Função Afim e Quadrática Métodos Qualitativos UNOPAR

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Núcleo Comum - ACE
Métodos Quantitativos
Prof. Me. Marcelo Silva de Jesus 
TA1
Função afim 
e função quadrática
ResumoUnidade de Ensino: 1 
Competência da 
Unidade de Ensino:
Compreender diferentes tipos de funções, 
como a função afim e a função quadrática, 
bem como representá-las graficamente 
visando aplicações em problemas práticos.
Resumo:
Nessa unidade você estudará noções de 
conjuntos, representação no plano cartesiano, 
função afim 
e função quadrática. 
Palavras-chave:
função afim; função quadrática; sinal; ponto 
de mínimo; 
ponto de máximo
Título da teleaula:
Função afim e função
quadrática
Teleaula nº: 1
A função afim e a função quadrática são duas classes
de funções muito utilizadas não somente na
Matemática, mas também na Física, na Economia, na
Engenharia, na Administração etc.
Convite ao estudo
Fonte: https://goo.gl/mm9bEl. Acessado em 
25/02/2017.
VA Caminho de Aprendizagem
Matemática básica: operações, expressões e noções 
primitivas como conjunto, elemento e pertinência.
Conhecimentos prévios
Fonte: https://goo.gl/NnXgB2. Acessado 
em 27/02/2017.
Imagine que você seja o dono de uma empresa que
fabrica bonés. Para melhor analisar os custos e lucros
você decidiu estudar esses números utilizando funções
e gráficos matemáticos, buscando uma melhor
organização e maiores lucros, bem como um
planejamento de expansão da empresa.
Pensando a aula:
situação geradora de aprendizagem
Fonte: https://goo.gl/MVHjqY.
Acessado em 27/02/2017.
Cápsula 1 “Iniciando o estudo”
Vamos imaginar que o preço de venda dos bonés seja 
de R$30,00 por unidade. Qual a receita obtida com a 
venda de 10 unidades?
Situação-Problema 1
Vamos supor que, a partir de balanços financeiros de
anos anteriores, chegou-se à conclusão de que,
mensalmente, o custo com a produção é composto por
um custo fixo de R$9.000,00 mais um custo variável de
R$20,00 por boné.
Nesse caso, com a produção e venda de 750 bonés em
um mês, tem-se lucro ou prejuízo?
E se forem produzidos e comercializados 1200 bonés?
Situação-Problema 1
Fonte: https://goo.gl/7uOawJ 
Acessado em 10/03/2017.
Lei de formação e gráfico de uma função
Considere que em determinado posto de combustíveis
o preço do etanol seja de R$ 2,40 o litro. Qual é a lei de
formação da função que relaciona a quantidade de
etanol abastecida (x) e o valor a pagar v(x)?
Problematizando a situação-problema 1
Quantidade 
de litros
Valor a pagar (R$)
Uma empresa de táxi cobra pela corrida um valor fixo
de R$4,85 (bandeirada) mais um valor variável de
R$2,90 por quilômetro rodado. Construa a lei de
formação da função que retorna o preço f(x) para uma
distância x percorrida.
Resolução: 
𝑓 𝑥 = ณ𝑎 ∙ 𝑥
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙
+ ฎ𝑏
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑓𝑖𝑥𝑜
Problematizando a situação-problema 1
Fonte: https://goo.gl/OqNKmz. 
Acessado em 27/02/2017.
Lembre-se de que o preço de venda de cada boné é R$ 
30,00.
 Se nenhum boné for vendido, não há receita
0 . R$ 30,00 = R$ 00,00
 Se 1 boné for vendido, a receita é R$ 30,00
1 . R$ 30,00 = R$ 30,00
Resolvendo a Situação-Problema 1
Se 2 bonés forem vendidos, a receita é R$ 60,00 
2 . R$ 30,00 = R$ 60,00
Se 𝑥 bonés forem vendidos, a receita é:
Portanto, a função receita é 
𝑅 𝑥 = 30. 𝑥
Resolvendo a Situação-Problema 1
Outro questionamento feito, foi em relação
ao lucro, mas, para isso, precisamos determinar
a função custo, traduzindo matematicamente
a informação:
“o custo com a produção é composto por um custo fixo
de R$ 9.000,00 mas um custo variável de R$ 20,00 por
boné”.
