Física Ia - prof. Maekawa

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Física I
Claudio M. Maekawa
The Date
ii
Contents
Fisica Geral vii
1 Física e Matemática 1
1.1 Consequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Fundamentos da Ciência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Sociológicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Consequências práticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Física e Matemática: diferenças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Notas Matemáticas Limites e derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Cálculo da derivada de uma função linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 As leis da Física e as equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 A percepção das diferenças relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 As taxas ou razões entre diferenças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 As equações diferenciais e a Física Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Física I 21
2.1 O caso da Força e massa constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Sistema de Unidades 25
3.1 Mudança de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Cinemática em 1-D 31
4.1 De…nições e conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.1 O ponto material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 O referencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.3 As Grandezas vetorais e cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Caso simples 1: Velocidade Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Caso Simples 2: Aceleração constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.1 Equações para esse caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3.2 Aplicação de derivadas: dedução de v (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
iii
iv CONTENTS
4.4 Dedução das eqs. horárias do MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.1 Cálculo de integrais de potências de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.2 Dedução de v (t) e x (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Preface
v
vi PREFACE
Fisica Geral
Física Geral é uma disciplina introdutória. Faz uma revisão do conteúdo de Mecânica, Termodinâmica e Fluídos, do
Ensino Médio na linguagem do Cálculo Avançado. O Cálculo Avançado é a linguagem adequada para a compreensão
destes conteúdos, pois foi nessa linguagem que esses conhecimentos foram construídos e estruturados de forma lógica.
Dentro dessa linguagem é possível perceber a lógica natural das Leis da Natureza em toda a sua abrangencia.
Curso de Fisica Geral. Introdução, Medidas e Mov. 1D
vii
viii FISICA GERAL
Chapter 1
Física e Matemática
'����& ! físis = natureza
A Física - é uma ciência natural exata
Ciência Natural
Conjunto de conhecimentos organizados segundo uma lógica
que permita descrever fenômenos, propriedades, relações,
mecanismos e princípios da Natureza
Ciência Natural Exata
É a Ciência Natural que procura obter
a descrição mais exata possível dos
fenômenos, propriedades, relações, mecanismos
e princípios da Natureza.
A Física sempre procura pela exatidão em suas respostas e também busca a impessoalidade, ou seja, a
verdade cientí…ca obtida pela Física não depende de quem descobriu essa verdade. O julgamento do certo ou errado
não está na autoridade, está na Natureza. Esse julgamento é obtido por meio de veri…cações experimentais que
possam ser realizadas por qualquer pesquisador em qualquer parte do mundo.
Como alcançar essa exatidão?
R. Através de uma linguagem que contenha tal exatidão.
Qual é essa linguagem?
A Matemática.
Como uma linguagem ela é precisa e universal. Os signicados e a lógica expressa pela Matemática são indepentes
da cultura, da época e da sociedade.
Em contraposição, a Linguagem das Palavras utilizada nas ciências humanas é fortemente dependente da cultura,
da época e da sociedade. Ela não contém a precisão necessária para evitar ambiguidades o que gera debates muito
longos e muitas vezes insolúveis.
1
2 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
Um importante aspecto quando a Matemática é usada como linguagem pela Física é a revelação de aspectos
da Natureza que não foram percebidos. Através de sua lógica ela muitas vezes leva os pesquisadores à reverem
conceitos e criar novos conceitos que por sua vez gera novas descobertas.
Uma discussão maior da Matemática como linguagem é vista na disciplinade Física e Sociedade.
Universalidade:
As equações não requerem tradução.
Exemplo:
O caso de massa constante da segunda lei de Newton é dado por:
~F = m~a (1.1)
ou em inglês.
The case of constant mass of Newton’s second law reads:
~F = m~a (1.2)
Assim, não importa o país, as equações são as mesmas.
Precisão:
A informação contida na equação é precisa.
~F representa a força, m a massa e ~a a aceleração.
Não importa como se escreva a equação
m~a = ~F ; ~am = ~F ;
~F = ~am;
~F
m
= ~a: (1.3)
Contra exemplo:
Na Linguagem das Palavras encontramos signi…cados diferentes para a palavra força.
1) A força de um homem é capaz de levantar uma saca de soja, até duas.
2) A força de um homem é capaz de gerar uma revolução na sociedade.
3) A força da sociedade está na reunião de todas as forças de seus membros em prol do desenvolvimento.
Observe que a palavra força possui vários signi…cados. Ao ser usada é um trabalho, é necessário que se
especi…que em qual sentido a palavra força é utilizada.
Conteúdos Físicos claros.
Os diferentes conteúdos físicos para a força, são discriminados pelo uso de letras ou índices diferentes:
A força peso ~P e a aceleração ~g
~P = m~g (1.4)
A força elétrica de Coulomb
~FC = k0
q1q2
r2
r^:
A atribuição de valôres:
3
���~F ��� = 10N; m = 1kg; j~aj = 10m=s2;
esses valôres são os mesmos em qualquer país ou planeta.
Quando não há a exatidão, é possível obter o tamanho do erro, ou seja, pode-se determinar a ordem de grandeza
da precisão.
Exemplo:
A segunda lei de Newton é válida para corpos com velocidade j~vj � c (c = velocidade da luz), ou melhor dizendo,
para vc � 1. Para velocidades próximas de c, ou vc . 1 a lei de força mais geral é:
~F =
m~aq
1� ~v2c2
+
m~v (~v � ~a)
c2
q
1� ~v2c2
Observe que quando vc � 1, pode-se desprezar os termos ~v
2
c2 e obter
~F = m~a. Este exemplo nos mostra que a
segunda lei de Newton é válida dentro da precisão vc � 1.
Não importa a língua falada ou escrita utilizada o signi…cado dos símbolos e da equação é precisa.
Interpretação~F = m~a (1.5)
Na linguagem ordinária podemos ter várias interpretações:
Literal Baseado nas propriedades matemáticas: A força é produto da massa com a aceleração
Causal Usando o conceito de causa e efeito, temos duas interpretações:
a) ~F = m~a: A Força ~F é a causa da aceleração ~a num corpo com massa m:
b) m~a = ~F . Um corpo de massa m com aceleração ~a gera uma força ~F :
Reveladora de propriedades da Natureza
A interpretação baseada no conceito de causalidade possui duas interpretações. O que leva à questão:
O que é causa e o que é efeito?
No caso da equação não há nenhuma dubiedade pois a equação é validada pela consistência lógica da teoria
e pelos experimentos. A credibilidade da equação nos revela, de forma simples, que a interpretação …losó…ca é
limitada e requer que ela seja reformulada:
A força pode ser tanto causa como efeito.
A aceleração pode ser tanto causa como efeito
Ou seja um agente pode ser causa ou efeito o que é uma situação contraditória na Linguagem das Palavras, mas
na equação não há nenhuma contradição lógica. Se será causa ou efeito depende de como o problema é abordado.
Assim a equação nos revela um aspecto da lógica …losó…ca que não percebíamos.
4 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
Causa pode ser efeito - efeito pode ser causa
depende de como é abordado o problema
O poder da preditibilidade com precisão
A partir da equação
~F = m~a (1.6)
se conhecermos os valôres de :
m e ~a pode-se prever o valor de ~F .
m e ~F pode-se prever o valor de ~a;
~F e ~a pode-se prever o valor de m.
1.1 Consequências
1.1.1 Fundamentos da Ciência
Atribuição de Princípios à Natureza
Essas capacidades que a matemática traz para a Física, permitiu que se atribuísse um conjunto mínimo de hipóte-
ses gerais a respeito do comportamento da Natureza. Essas hipóteses são aceitas sem comprovação e denominadas
de princípios, pois se acredita que a Natureza segue esses princípios.
Princípios assumidos pela Mecânica Newtoniana a respeito da Natureza.
1) A natureza é causal. Para todo efeito natural há uma causa natural.
2) A natureza tem precisão absoluta. A imprecisão encontrada na medida de uma grandeza é devido à limitação
tecnológica.
Observe que a segunda hipótese não tem como ser comprovada diretamente, uma vez que seria necessário uma
técnica experimental isenta de imprecisão.
1.1.2 Sociológicas.
Até hoje o pensamento humano é in‡uenciado por esses princípios, eles se sintetizam na visão de que:
a natureza é perfeita.
E o conceito humano de perfeição inclui a exatidão absoluta.
Assim acredita-se que ao medir a massa m de um corpo, digamos:
m = 1; 0 kg
esse valor absoluto é possível se tivermos o instrumento de medida perfeito.
Numa medida real do tipo:
m = 1; 0� 0; 1 kg (1.7)
a imprecisão de �0; 1 kg é atribuído à técnica de medida.
1.1. CONSEQUÊNCIAS 5
A busca desse conceito de perfeição está presente no nosso dia a dia.
No trabalho - o funcionário perfeito. - o chefe perfeito - o trabalho perfeito para mim.
Nos esportes - o jogo perfeito, a equipe perfeita, o chute perfeito.
Nos relacionamentos - o …lhon…lha perfeitona - a mulhernhomem perfeitano - o relacionamento perfeito.
Mas nessas aplicações sociais o conceito de perfeição é o mesmo?
1.1.3 Consequências práticas
A descrição e as previsões precisas das equações permitem que tenhamos um domínio maior sobre a Física. Esse
domínio nos permite controlar os fenômenos na direção que nos convém, ou quando não conseguimos esse controle,
podemos encontrar meios de evitar as consequências indesejáveis, uma vez que essas consequências são podem ser
conhecidas antecipadamente.
Com base nesse conhecimento pode-se, então, formular um conjunto de técnicas e procedimentos que reproduzem
os fenômenos de forma controlada em laboratórios.
Conhecimento Ciêntí…co gera Tecnologia.
Uma vez comprovada essas técnicas e procedimentos, pode-se então extender essas técnicas em aplicações de
interesse social: As Engenharias.
Ciência Básica Engenharia
Mecânica Newtoniana ! Eng. Mecânica - Eng. Civil
Termodinâmica + Mecânica ! Eng. automobilística, Eng. Industrial
Mecânica + Química ! Eng. de Materiais., Eng Química
Eletrodinâmica ! Eng. Elétrica - Eletrônica - Telecomunicações
Termo+ Mecânica+Mec. dos Fluídos ! Aviação
Os avanços tecnológicos, por sua vez, são necessários para os avanços na Física, pois novos experimentos são só
possíveis se novas tecnologias forem desenvolvidas.
