Apostila FENTRAN Bimestre1 VersãoBETA 1.0 ALUNO 2018

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ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL DOM BOSCO 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE 
Prof.: Washington Lemos 
Parte I - Termodinâmica 
Fenômenos de Transporte 
Atualizado em: 14/02/2018 22:45 
2 
 
0.0 Apresentação 
Este material é resultado do gentil e árduo trabalho de alguns alunos 
dos cursos de Engenharia da AEDB. Estes senhores e senhoras 
compilaram as aulas ministradas na disciplina de Fenômenos de 
Transporte ao longo do ano de 2013. 
Seu propósito é servir de auxílio como uma forma elementar de 
consulta e acompanhamento da disciplina, uma espécie de caderno 
seminal, que você, caríssimo aluno, deve complementar com suas 
próprias anotações e comentários ao longo do curso. 
Este material é um trabalho coletivo, dinâmico, espontâneo com 
origem em uma linguagem oral, estando, apesar das revisões, 
sujeito a equívocos de digitação, frases de compreensão dúbia e 
eventuais incorreções em desenhos, gráficos e equações. Desta 
forma convido a todos que critiquem o presente material e 
comuniquem eventuais melhorias/correções1. 
Agradecemos às futuras colaborações e, claro, aos alunos que 
tornaram esta iniciativa uma realidade. 
Agradecimentos especiais a: 
 
 
1 Isso pode lhe render alguns pontos. Informe-se. 
Fernanda Cecília Leticia Carneiro 
Giuliano Roberti Lucas Balbino
Jéssica Peixoto Luma Diniz
Joyce Nunes Rafael Bruno
Juliane Custódio Rhamon Carvalho
Kassya Caroline Samira Ponce
Leizy Oliveira
3 
 
 
• Bibliografia básica 
1. Ciências Térmicas, Merle Potter, Elaine Scott, Ed. 
Thomson, 2007. 
2. Fenômenos de transporte, Leighton E. Sissom, D. Pitts, 
Ed. Guanabara, 1996. 
3. Fundamentos da termodinâmica, Van Wylen, Sonntag, 
Borgnakke, Ed. Blücher, 2003. 
4. Termodinâmica, G. Ieno, L. Negro, Ed. Pearson 
Education Brasil, 2004 
5. Introdução à mecânica dos fluídos, Robert W. Fox, 
McDonald, Ed. LTC, 1998. 
6. Mecânica dos fluídos, Franco Brunetti, Ed. Pearson, 
2008. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
• Ementa 
Introdução – 1°BI 
Termodinâmica – 1°BI 
Mecânica dos fluídos (estática) – 2°BI 
Mecânica dos fluídos (dinâmica) – 3°BI 
Transferência de calor – 4°BI 
5 
 
1. Introdução 
Muitos sistemas físicos envolvem armazenamento, conversão e 
transporte de energia. O estudo de fenômenos de transporte aborda 
estes processos de modo a descrevê-los através de uma formulação 
matemática comum. Ex.: 
 
Nestes processos necessariamente haverá um movimento no 
sentido de equilíbrio (devido ao Segundo Princípio termodinâmico: 
aumento da entropia do universo) e o transporte de uma 
“quantidade”. 
 
1.1 Propriedades dos fluidos e meios contínuos 
Na matéria as moléculas estão em constante movimento 
conferindo uma série de propriedades. Nós nos interessamos nas 
manifestações destes movimentos moleculares, ou seja, nas 
propriedades do sistema. 
Entendemos como propriedade dos sistemas aquelas grandezas 
(físico- químicas, como temperatura, pressão etc.) que 
permanecem constantes no sistema sempre que este sistema estiver 
nas mesmas condições. Além disso, consideraremos sempre que as 
propriedades serão constantes ao longo de todo o volume/superfície 
Transferência de Calor
Mecânica dos Fluidos
el
q Tk
A x
v
y
t µ
¶
= -
¶
¶
=
¶
!
6 
 
de interesse, pois a matéria está uniformemente distribuída (meio 
contínuo). 
1.2 Gás perfeito 
É um gás cujas moléculas colidem de modo perfeitamente 
elástico. Para as nossas aplicações o ar pode ser considerado um gás 
perfeito (ideal) quando estiver em baixas pressões (+/-1 atm) e altas 
temperaturas (dobro da temperatura crítica2). 
1.3 Fluídos compressíveis e incompressíveis 
A incompressibilidade é medida pelo módulo volumétrico da 
elasticidade isotérmica ( ). 
 
Sendo o coeficiente de compressibilidade, um fluído é 
denominado incompressível quando sua variação de densidade é 
insignificante frente variação de pressão. Dessa forma podemos 
deduzir que os líquidos podem ser considerados incompressíveis 
enquanto os gases precisam ter quase sempre sua compressibilidade 
levada em consideração. 
Ex.: Considerando a elasticidade isotérmica da água (H20) igual a 
300.000 PSI/ft³, vamos verificar a variação do volume do sistema 
que consiste em 1 ft³ (0,03 m3) de H20 quando a pressão sofrer um 
acréscimo igual a 1000 PSI (variação de 68,07 atm). 
 
2 É a temperatura acima da qual a substância pode existir somente na forma de gás. 
TE
1
TE b
=
1 dV
V dP
b = -
b
onde: 
7 
 
 
8 
 
AULA 1 
2. Termodinâmica 
A termodinâmica estuda as interações de energia. Esta ciência 
é baseada em princípios físicos, ou seja, verificações experimentais 
não deduzidas matematicamente das quais deduzimos seus 
princípios (1° e 2° Lei da Termodinâmica). 
2.1 Conceitos e definições 
2.1.1 Sistemas termodinâmicos 
 
 
 
 
O sistema é uma região limitada por uma superfície real ou 
imaginária. Sempre que a energia atravessa essa fronteira ela se 
manifestará na forma de calor e/ou trabalho. 
 
ENERGIA CALOR E/OU TRABALHO 
 
E à Energia [J] 
W à Trabalho [J] 
Q à Calor [J] 
Por definição: 
Vizinhança 
(meio) 
Calor (Q) e Trabalho (W) nada mais 
são do que a manifestação de 
energia quando esta atravessa a 
fronteira de um sistema. Ou seja, 
são formas de energia em 
transição! 
Sistema 
Fronteir
a Sistema 
9 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho realizado pelo sistema é positivo. Trabalho realizado sobre 
o sistema é negativo. 
Calor que entra no sistema é positivo. Calor que sai do sistema é 
negativo. 
 
