Física Ib - prof. Maekawa

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Física I b - Vetores, Movimento em 2-D e 3-D,Mov. Relativo
Prof. Claudio M. Maekawa
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ii
Contents
Fisica Geral vii
1 Vetores 1
1.1 O módulo de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Multiplicação de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Multiplicação de um vetor ~A por um escalar a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Produto escalar de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Movimento em 2-D e 3-D 7
2.1 As grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Composição de dois MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 MRU e MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Movimento de um projétil no vácuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Movimento Circular Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 O período T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.2 Frequência f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 Relação entre f e T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Movimento Relativo 19
3.1 Caso em 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Caso em 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
iii
iv CONTENTS
Preface
This is the preface. It is an unnumbered chapter.
v
vi PREFACE
Fisica Geral
Curso de Fisica Geral. Vetore, Mov. em 2D e 3D.
vii
viii FISICA GERAL
Chapter 1
Vetores
1.1 O módulo de vetores
O módulo de um vetor descreve o seu tamanho e é denotado por
��� ~A���
Esse módulo
��� ~A��� pode ser calculado a partir da representação cartesiana do vetor ~A :
Em 1-D, temos
~A = Axx^: (1.1)
O módulo
��� ~A��� é dado por ��� ~A��� =pA2x = Ax
Em 2-D, temos
~A = Axx^+Ay y^:
e o módulo é dado pela seguinte expressão ��� ~A��� =qA2x +A2y: (1.2)
Exemplo:
~A = 2x^+ 2y^;
��� ~A��� =p22 + 22 = p4 + 4 = p8:
Em 3-D,temos:
~A = Axx^+Ay y^ +Az z^:
e módulo é análogo ao caso anterior, só acrescentamos mais um termo:��� ~A��� =qA2x +A2y +A2z: (1.3)
Exemplo:
~A = 2x^+ 2y^ + z^;
��� ~A��� =p22 + 22 + 12 = p4 + 4 + 1 = p9 = 3: (1.4)
1
Angelo
Highlight
Angelo
Highlight
Angelo
Highlight
2 CHAPTER 1. VETORES
1.2 Multiplicação de vetores
Há mais de uma forma de se realizar a multiplicação de vetores. Temos:
1) multiplicação de um vetor ~A por um escalar a: a ~A
2) produto escalar de dois vetores: ~A � ~B
3) produto vetorial de dois vetores: ~A� ~B
1.2.1 Multiplicação de um vetor ~A por um escalar a.
Notação
~B = a ~A
o efeito é ampliar a vezes o comprimento (módulo de ~A)
Exemplos:
1a)
~A = 10x^; a = 2; ~B = a ~A = 2 (10x^) = 20x^: (1.5)
e os módulo de ~A e ~B são ��� ~A��� = p102 = 10; ��� ~B��� = p202 = 20: (1.6)
1b)
~A = 2x^+ 5y^; a = 3; ~B = a ~A = 3 (2x^+ 5y^) = 6x^+ 15y^: (1.7)
1c)
~A =
1
2
x^+
3
4
y^ + 7z^; a = 2;
~B = a ~A = 2
�
1
2
x^+
3
4
y^ + 7z^
�
= x^+
3
2
y^ + 14z^: (1.8)
1.2.2 Produto escalar de dois vetores
O produto escalar de dois vetores ~A e ~B distintos é denotado por
~A � ~B (1.9)
O efeito desse produto é reduzir os vetores à um valor escalar
~A � ~B = s: (1.10)
Há duas formas de se calcular esse produto escalar:
1)
Angelo
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1.2. MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 3
Dados dois vetores ~A e ~B. Seja � o ângulo entre ~A e ~B. O produto escalar ~A � ~B é dado por
~A � ~B =
��� ~A��� ��� ~B��� cos�: (1.11)
Os versores (vetores unitários) x^, y^ e z^:
Eles tem módulo unitário
jx^j = jy^j = jz^j = 1
Eles são perpendiculares entre si:
Ou seja o ângulo entre
8>><>>:
x^ e y^
y^ e z^
z^ e x^
9>>=>>; é de 90o.