Exemplo:
O LHC: Large Hadron Colider - É um gigantesco colisor de partículas construído no CERN - (Centro Europeu
de Pesquisas Nucleares)
Um único experimento produz um volume de dados na escala de Terabytes por segundo. Isso exigiu o desen-
volvimento de um novo sistema de computação e internet. O sistema GRID. Conecta cluster de computadores de
dezenas de universidades espalhadas pelo mundo conectadas por uma internet de banda ultra-larga que permite
que todos os computadores do sistema trabalhem simultaneamente para processar um único programa de análise
de dados.
Avanços Ciêntí…co e as novas áreas
Mecânica Quântica gerou novas áreas
Fis-Atomica e Molecular Explica e permite que se calcule como ocorre as reações químicas. Permite estudar
os efeitos físicos das impurezas nos materiais. Revela que as impurezas alteram as propriedades físicas do
6 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
material no entorno da impureza. Certas impurezas se tornam desejáveis. ! Nova tecnologia: implantação
iônica Ex: Metais com superfície dopada para resistir à corrosão.
Estado Solido No estudo das propriedades elétricas desvendou a fenomeno da semicondutividade. Consequências:
surgiu os materiais semicondutores base para os transistores e outros componentes de estado sólidos que
permitiu a criação da microeletrônica e informática.
No estudo da propagação da luz: Descobre uma nova forma de propagação: Propagação coerente - o laser
Óptica Quântica: novos materiais foram criados para produzirem luz, os LEDs, esses LEDs foram aperfeiçoados
para emitir luz laser. Fibras ópticas foram aprimoradas para para transmitirem a luz laser. Esses são
componentes de um novo tipo de Engenharia: Engenharia Quântica.
Fisica Nuclear Revela a natureza fundamental da radiatividade. Descoberta de novos tipos de reações: as reações
nucleares. A reação de fusão nuclear - dois núcleos leves se fundem para formar um outro mais pesado. Isso
permitiu que entendêssemos o metabolismo de uma estrela. O nosso Sol é uma usina de fusão nuclear onde
núcleos de hidrogênio (11H =hidrogênio e
2
1H =deutério) se fundem para produzir o núcleo de hélio (
3
2He) e a
radiação eletromagnética.
Nova engenharia: engenharia nuclear
Comput. Quantica Nova Area. Mecânica Quantica aplicada à computação: Novas portas lógicas que não existem
na computação clássica. Consequência: Número de passos para se realizar um cálculo é 1000 vezes menor do
que no processamento clássico.
1.2 Física e Matemática: diferenças
Deve-se prestar atenção onde estão os conceitos da matemática e onde estão os conceitos da Física.
Procuramos na Matemática os objetos adequados para representar objetos da Física.
Exemplo: Elemento da Física: a força
Características físicas: possui intensidade e para onde é aplicada.
Qual é o elemento da Matemática que possua características que possam ser usadas para representar essas
características físicas?
Resposta: O Vetor - possui módulo, direção e sentido.
Então pode-se usar o elemento matemático vetor para representar uma força:
Representação Matemática de Elementos da Física
o vetor ~F ! a força
A Matemática também permite estabelecer relações precisas entre os objetos matemáticos, por exemplo:
~A = c ~B
nessa equação ~A e ~B são vetores distintos, c é um escalar. O efeito é aumentar o tamanho do vetor.
1.2.FÍSICA E MATEMÁTICA: DIFERENÇAS 7
A Física usa essa relação matemática entre ~A e ~B para descrever as relações entre grandezas físicas.
Por exemplo:
Para representar:
uma força ! ~F
uma aceleração ! ~a
uma massa ! m
E se constroi
~F = m~a: (1.8)
e também pode-se extender para outras grandezas físicas:
Para representar:
uma velocidade ! ~v
uma aceleração ! ~a
um tempo decorrido ! t
e se constrói
~v = ~at: (1.9)
As diferenças devido ao conteúdo físico.
Na equação matemática:
~A = c ~B (1.10)
vimos que o efeito da constante c é de aumentar o tamanho do vetor ~B produzindo o vetor ~A.
Nas equações ~F = m~a e ~v = ~at, também temos esse efeito, mas na realidade temos algo a mais.
Em ~F = m~a, observe que o conteúdo físico do símbolo ~F é de força, do símbolo ~a é de aceleração e, portanto são
elementos distintos. O símbolo m é também distintos dos outro dois. Apesar dessas diferenças a lógica da Física
permitiu combinar esses três elementos distintos
"A massa m se combina com o vetor aceleração ~a e essa combinação é igual ao efeito da aplicação de uma Força
~F ."
Nessa interpretação física a operação de multiplicação entre m e ~a tem o signi…cado de combinação de dois
elementos para produzir um outro efeito. Nesse caso o efeito de m não é só o de "esticar o vetor" ele também
tem o efeito de se combinar com efeito de ~a para produzir o efeito de ~F .
É por essa razão que a unidade de força, o Newton N , é considerado uma unidade derivada. Ele é derivada a
partir das unidades considerada mais básicas de massa [kg] comprimento [m] e tempo [s], temos:
[N ] = [kg]
[m]
[s2]
: (1.11)
Análise do conteúdo físico da equação da velocidade do MRU
8 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
~v = ~at
Interpretação: "a aceleração combina-se com o tempo e gera a velocidade".
Na versão Matemática ( ~A = c ~B) temos também uma relação de dependência.
"As características do vetor ~A depende das características de c e do vetor ~B."
Dessa lógica matemática, podemos ver que o vetor ~v está alinhado com o vetor aceleração ~a.
Mas há uma pequena diferença na forma como os elementos estão posicionados; a grandeza escalar t está atrás da
grandeza vetorial ~a. Essa inversão de posição nos faz lembrar de outra expressão matemática: a função, e podemos
reescrever essa equação por:
~v (t) = ~at: (1.12)
Aqui temos uma função vetorial ~v (t) de uma variável escalar t e uma constante vetorial ~a. O efeito de t também
é o de esticar ~a . Mas há mais do que isso. Por ser uma função de uma variável de potência 1 sabemos que essa é
uma função linear. Da teoria de funções, o grá…co é uma reta inclinada. O vetor constante ~a tem o papel de um
coe…ciente linear da reta e mede o grau de inclinação dessa reta. Como o sinal de ~a é positivo (está implícito) a
reta do grá…co é crescente com o tempo. Essas são algumas das informações que obtemos da Matemática.
O conteúdo físico.
Aqui também encontramos a combinação de elementos distintos: velocidade ~v, aceleração ~a e tempo t. Do que
vimos da Matemática traduzimos para a Física, dizendo que, nesta expressão, a velocidade é uma função linear
do tempo e cresce à uma taxa constante determinada pela aceleração ~a. Veja que foi o conhecimento obtido das
propriedades matemáticas que permitiram reconhecer que a aceleração ~a determina com que rapidez o crescimento
da velocidade ocorre, i.e., se j~aj é grande a inclinação da reta é grande e assim j~vj cresce mais rápido do que quando
j~aj é menor.
O outro papel que a multiplicação por ~a tem, pode ser melhor vista realizando a análise de dimensões.
Temos as seguintes dimensões:
[~v] =
�
m
s
�
; [~a] =
�
m
s2
�
e [t] = [s]
Substituindo na equação: hm
s
i
=
hm
s2
i
[s] (1.13)
podemos cancelar os segundos hm
s
i
=
hm
s
i
: (1.14)
observe que as unidades de aceleração
�
m
s2
�
transformou a unidade de tempo [s] em unidade de velocidade
�
m
s
�
.
Assim, podemos dizer que outro papel da multiplicação por ~a é o de conversor de tempo em velocidade.
Podemos agora perceber que a multiplicação
~at
transforma o tempo t em um vetor velocidade ~v, ou seja, a multiplicação também pode representar uma tranfor-
mação de elementos físicos em outros elementos.
1.2. FÍSICA E MATEMÁTICA: DIFERENÇAS 9
Para extrair mais informação, podemos agora "brincar" com a expressão ~v = ~at.
A lógica matemática nos permite inverter:
~B =
~A
c
: (1.15)
e nos conta que o vetor ~B é diretamente dependente do vetor ~A e inversamente dependente da constante c.
Aplicando no caso da Física
~a =
~v
t
:
O vetor aceleração é diretamente dependente do vetor velocidade ~v e inversamente dependente do t.
Essas análises nos levanta uma questão: Pode-se fazer
~A
~B
= c ? (1.16)
e se aprende da Matemática que a divisão por um vetor não tem sentido. O mesmo ocorre para a aplicação
em Física e assim a Matemática nos informa que o tempo não pode ser determinado por
~v
~a
= t �e proibido! (1.17)
Mas a Matemática permite que ��� ~A������ ~B��� = c: (1.18)
e essa equação nos informa que c sempre será c � 0. Aplica no caso da Física, temos:
j~vj
j~aj = t: (1.19)
E concluímos, por essa equação, que o tempo sempre será positivo ou nulo. Isso é o que se espera que ocorra, pois
nunca observamos tempos negativos.
Essa última análise, nos mostra que o uso da equação matemática ~A = c ~B ou ~f (t) = ~at, resultou numa conclusão
consistente com o que se observa a respeito do tempo. Isso é chamado de teste de consistência da lógica física.
Isto é um exemplo de análise do conteúdo físico da equação: ~v = ~at. A Linguagem Matemática e sua lógica
resultou em conclusões físicas consistentes com o que se observa na Natureza. Também estabeleceu limites para a
manipulação algébrica dos elementos da Física.
Pode-se extender a aplicação de ~A = c ~B para outras grandezas físicas:
Matemática
~A = c ~B
!
Física
~F = m~a
~v = ~at
~P = m~g
~r = ~vt
Aqui deve-se notar:
1) As equações na Física contém o conteúdo matemático + o conteúdo físico.
2) O conteúdo matemático é o mesmo nessas equações, porém o conteúdo físico é diferente em cada uma delas.
10 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
3) A operação multiplicação pode ser interpretada na Física como combinação ou transformação
Na Matemática há outras formas de operações, assim também se pode encontrar outras formas de combinar
os elementos da Física e veri…car os efeitos.
Em alguns casos, embora a Matemática permita a combinação, a Física não permitirá. Exemplo:
Na Matemática podemos combinar dois vetores da seguinte maneira:
~A+ ~B = ~C: (1.20)
Na Física podemos somar várias forças e o resultado é uma força resultante
~F1 + ~F2 + ::: = ~R
As forças podem ser diferentes
~P + ~FC = ~R: (1.21)
Na Física será que se pode combinar ~F com ~v por meio de uma soma?
~F + ~v =? (1.22)
Aqui o conteúdo físico de cada elemento proíbe a combinação por meio da soma, pois esses conteúdos são distintos.
