Aula 8 Corpos Rígidos Sistemas Equivalentes de Forças

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Corpos Rígidos: Sistemas 
Equivalentes de Forças
Professora: Patrícia Carvalho
CONCEITOS
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Forças externas representam a ação dos outros
corpos sobre o corpo rígido, responsáveis pelo seu
comportamento externo.
Forças internas são as que mantêm unidos os
pontos materiais que formam o corpo rígido.
Forças Internas e Externas
Forças Externas
Diagrama de 
corpo livre
Condições de equilíbrio permanecem inalteradas se
uma força é substituída por outra na mesma linha
de ação, mesmo sentido e mesmo módulo.
Princípio da transmissibilidade. 
Forças equivalentes
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 Não importa o ponto de aplicação;
 Importa a linha de ação inalterada;
 São representadas por vetores deslizantes;
 Serão utilizadas forças físicas em vez de
vetores deslizantes para manter apresentação
mais intuitiva.
Forças no corpo rígido
6
Forças no corpo rígido
7
Sistemas de forças equivalentes, contudo as 
forças internas e deformações produzidas são 
diferentes
PRODUTO VETORIAL
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O produto vetorial de 2 vetores P e Q é definido
por V, que satisfaz às seguintes condições:
1. A linha de ação de V é perpendicular ao plano que 
contém P e Q
Produto Vetorial de 2 
Vetores
9
2.
3. O sentido de V considera a rotação de θ anti-horário
Produto Vetorial de 2 
Vetores
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senQPV ..
QPV 
P e Q mesma direção e sentidos iguais ou opostos V é nulo
P e Q com  ≠ 0 A intensidade de V é igual à área do
paralelogramo que tem P e Q como lados
Produto Vetorial de 2 
Vetores
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'
QPQPV   QPPQ 
Calcule o produto vetorial entre P e Q, P possui
módulo 7 e está situado no plano xz e Q possui
módulo 4.
Exemplo 1
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Não vale a propriedade comutativa;
Vale a propriedade distributiva:
Não vale a propriedade associativa;
Propriedades do Produto 
vetorial
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  2121 QPQPQQP    SQPSQP 
COMPONENTES DO PRODUTO VETORIAL
Produto vetorial expresso em termos 
das Componentes Cartesianas
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Produtos dos diversos pares possíveis de vetores unitários:
Produto vetorial expresso em termos 
das Componentes Cartesianas
Componentes cartesianas de V:
Dados os vetores P = -2i + 4j – 7k, Q = 5i – 12j -2k
e S = 3j + 4k, determine:
a) P x Q
b) Q x P
c) P x (Q + S)
d) S x (Q x P)
Exemplo 2
1714/03/2018
MOMENTO EM RELAÇÃO A UM 
PONTO
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M0 = r x F
M é perpendicular ao
plano que contém O e F
Momento de uma força em 
relação a um ponto
Sentido de M 
de acordo com 
a regra da 
mão direita
dFsenFrMO  
Momento de uma força em 
relação a um ponto
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Sentido de M 
de acordo com 
a regra da 
mão direita
Teorema de Varignon
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Substituindo em
Podemos escrever o momento
como
E suas componentes são
Componentes cartesianas do momento 
em relação a um ponto na origem
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M também pode ser escrito na forma do
determinante:
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Componentes cartesianas do 
momento em relação a um ponto na 
origem
Momento em relação a um 
ponto fora da origem
Para calcular o momento Mb
em relação a um ponto
arbitrário B, da força F
aplicada em A, deve-se
substituir o vetor-posição r
pelo vetor BA,
que pode ser escrito como a
subtração de rb e ra
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Ou na forma do determinante
Onde
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Em duas dimensões, temos: z = 0 e Fz = 0
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Para calcular o momento em relação a B(xb, yb) de
uma força contida no plano xy e aplicada em
A(xa, ya), fazemos z = 0 e za/b= 0 e verificamos que
Mb é perpendicular ao plano xy e definido por:
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Exemplo 3
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Uma força de 135 N atua na extremidade de uma
alavanca de 0,9 m. Determine o momento da força
em relação a O.
Exemplo 4
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Uma válvula de pedal para um sistema pneumático é
articulada em B. Sabendo que a = 28o , determine o
momento de uma força de 16 N em relação ao ponto
B, decompondo a força em componentes ao longo de
ABC e em uma direção perpendicular a ABC
Exemplo 5
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Determine o momento da força F em relação ao
ponto O. Expresse o resultado como um vetor
cartesiano
Considere as trações BD e FE: 900 N e 675 N.
Calcular o momento em relação ao ponto O:
a) Da tração no cabo BD;
b) Da tração no cabo FE
Exemplo 6
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Antes que o tronco de uma grande árvore venha a cair, são
amarrados cabos AB e BC, como mostra a Figura. Sabendo
que as forças de tração nos cabos são 555 N e 660 N,
respectivamente, determine o momento em relação a O da
força resultante exercida sobre a árvore pelos cabos em B.
Exemplo 7
32
3.3
3.8
3.11
3.21
3.25
3.28
3.31
Lista 6
33