FISICA IV

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Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Introduc¸a˜o a` Mecaˆnica Quaˆntica
H. S. Du´met-Montoya
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Content
1 Espectros Cont´ınuos
2 Equac¸a˜o de Schro¨dinger
3 Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Espectros Cont´ınuos
Ate agora vimos observa´veis com espectros discretos de amplitudes
de probabilidades (autovalores).
Aˆ|αk〉 = λA,k|αk〉, k = 1, 2, . . . n,
onde n e´ a dimensionalidade.
Nos espectros cont´ınuos a dimensionalidade e´ infinita.
Generalizac¸a˜o das propriedades dos espectros discretos:
Aˆ|αk〉 = λA,k|αk〉, ξˆ|ξ′〉 = ξ′|ξ′〉,
onde ξˆ e´ um operador e ξ′ um nu´mero.
Substituic¸o˜es chaves
δij δ(ξ − ξ′)∑
i
 
∫ ∞
−∞
dξ′.
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Fazendo a Transic¸a˜o
Produto Interno: Entre dois autoestados
〈αk|αl〉 = δkl 〈ξ′′|ξ′〉 = δ(ξ′′ − ξ′).
〈αk|Aˆ|αl〉 = λA,lδkl 〈ξ′′|ξˆ|ξ′〉 = ξ′δ(ξ′′ − ξ′).
Relac¸a˜o de Clausura:∑
k
|αk〉〈αk| = 1 
∫ ∞
−∞
dξ′|ξ′〉〈ξ′| = 1.
Vetor de estado arbitra´rio:
|α〉 =
∑
k
|αk〉〈αk|α〉 |α〉 =
∫ ∞
−∞
dξ′|ξ′〉〈ξ′|α〉
Key Point: Projec¸a˜o do estado |α〉 no espac¸o |ξ〉:
Ψα(ξ
′) = 〈ξ′|α〉 (Func¸a˜o de onda no espac¸o ξ)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Fazendo a Transic¸a˜o
Propriedade das projec¸o˜es:
〈α|αk〉 = (〈αk|α〉)? 〈ξ′|α〉 = Ψα(ξ′)⇒ 〈α|ξ′〉 = Ψ?α(ξ′)
Probabilidade de ocorrer um estado:
〈α|α〉 =
∑
k
|〈αk|α〉|2 
∫ ∞
−∞
dξ′|〈ξ′|α〉|2 =
∫ ∞
−∞
dξ′Ψα(ξ
′)Ψ?α(ξ
′)
Ψα(ξ) e´ a amplitude de probabilidade do estado |α〉
encontrar-se no autoestado |ξ〉.
Produto Interno de dois estados: Discreto
〈β|α〉 =
∑
k
〈β|αk〉〈αk|α〉
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Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Fazendo a Transic¸a˜o
Propriedade das projec¸o˜es:
〈α|αk〉 = (〈αk|α〉)? 〈ξ′|α〉 = Ψα(ξ′)⇒ 〈α|ξ′〉 = Ψ?α(ξ′)
Probabilidade de ocorrer um estado:
〈α|α〉 =
∑
k
|〈αk|α〉|2 
∫ ∞
−∞
dξ′|〈ξ′|α〉|2 =
∫ ∞
−∞
dξ′Ψα(ξ
′)Ψ?α(ξ
′)
Ψα(ξ) e´ a amplitude de probabilidade do estado |α〉
encontrar-se no autoestado |ξ〉.
Produto Interno de dois estados: Cont´ınuo
〈β|α〉 =
∫ ∞
−∞
dξ′〈β|ξ′〉〈ξ′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dξ′Ψ?β(ξ
′)Ψα(ξ′)
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Fazendo a Transic¸a˜o
Observa´vel Aˆ no espac¸o |ξ〉: Aˆ atuando sobre o espac¸o |ξ〉
Aˆ|ξ′〉 = A(ξ′)|ξ′〉
Produto interno:
〈β|Aˆ|α〉 = 〈β|
(∫
dξ′′|ξ′′〉〈ξ′′|
)
|Aˆ|
(∫
dξ′|ξ′〉〈ξ′|
)
|α〉
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Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Fazendo a Transic¸a˜o
Observa´vel Aˆ no espac¸o |ξ〉: Aˆ atuando sobre o espac¸o |ξ〉
Aˆ|ξ′〉 = A(ξ′)|ξ′〉
Produto interno:
〈β|Aˆ|α〉 =
∫
dξ′′
∫
dξ′〈β|ξ′′〉 〈ξ′′|Aˆ|ξ′〉︸ ︷︷ ︸
A(ξ′)δ(ξ′′−ξ′)
〈ξ′|α〉
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Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Fazendo a Transic¸a˜o
Observa´vel Aˆ no espac¸o |ξ〉: Aˆ atuando sobre o espac¸o |ξ〉
Aˆ|ξ′〉 = A(ξ′)|ξ′〉
Produto interno:
〈β|Aˆ|α〉 =
∫
dξ′〈β|ξ′〉A(ξ′)〈ξ′|α〉
=
∫
dξ′Ψ?β(ξ
′)[A(ξ′)Ψα(ξ′)]
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Fazendo a Transic¸a˜o
Observa´vel Aˆ no espac¸o |ξ〉: Aˆ atuando sobre o espac¸o |ξ〉
Aˆ|ξ′〉 = A(ξ′)|ξ′〉
Produto interno:
〈β|Aˆ|α〉 =
∫
dξ′〈β|ξ′〉A(ξ′)〈ξ′|α〉
=
∫
dξ′Ψ?β(ξ
′)[A(ξ′)Ψα(ξ′)]
Valor Esperado: de um observa´vel Aˆ no estado |α〉 no espac¸o |ξ′〉
〈Aˆ〉α =
∫
dξ′Ψ?α(ξ
′)[A(ξ′)Ψα(ξ′)]
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Autoestados de Posic¸a˜o
As medic¸o˜es na Mecaˆnica Quaˆntica sa˜o basicamente Processos de
Filtragem
Autoestado de posic¸a˜o
satisfaz
xˆ|x′〉 = x′|x′〉,
onde [x′] = L
Detector Ideal observa a part´ıcula
quando esta´ em x′.