Folclóricamente falando,
A Física não permite fazer salada de frutas.
Fazer toda essa análise de conteúdo físico de uma equação matemática signi…ca ser capaz de ler e entender a
Física ('����& ! físis) da equação.
Exercício: Leia a física (Analise do conteúdo físico) da equação
~P = m~g: (1.23)
O exercício de ler a física de uma equação é interessante, pois pessoas diferentes podem encontrar propriedades
que outros não foram capazes de perceber. Quanto mais so…sticado e abstrato for uma equação maior é o con-
teúdo físico que ela possui. Na história da Física, há expressões matemáticas cujos conteúdos físicos não foram
totalmente descobertos pelos próprios autores das equações. Pesquisadores que sucederam a esses autores é que
foram responsáveis por realizar as decobertas e, emalguns casos, a corrigir a interpretação original realizada pelo
próprio autor da equação. Isso será visto ao longo do curso. Um caso famoso é a de Stephen Hawking, ele descobriu
que a Equação de Einstein da Relatividade Geral permite a existência de buracos negros. O objeto matemático
usado para descrever um buraco negro é uma singularidade matemática! (um exemplo de singularidade é o ponto
x = 0 da função 1=x, matemáticamente a função não existe em x = 0). Esse é um dos exemplos intrigantes de
associação entre um objeto físico à uma abstração matemática: a singularidade. Esse exemplo mostra também que
o signi…cado da frase abstração matemática para a Física não tem nada de abstrato. No curso do aprendizado da
Física descobriremos que quanto mais "abstrato" mais fundamental é uma Teoria. A abstração matemática tem
sido a grande responsável por descobertas concretas.
Vemos que quanto maior o nosso domínio sobre a Matemática e a habilidade de utilizá-la como uma linguagem
além de utilizá-la como ciência, nos permitirá compreender melhor a Natureza. É por isso que hoje se diz que:
1.3. NOTAS MATEMÁTICAS LIMITES E DERIVADAS 11
A Matemática é a linguagem para entender e revelar os mistérios da Natureza.
Eis o papel dela na Física.
1.3 Notas Matemáticas Limites e derivadas
Para prosseguir precisamos ter um pouco de entendimento sobre equações diferenciais, e essas equações são basedas
no conceito de derivada que é de…nida por meio do conceito de limites.
1.3.1 Limites
Para podermos obter uma intuição dos conceitos de limites e in…nitésimos.
Uma tartaruga viaja de uma cidade A até uma cidade distante B. Mas a cada dia de viajem ela percorre metade
do caminho que falta e pára.
Assim temos
Seja D a distância entre as duas cidades.
Dia 1: distância percorrida d1 = D=2. distância que falta �d1 = D=2
Dia 2: distância percorrida d2 = �d1=2 = D=4. distância que falta �d2 = D=4
Dia 3: distância percorrida d3 = �d2=2 = D=8. distância que falta �d3 = D=8
Dia 4: distância percorrida d4 = �d3=2 = D=16. distância que falta �d4 = D=16:
Dia 5: distância percorrida d5 = �d4=2 = D=32. distância que falta �d5 = D=32:
12 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
Observação 1.
A distância que falta vai diminuindo a cada dia:
�d =
D
2
;
D
22
;
D
23
;
D
24
;
D
25
;
D
26
; :::;
D
2N
; N !1
porém nunca é nulo. N é o número de dias que passaram. Essa distância que falta, quando 2N é muito maior que
D (2N � D) é um exemplo de grandeza in…nitesimal ".
Observação 2:
Observe que a tartaruga nunca vai chegar na cidade B. Ou seja ela nunca vai percorrer a distância D.
Somando as distâncias percorridas em cada dia
dtotal = d1 + d2 + d3 + :::
=
D
2
+
D
22
+
D
23
+
D
24
+
D
25
+
D
26
+ :::+
D
2N
+ :::
e temos que
dtotal . D
ou seja, a distância total dtotal é menor que D mas é quase igual a D. A diferença entre essas distâncias se mantém
por um in…nitésimo
D � dtotal = "; 0 < " < 1:
Na linguagem matemática dizemos que D é o limite de dtotal a medida que o número de dias que passaram N
cresce.
lim
N!1
dtotal = D
ou seja a soma dtotal nunca ultrapassará o valor D.
Exemplo:
Escolhe-se D = 40km
temos:
d1 =
40
2
= 20; d2 =
40
22
= 10; dtotal = d1 + d2 = 20 + 10 = 30
somando o próximo di no resultado anterior:
d3 =
40
23 = 5:0 dtotal = 30 + 5 = 35;
d4 =
40
24 = 2:5 dtotal = 35 + 2:5 = 37:5
d5 =
40
25 = 1:25 dtotal = 37:5 + 1:25 = 38:75
d6 =
40
26 = 0:625; dtotal = 38:75 + 0:625 = 39:375
d7 =
40
27 = 0:312 5; dtotal = 39:375 + 0:3125 = 39:688
d8 =
40
28 = 0:156 25; dtotal = 39:688 + 0:156 25 = 39:844
d9 =
40
29 = 0:07812 5; dtotal = 39:844 + 0:07812 5 = 39:922
Pode-se observar que a soma dtotal se aproxima de D = 40, mas nunca chega a ser igual pois cada dN seguinte
é sempre menor do que o anterior dN�1. Assim nesse caso o limite é
lim
N!1
dtotal = 40km: (1.24)
O in…nitésimo "
A distância que falta � = D � dtotal
1.3. NOTAS MATEMÁTICAS LIMITES E DERIVADAS 13
n=3 dtotal = 35; � = 40� 35 = 5 km
n=4 dtotal = 37:5 � = 40� 37:5 = 2:5 km
n=5 dtotal = 38:75 � = 40� 38:75 = 1:25 km
n=6 dtotal = 39:375 � = 40� 39:375 = 0:625 km
n=7 dtotal = 39:688 � = 40� 39:688 = 0:312 km
n=8 dtotal = 39:844 � = 40� 39:844 = 0:156
n=9 dtotal = 39:922 � = 40� 39:922 = 0:078
Observe que � …ca cada vez menor tendendo a 0, mas nunca será zero. Quando �! 0 dizemos que ele se torna
um in…nitésimo "
1.3.2 Derivadas
A relação entre df(t)dt e
�f(t)
�t é dada por
lim
�t!0
�f (t)
�t
=
df (t)
dt
essa expressão nos diz que se …zermos a diferença �t se aproximar de zero, �f(t)�t tem um limite que ele não
ultrapassa. Esse limite é simbolizado por df(t)dt .
Vamos ver como isso se dá.
A variação da função f (t) é
�f = ffim � fini (1.25)
onde fini é o valor da função f (t) num instante inicial ti :
fini = f (ti)
e ffim é o valor da função num instante …nal tf :
ffim = f (tf ) :
Por outro lado, a variação �t do t é dado por
�t = tf � ti; (1.26)
Essa expressão permite reescrever tf na seguinte forma:
tf = ti +�t
Reunindo essas informações, podemos reescrever a variação �f (eq.1.25) como:
�f = f (ti +�t)� f (ti) (1.27)
Assim a taxa de variação da função f (t) em relação à variação �t é dada por:
�f
�t
=
f (ti +�t)� f (ti)
�t
: (1.28)
A relação com dfdt
Podemos agora reduzir a variação �t até ela …car quase nula, mas não zero, isso é denotado por �t ! 0, mas
�t 6= 0,
14 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
Isso faz com que o valor de f (ti +�t) se aproxime do valor de f (ti), mas não precisa ser igual, f (ti +�t)
! f (ti), mas f (ti +�t) 6= f (ti).
Nessas condições a taxa�f�t pode ter um valor …nito não nulo; esse valor é denotado por
df
dt . O procedimento
todo é descrito por
lim
�t!0
�f
�t
=
df
dt
(1.29)
Essa expressão nos diz que quando a variação �t se aproxima de zero, a taxa �f�t tem um limite que é
df
dt .
Como dfdt é uma taxa limite, se pode dizer que df é uma variação elementar (muito pequena) de �f , ou em
"matematiquês":
lim
�t!0
�f = lim
�t!0
[f (ti +�t)� f (ti)] = df:
assim como dt é uma variação elementar de �t.
1.3.3 Cálculo da derivada de uma função linear
Seja dada a seguinte função
f (t) = ct (1.30)
onde c é uma constante e t uma variável.
Vamos mostrar que o cálculo da derivada de f (t) resulta em c, i.e.:
df (t)
dt
= c: (1.31)
Para realizar esse cálculo, aplicamos a de…nição de derivada da função f (t) com relação à variável t:
df (t)
dt
= lim
�t!0
f (ti +�t)� f (ti)
�t
(1.32)
Temos que:
f (ti +�t) = c (ti +�t) ; f (ti) = cti; (1.33)
e substituímos essas expressões na eq.(1.32), obtemos:
df (t)
dt
= lim
�t!0
c (ti +�t)� cti
�t
= lim
�t!0
cti + c�t� cti
�t
(1.34)
podemos cancelar cti
df (t)
dt
= lim
�t!0
c
�t
�t
e agora podemos cancelar �t: pois �t�t = 1
df (t)
dt
= lim
�t!0
c
e desapareceu o termo �t, assim fazer �t! 0 não vai afetar a expressão, i.e.
lim
�t!0
c = c
Assim, provamos que
df (t)
dt
= c: (1.35)
1.4. AS LEIS DA FÍSICA E AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 15
ou seja,:
d
dt
(ct) = c: (1.36)
Em palavras: "A derivada com relação à t da função ct é igual à c.", ou seja, a função cuja derivada resulta em c =
constante é f (t) = ct ".
1.4 As leis da Física e as equações diferenciais
1.4.1 A percepção das diferenças relativas
Um aspecto importante percebido por Newton é que qualquer processo de medida só consegue medir diferenças
entre um ponto …nal e inicial. Nunca se consegue obter valôres absolutos.
Exemplos:
1) Quanto se diz que a altura de uma pessoa é h = 1; 78 m, parece que obtemos um valor absoluto, mas isso é
enganoso, pois a altura h é na realidadeuma diferença entre duas posições: sfinal e sinicial
h = �s = sfinal � sinicial: (1.37)
2) Quando dizemos a hora, e.g., são T = 2 horas da tarde, na realidade estamos contando a diferença de tempo
�t que passou
h = �t = tfinal � tinicial: (1.38)
Mas porque parece que se faz: h = sfinal ou T = tfinal?
Porque se pode escolher um valor conveniente para sinicial e para tinicial. E essa escolha é passada de pessoa
para pessoa de geração para geração e se tornou uma convenção social.
