Paulo no início da noite. Ele sempre leva 120 pães para serem 
distribuídos. Ao chegar ao local, ele verifica o número de pessoas e divide os pães igualmente entre eles. 
Na tabela a seguir, podemos verificar a quantidade de pães que cada pessoa recebe:
Tabela 02
Quantidade 
de pessoas
Quantidade de 
pães por pessoa
10 12
20 6
30 4
Nesse exemplo, duas grandezas estão associadas: pessoas e pães. Observe que:
• ao dobrar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães por pessoa cai pela metade;
• ao triplicar a quantidade de pessoas, a quantidade de pães por pessoa cai para a terça parte.
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Portanto, as grandezas pessoas epães são inversamente proporcionais, veja o exemplo a seguir:
10
20
1
2
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
12
6
2
1
paes
paes
=
ã
ã
10
30
1
3
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
12
4
3
1
paes
paes
=
ã
ã
20
30
2
3
pessoas
pessoas
= que é o inverso de 
6
4
3
2
paes
paes
=
ã
ã
7.4 Regra de três simples
A regra de três simples possibilita relacionar duas grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais. A ideia principal dessa regra é, a partir de uma relação, obter um dos valores com base 
em três valores já conhecidos. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 01:
Na quitanda do Sr. Manoel, três quilos de batata custam R$ 5,00. Assim, quanto custaria 6,5 quilos 
de batata?
 
3,0 quilos ⇒ R$ 5,00
6,5 quilos ⇒ x
Note que as grandezas são diretamente proporcionais e, assim, ao transferir a relação para a notação 
de razão, temos que:
3
6 5
5
,
=
x
3x = 5.6,50
x =
32 5
3
,
x=10,83
Desse modo, 6,5 quilos de batatas na quitanda do Sr. Manoel custam R$ 10,83.
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MateMática
 Lembrete
As setas representam o sentido da proporcionalidade: setas de 
mesmo sentido indicam que as relações são diretamente proporcionais 
e setas de sentido contrário indicam que as relações são inversamente 
proporcionais.
Exemplo 02:
O professor Isaac ministra aulas de matemática e adora seus alunos. Para incentivá‑los, 
costuma distribuir de vez em quando bombons aos alunos que realizam as tarefas de casa. Em 
sua última aula, o professor levou 24 bombons para distribuir igualmente entre seus alunos. 
Ao chegar à sala de aula, ele constatou que apenas três alunos realizaram toda a tarefa de 
casa. 
Nesse caso, cada aluno receberia oito bombons, no entanto, o professor mudou de ideia e resolveu 
dividir os bombons também para os três alunos que fizeram a metade da tarefa. Assim, quantos bombons 
cada aluno receberá?
 
8 bombons ⇒ 3 alunos 
 x ⇒ 6 alunos
Note que as grandezas são inversamente proporcionais e, assim, ao transferir a relação para a notação 
de razão, temos que:
8 6
3
6 8 3
24
6
4
x
x
x
x
=
=
=
=
.
Logo, cada aluno receberá quatro bombons.
7.5 Regra de três composta
A regra de três composta possibilita relacionar mais do que duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais. Vejamos alguns exemplos:
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Exemplo 01:
Na padaria onde o Sr. Antonio compra pães para doar nas noites de sexta‑feira, trabalham 8 homens 
que produzem 300 pães em 6 horas. Nos meses de julho de cada ano, 3 desses funcionários recebem 
férias, assim, trabalham apenas 5 homens na padaria. Dessa forma, quantos pães são produzidos em 10 
horas no mês de julho?
 
6 horas ⇒
10 horas ⇒
300 pães ⇒
 x ⇒
8 homens
5 homens
Observe:
• as grandezas horas e pães são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o número de horas, 
aumenta‑se o número de pães produzidos;
• as grandezas homens e pães também são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o 
número de homens, aumenta‑se o número de pães produzidos.
Como as grandezas são diretamente proporcionais, vamos transferir a relação para a notação de 
razão:
300 6
10
8
5
300 48
50
48 300 50
15000
48
312 5
x
x
x
x
=
=
=
= =
.
.
,
Portanto, no mês de julho, os cinco homens produzirão aproximadamente 313 pães em dez 
horas.