|α〉 Medindo Posic¸a˜o−−−−−−−−−−−−→ |x
′〉
Detector Real´ıstico observa a
part´ıcula num intervalo:
[x′ −∆x/2, x′ + ∆x/2]
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Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Autoestados de Posic¸a˜o
As medic¸o˜es na Mecaˆnica Quaˆntica sa˜o basicamente Processos de
Filtragem
Detector Ideal observa a part´ıcula
quando esta´ em x′.
|α〉 Medindo Posic¸a˜o−−−−−−−−−−−−→ |x
′〉
Detector Real´ıstico observa a
part´ıcula num intervalo:
[x′ −∆x/2, x′ + ∆x/2]
|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉〈x′|α〉 Medindo Posic¸a˜o−−−−−−−−−−−−→
∫ x′+∆x′/2
x′−∆x′/2
dx′|x′〉〈x′|α〉
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Autoestados da Posic¸a˜o
Amplitude de Probabilidade do Detector observar a part´ıcula
no intervalo
[x′ −∆x/2, x′ + ∆x/2]
e´
〈α|α〉 ⇒ |〈x′|α〉|2 = Ψ?α(x′)Ψα(x′)
E´ preciso analizar todas as possiveis configurac¸o˜es:
Probabilidade de observar a Part´ıcula em qualquer lugar
〈α|α〉 = 1 =
∫ ∞
−∞
dx′〈α|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′Ψ?α(x
′)Ψα(x′)
Estendendo a 3D, com medic¸a˜o simultaˆnea [xi, xj ] = 0.
Propomos |x′〉 = |x′, y′, z′〉
xˆ|x′〉 = x′|x′〉, yˆ|x′〉 = y′|x′〉, zˆ|x′〉 = z′|x′〉.
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Operador de Translac¸a˜o
Muda o estado |x′〉 para |x′ + dx′〉
T (dx′)|x′〉 = |x′ + dx′〉
Operador Unita´rio (conservac¸a˜o da probabilidade)
T †(dxˆ′)T (dxˆ′) = I
Translac¸o˜es Sucessivas
T (dxˆ′)T (dxˆ′′) = T (dxˆ′ + dxˆ′′)
Deslocamento Inverso
T (dxˆ′)T (−dxˆ′) = I ⇒ T (−dxˆ′) = T −1(dxˆ′)
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Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Operador de Translac¸a˜o
Muda o estado |x′〉 para |x′ + dx′〉
T (dx′)|x′〉 = |x′ + dx′〉 ⇒ T (dx′) = e−ikˆ · dxˆ
Operador Unita´rio (conservac¸a˜o da probabilidade)
T †(dxˆ′)T (dxˆ′) = I
Translac¸o˜es Sucessivas
T (dxˆ′)T (dxˆ′′) = T (dxˆ′ + dxˆ′′)
Deslocamento Inverso
T (dxˆ′)T (−dxˆ′) = I ⇒ T (−dxˆ′) = T −1(dxˆ′)
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Operador Translac¸a˜o
Operador de deslocamento infinitesimal
T (dx′) = e−ikˆ · dxˆ = 1− ikˆ ·dxˆ+ 1
2
(−ikˆ · dxˆ)2 + . . . (dxˆ)n ' 0.
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Operador Translac¸a˜o
Operador de deslocamento infinitesimal
T (dxˆ′) = 1− ikˆ · dxˆ
Calculando o comutador
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Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Operador Translac¸a˜o
Operador de deslocamento infinitesimal
T (dxˆ′) = 1− ikˆ · dxˆ
Calculando o comutador
[xˆ,T (dxˆ′)]|x′〉 = (xˆT (dxˆ′)−T (dxˆ′)xˆ)|x′〉
= xˆ|x′ + dx′〉 −T (dxˆ′)x′|x′〉
= (x′ + dx′)|x′ + dx′〉 − x′|x′ + dx′〉
= dx′|x′ + dx′〉 ' dx′|x′〉
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Operador Translac¸a˜o
Operador de deslocamento infinitesimal
T (dxˆ′) = 1− ikˆ · dxˆ
Calculando o comutador
[xˆ,T (dxˆ′)] = dx′
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Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o deSchro¨dinger
Operador Translac¸a˜o
Operador de deslocamento infinitesimal
T (dxˆ′) = 1− ikˆ · dxˆ
Calculando o comutador
[xˆ,T (dxˆ′)] = dx′
Em termos de xˆ = {xi} e kˆ = {ki} (i = 1, 2, 3)
[xˆ,T (dxˆ)] = −ixˆ(kˆ · dxˆ) + i(kˆ · dxˆ)xˆ = dxˆ,
escolhendo dxˆ = dxeˆj ⇒ kˆ · dxˆ = kjdx e multiplicando
escalarmente por eˆi
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Operador Translac¸a˜o
Operador de deslocamento infinitesimal
T (dxˆ′) = 1− ikˆ · dxˆ
Calculando o comutador
[xˆ,T (dxˆ′)] = dx′
Em termos de xˆ = {xi} e kˆ = {ki} (i = 1, 2, 3)
[xˆ,T (dxˆ)] = −i(xikj − kjxi) = eˆi · eˆj ⇒ [xˆ, kˆ] = iδij
xˆ e kˆ na˜o sa˜o observa´veis compat´ıveis. Significado F´ısico de
kˆ?
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Operador kˆ
Na Mecaˆnica Cla´ssica o momento linear ~p e´ um gerador de
translac¸o˜es.
Hipo´tese de Debroglie
k =
2pi
λ
=
1
~
~p ⇒ kˆ = 1
~
pˆ
Translac¸o˜es Sucessivas em direc¸o˜es diferentes comutam
[pˆx, pˆy] = 0 ⇒ [pˆi, pˆj ] = 0
Autoestados do momento |p〉 = |px, py, pz〉
pˆx|p〉 = px|p〉, pˆy|p〉 = py|p〉, pˆz|p〉 = pz|p〉
Propriedade Chave
〈p′|p′′〉 = δ(p′ − p′′)
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O Operador Momento
Comutador
[xˆ, kˆ] = iδij ⇒ [xˆ, pˆ] = i~δij
Relac¸a˜o de Incerteza
〈∆Aˆ〉2〈∆Bˆ〉2 ≥ 1
4
|〈[Aˆ, Bˆ]〉|2
Relac¸a˜o de Incerteza Momento-Posic¸a˜o: Escolhendo Aˆ = xˆ e
Bˆ = pˆ
〈∆xˆ〉2〈∆pˆ〉2 ≥ ~
2
4
Na˜o e possivel medir simultaneamente a posic¸a˜o e o momento
de uma part´ıcula.
