MATEMÁTICA DISCRETA AULA 3

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MATEMÁTICA COMPUTACIONAL
3a aula
		
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Há 4 estradas diferentes entre as cidades A e B; 3 estradas diferentes entre as cidades B e C e 2 estradas diferentes entre as cidades A e C. De quantas maneiras diferentes podemos: (I) ir de A até C e voltar. (II) ir de A até C, passando pelo menos uma vez por B?
		
	
	(I) 16 e (II) 7
	
	(I) 148 e (II) 14
	
	(I) 18 e (II) 7
	 
	(I) 196 e (II) 12
	
	(I) 98 e (II) 14
	
Explicação:
Usando o princípio multiplicativo calculamos os agrupamentos dos trechos: 
I) Possibilidades de cada percurso em um único sentido :
AC = CA  =  2 dado ...  ABC = CBA = AB e BC  =  4 x 3 = 12 .
 AC  e CA = 2 x 2  = 4 
AC e CBA = 2 x 12 = 24
ABC e CBA  = 12 x 12  = 144
ABC e  CA = 12 x 2  = 24 
A união dessas possibilidades resulta  a sua  soma : 4 + 24 + 144 +24 = 196 possibilidades de ida e vola  entre  A e C .
II) Possibilidades para o percurso de ida   ABC :
Como já calculado acima  : AB e BC = 4 x 3 =12.
	
	 
	Ref.: 201706032940
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	As maneiras que podemos dar dois prêmios a uma classe de 10 alunos, de modo que (I): os prêmios não sejam dados a uma mesma pessoa, (II) é permitido dar ambos os prêmios a uma mesma pessoa são, respectivamente:
		
	
	20 e 10
	
	100 e 90
	
	10 e 20
	 
	90 e 100
	
	180 e 200
	
Explicação:
i)  Arranjo de 10 pesoas , tomadas  2 a 2  : A(10,2)  =  10! / (10-2)! = 10x9x8! /8! = 10 x 9 = 90 possibilidades
ii) Arranjo de 10 pessoas , tomadas 2 a 2  , com possibilidade de  repetição : A (10,2) = 102 = 100 possibilidades. 
	
	 
	Ref.: 201706032655
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calcule o valor da expressão  
(n + 2)! / (n + 1)!
 
 
e assinale a alternativa CORRETA:  
		
	
	n
	
	n - 2
	
	n + 1
	
	n - 1
	 
	n + 2
	
Explicação:
Observe que (n + 2)! = (n+2) . (n+1) . n . (n -1 ) ...   até 1 ,  que pode ser esccrito como (n +2) .(n+1) ! 
Portanto , substituindo,  a expressão dada fica :     (n+2) .(n+1 !  / (n +1)!    que simplificando  =  n+2 .
	
	 
	Ref.: 201706032670
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Um bit é definido como um dos algarismos: 0 ou 1 . É correto afirmar que o total de sequências com nove bits é um número
		
	
	exatamente igual a 500
	
	inferior a 200
	
	superior a 600
	
	entre 200 e 400
	 
	entre 500 e 600
	
Explicação:
O total de sequências com nove bits são todas as possibilidades de cada um dos 9  bits valer zero ou um .  São 9 posições com 2 possibilidades cada.
Pelo princípio da multiplicação o total de possibilidades é o produto das possibilidades = 2 x 2 x 2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 = 2 9  = 512 possibilidades de sequências diferentes de 9 bits.
	
	 
	Ref.: 201706032673
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Com 6 rapazes e 6 moças, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar, tendo em cada uma dela 2 rapazes e 3 moças?
		
	
	185
	
	90
	
	1080
	 
	300
	
	60
	
Explicação:
Possibilidades de 2 rapazes  ( a ordem não é impostatnte) ; combinação de 6 tomados 2 a 2 :
C(6,2) = 6! / (2! .(6-2)! )     =  6x5x 4! / 2 x 4! =  30 / 2  = 15 
Possibilidades de 3 moças  ( a ordem não é impostatnte) ; combinação de 6 tomadas 3 a 3 :
C(6,3) = 6! / (3! .(6-3! )     =  6x5x4 x3! / 3x2 x 3! =  120 / 6  = 20.
Pelo princípio da multiplicação as possibilidades totais são : 15 x 20  = 300 .
	
	 
	Ref.: 201706032944
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Quantos anagramas formados pelas letras da palavra BRASIL em que a letra B ocupa a primeira posição, ou a letra R ocupa a segunda posição, ou a letra L ocupa a sexta posição?
		
	
	264
	
	290
	 
	284
	 
	294
	
	296
	
Explicação:
B = conjunto de permutações com B na 1ªposição  
R = conjunto de permutações com R na 2ª posição
 L= conjunto de permutações com L na 6ª posição
Deve-se  calcular o número de elementos da união  B U R U L .
n(B) = n(R) = n(L) = nº de permutações de 5 letras ,mantendo uma  fixa  = 5! = 5x4x3x2x1 = 120
Entretanto o total não é a soma pois há anagramas que são comuns a 2 ou aos 3 conjuntos (pertencem à essas interseções de conjuntos).  Por exemplo: BRASLI  pertence a B e R , BARSIL  pertence a B e L  , ARBSIL pertence a R e L e BRASIL  pertence a B , R e L .
n(B ∩ R) =  n(B ∩ L) = n(R ∩ L) = nº de permutações de 4 letras , mantendo duas fixas  = 4! = 4x3x2x1 = 24.
n(B ∩ R ∩ L) = nº de permutações de 3 letras , mantendo três fixas  = 3! = 3x2x1 = 6.
A total de elementos da união de 3 conjuntos pode ser calculada pela expresão:
n(B U R U L) = n(B) + n(R) + n(L) - n(B ∩ R)  - n(B ∩ L - n(R ∩ L) +  n(B ∩ R ∩ L)   
Neste caso o total de elementos da união com os cálculos acima  fica :
 3 x 120 - 3 x24 + 6 =  360 -72 + 6 = 294 anagramas
	
	 
	Ref.: 201706032616
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Em uma cidade, os números de telefone têm 7 digitos. Quantos números de telefones podem ser formados, considerando os digitos de 0 a 9?
		
	
	104
	
	105
	 
	107
	
	106
	
	103
	
Explicação:
Arranjo com repetição de 10 elementos tomados 7 a 7 Total =107
	
	 
	Ref.: 201706032918
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Qual o número máximo de códigos que podem ser criados, sabendo que os códigos possui 1 letra (o alfabeto tem 26 letras) e 1 algarismo?
		
	
	46
	
	10
	 
	260
	
	26
	
	2600
	
Explicação:
São possíveis 26 letras numa posição e 10 algarismos na outra posição.
Então pelo princípio multiplicativo são  26 x 10 possibilidases = 260.