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Resolução Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

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Flambagem de Colunas 
842 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.1 – PROBLEMAS 
13.1. Determine a carga de flambagem crítica para a coluna. Podemos considerar que o material é rígido. 
 
 Figura 13.1 ∑ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ቀ ቁ ; 
 
13.2. A coluna é composta por um elemento estrutural rígido preso por um pino na base e acoplado a uma 
mola no topo. Se a mola não estiver esticada quando a coluna estiver em posição vertical, determine a 
carga crítica que pode ser aplicada à coluna. 
 
 Figura 13.2 ∑ ; ሺ ሻሺ ሻ 
Flambagem de Colunas 
843 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.3. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 4 m e está presa por pinos em ambas as 
extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga 
crítica. 
 
Figura 13.3 
Presa por pinos em ambas as extremidades: k = 1 = 184.166,667 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 22.720,65 N 
 = 20,66 MPa < (OK!) 
 
*13.4. Resolva o Problema 13.3 se a coluna for engastada na base e presa por pinos no topo. 
 
Figura 13.4 
Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 = 184.166,667 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 46.368,676 N 
 = 42,15 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
844 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.5. Uma barra quadrada é feita de plástico PVC com módulo de elasticidade E = 9 GPa e deformação 
por escoamanto . Determine as dimensões a de sua menor seção transversal, de modo 
que não falhe por flambagem elástica. As extremidades da barra estão presas por pinos e seu 
comprimento é 1.250 mm. 
Extremidades presas por pinos: k = 1 
 ሺ ሻሺ ሻ ; ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 0,0047374a4 
13.6. A haste é feita de aço A-36. Determine, com aproximação de 1 mm, o menor diâmetro da haste que 
suportará a carga P = 25 kN sem flambagem. As extremidades estão apoiadas sem roletes. 
 
 
Figura 13.6 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 125,28 MPa < (OK!) 
Logo, 
13.7. A haste é feita de aço com 25 mm de diâmetro. Determine a carga crítica de flambagem, se as 
extremidades estiverem apoiadas em roletes. Eaço = 200 GPa, 
 
 
Figura 13.7 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 151.397,83 N 
 = 308,42 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
845 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.8. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 5 m e está engastada em ambas as extremidades. 
Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. 
 
 
Figura 13.8 
 
Engastada em ambas as extremidades: k = 0,5 = 861.666,667 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 272.137,89 N 
 = 104,67 MPa < (OK!) 
 
13.9. Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 4,5 m e está presa por pinos em ambas as 
extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga 
crítica. 
 
 
Figura 13.9 
 
Extremidades preas por pinos: k = 1 ቀ ቁ = 16.021.600 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 1.561.746,667 N 
 = 236,63 MPa < (OK!) 
 
Flambagem de Colunas 
846 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.10. O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 e usado como uma coluna de 4,5 m de 
comprimento. Se considerarmos que suas extremidades estão apoiadas por pinos e que ela é submetida a 
uma carga axial de 500 kN, determine o fator de segurança em relação à flambagem. 
 
Figura 13.10 ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 2.164.002,12 N 
 = 252,8 MPa > (Não OK!) = 4,28 
13.11. O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 e usado como coluna de 4,5 m de 
comprimento. Se as extremidades da coluna estiverem engastadas, a coluna pode suportar a carga crítica 
sem escoamanto? 
 
Figura 13.11 
Flambagem de Colunas 
847 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 8.656.008,49 N = 8.656 kN 
 = 1.011,2 MPa > (Não OK!) 
A coluna não suportará a carga. 
 
*13.12. Determine a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo, de modo que a haste de controle de 
aço A-36 AB não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 30 mm e está presa por pinos nas 
extremidades. 
 
 
Figura 13.12 
 
 
 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ∑ ; ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 96.894,6 N 
 = 137,1 MPa < (OK!) ; 
Flambagem de Colunas 
848 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.13. Os dois perfis em U de aço devem ser interligados para formar uma coluna da ponte de 9 m de 
comprimento que consideramos estar acoplada por pinos nas extremidades. Cada perfil em U tem área de 
seção transversal A = 1.950 mm² e momentos de inércia ሺ ሻ , ሺ ሻ . A 
figura mostra a localização do centroide C de sua área. Determine a distância adequada d entre os 
centroides dos perfis em U, de modo que ocorra flambagem em torno dos eixos devido à 
mesma carga. Qual é o valor dessa carga crítica? Despreze o efeito da interligação. Eaço = 200 GPa, 
 
Figura 13.13 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ > 2 x 30 = 60 mm (OK!) ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.052.757,8 N 
 = 269,9 MPa < (OK!) ; 
13.14. O elemento estrutural W200 x 100 é usado como uma coluna de aço estrutural A-36. Podemos 
considerar que a base dessa coluna está engastada e que o topo está preso por um pino. Determine a 
maior força axial P que pode ser aplicada sem provoca flambagem. 
 
Figura 13.14 
Flambagem de Colunas 
849 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 2.621.152,07 N 
 = 206,4 MPa < (OK!) 
13.15. Resolva o Problema 13.14 considerando que a coluna está engastada na base, mas livre no topo. 
 
Figura 13.15 ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺሻ = 321.091,13 N 
 = 25,28 MPa < (OK!) 
*13.16. Uma coluna de aço tem comprimento de 9 m e está engastada em ambas as extremidades. Se a 
área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na figura, determine a carga crítica. Eaço = 200 
GPa, 
 
Figura 13.16 ቀ ቁ ቀ ቁ = 13.345.833,333 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 1.300.919,46 N 
 = 236,53 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
850 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.17. Resolva o Problema 13.16, se a coluna estiver presa por pinos no topo e na base. 
 
 
Figura 13.17 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ቀ ቁ ቀ ቁ = 13.345.833,333 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 325.229,86 N 
 = 59,13 MPa < (OK!) 
13.18. A coluna de tubo de aço A-36 de 3,6 m tem diâmetro externo de 75 mm e espessura de 6 mm. 
Determine a carga critica, se considerarmos que suas extremidades estão acopladas por pinos. 
 
 
Figura 13.18 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ = 118.783,102 N 
 ሺ ሻ = 91,33 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
851 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.19. A coluna de tubo de aço A-36 de 3,6 m tem diâmetro externo de 75 mm e espessura de 6 mm. 
Determine a carga crítica, se a base estiver engastada e o topo preso por pinos. 
 