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Operador Translac¸a˜o no Espac¸o das Projec¸o˜es
Operador Translac¸a˜o atuando sobre um vetor de estado
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′T (∆x′)|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′+∆x′〉〈x′|α〉
Propriedade da Integrac¸a˜o sobre todo o espac¸o
x′ + ∆x′ = x′ ⇒ x′ = x′ −∆x′
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Operador Translac¸a˜o no Espac¸o das Projec¸o˜es
Operador Translac¸a˜o atuando sobre um vetor de estado
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′T (∆x′)|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′+∆x′〉〈x′|α〉
Propriedade da Integrac¸a˜o sobre todo o espac¸o
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉〈x′ −∆x′|α〉
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Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Operador Translac¸a˜o no Espac¸o das Projec¸o˜es
Operador Translac¸a˜o atuando sobre um vetor de estado
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′T (∆x′)|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′+∆x′〉〈x′|α〉
Propriedade da Integrac¸a˜o sobre todo o espac¸o
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉〈x′ −∆x′|α〉
Projetando sobre um autoestado espec´ıfico |x〉
〈x|T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′ 〈x|x′〉︸ ︷︷ ︸
δ(x−x′)
〈x′ −∆x′|α〉 = 〈x−∆x|α〉
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Operador Translac¸a˜o no Espac¸o das Projec¸o˜es
Operador Translac¸a˜o atuando sobre um vetor de estado
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′T (∆x′)|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′+∆x′〉〈x′|α〉
Propriedade da Integrac¸a˜o sobre todo o espac¸o
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉〈x′ −∆x′|α〉
Projetando sobre um autoestado espec´ıfico |x〉
〈x|T (∆x′)|α〉 = 〈x−∆x|α〉
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Operador Translac¸a˜o no Espac¸o das Projec¸o˜es
Operador Translac¸a˜o atuando sobre um vetor de estado
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′T (∆x′)|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′+∆x′〉〈x′|α〉
Propriedade da Integrac¸a˜o sobre todo o espac¸o
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉〈x′ −∆x′|α〉
Projetando sobre um autoestado espec´ıfico |x〉
f(x−∆x) = f(x)−
(
∂f
∂x
)
∆x=0
∆x 〈x−∆x|α〉 = 〈x|α〉−
(
∂
∂x
〈x|α〉
)
∆x
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Operador Translac¸a˜o no Espac¸o das Projec¸o˜es
Operador Translac¸a˜o atuando sobre um vetor de estado
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′T (∆x′)|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′+∆x′〉〈x′|α〉
Propriedade da Integrac¸a˜o sobre todo o espac¸o
T (∆x′)|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉〈x′ −∆x′|α〉
Projetando sobre um autoestado espec´ıfico |x〉
〈x|T (∆x′)|α〉 = 〈x|α〉 −
(
∂
∂x
〈x|α〉
)
∆x
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Operador Momento no Espac¸o das Posic¸o˜es
Operador Translac¸a˜o (em termos do momento) atuando sobre
um vetor de estado
T (∆x′)|α〉 =
(
1− i
~
pˆx∆x
′
)
|α〉 = I1 − I2,
onde
I1 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉〈x′|α〉
e
I2 =
∫ ∞
−∞
dx′
(
i
~
pˆx
)
|x′〉〈x′|α〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉
(
i
~
px(x
′)
)
〈x′|α〉
Projetando sobre um estado arbitra´rio |x〉
〈x|T (∆x′)|α〉 = 〈x|α〉 − i
~
px(x)〈x|α〉∆x
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Operador Momento no Espac¸o das Posic¸o˜es
Igualando Resultados
〈x|T (∆x′)|α〉 = 〈x|α〉−
(
∂
∂x
〈x|α〉
)
∆x = 〈x|α〉− i
~
px(x)〈x|α〉∆x
Representac¸a˜o no espac¸o das posic¸o˜es
px(x) = −i~ ∂
∂x
⇒ p(x) = −i~∇
Observando que
p(x)〈x|α〉 = p(x)Ψα(x) = −i~∇Ψα(x).
Propriedade ([pˆn, pˆ] = 0)
〈x|pˆn|α〉 = (−i~)n∇n〈x|α〉 ⇒ pn(x)Ψα(x) = (−i~)n∇nΨα(x)
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Content
1 Espectros Cont´ınuos
2 Equac¸a˜o de Schro¨dinger
3 Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Postulados/Resumos
Func¸a˜o de Onda: Projec¸a˜o de um estado quaˆntico em um
espac¸o cont´ınuo
Ψα(ξ) = 〈ξ|α〉,
Por exemplo, espac¸o das posic¸o˜es |x〉 ou espac¸o dos
momentos |p〉
Ψα(x) = 〈x|α〉, Φα(p) = 〈p|α〉
Func¸a˜o de onda na˜o tem um sentido f´ısico, mas sim a
Amplitude de Probabilidade.