Os sistemas podem ser classificados de três maneiras: 
a) Sistema isolado: a fronteira não permite a passagem de 
massa, calor ou trabalho. 
Ex.: garrafa térmica. 
 
 
b) Sistema fechado: a fronteira não permite a passagem de 
massa. 
+Q 
+W 
-W 
-Q 
Sistema 
Sistema 
10 
 
Ex.: Seringa fechada ou um êmbolo. 
 
 
 
c) Sistema aberto ou volume de controle: a fronteira permite a 
passagem de massa, calor e/ou trabalho. 
Ex.: Macaco hidráulico. 
 
 
Em uma única imagem poderíamos resumir que: 
 
 
2.1.2 Temperatura 
 
 
Sistema 
+W 
Sistema 
11 
 
A temperatura é o resultado do grau de agitação molecular. 
Quando colocamos dois corpos em contato e em sistema isolado 
podemos garantir que haverá uma sucessão de alteração em suas 
temperaturas de modo que o equilíbrio térmico seja estabelecido 
(este princípio é conhecido como “Lei Zero” da termodinâmica, 
veremos mais adiante que ele é redundante pois é consequência da 
Segunda Lei da termodinâmica). 
 
2.1.3 Equilíbrio, processo e estado 
Neste momento é conveniente fazermos uma série de 
definições de modo que a linguagem se torne precisa e clara. 
 
a) Estado: é a condição física de um sistema descrita pela 
atribuição de valor às suas propriedades (qualquer grandeza 
físico-química que descreva o sistema) em um determinado 
instante. 
b) Equilíbrio: o equilíbrio termodinâmico existe quando as 
propriedades do sistema são constantes de um ponto ao outro 
e não apresentam tendência de mudança ao longo do tempo. 
c) Processo: é a trajetória descrita pelos sucessivos estados de 
um sistema que sai de uma condição de equilíbrio rumo à 
outra. 
 
 
 
 
d) Ciclo termodinâmico: quando um sistema em dado estado 
inicial experimenta uma série de processos ao final do qual ele 
T 
P 
Estado IEstado II 
12 
 
retorna ao estado inicial dizemos que possuímos um ciclo 
termodinâmico. 
 
 
13 
 
AULA 2 
2.1.4 Trabalho 
 
 Na mecânica entendemos trabalho como sendo um produto 
de uma força pela distância deslocada na direção de aplicação da 
força. 
 
De um modo mais conveniente precisamos definir trabalho (W) 
em função dos conceitos termodinâmicos de sistema, propriedade e 
processo. 
Desta forma, a definição termodinâmica de trabalho é a 
energia transmitida através da fronteira do sistema de modo que 
um único efeito na vizinhança seja a variação da energia potencial 
gravitacional de um corpo ou algo que possa ser interpretado com 
tal. 
 
c
W Fdx= ò
 
BATERIA 
MOTOR 
FRONTEIRA 
 BATERIA 
MOTOR 
 
 
PESO 
 
FRONTEIRA 
14 
 
O ventilador pode ser substituído por uma polia de modo que 
todo efeito na vizinhança pode ser interpretado como a variação da 
energia potencial de um corpo, logo trata-se de trabalho. Por 
definição, o trabalho executado pelo sistema sobre a vizinhança 
é positivo. 
 No SI sua unidade é W = [J] = [N.m]. 
 Sempre que falarmos da taxa de realização de trabalho em um 
intervalo de tempo nós falaremos de potência, que nada mais é que 
: 
 
Frequentemente será conveniente tratarmos do trabalho 
executado ao longo de um processo em relação à massa de um 
sistema, ou seja: 
 é o trabalho específico ou trabalho por unidade de 
massa [J/kg] 
Podemos então definir o trabalho realizado por um processo 
de quase-equilíbrio devido ao movimento de fronteira: 
 
Logo, 
Onde, 
P é a pressão; A é a área e V é o 
volume. 
W!
[ ]W JW Watts
dt s
d é ù= = = ê úë û
!
w
c
W Fdx= ò
FP F PA
A
= \ =
2 2
1 1
W PAdx W PdV= \ =ò ò
W w
m
=
 
 
 
t1 t2 
F 
dx 
A 
A 
15 
 
 
Este trabalho pode ser representado pelo diagrama: 
 
Quando a trajetória muda, a área muda. Fica clara assim a 
dependência do trabalho em relação ao processo efetuado, ou seja, 
ao caminho no qual se dá a transferência de energia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
II 
P1 
P2 
V1 V2 
 
 
PdV 
 
16 
 
 
 
2.1.5 Calor 
Denominamos calor a transferência de energia que atravessa a 
fronteira naturalmente devido à diferença de temperatura entre o 
sistema e a vizinhança. 
Tal como o trabalho, o calor é a manifestação da energia ao 
atravessar a fronteira e tem como unidade no SI: Q = [J] = [N.m]. 
Contudo, é muito comum o uso de calorias (cal), de modo que”1 J = 
0,2388 cal 
Por unidade de tempo (potência térmica), temos: 
 
Por unidade de massa, temos: 
 
Termodinamicamente, consideraremos calor positivo 
quando ele entra no sistema. 
 
 
 
 
 
[ ]QQ W
dt
d
= =!
Q q
m
=
17 
 
2.1.6 Exemplo de sistema com calor e 
trabalho 
 
Sistema A: Energia atravessa a fronteira devido à diferença de 
temperatura, logo trata-se de calor. 
Sistema B: Energia atravessa a fronteira com uma energia elétrica 
que pode estar sendo gerado pela variação da energia potencial de 
um corpo na vizinhança. É trabalho. 
Sistema C: Não há qualquer energia atravessando a fronteira, logo 
não há calor nem trabalho. 
 
A 
B 
BA
TE
RI
A 
C 
18 
 
AULA 3 
2.1.7 Processos Politrópicos 
Quando um gás realiza um processo reversível de quase-
equilíbrio sua curva log P x log V assume uma função linear de tal 
modo que PVn = Constante (onde n também é constante). 
 
Vamos deduzir os principais formulações para processos 
politrópicos. 
• n = 0 PVn = Constante – Processo isobárico (P = Constante) 
 
 
 
• n = 1 PVn = PV = Constante – Processo isotérmico 
1 2 3P P P P cte= = = =
2
2 11
( )W PdV W P dV W P V V= \ = \ = -ò ò
Log V 
Log P 
n = 0 
n ≠ 1 
 
n = k 
 
n = 1 
 
n = ∞ 
 Q = 0 
 
19 
 
 
 
 se logo 
 
Se logo: ou 
 
 
• n ≠ 1 PVn = Constante 
 
 
Se logo . 
 