Figura 13.19 
Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ = 242.414,5 N 
 ሺ ሻ = 186,38 MPa < (OK!) 
*13.20. A coluna retangular de madeira de 3 m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga 
crítica, se considerarmos que as extremidades estão acopladas por pinos. Em = 12 GPa, 
 
Figura 13.20 
Extremidades acopladas por pinos: k = 1 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 13.707,78 N 
 = 2,74 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
852 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.21. A coluna de 3 m tem as dimensões mostradas na figura. Determine a carga crítica se a base for 
engastada e o topo estiver preso por pinos. Em = 12 GPa, . 
 
Figura 13.21 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 27.975,07 N 
 = 5,59 MPa < (OK!) 
13.22. Consideramos que o elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos. Se o elemento 
estrutural BD for uma haste de aço A-36 de raio 50 mm, determine a carga máxima P que pode ser 
suportada pela treliça sem provocar flambagem no elemento estrutural. 
 
Figura 13.22 
 ∑ ሺ ሻ ; [1] ∑ ሺ ሻ ; [2] ; substituido na equação [1], temos: 
Flambagem de Colunas 
853 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 605.591,33 N ; = 77,1 MPa < (OK!) 
13.23. Resolva o Problema 13.22 no caso de um elemento estrutural AB com raio de 50 mm. 
 
Figura 13.23 
 ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 387.578,45 N ; = 49,35 MPa < (OK!) 
*13.24. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma delas tem seção transversal circular com 
diâmetro de 40 mm. Determine a força máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem em 
nenhum dos elementos estruturais. As extremidades dos elementos estruturais estão acopladas por pinos. 
 
Figura 13.24 
Flambagem de Colunas 
854 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ∑ ; ሺ ሻ 
 ∑ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ 
Como os elementos estruturais AB e BC estão sofrendo compressão, logo: ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 43.064,27 N ; = 34,27 MPa < (OK!) ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 110.244,54 N ; = 87,73 MPa < (OK!) 
13.25. A treliça é feita de barras de aço A-36 e cada uma delas tem seção transversal circular. Se a carga 
aplicada for P = 50 kN, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro do elemento 
estrutural AB que impedirá que esse elemento estrutural sofra flambagem. As extremidades dos elementos 
estruturais estão apoiadas por pinos. 
 
Figura 13.5 
Extremidades apoiadas por pinos: k =1 
Flambagem de Colunas 
855 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 41,92 MPa < (OK!) ; 
13.26. As extremidades do elo de aço ferramenta L-2 de uma máquina de forjar estão acopladas aos 
garfos por pinos, como mostra a figura. Determine a carga máxima P que ele pode suportar sem sofrer 
flambagem. Use um fator de segurança FS = 1,75 para flambagem. Observe que, no lado esquerdo da 
figura, as extremidades estão presas por pino, ao passo que no lado direito, elas estão engastadas. 
 
Figura 13.26 
Lado esquerdo: 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 255.820,14 N 
 = 592,18 MPa < (OK!) ; = 146,18 kN 
Lado direito: 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 113.697,84 N 
 = 263,19 MPa < (OK!) ; = 64,97 kN 
Flambagem de Colunas 
856 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.27. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção 
transversal circular. Determine, com aproximação de múltiplo de 5 mm, o diâmetro de cada haste que 
suportará uma carga P = 30 kN. Considere que as extremidades das hastes estão acopladas por pinos. 
Use fator de segurança de 1,8 para flambagem. 
 
 Figura 13.27 ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ [1] ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ √ [2] 
Igualando a equação [1] com a equação [2], obtemos: , logo: √ √ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 6,54 MPa < (OK!) ;ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 11,18 MPa < (OK!) ; 
*13.28. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção 
transversal circular. Se cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga que o mecanismo 
pode suportar sem provocar flambagem em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das 
hastes estão acopladas por pinos. 
 
 Figura 13.28 
Flambagem de Colunas 
857 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ [1] ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ √ [2] 
Igualando a equação [1] com a equação [2], obtemos: , logo: √ √ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 1,90 MPa < (OK!) ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 2,86 MPa < (OK!) 
13.29. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 50 mm e espessura de 12 mm. Se for mantido no 
lugar por um cabo de ancoragem, determine a maior força vertical P que pode ser aplicada sem provocar 
flambagem no tubo. Considere que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. 
 
Figura 13.29 
 ∑ ; ( ሺ ሻ൯ሺ ሻ ; ሺ ሻ √ ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ √ √ ሺ ሻ = 22,20 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
858 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.30. O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 55 mm. Se for mantido no lugar por um cabo de 
ancoragem, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro interno exigido para que ele 
possa suportar uma carga vertical máxima P = 20 kN sem provocar flambagem no tubo. Considere que as 
extremidades do tubo estão acopladas por pinos. 
 
 
 Figura 13.30 
 ∑ ; ( ሺ ሻ൯ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ( ൯ቃሺ ሻ ሺ ሻ = 30,95 MPa < (OK!) 
13.31. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção 
transversal circular. Determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o diâmetro de cada haste que 
suportará uma carga de 4,5 kN. Considere que as extremidades das hastes estejam acopladas por pinos. 
Use fator de segurança FS = 1,8 para flambagem. 
 
 Figura 13.31 
Flambagem de Colunas 
859 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ቀ ቁ = 2,7 kN ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 3,87 MPa < (OK!) ቀ ቁ = 3,6 kN ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 5,05 MPa < (OK!) 
*13.32. O mecanismo articulado é composto por duas hastes de aço A-36, cada uma com seção 
transversal circular. Se cada haste tiver diâmetro de 20 mm, determine a maior carga que o mecanismo 
pode suportar sem provocar flambagem em nenhuma das hastes. Considere que as extremidades das 
hastes estejam conectadas por pinos. 
 
 Figura 13.32 ቀ ቁ = 0,6P ; ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 1,37 MPa < (OK!) ቀ ቁ = 0,8P ; ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 2,44 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
860 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.33. Considere que as extremidades da barra de aço AB da estrutura estejam acopladas por pinos para 
flambagem no eixo y-y. Se P = 18 kN, determine o fator de segurança para flambagem em torno do eixo y-
y devido à carga aplicada. Eaço = 200 GPa, . 
 