Amplitude de Probabilidade = Probabilidade de encontrar o
estado quaˆntico em um autoestado cont´ınuo espec´ıfico.
|Ψα(ξ)|2 = Ψ?α(ξ)Ψα(ξ)
Comportamenteo Ondulato´rio
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Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Ideia Genial
Princ´ıpio Fundamental da Dinaˆmica com o Movimento Ondulato´rio
Equac¸a˜o de Onda (Part´ıcula Livre)(
−∇2 + 1
c2
∂2
∂t2
)
Ψ(~r, t) = 0 E2 = c2p2
Associando
∇Ψ(~r, t) = i~kΨ(~r, t), ∂
∂t
Ψ(~r, t) = −iωΨ(~r, t)
Func¸a˜o Energia (Hamiltoniana) e´ um observa´vel
Mundo Cla´ssico Mundo Quaˆntico
H = Ek + V =
p2
2m
+ V = EM ⇒ Hˆ = pˆ
2
2m
+ Vˆ = i~
∂
∂t
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Ideia Genial
Princ´ıpio Fundamental da Dinaˆmica com o Movimento Ondulato´rio
Equac¸a˜o de Onda (Part´ıcula Livre)(
−∇2 + 1
c2
∂2
∂t2
)
Ψ(~r, t) = 0 E2 = c2p2
Associando
~∇Ψ(~r, t) = i ~~k︸︷︷︸
~p
Ψ(~r, t), ~
∂
∂t
Ψ(~r, t) = −i ~ω︸︷︷︸
E
Ψ(~r, t)
Func¸a˜o Energia (Hamiltoniana) e´ um observa´vel
Mundo Cla´ssico Mundo Quaˆntico
H = Ek + V =
p2
2m
+ V = EM ⇒ Hˆ = pˆ
2
2m
+ Vˆ = i~
∂
∂t
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Ideia Genial
Princ´ıpio Fundamental da Dinaˆmica com o Movimento Ondulato´rio
Equac¸a˜o de Onda (Part´ıculaLivre)(
−∇2 + 1
c2
∂2
∂t2
)
Ψ(~r, t) = 0 E2 = c2p2
Associando
~p = −i~∇; E = i~ ∂
∂t
Func¸a˜o Energia (Hamiltoniana) e´ um observa´vel
Mundo Cla´ssico Mundo Quaˆntico
H = Ek + V =
p2
2m
+ V = EM ⇒ Hˆ = pˆ
2
2m
+ Vˆ = i~
∂
∂t
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Ideia Genial
Princ´ıpio Fundamental da Dinaˆmica com o Movimento Ondulato´rio
Equac¸a˜o de Onda (Part´ıcula Livre)(
−∇2 + 1
c2
∂2
∂t2
)
Ψ(~r, t) = 0 E2 = c2p2
Associando
~p = −i~∇; E = i~ ∂
∂t
Func¸a˜o Energia (Hamiltoniana) e´ um observa´vel
Mundo Cla´ssico Mundo Quaˆntico
H = Ek + V =
p2
2m
+ V = EM ⇒ Hˆ = pˆ
2
2m
+ Vˆ = i~
∂
∂t
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o Fundamental da Mecaˆnica Quaˆntica
Hˆ|α, t〉 = i~ ∂
∂t
|α, t〉
Projetando no espac¸o das posic¸o˜es (Relac¸a˜o de Clausura)
Hˆ|α, t〉 =
∫ ∞
−∞
dx′Hˆ|x′〉〈x′|α, t〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉H(x′, t)Ψα(x′, t)
i~
∂
∂t
|α, t〉 = i~
∫ ∞
−∞
dx′
∂
∂t
|x′〉〈x′|α, t〉 =
∫ ∞
−∞
dx′|x′〉 ∂
∂t
Ψα(x
′, t)
Projetando sobre um autoestado espec´ıfico |x〉
〈x|Hˆ|α, t〉 = H(x, t)Ψα(x, t) = i~ ∂
∂t
Ψα(x, t)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Scro¨dinger no espac¸o das Posic¸o˜es
Em termos do momento linear e potencial
Hˆ|α, t〉 = pˆ
2
2m
|α, t〉+ Vˆ |α, t〉
Aplicando a relac¸a˜o de clausura + projec¸a˜o em autoestado
espec´ıfico
〈x|Hˆ|α, t〉 = 1
2m
〈x|pˆ2|α, t〉+ 〈x|Vˆ |α, t〉
Usando resultados anteriores Equac¸a˜o de Schro¨dinger
H(x, t)Ψα(x, t) = − ~
2
2m
∇2Ψα(x, t) + V (x, t)Ψα(x, t)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schro¨dinger e Interpretac¸a˜o Probabil´ıstica
Probabilidade de encontrar um estado quaˆntico requer∫ ∞
−∞
dxΨ?α(x, t)Ψα(x, t) = 1
Analizando variac¸a˜o temporal
∂
∂t
∫ ∞
−∞
dxΨ?α(x, t)Ψα(x, t) = 0
Efetuando a derivada parcial temporal∫ ∞
−∞
dx
(
∂
∂t
Ψ?α(x, t)
)
︸ ︷︷ ︸
i/~H(x,t)Ψ?α(x,t)
Ψα(x, t)+
∫ ∞
−∞
dxΨ?α(x, t)
(
∂
∂t
Ψα(x, t)
)
︸ ︷︷ ︸
−i/~H(x,t)Ψα(x,t)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schro¨dinger e Interpretac¸a˜o Probabil´ıstica
U´ltima expressa˜o fica
i
~
∫ ∞
−∞
dx [Ψα(x, t)H(x, t)Ψ
?
α(x, t)−Ψ?α(x, t)H(x, t)Ψα(x, t)]
Da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
H(x, t) = − ~
2
2m
∇2 + V (x, t)
Expressa˜o acima fica
− i~
2m
∫ ∞
−∞
dx
[
Ψα(x, t)∇2Ψ?α(x, t)−Ψ?α(x, t)∇2Ψα(x, t)
]
Segundo Teorema de Green e da Divergeˆncia∫
V
dx (F∇2G−G∇2F ) =
∮
S
dS (F∇G−G∇F ) =
∫
V
dx∇· [F∇G−G∇F ]
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schro¨dinger e Interpretac¸a˜o Probabil´ıstica
U´ltima expressa˜o fica
i
~
∫ ∞
−∞
dx [Ψα(x, t)H(x, t)Ψ
?
α(x, t)−Ψ?α(x, t)H(x, t)Ψα(x, t)]
Da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
H(x, t) = − ~
2
2m
∇2 + V (x, t)
Expressa˜o acima fica
− i~
2m
∫ ∞
−∞
dx
[
Ψα(x, t)∇2Ψ?α(x, t)−Ψ?α(x, t)∇2Ψα(x, t)
]
Identificando F = Ψα(x, t) = Ψα, G = Ψ
?
α(x, t) = Ψ
?
