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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 7 Temas abordados : Regra da cadeia; Derivac¸a˜o impl´ıcita; Derivada de func¸o˜es inversas Sec¸o˜es do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9 1) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = cos(x+ x2) (b) f(x) = e √ x ln( √ x) (c) f(x) = sen((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f(x) = (3x3 + 4x2 − 4)3/4 (e) f(x) = arcsen(2x) (f) f(x) = √ x+ √ 2x (g) f(x) = ln(x √ x2 + 1) (h) f(x) = x3 − 3x2 (x4 + 1)5/2 (i) f(x) = arctan(3x2 + 1) (j) f(x) = (ex)x (k) f(x) = x2e−x (l) f(x) = arccos ( 1 x2 + 1 ) 2) Suponha que f e´ deriva´vel e g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f ′(0) = −1/2, calcule g′(pi/2). 3) Seja g uma func¸a˜o deriva´vel e f(x) = (cosx)g2 ( tan x x2 + 2 ) . Sabendo que g(0) = 1/2 e g′(0) = 1, calcule f ′(0). 4) Seja f e´ uma func¸a˜o deriva´vel e positiva. Mostre que (ln f(x))′ = f ′(x) f(x) . (Essa expressa˜o e´ chamada de derivada logar´ıtmica de f . A`s vezes e´ mais fa´cil encontrar f ′ usando a derivada logar´ıtmica pois, como ja´ sabemos, os produtos transformam-se em somas na expressa˜o de log f(x).) 5) Usando a derivada logar´ıtmica calcule a derivada das func¸o˜es abaixo. (a) f(x) = (x+ 1)x (b) f(x) = ( sen x)cos x. 6) Seja x = f(y) definida implicitamente pela equac¸a˜o x2 − x√xy + 2y2 = 10 para x > 0 e y > 0. (a) Encontre uma expressa˜o m(x, y) para o coeficiente angular da reta normal ao gra´fico de f(y), para os pontos onde x3/2 − 8y3/2 6= 0. (b) Sabendo-se que o ponto (4, 1) pertece ao gra´fico da curva acima, calcule lim x→4± m(x, 1). (c) Interprete geometricamente o resultado do item (b). 7) Considere y = f(x) definida implicitamente por x4−xy+ y4 = 1. Calcule f ′(0), sabendo que f e´ uma func¸a˜o positiva. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 1 de 13 8) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ (2− x)y2 = x3. (a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1). (b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que x = 3/2. RESPOSTAS 1) (a) f ′(x) = −(1 + 2x) sen(x+ x2) (b) f ′(x) = e √ x(1 + √ x ln( √ x)) 2x (c) f ′(x) = [(x+ 1)2 + 2(x+ 1)(x+ 2)] cos((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f ′(x) = 3 4 (3x3 + 4x2 − 4)−1/4(9x2 + 8x) (e) f ′(x) = 2√ 1− 4x2 (f) f ′(x) = ( 1 + 1√ 2x ) 1 2 √ x+ √ 2x (g) f ′(x) = 2x2 + 1 x(x2 + 1) (h) f ′(x) = (x4 + 1)5/2(3x2 − 6x)− (x3 − 3x2)(5/2)(x4 + 1)3/2(4x3) (x4 + 1)5 (i) f ′(x) = 6x 9x4 + 6x2 + 2 (j) f ′(x) = 2xex 2 (k) f ′(x) = e−x(2x− x2) (l) f ′(x) = 2x (x2 + 1)2 √ 1− (x2 + 1)−2 2) 1 3) 1/2 4) basta usar a regra da cadeia 5) (a) f ′(x) = (x+ 1)x ( ln(x+ 1) + x x+1 ) (b) f ′(x) = ( sen x)cos x [ −( sen x) ln( sen x) + cos 2 x sen x ] . 6) (a) m(x, y) = 3x1/2y − 4xy1/2 x3/2 − 8y3/2 (b) ±∞ 7) 1/4 8) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 7 - Pa´gina 2 de 13 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 8 Temas abordados : Taxas relacionadas; Extremos de func¸o˜es Sec¸o˜es do livro: 3.10, 4.1 1) Um funil coˆnico teˆm um diaˆmetro de 30 cent´ımetros na parte superior e altura de 40 cent´ımetros. Se o funil for alimentado a` taxa de 1,5 l/seg e tem uma vaza˜o de 800 cm3/seg, determine qua˜o rapidamente esta´ subindo o n´ıvel de a´gua quando esse n´ıvel for de 25 cent´ımetros. 