A convenção social:
1) Medida de altura de pessoas: considera-se a posição da planta dos pés como sinicial e associa o valor 0 à essa
posição.
2) Medida de tempo: considera-se tinicial = 0. Onde esse tinicial pode ser o tempo de meia noite ou meio dia.
Para saber à qual tempo inicial se refere usa-se as palavras tarde ou manhã/madrugada.
Porque essa convenção sempre dá certo?
Foi na busca a essa resposta que a Física revelou propriedades fundamentais da natureza. Para esses dois casos
descobriu-se as seguintes propriedades fundamentais:
1) Para a escolha sinicial = 0 .
Propriedade fundamental: A homogeneidade do espaço/Simetria de translação no espaço.
"Todos os pontos do espaço são equivalentes sob a translação no espaço."
2) Para a escolha tinicial = 0.
Propriedade fundamental: A homogeneidade do tempo/Simetria de translação no tempo.
16 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
" Todos os instantes de tempo são equivalentes sob a translação no tempo."
Porque essas propriedades são consideradas fundamentais?
Por causa do alcance das suas implicações.
A equivalência dos pontos do espaço requer que as medidas realizadas num dado ponto desse espaço são as
mesmas realizadas em qualquer outro ponto do espaço, assim as leis da Física observadas num dado ponto são as
mesmas em qualquer outro ponto desse mesmo espaço.
A equivalência dos instantes de tempo requer que as leis da Física observadas num dado instante sejam as
mesmas em qualquer outro instante, ou seja, as leis da Física de hoje devem ser as mesmas do passado e devem ser
as mesmas no futuro.
Para se poder perceber e entender a profundidade, o alcance e a in‡uência desses conceitos no dia a dia é
necessário conhecimentos avançados de Mecânica Analítica e do Estudo das Simetrias da Natureza.
1.4.2 As taxas ou razões entre diferenças.
A matemática permite que relacionemos essa diferenças na forma simples de razões ou taxas. Dadas dois tipos de
diferenças �x e �y pode-se relacioná-las por:
�x
�y
= c; (1.39)
onde c é uma constante.
Mas porque fazer isso?
Esse tipo de relação é o que nos fornece a capacidade de realizar previsões e revela o comportamento amplo de
uma dada diferença �x ou �y.
Por exemplo:
Realizo um experimento onde medimos �x1 e �y1. Desses dois dados calculamos c = �x1�y1 .
Será que sempre teremos que realizar esse procedimento? R.: Não
Já conhecemos c. Só precisamos medir �y2, assim a equação (1.39) nos fornece a previsão para �x2:
�x2 = c�y2: (1.40)
Ou medimos �x2 e a equação (1.39) nos fornece a previsão para �y2:
�y2 =
�x2
c
: (1.41)
Perceba o quanto a matemática começa a se tornar importante.
Chegamos a questão crucial.
Mas será que isso sempre vai funcionar?
É aí que entra a Física. Nem todas as razões do tipo (1.39) funcionam da forma como usamos no exemplo acima.
Para que funcionem é preciso estabelecer critérios para �x e �y. No caso da Física as razões do tipo da equação
(1.39) que funcionam respeitam as Leis da Física.
Aplicação:
1.4. AS LEIS DA FÍSICA E AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 17
Podemos aplicar as propriedades físicas de homogeneidade do espaço e do tempo para a seguinte razão/taxa
entre diferenças de posição �s e instantes de tempo �t:
�s
�t
= c: (1.42)
Da homogeneidade do espaço, podemos escolher sinicial = 0 e fazer
�s = sfinal � sinicial = sfinal = s; (1.43)
como os ponto inicial está subentendido, deixamos também subentendido o índice final.
Da homogeneidade do tempo, podemos escolher tfinal = 0 e fazer
�t = tfinal � tinicial = tfinal = t (1.44)
Substituímos esses resultados em (1.42) e obtemos:
s
t
= c! s = ct: (1.45)
Veja que as propriedades fundamentais de simetria de translação do espaço e do tempo permitiu a simpli…cação
acima, ou seja, para que se possa realizar a simples escolha de sinicial = 0 e tfinal = 0 é preciso que o espaço e
o tempo sejam simétricos sob as operações de translação espacial e temporal.
Do ponto de vista matemático, obtemos uma relação funcional entre s e t:
s (t) = ct: (1.46)
A matemática permite que se faça um grá…co de s (t) para um dado c:
32.521.510.50
5
3.75
2.5
1.25
0
tem po
posição s
tem po
posição s
Agora que temos um grá…co, pode-se realizar uma veri…cação experimental. Realiza-se um experimento onde se
mede diversos �s e �t e se obtém uma tabela de dados:
18 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
i �t (s) �s (m)
1 1:0 2:1
2 1:5 3:2
3 2:0 4:0
4 2:5: 5:1
5 3:0 5:9
Esses dados são pontos com coordenadas (�si;�ti) que são desenhados sobre o grá…co acima. Esses pontos
estão bem próximos da linha ou sobre a linha. Um grá…co como esse pode ser tomado como uma indicação de que
a Natureza respeita uma relação do tipo:
�s
�t
= c: (1.47)
Isso signi…ca que os fenômenos da Natureza podem ser descritas por equações matemáticas.
A validação de
�s
�t
= c: (1.48)
Na Física há uma única maneira de validar essa razão de uma vez por todas de forma a garantir que todas as
experiências que obdecerem a certas condições impostas pela validação sempre respeitará �s�t = c.
A validação é deduzir essa expressão a partir de Leis ou Princípios Fundamentais da Física. Essa expressão é
validada dentro da Mecânica Clássica Newtoniana pois ela é derivada a partir das três Leis de Newton ou dentro
da Mecânica Analítica a partir dos princípios de simetria.
1.5 As equações diferenciais e a Física Teórica
Vimos que a razão
�s
�t
= c: (1.49)
permitiu que obtivéssemos a relação funcional
s (t) = ct: (1.50)
de uma forma um pouco arbitrária.
Será que existe uma outra maneira, mais rigorosa de determinar s (t)?
Com auxílio do Cálculo Integral e Diferencial (Notas Matemáticas) a Física Teórica pode determinar s (t) da
seguinte forma:
As razões do tipo
�s
�t
(1.51)
podem ser transformados em operadores matemáticos chamados de derivadas de funções. Essa transformação se
faz calculando-se o limite desta razão quando �t se torne tão pequena quanto se queira mas nunca se anule, i.e.:
�t! 0: (1.52)
Nas notas matemáticas, vimos que esse limite é dado por:
lim
�t!0
�s
�t
=
d
dt
s (t) : (1.53)
1.5. AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E A FÍSICA TEÓRICA 19
O operador ddt é chamado de operador derivada no tempo t. Ele atua sobre a função s (t) gerando (derivando)
uma outra função.
Vamos agora modi…car a expressão �s�t = c.
Tomamos o limite nos dois lados :
lim
�t!0
�s
�t
= lim
�t!0
c (1.54)
Vimos que o limite da constante é a própria constante:
lim
�t!0
c = c
e se reescreve:
lim
�t!0
�s
�t
= c (1.55)
Em notas matemáticas, vimos que
lim
�t!0
�f (t)
�t
=
df (t)
dt
No nosso caso f (t)! s (t), substituindo temos que
lim
�t!0
�s (t)
�t
=
ds (t)
dt
e substituímos esse resultado em (1.55), obtendo:
d
dt
s (t) = c: (1.56)
Observação: Embora essa expressão seja a mesma vista em notas matemáticas, aqui a situação é diferente porque
nós ainda não conhecemos a expressão de s (t). Aqui s (t) é a incógnita do problema. Nesta situção a
equação (1.56) recebe o nome de equação diferencial ordinária Ela é para ser interpretada como uma, pergunta
matemática. Neste caso, a equação (1.56) está fazendo a seguinte pergunta:
Qual é a forma da função s (t) tal que quando ela é derivada
�d
dts (t)
�
o resultado é a constante c?
Em notas matemáticas vimos que:
d
dt
ct = c: (1.57)
comparando com (1.56), vemos que
s (t) = ct: (1.58)
Este é um dos métodos mais simples da Teoria de Equações Diferenciais para se encontrar a resposta para uma
equação diferencial (pergunta matemática). Mas, claro, há outros métodos mais elaborados. Observe que este
método não requer nenhum cálculo. Basta conhecer a resposta da pergunta acima.
Em resumo:
Temos o seguinte procedimento para se chegar à s (t) = ct.
1) Das observações experimentais constroi-se a razão
�s
�t
= c: (1.59)
2) Usa o Cálculo Diferencial e transforma a razão numa equação diferencial (A Pergunta Matemática) a ser
resolvida
d
dt
s (t) = c: (1.60)
20 CHAPTER 1. FÍSICA E MATEMÁTICA
Qual é a função s (t) que satisfaz essa equação?
3) Do Cálculo Diferencial resolve essa equação e obtém-se a resposta matemática:
s (t) = ct: (1.61)
Problema Resolvido! Basta saber Cálculo Diferencial para resolver todos os problemas da Física. Depois de
Newton essa era a impressão que muitos tiveram, pois a própira segunda Lei de Newton é uma equação diferencial
~F =
d
dt
~p (t) ;
onde no caso especial de massas constantes
~p (t) = m~v (t)
E a Mecânica Newtoniana segue esses passos. Por um bom tempo a Física procurou por equações diferenciais
seguindo os passos acima. Em alguns ramos da Física ainda são esses mesmos passos.
É por essa razão que o Cálculo Diferencial Integral tem um papel muito importante para a Física Clássica.
Evidentemente, com a evolução conquistada por esse procedimento, esse mesmo procedimento foi alterado. Em
alguns ramos o passo 1) é substituído por algo mais so…sticado, como o formalismo Lagrangeano, e que permite
que o ponto inicial não seja a simples observação experimental mas requer uma argumentação mais complexa de
princípios mais abstratos.
Chapter 2
Física I
A Mecânica Clássica se concentra em desvendar as propriedades fundamentais de um dos fenômenos da natureza:
o movimento.
Na disciplina Física I veremos apenas parte introdutória da Mecânica por meio de casos simples e idealizados.
Vários conceitos são apresentados numa forma parcial e elementar. E em alguns casos não será possível apresentar
a origem das equações.