α
− i~
2m
∫ ∞
−∞
dx
[
Ψα∇2Ψ?α −Ψ?α∇2Ψα
]
= − i~
2m
∫ ∞
−∞
dx∇· [Ψα∇Ψ?α −Ψ?α∇Ψα]
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schro¨dinger e Interpretac¸a˜o Probabil´ıstica
Coletando os resultados
∂
∂
∫ ∞
−∞
dxΨαΨ
?
α = −
i~
2m
∫ ∞
−∞
dx∇ · (Ψα∇Ψ?α −Ψ?α∇Ψα) = 0
Colocando em evideˆncia∫ ∞
−∞
dx
[
∂
∂t
ΨαΨ
?
α +
~
2mi
∇ · (Ψ?α∇Ψα −Ψ∇Ψ?α)
]
= 0
Equac¸a˜o de Continuidade
∂
∂t
ΨαΨ
?
α +
~
2mi
∇ · (Ψ?α∇Ψα −Ψ∇Ψ?α) ≡
∂ρ
∂t
+∇ · ~J = 0
Densidade e Densidade de Corrente de Probabilidade
ρ(x, t) = |Ψα|2, ~J(x, t) = ~
2mi
(Ψ?α∇Ψα −Ψ∇Ψ?α)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Variac¸a˜o Temporal do Valor Esperado
Valor esperado de um observa´vel num estado |α〉
〈α, t|Aˆ|α, t〉 =
∫ ∞
−∞
dx〈α, t|Aˆ|x〉〈x|α, t〉 =
∫ ∞
−∞
dx〈α, t|x〉A(x, t)〈x|α, t〉
Em termos das func¸o˜es de onda
〈α|Aˆ|α〉 = 〈Aˆ〉 =
∫ ∞
−∞
dxΨ?α(x, t)A(x, t)Ψα(x, t)
Derivando temporalmente Ψα ≡ Ψα(x, t), A ≡ A(x, t)
d
dt
〈Aˆ〉 =
∫ ∞
−∞
dxΨ?α
(
∂A
∂t
)
Ψα +
∫ ∞
−∞
dx
[
∂Ψ?α
∂t
AΨα + Ψ
?
αA
∂Ψ?α
∂t
]
︸ ︷︷ ︸
1
i~
Ψ?α[A,H]Ψα
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Variac¸a˜o Temporal do Valor Esperado
Resultado Final
d
dt
〈Aˆ〉 =
〈
∂A
∂t
〉
+
1
i~
〈[Aˆ, Hˆ]〉
Se Aˆ na˜o tem dependeˆncia explicita do tempo
d
dt
〈Aˆ〉 = 1
i~
〈[Aˆ, Hˆ]〉
Se Aˆ = Hˆ
d
dt
〈Hˆ〉 = 0 (Conservac¸a˜o da Energia)
Se Aˆ = pˆ, Teorema de Ehrenfest
d
dt
〈pˆ〉 = 1
i~
〈[pˆ, Hˆ]〉 = −〈∇V (x)〉 (II Lei de Newton)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Content
1 Espectros Cont´ınuos
2 Equac¸a˜o de Schro¨dinger
3 Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
Equac¸a˜o Fundamental da Mecaˆnica Ondulato´ria
H(x, t)Ψα(x, t) = i~
∂
∂t
Ψα(x, t)
Se na˜o houver dependeˆncia explicita do tempo
Ψα(x, t) = ψα(x)φα(t)
Separac¸a˜o de Varia´veis:
H(x)ψα(x)φα(t) = i~ψα(x)
∂
∂t
φα(t) = Eαψα(x)φα(t)
Func¸a˜o de Onda
Ψα(x, t) = ψα(x)Cte
−iEα/~t; H(x)ψα = Eαψα(x).
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estacionaria
Equac¸a˜o Fundamental
H(x)ψα = − ~
2
2m
∇2ψα(x) + V (x)ψα(x) = Eαψα(x)
Soluc¸a˜o depende do Potencial V (x) adotado.
Soluc¸a˜o depende do Nivel de energia Eα, tipo
Eα ≤ V (x), Eα ≥ V (x)
Func¸a˜o de Onda Normalizada (Conservac¸a˜o da Probabilidade)∫ ∞
−∞
dxψα(x)ψ
?
α(x) = 1
Equac¸a˜o de Continuidade (nas Discontinuidades do Potencial)
ψα,I(x = x0) = ψα,II(x = x0); ∇ψα,I(x = x0) = ∇ψα,II(x = x0)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Alguns Potenciais Conhecidos
Part´ıcula Livre
V (x) = 0.
Degrau de Potencial
V (x) =
{
0, x ≤ 0;
V0, x ≥ 0
Poc¸o de Potencial Finito (Infinito)
V (x) =
{
0, −a/2 < x < a/2;
V0(∞), outras regio˜es
Oscilador Harmoˆnico
V (x) =
1
2
mω2x2
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Viso˜es Cla´ssica × Quaˆntica
Soluc¸a˜o depende do Nivel de energia Eα, tipo
Eα ≤ V (x), Eα ≥ V (x)
Cla´ssico Quaˆntico
Probabilidade de Atravesar a Barreira
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Tunelamento Quaˆntico
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Estrutura das Soluc¸o˜es com V (x)
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
− ~2
2m
d2ψ
dx2
+V (x)ψ = Eψ ⇒ d
2ψ
dx2
= −2m
~2
[E−V (x)]ψ = −k2ψ
Estrutura Geral das Soluc¸o˜es
ψ(x) deve existir e satisfazer a Eq. de Schro¨dinger.
ψ(x) e
dψ
dx
(x) devem ser cont´ınuas
ψ(x) e
dψ
dx
(x) devem ser finitas
ψ(x)→ 0 quando x→ ±∞ garantindo∫ ∞
−∞
ψ?(x)ψ(x)dx = 1.