2) Um ponto move-se sobre o gra´fico de y = 1/(x2+1), de tal modo que sua abcissa x varia a uma velocidade de 5 m/s. Qual a velocidade de y no instante em que x e´ igual a 10 metros ? 3) Uma escada de 8 metros esta´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidade superior estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3 metros da parede? 4) Um objeto circular aumenta de tamanho de alguma forma desconhecida. Entretanto, e´ sabido que quando o raio e´ igual a 6 metros, a taxa de variac¸a˜o do raio e´ igual a 4 m/min. Encontre a taxa de variac¸a˜o da a´rea quando o raio e´ igual a 6 metros. 5) Um dos catetos de um triaˆngulo retaˆngulo diminui a` uma taxa de 2,5 cm/min, en- quanto outro cresce 5 cm/min. Em certo instante, o comprimento do primeiro lado e´ 20 cent´ımetros e o do segundo e´ 15 cent´ımetros. Passados 2 minutos, a que taxa esta´ variando a a´rea? Ela esta´ aumentando ou diminuindo? 6) Determine os pontos onde ocorrem os extremos absolutos de cada uma das func¸o˜es abaixo, nos intervalos especificados. (a) f(x) = x3 − 3x2, x ∈ [−1, 3] (b) f(x) = x5 5 − x 3 3 + 2, x ∈ [−2, 2] (c) f(x) = 2 cosx+ sen(2x), x ∈ [0, 4pi] (d) f(x) = 1− |x− 1|, x ∈ [0, 2] 7) Prove que entre todos os retaˆngulos com um dado per´ımetro P , o quadrado e´ o que possui maior a´rea. 8) Considere os triaˆngulos retaˆngulos situados no 1o quadrante, com cada um dos seus catetos apoiados nos eixos coordenados e cuja hipotenusa conte´m o ponto (2, 3). Encontre o triaˆngulo de a´rea mı´nima. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 8 - Pa´gina 3 de 13 RESPOSTAS 1) 1792/(225pi) cm/s 2) −100/1012 m/s 3) 6/ √ 55 m/s 4) 48pi m2/min 5) Aumentando a` uma taxa de 6, 25 m2/min 6) (a) ponto(s) de ma´ximo: x = 0 e x = 3 ponto(s) de mı´nimo: x = −1 e x = 2 (b) ponto(s) de ma´ximo: x = 2 ponto(s) de mı´nimo: x = −2 (c) ponto(s) de ma´ximo: x = pi/6 e x = 13pi/6 ponto(s) de mı´nimo: x = 5pi/6 e x = 17pi/6 (d) ponto(s) de ma´ximo: x = 1 ponto(s) de mı´nimo: x = 0 e x = 2 7) Denote por x e y dois lados na˜o paralelos do retaˆngulo e observe que o seu per´ımetro e´ P = 2x+ 2y. 8) o triaˆngulo cujos catetos medem 4 e 6 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 8 - Pa´gina 4 de 13 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 9 Temas abordados : Teorema do Valor Me´dio; Crescimento de func¸o˜es; Otimizac¸a˜o Sec¸o˜es do livro: 4.2, 4.3, 4.6 1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine os pontos cr´ıticos, classifique-os como ma´ximos ou mı´nimos locais, quando for o caso, e determine os intervalos onde f e´ cres- cente e decrescente. (a) f(x) = x+ 3 x2 (b) f(x) = 3x2 + 4x 1 + x2 (c) f(x) = x2 − x+ 1 2(x− 1) (d) f(x) = e −x − e−2x (e) f(x) = x3 − 12x− 5 (f) f(x) = (x2 − 3)ex (g) f(x) = x √ 8− x2 (h) f(x) = x2/3(x2 − 4) (i) f(x) = x− ln x (j) f(x) = x ln x (k) f(x) = x1/3(x− 4) (l) f(x) = x+ sen(x), x ∈ (0, 2pi) 2) Mostre que a func¸a˜o f(x) = (ln x)/x tem um ma´ximo absoluto em x = e. Usando agora o fato de que f(e) > f(pi) e que a func¸a˜o x 7→ ex e´ crescente, conclua que pie < epi. 3) Mostre que p(x) = x3 − 3x2 + 6 tem exatamente uma raiz real. 4) Mostre que x+ 1 x ≥ 2 para todo x > 0. 