exercicio geometria

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UNIVERSIDADE DE LISBOA
I
Faculdade de Ciências
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
11 ANOo
GEOMETRIA
Resolução dos Exercícios
Armando Machado
2002
REANIMAT
Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática no Ensino Secundário
 
– 1 –
Resolução dos exercícios de Geometria (11 ano)o
1) Consideremos o triângulo que serviu para definir as três razões trigonométricas
Figura 1
Pelo teorema de Pitágoras podemos escrever
EG FG œ EF# ## .
Dividindo ambos os membros desta igualdade por , obtemosEF#
EG FG
EF EF
 œ "
#
# #
#
,
ou seja, escrito de modo equivalente,
   EG FGEF EF œ " Ð Ñ  Ð Ñ œ "
# #
# #, cos sen .! !
Por outro lado, partindo da definição tg , podemos dividir ambos os termos da fracção porÐ Ñ œ! FGEG
EF para obter também
tg .
sen
cos
Ð Ñ œ œ Ð ÑÐ Ñ!
!
!
FG
EF
EG
EF
2) Podemos considerar o triângulo rectângulo com o vértice correspondente ao ângulo recto no
centro da base e com os restantes vértices nos meus pés e no topo da Torre. Sendo ! o ângulo
pedido, tem-se tg e portanto, recorrendo à calculadora, obtemos o valor aproximadoÐ Ñ œ œ $! $!!"!!
! ¸ ("Þ&( .° (nos cálculos intermédios conservamos maior precisão do que a pedida). Sendo a
distância pedida, tem-se cos , dondeÐ Ñ œ! "!!.
. œ ¸ $"'"!!Ð Ñcos .!
Podemos assim dizer que, com a aproximação pedida, o ângulo é ° e a distância é metros.(# $"'
3) a) Tomemos como unidade de medida o lado do triângulo equilátero. A bissectriz referida
divide o triângulo equilátero em dois triângulos “iguais”, por terem dois lados e o ângulo por eles
– 2 –
formados iguais.
Figura 2
Uma vez que em triângulos iguais a ângulos iguais opõem-se lados iguais, constatamos que a
bissectriz divide o lado oposto ao meio. A bissectriz é também perpendicular ao lado oposto, uma
vez que os dois ângulos que ela determina com esse lado são iguais por se oporem a lados iguais em
triângulos iguais. Estamos assim na presença de dois triângulos rectângulos iguais com hipotenusa
igual a e cateto oposto ao ângulo de ° igual a . A medida do cateto adjecente a este ângulo (a" $! "#
altura do triângulo) pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras e é assim igual a
Ê Ê Ê È"  Ð Ñ œ "  œ œ" " $ $# % % ## # .
Podemos assim escrever
sen °
cos °
tg ° .
Ð$! Ñ œ œ" #
"
Ð$! Ñ œ œ" #
$
Ð$! Ñ œ œ œ œ" $ $
$ $ ‚ $ $
"
#
$
#
"
#
$
#
È
È
È
È È ÈÈ È
Repare-se que, na determinação da tangente, podíamos perfeitamente ter parado na expressão ; o"
$È
que fizémos a seguir foi o que se costuma chamar “racionalizar o denominador”. Essa operação
costuma ser recomendada em Matemática não só por “razões cosméticas”; ela permite por exemplo,
no nosso caso, comparar mmais facilmente os valores do cosseno e da tangente.
 O mesmo triângulo rectângulo tem o outro ângulo agudo igual a ° e serve assim tambémb) '!
para calcular as razões trigonométricas deste último ângulo. A única diferença é que o cateto oposto
ao ângulo de ° é o adjacente ao ângulo de ° e vice-versa. Podemos assim escrever'! $!
cos °
sen °
tg ° .
Ð'! Ñ œ œ" #
"
Ð'! Ñ œ œ" #
$
Ð'! Ñ œ œ œ $$"
"
#
$
#
$
#
"
#
È
È
È
È È
O mesmo raciocínio conduz mais geralmente às conclusões
– 3 –
sen ° , ° sen , tg °
tg
Ð*!  Ñ œ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ "Ð Ñ! ! ! ! ! !cos cos
(para a última reprar que, para determinar o inverso de uma fracção, basta trocar o seu numerador
com o denominador).
4) Tomemos o cateto do triângulo rectângulo como unidade de comprimento.
Figura 3
Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo mede e daqui deduzimosÈ È"  " œ ## #
que
sen °
cos °
tg ° .
