Aula 1 Eletromag Revisão de Calculo vetorial

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Eletromagnetismo
Introdução à análise Vetorial
Prof. Carlos Magno
A derivada
23 25 xxy +=
xxy 415 2' +=
A derivada
• A derivada pode ser interpretada como a medida da 
inclinação ou coeficiente angular da reta tangente a 
uma curva em um ponto específico.
A derivada
• A derivada pode também ser interpretada como 
a taxa de variação instantânea de uma função.
A Integral
∫ = ?)( dxxf
xxxf 415)( 2 +=
∫
Cxxdxxf ++=∫ 2
4
3
15)(
23
Cxxdxxf ++=∫ 23 25)(
A Integral
• A integral definida representa a área sob uma 
determinada curva.
A Integral
∫ ∫=
8
4)( dxdxxf
4)( =xf
∫ ∫
0
8
04)( xdxxf =∫
3284)( =⋅=∫ dxxf
A Integral
∫ ∫=
8
8
3)( dxxdxxf
8
3)( xxf =
∫ ∫
0 8
8
0
2
28
3)( xdxxf =∫
12
2
83
28
643)( =⋅=
⋅
⋅
=∫ dxxf
A Integral
∫ ∫=
4
3
)( dxxdxxf
3
)( xxf =
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0y = x/3
∫ ∫
0 3
4
0
2
6
)( xdxxf =∫
3
8
6
16
6
4)(
2
===∫ dxxf
−4.0
−3.0
−2.0
Vetores e escalares
• Algumas grandezas físicas são totalmente 
definidas por um número e uma unidade. Quando 
dizemos, por exemplo, que a temperatura de uma 
pessoa é 38oC a informação está completa.
• Escalar
pessoa é 38oC a informação está completa.
• Entretanto, ao informarmos que a velocidade de 
um carro é igual a 100km/h, não foi dito em que 
direção e em qual sentido este carro se 
movimenta.
• Vetor
Vetores e escalares
Representada por um número real, positivo ou negativo.
Ex.: Tensão ou potencial, corrente, carga, volume, etc.
• Grandeza Escalar 
Representada por uma magnitude, direção e sentido.
Ex.: Densidade de corrente, força, torque, etc
• Grandeza Vetorial
Vetores e escalares
• Os vetores representam grandezas que 
possuem módulo, direção e sentido e são 
representados por setas.
• O deslocamento entre 
os pontos A e B pode os pontos A e B pode 
ser representado por um 
vetor.
• O vetor, no plano, pode 
ser decomposto em duas 
componentes: ax e ay.
Vetores e escalares
θcos⋅= aax
θsenaay ⋅=
• Pode-se representar um vetor através de suas 
componentes em um dado sistema de 
coordenadas.
jaiaa yx
rrr
+=
• Sendo i e j vetores unitários 
nas direções x e y, 
respectivamente.
Adição de Vetores
jaiaA yx
rrr
+= jbibB yx
rrr
+=
jbaibaBA yyxx
rrrr )()( +++=+
Produto escalar
ϕcosabba =⋅
rr
• O produto escalar entre dois vetores 
a e b resulta em um escalar e é 
definido através da equação:
• módulo do primeiro multiplicado pela componente 
do segundo no eixo determinado pelo primeiro.
• Uma aplicação é encontrada na 
definição de trabalho, em que a 
força e a distância estão sobre o 
mesmo eixo de referência.
dFW
rr
⋅=
EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida 
pelo vetor dados abaixo:
SOLUÇÃO : O trabalho é definido como sendo o produto Escalar 
entre o Vetor Força e o vetor Deslocamento , portanto :
F
r
r
r
zyx aaaF
rrrr 432 ++= zyx aaar
rrr 754 ++−=
( ) ( )zyxzyx aaaaaarFW rrrrrrrr 754432 ++−⋅++=⋅=
JoulesrFW 357.45.3)4.(2 =++−=⋅= r
r
EXERCÍCIO : Calcule o Trabalho Realizado pela força na direção definida 
pelo vetor dados abaixo:
SOLUÇÃO 2 : O ângulo entre os dois vetores é definido:
F
r
r
r
zyx aaaF
rrrr 432 ++= zyx aaar
rrr 754 ++−=
rF
rFCos rr
rr
⋅
⋅
=θ Rad816,0=θ
rF
Cos rr
⋅
=θ Rad816,0=θ
θcosrFrF r
rrr
=⋅
JoulesrF 35816,0cos5,94,5 ≅⋅⋅=⋅ r
r
Produto vetorial
ϕabsenba =×
rr
• O produto vetorial entre dois 
vetores a e b é definido 
através da equação:
• O resultado do produto vetorial entre dois vetores 
a e b é um vetor c perpendicular ao plano formado 
pelos dois vetores a e b.