O estudo mais completo da Mecânica Clássica requer no mínimo o conhecimento do Cálculo de Integral Vetorial
e de Equações Diferenciais Parciais. Por exemplo: Para entender que a origem das equações do MRUV (movimento
retilíneo uniformemente variado) é a segunda lei de Newton para o caso de uma força ~F constante é necessário
conhecer o método de resolução de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
A 2a¯ lei de Newton na sua forma mais geral é dada por uma equação diferencial ordinária no tempo de
funções vetoriais
~F =
d
dt
~p (t) ; (2.1)
O símbolo
d
dt
(2.2)
representa o operador derivada com relação ao tempo e
~p (t) = m (t)~v (t) ; (2.3)
é a quantidade de movimento da partícula de massa m (t) e velocidade ~v (t) :
Observe que escrevemos m (t) a massa variando com o tempo. Isso ocorrre? Onde? Nos veículos.
Casos onde a massa é um componente crítico:
1) Fórmula 1 - quanto mais leve, mais rápido.
2) Escadas rolantes. Quanto mais gente na escada, maior precisa ser a força na escada.
A força ~F também pode ser uma função de outras variáveis e para cada tipo de força temos a corresponde forma
21
22 CHAPTER 2. FÍSICA I
para a segunda lei de Newton:
~F =
8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
~F (~r) ;
~F (~v) ;
~F (t) ;
~F (~r;~v) ;
~F (~r;~v; t) ;
etc
; !
~F (~r) = ddt~p (t) ;
~F (~v) = ddt~p (t) ;
~F (t) = ddt~p (t) ;
~F (~r;~v) = ddt~p (t) ;
~F (~r;~v; t) = ddt~p (t) ;
etc
(2.4)
Será que temos esses tipos de força na natureza?
Força dependente de ~v.
Força de atrito com o ar, Força viscosa em ‡uídos.
~F = �b~v
Força dependente de ~r:
Força da mola (~F = �k~x), Força gravitacional ~F = �Gm1m2r2 r^, Força entre as cargas elétricas ~F = k q .
Força dependente de t:
Força ondulatória.
Assim o estudo dos diversos casos reais de forças requer o uso da 2a¯ lei na sua forma mais geral:
~F (~r;~v; t) =
d
dt
~p (t) : (2.5)
A partir dessa equação e com o conhecimento sobre equações diferenciais pode-se obter diversas outra esquações
importantes, tais como a equação de ondas mecânicas usada na acústica e a equação de ‡uídos usada na Mecânica
de Fluídos.
Também é obtido a partir dessa equação as equações horárias da velocidade e posição para os diversos tipos de
forças ou combinações de forças.
2.1 O caso da Força e massa constantes
Veremos aqui, que com o conhecimento de alguns métodos do cálculo avançado, como obter
~F = m~a (2.6)
a partir de
~F =
d
dt
~p (t) : (2.7)
No caso da massa constante (m 6= m (t)) a quantidade de movimento ~p (t) é reescrita na forma:
~p (t) = m~v (t) (2.8)
Substitui ~p (t) na derivação:
d
dt
~p (t) =
d
dt
[m~v (t)]
2.1. O CASO DA FORÇA E MASSA CONSTANTES 23
Do cálculo integral tem se a seguinte regra para a derivada do produto de funções:
d
dt
[f (t) g (t)] =
�
d
dt
f (t)
�
g (t) + f (t)
d
dt
g (t)
aplicando essa regra para o nosso caso:
Substitui f (t)! m e g (t)! ~v (t)
d
dt
~p (t) =
�
d
dt
m
�
~v (t) +m
d
dt
~v (t)
Do cálculo também temos que a derivada de uma constante é nula, isto é
d
dt
m = 0
e obtemos:
d
dt
~p (t) = m
d
dt
~v (t) (2.9)
No caso da força constante a 2a¯ lei toma a forma de
~F =
d
dt
~p (t)
usando a equação (2.9), temos
~F = m
d
dt
~v (t)
Veremos mais adiante que a derivada da velocidade com relação ao tempo é igual à aceleração ~a, i.e:
~a =
d
dt
~v (t)
e assim obtemos
~F = m~a: (2.10)
Essa é a forma da 2a¯ Lei de Newton que voces viram no ensino médio. Elé um caso especial, o caso mais simples
quando a força e a massa são constantes.
A partir dessa equação podemos deduzir as equações horárias do MRUV. Contudo essa dedução requer o con-
hecimento de integração e derivação. Essa dedução será vista mais tarde.
Assim, sem os conhecimentos do Cálculo Integral e Vetorial, não podemos compreender toda a beleza contida
nas equações da Mecânica e alguns aspectos serão apresentadas de forma limitada.
24 CHAPTER 2. FÍSICA I
Chapter 3
Sistema de Unidades
Vimos que as unidades revelam parcialmente o conteúdo físico dos números.e.g.
20m
nos mostra que esse número possui como prováveis conteúdos físicos: comprimento, largura, posição, distância, etc.
Mas a história do sistema de unidades, teve vários problemas.
Problema da medida.
O Sistema de Unidades padroniza as medidas minimizando as discrepancias.
Na antiguidade era muito comum as unidades para medir comprimentos, pesos e volume serem determinados
por pessoas ligadas ao rei ou imperador.
Algumas unidades tinham como referência partes do corpo do rei.
Por exemplo: a polegada e pés.
A polegada se refere à largura do dedo do rei.
Pés se refere ao comprimento do pé do rei.
Imaginem o que acontecia quando indivíduos de reinos diferentes tentavam comercializar seus produtos, por
exemplo: tecidos.
O SI - Sistema Internacional
Para resolver esse tipo de problema, hoje, possuimos um sistema que foi estabelecido por uma convenção inter-
nacional:
1971 - 14a¯ Conferência Geral de Pesos e Medidas - O Sistema Internacional
Foram escolhidos 7 grandezas considerada como fundamentais, pois não derivam de nenhuma outra grandeza.
Grandeza Nome Símbolo
comprimento metro m
massa quilograma kg
tempo segundo s
corrente elétrica ampère A
temperatura termodinâmica kelvin K
quantidade de matéria mole mol
intensidade luminosa candela cd
25
26 CHAPTER 3. SISTEMA DE UNIDADESAgência Internacional de Pesos e Medidas
Situada no arredores de Paris . Armazena os objetos e equipamentos usados como padrões de medida.
Estabelecimento dos padrões de medida.
Com o ojetivo de minimizar as discrepâncias entre os instrumentos de medida, procura-se escolher objetos
e procedimentos que possam ser reproduzidos em todos os países e que forneça um padrão que sofra a menor
interferência externa possível e que tenha a precisão necessária.
Veremos que o desenvolvimento da sociedade exige processos cada vez mais precisos e so…sticados para estabelecer
as medidas
O padrão para o comprimento - O metro
O primeiro processo.
O tamanho de 1 m foi de…nido marcando-se dois traços separados por uma certa distância sobre uma barra de
platina iridiada.
Essa barra é mantida sob condições de pressão, temperatura e umidades controladas, para que os efeitos do meio
não altere o padrão escolhido.
A escolha do material da barra foi feita para que o material sofra a menor interferência possível do meio.
Esse padrão é usado para a construção dos instrumentos de medida de comprimentos.
Várias cópias foram feitas e enviadas para cada país.
No Brasil temos a ABNT: Associação Brasileira de Normas Técnicas
A ABNT possui os padrões para as unidades de medida.
Apesar desses cuidados os processos de medida são fontes de erros. Não é possível construir um instrumento
isento de erros.
Os instrumentos de medida adequados possuem o valor da precisão de…nidos pelo fabricante.
Exceções: Réguas escolares.
Em geral elas não possuem a margem de erro explícita.
O procedimento usado para gerar as cópias do padrão da Agência Internacional, também é fonte de erro.
As cópias dos fabricantes obtidas da ABNT também contém erros.
Esses erros limitam a precisão dos instrumentos fabricados.
Assim diversos instrumentos de um mesmo fabricante produz diferentes valores de medida.
Exemplo:
7 réguas iguais para medir o comprimento da largura de uma mesma folha de papel, pode produzir:
21,0cm 20,8cm 21,1cm 21,3cm 20,9cm 21,1cm 21,2cm
Qual desses valôres é o correto?
Com exatidão, não é possível determinar o valor correto.
Pode-se apenas de…nir um intervalo de valôres mais prováveis. ! Teoria de Tratamento de Dados.
O problema da medida afeta as sociedades competitivas, pois medidas mais precisas representam processos
industriais mais precisos, avançados e econômicos.
Essa demanda tecnológica requereu que o padrão fosse mudado
Hoje o padrão é:
27
1 m é a distância percorrida pela luz no vácuo durante a fração de 1=299:792:458 s.
O número no denominador.
Do estudo teórico de ondas electromagnéticas se obtém que a velocidade da luz é dada por
c =
1p
"0�0
onde "0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo e �0 é a constante de permeabilidade magnética do vácuo.
Substituindo os valôres de "0 e �0 obtidos experimentalmente com grande precisão, obtemos
c = 299:792:458 m=s (3.1)
Porque usar esse padrão: As condições para se medir "0 e �0 do vácuo podem ser reproduzidas em qualquer
parte do mundo. Assim não é preciso transportar nenhum equipamento de um país para outro. Os valôres de "0 e �0
obtidos devem ser os mesmos em qualquer parte do mundo, as diferenças encontradas são devidas aos instrumentos
de medida e as condições dos laboratórios que podem ser aperfeiçoados.
A medida do tempo, como se vê logo a seguir, é também realizado por meio de um experimento reprodutível
em qualquer parte do mundo e que também é muito preciso.
Padrão de Tempo.
A medida de tempo requer instrumentos e fenômenos físicos com comportamento periódico.
O fenômeno físico periódico mais conhecido e disponível em qualquer parte do mundo é a duração do dia.
Assim constroi-se relógios para se medir a duração do dia e que seja sempre de 24 hs.
Contudo há um problema na utilização da duração do dia, pois essa duração varia ao longo dos anos de 0; 003 s
(veja os dados do livro)
E com a mudança na medida do padrão do comprimento e a demanda tecnológica por padrões mais precisos,
hoje se utiliza relógios atômicos.
Átomos radiativos emitem raios de luz com frequências de oscilação bem de…nidos. Assim usando o tempo em
que essas oscilações ocorrem também esse tempo se torna bem de…nido.
Então temos o seguinte padrão de segundo adotado:
Um segundo é o tempo gasto para que ocorram 9.192.631.770 oscilações da luz da radiação emitido pelo átomo
de Césio-133. (a radiação tem um comprimento de onda especi…cado).
Padrão de Massa
O primeiro padrão de massa do SI é um cilindro de platina iridiada com 3,9 cm de altura e 3,9 cm de diâmetro
mantida sob as mesma condições climáticas controladas.