 Figura 13.33 ∑ ; ሺ ሻሺ ሻ ; ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 57.115,764 N = 11,42 MPa < (OK!) ; = 2,38 
13.34. Determine a carga máxima P que a estrutura pode suportar sem provocar flambagem no elemento 
estrutural AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estão presas por pinos para 
flambagem no eixo y-y e engastadas em ambas as extremidades para flambagem no eixo x-x. Eaço = 200 
GPa, . 
 
 Figura 13.34 ∑ ; ሺ ሻሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,333P 
Flambagem de Colunas 
861 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 = 11,43 MPa < (OK!) ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,333P = 182,77 MPa < (OK!) 
13.35. Determine a força P que pode ser aplicada ao cabo de modo que a haste de controle BC de aço A-
36 não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 25 mm. 
 
Figura 13.35 
 ∑ ሺ ሻ ; [1] ∑ ሺ ሻ ; [2] ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሻ [3] 
 ∑ ሺ ሻ ; ሺ ሻ ሺ ሺ ሻሻ ሺ ሺ ሻ [4] 
Solucionando as equações [1], [2], [3] e [4], obtemos: , sendo assim: ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 1,98P = 120,48 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
862 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.36. Determine a carga máxima P que pode ser aplicada ao elemento estrutural BC sem provocar 
flambagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estejam 
presas por pinos para flambagem no eixo x-x e engastadas para flambagem no eixo y-y. Use um fator de 
segurança FS = 3 para flambagem. Eaço = 200 GPa, 
 
Figura 13.36 
 ሺ ሻሺ ሻ 
Flambagem no eixo x-x: extremidades presas por pinos (k = 1) 
 ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 37,01 MPa < (OK!) 
Flambagem no eixo y-y: extremidades engastadas (k = 0,5) 
 ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 65,80 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
863 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.37. Determine se a estrutura pode suportar uma cargaP = 20 kN, se o fator de segurança para 
flambagem do elemento estrutural AB for FS = 3. Considere que AB é feito de aço e que suas 
extremidades estão presas por pinos para flambagem no eixo x-x e engastadas para flambagem no eixo y-
y. Eaço = 200 GPa, . 
 
Figura 13.37 
 
Flambagem no eixo x-x: extremidades presas por pinos (k = 1) ; ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 22.206,61 N = 22,21 kN < 30 kN (Não OK!) 
Flambagem no eixo y-y: extremidades engastadas (k = 0,5) 
 ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 39.478,42 N = 39,48 kN > 30 kN (OK!) = 65,80 MPa < (OK!) = 2,21 < 3 (Não OK!) 
A estrutura não pode suportar a carga com o F.S. exigido. 
Flambagem de Colunas 
864 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.38. Determine a carga máxima P que pode ser aplicada ao elemento estrutural BC sem provocar 
flambagem no elemento estrutural AB. Considere que AB é feito de aço e que suas extremidades estejam 
presas por pinos para flambagem no eixo x-x e engastadas para flambagem no eixo y-y. Use um fator de 
segurança FS = 3 para flambagem. Eaço = 200 GPa, 
 
Figura 13.38 
 ሺ ሻሺ ሻ 
Flambagem no eixo x-x: extremidades presas por pinos (k = 1) 
 ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 37,01 MPa < (OK!) 
Flambagem no eixo y-y: extremidades engastadas (k = 0,5) 
 ሺ ሻ ( ൯[ ]ሺ ሻ = 1,5P = 65,80 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
865 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.39. Considere que os elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos. Se o elemento 
estrutural AG for uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm, determine o maior valor da carga P que 
pode ser suportada pela treliça sem provocar flambagem naquele elemento estrutural. 
 
Figura 13.39 
 ∑ ; ; ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 1,667P = 12,34 MPa < (OK!) 
13.40. Determine a carga máxima distribuída que pode ser aplicada à viga de abas largas, de modo que a 
haste CD não sofra flambagem. A braçadeira é uma haste de aço A-36 com diâmetro de 50 mm. 
 
Figura 13.40 
Flambagem de Colunas 
866 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 4w = 19,28 MPa < (OK!) 
13.41. A haste de bronze C86100 de 500 mm de diâmetro está engastada em A e afastada de 2 mm da 
parede em B. Determine o aumento de temperatura que provocará a flambagem da haste. Considere 
que o contato em B age como um pino. 
 
Figura 13.41 
 
Uma extremidade presa por pino e a outra engastada: k = 0,7 ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ቂ ቃሺ ሻ = 324,2 MPa < (OK!) 
Flambagem de Colunas 
867 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.42. Considere uma coluna ideal como a da Figura 13.12c, com ambas as extremidades engastadas. 
Mostre que a carga crítica sobre a coluna é dada por . Dica: Devido à deflexão vertical do 
topo da coluna, um momento constante será desenvolvido nos apoios. Mostre que ሺ ሻ . A solução é da forma (√ ൯ (√ ൯ . 
 ሺ ሻ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ ቈ ቆ√ ቇ቉ ; √ ቆ√ ቇ 
 ቈ√ ቀ ቁ቉ √ ቀ ቁ 
*13.43. Considere uma coluna ideal como a da Figura 13.12d, com uma extremidade engastada e a outra 
presa por pinos. Mostre que a carga crítica sobre a coluna é dada por . Dica: devido à 
deflexão vertical no topo da coluna, um momento constante será desenvolvido no apoio engastado e 
forças horizontais de reação serão desenvolvidas em ambos os apoios. Mostre que ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ A solução é da forma (√ ൯ (√ ൯ ሺ ሻሺ ሻ. Após 
a aplicação das condições de contorno, mostre que (√ ൯ √ . Resolva por tentativa e erro 
para a menor raiz. 
 
Flambagem de Colunas 
868 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ሺ ሻ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ 
 √ √ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ሺ ሻ ; ቈ√ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ሺ ሻ቉ 
 ቆ√ ቇ √ √ 
13.44. A coluna está apoiada em B e esse apoio não permite rotação, mas sim deflexão vertical. 
Determine a carga crítica . EI é constante. 
 
 
Figura 13.44 
 ሺ ሻ 
 ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ ; √ 
 ቆ√ ቇ √ ቀ ቁ 
Flambagem de Colunas 
869 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.45. A coluna ideal está sujeita à força F em seu ponto médio e à carga axial P. Determine o momento 
máximo da coluna no meio do vão. EI é constante. Dica: Defina a equação diferencial para deflexão 
(Equação 13.1). A solução geral é , onde , . 
 