Ð%& Ñ œ œ œ" # #
# # ‚ # #
Ð%& Ñ œ œ" #
# #
Ð%& Ñ œ œ """
È È ÈÈ È
È È
5) a) Acrescentemos letras para identificar os vértices na figura dada, onde se tem assim
j œ EF.
Figura 4
– 4 –
Os ângulos da base e do triângulo isósceles são iguais e portanto uma vez que a somaE F ÒSEFÓ
dos ângulos internos dum triângulo é °, eles medem")!
")!  $'
# œ (#
° °
°.
Podemos agora deduzir que o ângulo do triângulo medeG ÒSEGÓ
")!  Ð(#  (# Ñ œ $'° ° ° °.
b) Uma vez que os ângulos e do triângulo são ambos iguais a °, podemos concluirS G ÒSFGÓ $'
que . Por outro lado, os triângulos e são semelhantes, por terem osFG œ SF œ " ÒSEFÓ ÒGSEÓ
ângulos respectivamente iguais. Podemos assim concluir que os seus lados são proporcionais e
portanto
EG SE
SE EF
œ ,
ou seja
j  " "
" jœ ,
que também pode ser escrito simplesmente .j  " œ "j
c) Multiplicando ambos os membros por , vemos que a equação é equivalente à equaçãoj j  " œ "j
j  j œ " !# , uma vez que esta última não admite como solução. Esta última equação do segundo
grau, que pode ser escrita na forma admite as soluçõesj  j  " œ !#
j œ " „ "  %#
È
e, uma vez que, por se tratar dum comprimento, , vemos que se tem efectivamentej  !
j œ œ"  & &  "# #
È È
.
d) Se traçarmos a bissectriz do ângulo do triângulo isósceles , verificamos, tal como noS ÒESFÓ
caso do triângulo equilátero que examinámos no exercício 3, que essa bisectriz é ortogonal ao lado
ÒEFÓ e divide esse lado ao meio. Daqui deduzimos que
sen ° .Ð") Ñ œ œ œ" # %
j &  "j# È
Uma vez que o triângulo tem dois ângulos iguais a °, os lados opostos são iguais eÒSEGÓ (#
portanto
SG œ j  " œ  œ&  " # &  "# # #
È È
.
Raciocinando como anteriormente, com o triângulo isósceles , vemos que a bissectriz do seuÒFSGÓ
ângulo é perpendicular ao lado e divide-o ao meio. Daqui se conclui queF ÒSGÓ
cos ° .Ð$' Ñ œ œ" %
&  "SG# È
– 5 –
Uma vez que sen ° cos ° , podemos deduzir o valor de cos ° :# #Ð") Ñ  Ð") Ñ œ " Ð") Ñ
cos ° sen °
.
Ð") Ñ œ "  Ð") Ñ œ "  œ&  "  # &"'
œ œ"'  '  # &"' %
"!  # &
È Ë È
Ë È É È
#
Analogamente,
sen ° cos °
.
Ð$' Ñ œ "  Ð$' Ñ œ "  œ&  "  # &"'
œ œ"'  '  # &"' %
"!  # &
È Ë È
Ë È É È
#
e) Consideremos o raio da circunferência dada como unidade de comprimento. O ângulo ao centro
correspondente ao lado dodecágono regular inscrito é ° pelo que o comprimento do lado$'!"!
° œ $!
do decágono é precisamente = . Partamos então da circunferência, onde já traçámos doisj È&"#
diâmetros perpendiculares e tentemos determinar com régua e compasso um segmento de
comprimento .È&"#
Figura 5
Começamos por reparar que se pode escrever e que portanto é o comprimentoÈ ÈÈ& œ "  # &# #
da hipotenusa de um triângulo rectângulo de catetos e . Em consequência é a hipotenusa de" # È&#
um triângulo rectângulo de catetos e e portanto é fácil construirmos na figura anterior um"# "
segmento de comprimento : Determinamos o ponto médio do segmento e verificamosÈ&# I ÒSFÓ
que o segmento tem esse comprimento.ÒIGÓ
– 6 –
Figura 6
Desenhemos agora um arco de circunferência de centro em e raio , que vai intersectar oI IG
diâmetro no ponto Uma vez que e , vemos que é oÒEFÓ J Þ IJ œ IG œ IS œ SJ œÈ È& &"# # #"
comprimento procurado. Se quisermos desenhar o decágono basta marcar a abertura do compasso
com o comprimento do segmento e ir marcando sucessivamente pontos sobre a circunfe-ÒSJ Ó
rência, com a ajuda do compasso a uma distância igual a este comprimento dos anteriores.