5) A concentrac¸a˜o de certa substaˆncia qu´ımica no fluxo sangu´ıneo t horas apo´s ele ter sido injetado e´ dada por C(t) = (3t)/(54 + t3). Determine o instante em que a concentrac¸a˜o e´ ma´xima. 6) Entre todas as latas cil´ındricas de volume 1 litro, raio da base r e altura h, qual a que tem menor a´rea superficial. 7) Suponha que ao completar t anos, 0 ≤ t ≤ 5, a massa aproximada de um animal seja dada em kg pela expressa˜o m(t) = −2t3 + 9t2 + 400. Sabendo que pretende-se sacrificar o animal no momento em que este possuir a maior massa, determine com qual idade o animal deve ser abatido. 8) Um retaˆngulo deve ser inscrito em uma semicircunfereˆncia de raio 5 metros. Qual e´ a maior a´rea que o retaˆngulo pode ter e quais as suas dimenso˜es? Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 5 de 13 RESPOSTAS 1. (a) pontos cr´ıticos: x = 3 √ 6 (mı´nimo local) crescente em (−∞, 0) ∪ ( 3√6,+∞) decrescente em (0, 3 √ 6) (b) pontos cr´ıticos: x = −1/2 (mı´nimolocal); x = 2 (ma´ximo local) crescente em (−1/2, 2) decrescente em (−∞,−1/2) ∪ (2,+∞) (c) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local) crescente em (−∞, 0) ∪ (2,+∞) decrescente em (0, 1) ∪ (1, 2) (d) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local) crescente em (−∞, ln 2) decrescente em (ln 2,+∞) (e) pontos cr´ıticos: x = −2 (ma´ximo local); x = 2 (mı´nimo local) crescente em (−∞,−2) ∪ (2,+∞) decrescente em (−2, 2) (f) pontos cr´ıticos: x = −3 (ma´ximo local); x = 1 (mı´nimo local) crescente em (−∞,−3) ∪ (1,+∞) decrescente em (−3, 1) (g) pontos cr´ıticos: x = −2 (mı´nimo local); x = 2 (ma´ximo local) crescente em (−2, 2) decrescente em (−√8,−2) ∪ (2,√8) (h) pontos cr´ıticos: x = −1 e x = 1 (mı´nimos locais); x = 0 (ma´ximo local) crescente em (−1, 0) ∪ (1,+∞) decrescente em (−∞,−1) ∪ (0, 1) (i) pontos cr´ıticos: x = 1 (mı´nimo local) crescente em (1,+∞) decrescente em (0, 1) (j) pontos cr´ıticos: x = e (mı´nimo local) crescente em (e,+∞) decrescente em (0, 1) ∪ (1, e) (k) pontos cr´ıticos: x = 0 (na˜o e´ extremo local); x = 1 (mı´nimo local) crescente em (1,+∞) decrescente em (−∞, 1) (l) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local) crescente em (0, 2pi) decrescente em (nunca) 2. Estude os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o. 3. Calcule a func¸a˜o em cada ponto cr´ıtico, estude os intervalos de crescimento e decresci- mento e os limites no infinito. 4. Basta verificar que o ponto de mı´nimo absoluto da func¸a˜o x 7→ x+ (1/x) no intervalo (0,+∞) e´ x = 1. 5. A concentrac¸a˜o sera´ ma´xima apo´s 3 horas da injec¸a˜o 6. Aquela que tem raio igual a 3 √ 1/(2pi) Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 6 de 13 7. Treˆs anos. 8. A maior a´rea e´ de 25 metros e e´ dada por um retaˆngulo de lados 5 √ 2 e 5 √ 2/2 metros. Lista de Fixac¸a˜o da Semana 9 - Pa´gina 7 de 13 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 10 Temas abordados : Concavidade; Esboc¸o de gra´ficos; regra de L’Hopital Sec¸o˜es do livro: 4.4, 4.5 1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava para cima e para baixo, ass´ıntotas verticais e horizontais. Em seguida fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f . (a) f(x) = x+ 3 x (b) f(x) = x3 − 2 x (c) f(x) = 16− x2 (x− 2)2 (d) f(x) = e −x − e−2x (e) f(x) = xe−x (f) f(x) = x+ sen x, x ∈ (0, 2pi) (g) f(x) = e−x 2 (h) f(x) = x2 ln(x) 2) Calcule os limites abaixo. (a) lim x→−∞ x2ex (b) lim x→0 cos2 x− 1 x2 (c) lim