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Estrutura das Soluc¸o˜es com V (x) constante
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
− ~
2
2m
d2ψ
dx2
+V (x)ψ = Eψ ⇒ d
2ψ
dx2
= −2m
~2
[E−V (x)]ψ = −k2ψ
Estrutura Geral das Soluc¸o˜es para E > V0
ψ(x) = A eikx +Be−ikx, k2 =
2m
~2
[E − V0]
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Estrutura das Soluc¸o˜es com V (x) constante
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
− ~
2
2m
d2ψ
dx2
+V (x)ψ = Eψ ⇒ d
2ψ
dx2
= −2m
~2
[E−V (x)]ψ = −k2ψ
Estrutura Geral das Soluc¸o˜es para E > V0
ψ(x) = A eikx +Be−ikx, k2 =
2m
~2
[E − V0]
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Estrutura das Soluc¸o˜es com V (x) constante
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
− ~
2
2m
d2ψ
dx2
+V (x)ψ = Eψ ⇒ d
2ψ
dx2
= −2m
~2
[E−V (x)]ψ = −k2ψ
Estrutura Geral das Soluc¸o˜es para E > V0
ψ(x) = A eikx +Be−ikx, k2 =
2m
~2
[E − V0]
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Estrutura das Soluc¸o˜es com V (x) constante
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
− ~
2
2m
d2ψ
dx2
+V (x)ψ = Eψ ⇒ d
2ψ
dx2
= −2m
~2
[E−V (x)]ψ = −k2ψ
Estrutura Geral das Soluc¸o˜es para E > V0
ψ(x) = A eikx +Be−ikx, k2 =
2m
~2
[E − V0]
A Amplitude da onda
Incidente:
~jin = (~k/m)|A |2
B Amplitude da onda
Refletida: ~jr = (~k/m)|B|2
A Amplitude da onda
Transmitida:
~jt = (~k/m)|A |2
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Estrutura das Soluc¸o˜es com V (x) constante
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
− ~
2
2m
d2ψ
dx2
+V (x)ψ = Eψ ⇒ d
2ψ
dx2
= −2m
~2
[E−V (x)]ψ = −k2ψ
Estrutura Geral das Soluc¸o˜es para E < V0
ψ(x) = C e−k˜x +Dek˜x, k˜2 =
2m
~2
[V0 − E]
C 6= 0,D 6= 0
C Amplitude da ”Onda
Evanescente”
D Amplitude da ”Onda
Amplificante”
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Estrutura das Soluc¸o˜es com V (x) constante
Equac¸a˜o de Schro¨dinger Estaciona´ria
− ~
2
2m
d2ψ
dx2
+V (x)ψ = Eψ ⇒ d
2ψ
dx2
= −2m
~2
[E−V (x)]ψ = −k2ψ
Estrutura Geral das Soluc¸o˜es para E < V0
ψ(x) = C e−k˜x +Dek˜x, k˜2 =
2m
~2
[V0 − E]
C 6= 0,D 6= 0 C 6= 0,D = 0
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Oscilador Harmoˆnico
Unidades Discretas de Energia como sendo Osciladores
Harmoˆnicos emitindo radiac¸a˜o
Potencial
Vˆ =
1
2
mω2xˆ2.
Pontos em que E = V : Pontos
Cla´ssicos de Retorno
Para E pro´ximo do Mı´nimo de V :
Pequenas Oscilac¸o˜es
Hamiltoniana: Hˆ = Eˆk + Vˆ
Hˆ =
1
2m
pˆ2 +
1
2
mω2xˆ2 ⇒ Hˆ|αn〉 = En|αn〉
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
OHS: Me´todo Alge´brico
Equac¸a˜o de Autovalores
Hˆ =
1
2m
pˆ2 +
1
2
mω2xˆ2 ⇒ Hˆ|αn〉 = En|αn〉
Definem-se os operadores Na˜o-Hermitianos:
aˆ† =
√
mω
2~
(
xˆ− ipˆ
mω
)
, aˆ =
√
mω
2~
(
xˆ+
ipˆ
mω
)
Operador Nu´mero:
Nˆ = aˆ†aˆ =
mω2
2~ω
[
xˆ2 +
pˆ2
m2ω2
+
i
mω
(xˆpˆ− pˆxˆ)
]
=
mω2
2~ω
(
xˆ2 +
pˆ2
m2ω2
)
+
mω
2~
i
~ω
[xˆ, pˆ]︸ ︷︷ ︸
i~
=
Hˆ
~ω
− 1
2
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
OHS: Me´todo Alge´brico
Equac¸a˜o de Autovalores
Hˆ =
1
2m
pˆ2 +
1
2
mω2xˆ2 ⇒ Hˆ|αn〉 = En|αn〉
Definem-se os operadores Na˜o-Hermitianos:
aˆ† =
√
mω
2~
(
xˆ− ipˆ
mω
)
, aˆ =
√
mω
2~
(
xˆ+
ipˆ
mω
)
Operador Nu´mero:
Nˆ =
Hˆ
~ω
− 1
2
, Nˆ |n〉 = n|n〉, 〈m|n〉 = δmn
Hamiltoniana: [Hˆ, Nˆ ] = 0
Hˆ = ~ω
(
Nˆ +
1
2
)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
OHS: Me´todo Alge´brico
Equac¸a˜o de Autovalores
Hˆ =
1
2m
pˆ2 +
1
2
mω2xˆ2 ⇒ Hˆ|αn〉 = En|αn〉
Definem-se os operadores Na˜o-Hermitianos:
aˆ† =
√
mω
2~
(
xˆ− ipˆ
mω
)
, aˆ =
√
mω
2~
(
xˆ+
ipˆ
mω
)
Operador Nu´mero:
Nˆ =
Hˆ
~ω
− 1
2
, Nˆ |n〉 = n|n〉, 〈m|n〉 = δmn
Autoestados de Energia: Autoestado de Nˆ , |n〉 e´ um autoestado de Hˆ.