Função custo: 𝐶 𝑥 = 9.000 + 20 . x
Função receita: 𝑅 𝑥 = 30 . x
Lucro/prejuízo = receita – custo
Resolvendo a Situação-Problema 1
750 bonés
𝑅 𝑥 = 30 . x = 30 . 750 = 22500
𝐶 𝑥 = 9000 + 20 . x = 9000 + 20 . 750 = 24000
𝐿 𝑥 = 22500 − 24000 = −1500
1200 bonés
𝑅 𝑥 = 30 . x = 30 . 1200 = 36000
𝐶 𝑥 = 9000 + 20 . x =
= 9000 + 20.1200 = 33000
𝐿 𝑥 = 36000 − 33000 = 3000
Resolvendo a Situação-Problema 1
Cápsula 2 “Participando da aula”
Você deve fazer uma apresentação contendo:
a) Um gráfico com os lucros/prejuízos para cada 
quantidade produzida.
b) Determinar intervalos de produção para os quais 
há lucro ou prejuízo.
c) O lucro do trimestre com o 
aumento da produção dos atuais 
600 bonés para 1200 bonés 
ao mês, com acréscimo de 
produção de 200 bonés 
mensais.
Situação-Problema2
Função afim
Uma função afim é uma função 𝒇:𝑹 → 𝑹 cuja lei de 
formação é 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 + 𝒃, em que 𝒂 ∈ 𝑹, não nulo, é 
denominado coeficiente angular e 𝒃 ∈ 𝑹 é 
denominado coeficiente linear. 
A representação gráfica de uma função afim sempre é 
uma reta
Problematizando a Situação-Problema 2
Esboce o gráfico da função 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟐
Problematizando a Situação-Problema 2
Problematizando a Situação-Problema 2
Zero e sinal da função afim
O zero de uma função f(x) é o valor x0 tal 
que f(x0) = 0.
Ex.: Dada a função f(x) = 5x – 10, determine:
 O zero;
 Os valores de x para os quais f(x) > 0;
 Os valores de x para os quais f(x)<0.
Resolução:
Problematizando a Situação-Problema 2
Resolução:
Problematizando a Situação-Problema 2
Primeiramente, para esboçar um gráfico com
o lucro/prejuízo, é necessário construir a função:
L(x) = R(x) – C(x)
Dado, 𝑅 𝑥 = 30𝑥 e 𝐶 𝑥 = 9000 + 20𝑥
A função lucro é:
𝐿 𝑥 = 30𝑥 − 9000 + 20𝑥 =
𝐿 𝑥 = 30𝑥 − 9000 − 20𝑥
𝐿 𝑥 = 10𝑥 − 9000
Resolvendo a Situação-Problema 2
𝐿 𝑥 = 10𝑥 − 9000
Resolvendo a Situação-Problema 2
Resolvendo a Situação-Problema 2
Determinando 𝑥:
𝐿 𝑥 = 0
𝐿(𝑥) = 10𝑥 − 9000
𝐿 𝑥 = 10𝑥 − 9000 = 0
10𝑥 = 9000
10𝑥 =
9000
10
10𝑥 = 900
Resolvendo a Situação-Problema 2
𝐿 800 + 𝐿 1000 + 𝐿(1200)
Temos:
= 10.800 − 9000 + 10.1000 − 9000
+10.1200 − 900
= −1000 + 1000 + 3000
= 3000
Resolvendo a Situação-Problema 2
Cápsula 3 “Participando da aula”
Vocês saíram do prejuízo de quando produziam 600
bonés ao mês e começaram a ganhar dinheiro ao
produzir 1200. Seu sócio ficou tão feliz que vocês
aumentaram ainda mais a produção, chegando a 2400
bonés por mês.
Fonte: https://goo.gl/YQRXlq Acessado em 
27/02/2017.
Situação-Problema 3
Com uma boa margem de lucro, agora é seu sócio quem
quer convencê-lo a ampliar o negócio ainda mais,
aumentando o espaço físico, indo dos atuais 300 𝑚2 para
750 𝑚2 futuramente.
Devido aos equipamentos que estão instalados e o terreno
onde o galpão se encontra, o plano é aumentar tanto o
comprimento quanto a largura em um valor 𝑥 ainda
desconhecido.
Situação-Problema 3
Fonte: https://goo.gl/AJr3z1. Acessado em 27/02/2017.
Como seu sócio não entende tanto do assunto, pediu
para que você determinasse a medida 𝑥 que deve ser
acrescida e o custo desse investimento, uma vez que se
estima o valor de R$ 725,85 por metro quadrado a ser
construído.
Para facilitar todo o processo, você pode se focar em
responder as seguintes perguntas:
Situação-Problema 3
a) Que função relaciona a medida 𝑥 e a área total do
galpão, incluindo a atual? E qual função relaciona 𝑥
com o valor do investimento? Quais os gráficos
dessas funções?
b) Qual medida 𝑥 proporcionará uma área total de
750 𝑚2.
Situação-Problema 3
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017.
Função Quadrática
Uma função quadrática é aquela cuja lei de formação é 
𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 com 𝒂 ≠ 𝟎. 
A representação gráfica de uma função quadrática é 
uma curva plana denominada parábola.