 
Figura 13.45 
 
 
 ∑ ; ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ 
 √ ቆ√ ቇ 
Equação da curva elástica: ቈ√ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ቉ 
 ቈ√ ቆ√ ቇ ቉ 
 ቀ ቁ √ ቆ√ ቇ 
 
 
Flambagem de Colunas 
870 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.46. A coluna ideal tem peso w (força/comprimento) e permanece na posição horizontal quando sujeita 
a uma carga axial P. Determine o momento máximo no ponto médio do vão da coluna. EI é constante. 
Dica: defina a equação diferencial para deflexão (Equação 13.1), com a origem no ponto médio do vão. A 
solução geral é ሺ ሺ ሻሻ ሺ ሺ ሻሻ ሺ ሻ onde 
 
 
Figura 13.46 
 
 
 ∑ ; ሺ ሻ ቀ ቁ ሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ 
 √ ቆ√ ቇ √ ቆ√ ቇ 
 ቆ√ ቇ 
Equaçãoda curva elástica: ቈ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ቆ√ ቇ ቉ 
 ቈ ቆ√ ቇ ቉ 
 ቂ ቀ ቁቃ ቈ ቆ√ ቇ ቉ 
 
Flambagem de Colunas 
871 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.2 – PROBLEMAS 
*13.47. Determine a carga P necessária para provocar a falha por flambagem ou por escoamento da 
coluna W200 x 22 de aço A-36 engastada na base e livre no topo. 
 
 
Figura 13.47 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 ( ൯ 
Flambagem no eixo y-y: ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 121.656,582 N = 121,66 kN = 42,54 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 83,624 mm ; = 103 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 162,4876 MPa < (OK!) > 121,66 kN 
Logo: P = 121,66 kN 
Flambagem de Colunas 
872 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.48. Considere que a coluna de madeira está engastada na base e presa por pinos no topo. Determine 
a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem ou escoamento da coluna. 
 
 
Figura 13.48 
 
Engastada na base e presa por pinos no topo; k = 0,7 
Flambagem no eixo y-y: 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 7.504,68 N = 7,50 kN = 2,24 MPa < (OK!) 
Escoamanto no eixo x-x: 
 √ √ = 25,403 mm ; = 44 mm ; 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 6,57 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ > 7,50 kN 
Logo: P = 7,50 kN 
 
Flambagem de Colunas 
873 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.49. A coluna de madeira está engastada na base e no topo. Determine a carga excêntrica máxima P 
que pode ser aplicada no topo sem provocar flambagem ou escoamento da coluna. 
 
 
Figura 13.49 
 
Engastada na base e no topo: k = 0,5 
Flambagem no eixo y-y: 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 14.709,17 N = 14,71 kN = 4,40 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: 
 √ √ = 25,403 mm ; = 44 mm ; 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 9,822 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ > 14,71 kN 
Logo: P = 14,71 kN 
 
Flambagem de Colunas 
874 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.50. A coluna de madeira tem seção transversal quadrada de dimensões 100 mm por 100 mm. Está 
engastada na base e livre no topo. Determine a carga P que pode ser aplicada na borda da coluna sem 
provocar falha por flambagem ou escoamento. 
 
 
Figura 13.50 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 
Flambagem no eixo y-y: 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 61.685,03 N = 61,7 kN = 6,17 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: 
 √ √ = 28,867 mm ; = 50 mm ; 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 3,137 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ > 61,7 kN 
Logo: P = 31,4 kN 
Flambagem de Colunas 
875 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.51. A coluna W200 x 71 de aço estrutural A-36 está engastada na base e livre no topo. Se for 
submetida à carga excêntrica de 375 kN, determine o fator de segurança para início de flambagem ou 
escoamento. 
 
 
Figura 13.51 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 967.160,31 N = 967,16 kN = 106,28 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 91,75 mm ; = 108 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 58,466 MPa < (OK!) < 967,16 kN 
Logo: P = 532,04 kN, sendo assim: = 1,42 
 
 
Flambagem de Colunas 
876 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.52. A coluna W200 x 71 de aço estrutural A-36 está engastada na base e presa por pinos no topo. Se 
for submetida à carga excêntrica de 375 kN, determine se ela falha por escoamento. A coluna está 
escorada de modo a não sofrer flambagem em torno do eixo y-y. 
 
Figura 13.52 
Engastado na base e preso por pinos no topo: k = 0,7 
Escoamento no eixo x-x: ( ൯ √ √ = 91,75 mm ; = 108 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ ሺ ሻ (OK!) 
A coluna não falha por escoamento 
13.53. A haste de bronze está engastada em uma extremidade e livre na outra. Se for aplicada a carga 
excêntrica P = 200 kN, determine o maior comprimento admissível L da haste de modo que não sofra 
flambagem ou escoamento. 
 
 
Figura 13.53 
Engastada em uma extremidade e livre na outra: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ 
Flambagem de Colunas 
877 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 = 25,46 MPa < (OK!) √ √ = 25 mm ; c = 50 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: ሺ ሻ 
Solucionando a equação triconométrica, obtemos: L = 1,7064 m ; Logo: L = 1,71 m 
13.54. A haste de bronze está engastada em uma extremidade e livre na outra. Se seu comprimento for L 
= 2 m, determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada de modo que ela não sofra flambagem 
ou escoamento. Calcule também a maior deflexão lateral da haste devido à carga. 
 
 
Figura 13.54 
Engastada em uma extremidade e livre na outra: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 305.823,63 N = 305,82 kN = 38,94 MPa < (OK!) √ √ = 25 mm ; c = 50 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 22,1162MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ < 305,82 kN 
Logo: P = 174 kN ቈ ቆ√ ቇ ቉ [ (√ ሺ ሻቀ ቁ ቀ ቁ൱ ] = 16,5 mm 
Flambagem de Colunas 
878 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.55. Uma coluna W310 x 39 de aço estrutural A-36 está engastada nas extremidades e tem 
comprimento L = 6,9 m. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que a 
coluna não sofra flambagem ou escoamento. Compare esse valor com uma carga axial crítica P’ aplicada 
no centroide da coluna. 
 
 
Figura 13.55 
Engastada nas extremidades: k = 0,5 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.199.029,445 N = 1.199,03 kN = 243,21 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 131,15 mm ; = 155 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 103,539 MPa < (OK!) < 1.199,03 kN 
Logo: P = 510,4 kN 
Flambagem de Colunas 
879 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.56. Uma coluna W360 x 45 de aço estrututral A-36 está engastada nas extremidades e tem 
comprimento L = 6,9 m. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que a 
coluna não sofra flambagem ou escoamento. Compare esse valor com uma carga axial crítica P’ aplicada 
no centroide da coluna. 
 