Figura 7
6) Podemos escrever
tg ° .
sen °
cos °
Ð$' Ñ œ œÐ$' ÑÐ$' Ñ
"!  # &
&  "
É ÈÈ
No sentido de tentar simplificar o resultado e chegar ao valor proposto vamos racionalizar o
– 7 –
denominador, multiplicando ambos os membros da fracção por , o que conduz aÈ&  "
tg °Ð$' Ñ œ œ œ
"!  # & Ð &  "Ñ "!  # & Ð &  "Ñ
Ð &  "Ñ Ð &  "Ñ &  "
œ œ œ
"!  # & Ð &  "Ñ
% %
"!  # & '  # &
œ œ œ
Ð"!  # &Ñ Ð'  # &Ñ
% %
'!  #! &  "# &  #!
œ
)!  $#
É ÉÈ È È ÈÈ ÈÉ È ÈÉ É ÉÈ È
É ÉÈ È È È
É
#
È ÈÈ É É È& "' &  # &
% %œ œ&  # &.
7) Podemos também escrever
cos ° sen °
sen ° cos °
sen ° cos °
cos ° sen °
Ð(# Ñ œ Ð") Ñ œ
Ð(# Ñ œ Ð") Ñ œ
Ð&% Ñ œ Ð$' Ñ œ
Ð&% Ñ œ Ð$' Ñ œ
È
É È
È
É È
&  "
%
"!  # &
%
&  "
%
"!  # &
% .
8) a) Vamos, como é habitual, utilizar nos cálculos intermédios uma casa decimal para além da
que nos é pedido no resultado. Uma vez que o perímetro do equador e dos meridianos é igual a
# V V1 , onde é o raio da Terra, obtemos o valor aproximado para este raio, em quilómetros,
V œ ¸ '$''Þ#Þ%! !!!#1
Figura 8
– 8 –
Como se vê na figura, o raio, em quilómetros, do paralelo de Lisboa é
V Ð$)Þ($ Ñ ¸ %*''Þ$cos °
e portanto o perímetro do paralelo é aproximadamente
# ‚ %*''Þ$ ¸ $"#!%Þ"1
ou seja, com valor aproximado ao quilómetro, 31204 Km.
 O deslocamento de Km na direcção Leste é feito sobre o paralelo, cujo perímetrob) #!!
calculámos atrás. A variação em graus da longitude pode ser assim calculada por proporcio-B
nalidade:
B $'!
#!! $"#!%Þ"¸
donde
B ¸ ¸ #Þ$"$'! ‚ #!!$"#!%Þ" .
Uma vez que andámos na direcção Leste, a nova longitude, ainda Oeste é assim aproximadamente
*Þ"&  #Þ$" ¸ 'Þ)%.
O deslocamento de 200 Km na direcção Norte faz-se sobre o meridiano, que tem o perímetro de
%!!!! = C Km. A variação em grau da latitude calcula-se analogamente
C œ œ "Þ)$'! ‚ #!!%!!!! .
A nova latitude, ainda Norte, é assim
$)Þ($  "Þ) œ %!Þ&$.
Com a aproximação pedida, podemos assim dizer que o ponto de chegada tem latitude e%!Þ&R
longitude .'Þ)[
9) a) Podemos considerar um triângulo rectângulo com o vértice correspondente ao ângulo recto
no centro da primeira posição do navio e com os restantes vértices na proa do navio e na minha
posição.
Figura 9
– 9 –
O ângulo desse triângulo correspondente ao vértice em que eu estou é ° e o cateto$$Þ'&#
° œ "'Þ)#&
oposto mede m. A distância pedida é o outro cateto, pelo que podemos concluir que##&#
m œ ""#Þ& B
""#Þ&
B œ Ð"'Þ)#& Ñ ¸ !Þ$!#%tg °
e portanto
B ¸ ¸ $($Þ!""#Þ&!Þ$!#% .
Podemos assim dizer que o meio do navio estava inicialmente a cerca de metros.$(!
 Neste segundo instante temos um triângulo rectângulo em que o cateto oposto ao ângulo b) !
que se quer conhecer mede m e o cateto adjacente é o calculado na alínea precedente,##&
aproximadamente m. Tem-se assim$($Þ!
tgÐ Ñ ¸ ¸ !Þ'!$###&$($!
e portanto, recorrendo de novo à calculadora, 31.1°.! ¸
 A situação neste terceiro momento é a descrita na figura seguinte:c)
Figura 10
Desta podemos concluir que
tg
tg
Ð Ñ ¸ ¸ $Þ#)%#"##&$($
Ð Ñ ¸ ¸ #Þ')"!"!!!$($
#
"
e portanto, usando a calculadora,
#
"
¸ ($Þ!(
¸ '*Þ&%
° .