Problematizando a situação-Problema 3
Coeficientes de uma função quadrática
Raízes de uma função quadrática
Problematizando a situação-Problema3
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Exemplo: 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 8𝑥 + 12
𝑎 =
𝑏 =
𝑐 =
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
Problematizando a situação-Problema 3
A área de um retângulo é obtida multiplicando
as medidas de dois lados consecutivos.
No caso da área atual, a medida 300 𝑚2 é obtida
multiplicando 20 𝑚 por 15 𝑚.
Para calcular a área futura, multiplicamos
20 + 𝑥 𝑚 por 15 + 𝑥 𝑚.
Resolvendo a situação-Problema 3
Logo, a função que relaciona a medida 𝑥 , em
metros, e a área futura, em metros quadrados é:
𝐴 𝑥 = 20 + 𝑥 . 15 + 𝑥
= 20 . 15 + 𝑥 .15 + 20 . 𝑥 + 𝑥 . 𝑥
= 300 + 35𝑥 + 𝑥2
Resolvendo a situação-Problema 3
A função investimento I(𝑥) é obtida multiplicando
725,85 (valor do metro quadrado) pela área que será
acrescida.
𝐼 𝑥 = 𝐴 𝑥 − 300 . 725,85 =
= 𝑥2 + 35𝑥 + 300 − 300 . 725,85 =
= 725,85𝑥2 + 25404,75𝑥
Resolvendo a situação-Problema 3
Esboço dos gráficos de A(x) e I(x):
Resolvendo a situação-Problema 3
𝐴 𝑥 = 750
𝑥2 + 35𝑥 + 300 = 750
𝑥2 + 35𝑥 + 300 − 750 = 0
𝑥2 + 35𝑥 − 450 = 0
Fórmula:
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
=
−35 ± 352 − 4 . 1 . (−450)
2 . 1
=
=
−35 ± 1225 + 1800
2
=
Resolvendo a situação-Problema 3
=
−35 ± 55
2
𝑥1 =
−35 + 55
2
= 10 𝑥2 =
−35 − 55
2
= −45
Resolvendo a situação-Problema 3
Cápsula 4 “Participando da aula”
Seu sócio quer agora recuperar parte do investimento
aumentando o preço de venda dos bonés. Atualmente,
são produzidos e comercializados 2400 bonés por mês,
vendidos por R$30,00 cada. Para que tudo ocorra de
modo planejado, ele se adiantou e fez uma pesquisa
junto aos consumidores estimando que para cada 𝑥
reais acrescidos no preço de cada boné são vendidas
(2400 - 60𝑥) unidades por mês.
Situação-Problema 4
Fonte: https://goo.gl/qlUNFE. 
Acessado em 10/03/2017.
Qual deve ser o preço 
de cada boné para 
que a receita seja 
a maior possível?
Situação-Problema 4
Máximos e Mínimos
Seja 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 uma função
quadrática. Se:
• 𝑎 > 0 , o gráfico tem concavidade voltada para
cima, e o vértice é seu ponto mais baixo;
• 𝑎 < 0 , o gráfico tem concavidade voltada para
baixo, e o vértice é seu ponto mais alto.
Problematizando a Situação-Problema 4
Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 6𝑥 + 5, faça o estudo dos
sinais e determine se f possui um valor máximo ou um
mínimo e especifique esse valor.
Resolução:
Problematizando a Situação-Problema 4
Problematizando a Situação-Problema 4
Considere que o preço do boné, que atualmente é de R$30,00, 
seja acrescido em 𝑥 reais. O novo preço será: 
30,00 + 𝑥
Com o boné nessa faixa de preço, são vendidas (2400 – 60 𝑥) 
unidades. 
Lembre-se de que a função receita é obtida multiplicando a 
quantidade vendida pelo preço, logo:
𝑅 𝑥 = 2400 − 60𝑥 . 30 + 𝑥
= 2400 − 60𝑥 30 + 2400 − 60𝑥 𝑥
= 72000 − 1800𝑥 + 2400 − 60𝑥2
Resolvendo a Situação-Problema 4
Portanto, 𝑅 𝑥 = −60𝑥2 + 600𝑥 + 72000.
𝑎 = −60 < 0
Logo, a função possui um valor máximo atingido em:
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
600
2. −60
=
−600
−120
= 5
O novo valor do boné será de R$35,00.
Fonte: https://goo.gl/ccxuII. 
Acessado em 27/02/2017.
Resolvendo a Situação-Problema 4
Cápsula 5 “Participando da aula”
O lucro de uma empresa na venda de
determinado produto é dado pela função
𝐿 𝑧 = −4𝑧2 + 100𝑧 − 80,
onde 𝑧 representa o número de produtos
vendidos e 𝐿(𝑧) é o lucro em reais.
Determine a quantidade de produtos que deve
ser vendida para se obter o lucro máximo.
Provocando novas situações
Resolução
Provocando novas situações
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