Listas de Exercícios - Bases ortogonais (UFSM, LAZZARIN)

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L6P2 - UFSM - Linear - Telecomunicações - LAZZARIN
1. Veri…que se o conjunto é uma base do espaço ortogonal com o produto interno indicado
(a) � = f(1; 0; 0); (0;� 1p
2
; 1p
2
);
�
0; 2p
2
; 2p
2
�
g do R3 com produto interno usual.
(b) � = f(1; 1;�1); (1;�1; 2); (6;�45;�20)g do R3 com produto interno< (x1; x2; x3); (y1; y2; y3) >= 5x1y1+2x2y2+3x3y3.
(c) � =
8<:
24 0 11 0
0 0
35 ;
24 1 00 0
0 1
35 ;
24 0 00 1
1 0
35 ;
24 0 00 �1
1 0
35 ;
24 �1 00 0
0 1
35 ;
24 0 00 �1
1 0
359=; do M3�2(R) com produto interno:*24 a11 a12a21 a22
a31 a32
35 ; b11 b12b21 b22
b31 b32
+
=
P
i;j
aij :bij = a11:b11 + a12:b12 + :::+ a32b32:
(d) Para quem sabe integrar: ff1(x) = cos(�x); f2(x) = cos(2�x); :::; f10(x) = cos(10�x); :::g com produto interno hf; gi =
1R
0
f(x):g(x)dx. Dica: neste caso temos que calcular as integrais hcos(r�x); cos(s�x)i = R 1
0
cos�rx cos�sx dx = 0
quando r 6= s: Estas funções são boas para descrever funções como combinações lineares delas. As chamadas séries
(somas) de fourier.
2. Use o processo de Gran-Schmidt para ortogonalizar as seguintes bases:
(a) � = f(1; 0); (1; 1)g no R2 com produto interno usual (produto escalar);
(b) � = f(�1; 1; 0); (0; 1; 1); (0; 0; 2)g no R3 com produto interno usual (produto escalar);
(c) � = f(�1; 1; 0); (0; 1; 1); (0; 0; 2)g no R3 com produto interno dado por
< (x1; x2; x3); (y1; y2; y3) >= x1y1 + 2x2y2 + 2x3y3;
(d) � = f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 1); (0; 0; 0;�1); (0; 0; 1; 0)g no R4 com produto interno usual;
(e) � =
��
3 0
0 3
�
;
�
0 3
3 0
�
;
�
0 0
3 3
�
;
�
3 3
0 3
��
noM2�2(R) com produto interno usual
��
a11 a12
a21 a22
�
;
b11 b12
b21 b22
�
=P
i;j
aij :bij = a11:b11 + a12:b12 + a21b21 + a22b22:
3. Normalize cada base que você ortogonalizou no exercício 2. DICA: basta dividir cada vetor da base pelo seu tamanho.
4. Calcule os coe…cientes de fourier do vetor v na base ortogonal indicada.
(a) do vetor v = (2; 3) na base f2�!i ;�3�!j g no Plano com produto interno usual.
(b) do vetor v = (3; 2;�5) na base f�!i ��!j ;�!i +�!j ; 3�!k g com produto interno usual do espaço: < (x1; x2; x3); (y1; y2; y3) >=
x1y1 + x2y2 + x3y3.
(c) do vetor v = (3; 2;�5) na base f�!i ��!j ;�!i +�!j ; 3�!k g com produto interno NÃO usual do espaço: < (x1; x2; x3); (y1; y2; y3) >=
2x1y1 + 2x2y2 + 5x3y3.
(d) do vetor v =
�
6 �3
4 2
�
na base
��
3 0
0 2
�
;
�
0 3
3 0
�
;
� �2 0
0 3
�
;
�
2 �1
1 �3
��
do M2�2(R) com produto interno
usual:
��
a11 a12
a21 a22
�
;
b11 b12
b21 b22
�
=
P
i;j
aij :bij = a11:b11 + a12:b12 + a21b21 + a22b22:
5. Em cada item use o processo de Gran-Schimidt para ortogonalizar as bases dadas:
(a) � = f(1; 1); (1; 2)g no R2 com produto interno usual. Esboce os vetores da base � e da base ortogonal calculada.
(b) � = f(1; 1); (1; 2)g no R2 com produto interno não usual
< (x; y); (z; t) >= xz � 1
4
(xt+ yz) + yt:
(OBS: veja que este produto interno apesar de ter algum sinal negativo na fórmula ele satisfaz todas as propriedades
para ser produto interno. O principal deles é que < (x; y); (x; y) >= x2 � 12 (xy) + y2 � 0 e que só dá zero quando
x = y = 0).
(c) � = f(�1; 1; 0); (1; 1; 1); (0; 1; 2)g no R3 com produto interno usual.
(d) � = f(�1; 1; 0); (1; 1; 1); (0; 1; 2)g no R3 com produto interno não usual:
< (x1; x2; x3); (y1; y2; y3) >= x1y1 + 2x2y2 + 2x3y3;
1
(e) � = f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 1); (0; 0; 0;�1); (0; 0; 1; 0)g no R4 com produto escalar.
(f) � =
��
1 0
0 1
�
;
�
0 1
1 0
�
;
�
0 0
1 1
�
;
�
1 1
0 1
��
no M2�2(R) com produto interno usual. (ver exercício 2e) para saber
qual é o produto interno usual).
(g) Para quem sabe integrar: ff1(x) = cosx; f2(x) = senxg com produto interno hf; gi =
1R
0
f(x):g(x)dx.
2