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Flambagem de Colunas 842 Resolução: Steven Róger Duarte 13.1 – PROBLEMAS 13.1. Determine a carga de flambagem crítica para a coluna. Podemos considerar que o material é rígido. Figura 13.1 ∑ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ቀ ቁ ; 13.2. A coluna é composta por um elemento estrutural rígido preso por um pino na base e acoplado a uma mola no topo. Se a mola não estiver esticada quando a coluna estiver em posição vertical, determine a carga crítica que pode ser aplicada à coluna. Figura 13.2 ∑ ; ሺ ሻሺ ሻ Flambagem de Colunas 843 Resolução: Steven Róger Duarte 13.3. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 4 m e está presa por pinos em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. Figura 13.3 Presa por pinos em ambas as extremidades: k = 1 = 184.166,667 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 22.720,65 N = 20,66 MPa < (OK!) *13.4. Resolva o Problema 13.3 se a coluna for engastada na base e presa por pinos no topo. Figura 13.4 Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 = 184.166,667 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 46.368,676 N = 42,15 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 844 Resolução: Steven Róger Duarte 13.5. Uma barra quadrada é feita de plástico PVC com módulo de elasticidade E = 9 GPa e deformação por escoamanto . Determine as dimensões a de sua menor seção transversal, de modo que não falhe por flambagem elástica. As extremidades da barra estão presas por pinos e seu comprimento é 1.250 mm. Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻሺ ሻ ; ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 0,0047374a4 13.6. A haste é feita de aço A-36. Determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro da haste que suportará a carga P = 25 kN sem flambagem. As extremidades estão apoiadas sem roletes. Figura 13.6 Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 125,28 MPa < (OK!) Logo, 13.7. A haste é feita de aço com 25 mm de diâmetro. Determine a carga crítica de flambagem, se as extremidades estiverem apoiadas em roletes. Eaço = 200 GPa, Figura 13.7 Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 151.397,83 N = 308,42 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 845 Resolução: Steven Róger Duarte *13.8. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 5 m e está engastada em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. Figura 13.8 Engastada em ambas as extremidades: k = 0,5 = 861.666,667 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 272.137,89 N = 104,67 MPa < (OK!) 13.9. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 4,5 m e está presa por pinos em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. Figura 13.9 Extremidades preas por pinos: k = 1 ቀ ቁ = 16.021.600 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 1.561.746,667 N = 236,63 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 846 Resolução: Steven Róger Duarte 13.10. O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 e usado como uma coluna de 4,5 m de comprimento. Se considerarmos que suas extremidades estão apoiadas por pinos e que ela é submetida a uma carga axial de 500 kN, determine o fator de segurança em relação à flambagem. Figura 13.10 ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 2.164.002,12 N = 252,8 MPa > (Não OK!) = 4,28 13.11. O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 e usado como coluna de 4,5 m de comprimento. Se as extremidades da coluna estiverem engastadas, a coluna pode suportar a carga crítica sem escoamanto? Figura 13.11 Flambagem de Colunas 847 Resolução: Steven Róger Duarte ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 8.656.008,49 N = 8.656 kN = 1.011,2 MPa > (Não OK!) A coluna não suportará a carga. *13.12. Determine a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo, de modo que a haste de controle de aço A-36 AB não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 30 mm e está presa por pinos nas extremidades. Figura 13.12 Extremidades presas por pinos: k = 1 ∑ ; ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 96.894,6 N = 137,1 MPa < (OK!) ; Flambagem de Colunas 848 Resolução: Steven Róger Duarte 13.13. Os dois perfis em U de aço devem ser interligados para formar uma coluna da ponte de 9 m de comprimento que consideramos estar acoplada por pinos nas extremidades. Cada perfil em U tem área de seção transversal A = 1.950 mm² e momentos de inércia ሺ ሻ , ሺ ሻ . A figura mostra a localização do centroide C de sua área. Determine a distância adequada d entre os centroides dos perfis em U, de modo que ocorra flambagem em torno dos eixos devido à mesma carga. Qual é o valor dessa carga crítica? Despreze o efeito da interligação. Eaço = 200 GPa, Figura 13.13 Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ > 2 x 30 = 60 mm (OK!) ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.052.757,8 N = 269,9 MPa < (OK!) ; 13.14. O elemento estrutural W200 x 100 é usado como uma coluna de aço estrutural A-36. Podemos considerar que a base dessa coluna está engastada e que o topo está preso por um pino. Determine a maior força axial P que pode ser aplicada sem provoca flambagem. Figura 13.14 Flambagem de Colunas 849 Resolução: Steven Róger Duarte ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 2.621.152,07 N = 206,4 MPa < (OK!) 13.15. Resolva o Problema 13.14 considerando que a coluna está engastada na base, mas livre no topo. Figura 13.15 ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺሻ = 321.091,13 N = 25,28 MPa < (OK!) *13.16. Uma coluna de aço tem comprimento de 9 m e está engastada em ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. Eaço = 200 GPa, Figura 13.16 ቀ ቁ ቀ ቁ = 13.345.833,333 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 1.300.919,46 N = 236,53 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 850 Resolução: Steven Róger Duarte 13.17. Resolva o Problema 13.16, se a coluna estiver presa por pinos no topo e na base. Figura 13.17 Extremidades presas por pinos: k = 1 ቀ ቁ ቀ ቁ = 13.345.833,333 