Exemplo 02:
Em uma certa marcenaria, sabe‑se que 3 marceneiros fabricam 2 mesas em 11 dias. Assim, quantos 
dias levarão para 5 marceneiros fabricarem 4 mesas?
 
2 mesas ⇒
4 mesas ⇒
11 dias ⇒
 x ⇒
3 marceneiros
5 marceneiros
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MateMática
Observe que:
• as grandezas mesas e dias são diretamente proporcionais, já que, ao aumentar o número de 
meses, leva‑se mais dias para fabricá‑las;
• as grandezas marceneiros e dias são inversamente proporcionais, já que, ao aumentar o número 
de marceneiros, diminui‑se o número de dias para fabricar as mesas.
Assim, temos uma mistura de grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Transferindo a 
relação para a notação de razão, temos:
11 2
4
5
3
11 10
12
10 11 12
132
10
13 2
x
x
x
x
=
=
=
= =
.
.
,
Assim, os 5 marceneiros levarão aproximadamente 13 dias para fabricar 4 mesas.
 saiba mais
Para saber mais sobre a regra de três simples e a regra de três composta, 
visite <http://www.portalmatematico.com/regradetres.shtml>.
8 pORCentagem
8.1 porcentagens ou taxas percentuais
Porcentagem ou percentagem é qualquer razão centesimal, ou seja, é uma fração cujo denominador é 100.
As porcentagens podem ser expressas de duas maneiras: na forma de fração com denominador 100 
(percentual) ou na forma decimal. A ilustração a seguir representa a transformação da forma percentual 
para a unitária e vice‑versa.
Forma percentual Forma unitária
÷ 100
× 100
Figura 80
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 Observação
O símbolo % indica que o valor está sendo dividido por 100.
A passagem da forma percentual para a unitária (ou decimal) é feita como demonstrado a seguir:
• 30% = 30
100
= 0,30;
• 4% = 4
100
 = 0,04;
• 10% = 
1
100
 = 0,01;
• 115% =
15
100
= 1,15;
• 135% = 
135
100
= 1,35;
• 27,9 % = 
27 9
100
,
= 0,279.
A passagem da forma unitária para a percentual, por sua vez, é como segue:
• 0,30 x 100 = 30%;
• 0,04 x 100 = 4%;
• 0,01 x 100 =10%;
• 1,15 x 100 =115%;
• 1,35 x 100 =135%;
• 0,279 x 100 = 27,9%. 
Exemplo 01:
Quanto é 15,5% de R$ 2.500,00?
15,5% de R$ 2500,00 = 2500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
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MateMática
Resposta: 15,5% de R$ 2.500,00 é R$ 387,50.
Exemplo 02:
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um acréscimo de 15,5%. Qual é o valor final do 
produto?
15,5% de R$ 2500,00 = 2500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
Acrescentar 15,5% em R$ 2.500,00: 2.500 + 387,5 = R$ 2.887,50.
Resposta: o valor final do produto é R$ 2.887,50.
Exemplo 03:
Um produto vendido no valor de R$ 2.500,00 sofre um desconto de 15,5%. Qual é o valor final do 
produto?
15,5% de R$ 2500,00 = 2500 . 
15 5
100
,
 = 387,5
Descontar 15,5% em R$ 2.500,00: 2.500 – 387,5 = R$ 2.112,50.
Resposta: o valor final do produto é R$ 2.112,50.
Exemplo 04:
Num lote de 85 lâmpadas, 13 delas apresentaram defeito. A razão entre o número de lâmpadas 
defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:
13
87
0 1494 14 94
14 94
100
= = =, , %
,
O que significaria se o lote tivesse 100 lâmpadas e aproximadamente 15 delas estivessem com defeito?
O número 14 94
100
, é a taxa percentual de lâmpadas defeituosas.
8.2 Fator multiplicativo
A fórmula geral do fator multiplicado é expressa por:
• fator multiplicativo de aumento: valor . (1 + p);
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• fator multiplicativo de desconto: valor . (1 – p).