• Uma aplicação é a definição 
de força que atua em um 
condutor em condução.
)( BVQF
rrr
×=
PRODUTO VETORIAL :
Dado os Vetores 
Definido como: 
zyx aaa
rrr
zzyyxx afafafF
rrrr
++=
zyx azayaxr
rrrr
++=
Produto vetorial
zyx
zyx
fff
zyx
aaa
Fr
rrr
=×=Τ
( ) ( ) zxyyxzxyz afyfxafzfxafzfyFr rrrrrr ....)..( −+−−−=×=Τ
EXERCÍCIO : Calcule o Torque em relação à origem realizado pela força 
aplicado ao ponto (4,5,6) . 
SOLUÇÃO : O Torque é definido como sendo o produto Vetortial
entre o vetor Posição do ponto de aplicação e o vetor 
Força, portanto :
zyx aaaF
rrrr 32 ++=
zyx aaar
rrrr 654 ++=
F
r
zyx
zyx
aaa
aaa
Fr rrr
rrr
rrr 363
321
654 +−==×=Τ
Vetor posição
• A localização de um ponto no espaço pode ser 
descrita através das suas coordenadas 
cartesianas (x,y,z).
• O vetor da 
origem ao origem ao 
ponto (x,y,z) é 
definido como 
Vetor 
Posição r.
Campo escalar
Para definir um campo basta atribuir a cada ponto do 
espaço uma propriedade. Assim, quando definirmos que 
cada ponto de uma sala possui uma temperatura estamos 
definindo um campo escalar.
Campo vetorial
É definido pelo conjunto dos Pontos do ESPAÇO 
caracterizados por uma FUNÇÃO VETORIAL. Quando 
observamos um escoamento de água e dizemos que cada 
partícula possui uma velocidade, estamos definindo um 
campo vetorial.
Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Exemplos : Velocidade, Campo Gravitacional, Campo 
Elétrico, Campo Magnético.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
z
zyx azayaxr
rrrr
++=
zyx adzadyadxrd
rrrr
++=
SISTEMAS DE COORDENADAS
x
y
xa
r y
a
r
za
r
r
r
( )zyxP ,,
( ) ( ) ( )x y zdS dydz a dxdz a dxdy a= + +r r r r
x x y y z zdS dS a dS a dS a= + +
r r r r
dV dxdydz=
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
z
a
r
zadzadadrd
rrrr
++= φρ φρρ
zazaar
rrrr
++= φρ ρφρ
φρ Cosx ⋅=
φρ Seny ⋅=
SISTEMAS DE COORDENADAS
x
y
r
r
ρφ
φa
r
ρa
r
( )zP ,,φρ
φρ Seny ⋅=
zz =
( ) ( ) ( ) zdS d dz a d dz a d d aρ φρ φ ρ ρ ρ φ= + +r r r r
z zdS dS a dS a dS aρ ρ φ φ= + +
r r r r
dV d d dzρ ρ φ=
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
( ) φθ φθθ adrSenardadrrd r rrrr ++=
( ) φθ φθθ arSenararr r rrrr ++=
φθ CosSenrx ⋅= .
φθ SenSenry .⋅=
z
( )φθ ,,rP
SISTEMAS DE COORDENADAS
piθ ≤≤0
piφ 20 ≤≤
φθ SenSenry .⋅=
.z r C o sθ=
2222 zyxr ++=
x
y
φa
r
ra
r
φ
r
rθ
θSenr ⋅
( ) ( ) ( )2 rdS r Sen d d a rSen drd a rdrd aθ φθ θ φ θ φ θ= + +r r r r
r r
dS dS a dS a dS aθ θ φ φ= + +
r r r r
2dV r Sen drd dθ θ φ=
SISTEMAS DE COORDENADAS
• Representações:
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMAS DE COORDENADAS
SISTEMAS DE COORDENADAS
• Exemplo 
• Exemplo (cont.) 
• Exemplo 2:
• Exemplo 2 (cont.):
• Exemplo 2 (cont.):• Exemplo 2 (cont.):
• Lista de Exercícios será enviada por e-mail.