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 325.229,86 N = 59,13 MPa < (OK!) 13.18. A coluna de tubo de aço A-36 de 3,6 m tem diâmetro externo de 75 mm e espessura de 6 mm. Determine a carga critica, se considerarmos que suas extremidades estão acopladas por pinos. Figura 13.18 Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ = 118.783,102 N ሺ ሻ = 91,33 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 851 Resolução: Steven Róger Duarte 13.19. A coluna de tubo de aço A-36 de 3,6 m tem diâmetro externo de 75 mm e espessura de 6 mm. Determine a carga crítica, se a base estiver engastada e o topo preso por pinos. Figura 13.19 Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ = 242.414,5 N ሺ ሻ = 186,38 MPa < (OK!) *13.20. A coluna retangular de madeira de 3 m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga crítica, se considerarmos que as extremidades estão acopladas por pinos. Em = 12 GPa, Figura 13.20 Extremidades acopladas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 13.707,78 N = 2,74 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 852 Resolução: Steven Róger Duarte 13.21. A coluna de 3 m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga crítica se a base for engastada e o topo estiver preso por pinos. Em = 12 GPa, . Figura 13.21 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 27.975,07 N = 5,59 MPa < (OK!) 13.22. Consideramos que o elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural BD for uma haste de aço A-36 de raio 50 mm, determine a carga máxima P que pode ser suportada pela treliça sem provocar flambagem no elemento estrutural. Figura 13.22 ∑ ሺ ሻ ; [1] ∑ ሺ ሻ ; [2] ; substituido na equação [1], temos: Flambagem de Colunas 853 Resolução: Steven Róger Duarte ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 605.591,33 N ; = 77,1 MPa < (OK!) 13.23. Resolva o Problema 13.22 no caso de um elemento estrutural AB com raio de 50 mm. Figura 13.23 ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 387.578,45 N ; = 49,35 MPa < (OK!) *13.24. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma delas tem seção transversal circular com diâmetro de 40 mm. Determine a força máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem em nenhum dos elementos estruturais. As extremidades dos elementos estruturais estão acopladas por pinos. Figura 13.24 Flambagem de Colunas 854 Resolução: Steven Róger Duarte ∑ ; ሺ ሻ ∑ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ Como os elementos estruturais AB e BC estão sofrendo compressão, logo: ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 43.064,27 N ; = 34,27 MPa < (OK!) ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 110.244,54 N ; = 87,73 MPa < (OK!) 13.25. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma delas tem seção transversal circular. Se a carga aplicada for P = 50 kN, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro do elemento estrutural AB que impedirá que esse elemento estrutural sofra flambagem. As extremidades dos elementos estruturais estão apoiadas por pinos. Figura 13.5 Extremidades apoiadas por pinos: k =1 Flambagem de Colunas 855 Resolução: Steven Róger Duarte ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 41,92 MPa < (OK!) ; 13.26. As extremidades do elo de aço ferramenta L-2 de uma máquina de forjar estão acopladas aos garfos por pinos, como mostra a figura. Determine a carga máxima P que ele pode suportar sem sofrer flambagem. Use um fator de segurança FS = 1,75 para flambagem. Observe que, no lado esquerdo da figura, as extremidades estão presas por pino, ao passo que no lado direito, elas estão engastadas. Figura 13.26 Lado esquerdo: ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 255.820,14 N = 592,18 MPa < (OK!) ; = 146,18 kN Lado direito: ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 113.697,84 N = 263,19 MPa < (OK!) ; = 64,97 kN Flambagem de Colunas 856 Resolução: Steven Róger Duarte 13.27. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Determine, com aproximação de múltiplo de 5 mm, o diâmetro de cada haste que suportará uma carga P = 30 kN. Considere que as extremidades das hastes estão acopladas por pinos. Use fator de segurança de 1,8 para flambagem. Figura 13.27 ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ [1] ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ √ [2] Igualando a equação [1] com a equação [2], obtemos: , logo: √ √ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 6,54 MPa < (OK!) ;ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 11,18 MPa < (OK!) ; *13.28. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Se cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga que o mecanismo pode suportar sem provocar flambagem em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das hastes estão acopladas por pinos. Figura 13.28 Flambagem de Colunas 857 Resolução: Steven Róger Duarte ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ [1] ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ √ [2] Igualando a equação [1] com a equação [2], obtemos: , logo: √ √ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 1,90 MPa < (OK!) ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 2,86 MPa < (OK!) 13.29. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 50 mm e espessura de 12 mm. Se for mantido no lugar por um cabo de ancoragem, determine a maior força vertical P que pode ser aplicada sem provocar flambagem no tubo. Considere que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. Figura 13.29 ∑ ; ( ሺ ሻ൯ሺ ሻ ; ሺ ሻ √ ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ √ √ ሺ ሻ = 22,20 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 858 Resolução: Steven Róger Duarte 13.30. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 55 mm. Se for mantido no lugar por um cabo de ancoragem, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro interno exigido para que ele possa suportar uma carga vertical máxima P = 20 kN sem provocar flambagem no tubo. Considere que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. Figura 13.30 ∑ ; ( ሺ ሻ൯ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ ሺ ሻ = 30,95 MPa < (OK!) 13.31. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro de cada haste que suportará uma carga de 4,5 kN. Considere que as extremidades das hastes estejam acopladas por pinos. Use fator de segurança FS = 1,8 para flambagem. Figura 13.31 Flambagem de Colunas 859 Resolução: Steven Róger Duarte ቀ ቁ = 2,7 kN ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 3,87 MPa < (OK!) ቀ ቁ = 3,6 kN ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 5,05 MPa < (OK!) *13.32. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção transversal circular. Se cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga que o mecanismo pode suportar sem provocar flambagem em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das hastes estejam conectadas por pinos. Figura 13.32 ቀ ቁ = 0,6P ; ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 1,37 MPa < (OK!) ቀ ቁ = 0,8P ; ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 2,44 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 860 Resolução: Steven Róger Duarte 13.33. Considere que as extremidades da barra de aço AB da estrutura estejam acopladas por pinos para flambagem no eixo y-y. Se P = 18 kN, determine o fator de segurança para flambagem em torno do eixo y- y devido à carga aplicada. Eaço = 200 GPa, . Figura 13.33 ∑ ; ሺ ሻሺ ሻ ; ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 57.115,764 N = 11,42 MPa < (OK!) ; = 2,38 13.34. Determine a carga máxima P que a estrutura pode suportar sem provocar flambagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estão presas por pinos para flambagem no eixo y-y e engastadas em ambas as extremidades para flambagem no eixo x-x. Eaço = 200 GPa, . Figura 13.34 ∑ ; ሺ ሻሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,333P Flambagem de Colunas 861 Resolução: Steven Róger Duarte = 11,43 MPa < (OK!) ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,333P = 182,77 MPa < (OK!) 13.35. Determine a força P que pode ser aplicada ao cabo de modo que a haste de controle BC de aço A- 36 não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 25 mm. Figura 13.35 ∑ ሺ ሻ ; [1] ∑ ሺ ሻ ; [2] ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ [3] ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሺ ሻሻ ሺ ሺ ሻ [4] Solucionando as equações [1], [2], [3] e [4], obtemos: , sendo assim: ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 1,98P = 120,48 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 862 Resolução: Steven Róger Duarte 13.36. Determine a carga máxima P que pode ser aplicada ao elemento estrutural BC sem provocar flambagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estejam presas por pinos para flambagem no eixo x-x e engastadas para flambagem no eixo y-y. Use um fator de segurança FS = 3 para flambagem. Eaço = 200 GPa, Figura 13.36 ሺ ሻሺ ሻ Flambagem no eixo x-x: extremidades presas por pinos (k = 1) ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 37,01 MPa < (OK!) Flambagem no eixo y-y: extremidades engastadas (k = 0,5) ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 65,80 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 863 Resolução: Steven Róger Duarte 13.37. Determine se a estrutura pode suportar uma cargaP = 20 kN, se o fator de segurança para flambagem do elemento estrutural AB for FS = 3. Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estão presas por pinos para flambagem no eixo x-x e engastadas para flambagem no eixo y- y. Eaço = 200 GPa, . Figura 13.37 Flambagem no eixo x-x: extremidades presas por pinos (k = 1) ; ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 22.206,61 N = 22,21 kN < 30 kN (Não OK!) Flambagem no eixo y-y: extremidades engastadas (k = 0,5) ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 39.478,42 N = 39,48 kN > 30 kN (OK!) = 65,80 MPa < (OK!) = 2,21 < 3 (Não OK!) A estrutura não pode suportar a carga com o F.S. exigido. Flambagem de Colunas 864 Resolução: Steven Róger Duarte 13.38. Determine a carga máxima P que pode ser aplicada ao elemento estrutural BC sem provocar flambagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estejam presas por pinos para flambagem no eixo x-x e engastadas para flambagem no eixo y-y. Use um fator de segurança FS = 3 para flambagem. Eaço = 200 GPa, Figura 13.38 ሺ ሻሺ ሻ Flambagem no eixo x-x: extremidades presas por pinos (k = 1) ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 37,01 MPa < (OK!) Flambagem no eixo y-y: extremidades engastadas (k = 0,5) ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 65,80 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 865 Resolução: Steven Róger Duarte *13.39. Considere que os elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos. Se o elemento estrutural AG for uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm, determine o maior valor da carga P que pode ser suportada pela treliça sem provocar flambagem naquele elemento estrutural. Figura 13.39 ∑ ; ; ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 1,667P = 12,34 MPa < (OK!) 13.40. Determine a carga máxima distribuída que pode ser aplicada à viga de abas largas, de modo que a haste CD não sofra flambagem. A braçadeira é uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm. Figura 13.40 Flambagem de Colunas 866 Resolução: Steven Róger Duarte ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 4w = 19,28 MPa < (OK!) 13.41. A haste de bronze C86100 de 500 mm de diâmetro está engastada em A e afastada de 2 mm da parede em B. Determine o aumento de temperatura que provocará a flambagem da haste. Considere que o contato em B age como um pino. Figura 13.41 Uma extremidade presa por pino e a outra engastada: k = 0,7 ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 324,2 MPa < (OK!) Flambagem de Colunas 867 Resolução: Steven Róger Duarte 13.42. Considere uma coluna ideal como a da Figura 13.12c, com ambas as extremidades engastadas. Mostre que a carga crítica sobre a coluna é dada por . Dica: Devido à deflexão vertical do topo da coluna, um momento constante será desenvolvido nos apoios. Mostre que ሺ ሻ . A solução é da forma (√ ൯ (√ ൯ . ሺ ሻ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ ቈ ቆ√ ቇ ; √ ቆ√ ቇ ቈ√ ቀ ቁ √ ቀ ቁ *13.43. Considere uma coluna ideal como a da Figura 13.12d, com uma extremidade engastada e a outra presa por pinos. Mostre que a carga crítica sobre a coluna é dada por . Dica: devido à deflexão vertical no topo da coluna, um momento constante será desenvolvido no apoio engastado e forças horizontais de reação serão desenvolvidas em ambos os apoios. Mostre que ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ A solução é da forma (√ ൯ (√ ൯ ሺ ሻሺ ሻ. Após a aplicação das condições de contorno, mostre que (√ ൯ √ . Resolva por tentativa e erro para a menor raiz. Flambagem de Colunas 868 Resolução: Steven Róger Duarte ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ሺ ሻ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ √ √ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ሺ ሻ ; ቈ√ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ሺ ሻ ቆ√ ቇ √ √ 13.44. A coluna está apoiada em B e esse apoio não permite rotação, mas sim deflexão vertical. Determine a carga crítica . EI é constante. Figura 13.44 ሺ ሻ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ ; √ ቆ√ ቇ √ ቀ ቁ Flambagem de Colunas 869 Resolução: Steven Róger Duarte 13.45. A coluna ideal está sujeita à força F em seu ponto médio e à carga axial P. Determine o momento máximo da coluna no meio do vão. EI é constante. Dica: Defina a equação diferencial para deflexão (Equação 13.1). A solução geral é , onde , . Figura 13.45 ∑ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ Equação da curva elástica: ቈ√ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ቈ√ ቆ√ ቇ ቀ ቁ √ ቆ√ ቇ Flambagem de Colunas 870 Resolução: Steven Róger Duarte 13.46. A coluna ideal tem peso w (força/comprimento) e permanece na posição horizontal quando sujeita a uma carga axial P. Determine o momento máximo no ponto médio do vão da coluna. EI é constante. Dica: defina a equação diferencial para deflexão (Equação 13.1), com a origem no ponto médio do vão. A solução geral é ሺ ሺ ሻሻ ሺ ሺ ሻሻ ሺ ሻ onde Figura 13.46 ∑ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ Equaçãoda curva elástica: ቈ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ቈ ቆ√ ቇ ቂ ቀ ቁቃ ቈ ቆ√ ቇ Flambagem de Colunas 871 Resolução: Steven Róger Duarte 13.2 – PROBLEMAS *13.47. Determine a carga P necessária para provocar a falha por flambagem ou por escoamento da coluna W200 x 22 de aço A-36 engastada na base e livre no topo. Figura 13.47 Engastada na base e livre no topo: k = 2 ( ൯ Flambagem no eixo y-y: ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 121.656,582 N = 121,66 kN = 42,54 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 83,624 mm ; = 103 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 162,4876 MPa < (OK!) > 121,66 kN Logo: P = 121,66 kN Flambagem de Colunas 872 Resolução: Steven Róger Duarte 13.48. Considere que a coluna de madeira está engastada na base e presa por pinos no topo. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem ou escoamento da coluna. Figura 13.48 Engastada na base e presa por pinos no topo; k = 0,7 Flambagem no eixo y-y: ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 7.504,68 N = 7,50 kN = 2,24 MPa < (OK!) Escoamanto no eixo x-x: √ √ = 25,403 mm ; = 44 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 6,57 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ > 7,50 kN Logo: P = 7,50 kN Flambagem de Colunas 873 Resolução: Steven Róger Duarte 13.49. A coluna de madeira está engastada na base e no topo. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada no topo sem provocar flambagem ou escoamento da coluna. Figura 13.49 Engastada na base e no topo: k = 0,5 Flambagem no eixo y-y: ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 14.709,17 N = 14,71 kN = 4,40 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 25,403 mm ; = 44 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 9,822 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ > 14,71 kN Logo: P = 14,71 kN Flambagem de Colunas 874 Resolução: Steven Róger Duarte 13.50. A coluna de madeira tem seção transversal quadrada de dimensões 100 mm por 100 mm. Está engastada na base e livre no topo. Determine a carga P que pode ser aplicada na borda da coluna sem provocar falha por flambagem ou escoamento. Figura 13.50 Engastada na base e livre no topo: k = 2 Flambagem no eixo y-y: ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 61.685,03 N = 61,7 kN = 6,17 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 28,867 mm ; = 50 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 3,137 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ > 61,7 kN Logo: P = 31,4 kN Flambagem de Colunas 875 Resolução: Steven Róger Duarte *13.51. A coluna W200 x 71 de aço estrutural A-36 está engastada na base e livre no topo. Se for submetida à carga excêntrica de 375 kN, determine o fator de segurança para início de flambagem ou escoamento. Figura 13.51 Engastada na base e livre no topo: k = 2 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 967.160,31 N = 967,16 kN = 106,28 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 91,75 mm ; = 108 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 58,466 MPa < (OK!) < 967,16 kN Logo: P = 532,04 kN, sendo assim: = 1,42 Flambagem de Colunas 876 Resolução: Steven Róger Duarte 13.52. A coluna W200 x 71 de aço estrutural A-36 está engastada na base e presa por pinos no topo. Se for submetida à carga excêntrica de 375 kN, determine se ela falha por escoamento. A coluna está escorada de modo a não sofrer flambagem em torno do eixo y-y. Figura 13.52 Engastado na base e preso por pinos no topo: k = 0,7 Escoamento no eixo x-x: ( ൯ √ √ = 91,75 mm ; = 108 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ ሺ ሻ (OK!) A coluna não falha por escoamento 13.53. A haste de bronze está engastada em uma extremidade e livre na outra. Se for aplicada a carga excêntrica P = 200 kN, determine o maior comprimento admissível L da haste de modo que não sofra flambagem ou escoamento. Figura 13.53 Engastada em uma extremidade e livre na