• n = ∞ - Processo isovolumétrico 
 
 
 
Exercícios: 
1PV PV cte= =
1 1 2 2 3 3PV PV PV PV cte= = = =
2
1
W PdV= ò
cteP
V
=
2 2
2
2 11 1
1
1 [ln ln ] ln( )VcteW dV W cte dV W cte V V W cte
V V V
= \ = \ = - \ = ×ò ò
PV cte= 21 1
1
ln( )VW PV
V
= × 22 2
1
ln( )VW PV
V
= ×
1 1 2 2 3 3
n n n nPV PV PV PV Cte= = = =
1 112 2 2
2 1
1 1 1 1 1
n nn
n
n
V Vcte VW PdV W dV W cte V dV W cte W cte
V n n
- -- +
- æ öé ù -= \ = \ = \ = \ = ç ÷ê ú- + -ë û è ø
ò ò ò
1 1
ncte PV= 2 2 1 1
1
PV PVW
n
-
=
-
0W =
20 
 
1) 3 5kg de um gás contido em um cilindro sofre inicialmente um 
aquecimento mantendo-se constante seu volume. Em seguida sofre 
uma expansão à pressão constante devido ao movimento do êmbolo. 
Calcule o trabalho desenvolvido quando a variação do volume for de 
0,5m³ sabendo-se que a área do êmbolo é de 100cm² e a força 
aplicada sob o êmbolo é de 50 Kgf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Exercício retirado do livro Termodinâmica, G. Ieno, L. Negro, Ed. Pearson Education Brasil, 2004, pg 61. 
 
21 
 
2) Um gás perfeito sofre uma compressão isotérmica passando de 1 
Kgf/cm² para 5 Kgf/cm². Sabendo-se que na situação inicial o 
volume ocupado pelo gás é de 2m³. Determine o trabalho necessário 
para esta compressão. 
 
22 
 
AULA 4 
2.2 1° Lei da Termodinâmica 
A 1° lei da termodinâmica estuda as relações existentes entre 
as diferentes formas de energias. É, portanto, conhecida como a lei 
de conservação de energia. É fácil perceber no cotidiano que a 
energia não pode simplesmente aparecer do nada, se um sistema 
ganha energia é preciso que esta energia venha de algum lugar. 
Podemos dizer de um modo mais abrangente que “a taxa de 
transmissão de calor para o sistema menos a taxa com a qual o 
sistema realiza trabalho é igual à taxa pela a energia total do 
sistema está variando”4. 
Matematicamente: 
 
Se considerarmos um ciclo saberemos que suas propriedades 
no início e no final devem se igualar de modo que o calor total 
trocado ao longo do ciclo deve ser igual ao trabalho total realizado 
também ao longo do ciclo de modo que a energia total se conserve. 
 
 
 
 
2.2.1 1°Lei para um sistema fechado 
 
4 Ciências Térmicas, Merle Potter, Elaine Scott, Ed. Thomson, 2007 
Q W E- = D
23 
 
Considerando um ciclo termodinâmico: 
 
 
 
Desta forma provamos que (Q-W) independe do caminho. 
 Podemos escrever então que: 
 
Onde “E” é a energia total do sistema sendo, portanto, uma 
propriedade do sistema, de modo que podemos dizer que: 
2 1 2 1 2 2 1 1
1 2 1 2 1 1 2 2A B A B A A B B
Q Q W W Q W Q Wd d d d d d d d+ = + \ - = - + \ò ò ò ò ò ò ò ò
2 2
1 1
( ) ( )A BQ W Q Wd d- = -ò ò
1 2 1 2 2 1Q W E E- = -
I 
II 
 
A 
B 
Q 
W 
W 
Q 
24 
 
 
 
 
. 
Desta equação precisamos definir as descrições para as energias 
cinéticas e potencial. 
• Energia Cinética 
 se 
Logo 
 à Energia Cinética 
• Energia Potencial 
à Energia potencial 
1 2Total TotalE U E= D +
1 2 1 1 1 2 2 2C P C PQ E E W E E U+ + = + + +D \
1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( )C C P PQ W E E E E U- = - + - +D
( )eld m VdPF F
dt dt
×
= \ = m cte=
1 1
0 0
el el
el
mdV mdVF dF dx dE mV dV
dt dt
= \ = × \ \ò ò
2
2
el
c
mVE =
dVF m dx dxF m a dx dE m a dx
dt= × × \ = × × \ = × × \ò ò
0
z
pE m a dx E m a z E m g z= × \ = × × \ = × ×ò
ΔU 
 
SISTEMA 
EC1 
EP1 
Q 
EC2 
EP2 
W 
25 
 
 1°Lei para sistemas fechados: 
 
 Desconsiderando as energias mecânicas (cinética e potencial) 
chegamos em: 
 
A energia interna U é uma propriedade do sistema! 
Exercícios: 
1) Um ventilador de 5HP é usado em uma sala grande para promover 
a circulação de ar. Admitindo-se que esta sala é bem isolada e 
selada, determine o aumento da energia interna depois de uma hora 
de operação. 1HP = 746 Watts 
 
 
 
 
 
2) Calcule o trabalho se o ar se expande de 0,2 m³ para 0,8 m³, 
quando P=(0,2+0,4V). 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 
2 2
2 1
1 2 1 2 2 1
( )( )
2
m V VQ W mg z z U-- = - + +D
Q W U- = D
26 
 
 
2.2.2 Entalpia 
A entalpia é a propriedade termodinâmica que representa as 
energias relacionadas à pressão e a temperatura. 
Caso forneçamos lentamente calor a um sistema mantido à 
pressão constante teremos: 
Como 
Logo . 
 onde h é a entalpia específica 
 Observe que, quando a pressão é constante (P=cte), a 
variação de entalpia (∆H) é igual ao calor trocado pelo sistema: 
. 
2.2.3 Calor latente e calores específicos 
 
 
 
 
 
a) Calor latente 
É a quantidade de energia transferida na forma de calor a uma 
substância de modo a conduzi-la a mudança de fase. O calor 
2 1( )CteW P V V= -
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1( )Q W U Q PV PV U U- = D \ - - = -
1 2 2 2 1 1( ) ( )Q U PV U PV= + - +
Hh
m
=
Q H= D
Calor especifico 
Calor Latente 
-10 
-100 
T (°C) 
Tempo (s) 
27 
 
necessário para derreter uma unidade de massa de uma dada 
substância à pressão constante denomina-se calor latente de fusão. 
 
b) Calor específico 
Quando tratamos uma substância pura à pressão constante e 
de uma única fase, definiremos calor específico como a quantidade 
de energia necessária para elevar em um grau de temperatura uma 
unidade de massa. 
 
O calor específico é uma propriedade do sistema tabelado nos 
ábacos da termodinâmica. 
 