Temos que
x^ � y^ = jx^j jy^j cos 90o = cos 90o = 0; (1.12)
y^ � z^ = jy^j jz^j cos 90o = cos 90o = 0;
z^ � x^ = jz^j jx^j cos 90o = cos 90o = 0:
Para o caso x^ � x^ = x^2, temos
x^2 = x^ � x^ = jx^j jx^j cos 0o = 1
Análogamente, temos
y^2 = y^ � y^ = 1; (1.13)
z^2 = z^ � z^ = 1;
2) Para os vetores na representação cartesiana
~A = Axx^+Ay y^ +Az z^; ~B = Bxx^+By y^ +Bz z^; (1.14)
o produto escalar é dado por
~A � ~B = AxBx +AyBy +AzBz (1.15)
Propriedades:
1. O produto interno é comutativo, isto é:
~A � ~B = ~B � ~A (1.16)
Demonstração:
AxBx +AyBy +AzBz = BxAx +ByAy +BzAz = ~B � ~A: (1.17)
Assim
~A � ~B = ~B � ~A: c:q:d: (1.18)
Angelo
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4 CHAPTER 1. VETORES
2. O produto interno é distributivo sobre a soma vetorial:
~A �
�
~B + ~C
�
= ~A � ~B + ~A � ~C: (1.19)
Usando a propriedade dos versores x^, y^ e z^, pode-se demonstrar (1.15)
Demonstração da equação: (1.15)
~A � ~B = AxBx +AyBy +AzBz (1.20)
Temos que
~A = Axx^+Ay y^ +Az z^; ~B = Bxx^+By y^ +Bz z^; (1.21)
escreve-se o produto interno na forma
~A � ~B = (Axx^+Ay y^ +Az z^) � (Bxx^+By y^ +Bz z^)
aplica a propriedade distributiva:
~A � ~B = Axx^ � (Bxx^+By y^ +Bz z^)
+Ay y^ � (Bxx^+By y^ +Bz z^)
+Az z^ � (Bxx^+By y^ +Bz z^)
aplica novamente a propriedade distributiva
~A � ~B = Axx^ �Bxx^+Axx^ �By y^ +Axx^ �Bz z^
+Ay y^ �Bxx^+Ay y^ �By y^ +Ay y^ �Bz z^
+Az z^ �Bxx^+Az z^ �By y^ +Az z^ �Bz z^
reescreve
~A � ~B = AxBxx^ � x^+AxByx^ � y^ +AxBzx^ � z^
+AyBxy^ � x^+AyBy y^ � y^ +AyBz y^ � z^
+AzBxz^ � x^+AzBy z^ � y^ +AzBz z^ � z^
e usando as propriedades dos versores temos:
~A � ~B = AxBx +AxBy (0) +AxBz (0)
+AyBx (0) +AyBy +AyBz (0)
+AzBx (0) +AzBy (0) +AzBz
e obtemos
~A � ~B = AxBx +AyBy +AzBz: c:q:d: (1.22)
Exemplo:
~A = 2x^+ 1y^ + 7z^; ~B = 5x^+ 2y^ + 2z^: (1.23)
e temos
~A � ~B = (2� 5) + (1� 2) + (7� 2) = 10 + 2 + 14 = 26: (1.24)
1.2. MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 5
1.2.3 Produto Vetorial
O produto vetorial é denotado por
~A� ~B = ~C (1.25)
e o resultado é um outro vetor.
O módulo do vetor ~C pode ser obtido por ���~C��� = ��� ~A��� ��� ~B��� sin� (1.26)
onde � é o ângulo entre ~A e ~B:
A direção de ~C é perpendicular ao plano formado pelos vetores ~A e ~B.
O sentido de ~C é dado pela regra da mão direita.
Extende os dedos na direção de ~A e gira até ~B. O polegar esticado aponta para o sentido de ~C.
A representação cartesiana.