outra: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ Flambagem de Colunas 877 Resolução: Steven Róger Duarte = 25,46 MPa < (OK!) √ √ = 25 mm ; c = 50 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ሺ ሻ Solucionando a equação triconométrica, obtemos: L = 1,7064 m ; Logo: L = 1,71 m 13.54. A haste de bronze está engastada em uma extremidade e livre na outra. Se seu comprimento for L = 2 m, determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada de modo que ela não sofra flambagem ou escoamento. Calcule também a maior deflexão lateral da haste devido à carga. Figura 13.54 Engastada em uma extremidade e livre na outra: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 305.823,63 N = 305,82 kN = 38,94 MPa < (OK!) √ √ = 25 mm ; c = 50 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 22,1162MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ < 305,82 kN Logo: P = 174 kN ቈ ቆ√ ቇ [ (√ ሺ ሻቀ ቁ ቀ ቁ൱ ] = 16,5 mm Flambagem de Colunas 878 Resolução: Steven Róger Duarte *13.55. Uma coluna W310 x 39 de aço estrutural A-36 está engastada nas extremidades e tem comprimento L = 6,9 m. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou escoamento. Compare esse valor com uma carga axial crítica P’ aplicada no centroide da coluna. Figura 13.55 Engastada nas extremidades: k = 0,5 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.199.029,445 N = 1.199,03 kN = 243,21 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 131,15 mm ; = 155 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 103,539 MPa < (OK!) < 1.199,03 kN Logo: P = 510,4 kN Flambagem de Colunas 879 Resolução: Steven Róger Duarte 13.56. Uma coluna W360 x 45 de aço estrututral A-36 está engastada nas extremidades e tem comprimento L = 6,9 m. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou escoamento. Compare esse valor com uma carga axial crítica P’ aplicada no centroide da coluna. Figura 13.56 Engastada nas extremidades: k = 0,5 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.353.261,45 N = 1.353,26 kN = 237 MPa > (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 145,57 mm ; = 176 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 108,922 MPa < (OK!) < 1.353,26 kN Logo: P = 621,94 kN Flambagem de Colunas 880 Resolução: Steven Róger Duarte 13.57. Resolva o Problema 13.56, se a coluna estiver engastada na base e livre no topo. Figura 13.57 Engastada na base e livre no topo: k = 2 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 84.578,84 N = 84,58 kN = 14,81 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 145,57 mm ; = 176 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 79,80 MPa < (OK!) > 84,58 kN Logo: P = 84,58 kN Flambagem de Colunas 881 Resolução: Steven Róger Duarte 13.58. A coluna de madeira está engastada na base e podemos considerar que está acoplada por pinos no topo. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem ou escoamento. Figura 13.58 Engastada na base e acoplada por pinos no topo: k = 0,7 Flambagem no eixo x-x: ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 559.501,38 N = 559,5 kN = 22,38 MPa < (OK!) Escoamento no eixo y-y: √ √ = 72,169 mm ; = 125 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 12,803 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ < 559,5 kN Logo: P = 320,08 kN Flambagem de Colunas 882 Resolução: Steven Róger Duarte *13.59. A coluna de madeira está engastada nas extremidades. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem ou escoamento. Figura 13.59 Engastada nas extremidades: k = 0,5 Flambagem no eixo x-x: ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 1.096.622,7 N = 1.096,62 kN = 43,86 MPa < (OK!) Escoamento no eixo y-y: √ √ = 72,169 mm ; = 125 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 13,3653 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ < 1.096,62 kN Logo: P = 334,13 kN Flambagem de Colunas 883 Resolução: Steven Róger Duarte 13.60. A coluna de alumínio tem a seção transversal mostrada na Figura. Se estiver engastada na base e livre no topo, determine a força máxima P que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou escoamento. Use um fator de segurança 3 para flambagem e escoamento. Figura 13.60 Engastada na base e livre no topo: k = 2 Flambagem no eixo y-y: ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ = 116,29 mm ; = 3.425.833,333 mm4 ቂ ሺ ሻሺ ሻ ቃ ቂ ሺ ሻሺ ሻ ቃ = 7.780.672,043 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 23.668,134 N = 7.889,38 N = 7,89 kN = 7,63 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 50,1 mm ; = 43,71 mm ; ሺ ሻ ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 14,715 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ = 15.205,5 N = 15,2 kN > 7,89 kN Logo: P = 7,89 kN Flambagem de Colunas 884 Resolução: Steven Róger Duarte 13.61. Um elemento estrutural W250 x 22 de aço A-36 é usado como uma coluna fixa acoplada. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que a coluna não sofra flambagem ou escoamento. Compare esse valor com uma carga axial crítica P’ aplicada no centroide da coluna. Figura 13.61 Extremidades engastadas: k = 0,5 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 171.248,6 N = 171,25 kN = 60,09 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 100,525 mm ; = 127 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇUtilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 68,117 MPa < (OK!) > 171,25 kN Logo: P = 171,25 kN Flambagem de Colunas 885 Resolução: Steven Róger Duarte 13.62. Resolva o Problema 13.61, se a coluna estiver acoplada por pinos em ambas as extremidades. Figura 13.62 Acopladas por pinos em ambas as extremidades: k = 1 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 42.812,15 N = 42,81 kN = 15,02 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 100,525 mm ; = 127 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 60,23 MPa < (OK!) > 42,81 kN Logo: P = 42,81 kN Flambagem de Colunas 886 Resolução: Steven Róger Duarte *13.63. Resolva o Problema 13.61, se a coluna estiver engastada na base e presa por pinos no topo. Figura 13.63 Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 