• Calor específico à pressão constante (Cp) 
, e 
Logo 
• Calor específico a volume constante (Cv) 
 
à 
Então: 
 
QC
m T
=
D
QC
m T
=
D
P Cte= Q H= D
H hCp Cp
m T T
D D
= \ =
×D D
QCv
m T
=
D
1 2 1 2Q W U- = D 1 2 1 20W cte Q U= \ = D
Q U uCv Cv Cv
m T m T T
D D
= \ = \ =
D D D
28 
 
Exercícios: 
1) Se a energia de um sistema sem escoamento aumenta 90KJ, 
enquanto o sistema desenvolve o trabalho de 125KJ, determine o 
calor transferido. 
 
 
 
2) Um sistema sem escoamento à pressão constante recebe calor a 
350 KPa. A energia interna do sistema aumenta de 180 KJ enquanto 
a temperatura aumenta 170° C e o trabalho desenvolvido é de 75 
KJ. Determine o calor específico à pressão constante e a variação 
do volume se o sistema corresponde a 1,5 Kg de gás em um cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calor é fornecido a um gás em um recipiente rígido. Se o 
recipiente contém 0,6 Kg de gás ao qual são fornecidos 100 KJ. 
29 
 
Determine as variações na temperatura e na energia interna. Calor 
específico à pressão constante (Cv) = 1,47 KJ/KgK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) O Cp e o Cv são respectivamente 0,24 e 0,17 kcal/KgK. Se 1000 
Kcal forem adicionados a 20 Kg de ar em um processo sem 
escoamento à pressão constante. Determine a temperatura final do 
ar se a inicial for de 100 K e o trabalho desenvolvido pelo gás. 
 
 
 
 
 
4) Um conjunto cilindro-êmbolo sem escoamento contém 0,05 Kg de 
um gás. Se 10 KJ são fornecidos na forma de trabalho para comprimir 
30 
 
um gás, sua temperatura cresce de 21° C para 66 °C. Determine a 
troca de energia na forma de calor se o Cv é igual a 0,92 kJ/Kg°C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Um sistema sem escoamento é submetido a um processo no qual 
42 KJ de calor são rejeitados. Se a pressão é mantida constante a 
125 KPa enquanto o volume varia de 0,2 m³ para 0,06 m³. Determine 
o trabalho desenvolvido e a mudança na energia interna. 
 
31 
 
AULA 6 
2.2.4 Conservação de massa em volume de 
controle (sistemas abertos) 
Introduziremos agora uma análise mais completa na qual 
relacionaremos trabalho, calor, variação de pressão, variação de 
temperatura e vazão mássica ( ). 
Até agora abordamos variação de energia, sem mencionarmos 
a relação com massa, o que contradiz a física moderna na sua mais 
famosa equação: 
 
onde Km/s que é a velocidade da luz no vácuo. 
 Esta equação relaciona a massa de um sistema com sua 
variação de energia. Contudo a ordem de grandeza dessa relação é 
muito pequena, conforme o exemplo a seguir. 
Imaginemos 1 Kg de mistura gasolina-ar constituindo um sistema 
com recipiente rígido. A combustão da mistura libera 2900 kJ. Qual 
será a variação da massa? 
 
 Esta variação de energia resulta em uma variação de massa 
que é dada por: 
. 
(houve perda de massa, pois o resultado foi negativo) 
, , , e W Q P T mD D !
2E mc=
82,99 10c x=
0
2900
W
Q W U
KJ U
=
- = D
- = D
2 3 8 2 112900 10 (2,99 10 ) 3,2 10E m c m m Kg-= × \- × = × × \ = - ×
32 
 
A 
2 1 
Fronteir
Sis
Vi
.x vel tD =
 
A variação de massa resultante é um número dividido por 
100.000.000.000! Ou seja, um número ínfimo! 
Desta forma apesar de existir uma relação entre massa e 
energia, para fins deste curso podemos considerar a lei de 
conservação de energia independente da lei de conservação de 
massa. 
 Neste momento nos concentraremos em um sistema 
específico, caracterizado por um regime permanente e uniforme5. 
Observação: 
Regime permanente: As variáveis do escoamento em um ponto do 
espaço são independentes do tempo. 
Regime Uniforme: A velocidade, a pressão e a densidade são 
constantes ao longo da seção perpendicular ao escoamento. 
 Assim antes de aplicarmos a lei da conservação de energia 
aplicaremos o princípio de conservação de massa. 
 
 
 
 
O princípio de conservação de massa nos diz que a taxa de variação 
da massa armazenada no volume de controle é igual à diferença 
 
5 Voltaremos a falar de tipos de escoamento no terceiro Bimestre. 
33 
 
entre o fluxo de massa total entrando no volume de controle e o 
volume de massa saindo do volume de controle: 
ou seja, 
 
Como 
 
Logo 
 Se a massa no interior do volume de controle permanece 
constante (hipótese válida, principalmente quando tratamos de 
fluídos incompressíveis), teremos um regime permanente: 
. 
Então: 
 
Equação continuidade na sua forma básica6. 
 
 
 
6 Veremos a equação da continuidade na sua forma completa no 3º Bi. 
1 2vcm m mD = -! ! !
1 2
1 2
vcdmdm dmdm m m
dt dt dt dt
= - \ = -! !
m
v
r =
elV A x= D
el
el el
m mm m AV
A V t AV
r r r= × \ = \ =
× ×
!
! !
1 1 1 2 2 2
vc
el el
dm AV AV
dt
r r= -
0vcdm
dt
=
1 1 1 2 2 2. . . . 0A Vel A Velr r- =
1 1 1 2 2 2
Para i entradas e j saídas:
el el
i i eli j j elj
i j
AV AV
AV AV
r r
r r
=
=å å
34 
 
 
 
 
Exemplo: 
A água escoa em um duto com diâmetro variando de 20 mm para 40 
mm ao longo do escoamento. Se a água no ponto A tem VelA = 40m/s, 
determine a velocidade VelB bem como sua vazão mássica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 1000H O
kg
mr
é ù= ê úë û
35 
 
AULA 72.2.5 Trabalho desenvolvido por um fluxo 
O trabalho total desenvolvido pelo sistema durante o processo 
é composto por duas partes: um trabalho denominado trabalho de 
fluxo, associado às massas que cruzam o sistema; e um trabalho que 
inclui as demais forças como: as de cisalhamento, superficiais ou de 
um eixo que atravessa o sistema (trabalho de eixo). 
 
* Obs.: A energia só pode variar pelos dois meios. 
 