 
Figura 13.56 
Engastada nas extremidades: k = 0,5 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.353.261,45 N = 1.353,26 kN = 237 MPa > (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 145,57 mm ; = 176 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 108,922 MPa < (OK!) < 1.353,26 kN 
Logo: P = 621,94 kN 
Flambagem de Colunas 
880 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.57. Resolva o Problema 13.56, se a coluna estiver engastada na base e livre no topo. 
 
 
Figura 13.57 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 84.578,84 N = 84,58 kN = 14,81 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 145,57 mm ; = 176 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 79,80 MPa < (OK!) > 84,58 kN 
Logo: P = 84,58 kN 
 
Flambagem de Colunas 
881 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.58. A coluna de madeira está engastada na base e podemos considerar que está acoplada por pinos 
no topo. Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada sem provocar flambagem ou 
escoamento. 
 
 
Figura 13.58 
 
Engastada na base e acoplada por pinos no topo: k = 0,7 
Flambagem no eixo x-x: 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 559.501,38 N = 559,5 kN = 22,38 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo y-y: 
 √ √ = 72,169 mm ; = 125 mm ; 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 12,803 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ < 559,5 kN 
Logo: P = 320,08 kN 
Flambagem de Colunas 
882 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.59. A coluna de madeira está engastada nas extremidades. Determine a carga excêntrica máxima P 
que pode ser aplicada sem provocar flambagem ou escoamento. 
 
 
Figura 13.59 
 
Engastada nas extremidades: k = 0,5 
Flambagem no eixo x-x: 
 ሺ ሻ ( ൯( ൰ሺ ሻ = 1.096.622,7 N = 1.096,62 kN = 43,86 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo y-y: 
 √ √ = 72,169 mm ; = 125 mm ; 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 13,3653 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ < 1.096,62 kN 
Logo: P = 334,13 kN 
 
Flambagem de Colunas 
883 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.60. A coluna de alumínio tem a seção transversal mostrada na Figura. Se estiver engastada na base e 
livre no topo, determine a força máxima P que pode ser aplicada em A sem provocar flambagem ou 
escoamento. Use um fator de segurança 3 para flambagem e escoamento. 
 
 Figura 13.60 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 
Flambagem no eixo y-y: ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ = 116,29 mm ; = 3.425.833,333 mm4 
 ቂ ሺ ሻሺ ሻ ቃ ቂ ሺ ሻሺ ሻ ቃ = 7.780.672,043 mm4 ሺ ሻ ( ൯ሺ ሻሺ ሻ = 23.668,134 N = 7.889,38 N = 7,89 kN = 7,63 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 50,1 mm ; = 43,71 mm ; ሺ ሻ ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 14,715 MPa < (OK!) ሺ ሻሺ ሻ = 15.205,5 N = 15,2 kN > 7,89 kN 
Logo: P = 7,89 kN 
Flambagem de Colunas 
884 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.61. Um elemento estrutural W250 x 22 de aço A-36 é usado como uma coluna fixa acoplada. 
Determine a carga excêntrica máxima P que pode ser aplicada de modo que a coluna não sofra 
flambagem ou escoamento. Compare esse valor com uma carga axial crítica P’ aplicada no centroide da 
coluna. 
 
 
Figura 13.61 
Extremidades engastadas: k = 0,5 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 171.248,6 N = 171,25 kN = 60,09 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 100,525 mm ; = 127 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 68,117 MPa < (OK!) > 171,25 kN 
Logo: P = 171,25 kN 
Flambagem de Colunas 
885 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.62. Resolva o Problema 13.61, se a coluna estiver acoplada por pinos em ambas as extremidades. 
 
 
Figura 13.62 
 
Acopladas por pinos em ambas as extremidades: k = 1 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 42.812,15 N = 42,81 kN = 15,02 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 100,525 mm ; = 127 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 60,23 MPa < (OK!) > 42,81 kN 
Logo: P = 42,81 kN 
 
 
Flambagem de Colunas 
886 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.63. Resolva o Problema 13.61, se a coluna estiver engastada na base e presa por pinos no topo. 
 
 
Figura 13.63 
 
Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 87.371,74 N = 87,37 kN = 30,66 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 100,525 mm ; = 127 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 65,402 MPa < (OK!) > 87,37 kN 
Logo: P = 87,37 kN 
 
 
Flambagem de Colunas 
887 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.64. Determine a carga P necessária para provocar a falha por flambagem ou escoamento na coluna 
W310 x 74 de aço estrutural A-36. A coluna está engastada na base e ancorada por cabos no topo que 
agem como pinos para mantê-la no lugar. 
 
 
Figura 13.64 
 
Engastada na base e ancorada por cabos no topo: k = 0,7 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 1.675.818,54 N = 1.675,82 kN = 176,77 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 131,93 mm ; = 155 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 163,6 MPa < (OK!) < 1.675,82 kN 
Logo: P = 1.551 kN 
 
Flambagem de Colunas 
888 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.65. Resolva o Problema 13.64, se a coluna for uma seção W310 x 24. 
 
 
Figura 13.65 
 
Engastada na base e ancorada por cabos no topo: k = 0,7 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 83.074,76 N = 83,07 kN = 27,33 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 118,655 mm ; = 152,5 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 150,65 MPa < (OK!) > 83,07 kN 
Logo: P = 83,07 kN 
 
 
Flambagem de Colunas 
889 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.66. A coluna W360 x 79 de aço estrutural A-36 está engastada na base e livre no topo. Se P = 375 kN, 
determine a deflexão lateral no topo e a tensão máxima na coluna. 
 
 
Figura 13.66 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 394.784,18 N = 394,8 kN > 375 kN (OK!) = 39,09 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 149,92 mm ; = 177 mm ; 
 [ (√ ൰ ] [ (√ ሺ ሻሺ ሻ ቀ ቁ൱ ] = 34,85 mm 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ሺ ሻሺ ሻቇ቉ = 120,4 MPa (OK!) 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
890 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.67. A coluna W360 x 79 de aço está engastada na base e livre no topo. Determine a carga excêntrica 
máxima P que ela pode suportar sem sofrer flambagem ou escoamento. 
 