87.371,74 N = 87,37 kN = 30,66 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 100,525 mm ; = 127 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 65,402 MPa < (OK!) > 87,37 kN Logo: P = 87,37 kN Flambagem de Colunas 887 Resolução: Steven Róger Duarte 13.64. Determine a carga P necessária para provocar a falha por flambagem ou escoamento na coluna W310 x 74 de aço estrutural A-36. A coluna está engastada na base e ancorada por cabos no topo que agem como pinos para mantê-la no lugar. Figura 13.64 Engastada na base e ancorada por cabos no topo: k = 0,7 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.675.818,54 N = 1.675,82 kN = 176,77 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 131,93 mm ; = 155 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 163,6 MPa < (OK!) < 1.675,82 kN Logo: P = 1.551 kN Flambagem de Colunas 888 Resolução: Steven Róger Duarte *13.65. Resolva o Problema 13.64, se a coluna for uma seção W310 x 24. Figura 13.65 Engastada na base e ancorada por cabos no topo: k = 0,7 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 83.074,76 N = 83,07 kN = 27,33 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 118,655 mm ; = 152,5 mm ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 150,65 MPa < (OK!) > 83,07 kN Logo: P = 83,07 kN Flambagem de Colunas 889 Resolução: Steven Róger Duarte 13.66. A coluna W360 x 79 de aço estrutural A-36 está engastada na base e livre no topo. Se P = 375 kN, determine a deflexão lateral no topo e a tensão máxima na coluna. Figura 13.66 Engastada na base e livre no topo: k = 2 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 394.784,18 N = 394,8 kN > 375 kN (OK!) = 39,09 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 149,92 mm ; = 177 mm ; [ (√ ൰ ] [ (√ ሺ ሻሺ ሻ ቀ ቁ൱ ] = 34,85 mm ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ሺ ሻሺ ሻቇ = 120,4 MPa (OK!) Flambagem de Colunas 890 Resolução: Steven Róger Duarte 13.67. A coluna W360 x 79 de aço está engastada na base e livre no topo. Determine a carga excêntrica máxima P que ela pode suportar sem sofrer flambagem ou escoamento. Figura 13.67 Engastada na base e livre no topo: k = 2 Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 394.784,18 N = 394,78 kN = 39,09 MPa < (OK!) Escoamento no eixo x-x: √ √ = 149,92 mm ; = 177 mm ; ቈ ቆ √ ቇ [ ( √ ሺ ሻ ൰] Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: = 92,313 MPa < (OK!) > 394,78 kN Logo: P = 394,78 kN Flambagem de Colunas 891 Resolução: Steven Róger Duarte 13.68. A haste de alumínio está engastada na base e livre no topo. Se for aplicada a carga excêntrica P = 200 kN, determine o maior comprimento admissível L da haste de modo que ela não sofra flambagem ou escoamento. Figura 13.68 Engastada na base e livre no topo: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 200 x 103 L = 8.352,5 mm = 8,35 m = 6,37 MPa < (OK!) √ √ = 50 mm ; ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ሺ ሻ ሺ ሻ = 8,34 m Flambagem de Colunas 892 Resolução: Steven Róger Duarte 13.69. A haste de alumínio está engastada na base e livre no topo. Se seu comprimento for L = 2 m, determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada de modo que a haste não sofra flambagem ou escoamento. Determine também a maior deflexão lateral da haste devido à carga. Figura 13.69 Engastada na base e livre no topo: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 3.488.206,13 N = 3,50 MN = 111,03 MPa < (OK!) √ √ = 50 mm ; ; ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ቇ Simplificando a equação, temos: ቈ ቆ √ ቇ Utilizando um programa computacional, obtemoscomo solução: = 101,84 MPa < (OK!) ሺ ሻ < 3,50 MN ; Logo: P = 3,20 MN ቈ ቆ√ ቇ [ ൮√ ሺ ሻቀ ቁ ቀ ቁ൲ ] = 70,5 mm Flambagem de Colunas 893 Resolução: Steven Róger Duarte 13.70. A coluna de aço suporta as duas cargas excêntricas. Se considerarmos que ela está presa por pinos no topo, engastada na base e totalmente escorada contra flambagem em torno do eixo y-y, determine a deflexão máxima da coluna e a tensão máxima na coluna. Figura 13.70 Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 ቀ ቁ = 6,9 x 106 mm4 ቀ ቁ = 841.666,667 mm4 ሺ ሻ Escoamento no eixo x-x: √ √ = 47,958 mm ; ; = 64,44 mm [ (√ ൰ ] [ (√ ሺ ሻሺ ሻ ቀ ቁ൱ ] = 24,3 mm ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ሺ ሻሺ ሻቇ = 199 MPa (OK!) Flambagem de Colunas 894 Resolução: Steven Róger Duarte *1371. A coluna de aço suporta as duas cargas excêntricas. Se considerarmos que está engastada no topo e na base e totalmente escorada contra flambagem em torno do eixo y-y, determine a deflexão máxima da coluna e a tensão máxima na coluna. Figura 13.71 Engastada no topo e na base: k = 0,5 ቀ ቁ = 6,9 x 106 mm4 ቀ ቁ = 841.666,667 mm4 ሺ ሻ Escoamento no eixo x-x: √ √ = 47,958 mm ; ; = 64,44 mm [ (√ ൰ ] [ (√ ሺ ሻሺ ሻ ቀ ቁ൱ ] = 10,77 mm = 10,8 mm ቈ ቆ √ ቇ ቈ ቆ √ ሺ ሻሺ ሻቇ = 178 MPa (OK!) Flambagem de Colunas 895 Resolução: Steven Róger Duarte 13.72. A coluna de comprimento intermediário sofre flambagem quando a resistência à compressão é de 280 MPa. Se o índice de esbeltez for 60, determine o módulo tangente. Índice de esbeltez: = 60 ሺ ሻ ሺ ሻ 13.73. Construa a curva de flambagem, P/A em relação a L/r, para uma coluna cuja curva tensão- deformação é bilinear sob compressão, como mostra a figura. Figura 13.73 = 45,5 GPa ; ሺ ሻ( ൯ = 11,67 GPa ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 70,25 ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 35,57 Flambagem de Colunas 896 Resolução: Steven Róger Duarte *13.74. Construa a curva de flambagem, P/A em relação a L/r, para uma coluna cuja curva tensão- deformação bilinear sob compressão como mostra a figura. Figura 13.74 = 175 GPa ; ሺ ሻ( ൯ = 43,75 GPa ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 99,35 ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 49,67 Flambagem de Colunas 897 Resolução: Steven Róger Duarte *13.75. Construa a curva de flambagem , P/A em relação a L/r, para uma coluna cuja curva tensão- deformação é bilinear sob compressão como mostra a figura. A coluna está presa por pinos em ambas as extremidades. Figura 13.75 = 140 GPa ; ሺ ሻ( ൯ = 