Veja a aplicação do conceito no seguinte exemplo: se uma bolsa, inicialmente vendida a R$ 32,00, 
tiver seu preço aumentado em 20%, ela passaria a custarR$ 38,40, como nos mostra os cálculos:
• um aumento de 20% sobre 32 é igual a 0,2.32 = 6,4;
• assim, o novo preço passaria a ser de 32 + 6,4 = 38,4.
Frente ao exposto, poderíamos simplesmente fazer:
 32 + 0,2. 32 = 32.(1+0,2) = 32.1,2 = 38,40
preço 
inicial
aumento preço 
final
Perceba que o preço inicial foi multiplicado por 1,2. Esse é o fator multiplicativo de aumento.
Poderíamos ainda ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto:
Valor . (1 + p)
32 . (1+0,2)=32 . 1,2 = 38,4
Assim, se estivéssemos um aumento de:
• 30%: multiplicaríamos o preço original por 1,3;
• 16%: multiplicaríamos o preço original por 1,6;
• 5%: multiplicaríamos o preço original por 1,05.
Se, por outro lado, houvesse uma liquidação na qual fosse anunciado um desconto de 20% sobre o 
preço original da bolsa, o cálculo seria:
 32 – 0,2. 32 = 32.(1–0,2) = 32.0,8 = 25,60
preço 
inicial
desconto preço 
final
Note que o preço inicial foi multiplicado por 0,8. Esse é o fator multiplicativo de desconto.
Também poderíamos ter aplicado a fórmula do fator multiplicativo direto. Veja:
Valor . (1 – p)
32 . (1 – 0,2)=32 . 0,8 = 25,6
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MateMática
Assim, se tivéssemos um desconto de:
• 30%: multiplicaríamos o preço original por 0,7;
• 16%: multiplicaríamos o preço original por 0,84;
• 5%: multiplicaríamos o preço original por 0,95.
8.3 taxa percentual de variação
A taxa percentual de variação entre dois valores pode ser calculada usando a seguinte fórmula:
diferença de valores
valor antigo
Nela, a diferença de valores é a subtração do maior valor pelo menor divido pelo valor mais antigo 
no tempo. Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 01:
Um livro que custava R$ 24,00 passou a custar R$ 30,00. Qual foi a taxa percentual de aumento?
Para efetuarmos esse cálculo:
diferença de valores
valor antigo =
−
= = =
30 24
24
6
24
0 24 24, %
Portanto, a taxa percentual de aumento foi de 24%.
Exemplo 02:
Após dois meses, o livro que estava custando R$ 30,00 voltou a ser vendido por R$ 24,00. Qual foi 
a taxa percentual de desconto?
Para realizarmos esse cálculo:
diferença de valores
valor antigo =
−
= = =
30 24
30
6
30
0 2 20, %
Desse modo, a taxa percentual de desconto foi de 20%.
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8.4 Lucro sobre o preço de custo e sobre o preço de venda
A diferença no lucro quando este é calculado sobre o preço de custo e sobre o preço de venda é um 
ponto importante a ser observado.
Mas, antes de observarmos essa diferença, vale destacar alguns conceitos preliminares:
• custo é o valor bruto do produto e/ou serviço, ou seja, é o valor do produto sem adicionar qualquer 
ganho;
• lucro é o valor adicionado ao valor bruto do produto e ele representa o ganho pela fabricação 
e/ou comercialização do produto;
• preço de venda é o valor final do produto a ser oferecido ao consumidor.
preço de venda = custo + lucro
O preço de venda pode ser calculado com um lucro sobre o custo ou sobre o valor de venda. Vejamos 
essa diferença a partir do seguinte exemplo: uma loja de equipamentos de informática comprou um 
notebook básico por R$ 1.500,00. Se o lucro for de 25% sobre o preço de custo desse equipamento, 
por quanto ele deverá ser vendido?
Para realizar esse cálculo, adote: V = C + L, onde V é o preço de venda, C é o preço de custo e L é o 
lucro.
Após substituir os valores dados, teremos:
V = C + 25% sobre o custo
V = 1500 + 0,25x1500
V = 1500 + 375 = 1875
Portanto, o preço de venda será de R$ 1.875,00, calculado com base no lucro sobre o custo.
Entretanto, se o lucro for sobre o preço de venda, por quanto o notebook deverá ser vendido?