 
Figura 13.67 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 
Flambagem no eixo y-y: ( ൯ ሺ ሻ ( ൯( ൯ሺ ሻ = 394.784,18 N = 394,78 kN = 39,09 MPa < (OK!) 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 149,92 mm ; = 177 mm ; ቈ ቆ √ ቇ቉ [ ( √ ሺ ሻ ൰] 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemos como solução: 
 = 92,313 MPa < (OK!) > 394,78 kN 
Logo: P = 394,78 kN 
 
Flambagem de Colunas 
891 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.68. A haste de alumínio está engastada na base e livre no topo. Se for aplicada a carga excêntrica P = 
200 kN, determine o maior comprimento admissível L da haste de modo que ela não sofra flambagem ou 
escoamento. 
 
 
Figura 13.68 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 200 x 103 L = 8.352,5 mm = 8,35 m = 6,37 MPa < (OK!) √ √ = 50 mm ; ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: ሺ ሻ ሺ ሻ = 8,34 m 
 
 
 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
892 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.69. A haste de alumínio está engastada na base e livre no topo. Se seu comprimento for L = 2 m, 
determine a maior carga admissível P que pode ser aplicada de modo que a haste não sofra flambagem 
ou escoamento. Determine também a maior deflexão lateral da haste devido à carga. 
 
 
Figura 13.69 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 ሺ ሻ ( ൯ቀ ቁሺ ሻ = 3.488.206,13 N = 3,50 MN = 111,03 MPa < (OK!) √ √ = 50 mm ; ; ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Simplificando a equação, temos: 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ 
Utilizando um programa computacional, obtemoscomo solução: 
 = 101,84 MPa < (OK!) ሺ ሻ < 3,50 MN ; Logo: P = 3,20 MN 
 ቈ ቆ√ ቇ ቉ [ ൮√ ሺ ሻቀ ቁ ቀ ቁ൲ ] = 70,5 mm 
Flambagem de Colunas 
893 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.70. A coluna de aço suporta as duas cargas excêntricas. Se considerarmos que ela está presa por 
pinos no topo, engastada na base e totalmente escorada contra flambagem em torno do eixo y-y, 
determine a deflexão máxima da coluna e a tensão máxima na coluna. 
 
 
Figura 13.70 
 
Engastada na base e presa por pinos no topo: k = 0,7 ቀ ቁ = 6,9 x 106 mm4 ቀ ቁ = 841.666,667 mm4 ሺ ሻ 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 47,958 mm ; ; = 64,44 mm 
 [ (√ ൰ ] [ (√ ሺ ሻሺ ሻ ቀ ቁ൱ ] = 24,3 mm 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ሺ ሻሺ ሻቇ቉ = 199 MPa (OK!) 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
894 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*1371. A coluna de aço suporta as duas cargas excêntricas. Se considerarmos que está engastada no 
topo e na base e totalmente escorada contra flambagem em torno do eixo y-y, determine a deflexão 
máxima da coluna e a tensão máxima na coluna. 
 
 
Figura 13.71 
 
Engastada no topo e na base: k = 0,5 ቀ ቁ = 6,9 x 106 mm4 ቀ ቁ = 841.666,667 mm4 ሺ ሻ 
Escoamento no eixo x-x: √ √ = 47,958 mm ; ; = 64,44 mm 
 [ (√ ൰ ] [ (√ ሺ ሻሺ ሻ ቀ ቁ൱ ] = 10,77 mm = 10,8 mm 
 ቈ ቆ √ ቇ቉ ቈ ቆ √ ሺ ሻሺ ሻቇ቉ = 178 MPa (OK!) 
 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
895 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.72. A coluna de comprimento intermediário sofre flambagem quando a resistência à compressão é de 
280 MPa. Se o índice de esbeltez for 60, determine o módulo tangente. 
Índice de esbeltez: 
 = 60 ሺ ሻ ሺ ሻ 
13.73. Construa a curva de flambagem, P/A em relação a L/r, para uma coluna cuja curva tensão-
deformação é bilinear sob compressão, como mostra a figura. 
 
 
Figura 13.73 = 45,5 GPa ; ሺ ሻ( ൯ = 11,67 GPa ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 70,25 ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 35,57 
 
 
Flambagem de Colunas 
896 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.74. Construa a curva de flambagem, P/A em relação a L/r, para uma coluna cuja curva tensão-
deformação bilinear sob compressão como mostra a figura. 
 
 
Figura 13.74 
 = 175 GPa ; ሺ ሻ( ൯ = 43,75 GPa ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 99,35 ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 49,67 
 
 
 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
897 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.75. Construa a curva de flambagem , P/A em relação a L/r, para uma coluna cuja curva tensão-
deformação é bilinear sob compressão como mostra a figura. A coluna está presa por pinos em ambas as 
extremidades. 
 
 
Figura 13.75 
 = 140 GPa ; ሺ ሻ( ൯ = 40 GPa ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 99,35 ሺ ⁄ ሻ ( ൯ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ ሺ ⁄ ሻ = 53,10 
 
 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
898 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.3 – PROBLEMAS 
13.76. Determine o maior comprimento de uma haste de aço estrutural A-36, se ela estiver engastada e 
sujeita a uma carga axial de 100 kN. A haste tem diâmetro de 50 mm. Use as equações AISC. 
Engastada nas extremidades: k = 0,5 
 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
 √ √ ሺ ሻ ሺ ሻ = 12,5 mm 
 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 3.555 mm = 3,56 m 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 142,20 (OK!) 
13.77. Determine o maior comprimento de uma seção W250 x 18 de aço estrutural A-36, se ela tiver 
engastada e sujeita a uma carga axial de 140 kN. Use as equações AISC. 
Engastada nas extremidades: k = 0,5 ( ൯ 
 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 5.206 mm = 5,206 m 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 129,50 (OK!) 
13.78. Determine o maior comprimento de uma coluna W310 x 67 de aço estrutural A-36, se ela estiver 
apoiada por pinos e for submetida a uma carga axial de 1.000 kN. Use as equações AISC. 
Apoiada por pinos: k = 1 ( ൯ 
 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ = 93,73 > 125,66 (Não OK!) 
 [ ሺ ሻ ሺ ሻ ] ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ [ 
 ( ൰ ( ൰ ] ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ L = 3.222 mm = 3,222 m 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 65,35 (OK!) 
Flambagem de Colunas 
899 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.79. Determine o maior comprimento de uma seção W200 x 46 de aço estrutural A-36, se ela estiver 
apoiada por pinos e sujeita a uma carga axial de 380 kN. Use as equações AISC. 
Apoiada por pinos: k = 1 ( ൯ 
 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 6.444 mm = 6,444 m 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 126,35 (OK!) 
 