°
O ângulo pedido é a diferença °, portanto cerca de °.# " ¸ $Þ&$ $Þ&
– 10 –
10) Tracemos, como auxiliar, a altura do triângulo correspondente ao vértice .G
Figura 11
Uma vez que
sen ° ,Ð&! Ñ œ œGH GH
EG %
concluímos que
GH œ % ‚ Ð&! Ñ ¸ % ‚ !Þ(''! ¸ $Þ!'%#sen ° .
Analogamente
EH œ % ‚ Ð&! Ñ ¸ % ‚ !Þ'%#) ¸ #Þ&("#cos °
e portanto também
HF ¸ &  #Þ&("# ¸ #Þ%#)).
Podemos agora escrever
tgÐFÑ œ ¸ ¸ "Þ#'"'GH $Þ!'%#
HF #Þ%#))
e portanto ficamos a conhecer os dois ângulos desconhecidos:
F ¸ &"Þ'! G œ ")!  ÐE  FÑ ¸ ()Þ%!°, ° °.
Finalmente, de se ter sen , podemos concluir queGHGF œ ÐFÑ
GF œ ¸ ¸ $Þ*!**GH $Þ!'%#ÐFÑ !Þ()$(sen .
Depois de termos utilizado um grau maior de precisão em cálculos intermédios, podemos apresentar
o que nos é pedido com a precisão referida:
FG ¸ $Þ*" F ¸ &"Þ' G ¸ ()Þ%, °, °.
11) Comecemos por reparar que a medida do terceiro ângulo pode ser determinada de modo
elementar:
– 11 –
G œ ")!  Ð&!  '! Ñ œ (!° ° ° °.
De acordo com a sugestão, a altura correspondente ao vértice .ÒFHÓ F
Figura 12
Podemos então escrever
FH œ "! ‚ Ð&! Ñ ¸ "! ‚ !Þ(''! ¸ (Þ''!sen °
e sen ° , dondeFH œ FG ‚ Ð(! Ñ
FG œ ¸ ¸ )Þ"&"'FH (Þ''!Ð(! Ñ !Þ*$*(sen ° .
A determinação de pode fazer-se, como é sugrido, de modo análogo, com o auxílio da alturaEG
correspondente ao vértice , mas também se pode fazer calculando separadamente e :E EH GH
EH œ "! ‚ Ð&! Ñ ¸ "! ‚ !Þ'%#) ¸ 'Þ%#)
GH ¸ )Þ"&"' ‚ Ð(! Ñ ¸ )Þ"&"' ‚ !Þ$%#! ¸ #Þ())
cos ° ,
cos ° ,
e portanto
EG ¸ 'Þ%#)  #Þ()) ¸ *Þ#"'.
– 12 –
12)
ângulo seno
18°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
È
É È
È
È
È
É È
É È
È
È
È
É È
È
&"
%
"
#
"!# &
%
#
#
&"
%
$
#
"!# &
%
"!# &
%
$
#
&"
%
#
#
"!# &
%
"
#
&
$!
$'
%&
&%
'!
(#
*! "
"!)
"#!
"#'
"$&
"%%
"&!
"'# "%
13) a) O facto de a bissectriz ser perpendicular à base e dividir esta ao meio já foiÒFGÓ
encontrado na resolução de outros exercícios, como por exemplo o exercício 3, pelo que nos
abstemos de repretir o argumento. No contexto da figura
Figura 13
1
podemos escrever cos e sen , portanto sen .EQ œ " ‚ Ð Ñ FQ œ " ‚ Ð Ñ FG œ # Ð Ñ! ! !
 A altura do triângulo correspondente ao vértice tem por medida sen , deb) ÒEFGÓ G " ‚ Ð# Ñ!
acordo com o que vimos na propriedade P1 do texto.
 A área do triângulo é, como sabemos, igual a metade do produto de qualquer das bases pelac)
altura correspondente. Considerando a base , que já vimos medir sen , a altura é, comoÒFGÓ # Ð Ñ!
verificámos em a), cos , pelo que a área é igual a sen cos . Considerando a baseÐ Ñ ‚ # Ð Ñ ‚ Ð Ñ! ! !"#
ÒEFÓ " Ð# Ñ, de comprimento , a altura correspondente é, como verificámos em b), sen e portanto a!