Segundo Padrão - Massa atômica
Considera a massa do átomo de carbono como sendo o seguinte múltiplo
mC = 12u
onde u (ou ua) é a unidade de massa atômica. Sua relação com o kg é
1u = 1; 6605402� 10�27kg
Esse padrão é mais utilizado em aplicações cientí…cas.
28 CHAPTER 3. SISTEMA DE UNIDADES
Unidades derivadas - são obtidas a partir das unidades fundamentais.
Exemplo: Unidade de Força - Newton - N
N = kg
m
s2
observe que a de…nição de unidade de força está baseada na escolha da equação usada para se de…nir a força
Notação cientí…ca
é usada para expressar grandezas muito grandes ou muito pequenas:
Velocidade da luz
300:000:000 m=s = 3; 00� 108 m=s
Pre…xos para as unidades no sistema SI
Representam multiplos de 10 para as unidades:
quilo! 103. 1; 0 km = 1; 0� 103m
Mega! 106, 1; 0 MW = 1; 0� 106W
nano ! 10�9, 1; 0 ns = 1; 0� 10�9s.
A conveniência desses pre…xos está relacionada com a escala de valôres que uma dada atividade utiliza rotineira-
mente.
Por exemplo: Um consumidor utiliza quilo em suas compras de produtos. Já um atacadista utiliza toneladas.
3.1 Mudança de Unidades
Além do fato da existência do sistema inglês de unidades, as grandezas nem sempre estão nas mesmas escalas.
Podemos ter a medida de uma estrada em km e a da velocidade em m=s. Dependendo da necessidade, ou
transformamos km em m ou transformamos m=s em km=h.
Essas mudanças estão basedas na regra de três:
A
B
=
C
x
! x = B
A
C (3.2)
A está para B assim como C está para x.
No caso do sistema de unidades:
A e B representam o mesmo tamanho mas em unidades diferentes:
A = 60 min; B = 1 hora: (3.3)
como ambos tem o mesmo tamanho, então
A
B
=
B
A
= 1;
ou seja
60min
1h
= 1;
1h
60min
= 1 (3.4)
essas frações são chamados de fatores de conversão. Eles são úteis quando temos um encadeamento de mudanças
de unidades.
Mudar 2h em segundos:
Temos que passar por 2 escalas de tempo: hora!minuto, minuto!segundo
3.1. MUDANÇA DE UNIDADES 29
Temos dois fatores de conversão
60min
1h
= 1
e
60s
1min
= 1
Podemos escrever
2h = 2h (1) (1)
multiplicar por 1 não altera em nada.
Para cada 1 substituímos pelo fator de conversão conveniente.
Observe: objetivo é converter hora em segundos e cancelar a unidade de minutos
2h = 2h
�
60min
1h
��
60s
1min
�
= 7:200 s (3.5)
Exemplo:
1) Uma caixa d’água de 1 m3 de volume comporta 1:000 litros de água. Qual o volume de uma caixa d’água
para 300 litros de água?
temos litros e queremos obter m3
300l = 300 l
1 m3
1000 l
= 0; 3 m3
30 CHAPTER 3. SISTEMA DE UNIDADES
Chapter 4
Cinemática em 1-D
A cinemática é o estudo do movimento sem relacioná-lo à suas causas: as forças.
A cinemática é descrita matemáticamente pelas equações horárias da posição x (t) (s (t)) e velocidade v (t).
O estudo do movimento relacionado com as forças é realizado dentro da Dinâmica de movimento. A descrição
matemática da dinâmica está na 2a¯ lei de Newton:
~F =
d
dt
~p (t) : (4.1)
Do ponto de vista do cálculo, essa é uma equação diferencial ordinária, assim aplicando os métodosda teoria
de equações diferencias pode-se resolver essa equação e obter as equações da cinemática, ou seja, as equações
horárias da posição x (t) (ou s (t)) e da velocidade v (t) são deduzidas a partir desta equação.
Redução para 1-D
Aplicando o conhecimento de vetores podemos escrever a força ~F e a quantidade de movimento ~p da seguinte
forma
~F = Fxx^+ Fy y^ + Fz z^; ~p = pxx^+ py y^ + pz z^: (4.2)
onde
Fx = módulo da componente x^
Fy = módulo da componente y^
Fz = módulo da componente z^
9>>=>>;de ~F e
px = módulo da componente x^
py = módulo da componente y^
pz = módulo da componente z^
9>>=>>;de ~p.
E a 2a¯ lei pode-ser reescrita na seguinte forma
Fxx^+ Fy y^ + Fz z^ =
d
dt
(pxx^+ py y^ + pz z^) : (4.3)
Usando a propriedade distributiva do operador ddt o lado direito da igualdade pode ser rescrito por
d
dt
(pxx^+ py y^ + pz z^) =
d
dt
pxx^+
d
dt
py y^ +
d
dt
pz z^: (4.4)
31
32 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
Aqui temos que
d
dt
pxx^ =
�
d
dt
px
�
x^+ px
d
dt
x^;
d
dt
py y^ =
�
d
dt
py
�
y^ + py
d
dt
y^;
d
dt
pz z^ =
�
d
dt
pz
�
z^ + pz
d
dt
z^;
Mas os eixos x^, y^ e z^ são …xos, i.e., não se movem com o tempo, então
d
dt
x^ =
d
dt
y^ =
d
dt
z^ = 0
e obtemos
d
dt
pxx^ =
�
d
dt
px
�
x^;
d
dt
py y^ =
�
d
dt
py
�
y^;
d
dt
pz z^ =
�
d
dt
pz
�
z^;
substituindo na equação da 2a¯ lei, obtemos:
Fxx^+ Fy y^ + Fz z^ =
�
d
dt
px
�
x^+
�
d
dt
py
�
y^ +
�
d
dt
pz
�
z^: (4.5)
A componente x^ de ~F não tem como afetar o movimentos nas direções y^ e z^, de forma análoga ocorre para as
componentes y^ e z^ de ~F . Assim podemos separar as equações em x^ das equações em y^ e z^:
Fxx^ =
�
d
dt
px
�
x^ (4.6)
Fy y^ =
�
d
dt
py
�
y^ (4.7)
Fz z^ =
�
d
dt
pz
�
z^: (4.8)
Agora temos 3 expressões para a 2a¯ lei. Cada uma é 1-D. Podemos escolher qualquer uma delas para o estudo
em 1-D.
Escolhemos o eixo x^: (poderia ser y^ ou z^)
Fxx^ =
�
d
dt
px
�
x^ (4.9)
A partir desse ponto estamos estudando a dinâmica em 1-D apenas na direção x^, podemos então deixar isso
subentendido e para simpli…car a notação se reescreve:
Fx =
d
dt
px: (4.10)
ou simpli…cando mais ainda a notação, temos:
F =
d
dt
p: (4.11)
4.1. DEFINIÇÕES E CONCEITOS 33
Essa é a equação da dinâmica em 1-D. Resolvendo (teoria de equações diferenciais) obtemos as equações da
cinemática em 1-D:
x (t) e v (t) (4.12)
Veremos a seguir os elementos básicos da cinemática.
Veremos também como os conceitos de limite e derivadas são importantes para o entendermos melhor os ele-
mentos básicos da cinemática como velocidade instantânea.
O estudo em uma dimensão nos permite de forma parcial iniciar os conceitos básicos do movimento levando em
conta apenas uma das três propriedades vetoriais que de…nem as grandezas como posição, velocidade, distância,
etc.
4.1 De…nições e conceitos
A Física faz uso da análise reducionista. Esse método de análise procura eliminar, em primeira aproximação, as
propriedades e/ou características do sistema que tenham pouca ou nenhuma in‡uência no objetivo do estudo. Dessa
forma o número de características consideradas importantes é reduzido ao menor número possível. Isto simpli…ca o
problema e facilita a investigação cientí…ca. Em geral esses casos mais simples, são sistemas idealizados que não
ocorrem na natureza ou ocorrem sob condições muito especí…cas, mas que dentro de uma certa margem de erro,
pode ser usada para descrever os fenômenos naturais de forma limitada. Por exemplo: O movinento M. U. e o
M.R.U.V. só ocorrem quando não há atritos nem viscosidade. Isso só é possível num sistema onde há vácuo. De
forma aproximada esses movimentos podem ser reproduzidos de forma aproximada se conseguirmos diminuir muito
o atrito e a viscosidade do ar rarefeito. E também num percurso curto o su…iente para que os efeitos do atrito e da
viscosidade não sejam perceptíveis.
Uma vez compreendido o caso mais simples possível, procura-se então levar em conta, de forma gradativa, as
propriedades que foram desprezadas em primeira aproximação para melhorar a descrição dos fenômenos naturais.
4.1.1 O ponto material
Aplicamos a análise reducionista para somente considerar as propriedades de um corpo essenciais para o estudo
do seu movimento na forma mais simples: movimento ao longo de uma reta.
Nesse caso a análise reducionista requer que se despreze propriedades como sua extensão, densidade, rigidez,
constituição, etc.
Desprezando essas propriedades o corpo é reduzido à um ponto com massam: o ponto material ou partícula.
Obs: embora possamos considerar a partícula como sendo um objeto in…nitamente pequeno, o movimento ocorre
na escala macroscópica envolvendo distâncias muito maiores que o tamanho de um átomo ou molécula (� 10�10m) e
velocidades muito abaixo da velocidade da luz. Nessas condições não precisamos levar em conta os efeitos quânticos
e nem os efeitos relativísiticos.
4.1.2 O referencial.
O Problema
Como se avalia que a partícula ou ponto material está em movimento?
34 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
Da observação dos corpos em movimento.
Example 1 Estando um observador em pé ao lado de uma estrada reta. E um carro passa por ele.
Podemos dizer que: O carro está em movimento porque se afasta do observador.
Nesse exemplo temos dois corpos: O observador e o carro.
Temos também que a avaliação do movimento do carro se faz em relação ao observador.
Assim carro e observador tem papéis diferentes para representarem
No exemplo o observador tem o papel de referencial.
O referencial é um ponto do espaço ou corpo escolhido para servir de referência a partir do qual é avaliado o
estado de movimento de outros pontos ou corpos.
O referencial é muito importante, pois a escolha errada do referencial afeta todos os resultados.
Tipos de referenciais:
Conhecemos dois tipos de referenciais: os inerciais e os não-inerciais.
Referenciais inerciais
São aqueles onde as Leis de Newton são válidas.
Exemplo: Considerando que a duração do movimento e a distância percorrida sejam curtas em comparação
ao tamanho da Terra e a duração da sua rotação e translação. Um ponto no solo e a região no entorno desse ponto
pode ser considerado um referencial inercial.
Referenciais não-inerciais
Nos referenciais não-inerciais, devemos acrescentar correções para que as Leis de Newton continuem
aplicáveis.