 
Onde: 
 
 
Considerando a convenção de trabalho positivo quando sai do 
sistema teremos: 
 
eixo fluxoW W W= +
1 1 2 2
1 1 2 2
f
f
W p dV p dV
W PV PV
= -
= -
ò ò
1 1 1 2 2 2fW PVel A t PVel A t= D - D
2 2 2 1 1 1f el elW P AV t PAV t= D - D
Entra no sistema (-
) 
Sai do sistema (+) 
36 
 
O trabalho de fluxo resulta do escoamento de um fluído 
através de um campo de pressão. 
2.2.6 Formulação geral da 1°Lei para volume 
de controle 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da 1ª Lei teremos: 
 
Considerando as energias mecânicas e termodinâmicas: 
 
 
Então: 
.
m
.
m
totalQ W E- = D
t t ttotal total
Q W E E
+D
- = -
[ ]
2
2
2 2 2 2 1 1 1 1 12
mVelQ W U m gz E U m gz mVel E
é ù
- = + + + - + + +ê ú
ë û
1 
Volume de Controle 
Q 
t 
2 Volume de Controle 
Q 
t+∆t Digite	a	equação	aqui.
37 
 
 
Para nossa comodidade é interessante colocarmos as grandezas em 
função das propriedades relativas à vazão mássica. 
 
Como: 
 
Assim sendo, pode-se escrever: 
 
Contudo sabemos que: 
E se 
Dividindo tudo pelo tempo: 
 
 
Se ; 
Então: 
2 2
2 1 1
2 2 2 2 1 1 1 12 2
mVel mVelQ W U m gz E U m gz E
é ù é ù
- = + + + - + + +ê ú ê ú
ë û ë û
2 2
2 1
2 2 2 1 1 12 2
Vel VelQ W m u gz m u gz E
æ ö æ ö
- = + + - + + +Dç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
. . . .mm m m t m Vel A t
t
r= Þ = D Þ = D
D
2 2
2 1
2 2 2 2 2 1 1 1 1 12 2
Vel VelQ W Vel A t u gz Vel A t u gz Er r
æ ö æ ö
- = D + + - D + + +Dç ÷ ç ÷
è ø è ø
e fW W W= +
2 2 2 1 1 1fW PVel A t PVel A t= D - D
2 2.
2 1
2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1( ) 2 2e
Vel VelQ W PVel A t PVel A t Vel A t u gz Vel A t u gz Er r
æ ö æ ö
- + D - D = D + + - D + + +Dç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 2. .
2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 12 2e
Vel Vel EQ W PVel A Vel A u gz PVel A Vel A u gz
t
r r
é ù é ùæ ö æ ö D
- = + + + - + + + +ê ú ê úç ÷ ç ÷ Dè ø è øë û ë û
2 2. .
2 2 1 1
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1
2 12 2
e
Vel P Vel P EQ W Vel A u gz Vel A u gz
t
r r
r r
é ù é ùæ ö æ ö D
- = + + + - + + + +ê ú ê úç ÷ ç ÷ Dè ø è øë û ë û
2 2. . . .
2 2 1 1
2 12 2 1 1
2 12 2
e
Vel P Vel P EQ W m u gz m u gz
tr r
é ù é ùæ ö æ ö D
- = + + + - + + + +ê ú ê úç ÷ ç ÷ Dè ø è øë û ë û
1
v
r = h Pv u= +
38 
 
 
Escoamento Permanente: ; 
Então, concluindo: 
 
Sem energias mecânicas: 
Para sistema fechado sem variação de energia mecânica tínhamos: 
 
Agora, para sistema aberto sem variação de energia mecânica 
temos: 
 
Exercícios: 
1) 7O gás hélio deve ser comprimido desde 100 KPa e 300 K até 500 
KPa e 400 K. A perda de calor pelo revestimento do compressor é 
estimada em 60 KWatts. Desprezando-se as variações de energia 
potencial e cinética, determine o fluxo de massa capaz de ser 
comprimido supondo-se uma potência de 700 KWatts. Cp = 5,1926 
KJ/KgK. 
 
 
 
 
 
7 Exercício 1, pág 247 do “Fenômenos de Transporte para engenharia; Braga, Washington; 
LTC, 2006” 
2 2. . . .
2 1
2 12 2 1 12 2e
Vel Vel EQ W m h gz m h gz
t
æ ö æ ö D
- = + + - + + +ç ÷ ç ÷ Dè ø è ø
E zero
t
D
=
D
. .
1 2m m=
. . .
2 2
2 1 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )2eQ W m h h g z z Vel Vel
é ù- = - + - + -ë û
. . .
2 1( )eQ W m h h- = -
Q W U- = D
 ou e eQ W H Q W m h- = D - = D! ! !
39 
 
 
 
 
 
2) Uma bomba utilizada em um sistema de irrigação transfere 5 Kg/s 
de água de um rio para uma superfície livre de um reservatório que 
está localizado ao nível de 20 m acima do rio. Se a temperatura da 
água ocorre de modo adiabático. Determine a potência necessária 
do equipamento. 
Obs.: Considere que não haja variação significativa da velocidade ao 
longo de escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bomba 
RIO 
Reservatorio 
40 
 
Exercícios: 
1) Uma bobina a gás recebe uma mistura de ar-combustível, tendo 
uma entalpia de 1200 KJ/Kg. Se 20 KJ/Kg são perdidos pela turbina 
por transmissão de calor e a entalpia do gás na saída é de 100 KJ/Kg. 
Quando de trabalho por unidade de massa pode ser obtido desta 
turbina. Desconsidere as variações de energia mecânica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma bobina produz uma potência de 0,1 KW. O estado na seção 
de entrada da turbina é 50°C e na saída de -30°C. Admitindo-se que 
as velocidades sejam baixas e que a turbina seja adiabática. 
41 
 
Determine a vazão de ar necessária para esta turbina. Cp = 1,004 
KJ/KgK. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Uma turbina pequena de alta velocidade é alimentada com ar 
comprimido e produz uma potência de 0,1KW. A temperatura na 
entrada da turbina é 50°C e na saída é de -30°C. Admitindo-se que 
a turbina seja adiabática, determine a vazão de ar necessária se o 
Cp=1,004 KJ /kg K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
.
0 sem escoamentom =
2 1 0h h- =.
2 1( ) 0m h h- =
AULA 8 
2.2.7 Aplicações em equipamentos de uso 
industrial 
a) Dispositivos de estrangulamento: são válvulas ou placas que 
provocam uma queda de pressão sem significativa variação de 
energia potencial ou cinética. Este processo ocorre sem a 
realização de trabalho de eixo e de modo adiabático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Bombas Compressoras e Turbinas: Bombas compressoras 
e turbinas são dispositivos que transferem energia para um 
fluido de trabalho ao passo que turbinas são equipamentos 
capazes de captar energia do fluido e transferi-la ao meio 
externo. Muitas vezes, a transmissão de calor bem como as 
variações de energia cinética e potencial são ignoradas 
nesses dispositivos, sendo consideradas perdas e 
consequentemente inclusas ao definirmos seu rendimento. 
Para regimes permanentes temos: 
. . .
2 2
2 1 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )
2
eQ W m h h g z z V Vé ù- = - + - + -ê úë û
2 1 
m 
Adiabatico 
Zero Sem 
trabalho 
do eixo 
Sem 
variação de 
energia 
potencial 
Sem 
variação 
de energia 
cinética 
43 
 
. WW
t
=
. mm
t
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs1: Nas bombas e compressores o trabalho é negativo quando o volume de controle 
sofre o trabalho. 
 