– 13 –
área é também igual a sen . A área calculada pelos dois métodos tem que ser igual, portanto"# Ð# Ñ!
sen cos sen , dondeÐ Ñ ‚ Ð Ñ œ Ð# Ñ! ! !"#
sen sen cos .Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !
14) Podemos escrever
Ð Ð Ñ  Ð ÑÑ œ Ðsen sen! !cos # ! ! ! !
! ! !
Ñ  Ð Ñ  # Ð Ñ Ð Ñ œ
œ "  # Ð Ñ Ð Ñ œ "  Ð# Ñ
# #cos sen cos
sen cos sen .
15) A propriedade pode ser enunciada, sem referir explicitamente as letras que nomeiam os
vértices e os lados, dizendo que, dado um vértice qualquer, são iguais os quocientes pelos senos dos
ângulos correspondentes aos outros dois vértices dos lados opostos a esses vértices. Quando o
vértice de partida é o vértice a propriedade corresponde à igualdade enunciada. Quando o vérticeG
for , a igualdade passa a serF
- +
ÐGÑ ÐEÑœsen sen
e, quando o vértice for , ela passa a serE
, -
ÐFÑ ÐGÑœsen sen .
16) Se o automóvel se move à velocidade de Km/h, ele precorre metros em *! *!!!! $'!!
segundos, pelo que, sendo a distância em metros percorrida em segundos, podemos escrever aB "!
proporção
*!!!! B
$'!! "!œ ,
o que nos permite determinar
B œ œ #&!*!!!! ‚ "!$'!! .
Podemos assim esquematizar a situação numa figura
– 14 –
Figura 14
onde denota a posição da girafa, a nossa posição no primeiro instante, a posição no segundoK E F
instante e a posição quando estamos mais pertoda girafa, ou seja quando a recta éG GK
perpendicular ao caminho percorrido.
 Reparemos agora que no triângulo o ângulo mede ° ° ° e o ânguloa) ÒEFKÓ F ")!  &! œ "$!
K ")!  Ð"$!  $& Ñ œ "& mede ° ° ° °. Aplicando a lei dos senos, cem
FK #&!
Ð$& Ñ Ð"& Ñœsen ° sen ° ,
donde concluímos o valor aproximado
FK œ ¸ ¸ &&%Þ!$#&! ‚ Ð$&Ñ #&! ‚ !Þ&($'Ð"& Ñ !Þ#&))
sen
sen °
.
Podemos assim dizer que, no segundo instante, estávamos a cerca de 554 metros da girafa.
 Podemos escreverb)
FG
FK
œ Ð&! Ñcos °
e portanto
FG œ FK ‚ Ð&! Ñ ¸ &&%Þ!$ ‚ !Þ'%#) ¸ $&'Þ"#cos ° .
Para responder à pergunta que nos é feita, basta-nos agora calcular o tempo que o automóvel leva>
a percorrer os 356.12 metros de até . Para isso usamos mais uma vez a proporçãoF G
*!!!! $&'Þ"#
$'!! >¸ ,
de onde se deduz que
– 15 –
> ¸ ¸ "%Þ#%$'!! ‚ $&'Þ"#*!!!! .
Podemos assim dizer que o automóvel leva mais cerca de 14 segundos a chegar ao ponto mais
próximo da girafa.
17)
Figura 15
a) °; b) °; c) °; d) °; e) °; f)°; g) °."#! '! "#! "#! "#! ! '!
18) Exercício a realizar na Internet.
19) a) Andar ° no sentido directo conduz à mesma posi que andar"!!! ção final
"!!!  #° ‚ $'! œ #)!° ° no sentido directo.
 Andar ° no sentido directo é o mesmo que andar ° no sentido retrógrado eb) "!!! "!!!
conduz à mesma posição final que andar ° ° ° no sentido retrógrado."!!!  $ ‚ $'! œ )!
20) Já sabemos que se tem \ Ç Ð Ðcos ! !Ñß Ð ÑÑ \sen , se é o ponto da semi-recta correspondente
ao ângulo de movimento que está a distância da origem. Sendo ! " ] Ç Ð< Ð Ñß < Ð ÑÑcos ! !sen ,
tem-se S]
Ä Ä
œ < S\ \ ] S ], pelo que e estão na mesma semi-recta de origem e a distância de a
S < \ S <, igual a vezes a distância de a é igual a .
21) Este é um exercício em que não é importante comparar os resultados aproximados obtidos
pelo estudante com os que fossem obtidos pelo professor pelo que não parece útil apresentar uma
proposta de solução. Fazemos apenas algumes observações relativamente a certas alíneas.