Nesse caso, temos que o preço de venda será:
V = C + 25% sobre o preço de venda
V = C + 0,25.V
V – 0,25.V = C 
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MateMática
V (1‑ 0,25) = C 
V (0,75) = C 
V
C
=
0 75,
Após substituir os valores dados, teremos:
V = =
1500
0 75
2000
,
Portanto, se calculado com base no lucro sobre o preço de venda, este será de R$ 2.000,00.
Note que existe uma diferença de R$ 125 entre os lucros, já que 2000 – 1875 = 125.
Usando as fórmulas a seguir, é possível efetuar esses cálculos diretamente.
Quadro 08
Lucro sobre preço de custo Lucro sobre preço de venda
venda = custo (1 + p%)
(p% é a porcentagem de lucro)
venda
custo
p
=
−( %)1
(p% é a porcentagem de lucro)
 saiba mais
Para obter mais aplicações do conceito de porcentagem, consulte os livros:
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: 
Saraiva, 1998. 
SEITER, C. Matemática para o dia a dia. Rio de Janeiro: Campus, 2000.
 Resumo
Nesta unidade, foram apresentados os conceitos de plano cartesiano, 
de relações entre conjuntos e de funções.
Relembrando, o plano cartesiano é formado por duas retas reais 
perpendiculares, denominadas eixo x e eixo y. O ponto de cruzamento 
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dessas retas é denominado origem dos eixos, pois representa o 
início da contagem dos eixos x e y, tendo o número zero (0) como 
marcador.
Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões chamadas de 
quadrantes, organizadas no sentido anti‑horário e numeradas em ordem 
crescente (iniciando em 1).
O produto cartesiano de AxB, por sua vez, é o conjunto de todos os 
pares ordenados (x;y) tal que x pertença ao conjunto A e y pertença ao 
conjunto B, sendo A e B dois conjuntos não vazios.
Já a relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano 
AxB, sendo A e B dois conjuntos não vazios. Em uma relação R de A em B, 
um par ordenado (x;y) associa x a y, sendo que y será chamado de imagem 
de x em R.
O conceito de função é expresso por uma relação entre dois conjuntos 
A e B definida por uma regra de formação f na qual cada elemento de A é 
relacionado com apenas um elemento de B. 
Assim, função do 1o grau é toda função f: R → R definida pela regra 
y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R, sendo a e b constantes denominadas por 
coeficientes da função.
Já a função do 2o grau é toda função f: R → R definida pela regra y = 
f(x) = ax2 + bx + c, com a e b ∈ R e a ≠ 0, sendo a, b e c coeficientes da 
função.
Existem diversas outras relações do tipo função, como, por exemplo, 
a função exponencial, que é toda função f de R em R dada pela regra 
f(x) = ax, em que a é um número real positivo e diferente de 1.
Entretanto, um grupo de funções de grande uso são as funções 
polinomiais, denominadas pela notação: f(x) = a0x
n + a1x
n–1 + a2x
n–2 + ... + 
an–1x
1 + an, em que a0, a1, a2, ... , an são números reais com a0 ≠ 0.
Além disso, é importante saber que a função racional se origina das 
funções polinomiais. A função racional é toda função expressa por um 
quociente de dois polinômios com denominador não nulo. 
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Re
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MateMática
 exercícios
Questão 01. No ano de 2005, uma empresa lançou um novo produto no mercado, com produção 
inicial de 2000 unidades. A quantidade P de unidades produzidas a partir de 2005 segue a função 
P(t) = 2000 . (0,95)t, sendo que t representa o tempo em anos. Considerando‑se que log(0,5) = –0,30 e 
log(0,95) = –0,02, após 2005, a produção será de 1000 unidades no ano de:
A) 2010.
B) 2015.
C) 2020.
D) 2025.
E) 2030.
Respostacorreta: alternativa C.
Análise das alternativas:
Considerando‑se que o ano de 2005 é t = 0, fazemos:
P(0) = 2000 (0,95)0 = 2000 . 1 = 2000
O P(0) representa a quantidade de unidades do produto produzida no ano de 2005.