Para os vetores dados por ~A = Axx^+Ay y^ +Az z^ e ~B = Bxx^+By y^ +Bz z^ o produto vetorial é dado por
~A� ~B = (AyBz �ByAz) x^+ (AzBx �BzAx) y^ + (AxBy �BxAy) z^: (1.27)
Essa forma é sintetizada por meio do conceito de determinantes
~A� ~B =
��������
x^ y^ z^
Ax Ay Az
Bx By Bz
�������� = (AyBz �ByAz) x^� (AxBz �AzBx) y^ + (AxBy �BxAy) z^ (1.28)
Aplicação nos versores
x^� x^ = 0
x^� y^ = z^; jx^j jy^j sin 90o = 1
ou
x^� y^ =
��������
x^ y^ z^
1 0 0
0 1 0
�������� = (0� 0� 0� 1) x^� (1� 0� 0� 0) y^ + (1� 1� 0� 0) z^ = z^ (1.29)
Propriedades
O produto vetorial não é comutativo:
~B � ~A = � ~A� ~B:
Angelo
Highlight
Angelo
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não seria 1?
6 CHAPTER 1. VETORES
Chapter 2
Movimento em 2-D e 3-D
Aqui extendemos os conceitos do movimento em 1-D mpara os movimentos em 2-D e 3-D. Os movimentos em
2-D e 3-D são composições de movimentos em 1-D. Essa composição pode ser realizado por meio da representação
cartesiana de vetores.
Por exemplo:
Pode-se compor dois movimentos M.R.U. para compor um movimento em 2-D.
Usando vetores, temos a de…nição do vetor posição ~r. Em 2-D, temos
~r = xx^+ yy^; (2.1)
Podemos agora, tomar
x = x (t) = x0 + vx0t; y = y (t) = y0 + vy0t
e temos
~r (t) = x (t) x^+ y (t) y^; (2.2)
ou
~r (t) = (x0 + vx0t) x^+ (y0 + vy0t) y^; (2.3)
Assim as coordenadas x e y variam com t de acordo com a equação do M.R.U.
2.1 As grandezas
A posição é denotada por ~r
2D ! ~r (t) = x (t) x^+ y (t) y^;
3D ! ~r (t) = x (t) x^+ y (t) y^ + z (t) z^
O deslocamento �~r
�~r = ~r1 � ~r2;
7
8 CHAPTER 2. MOVIMENTO EM 2-D E 3-D
em 2-D
�~r = [x1x^+ y1y^]� [x2x^+ y2y^]
= (x1 � x2) x^+ (y1 � y2) y^
em 3-D
�~r = [x1x^+ y1y^ + z1z^]� [x2x^+ y2y^ + z2z^]
=
�xz }| {
(x1 � x2)x^+ (y1 � y2) y^ + (z1 � z2) z^:
= �xx^+�yy^ +�yz^:
Velocidade média
~vmed =
�~r
�t
=
�x
�t
x^+
�y
�t
y^ +
�z
�t
z^: (2.4)
Velocidade instantânea
é a derivada temporal da posição ~r:
~v =
d~r
dt
: (2.5)
A direção da velocidade instantânea no instante t é sempre tangente à trajetória da partícula no ponto dado
pela posição ~r no instante t.
Em 3-D, temos
~r (t) = x (t) x^+ y (t) y^ + z (t) z^ (2.6)
e a velocidade instantânea é então:
~v =
d~r
dt
=
d
dt
(x (t) x^+ y (t) y^ + z (t) z^ ) ;
=
d
dt
x (t) x^+
d
dt
y (t) y^ +
d
dt
z (t) z^; (2.7)
de…ne-se
vx =
d
dt
x (t) ; vy =
d
dt
y (t) ; vz =
d
dt
z (t) (2.8)
e se reescreve
~v = vxx^+ vy y^ + vz z^: (2.9)
A aceleração média
Angelo
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z
2.2. EXEMPLOS 9
~amed =
�~v
�t
=
~v2 � ~v1
t2 � t1
Em 3D
~v1 = vx1x^+ vy1y^ + vz1z^; ~v2 = vx2x^+ vy2y^ + vz2z^;
~amed =
(vx2 � vx1) x^+ (vy2 � vy1) y^ + (vz2 � vz1) z^
t2 � t1 (2.10)
A aceleração instantânea
~a =
d~v
dt
: (2.11)
Em 3D
~v = vxx^+ vy y^ + vz z^;
~a =
d
dt
(vxx^+ vy y^ + vz z^) ;
=
�
d
dt
vx
�
x^+
�
d
dt
vy
�
y^ +
�
d
dt
vz
�
z^;
lembrete: ddt (vxx^) =
�
d
dtvx
�
x^+ vx
�
d
dt x^
�
=
�
d
dtvx
�
x^, pois x^ = constante e ddt x^ = 0.
de…nine-se
d
dt
vx = ax;
d
dt
vy = ay;
d
dt
vz = az: (2.12)
assim se reescreve:
~a = axx^+ ay y^ + az z^;
2.2 Exemplos
vimos que os movimentos em 2-D e 3-D podem ser compostos a partir dos movimentos em 1D.