Hˆ|n〉 = En|n〉 = ~ω
(
Nˆ +
1
2
)
|n〉 ⇒ En = ~ω
(
n+
1
2
)
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Significado F´ısico de aˆ† e aˆ
Relac¸a˜o de Comutac¸a˜o: Usando [xˆ, pˆ] = i~
[aˆ, aˆ†] = aˆaˆ† − aˆ†aˆ = 1
Propriedade dos Comutadores:
[BˆCˆ, Aˆ] = [Bˆ, Aˆ]Cˆ + Bˆ[Cˆ, Aˆ]
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Significado F´ısico de aˆ† e aˆ
Relac¸a˜o de Comutac¸a˜o: Usando [xˆ, pˆ] = i~
[aˆ, aˆ†] = aˆaˆ† − aˆ†aˆ = 1
Dois comutadores chaves:
[Nˆ , aˆ] = −aˆ, [Nˆ , aˆ†] = aˆ†
Significado de aˆ:
[Nˆ , aˆ]|n〉 = Nˆ aˆ|n〉−aˆNˆ |n〉 = −aˆ|n〉 ⇒ Nˆ aˆ|n〉︸︷︷︸
|n′〉
= (n− 1)︸ ︷︷ ︸
n′
aˆ|n〉︸︷︷︸
|n′〉
De onde podemos observar que
aˆ|n〉 ∝ |n− 1〉 ⇒ aˆ|n〉 = √n|n− 1〉
Significado F´ısico de aˆ†:
[Nˆ , aˆ†]|n〉 = Nˆ aˆ†|n〉−aˆ†Nˆ |n〉 = aˆ†|n〉 ⇒ Nˆ aˆ†|n〉 = (n+1)aˆ†|n〉
De onde podemos observar que
aˆ|n〉 ∝ |n+ 1〉 ⇒ aˆ|n〉 = √n+ 1|n+ 1〉
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Significado F´ısico de aˆ† e aˆ
Operador aˆ: Transic¸a˜o entre autoestados
de maior a menor Energia
aˆ|n〉 = √n|n− 1〉,
i.e., aniquila um Estado
Quaˆntico.
Operador aˆ†: Transic¸a˜o entre autoestados
de menor a maior Energia
aˆ†|n〉 = √n+ 1|n+ 1〉,
i.e., cria um Estado Quaˆntico.
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Construc¸a˜o dos Autoestados de Energia
Conhecendo somente o autoestado fundamental |n〉 = |0〉
podemos construir os outros autoestados para |n′〉?
Operac¸a˜o chave:
aˆ†|n〉 = √n+ 1|n〉
Primeiro estado excitado
|1〉 = aˆ†|0〉
Segundo estado excitado
aˆ†|1〉 =
√
2|2〉 ⇒ |2〉 = 1√
2
aˆ†|1〉 = 1√
2 · 1(aˆ
†)2|0〉
Terceiro estado excitado
aˆ†|2〉 =
√
3|3〉 ⇒ |3〉 = 1√
3
aˆ†|2〉 = 1√
3 · 2 · 1 = 3!(aˆ
†)3|0〉
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Construc¸a˜o dos Autoestados de Energia
Conhecendo somente o autoestado fundamental |n〉 = |0〉
podemos construir os outros autoestados para |n′〉?
Primeiro estado excitado
|1〉 = aˆ†|0〉
Segundo estado excitado
aˆ†|1〉 =
√
2|2〉 ⇒ |2〉 = 1√
2
aˆ†|1〉 = 1√
2 · 1(aˆ
†)2|0〉
Terceiro estado excitado
aˆ†|2〉 =
√
3|3〉 ⇒ |3〉 = 1√
3
aˆ†|2〉 = 1√
3 · 2 · 1 = 3!(aˆ
†)3|0〉
n-essimo estado
|n〉 = 1√
n
aˆ†|n− 1〉 = 1√
n!
(aˆ†)n|0〉
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Func¸o˜es de Onda do Oscilador HarmoˆnicoConhecer somente o autoestado fundamental |n〉 = |0〉 permite
construir as outras func¸o˜es de onda.
aˆ|n〉 = √n|n− 1〉 ⇒ aˆ|0〉 = 0.
Definindo
x20 =
~
mω
⇒ x0 =
√
~
mω
Projetando aˆ|0〉 no espac¸o das posic¸o˜es
〈x|aˆ|0〉 = 1
x0
(
〈x|xˆ|0〉+ ix
2
0
~
〈x|pˆ|0〉
)
= 0
=
[
xψ0(x) + x
2
0
d
dx
ψ0(x)
]
= 0
Resolvendo a equac¸a˜o diferencial . . .
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Func¸o˜es de Onda do Oscilador Harmoˆnico
Soluc¸a˜o da EDO
ψ0(x) = 〈x|0〉 = C0e−1/2(x/x0)2 = C0e−ξ2/2, ξ = x/x0
onde C0 e´ a constante de normalizac¸a˜o.
Propriedade
ψ0(x) = ψ0(−x) (Func¸a˜o Par)
Constante de normalizac¸a˜o encontra-se a partir de∫ ∞
−∞
ψ?0(x)ψ0(x)dx = 2|C0|2
∫ ∞
0
e−(x/x0)
2
dx = 1
Formula de Integrac¸a˜o∫ ∞
0
e−a
2x2dx =
√
pi
2a
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Func¸o˜es de Onda do Oscilador Harmoˆnico
Soluc¸a˜o da EDO
ψ0(x) = 〈x|0〉 = C0e−1/2(x/x0)2 = C0e−ξ2/2, ξ = x/x0
onde C0 e´ a constante de normalizac¸a˜o.
Propriedade
ψ0(x) = ψ0(−x) (Func¸a˜o Par)
Constante de normalizac¸a˜o encontra-se a partir de∫ ∞
−∞
ψ?0(x)ψ0(x)dx = 2|C0|2
∫ ∞
0
e−(x/x0)
2
dx = 1
Resolvendo o problema
2|C0|2
∫ ∞
0
e−(x/x0)
2
dx = 2|C0|2
√
pix0
2
= 1⇒ C0 = 1
pi1/4
√
x0
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Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Construindo o Primeiro Estado Excitado
Aplicando o operador de criac¸a˜o
|1〉 = aˆ†|0〉
Projetando no espac¸o das posic¸o˜es
〈x|1〉 = 1√
2x0
〈x|
(
xˆ− ix
2
0
~
pˆ
)
|0〉 = 1√
2
(
ξψ0(x)− x0 d
dx
ψ0(x)
)
Efetuando as operac¸o˜es correspondentes
〈x|1〉 = 1√
2x0
2xψ0(x) =
1√
2
[2ξ]ψ0(x) =
1
pi1/4
√
2x0
[2ξ]e−ξ
2/2
No geral, para o n-essimo estado
〈x|n〉 =
(
1
pi1/4
√
2nx0n!