 É importante reparar que o facto de não haver solução única radica não somente no factob)
de vários ângulos generalizados corresponderem a uma mesma semi-recta mas também no facto de
– 16 –
semi-rectas distintas corresponderem ao mesmo seno. Análoga observação se pode fazer
relativamente às alíneas c) e d).
 Dos gráficos parece ressaltar que o contradomínio tanto do seno como do co-seno é oe)
intervalo e que o contradomínio da tangente é a totalidade dos números reais. AÒ"ß "Ó ‘
confirmação deste facto no círculo trigonométrico pode ser dividida em duas partes: Na primeira
repara-se que o seno e o co-seno estão sempre no intervalo e a tangente é evidentementeÒ"ß "Ó
sempre um número real; Numa segunda parte, que haverá porventura tendência a esquecer e que
importa não confundir com a primeira, é necessário convencer-nos de que qualquer número no
intervalo é seno de algum ângulo e co-seno de outro e de que qualquer número real éÒ"ß "Ó
tangente de algum ângulo. Para nos convencermos destes últimos factos é possível exibir uma
construção baseada no círculo trigonométrico, de ângulos nas condições pretendidas.
 Podemos fazer uma translação para a esquerda e outra para a direita, de comprimentof)
correspondente a 360 unidades no eixo das abcissas, e decalcar sobre a folha de acetato o gráfico
que está por baixo.
22) a) Trata-de de uma experiência a ser conduzida pelo estudante e que não faz sentido
confrontar com uma solução do professor.
 A solução desta alínea poderá depender da calculadora utilizada mas acreditamos que ob)
que se passa com mais frequência é que, no caso do seno e da tangente a calculadora escolhe o
ângulo entre ° e ° (exclusive, no caso da tangente) e no caso do co-seno a calculadfora*! *!
escolhe o ângulo qye está entre ° e °. Quando pedimos à calculadora para determinar um! ")!
ângulo cujo seno seja ela dá uma mensagem de erro, uma vez que não existe tal ângulo.#
23) a) A função aproxima-se duma cujo período é cerca de .!Þ()
 A função também admite, por exemplo, os períodos e .b) "Þ&' !Þ()
 A função admite como períodos todos os da forma , com inteiro não nulo,c) 5 ‚ !Þ() 5
positivo ou negativo.
24) Tem-se e .5 .0Ð"!Ñ œ 0Ð&Ñ œ 0Ð!Ñ ¸ " 0Ð*Ñ œ 0Ð%Ñ œ 0Ð"Ñ ¸ "
25) a) A função parece de facto admitir como período, tal como todos os números da forma")!
5 ‚ ")! 5, com inteiro não nulo.
 A um ângulo generalizado e à soma deste com ° correspondem duas semi-rectas com ab) ")!
mesma direcção e sentidos opostos, em particular duas semi-rectas que determinam a mesma recta.
Uma vez que a tangente de um ângulo generalizado é igual ao declive da recta que ele determina, os
dois ângulos generalizados têm a mesma tangente.
26) Recordemos que, se tivermos uma régua de comprimento igual ao do período, quando a
colocamos horizontalmente com a extremidade esquerda sobre qualquer ponto do gráfico, a
extremidade direita fica sempre sobre o gráfico. Se fizermos isso no caso da tangente, com uma
régua com o comprimento correspondente a 180, verificamos que a régua nunca toca o gráfico antes
da sua extremidade, pelo que não pode haver nenhum período mais pequeno que °. Se fizermos")!
o mesmo com o seno ou o co-seno e com uma régua de comprimento correspondente a ,$'!
constatamos que a régua encontra em geral o gráfico uma vez antes da sua extremidade, o que
– 17 –
parece deixar em aberto a possibilidade de existir um período menor que °. No entanto,$'!
marcando na régua o segundo ponto que se encontrava no gráfico e deslocando a régua para outro
ponto do gráfico, constata-se que o ponto marcado não permanece sobre o gráfico pelo que não é
efectivamente um período.
 O que se fez atrás de modo experimental pode ser adaptado a um ponto de vista mais
rigoroso: Se é um período positivo da funT ção e se, para um certo valor do domínio, tem-se+
0ÐBÑ Á 0Ð+Ñ B Ó+ß +  T Ò T para todo o do intervalo , então é mesmo o período positivo mínimo.