2.2.1 Composição de dois MRU
Em 2-D, podemos compor um movimento usando duas equações de MRU
~r (t) = (x0 + vx0t) x^+ (y0 + vy0t) y^; (2.13)
Para obter a expressão da velocidade instantânea nesse caso, basta aplicar a de…nição:
~v =
d~r
dt
: (2.14)
neste caso, temos:
~v =
d
dt
[(x0 + vx0t) x^+ (y0 + vy0t) y^ ] ;
aplico a propriedade distributiva da derivada:
~v =
d
dt
(x0 + vx0t) x^+
d
dt
(y0 + vy0t) y^ ;
=
�
d
dt
x0 +
d
dt
vx0t
�
x^+
�
d
dt
y0 +
d
dt
vy0t
�
y^ ;
= vx0
d
dt
tx^+ vy0
d
dt
ty^ ;
Angelo
Sticky Note
é a derivada temporal da velocidade:
Angelo
Highlight
10 CHAPTER 2. MOVIMENTO EM 2-D E 3-D
e obtemos:
~v = vx0x^+ vy0y^ = ~v0 (2.15)
ou seja, nessa composição o vetor velocidade ~v permanece constante e igual à velocidade inicial.
As componentes.
vx0 é a velocidade inicial do MRU direção x^:
vy0 é a velocidade inicial do MRU direção y^:
2.2.2 MRU e MRUV
Podemos compor com diferentes movimentos.
MRU na direção x^
MRUV na direção y^
A equação da posição é
~r (t) = (x0 + vx0t) x^+
�
y0 + vy0t+
ay
2
t2
�
y^; (2.16)
Nesse caso a equação da velocidade é
~v =
d~r
dt
=
d
dt
(x0 + vx0t) x^+
d
dt
�
y0 + vy0t+
ay
2
t2
�
y^;
e obtemos
~v = vx0x^+ (vy0 + ayt) y^ (2.17)
observe que agora, temos:
vx0 velocidade constante do MRU na direção x^
vy (t) = vy0 + ayt é a velocidade do MRUV direção y^:
Para a aceleração intantânea
~a =
d
dt
[vx0x^+ (vy0 + ayt) y^] ;
=
d
dt
(vy0 + ayt) y^
e obtemos
~a = ay y^ (2.18)
e assim:
na direção x^ não há aceleração
na direção y^ a aceleração é constante.
2.3. MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL NO VÁCUO 11
2.3 Movimento de um projétil no vácuo
Esse é um exemplo da composição de um MRU e um MRUV.
Escolha do referencial.
O eixo x^ na direção horizontal para direita.
O eixo y^ na direção vertical e apontada para cima.
A velocidade inicial: ~v0
Vamos considerar que conhecemos o módulo j~v0j o ângulo � que ~v0 forma com o eixo x^.
Por outro lado podemos escrever ~v0 como:
~v0 = v0xx^+ v0y y^: (2.19)
Pode-se obter v0x e v0y a partir de j~v0j.
Observe na …gura que podemos reconhecer triângulos retângulos. Usando o triângulo retângulo com um dos
lados no eixo x^, podemos obter, da de…nição de sin� e cos�, as seguintes expressões:
v0x = v0 cos�; v0y = v0 sin�; v0 = j~v0j
O movimento na direção x^:
Nessa direção só temos a velocidade inicial, a força nessa direção é nula, então o movimento é um MRU.
x (t) = x0 + v0xt: (2.20)
O movimento na direção y^
Nessa direção além da velocidade inicial temos a ação da força gravitacional. O sentido da aceleração ~g é oposto
ao do eixo y^ e também há uma velocidade inicial nessa direção: v0y. O movimento é um MRUV descrito pela
equação:
y (t) = y0 + v0yt� g
2
t2: (2.21)
Composição do movimento em 2D
A equação da posição é
~r (t) = x (t) x^+ y (t) y^: (2.22)
Substitui-se as equações (2.20) e (2.21) nessa equação:
~r (t) = [x0 + v0xt] x^+
h
y0 + v0yt� g
2
t2
i
y^:
12 CHAPTER 2. MOVIMENTO EM 2-D E 3-D
Usando as expressões de v0x e v0y, reescreve-se
~r (t) = [x0 + (v0 cos�) t] x^+
h
y0 + (v0 sin�) t� g
2
t2
i
y^: (2.23)
Observe que a equação de movimento no eixo x^ é independente da equação de movimento no eixo y^.
