1ª Unidade Geometria Analítica - Gabarito (Willames)

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO 
ESCOLA POLITECNICA DE PERNAMBUCO 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
ALUNO:____________________________________________________ TURMA:___________ 
 
1ª UNIDADE 
 
1º) Determine as coordenadas do ponto P(2, 5) em relação ao sistema obtido do sistema x0y por uma rotação de um 
ângulo 𝜃 tal que tan 𝜃 = 1 3� . 
Como tan 𝜃 = 1 3� , temos que sin𝜃cos𝜃 = 13 → sin𝜃 = cos𝜃3 → (sin𝜃)2 = (cos𝜃)29 . Uma vez que (sin𝜃)2 + (cos𝜃)2 =1 → (cos 𝜃)2 = 1 − (sin𝜃)2, temos: 
(sin𝜃)2 = 1 − (sin𝜃)29 → sin𝜃 = ±� 110 ∴ cos𝜃 = ±� 910 
𝑥1 = 𝑥 cos𝜃 + 𝑦 sin𝜃
𝑦1 = −𝑥 sin𝜃 + 𝑦 cos𝜃 → 𝑥1 = 2�
910 +5� 110
𝑦1 = −2� 110 +5� 910 →
𝑥1 = 11√1010
𝑦1 = 13√1010 
 
2º) Deduza a equação da parábola que contêm os pontos (-1, 12), (1, 2) e (2, 0) e tem eixo paralelo ao eixo y. 
A equação da parábola paralela ao eixo 𝑦 é da forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Como os pontos pertencem a parábola, 
basta resolver o sistema: 
�
12 = 𝑎 ∙ (−1)2 + 𝑏 ∙ (−1) + 𝑐2 = 𝑎 ∙ ( 1)2 + 𝑏 ∙ ( 1 ) + 𝑐0 = 𝑎 ∙ ( 2 )2 + 𝑏 ∙ ( 2 ) + 𝑐 → � 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 12𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 24𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 → 𝑎 = 1; 𝑏 = −5; 𝑐 = 6 
Logo, a equação da parábola é 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 + 6 
3º) Demonstre que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto. 
Considerando 𝐴 = (−𝑟. 0);𝐵 = (𝑟, 0) 𝑒 𝑃 = (𝑥,𝑦) e sabendo que 𝐴𝑃�����⃗ = (𝑥 + 𝑟, 𝑦) e que 𝐵𝑃�����⃗ = (𝑥 − 𝑟,𝑦) e como 
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2, temos: 
𝐴𝑃�����⃗ ∙ 𝐵𝑃�����⃗ = (𝑥2 − 𝑟2 + 𝑦2) = 𝑟2 − 𝑟2 = 0 
Logo, 𝐴𝑃�����⃗ e 𝐵𝑃�����⃗ são perpendiculares. 
4º) Determine a distância entre as retas 2𝑥 − 𝑦 = 6 e 2𝑥 − 𝑦 = −1 
Sejam as equações das retas r e s iguais a 2𝑥 − 𝑦 − 6 e 2𝑥 − 𝑦 + 1, respectivamente. Basta, então, determinar a 
distância de qualquer ponto de uma reta a outra. Sabendo que o ponto 𝑃 = (0,−6) ∈ 𝑟, temos: 
𝑑(𝑃, 𝑠) = |𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|
√𝐴2+𝐵2
= |2∙0 +(−1)∙(−6)+1|
�22+(−1)2 = 7√5 = 7√55