Obs2: As turbinas executam trabalho sobre o meio, logo o trabalho é positivo. 
 
Obs3: Obviamente situações que envolvam troca de calor significativa exigem que 
este calor seja incluso na equação. 
 
c) Bocais e difusores 
 
 
 
 
 
. . .
2 2
2 1 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )
2
eQ W m h h g z z V Vé ù- = - + - + -ê úë û
. .
2 1( )eW m h h- = -
.
2 1. ( )
eW h h
m
-
= - 2 1( )eW h hÞ- = -
.
m
.
m
Considerando 
no COP 
Sem 
variação de 
energia 
potencial 
Sem 
variação 
de energia 
cinética 
1 
2 
1 
2 
1 
Ep’ 
-Ep’ 
2 
Ep’’ 
-Ep’’ 
-Z 
Z 
X 
Bocal 
V1<<V2 
Difusor 
P1<<P2 
44 
 
 
 
Bocais são dispositivos utilizados para gerar escoamentos com 
velocidades altas a partir de uma queda de pressão. Difusores 
são utilizados para desacelerarescoamentos ou aumentar sua 
pressão. Em ambos os dispositivos, não há realização de 
trabalho de eixo e a transmissão de calor é muito baixa. 
 
 Subsônico 
 
Sendo escoamento permanente 
 
 
 
 
 
Logo, 
d) Trocador de Calor 
São equipamentos utilizados para transmitir energia de um corpo 
mais quente para outro mais frio, considerando as variações de 
energia mecânica desprezível. 
 
 
 ou 
CpVel RT
Cv
<
. . .
2 2
2 1 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )
2
eQ W m h h g z z V Vé ù- = - + - + -ê úë û
.
2 2
2 1 2 1
1( ) ( ) 0
2
m h h V Vé ù- + - =ê úë û
2 2
2 1 2 1
1( ) ( ) 0
2
h h V V- + - =
. . .
2 2
2 1 2 1 2 1
1( ) ( ) ( )
2
eQ W m h h g z z V Vé ù- = - + - + -ê úë û
2 1( )Q m h h= -! ! 2 1( )q h h= -
Zero, considerando o PHR no eixo de Simetria 
45 
 
Para aumentar a eficiência podemos analisar esse equipamento 
quando utilizamos dois fluidos de trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) O vapor entra em uma turbina a 4000 Kpa. Para uma 
velocidade de entrada de 200m/s calcule a potência de saída 
desconsiderando as variações de energia cinética e 
transmissão de calor. Mostre que a a variação de energia 
cinética é desprezível. 
Dados: 
Øinterno da entrada da turbina = 50mm 
 Øexterno da saída da turbina = 250 mm 
 h saída = 2665,7 KJ/kg 
 h entrada = 3445,2 KJ/kg 
 volume específico da saída da turbina = 2,087 m3/kg 
 volume específico da saída da turbina = 0,08643 m3/kg 
 
 
 
mB 
mA 
mB 
1 2 
Q 
Em um determinado tempo, haverá 
equilíbrio térmico entre ambos 
Não havera troca de 
calor 
A BQ Q- = 2 1 2 1( ) ( )A A A B B Bm h h m h h- - = -
46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
AULA 9 
2.3 Segunda Lei da Termodinâmica 
 
A segunda Lei da Termodinâmica indica que todos os processos 
conhecidos ocorrem em um determinado sentido, por exemplo, a 
queda de um corpo, provoca um aquecimento na atmosfera ao seu 
redor, porém, o aquecimento na atmosfera não faz com que esse 
corpo seja erguido. 
Algumas definições: 
a) Máquinas térmicas: São dispositivos que operam segundo um 
ciclo termodinâmico utilizando dois reservatórios térmicos. 
b) Motor térmico: é uma maquina térmica que realiza trabalho 
liquido através do fluxo de calor entre dois reservatórios térmicos. 
c) Bomba de Calor: é uma máquina térmica que recebe calor de 
um corpo a baixa temperatura, com objetivo de fornecê-lo a um 
corpo a alta temperatura. 
PLACA HOT 
SISTEMA QH 
CARGA 
 
 
 
SISTEMA 
QC 
CARGA 
PLACA COLD 
Os reservatórios 
serão considerados 
Perfeitos. 
48 
 
d) Refrigerador: é uma maquina térmica cujo objetivo é retirar 
calor de um corpo frio, tendo, como consequência o envio de calor 
a um reservatório térmico quente. 
e) Reservatório Térmico: São sistemas que recebem ou cede calor 
sem variar sua temperatura. 
 
2.3.1 Eficiência e Coeficientes de 
Performance (COP) 
Podemos deduzir o trabalho útil produzido por um motor térmico. 
T1>T2 
Sei que: 
 
 
 Eficiência de um motor 
 
 
 
Quando tratarmos de bombas térmicas ou refrigeradores: 
H CW Q Q= -
energia útil
energia disponívelH
W
Q
h = =
H C
H
Q Q
Q
h -= Þ 1 C
H
Q
Q
h = - Þ
W 
49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.2 Enunciados 
• Kelvin – Planck: É impossível construir 
um dispositivo que opere em ciclo cujos 
únicos efeitos sejam a realização de 
trabalho e a troca de calor com um único 
reservatório térmico. 
 
. .
H
Bom Térm
QCOP
W
= Crefri
QCOP
W
=
. .
H
Bomb Term
H C
QCOP
Q Q
=
-
C
refri
H C
QCOP
Q Q
=
-
. .
1
1
Bom Térm
C
H
COP Q
Q
=
-
1
1
refri
H
C
COP Q
Q
=
-
Fornece energia para o sistema 
funcionar. 
50 
 
• Clausius: É impossível construir um dispositivo que em um 
ciclo e cujo único efeito seja a transmissão de calor de um 
corpo mais frio para um corpo mais quente. 
 