No caso em que isso não aconteça mas exista apenas um número finito de pontos noB ßá ß B" 8
intervalo com a mesma imagem que e os números , definidos porÓ+ß +  T Ò + T ßá ßT" 8
B œ +  T B œ +  T ßá ß B œ +  T" " # # 8 8, ,
não sejam períodos, é ainda o período positivo mínimo. Repare-se que, para verificar que umT
certo não é um período, apesar de se ter , basta arranjar outro elemento doT 0Ð+  T Ñ œ 0Ð+Ñ ,4 4
domínio tal que .0Ð,  T Ñ Á 0Ð,Ñ4
27) Uma vez que o seno é negativo (e diferente de ), a semi-recta correspondente ao ângulo"
pode estar no terceiro ou no quarto quadrantes. Da igualdade
sen#Ð! !Ñ  Ð Ñ œ "cos ,#
podemos tirar
cos#Ð!Ñ œ "  Ð Ñ œ "  œ% "' *& #& #&
#
e portanto cosÐ!Ñ œ „$& . Se a semi-recta estiver no terceiro quadrante o co-seno é negativo e
portanto cos e tg . Se a semi-recta estiver no quarto quadrante, o co-senoÐ Ñ œ  Ð Ñ œ œ! !$ %& Ð Ñ $
Ð Ñsen
cos
!
!
é positivo e portanto cos e tg .Ð Ñ œ Ð Ñ œ œ ! !$ %& Ð Ñ $
Ð Ñsen
cos
!
!
28) Generalizando o que vimos atrás, constatamos que, quando conhecemos o valor sen doÐ!Ñ
seno de um ângulo sen! ! !, podemos utilizar a igualdade cos para deduzir o valor de#Ð Ñ  Ð Ñ œ "#
cos#Ð! !Ñ Ð Ñ mas o valor de cos não fica perfeitamente determinado porque não sabemos se é
positivo ou negativo (e, efectivamente, para um dado seno, as duas hipóteses são possíveis). O
único caso em que podemos dizer sem ambiguidade qual o valor do co-seno é aquele em que não há
lugar para falar de sinal, ou seja aquele em que : Nesse caso podemos dizer quecos#Ð!Ñ œ !
cos . O valor do seno referido inicialmente era assim ou .Ð Ñ œ ! " "!
29) Uma vez que a tangente é positiva, o ângulo ! está no primeiro ou terceiro
quadrantes.Tem-se
"
Ð œ "  Ðcos tg ,#
#
! !Ñ % %Ñ œ œ
" &
1+ .
donde cos#Ð! ! !Ñ œ Ð Ñ œ "  Ð Ñ œ% "& &# #, sen cos , e portanto
– 18 –
cos , sen .Ð Ñ œ „ œ „ Ð Ñ œ „ œ „# # & " &
& && &
! !È ÈÈ È
Mais precisamente, se estiver no primeiro quadrante, cos e sen e, se ! ! ! !Ð Ñ œ Ð Ñ œ# & && &
È È
estiver no terceiro quadrante, cos e sen .Ð Ñ œ  Ð Ñ œ ! !# & && &
È È
30) a) Estudo das restrições da função sen ° :B È ÐB Ñ
Ò*!ß !Ó Ò!ß *!Ó Ò*!ß ")!Ó Ò")!ß #(!Ó
Ò  "ß !Ó Ò!ß "Ó Ò!ß "Ó Ò"ß !Ó
! ! ")! ")!
contradomínio
zeros
sentido de crescimento ß ß à à
 O contradomínio da funb) ção é . A função é estritamente crecente no intervaloÒ"ß "Ó
Ò*!ß *!Ó Ò*!  5 ‚ $'!ß *!  5 ‚ $'!Ó 5 − e, mais geralmente nos intervalos da forma , com , e™
é estritamente decrescente no intervalo e, mais geralmente, nos intervalos da formaÒ*!ß #(!Ó
Ò*!  5 ‚ $'!ß #(!  5 ‚ $'!Ó 5 − ! ")!, com . Os zeros da função são , e, mais geralmente os™
valores do domínio da forma e da forma , com ; este facto pode!  5 ‚ $'! ")!  5 ‚ $'! 5 − ™
ser enunciado, de forma mais compacta, dizendo que os zeros são os elementos do domínio da
forma , com . A função atinge o seu máximo absoluto, igual a , em talcomo, mais: ‚ ")! : − " *!™
geralmente, nos pontos da forma ,com , e atinge o seu mínimo absoluto, igual a*!  5 ‚ $'! 5 − ™
" *! *!  5 ‚ $'! 5 −, no ponto , e, mais geralmente, nos pontos da forma ,com .™
31) a) Estudo das restrições da função cos ° :B È ÐB Ñ
Ò!ß *!Ó Ò*!ß ")!Ó Ò")!ß #(!Ó Ò#(!ß $'!Ó
Ò!ß "Ó Ò"ß !Ó Ò"ß !Ó Ò!ß "Ó
*! *! #(! #(!