A equação da velocidade
Aplicando a de…nição de ~v (t)
~v (t) =
d~r (t)
dt
: (2.24)
obtemos
~v (t) =
d
dt
[x0 + (v0 cos�) t] x^+
h
y0 + (v0 sin�) t� g
2
t2
i
y^:
~v (t) = v0 cos�x^+ [v0 sin�� gt] y^:
A velocidade é constante na direção x^ como era de se esperear e varia linearmente com o tempo na direção y^.
A equação da aceleração:
aplicando a de…nição ~a (t)
~a (t) =
d~v
dt
:
temos:
~a (t) =
d
dt
[v0 cos�x^+ [v0 sin�� gt] y^]
~a (t) = �gy^ (2.25)
Como se espera, a aceleração é constante, na direção y^ e sentido oposto ao do eixoy^.
A equação da trajetória.
A trajetória ocorre no plano xy assim a trajetória é descrita apenas pelo par de coordenadas (x; y).
Podemos, nesse caso, obter uma função y (x) que descreve a trajetória do projétil nesse plano.
x (t) = x0 + (v0 cos�) t;
y (t) = y0 + (v0 sin�) t� g
2
t2: (2.26)
Para simpli…car toma-se x0 = 0 e y0 = 0
x (t) = (v0 cos�) t;
y (t) = (v0 sin�) t� g
2
t2: (2.27)
A seguir …xa-se t na equação em x (t)
t =
x
v0 cos�
;
e substitui-se na equação em y
y = (v0 sin�)
x
v0 cos�
� g
2
�
x
v0 cos�
�2
Angelo
Sticky Note
inserir entre o sinal de soma e o próximo colchete o operador derivada d/dt
Angelo
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Angelo
Highlight
Angelo
Highlight
Angelo
Highlight
Angelo
Sticky Note
?
2.3. MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL NO VÁCUO 13
e reescreve-se
y (x) = (tan�)x� g
2 (v0 cos�)
2x
2 (2.28)
essa é a equação da trajetória. Observe que ela tem a forma de uma parábola, i.e.:
y = ax2 + bx: (2.29)
Essa informação da matemática nos auxilia a encontrar o alcance horizontal. A parábola corta o eixo x em dois
pontos. Um deles já sabemos que é em x = 0, pois para simpli…car o problema usamos x0 = 0 e y0 = 0.
Isso pode ser con…rmado quando formos calcular os zeros da equação(2.28).
y (x) = (tan�)x� g
2 (v0 cos�)
2x
2 (2.30)
=
 
(tan�)� g
2 (v0 cos�)
2x
!
x (2.31)
para y = 0 temos 
(tan�)� g
2 (v0 cos�)
2x
!
x = 0
temos uma das raízes é
x = 0
a outra raiz resulta de
(tan�)� g
2 (v0 cos�)
2x = 0
e obtemos
tan� =
g
2 (v0 cos�)
2x
e
x =
tan�2
g
(v0 cos�)
2
=
2
g
v20
sin�
cos�
cos2 �
=
2
g
v20 sin� cos�;
da trigonometria: sin 2� = 2 sin� cos� assim
x =
v20
g
sin (2�) (2.32)
esse é o maior valor de x onde a trajetória corta o eixo. Esse é o alcance horizontal R
R =
v20
g
sin (2�) : (2.33)
14 CHAPTER 2. MOVIMENTO EM 2-D E 3-D
2.4 Movimento Circular Uniforme
O movimento circular uniforme é um dos tipos de movimentos chamados de movimentos periódicos. Outro exemplo
de movimento periódico é o movimento de um pêndulo.