 
 
 
 
Somente se houver a presença de uma máquina térmica: 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.3 Máquina de Carnot 
É a máquina térmica que opera com a maior eficiência (ou 
coeficiente de performance – COP) entre dois reservatórios 
térmicos. Trata-se de um processo idealizado com o maior 
rendimento possível no qual todos os processos envolvidos são 
necessariamente reversíveis. 
51 
 
 
Um processo reversível é aquele que quando invertido, o sistema e 
o meio não apresentam qualquer evidência de que processo tenha 
existido. 
Desta forma, podemos descrever o ciclo de Carnot como sendo: 
 
 
 
 
 
ü Princípio de Carnot 
1°) O rendimento de uma máquina térmica irreversível será sempre 
inferior ao de uma máquina reversível que funcione entre as mesmas 
fontes. 
 Idealizado 
Maior 
rendimento 
possível 
Processos 
reversíveis 
TH 
F 
QH 
 
F 
 
 
TC 
F 
QC 
 
F 
Adiabatico 
Isotérmico 
P 
V 
52 
 
2°) O rendimento de qualquer máquina térmica reversível que 
funcione entre as mesmas duas fontes será sempre igual 
independente do ciclo ou dos fluídos de trabalho. 
η irreversível (real) < η reversível (Carnot - A) = η reversível (Carnot - B) 
 
Observação: Como as fontes de energia resumem-se aos 
reservatórios térmicos, o rendimento de uma maquina reversível são 
proporcionais às temperaturas de seus reservatórios térmicos. 
 
 *desde que as temperaturas estejam 
em escala absoluta (K). 
 
 Desta maneira podemos reescrever as equações de 
rendimento e COP para processos que obedeçam ao ciclo de 
Carnot: 
 
 
 
Exercícios: 
1) Um ciclo de potência proposto é desenvolvido para operar entre 
dois reservatórios térmicos. Deseja-se produzir 43 HP a partir de 
2.500 KJ de energia por minuto. Determine se este ciclo é possível. 
*
*
H H
C C
Q T
Q T
=
1
1
C
H
C
H
Q
Q
T
T
h
h
= -
= -
1
1
1
1
refri
H
C
refri
H
C
COP Q
Q
COP T
T
=
-
=
-
. .
. .
1
1
1
1
Bomb Term
C
H
Bomb Term
C
H
COP Q
Q
COP T
T
=
-
=
-
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Uma máquina térmica de Carnot produz 10 HP transferindo 
energia entre dois reservatórios à temperatura de 500 K e 672 K. 
Calcule a taxa de transmissão de calor do reservatório de maior 
temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
W 
900° QH 
20° QC 
Motor 
Elétrico 
54 
 
 
 
3) Um automóvel que tem um rendimento de 13 Km/l está viajando 
a 100 km/h. A esta velocidade essencialmente toda força produzida 
pelo motor é utilizada para superar a resistência do ar. Se a força 
do ar é dada como , determine a eficiência térmica 
do motor a esta velocidade considerando uma área de resistência do 
ar ao movimento de 2 m³. Sabe-se que o coeficiente de resistência 
do ar (CD = 0,28), o poder calorífico da gasolina é de 9.000 KJ / Kg, 
a massa específica da gasolina é de 740 Kg/m³ e que a massa 
específica do ar de 1,23 Kg/m³. 
 
 
 
 
 
 
21
2D D elF C V Ar=
55 
 
4) Um refrigerador esta resfriando um espaço a 5°C transferindo 
calor para atmosfera que esta a 20°C. O objetivo é reduzir a 
temperatura no espaço para -25°C. Calcule a porcentagem mínima 
de trabalho necessário assumindo um refrigerador de Carnot que 
retire a mesma quantidade de calor. 
 
 
I 
 
IIInterior 
-5°C 
QC 
Ambiente 
20°C 
QH 
Interior 
-25°C 
QC 
Ambiente 
20°C 
QH 
56 
 
5) Considere uma máquina cíclica que troca 6KW de calor com um 
reservatório térmico a 250°C. Essa maquina apresenta as seguintes 
características: 
a- 
b- 
O QC é trocado com o ambiente externo que apresenta temperatura 
igual a 30°C. Considerando que essa maquina seja um motor, diga 
se essas operações são possíveis. Caso ela seja uma bomba de calor, 
faça o mesmo. 
 
 
 
 
 
0CQ KW= 6W KW=
6CQ KW= 0W KW=
57 
 
AULA 10 
2.3.4 Entropia 
Denominamos entropia a propriedade do sistema que nos permite 
aplicar a 2ª Lei de forma quantitativa. Essa grandeza indica o que é 
possível e o que é impossível no mundo real, indicando em ultima 
analise aquilo que chamamos de “antes e depois”. 
Do enunciado de Clausius, temos: 
T1 > T2 Para um ciclo: 
 
 Assim: 
 
 
 
Retornando à anotação para o calor, um dos Q, no caso QC será 
negativo, então obrigatoriamente temos: 
 
Este conceito pode ser estendido para processos múltiplos e mistos 
independente de suas naturezas, ou seja, ele vale para qualquer 
ciclo. 
Para i processos: 
 
1 1C Cirreversivel Carnot
H H
Q T
Q T
h h= - £ = -
C C
H H
Q T
Q T
- £ -
C C
H H
Q T
Q T
£ - 0CH
H C
QQ
T T
+ £
0 0i
i i
Q Q
T T
d
£ Þ £S ò Desigualdade de Clausius
W 
T1 
T2 
Moto
r 
QH 
QC=0 
58 
 
Se o ciclo é reversível, podemos deduzir que a desigualdade de 
Clausius assume seu valor limite, ou seja, igual à zero, , de 
modo que: 
 
 
 
 
 
 
 *Propriedade não depende do caminho 
Dessa forma, percebemos que independe do caminho, 
sendo por tanto uma propriedade do sistema, a esta propriedade 
denominaremos entropia. 
Para “S” continuo, acha-se a fórmula geral. 
 
Para um ciclo qualquer composto de processos reversíveis e 
irreversíveis, podemos fazer que: 
 
 
 
 
 
0Q
T
d
=ò
2 2
1 1
0A BQ QQ
T T T
d dd
= + =ò ò ò
2 2
1 1
0A BQ Q
T T
d d
+ =ò ò 2 1 var ( )
QS S iação da Entropia S
T
d
- = ® Dò
2 2
1 1
A BQ Q
T T
d d
=ò ò
0Q
T
d
=ò
Qds
T
d
=
P 
V I 
II 
B 
A 
P 
V I 
II Reversivel 
Irreversivel 
59 
 
H CQ Q W= +
1 2
CH QQS
T T
D = -
 
 
Então, entropia de um processo irreversível, deve ser menor ou 
igual à entropia de um processo reversível. 
 ; 
Em um processo irreversível (adiabático), a ∆S é sempre positiva, ou 
seja, se o sistema for termicamente isolado, a entropia não pode 
decrescer. 
 