Para sabermos em que ano a quantidade de unidades produzidas será de 1000, fazemos:
 P t
t t t( ) .( , ) .( , ) ( , ) , (= ⇒ = ⇒ = ⇒ =2000 0 95 1000 2000 0 95
1000
2000
0 95 0 5 00 95, )t
Podemos aplicar a definição de logaritmo em ambos os lados da equação (utilize a dica presente no 
enunciado). Logo,
0 5 0 95 0 5 0 95 0 5 0 95 0 30, ( , ) log( , ) log( , ) log( , ) .log( , ) ,= ⇒ = ⇒ = ⇒ −t t t == − ⇒
⇒ =
−
−
⇒ =
0 02
0 30
0 02
15
,
,
,
t
t t
Assim, em 15 anos, a quantidade de unidades produzidas será 1000. Como o ano inicial é 2005, 
fazemos: 2005 + 15 = 2020. Logo, a produção será de 1000 unidades no ano de 2020.
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Unidade II
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Dessa forma, de acordo com os cálculos, a única alternativa correta é a C. As demais alternativas se 
apresentam como incorretas.
Questão 02. (Fuvest, 2007) Uma fazenda estende‑se por dois municípios A e B. A parte da fazenda 
que está em A ocupa 8% da área desse município. A parte da fazenda que está em B ocupa 1% da área 
desse município. Sabendo‑se que a área do município B é dez vezes a área do município A, a razão entre 
a área da parte da fazenda que está em A e a área total da fazenda é igual a: 
A) 2
9
.
B) 3
9
.
C) 
4
9
.
D) 5
9
.
E) 7
9
.
Resolução desta questão na plataforma.
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MateMática
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Textuais
BELLOS, A. Alex no país dos números: uma viagem ao mundo maravilhoso da matemática. São Paulo: 
Companhia das Letras, 2011.
BONORA Jr., D.; ALVES, J. B. Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências contábeis, 
administração e economia. São Paulo: Ícone, 2000.
DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2006.
IEZZI, G.; DOLCE, O. Matemática – ciência e aplicação. 4 ed. São Paulo: Atual, 2006.
MORETTIN, P.; HAZZAN, S.; BUSSAB, W. Introdução ao cálculo para administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Saraiva, 2009 
PUCCINI, A. L. Matemática financeira objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: Saraiva, 1998. 
SEITER, C. Matemática para o dia a dia. Rio de Janeiro: Campus, 2000. 
SILVA, S. M. et al. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis. São 
Paulo: Saraiva, 2007.
SILVA, S. M. Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
Exercícios
Unidade I
Questão 01
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame 
Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Caderno 5 – Amarelo. Questão 148. Disponível em: 
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. 
Acesso em: 06 out. 2011.
Questão 02
INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). Exame 
Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2010: 2º dia. Caderno 5 – Amarelo. Questão 155. Disponível em: 
<http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AMARELO_Domingo_GAB.pdf>. 
Acesso em: 06 out. 2011.
120
Unidade II
Questão 02
FUNDAÇÃO UNIVERSITÁRIA PARA O VESTIBULAR (FUVEST). Fuvest 2007. Caderno V. Questão 31. 
Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2007/provas/p1f2007v.pdf>. Acesso em: 11 out. 2011.
Sites
<http://ecalculo.if.usp.br/> 
<http://www.matematica.br/igraf/> 
<http://www.matematica.br/igraf/iGraf.jar/>
<http://www.portalmatematico.com/regradetres.shtml>
<http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>
121
apêndiCe
 exercícios
Questão 01. Dado que x ∈ A e x ∉ B, assinale a alternativa correta:
A) x ∈ (A ∪ B).
B) x ∈ (A ∩ B).
C) x ∉ (A – B).
D) x ∈ (B – A).
E) x ∉ (B ∪ A).
Questão 02. Assinale a alternativa que contém a fração geratriz das dízimas periódicas 0,6666... e 
0,5222..., respectivamente:
A) 6/10 e 52/100.
B) 2/3 e 47/90.
C) 6/9 e 52/100.
D) 66/90 e 47/90.
E) 6/9 e 52/9.
Questão 03. Considere as seguintes proposições e aponte‑as como verdadeiras (V) ou 
falsas (F):
( ) I. –64 ∉ N.