40 GPa ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 99,35 ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 53,10 Flambagem de Colunas 898 Resolução: Steven Róger Duarte 13.3 – PROBLEMAS 13.76. Determine o maior comprimento de uma haste de aço estrutural A-36, se ela estiver engastada e sujeita a uma carga axial de 100 kN. A haste tem diâmetro de 50 mm. Use as equações AISC. Engastada nas extremidades: k = 0,5 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 √ √ ሺ ሻ ሺ ሻ = 12,5 mm ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 3.555 mm = 3,56 m Verificando os limites do índice de esbeltez: = 142,20 (OK!) 13.77. Determine o maior comprimento de uma seção W250 x 18 de aço estrutural A-36, se ela tiver engastada e sujeita a uma carga axial de 140 kN. Use as equações AISC. Engastada nas extremidades: k = 0,5 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 5.206 mm = 5,206 m Verificando os limites do índice de esbeltez: = 129,50 (OK!) 13.78. Determine o maior comprimento de uma coluna W310 x 67 de aço estrutural A-36, se ela estiver apoiada por pinos e for submetida a uma carga axial de 1.000 kN. Use as equações AISC. Apoiada por pinos: k = 1 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ = 93,73 > 125,66 (Não OK!) [ ሺ ሻ ሺ ሻ ] ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ [ ( ൰ ( ൰ ] ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ L = 3.222 mm = 3,222 m Verificando os limites do índice de esbeltez: = 65,35 (OK!) Flambagem de Colunas 899 Resolução: Steven Róger Duarte *13.79. Determine o maior comprimento de uma seção W200 x 46 de aço estrutural A-36, se ela estiver apoiada por pinos e sujeita a uma carga axial de 380 kN. Use as equações AISC. Apoiada por pinos: k = 1 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 6.444 mm = 6,444 m Verificando os limites do índice de esbeltez: = 126,35 (OK!) 13.80. Usando as equações AISC, verifique se uma coluna W150 x 14 de aço estrutural A-36 com 3 m de comprimento pode suportar uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão engastadas. Extremidades engastadas: k = 0,5 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 Verificando os limites do índice de esbeltez: = 65,22 (OK!) ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ P = 203 kN > 200 kN (OK!) A coluna é adequada. 13.81. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural de menor peso que tenha 4,2 m de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão presas por pinos. Adote Extremidades presas por pinos: k = 1 W150 x 22 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 106,21 Verificando os limites do índice de esbeltez: = 114,13 (OK!) ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ P = 226.123,8 N = 226,12 kN > 200 kN (OK!) Flambagem de Colunas 900 Resolução: Steven Róger Duarte 13.82. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural A-36 de menor peso que tenha 3,6 m de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão engastadas. Considere Extremidades engastadas: k = 0,5 W150 x 14 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 106,21 Verificando os limites do índice de esbeltez: = 78,26 (OK!) ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ P = 233 kN > 200 kN (OK!) *13.83. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural A-36 de menor peso que tenha 4,2 m de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão engastadas. Extremidades engastadas: k = 0,5 W150 x 18 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 Verificando os limites do índice de esbeltez: = 89,36 (OK!) ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ P = 226,5 kN > 200 kN (OK!) 13.84. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural A-36 de menor peso que tenha 9 m de comprimento e suporte uma carga axial de 1.000 kN. As extremidades estão engastadas. Extremidades engastadas: k = 0,5 W250 x 80 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 Verificando os limites do índice de esbeltez: = 69,23 (OK!) ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ P = 1.167,7 kN > 1.000 kN (OK!) Flambagem de Colunas 901 Resolução: Steven Róger Duarte 13.85. Determine o maior comprimento de uma seção W200 x 46 de aço estrutural A-36, se for suportada por pinos e estiver sujeita a uma carga axial de 90 kN. Use as equações AISC. Apoiada por pinos: k = 1 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 13.240 mm = 13,24 m Verificando os limites do índice de esbeltez: = 259,61 (Não OK!) = 200 = 10.200 mm = 10,20 m 13.86. Determine o maior comprimento de uma coluna W150 x 22 de aço estrutural A-36, se for suportada por pinos e estiver sujeita a uma carga axial de 350 kN. Use as equações AISC. Extremidades presas por pinos: k = 1 ; W150 x 22 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ = 91,74 < 125,66 (Não OK!) ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ L = 2.126 mm = 2,126 m Verificando os limites do índice de esbeltez: = 57,77 (OK!) *13.87. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Determine sua espessura b, se a largura for 5b. Considere que ela está acoplada por pinos nas extremidades. Figura 13.87 Flambagem de Colunas 902 Resolução: Steven Róger Duarte Acoplada por pinos nas extremidades: k = 1 ; ; √ √ √ ሺ ሻ ቌ √ ቍ b = 18,20 mm √ = 5,254 mm = 456,80 > 55 (OK!) 13.88. A barra é feita de alumínio 2014-T6. Determine sua espessura b, se a largura for 5b. Considere que ela está engastada nas extremidades. Figura 13.88 Engastado nas extremidades: k = 0,5 ; ; √ √ √ ሺ ሻ ቌ √ ቍ b = 12,87 mm √ = 3,715 mm = 323 > 55 (OK!) Flambagem de Colunas 903 Resolução: Steven Róger Duarte 13.89. A haste de 50 mm de diâmetro é usada para suportar uma carga axial de 40 kN. Determine seu maior comprimento admissível L, se for feita de alumínio 2014-T6. Considere que as extremidades estão acopladas por pinos. Figura 13.89 Extremidades acopladas por pinos: k = 1 ሺ ሻ = 306.796,16 mm4 ; ሺ ሻ = 1.963,5 mm2 ; √ √ = 12,5 mm ሺ ሻ ቀ ቁ L = 1.703 mm = 1,703 m = 136,24 > 55 (OK!) 13.90. A haste de 50 mm de diâmetro é usada para suportar uma carga axial de 40 kN. Determine seu maior comprimento admissível L, se for feita de alumínio 2014-T6. Considere que as extremidades estão engastadas. Figura 13.90 Extremidades engastadas: k = 0,5 ሺ ሻ = 306.796,16 mm4 ; ሺ ሻ = 1.963,5 mm2 ; √ √ = 12,5 mm ሺ ሻ ቀ ቁ L = 3.406 mm = 3,406 m = 136,24 > 55 (OK!) Flambagem de Colunas 904 Resolução: Steven Róger Duarte *13.91. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alumínio 2014-T6 e está engastado na base e preso por pinos no topo. Determine a maior carga axial que ele pode suportar. Figura 13.91 Engastado na base e preso por pinos no topo: k = 0,7 = 11.964.672 mm4 ; √ √ = 58,838 mm ; = 35,69 ቀ ቁ ቀ ቁ ሺ ሻ Padm = 540.507 N = 540,5 kN 13.92. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alumínio 2014-T6 e está engastado nas extremidades. Determine a maior carga axial que ele pode suportar. Figura 13.92 = 11.964.672 mm4 ; √ √ = 58,838 mm ; = 25,49 ቀ ቁ ቀ ቁ ሺ ሻ Padm = 597.877 N = 597,9 kN Flambagem de Colunas 905 Resolução: Steven Róger Duarte 13.93. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alumínio 2014-T6 e está acoplado por pinos nas extremidades. Determine a maior carga axialque ele pode suportar. Figura 13.93 Acoplado por pinos nas extremidades: k = 1 = 11.964.672 mm4 ; √ √ = 58,838 mm ; = 51 ቀ ቁ ቀ ቁ ሺ ሻ Padm = 454.442 N = 454,4 kN 13.94. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Determine sua espessura b, se a largura for 1,5b. Considere que ela está acoplada por pinos nas extremidades. Figura 13.94 Acoplada por pinos nas extremidades: k = 1 ; ; √ √ √ Flambagem de Colunas 906 Resolução: Steven Róger Duarte ሺ ሻ ቌ √ ቍ b = 20,89 mm √ = 6,03 mm = 248,74 > 55 (OK!) *13.95. Usando as equações AISC, verifique se a coluna que tem a seção transversal mostrada na figura pode suportar uma força axial de 1.500 kN. A coluna tem comprimento de 4 m, é feita de aço A-36 e suas extremidades estão presas por pinos. Figura 13.95 Extremidades presas por pinos: k = 1 ቀ ቁ = 90.025.833,33 mm4 ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ √ = 77,214 mm ; ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 Verificando os limites do índice de esbeltez: = 51,80 (OK!) ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ Solucionando a equação acima, obtemos: P = 1.905.780 N = 1.905,8 kN >1.500 kN (OK!) A coluna é adequada. 13.96. Uma haste de 1,5 m de comprimento é usada em uma máquina para transmitir uma carga de compressão axial de 15 kN. Determine seu diâmetro, se suas extremidades estiverem acopladas por pinos e ela for feita de liga de alumínio a 2014-T6. Extremidades acopladas por pinos: k = 1 ; ; √ √ ሺ ሻ ቀ ቁ d = 36,72 m = 9,18 mm ; = 163,4 > 55 (OK!) Flambagem de Colunas 907 Resolução: Steven Róger Duarte 13.97. Resolva o Problema 13.96, se as extremidades da haste estiverem engastadas. Extremidades engastadas: k = 0,5 ; ; √ √ ሺ ሻ ቀ ቁ d = 25,97 m = 6,492 mm ; = 115,5 > 55 (OK!) 13.98. A coluna de madeira tem seção transversal quadrada e consideramos que esteja acoplada por pinos no topo e na base. Se ela suportar uma carga axial de 250 kN, determine suas dimensões laterais a com aproximação de múltiplos de 10 mm. Use as fórmulas NFPA. Figura 13.98 Acoplada por pinos: k = 1 ; ; d = a ሺ ሻ ሺ ሻ = 22,73 < 26 (Não OK!) [ ቀ ቁ ] [ ቀ ቁ ] = 21,27 11 < 21,27 < 26 (OK!) Use: a = 200 mm Flambagem de Colunas 908 Resolução: Steven Róger Duarte *13.99. Resolva o Problema 13.98, considerando que a coluna está engastada no topo e na base. Figura 13.99 Engastada no topo e na base: k = 0,5 ; d = a ሺ ሻ ሺ ሻ = 16,1 < 26 (Não OK!) [ ቀ ቁ ] [ ቀ ቁ ] = 11,65 11 < 11,65 < 26 (OK!) Use: a = 190 mm 13.100. A coluna de madeira é usada para suportar uma carga axial P = 150 kN. Se estiver engastada na base e livre no topo, determine a largura mínima da coluna com base nas fórmulas NFPA. Figura 13.100 Flambagem de Colunas 909 Resolução: Steven Róger Duarte Engastado na base e livre no topo: k = 2 Para d < 150 mm ሺ ሻ ሺ ሻ > 150 mm (Não OK!) Para d > 150 mm ሺ ሻ ሺ ሻ > 150 mm (OK!) = 32 26 < 32 < 50 (OK!) 13.101. A coluna de madeira tem 6 mm de comprimento e está acoplada por pinos nas extremidades. Use as fórmulas NFPA para determinar a maior força axial P que ela pode suportar. Figura 13.101 Extremidades acopladas por pinos: k = 1 ; = 30 (26 < 30 < 50) ሺ ሻ ሺ ሻ Pmáx = 168.044 N = 168 kN Flambagem de Colunas 910 Resolução: Steven Róger Duarte 13.102. A coluna de madeira tem 6 m de comprimento e está engastada nas extremidades. Use as fórmulas NFPA para determinar a maior força axial P que ela pode suportar. Figura 13.102 Engastada nas extremidades: k = 0,5 ; = 15 (11 < 15 < 26) [ ቀ ቁ ] [ ቀ ቁ ] Pmáx = 293.388 N = 293,4 kN 13.103. A coluna é feita de madeira e está engastada na base e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para determiar o maior comprimento admissível, se ela suportar uma carga axial P = 10 kN. Figura 13.103 ሺ ሻ ሺ ሻ L = 1.087 mm = 1,087 m = 43,48 26 < 43,48 < 50 (OK!) Flambagem de Colunas 911 Resolução: Steven Róger Duarte 13.104. A coluna é feita de madeira e está engastada na base e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para determinar a maior carga axial admissível P que ela pode suportar, se tiver comprimento L = 1,2 m. Figura 13.104 Engastada na base e livre no topo: k = 2 A = 50 x 100 = 5.000 mm² = 48 (26 < 48 < 50) ሺ ሻ ሺ ሻ Flambagem de Colunas 912 Resolução: Steven Róger Duarte 13.4 – PROBLEMAS 13.105. A coluna W360 x 79 de aço estrutural A-36 suporta uma carga axial de 400 kN além de uma carga excêntrica P. Determine o valor máximo admissível de P com base nas equações AISC da Seção 13.6 e na Equação 13.30. Considere que a coluna está engastada na base e que seu topo está livre para oscilar no plano x-z enquanto presa por pinos no plano y-z. Figura 13.105 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 Engastado na base e topo livre para oscilar no plano x-z: k = 2 = 147,24 Engastado na base e topo preso por pinos no plano y-z: k = 0,7 = 16,8 Como: 125,66 < 147,24 < 200 e o maior índice de esbeltez é 147,24, então: ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ = 47,50 MPa ; ሺ ሻሺ ሻ
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