13.80. Usando as equações AISC, verifique se uma coluna W150 x 14 de aço estrutural A-36 com 3 m de 
comprimento pode suportar uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão engastadas. 
Extremidades engastadas: k = 0,5 ( ൯ 
 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 65,22 (OK!) 
 ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ P = 203 kN > 200 kN (OK!) 
A coluna é adequada. 
 
13.81. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural de menor peso 
que tenha 4,2 m de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão presas por 
pinos. Adote 
Extremidades presas por pinos: k = 1 
W150 x 22 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 106,21 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 114,13 (OK!) ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ P = 226.123,8 N = 226,12 kN > 200 kN (OK!) 
 
Flambagem de Colunas 
900 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.82. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural A-36 de menor 
peso que tenha 3,6 m de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão 
engastadas. Considere 
Extremidades engastadas: k = 0,5 
W150 x 14 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 106,21 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 78,26 (OK!) 
 ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ P = 233 kN > 200 kN (OK!) 
*13.83. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural A-36 de menor 
peso que tenha 4,2 m de comprimento e suporte uma carga axial de 200 kN. As extremidades estão 
engastadas. 
Extremidades engastadas: k = 0,5 
W150 x 18 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 89,36 (OK!) 
 ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ P = 226,5 kN > 200 kN (OK!) 
13.84. Usando as equações AISC, selecione no Apêndice B a coluna de aço estrutural A-36 de menor 
peso que tenha 9 m de comprimento e suporte uma carga axial de 1.000 kN. As extremidades estão 
engastadas. 
Extremidades engastadas: k = 0,5 
W250 x 80 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 69,23 (OK!) 
 ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ P = 1.167,7 kN > 1.000 kN (OK!) 
Flambagem de Colunas 
901 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.85. Determine o maior comprimento de uma seção W200 x 46 de aço estrutural A-36, se for suportada 
por pinos e estiver sujeita a uma carga axial de 90 kN. Use as equações AISC. 
Apoiada por pinos: k = 1 ( ൯ 
 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ L = 13.240 mm = 13,24 m 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 259,61 (Não OK!) = 200 = 10.200 mm = 10,20 m 
13.86. Determine o maior comprimento de uma coluna W150 x 22 de aço estrutural A-36, se for suportada 
por pinos e estiver sujeita a uma carga axial de 350 kN. Use as equações AISC. 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ; W150 x 22 ( ൯ ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ = 91,74 < 125,66 (Não OK!) 
 ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ L = 2.126 mm = 2,126 m 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 57,77 (OK!) 
*13.87. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Determine sua espessura b, se a largura for 5b. 
Considere que ela está acoplada por pinos nas extremidades. 
 
Figura 13.87 
Flambagem de Colunas 
902 
Resolução: Steven Róger Duarte 
Acoplada por pinos nas extremidades: k = 1 
 ; ; √ √ √ ሺ ሻ ቌ √ ቍ b = 18,20 mm √ = 5,254 mm = 456,80 > 55 (OK!) 
 
13.88. A barra é feita de alumínio 2014-T6. Determine sua espessura b, se a largura for 5b. Considere 
que ela está engastada nas extremidades. 
 
 
Figura 13.88 
 
Engastado nas extremidades: k = 0,5 
 ; ; √ √ √ ሺ ሻ ቌ √ ቍ b = 12,87 mm √ = 3,715 mm = 323 > 55 (OK!) 
Flambagem de Colunas 
903 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.89. A haste de 50 mm de diâmetro é usada para suportar uma carga axial de 40 kN. Determine seu 
maior comprimento admissível L, se for feita de alumínio 2014-T6. Considere que as extremidades estão 
acopladas por pinos. 
 
 
Figura 13.89 
 
Extremidades acopladas por pinos: k = 1 ሺ ሻ = 306.796,16 mm4 ; ሺ ሻ = 1.963,5 mm2 ; √ √ = 12,5 mm 
 ሺ ሻ ቀ ቁ L = 1.703 mm = 1,703 m = 136,24 > 55 (OK!) 
 
13.90. A haste de 50 mm de diâmetro é usada para suportar uma carga axial de 40 kN. Determine seu 
maior comprimento admissível L, se for feita de alumínio 2014-T6. Considere que as extremidades estão 
engastadas. 
 
 
Figura 13.90 
 
Extremidades engastadas: k = 0,5 ሺ ሻ = 306.796,16 mm4 ; ሺ ሻ = 1.963,5 mm2 ; √ √ = 12,5 mm 
 ሺ ሻ ቀ ቁ L = 3.406 mm = 3,406 m = 136,24 > 55 (OK!) 
 
Flambagem de Colunas 
904 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.91. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alumínio 2014-T6 e está engastado na base e 
preso por pinos no topo. Determine a maior carga axial que ele pode suportar. 
 
Figura 13.91 
Engastado na base e preso por pinos no topo: k = 0,7 = 11.964.672 mm4 ; 
 √ √ = 58,838 mm ; = 35,69 ቀ ቁ ቀ ቁ ሺ ሻ Padm = 540.507 N = 540,5 kN 
13.92. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alumínio 2014-T6 e está engastado nas 
extremidades. Determine a maior carga axial que ele pode suportar. 
 
Figura 13.92 = 11.964.672 mm4 ; 
 √ √ = 58,838 mm ; = 25,49 ቀ ቁ ቀ ቁ ሺ ሻ Padm = 597.877 N = 597,9 kN 
Flambagem de Colunas 
905 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.93. O tubo tem 6 mm de espessura, é feito de liga de alumínio 2014-T6 e está acoplado por pinos nas 
extremidades. Determine a maior carga axialque ele pode suportar. 
 
Figura 13.93 
Acoplado por pinos nas extremidades: k = 1 = 11.964.672 mm4 ; 
 √ √ = 58,838 mm ; = 51 ቀ ቁ ቀ ቁ ሺ ሻ Padm = 454.442 N = 454,4 kN 
13.94. A barra é feita de liga de alumínio 2014-T6. Determine sua espessura b, se a largura for 1,5b. 
Considere que ela está acoplada por pinos nas extremidades. 
 