( ) II. 4
5
∈Q .
( ) III. 0,333 ... ∈ Q.
( ) IV. 
− ∉
15
11
Q .
( ) V. 1 9, ∈Z .
122
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A) F, V, V, V e F.
B) F, V, V, F e V.
C) F, F, V, F e F.
D) F, V, V, F e F.
E) V, V, V, F e F.
Questão 04. Um levantamento efetuado entre 600 usuários de telefones celulares mostrou que 
muitos deles utilizam duas operadoras, A e B, conforme o quadro:
50 utilizam as duas operadoras
430 utilizam a operadora A
160 utilizam a operadora B
Qual é o número de usuários que não utiliza nenhuma das duas operadoras em questão?
A) 60 usuários.
B) 380 usuários.
C) 110 usuários.
D) 440 usuários.
E) Nenhum usuário.
Questão 05. Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 jovens por três tipos de sanduíches 
— hambúrguer, hot dog e misto quente — mostrou que:
• 20 deles consumiam os três sanduíches;
• 30 deles consumiam hambúrguer e hot dog;
• 50 deles consumiam misto quente e hot dog;
• 60 deles consumiam misto quente e hambúrguer;
• 120 deles consumiam hambúrguer;
123
• 110 deles consumiam misto quente;
• 70 deles consumiam hot dog;
• 20 deles não preferem nenhum dos três tipos de sanduíches.
Assim, quantos jovens não preferem misto quente nem hambúrguer?
A) 10 jovens.
B) 20 jovens.
C) 30 jovens.
D) 50 jovens.
E) Nenhum jovem.
Questão 06. Ao fatorarmos a expressão a2 – 2ab + b2, obtém‑se:
A) (a + b)2.
B) (b + a)2.
C) (a – b)2.
D) (a – b) . (a + b).
E) 2ab (a – b).
Questão 07. O valor da expressão matemática 
4
5
7
3
1
2
4
5
2
3
− −



 + é:
A) 1,23.
B) ‑1,23.
C) 1,32.
D) ‑5,67.
E) ‑0,98.
Questão 08. Considere a equação em R: 2x2 – 2x + 1 = 4x – 3. Quais são os possíveis valores de x?
A) S = {–1, 2}.
124
B) S = {–2, 3}.
C) S = {2, 3}.
D) S = { }ou ∅.
E) S = {1, 2}.
Questão 09. Assinale a alternativa que apresenta dois números positivos com soma 14 e produto 48. 
A) 12 e 2.
B) 11 e 3.
C) 10 e 4.
D) 8 e 6.
E) 9 e 5.
Questão 10. O salário de Paulo foi acrescido de 30%, resultando em R$ 3.000,00. Qual era o valor 
do salário de Paulo antes do aumento?
A) R$ 2.250,00.
B) R$ 2.307,69.
C) R$ 2.277,23.
D) R$ 2.750,00.
E) R$ 2.412,45.
Questão 11. As funções de oferta e demanda das pizzas de mozarela produzidas pela pizzaria Que 
Delícia são definidas pelas seguintes fórmulas matemáticas p = 3x + 20 e p = 50 – x, representadas 
no gráfico a seguir:
125
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25
Va
lo
re
s (
em
 re
ai
s)
Função 1
Função 2
unidades produzidas e vendidas
A partir das informações fornecidas, o ponto de equilíbrio das funções de oferta e demanda, também 
chamado ponto de cruzamento das funções, é:
A) (7; 43).
B) (7,5; 42,5).
C) (7,5; 43).
D) (7; 42,5).
E) (‑7,5; 43).
Questão 12. (adaptado de IEZZI; DOLCE, 2006, p. 49) Uma pequena doçaria, instalada em uma 
galeria comercial, produz e comercializa brigadeiros. Para fabricá‑los, há um custo fixo mensal de R$ 
360,00, representado por Cf e que inclui aluguel, conta de luz, impostos etc. Além desse custo, há 
outro custo variável, representado por Cv e que depende da quantidade de brigadeiros preparados (x). 
Estima‑se que o custo de produção de um brigadeiro seja R$ 0,30.
Assim, o custo total mensal é dado pela soma do custo