O circulo é uma …gura bidimensional. Devemos ter uma composição de movimentos
No movimento circular uniforme o módulo da velocidade tangencial é constante
j~vj = v const:
Determinação do ângulo entre ~v e a reta vertical.
Seja � o ângulo que o vetor posição ~r forma com o eixo x^.
No triângulo retângulo, temos
� + 90o + � = 180o
No ponto tangente, o vetor velocidade ~v é perpendicular ao raio r ou seja 90o. E a soma total dos ângulos sobre
a reta azul é 180o. Assim o ângulo entre ~v e a reta vertical azul deve ser �. E também teremos:
�+ 90o + � = 180o: (2.34)
Podemos agora obter as componentes das velocidades
vx = �v sin �; vy = v cos �
assim
~v = (�v sin �) x^+ v cos �y^
Calculo de sin � e cos �.
Do triângulo retângulo, temos
cos � =
x
r
; sin � =
y
r
r = hipotenusa, x = cateto adjacente, y = cateto oposto.
2.4. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 15
Substitui-se essas expressões em ~v, temos
~v =
�
�v y
r
�
x^+ v
x
r
y^ (2.35)
A aceleração é de…nida por
~a =
d~v
dt
e aplicando a derivada em ~v obtemos:
~a =
�
�v
r
d
dt
y
�
x^+
v
r
�
d
dt
x
�
y^
por outro lado, temos que:
d
dt
y = vy = v cos �;
d
dt
x = vx = �v sin � (2.36)
substituindo reescrevemos ~a na forma:
~a =
�
�v
r
v cos �
�
x^� v
r
v sin �y^
Dessa expressão pode-se ver que ~a está apontado para dentro do círculo.
A direção de ~a
Pela …gura vemos o ângulo �.
Cálculo de �
Da expressão de ~a, e da …gura podemos calcular tan�.
tan� =
ay
ax
=
�vr v sin ���vr v cos �� = tan �
ou seja
� = �
assim ~a está na direção do raio r e apontado para o centro do círculo, ou seja, ~a é a aceleração centrípeta.
Calculando j~aj
j~aj =
s�
�v
2
r
cos �
�2
+
�
�v
2
r
sin �
�2
=
v2
r
q
(cos �)
2
+ (sin �)
2
=
v2
r
(2.37)
Esse é o módulo da aceleração centrípeta.
16 CHAPTER 2. MOVIMENTO EM 2-D E 3-D
2.4.1 O período T
Uma novidade no MCU em relação aos movimentos retilíneos é que o corpo sempre volta para o mesmo ponto de
partida.
Isso permite que se de…na o período.
De…nição: O período T é o tempo que o corpo demora para completar uma volta no circulo.
No caso do MCU temos que:
1. O módulo da velocidade tangencial é constante v
2. O comprimento de uma volta é o perímetro do círculo: 2�r, r = raio do círculo.
Podemos usar a equação do MRU para determinar a fórmula de T .
Corta o círculo e estica-o na forma de uma reta:
O comprimento dessa reta é, então, xf � x0 = 2�r, onde x0 é a posição de uma ponta e xf a da outra
ponta.
Do MRU, temos
xf = x0 + vt! xf � x0 = vt! xf � x0
v
= t (2.38)
e substituindo o comprimento do círculo:
t =
2�r
v
(2.39)
esse é o tempo que se demora para se percorrer a distância 2�r com a velocidade constante v.
Mas isso é o mesmo que dar uma volta no círculo com o módulo constante v da velocidade tangencial, então
esse é o período T .
T =
2�r
v
: (2.40)
2.4.2 Frequência f
Outra novidade no movimento circular é a frequência f .
De…nição: A frequência f é o número de voltas n que se pode dar durante um intervalo de tempo �t:
Exemplo: Digamos que se consegue dar n = 10 voltas num intervalo de tempo de �t = 10 min então
f =
n
�T
=
10 voltas
10min
= 1 volta=min : (2.41)
e se utiliza a nomenclatura rpm = rotações por minuto.
No caso de ser �T = 10 s :
f =
n
�T
=
10 voltas
10s
= 1 voltas=s = 1Hz (2.42)
onde Hz = hertz é a unidade de frequência.