Exemplo: No caso do disparo de uma bala de canhão, a distância percorrida é longa (algumas dezenas de
km), nesse caso a rotação da Terra gera um efeito de desviar a trajetória da bala. Esse efeito é atribuído a uma
força que não resulta da interação com outro corpo ou partícula. Ela tem origem no fato da Terra ser um referencial
não-inercial que produz uma aceleração adicional ( aceleração de Coriollis) Essas forças são chamadas de forças
não-inerciais ou …ctícias.
4.1.3 As Grandezas vetorais e cinemática
Vimos que as grandezas ou variáveis vetoriais podem ser representados por uma expressão analítica:
A representação cartesiana:
~A = Axx^+Ay y^ +Az z^ caso 3D;
~x = x x^ caso 1D;
e também podem ser representados por segmentos orientados:
4.1. DEFINIÇÕES E CONCEITOS 35
Podemos agora utilizar esse conceito para aplicar na Física. No caso unidimensional, temos que ter cuidado,
pois a orientação pode ser …xada a priori e estar ímplicita:
x a direção x^ está subentendido.
Posição
A origem O da contagem de posição é colocada sobre o corpo ou ponto usado como referência.
A posição é uma grandeza vetorial. Como vamos analisar o caso em uma dimensão, para simpli…car a notação,
pode-seescolher antecipadamente a direção do movimento. Aqui se escolhe a direção ao longo do eixo x^.
O símbolo x^ denomina-se vetor unitário ou versor: é um vetor que tem módulo unitário (tamanho da unidade).
Como a direção está especi…cada a priori e não há outra direção, a posição do corpo pode ser denotada de forma
abreviada por x em vez de ~x. Contudo falta especi…car o sentido do movimento:
No sentido dos valôres positivos usa-se: x ou +x:
No sentido dos valôres negativos usa-se: �x
A notação formal e mais completa tem a forma de:
~x = 3x^! indica posição 3 na direção e sentido dos x positivos
~x = �5x^!indica posição 5 na direção e sentido dos x negativos
Deslocamento
É uma grandeza vetorial
O deslocamento �~x é a diferença entre a posição …nal ~xf e inicial ~xi
�~x = ~xf � ~xi
Na notação simpli…cada,
�x = xf � xi
Exemplos:
1) xi = 0, xf = 5
�x = 5� 0 = 5
ou
�~x = 5x^
2) xi = 5, xf = 0
�x = 0� 5 = �5
36 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
ou
�~x = �5x^
3) o corpo sai de xi = 0, vai até xm = 5m e volta para xf = 0
�x = 0� 0 = 0:
ou
�~x = 0x^
Na representação geométrica:
Distância
A distância é uma grandeza escalar. Ele é o módulo do deslocamento, ou seja o valor absoluto
d = j�xj (4.13)
ou na notação completa de vetor deslocamento �~x :
d = j�~xj
assim nos exemplos �x = 5m e �x = �5m, temos
d = j5mj = 5m; d = j�5mj = 5m (4.14)
ou
d = j5x^j = 5; :::d = j�5x^j = 5
Veja que a informação contida na distância apenas, não permite localizar o corpo.
Velocidade Média
Também é uma grandeza vetorial
Ela é a razão entre o deslocamento �x e o intervalo de tempo �t = tf � tiExemplos:
1) xi = 0m, xf = 5m, ti = 0, tf = 2s temos
vm =
5m� 0m
2s� 0s = 2; 5 m=s; ou ~vm = 2; 5 m=s x^ (4.15)
2) xi = 5m, xf = 0m, ti = 0, tf = 2s temos
vm =
0m� 5m
2s� 0s = �2; 5 m=s ou ~vm = �2; 5 m=s x^ (4.16)
4.1. DEFINIÇÕES E CONCEITOS 37
Assim a velocidade média também é uma grandeza vetorial e se de…ne por
vm � �x
�t
; caso 1D (4.17)
ou
~vm � �~x
�t
; (4.18)
Note que nesse caso, a notação vm só revela que é uma velocidade média, mas não revela a orientação.
Já a notação ~vm = 2; 5 m=s x^ permite que se conheça a direção e sentido dada pelo versor x^.
Velocidade Escalar Média
Essa velocidade é a razão entre a distância total percorrida e o intervalo de tempo total �t
Exemplo. Um corpo sai da origem O e vai até a posição x = 5m num intervalo de tempo de �t1 = 20s. Dá
meia volta e retorna até a posição x = 4m e leva o tempo de �t2 = 10s.
No trecho 1: vai de O até x = 5m distância percorrida d = 5m
No trecho 2: vai de x = 5m até x = 4m, distância percorrida d = 1m
Tempo total
�ttot = �t1 +�t2 = 20s+ 10s = 30s (4.19)
Distância total
dtotal = 5m+ 1m = 6m (4.20)
velocidade escalar média smed
smed =
dtotal
�ttot
=
d1 + d2
�t1 +�t2
=
6m
30s
= 0; 2 m=s (4.21)
Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar
Aqui precisamos utilizar o conceito de limites e de grandezas in…nitésimas " do Cálculo
Um grandeza in…nitesimal " é uma grandeza cujo valor é tão pequeno quanto se queira mas nunca é nulo.
Isso signi…ca que " pode ter qualquer dos valôres
" = 10�1; 10�2; 10�3; :::; 10�10; :::; 10�N ; N !1
ou seja " é quase zero
"! 0
mas nunca é zero
" 6= 0
Vamos utilizar esse conceito de limite e in…nitésimos para de…nir a velocidade instantânea.
A velocidade instantânea é a velocidade que um corpo tem num instante determinado td e posição xd.
Como medir essa velocidade?
Sabemos medir �x e �t
�x = xf � xanterior
�t = tf � tanterior
38 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
e a partir dessas medidas pode-se obter a velocidade média
vm =
�x
�t
=
xf � xanterior
tf � tanterior (4.22)
Usando essa expressão podemos aproximar tanterior de tf , isso requer que �t seja muito pequeno.
Realiza-se uma sequência de medidas de tal forma que a cada medida diminui-se �t
:::�tN < �tN�1 < ::: < �t3 < �t2 < �t1
onde
�tN = tf � tN ;
�tN�1 = tf � tN�1;
...
�t3 = tf � t3;
�t2 = tf � t2;
�t1 = tf � t1;
aqui temos que tN ' tf mas nunca será igual a tf .
Como o intervalo de tempo diminui, também diminui o deslocamento �x
:::�xN < �xN�1 < ::: < �x3 < �x2 < �x1
e também temos
�xN = xf � xN ;
�xN�1 = xf � xN�1;
...
�x3 = xf � x3;
�x2 = xf � x2;
�x1 = xf � x1;
mas xN nunca será igual a xd.
Exemplo:
4.1. DEFINIÇÕES E CONCEITOS 39
�xN
�tN
=
xf � xNi
tf � tNi
; (4.23)
�x1
�t1
=
32� 28:88
4� 3:8 =
32� 28:88
0:2
= 15:6
m
s
;
�x2
�t2
=
32� 30:42
4� 3:9 =
32� 30:42
0:1
= 15:8
m
s
;
�x3
�t3
=
32� 31:205
4� 3:95 =
32� 31:205
0:05
= 15:9
m
s
;
�x4
�t4
=
32� 31:522
4� 3:97 =
32� 31:522
0:03
= 15:933
m
s
;
�x5
�t5
=
32� 31:681
4� 3:98 =
32� 31:681
0:02
= 15:95
m
s
;
�x6
�t6
=
32� 31:840
4� 3:99 =
32� 31:840
0:01
= 16:0
m
s
;
�x7
�t7
=
32� 31:92
4� 3:995 =
32� 31:92
0:005
= 16:0
m
s
veja que a velocidade média calculada em tf = 4s e posição 32 m, a medida que �t ! 0 se aproxima de
vm ! 16:0 m=s e não ultrapassa esse valor. Esse valor representa o limite máximo para �x=�t. Matemáticamente
se escreve
lim
�t!0
�x
�t
= 16:0
m
s
(4.24)
Essa velocidade limite é chamada de velocidade instantânea, para o instante tf = 4s.
Assim a de…nição de velocidade instantânea v é
lim
�t!0
�x
�t
= v (4.25)
Nesse caso teremos um valor limite para a velocidade média calculada dessa forma
lim
�t!0
�x
�t
= v (4.26)
e usando o conceito de derivada, temos
lim
�t!0
�x
�t
=
dx
dt
= v; (4.27)
A velocidade instantânea em 1-D possui sentido
positivo ! +v ou apenas v
negativo! �v.
No caso com mais de 1-D, (2-D,3-D,...,n-D), a de…nição da velocidade instantânea é:
lim
�t!0
�~x
�t
=
d~x
dt
= ~v; (4.28)
Aceleração média
A velocidade ~v pode variar. De…ne-se por
�~v = ~vf � ~vi (4.29)
a variação da velocidade ~v, onde ~vf = velocidade …nal e ~vi = velocidade inicial.
40 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
Em 1-D essa de…nição é dada por
�v = vf � vi
Durante essa variação de ~v o tempo também variou de
�t = tf � ti (4.30)
onde tf = instante …nal e ti = instante inicial.
Podemos calcular a variação da velocidade por unidade de tempo e o resultado desse cálculo é usado para de…nir
a aceleração média (~am) por
�~v
�t
=
~vf � ~vi
tf � ti = ~am: (4.31)
Em 1-D, essa de…nição é
�v
�t
=
vf � vi
tf � ti : (4.32)
Na notação 1-D, temos: (deve-se lembrar os casos com velocidades negativas), e.g.:
vf = �5 m=s; vi = �1m=s! �v = (�5 m=s)� (�1m=s) = �4m=s (4.33)
Aceleração instantânea
De forma análoga à de…nição de velocidade instantânea a aceleração instantânea é de…nido por
lim
�t!0
�~v
�t
=
d~v
dt
= ~a: (4.34)
Em 1-D, essa de…nição é dada por
lim
�t!0
�v
�t
=
dv
dt
= a: (4.35)
Remark 2 Propriedade de derivadas. Vimos que uma função f (x) pode ser obtida a partir da derivada de um
outra função F (x) :
f (x) =
d
dx
F (x) : (4.36)
Se f (x) for uma função contínua e derivável, ela também pode ser derivada para dar origem à uma outra função
g (x):
g (x) =
d
dx
f (x) ; (4.37)
Também se pode obter g (x) diretamente de F (x), substituimos a equação (4.36) acima
g (x) =
d
dx
d
dx
F (x) =
d2
dx2
F (x) : (4.38)
Vamos aplicar essa propriedade da derivada no caso da aceleração instantânea. Veremos que a aceleração também
pode ser dada em termos da variação da posição x.