x→0 ex − 1 x (d) lim x→0 ex − 1− x− x2 2 x2 (e) lim x→0 ln(x+ 1) x (f) lim x→0 ln(1 + x)− x− x2 2 − x3 6 x3 (g) lim x→0 (1− x) 1x (h) lim x→0 (cosx) 1 x 2 (i) lim x→+∞ ln x x (j) lim x→+∞ (x2 − 1)e−x2 (k) lim x→+∞ x2 + 3e3x e3x (l) lim x→+∞ ln(ln(x)) lnx (m) lim x→0+ x2 ln(x) (n) lim x→0 x arctan(x) Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 8 de 13 RESPOSTAS 1) (a) pontos cr´ıticos: x = −√3 (ma´ximo local); x = √3 (mı´nimo local) crescente em (−∞,−√3) ∪ (√3,+∞) decrescente em (−√3, 0) ∪ (0,√3) concavidade volta para cima em: (0,+∞) concavidade volta para baixo em: (−∞, 0) pontos de inflexa˜o: na˜o existem ass´ıntotas verticais: x = 0 ass´ıntotas horizontais: na˜o existem (b) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local) crescente em: (−1, 0) ∪ (0,+∞) decrescente em: (−∞,−1) concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞) concavidade volta para baixo em: (0, 21/3) pontos de inflexa˜o: x = 21/3 ass´ıntotas verticais: x = 0 ass´ıntotas horizontais: na˜o existem (c) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local) crescente em: (−∞, 2) ∪ (8,+∞) decrescente em: (2, 8) concavidade volta para cima em: (−∞, 2) ∪ (2, 11) concavidade volta para baixo em: (11,+∞) pontos de inflexa˜o: x = 11 ass´ıntotas verticais: x = 2 ass´ıntotas horizontais: y = −1 (d) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local) crescente em: (−∞, ln 2) decrescente em: (ln 2,+∞) concavidade volta para cima em: (ln 4,+∞) concavidade volta para baixo em: (−∞, ln 4) pontos de inflexa˜o: x = 2 ln 2 = ln 4 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: y = 0 (e) pontos cr´ıticos: x = 1 (ma´ximo local) crescente em: (−∞, 1) decrescente em: (1,+∞) concavidade volta para cima em: (2,+∞) concavidade volta para baixo em: (−∞, 2) pontos de inflexa˜o: x = 2 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: y = 0 (f) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local) crescente em: (0, 2pi) decrescente em: nunca concavidade volta para cima em: (pi, 2pi) concavidade volta para baixo em: (0, pi) pontos de inflexa˜o: x = pi ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: na˜o existem Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 9 de 13 (g) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local) crescente em: (−∞, 0) decrescente em: (0,+∞) concavidade volta para cima em: (−∞,−1/√2) ∪ (1/√2,+∞) concavidade volta para baixo em: (−1/√2, 1/√2) pontos de inflexa˜o: x = −1/√2 e x = 1/√2 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: y = 0 (h) pontos cr´ıticos: x = e−1/2 (mı´nimo local) crescente em: (e−1/2,+∞) decrescente em: (0, e−1/2) concavidade volta para cima em: (e−3/2,+∞) concavidade volta para baixo em: (0, e−3/2) pontos de inflexa˜o: x = e−3/2 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: na˜o existem 2) (a) 0 (b) −1 (c) 1 (d) 0 (e) 1 (f) na˜o existe (g) 1/e (h) 1/ √ e (i) 0 (j) 0 (k) 3 (l) 0 (m) 0 (n) 1 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 10 - Pa´gina 10 de 13 Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Lista de Fixac¸a˜o – Semana 11 Temas abordados : Diferenciais Sec¸o˜es do livro: 3.11 1) Para cada uma das func¸o˜es abaixo determine: pontos cr´ıticos, ma´ximos e mı´nimos locais, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexa˜o, intervalos onde f e´ coˆncava para cima e para baixo, ass´ıntotas verticais e horizontais. Em seguida fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f . (a) f(x) = x+ 3 x (b) f(x) = x3 − 2 x (c) f(x) = 16− x2 (x− 2)2 (d) f(x) = e −x − e−2x (e) f(x) = xe−x (f) f(x) = x+ sen x, x ∈ (0, 2pi) (g) f(x) = e−x 2 (h) f(x) = x2 ln(x) 2) Calcule os limites abaixo. (a) lim x→−∞ x2ex (b) lim x→0 cos2 x− 1 x2 (c) lim x→0 ex − 1 x (d) lim x→0 ex − 1− x− x2 2 x2 (e) lim x→0 ln(x+ 1) x (f) lim x→0 ln(1 + x)− x− x2 2 − x3 6 x3 (g) lim x→0 (1− x) 1x (h) lim x→0 (cosx) 1 x 2 (i) lim x→+∞ ln x x (j) lim x→+∞ (x2 − 1)e−x2 (k) lim x→+∞ x2 + 3e3x e3x (l) lim x→+∞ ln(ln(x)) lnx (m) lim x→0+ x2 ln(x) (n) lim x→0 x arctan(x) Lista de Fixac¸a˜o da Semana 11 - Pa´gina 11 de 13 RESPOSTAS 1) (a) pontos cr´ıticos: x = −√3 (ma´ximo local); x = √3 (mı´nimo local) crescente em (−∞,−√3) ∪ (√3,+∞) decrescente em (−√3, 0) ∪ (0,√3) concavidade volta para cima em: (0,+∞) concavidade volta para baixo em: (−∞, 0) pontos de inflexa˜o: na˜o existem ass´ıntotas verticais: x = 0 ass´ıntotas horizontais: na˜o existem (b) pontos cr´ıticos: x = −1 (mı´nimo local) crescente em: (−1, 0) ∪ (0,+∞) decrescente em: (−∞,−1) concavidade volta para cima em: (−∞, 0) ∪ (21/3,+∞) concavidade volta para baixo em: (0, 21/3) pontos de inflexa˜o: x = 21/3 ass´ıntotas verticais: x = 0 ass´ıntotas horizontais: na˜o existem (c) pontos cr´ıticos: x = 8 (mı´nimo local) crescente em: (−∞, 2) ∪ (8,+∞) decrescente em: (2, 8) concavidade volta para cima em: (−∞, 2) ∪ (2, 11) concavidade volta para baixo em: (11,+∞) pontos de inflexa˜o: x = 11 ass´ıntotas verticais: x = 2 ass´ıntotashorizontais: y = −1 (d) pontos cr´ıticos: x = ln 2 (ma´ximo local) crescente em: (−∞, ln 2) decrescente em: (ln 2,+∞) concavidade volta para cima em: (ln 4,+∞) concavidade volta para baixo em: (−∞, ln 4) pontos de inflexa˜o: x = 2 ln 2 = ln 4 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: y = 0 (e) pontos cr´ıticos: x = 1 (ma´ximo local) crescente em: (−∞, 1) decrescente em: (1,+∞) concavidade volta para cima em: (2,+∞) concavidade volta para baixo em: (−∞, 2) pontos de inflexa˜o: x = 2 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: y = 0 (f) pontos cr´ıticos: x = pi (na˜o e´ extremo local) crescente em: (0, 2pi) decrescente em: nunca concavidade volta para cima em: (pi, 2pi) concavidade volta para baixo em: (0, pi) pontos de inflexa˜o: x = pi ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: na˜o existem Lista de Fixac¸a˜o da Semana 11 - Pa´gina 12 de 13 (g) pontos cr´ıticos: x = 0 (ma´ximo local) crescente em: (−∞, 0) decrescente em: (0,+∞) concavidade volta para cima em: (−∞,−1/√2) ∪ (1/√2,+∞) concavidade volta para baixo em: (−1/√2, 1/√2) pontos de inflexa˜o: x = −1/√2 e x = 1/√2 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: y = 0 (h) pontos cr´ıticos: x = e−1/2 (mı´nimo local) crescente em: (e−1/2,+∞) decrescente em: (0, e−1/2) concavidade volta para cima em: (e−3/2,+∞) concavidade volta para baixo em: (0, e−3/2) pontos de inflexa˜o: x = e−3/2 ass´ıntotas verticais: na˜o existem ass´ıntotas horizontais: na˜o existem 2) (a) 0 (b) −1 (c) 1 (d) 0 (e) 1 (f) na˜o existe (g) 1/e (h) 1/ √ e (i) 0 (j) 0 (k) 3 (l) 0 (m) 0 (n) 1 Lista de Fixac¸a˜o da Semana 11 - Pa´gina 13 de 13
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