Por exemplo: Considere um refrigerador “perfeito”: T1>T2 
 
Considerando esse esquema, esse 
processo é necessariamente impossível 
visto que nos levaria a um decréscimo 
de entropia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 1
1 2
0Q Q
T T
d d
+ £ò ò
2 1
1 2
Q Q
T T
d d
£ò ò
2
1
Q S
T
d
£Dò irreversivel reversivel£
CH
H C
QQS
T T
D = -T1 
T2 
Refr
i 
T1 
T2 
Refr
i 
W 
60 
 
 
Fazendo análise: 
 
No refrigerador me interessa QC, então: 
 
 
 
 
 
® Max de energia 
 
• Para um ciclo de Carnot 
 
 
 
 
 
 
1 2
0C CQ W QS
T T
+
D = - ³
1 2
C CQ W Q
T T
+
³
2 2
1 1
C C
T TQ Q W
T T
£ +
2 2
1 1
C C
T TQ Q W
T T
- £
2
1
1 2
1
C
TW TQ T T
T
-
£
2 2
1 1
1C
T TQ W
T T
æ ö
- £ç ÷
è ø
2
1 2
C
TQ W
T T
æ ö
£ ç ÷-è ø
2
1
2
1
1
C
T
TQ WT
T
£
- 1
2
1
1
CQ W T
T
æ ö
ç ÷
£ ç ÷
-ç ÷
è ø
C CarnotQ Wh£
Adiabatico 
Isotérmico 
P 
V 
1 
2 
3 
4 
1 2 
3 4 
Temp 
S (entropia) 
Isotérmico 
Adiabatico 
61 
 
 
 
• Para um ciclo reversível 
 
• Para um ciclo irreversível 
 
 
 Podemos verificar a desigualdade de Clausius com base em 
uma análise entrópica: 
- Refrigerador ideal: 
 
 
 
 
 
dQS
T
= ò
QdS
T
Q TdS
d
d
=
=
 
TH 
TC 
Q 
T1 > T2 
 Impossível. 
1 2
0Q QS
T T
D = - £
QS
T
d
D ³ ò
62 
 
 
- Refrigerador real: 
 
No limite da igualdade: 
 
Observações: 
1. Em processo irreversível (real) obrigatoriamente ΔS > 0, em 
processos reversíveis podem se considerar ΔS = 0, ou seja, ΔS ≥ 0. 
Isso significa que se um sistema for termicamente isolado a 
entropia não pode decrescer. 
2. Se um processo é ideal para o refrigerador teremos como limite 
de performance. 
 quando 
2 2 1
1 2
2 2
1 2 2
11 2
2
( ) ( (
( ) ( 1)
CH
C C
C C C
QQ W Q T WT Q T
T T
T TQ T T WT Q W Q W TT T
T
+
= \ + + \
+ = \ = \ =
- -
2
1
2
( )
( 1)
C
TQ W T
T
=
-
2
2
0
0
T
Q
®
®
 
T1 
T2 
R W 
QH 
, se 
Logo, 
Possível. 
1 2
CH QQS
T T
D = -
H CQ Q W= +
1 2
CH QQ WS
T T
+
D = -
0SD ³
63 
 
3. É impossível atingir o zero absoluto em um número finito de 
operações (3° Lei da Termodinâmica). 
4. O calor específico tende a zero na vizinhança do zero absoluto. 
 
Dessa forma podemos reescrever a 1ª Lei para sistemas fechados 
como: 
 
 
Como 
 -> I 
Lembrando a formulação de entalpia, 
 
Então: 
 
 -> II 
 
Assim podemos reescrever I e II: 
 
 
Observando um mol de gás perfeito e que os calores 
específicos são constantes, podemos fazer: 
( )%
U Q W
dU Q W
dU TdS W dividindo todos por massa
dU TdS W
du TdS W
d d
d
d
d
D = -
= -
= -
= -
= -
W PdVd =
du Tds PdV= -
H U PV= +
( )d h u Pv
dh du Pdv vdP
= +
= + +
dh Tds Pdv Pdv vdP= - + +
dh Tds vdP= +
Tds du Pdv
Tds dh vdP
= +
= -
64 
 
 
 
• Equação I 
Como 
 
Logo, I fica: 
 
 sendo, = 
 
• Equação II 
Como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pv RT=
U duCv du CvdT
m T dT
D
= = \ =
D
Tds CvdT Pdv= +
dT Pdvds Cv
T T
= +
P
T
/R v
2 2 2
1 1 1
dT Rdvds Cv
T v
= +ò ò ò 2 22 1
1 1
ln lnT vS S Cv R
T v
- = +
Pv RT=
dhCp
dT
=
2 2
2 1
1 1
ln lnT PS S Cp R
T P
- = +
65 
 
 
 
Exercícios: 
1) Dois blocos de cobre de 1 Kg são postos em dois subsistemas 
isolados. Após retirarmos o isolante entre eles determine qual será 
a variação de entropia no novo sistema gerado se o calor específico 
do cobre é de 386 J/KgK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISOLANTE 
ΔS1 = ? 
 
ΔS2 = ? 
1 2 
 
T1 T2 
1Kg 1Kg 
Q 
60°C 20°C 
66 
 
 
 
2) Imagine uma maquina de Carnot que opera entre as temperaturas 
de 850K e 300K. A máquina realiza trabalho de 1200J a cada ciclo 
que dura 0,25s. Determine: 
a- A eficiência dessa máquina 
b- A potência dessa máquina 
c- Quanto é a energia que é exercida na forma de calor do 
reservatório de alta temperatura q cada ciclo. 
d- Qual é a energia liberada sob a forma de calor para o 
reservatório de baixa temperatura. 
e- De quanto varia a entropia do fluido de trabalho devido 
à transferência de energia do reservatório de alta 
temperatura? E quanto varia a entropia devido à 
transferência de entropia do reservatório de baixa 
temperatura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6768 
 
 
 
3) Um trocador de calor é alimentado por 2Kg/s de um fluido 
refrigerante com entalpia de 147,4 KJ/Kg. Este fluido é 
descarregado do trocador, apresentando pressão igual “aquela” da 
seção de entrada e com entalpia de 211,94KJ/Kg. A energia 
necessária para ocorrer o processo é fornecida por uma bomba de 
calor de COP=2,5. Determine nessas condições a potência necessária 
para operar essa bomba.