Vimos que a velocidade instantânea, no caso 1-D, é de…nida por
v =
dx
dt
substituindo essa expressão em
a =
d
dt
v ! a = d
dt
dx
dt
:
e obtemos:
a =
d2x
dt2
: (4.39)
4.2. CASO SIMPLES 1: VELOCIDADE CONSTANTE 414.2 Caso simples 1: Velocidade Constante
Esse é o caso do M. R. U. (Movimento Retilíneo Uniforme) a equação horária é
x (t) = �x0 � v0t: (4.40)
Vamos usar o caso
x (t) = x0 + v0t: (4.41)
Nesse caso a equação da velocidade é apenas uma constante
v (t) = v0: (4.42)
ou seja, a velocidade é mesma em todos os instantes.
Assim se calcularmos a velocidade média, ela deve ser a mesma que v0
vmed = v0: (4.43)
Demonstração de vmed = v0:
Da de…nição de vmed, temos:
vmed =
xf � xi
tf � ti ; f � final; i� inicial: (4.44)
Por outro lado, usando a equação (4.41) para t = tf e t = ti, obtemos:
xf (t = tf ) = x0 + v0tf ; xi (t = ti) = x0 + v0ti;
substitui os xf e xi cálculados na expressão de vmed (eq. 4.44):
vmed =
(x0 + v0tf )� (x0 + v0ti)
tf � ti =
x0 + v0tf � x0 � v0ti
tf � ti (4.45)
e obtemos
vmed =
v0tf � v0ti
tf � ti =
v0 (tf � ti)
tf � ti = v0; c:q:d: (4.46)
Podemos usar esse resultado para reobter a equação horária do M.R.U.
Da de…nição de velocidade média, temos
vmed =
xf � xi
tf � ti ; f � final; i� inicial: (4.47)
No nosso caso toma-se ti = 0 e vi = v0, reescrevemos essa equação por
vmed =
xf � x0
tf
; (4.48)
multiplica ambos os lados por tf
tfvmed = tf
xf � x0
tf
; (4.49)
e obtemos
tfvmed = xf � x0; (4.50)
42 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
que pode ser reescrito por
xf = x0 + vmedtf ; (4.51)
como vmed = v0 …nalmente reobtemos:
xf = x0 + v0tf ; (4.52)
4.3 Caso Simples 2: Aceleração constante
Esse é o caso do M.R.U.V. (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado). A equação horária desse caso é dado
por
x (t) = �x0 � v0t� a
2
t2 (4.53)
Uma vez que a aceleração permanece a mesma em todos os instantes, temos que a aceleração média amedia
também é igual a aceleração instantânea.
amedia = a (4.54)
vimos que a aceleração media é dada por
amedia =
vf � vi
tf � ti (4.55)
Vimos que amedia = a. Vamos escolher ti = 0 e no nosso caso vi = v0, reescreve-se
a =
vf � v0
tf � 0 (4.56)
multiplica por tf nos dois lados
tfa = tf
vf � v0
tf
(4.57)
e obtemos
tfa = vf � v0
que pode ser reescrito por
vf = v0 + atf ! v = v0 + at (4.58)
E se obtém a equação horária da velocidade para o caso em que v0 e a são positivos.
4.3.1 Equações para esse caso
As equações horárias do MRUV relacionam posição x, velocidade v, aceleração a e tempo t.
x (t) = x0 + v0t+
a
2
t2; (4.59)
v (t) = v0 + at; (4.60)
A partir dessas equações pode-se deduzir outras que elimina uma das grandezas.
Elas são:
1) v2 = v20 + 2a (x� x0) nesse caso não precisa conhecer t.
2) x� x0 = 12 (v0 + v) t - não precisa conhecer a.
3) x� x0 = vt� 12at2 - não precisa conhecer v0.
4.3. CASO SIMPLES 2: ACELERAÇÃO CONSTANTE 43
Dedução de 1
Para obter 1) temos que eliminar t.
Isola t na equação da velocidade
v (t) = v0 + at;! v (t)� v0
a
= t;
e substitui na equação de x (t)
x (t) = x0 + v0
�
v (t)� v0
a
�
+
a
2
�
v (t)� v0
a
�2
;
= x0 + v0
v (t)� v0
a
+
a
2
(v (t)� v0)2
a2
;
= x0 + v0
v (t)� v0
a
+
1
2
(v (t)� v0)2
a
;
= x0 + v0
v (t)� v0
a
+
1
2
(v (t)� v0)2
a
;
passa o x0 para o outro lado da igualdade
x (t)� x0 = v0 v (t)� v0
a
+
1
2
(v (t)� v0)2
a
;
multiplica por 2a
2a ( x (t)� x0) = 2v0 (v (t)� v0) + (v (t)� v0)2 ;
coloca (v (t)� v0) em evidência no lado direito
2a ( x (t)� x0) = [2v0 + v (t)� v0 ] (v (t)� v0)
= [v0 + v (t)] (v (t)� v0)
= v2 (t)� v20
e obtemos
v2 (t) = v20 + 2a ( x (t)� x0) : c:q:d: (4.61)
Exercício:
1) Deduza as equações 2) e 3).
2) Como seria a equação 1) no caso das equações da posição e velocidade serem
x (t) = x0 � v0t+ a
2
t2; (4.62)
v (t) = v0 � at; (4.63)
4.3.2 Aplicação de derivadas: dedução de v (t)
Do cálculo Integral e Diferencial
44 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
Cálculo de derivadas de potências de x.
Vimos que o operador
d
dt
é chamado de operador derivada.
No cálculo escrevemos
d
dx
e ele atua numa função de x.
d
dx
F (x) = f (x)
Vamos agora ver como se pode aplicar no caso em que
F (x) = axn; n = 0; 1; 2; 3; etc: (4.64)
onde a é um número real. (a 2 R).
Caso n = 0
temos que
d
dx
ax0 =
d
dx
a
como a não varia com x, diz-se que a é constante e nesse caso
d
dx
a = 0
assim
d
dx
ax0 = 0:
A regra de derivação:
Caso n 6= 0.
A regra de derivação nesse caso é dada pela seguinte fórmula
d
dx
axn = n axn�1: (4.65)
aplicação da fórmula:
Caso n = 1
d
dx
ax = 1 ax1�1 = 1 ax0 = a: (4.66)
Caso n = 2
d
dx
ax2 = 2 ax2�1 = 2 ax1 = 2ax
Caso n = 3
d
dx
ax3 = 3 ax3�1 = 3 ax2 = 3ax2:
Exercício: aplique a fórmula para os casos com n = 4, n = 5, n = 6.
4.3. CASO SIMPLES 2: ACELERAÇÃO CONSTANTE 45
Voltando para a física
Usando essa regra de derivação pode-se deduzir a equação de v (t) a partir da equação de x (t).
Caso MRU.
para velocidades positivas
x (t) = x0 + v0t
Dessa equação vamos obter que v (t) = v0 constante.
Da de…nição de velocidade v (t), temos que
v (t) =
d
dt
x (t)
Aplica a a derivada em t sobre a equação x (t)
d
dt
x (t) =
d
dt
[x0 + v0t] ;
=
d
dt
x0 +
d
dt
v0t;
veja que no primeiro termo ddtx0, x0 não depende de t é uma constante no tempo e vimos que a derivada
de uma constante é nula
d
dt
x0 = 0: (4.67)
o segundo termo: ddtv0t
comparando com a aplicaçãoda fórmula
d
dx
axn = n axn�1
identi…camos a! v0 e x! t, reescrevemos essa fórmula
d
dt
v0t
n = n v0t
n�1
assim ddtv0t é o caso com n = 1
d
dt
v0t
1 = 1 v0t
1�1 = v0
ou seja
d
dt
v0t = v0: (4.68)
e obtemos que a a velocidade permanece constante, i.e.:
v (t) = v0
Exercício: Aplique a derivada ddt sobre x (t) e obtenha a v (t) =
d
dtx (t) para o caso do MRUV:
x (t) = x0 + v0t+
a
2
t2: (4.69)
Exercício: Faça o mesmo para o caso
x (t) = x0 + v0t� a
2
t2: (4.70)
46 CHAPTER 4. CINEMÁTICA EM 1-D
4.4 Dedução das eqs. horárias do MRUV
Essa é uma aplicação do cálculo de integrais.
Vamos então rever algumas formulas de integração que será usado aqui.
4.4.1 Cálculo de integrais de potências de x
Conceito de integral: a operação inversa da derivada
Vimos que a operação de derivação ddxF (x) resulta numa outra função f (x), i.e:
d
dx
F (x) = f (x) ; (4.71)
e as funções são agora classi…cadas de:
(
F (x)! Primitiva ( de onde veio a derivada f (x) )
f (x)! Derivada ( resultado da derivação da primitiva)
Em termos mais gerais se escreve que a operação O^ [ ] relaciona F (x) com f (x)
O^ [F (x) ]! f (x)
Será que existe uma operação inversa O^�1 [ ] que agindo sobre a derivada f (x) resulta na primitiva?
O^�1 [f (x) ]! F (x) : (4.72)
A resposta a essa questão é a operação de integração:
O^�1 [ ] =
Z
[ ] dx
Assim
O^�1 [f (x)] =
Z
[ f (x) ] dx
e o resultado é Z derivadaz }| {
[f (x)] dx =
primitivaz }| {
F (x) (4.73)
compare
d
dx
primitivaz }| {
[F (x)] =
derivadaz }| {
f (x) ; (4.74)
Potências de x
Vimos que para ax a ação da derivada resulta em
d
dx
[ax] = a
então para inverter (desfazer) essa operação se fazZ
[a ] dx = ax+ C1 (4.75)
onde C é uma constante arbitrária pois a derivada de uma constante é zero e a integração de zero não aparece do
lado esquerdo da igualdade.
4.4. DEDUÇÃO DAS EQS. HORÁRIAS DO MRUV 47
Se a = 1, temos que Z
dx = x+ C1 (4.76)
Para o caso de ax2 temos
d
dx
�
ax2
�
= 2ax;Z
[2ax ] dx = ax2 + C2 (4.77)
Vamos aplicar as fórmulas de integração (4.75 e 4.77 ) a seguir.
4.4.2 Dedução de v (t) e x (t)
Mencionamos que as equações horárias do MRUV podem ser deduzidas a partir da 2a¯ Lei de Newton. Vamos então
fazer essa dedução.
Dedução de v (t):
O MRUV é o caso do movimento em 1-D,