)(
ξ − x0 d
dx
)n
e−ξ
2/2
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Valores Esperados de Observa´veis
No caso do Oscilador Harmoˆnico, temos um espectro
cont´ınuo, pelo que
〈Aˆ〉 =
∫ ∞
−∞
ψ?n(x)A(x)ψxdx,
onde ψn(x) e´ a func¸a˜o de onda associado ao autoestado de
Energia.
As integrais das func¸o˜es de onda sa˜o dispendiosas.
Calculo mais simplificado, considerar os autoestados (e na˜o as
func¸o˜es de onda)
〈Aˆ〉 = 〈n|Aˆ|n〉
Dica: Expressar os operadores em func¸a˜o de aˆ e aˆ†, i.e,
xˆ = xˆ(aˆ, aˆ†), pˆ = pˆ(aˆ, aˆ†)
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Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Valores Esperados de Observa´veis
No caso do Oscilador Harmoˆnico, temos um espectro
cont´ınuo, pelo que
〈Aˆ〉 =
∫ ∞
−∞
ψ?n(x)A(x)ψxdx,
onde ψn(x) e´ a func¸a˜o de onda associado ao autoestado de
Energia.
As integrais das func¸o˜es de onda sa˜o dispendiosas.
Calculo mais simplificado, considerar os autoestados (e na˜o as
func¸o˜es de onda)
〈Aˆ〉 = 〈n|Aˆ|n〉
Dica: Expressar os operadores em func¸a˜o de aˆ e aˆ†, i.e,
xˆ =
√
~
2mω
(
aˆ+ aˆ†
)
, pˆ = i
√
m~ω
2
(
aˆ† − aˆ
)
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Valores Esperados de Observa´veis
No caso do Oscilador Harmoˆnico, temos um espectro
cont´ınuo, pelo que
〈Aˆ〉 =
∫ ∞
−∞
ψ?n(x)A(x)ψxdx,
onde ψn(x) e´ a func¸a˜o de onda associado ao autoestado de
Energia.
As integrais das func¸o˜es de onda sa˜o dispendiosas.
Calculo mais simplificado, considerar os autoestados (e na˜o as
func¸o˜es de onda)
〈Aˆ〉 = 〈n|Aˆ|n〉
Dica: Expressar os operadores em func¸a˜o de aˆ e aˆ†, i.e,
xˆ =
x0√
2
(
aˆ+ aˆ†
)
, pˆ = i~
1
x0
√
2
(
aˆ† − aˆ
)
=
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Valores Esperados de Observa´veis
Posic¸a˜o
〈xˆ〉 = x0√
2
(
〈n|aˆ|n〉+ 〈n|aˆ†|n〉
)
=
x0√
2
(√
n〈n|n− 1〉+√n+ 1〈n|n+ 1〉) = 0
Momento
〈pˆ〉 = i~
x0
√
2
(
〈n|(aˆ† − aˆ)|n〉
)
=
i~
x0
√
2
(√
n+ 1〈n|n+ 1〉 − √n〈n|n− 1〉) = 0
Posic¸a˜o ao quadrado
〈x2〉 = x
2
0
2
〈n|(aˆ+ aˆ†)2|n〉 = x20
(
n+
1
2
)
Momento ao quadrado
〈p2〉 = − ~
2
2x0
〈n|(aˆ† − aˆ)2|n〉 = ~
x20
(
n+
1
2
)
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
OHS no espac¸o das Posic¸o˜es
Projetando a Eq.S. no espac¸o das posic¸o˜es
〈x|Hˆ|n〉 = − ~
2
2m
d2
dx2
ψn(x) +
1
2
mω2x2ψn(x) = Enψn(x)
Mudanc¸a de Varia´vel
ξ =
x
x0
, x0 =
√
~
mω
, ⇒ d
2
dx2
=
(
dξ
dx
)2
d2
dξ2
=
1
x20
d2
dξ2
Eq.S. equivalente
− ~
2
2m
ψ′′n(x)+
1
2
mω2x2ψn(x)−Enψn(x) = −ψ′′n(ξ)+ξ2ψn(ξ)−2~En~ω ψn(x)
Soluc¸o˜es para x→∞ (ξ2 � Kn)
ψn(ξ) = Ae
−ξ2/2+Beξ
2/2 ⇒ ψn(ξ) = Ae−ξ2/2 ≡ Ag(ξ)e−ξ2/2
F´ısica IV
Espectros Cont´ınuos
Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
OHS no espac¸o das Posic¸o˜es
Ansatz para a Func¸a˜o de Onda
ψn(ξ) = Ang(ξ)e
−ξ2/2
Primeira Derivada
ψ′n(ξ) = An[g
′(ξ)− ξg(ξ)]e−ξ2/2
Segunda derivada
ψ′′n(ξ) = An[g
′′(ξ)− 2ξg(ξ)− (ξ2 − 1)g(ξ)]e−ξ2/2
Substituindo na Eq. S
g′′(ξ)− 2ξg′(ξ) +
(
2En
~ω − 1
)
g(ξ) ≡ H ′′n(ξ)− 2ξH ′(ξ) + 2nHn(ξ) = 0
Func¸a˜o de Onda (Hn: Polinoˆmio de Hermite)
ψn(x) =
(mω
pi~
)1/4 1√
2nn!
Hn(ξ)e
−ξ2/2; En = ~ω
(
n+
1
2
)
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Polinoˆmios de Hermite
Func¸o˜es de Onda
ψn(x) = CnHn(ξ)e
−ξ2/2
H0(ξ) = 1
H1(ξ) = 2ξ
H2(ξ) = 4ξ
2 − 2
H3(ξ) = 8ξ
3 − 12ξ
dHn
dy
= 2nHn−1, Hn+1 = 2yHn − 2nHn−1.
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Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Soluc¸o˜es Estaciona´rias da Equac¸a˜o de Schro¨dinger
Equac¸a˜o de Schrodinger para Potenciais Centrais
A Eq.S. para estes sistemas e´ da forma
− ~
2
2m
∇2ψn(~r) + V (r)ψn(~r) = Enψn(~r)
Oscilador Harmoˆnico Tridimensional
V (~r) =
1
2
mω2(x2 + y2 + z2)
Potencial Coulombiano
V (~r) = − 1
4piε0
Ze2√
x2 + y2 + z2
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