Exercícios de Probabilidade e Estatística

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Segunda lista de Exercícios(Magalhães e Lima, Seção 2.3). 
 
Exercicios 4, 17, 18, 21, 23, 29, 30. 
4) Uma classe de estatística teve a seguinte distribuição de notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do 
feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno 
sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi 
aprovado. Calcule: 
a) P(A∪MC)= P(A) + P(Mc) – P(A∩Mc) = 22/32 + 20/32 – 14/32 = 28/32 
b) P(AC∩MC)= 6/32 
c) P(A|M)= P(A∩M)/P(M) = (8/32)/(12/32) = 8/120 
17) Uma companhia que fura poços artesianos trabalha numa região escolhendo aleatoriamente o ponto 
de furo. Não encontrando água nessa tentativa, sorteia outro local e, caso também não tenha sucesso, faz 
uma terceira e última tentativa. Admita probabilidade 0,7 de encontrar água em qualquer ponto dessa 
região. Calcule a probabilidade de: 
a)Encontra água na segunda tentativa ==> P(1c∩2) = 0,3 x 0,7 = 0,21 
b) Encontrar água em até duas tentativas ==> P(X<=2) = P(1) + P(1c∩2) = 0,7 + 0,21 = 0,91 
c)Encontrar água ==> P(X<=3) = P(1) + P(1c∩2) + P(1c∩2c∩3) = 0,7 + 0,21 + 0,3 x 0,3 x 0,7 = 0,973 
18)Um médico desconfia que um paciente tenha tumor no abdômen, pois isto ocorreu em 70% dos casos 
similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o tumor, o exame ultrassom o detectará com probabilidade 
0,9. Entretanto, se ele não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com probabilidade 
0,1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do paciente tê-lo de fato? 
P(T|p) = P(T∩p)/P(p) = 0,7 x 0,9 / [(0,7*0,9) + (0,3*0,1)] = 0,9545 
21)Três fábricas fornecem equipamentos de precisão para o laboratório de química de uma universidade. 
Apesar de serem aparelhos de precisão, existe uma pequena chance de subestimação ou superestimação 
das medidas efetuadas. A tabela a seguir apresenta o comportamento do equipamento produzido em cada 
fábrica: 
 Fábrica Subestima Exata Superestima 
 
Probabilidades 
I 0,01 0,98 0,01 
II 0,005 0,98 0,015 
III 0,00 0,99 0,01 
As fábricas I, II e III fornecem, respectivamente, 20%, 30% e 50% dos aparelhos utilizados. Escolhemos, 
ao acaso, um desses aparelhos e perguntamos a probabilidade de: 
a. Haver superestimação de medidas? 
b. Não haver subestimação de medidas efetuadas? 
c. Dando medidas exatas, ter sido fabricado em III? 
d. Ter sido produzido por I, dado que não subestima as medidas? 
a)P(SP) = 0,01x0,2 + 0,015x0,3 +0,01x0,5 = 0,0002+0,0045+0,005=0,0097 
b)P(SBc) = 0,99x0,2 + 0,995x0,3 + 0,5 = 0,9965 
c)P(III|E) = P(III∩E)/P(E) = (0,5x0,99)/[(0,2x0,98)+(0,3x0,98)+(0,5x0,99)] = 0,5025 
d) P(I|SBc) = P(I∩SBc)/P(SBc) = (0,2x0,99)/0,9965 = 0,1986 
23)Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na tabela a seguir, 
contendo o número de acidentes incluindo vitimas fatais e as condições do principal motorista envolvido, 
sóbrio ou alcoolizado. 
Motorista | vítimas fatais Não(%) Sim (%) 
Sóbrio 1228 275 
Alcoolizado 2393 762 
Você diria que o fato do motorista esta ou não alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas fatais? 
Adaptando os resutados da tabela enunciada para dados probabilisticos constata-se que estar alcoolizado 
acarreta em 6% mais vítimas fatais que estando sóbrio. 
Motorista | vítimas fatais Não(%) Sim (%) 
Sóbrio 81,70326 18,29674 
Alcoolizado 75,84786 24,15214 
29)Um candidato a motorista treina na autoescola e acredita que passa no exame com probabilidade 
0,7. Se não passar, fará mais treinamento, o que ele estima que lhe aumentará em 10% a probabilidade 
de passar, isto é, no segundo exame passará com 0.77 de probabilidade. 
a. Supondo que ele continue acreditando nesse aumento de possibilidade, em que exame será aprovado 
com certeza? 
b. Qual é a probabilidade de serem necessários mais de 2 exames? 
 a) 1 = 0,7 * 1,1^(n-1) , n = número de vezes de tentativas 
1,1^(n-1) = 1,42857 ==> log(1,42857) [base:1,1] =n-1 ==> n-1 = 3,74 ==> n=4,74 ==> n=5 
b) 1-P(1)-P(2) = 1 - 0,7 – 0,3x0,77 = 0,0069 
30)(Use o computador) Considere os dados do arquivo areas.txt descrito no Exercício 25, Capítulo 1. 
Suponha que você ganhe um apartamento em uma promoção feita por uma cadeia de lojas. Utilizando o 
computador, construa tabelas de frequência necessárias para responder às seguintes questões. 
a. Qual a probabilidade de o apartamento estar situado entre os andares 4 e 7? 
b. Qual a probabilidade de o apartamento estar situado no bloco B? 
c. Qual seria a probabilidade de você ganhar um apartamento com algum problema de construção?(isto é, 
com rachaduras ou infiltrações) 
d. Repita os itens anteriores, dado que o apartamento está situado no bloco B. 
a) Pela tabela de frequência pode se ver que existem 8 apartamentos por andar com no total 152 aptos, 
logo a probabilidade de se ter um apto entre 4 e 7 é 16/152 (ou seja situado no 5 ou 6). 
b) A probabilidade dele estar no bloco B é a mesma de estar no bloco A já que são conjuntos 
complementares de igual tamanho, portanto a probabilidade é 76/152 ou seja ½. 
c) P(R) + P(I) – P(R∩I) = 67/152 + 44/152 – 24/152 = 87/152 
d) Probabilidade de estar entre os andares 4 e 7 é 8/76 
Probabilidade de estar no bloco B é 1 já que isso é dado. 
P(R) + P(I) - P(R∩I) = 34/76 + 21/76 – 10/76 = 45/76