2.4.3 Relação entre f e T
No caso de n = 1 ou seja o número de voltas é apenas uma volta, temos
f =
1
�T
(2.43)
2.4. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 17
mas o tempo que leva para se dar uma volta é o período, então
�t = T (2.44)
substituindo na expressão anterior, obtemos a relação entre f e T
f =
1
T
: (2.45)
18 CHAPTER 2. MOVIMENTO EM 2-D E 3-D
Chapter 3
Movimento Relativo
Esse é um problema que envolve dois sistemas de referências.
Quando duas pessoas andando lado a lado com suas respectivas bicicletas à mesma velocidade em relação ao
referencial no solo, pode-se notar que uma está em repouso em relação à outra. Mas se estiverem andando em
sentidos contrários elas percebem a velocidade da outra pessoa.
Para entender essa situação, vamos obter as equações que relacionam as coordenadas de dois referenciais difer-
entes.
3.1 Caso em 1D
Sejam dados dois referenciais: A e B.
O referencial A está em repouso.
O referencial B está em MRU em relação ao referencial A com velocidade ~vB .
Seja P uma partícula também em movimento .
Num dado instante t temos:
19
20 CHAPTER 3. MOVIMENTO RELATIVO
A posição de B em relação à A: xB
A coordenada de posição de P .
No referencial A: xAP
No referencial B: xBp
Pela …gura podemos obter a seguinte relação entre as posições de P no referencial A e B:
xAp = xB + x
B
P (3.1)
A partir dessa equação e usando
v =
dx
dt
obtemos a lei de adição de velocidades:
d
dt
xAp =
d
dt
xB +
d
dt
xBP (3.2)
que se pode reescrever
vAp = vB + v
B
P : (3.3)
para as acelerações, obtemos
aAp = a
B
P (3.4)
pois
d
dt
vB = 0: (3.5)
3.2 Caso em 2D
Podemos extender de forma direta essas equações para o caso 2D.
Temos:
~rB posição do referencial B em relação ao referencial A
~rBp posição da partícula P em relação ao referencial B.
~rAp posição da partícula P em relação ao referencial A.
Pela …gura as grandezas se relacionam por
~rAp = ~rB + ~r
B
p (3.6)
3.3. EXEMPLO 21
A equação de transformação de velocidades é:
d
dt
~rAp =
d
dt
~rB +
d
dt
~rBp (3.7)
que podemos reescrever
~vAp = ~vB + ~v
B
p : (3.8)
Para as transformações das acelerações
d
dt
~vAp =
d
dt
~vB +
d
dt
~vBp :
resulta
~aAp = ~a
B
p : (3.9)
pois
~aB =
d
dt
~vB = 0
Para o caso 3D as equações são as mesmas.
3.3 Exemplo
Seja O o referencial …xo no solo. Um caminhão está andando com velocidade constante de ~vOc em relação ao
referencial O. Um aero modelo é lançado de cima do caminhão com uma velocidade incial ~vCA em relação ao
caminhão na mesma direção e sentido do movimento do caminhão. Qual é a velocidade do aeromodelo em relação
ao referencial …xo no solo?
Passos:
1. Reconhecimento do número de referênciais no problema. Temos 2:o referencial no
(
solo
caminhão
2. Localizar as grandezas nos seus respectivos referenciais.
(a) No referencial O no solo: velocidade do caminhão - ~vOc
(b) No referencial no caminhão: velocidade do aeromodelo - ~vCA
22 CHAPTER 3. MOVIMENTO RELATIVO
3. A questão do problema se refere à qual dos referênciais e de qual corpo?
No caso: quer se saber a grandeza em relação ao referencial no solo O do aeromodelo: ~vOA =?
Aplicamos a expressão:
~vAp = ~vB + ~v
B
p : (3.10)
No nosso caso o referencial O é associado ao referencial A
Assimquem faz o papel de ~vB é a velocidade do caminhão ~vOc
Quem faz o papel do referencial B é o caminhão: assim quem faz o papel de ~vBP é a velocidade do aeromodelo
em relação ao caminhão: ~vCA
Esquemáticamente, temos:
ref. no solo O ! ref. A
~vOc ! ~vB
~vCA ! ~vBp
~vOA ! ~vAp
e se quer determinar ~vOA , assim
~vOA = ~v
O
c + ~v
C
A : (3.11)