Figura 13.94 
Acoplada por pinos nas extremidades: k = 1 
 ; ; √ √ √ 
Flambagem de Colunas 
906 
Resolução: Steven Róger Duarte 
 ሺ ሻ ቌ √ ቍ b = 20,89 mm √ = 6,03 mm = 248,74 > 55 (OK!) 
*13.95. Usando as equações AISC, verifique se a coluna que tem a seção transversal mostrada na figura 
pode suportar uma força axial de 1.500 kN. A coluna tem comprimento de 4 m, é feita de aço A-36 e suas 
extremidades estão presas por pinos. 
 
Figura 13.95 
Extremidades presas por pinos: k = 1 ቀ ቁ = 90.025.833,33 mm4 ; ሺ ሻ ሺ ሻ √ √ = 77,214 mm ; ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
Verificando os limites do índice de esbeltez: 
 = 51,80 (OK!) 
 ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ ቈ ሺ ሻ ሺ ሻ ቉ሺ ሻ ሺ ሻሺ ሻ ሺ ሻ ሺ ሻ 
Solucionando a equação acima, obtemos: P = 1.905.780 N = 1.905,8 kN >1.500 kN (OK!) 
A coluna é adequada. 
13.96. Uma haste de 1,5 m de comprimento é usada em uma máquina para transmitir uma carga de 
compressão axial de 15 kN. Determine seu diâmetro, se suas extremidades estiverem acopladas por pinos 
e ela for feita de liga de alumínio a 2014-T6. 
Extremidades acopladas por pinos: k = 1 
 ; ; √ √ 
 ሺ ሻ ቀ ቁ d = 36,72 m = 9,18 mm ; = 163,4 > 55 (OK!) 
Flambagem de Colunas 
907 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.97. Resolva o Problema 13.96, se as extremidades da haste estiverem engastadas. 
Extremidades engastadas: k = 0,5 
 ; ; √ √ 
 ሺ ሻ ቀ ቁ d = 25,97 m 
 = 6,492 mm ; = 115,5 > 55 (OK!) 
 
13.98. A coluna de madeira tem seção transversal quadrada e consideramos que esteja acoplada por 
pinos no topo e na base. Se ela suportar uma carga axial de 250 kN, determine suas dimensões laterais a 
com aproximação de múltiplos de 10 mm. Use as fórmulas NFPA. 
 
 
Figura 13.98 
Acoplada por pinos: k = 1 ; ; d = a ሺ ሻ ሺ ሻ = 22,73 < 26 (Não OK!) [ ቀ ቁ ] [ ቀ ቁ ] = 21,27 11 < 21,27 < 26 (OK!) 
Use: a = 200 mm 
Flambagem de Colunas 
908 
Resolução: Steven Róger Duarte 
*13.99. Resolva o Problema 13.98, considerando que a coluna está engastada no topo e na base. 
 
Figura 13.99 
Engastada no topo e na base: k = 0,5 ; d = a ሺ ሻ ሺ ሻ = 16,1 < 26 (Não OK!) [ ቀ ቁ ] [ ቀ ቁ ] = 11,65 11 < 11,65 < 26 (OK!) 
Use: a = 190 mm 
13.100. A coluna de madeira é usada para suportar uma carga axial P = 150 kN. Se estiver engastada na 
base e livre no topo, determine a largura mínima da coluna com base nas fórmulas NFPA. 
 
Figura 13.100 
Flambagem de Colunas 
909 
Resolução: Steven Róger Duarte 
Engastado na base e livre no topo: k = 2 
 
Para d < 150 mm ሺ ሻ ሺ ሻ > 150 mm (Não OK!) 
Para d > 150 mm ሺ ሻ ሺ ሻ > 150 mm (OK!) = 32 26 < 32 < 50 (OK!) 
 
13.101. A coluna de madeira tem 6 mm de comprimento e está acoplada por pinos nas extremidades. Use 
as fórmulas NFPA para determinar a maior força axial P que ela pode suportar. 
 
 
Figura 13.101 
 
Extremidades acopladas por pinos: k = 1 
 ; = 30 (26 < 30 < 50) ሺ ሻ ሺ ሻ Pmáx = 168.044 N = 168 kN 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
910 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.102. A coluna de madeira tem 6 m de comprimento e está engastada nas extremidades. Use as 
fórmulas NFPA para determinar a maior força axial P que ela pode suportar. 
 
Figura 13.102 
Engastada nas extremidades: k = 0,5 
 ; = 15 (11 < 15 < 26) [ ቀ ቁ ] [ ቀ ቁ ] Pmáx = 293.388 N = 293,4 kN 
13.103. A coluna é feita de madeira e está engastada na base e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para 
determiar o maior comprimento admissível, se ela suportar uma carga axial P = 10 kN. 
 
Figura 13.103 ሺ ሻ ሺ ሻ L = 1.087 mm = 1,087 m = 43,48 26 < 43,48 < 50 (OK!) 
Flambagem de Colunas 
911 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.104. A coluna é feita de madeira e está engastada na base e livre no topo. Use as fórmulas NFPA para 
determinar a maior carga axial admissível P que ela pode suportar, se tiver comprimento L = 1,2 m. 
 
 
Figura 13.104 
 
Engastada na base e livre no topo: k = 2 
A = 50 x 100 = 5.000 mm² = 48 (26 < 48 < 50) ሺ ሻ ሺ ሻ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flambagem de Colunas 
912 
Resolução: Steven Róger Duarte 
13.4 – PROBLEMAS 
13.105. A coluna W360 x 79 de aço estrutural A-36 suporta uma carga axial de 400 kN além de uma 
carga excêntrica P. Determine o valor máximo admissível de P com base nas equações AISC da Seção 
13.6 e na Equação 13.30. Considere que a coluna está engastada na base e que seu topo está livre para 
oscilar no plano x-z enquanto presa por pinos no plano y-z. 
 
 
Figura 13.105 
 ( ൯ 
 ቀ ቁ √ √ ሺ ሻ = 125,66 
Engastado na base e topo livre para oscilar no plano x-z: k = 2 = 147,24 
Engastado na base e topo preso por pinos no plano y-z: k = 0,7 = 16,8 
Como: 125,66 < 147,24 < 200 e o maior índice de esbeltez é 147,24, então: ሺ ሻ ( ൯ ሺ ሻ = 47,50 MPa ; ሺ ሻሺ ሻ

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