contradomínio
zeros
sentido de crescimento à à ß ß
 O contradomínio da funb) ção é . A função é estritamente crecente no intervaloÒ"ß "Ó
Ò")!ß $'!Ó Ò")!  5 ‚ $'!ß $'!  5 ‚ $'!Ó 5 − e, mais geralmente nos intervalos da forma , com ,™
e é estritamente decrescente no intervalo e, mais geralmente, nos intervalos da formaÒ!ß ")!Ó
Ò5 ‚ $'!ß ")!  5 ‚ $'!Ó 5 − *! #(!, com . Os zeros da função são , e, mais geralmente os™
valores do domínio da forma e da forma , com ; este facto pode*!  5 ‚ $'! #(!  5 ‚ $'! 5 − ™
ser enunciado, de forma mais compacta, dizendo que os zeros são os elementos do domínio da
forma , com . A função atinge o seu máximo absoluto, igual a , em tal como,*!  : ‚ ")! : − " !™
mais geralmente, nos pontos da forma ,com , e atinge o seu mínimo absoluto, igual a5 ‚ $'! 5 − ™
" ")! ")!  5 ‚ $'! 5 −, no ponto , e, mais geralmente, nos pontos da forma , com .™
– 19 –
32) a) Estudo das restrições da função tg ° :B È ÐB Ñ
Ó*!ß !Ó Ò!ß *!Ò Ó*!ß ")!ÓÓ Ò")!ß #(!Ò
Ó_ß !ÓÓ Ò!ß_Ò Ó_ß !Ó Ò!ß_Ó
! ! ")! ")!
contradomínio
zeros
sentido de crescimento ß ß ß ß
 O contradomínio da funb) ção é . A função é estritamente crecente no intervalo e,‘ Ó*!ß *!Ò
mais geralmente nos intervalos da forma , com . Os zeros daÒ*!  5 ‚ ")!ß *!  5 ‚ ")!Ó 5 − ™
função são , e, mais geralmente os valores do domínio da forma , com . A! ")! 5 ‚ ")! 5 − ™
função não tem extremos absolutos nem relativos.
 A função não é crescente na totalidade do seu domínio uma vez que, por exemplo,d)
%&  ")! Ð%& Ñ œ "  ! œ Ð")! Ñ e tg ° tg ° . No entanto ela é estritamente crescente em qualquer
intervalo que esteja contido no domínio, uma vez que um tal intervalo está forçosamente contido
num dos intervalos do tipo , com . O que se passa é queÒ*!  5 ‚ ")!ß *!  5 ‚ ")!Ó 5 − ™
qualquer contra-exemplo relativo à afirmação de a função ser crescente faz intervir dois números
que têm entre si um número que não está no domínio.
33) a)
Figura 16
Relativamente ao referencial ortonormado do plano do equador com origem em e definido pelosS
vectores /Ä Ä/ \ Ç Ð ÐP98 Ñß ÐP98 ÑÑB C ! \ \ e , tem-se cos sen (lembrar que a unidade de comprimento
considerada é o raio da Terra, pelo que a distância de a é ). Podemos assim escrever\ S "!
S\ œ ÐP98 Ñ /  ÐP98 Ñ /
Ä Ä Ä
! \ B \ Ccos sen .
 Pelo modo como a latitude é definida, e por um argumento semelhante ao utilizado nab)
alínea precedente, concluímos que, relativamente ao referencial vectorial ortonormado do plano do
meridiano constituído pelos vectores tem-se e ,S\ /
Ä Ä
! D
– 20 –
S\ œ ÐP+> ÑS\  ÐP+> Ñ /
Ä Ä Äcos sen .\ ! \ D
 Combinando as conclusões de a) e b), podemos escreverc)
S\ œ ÐP+> ÑS\  ÐP+> Ñ / œ
Ä Ä Ä
œ ÐP+> Ñ Ð ÐP98 Ñ /  ÐP98 Ñ / Ñ  ÐP+> Ñ / œÄ Ä Ä
œ ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ /  ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ / Ä Ä
cos sen
cos cos sen sen
cos cos cos sen s
\ ! \ D
\ \ B \ C \ D
\ \ B \ \ C en ,ÐP+> Ñ /Ä\ D
e portanto
S\ Ç Ð ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ ß ÐP+> Ñ ÐP98 Ñ ß ÐP+> Ñ Ñ
Ä
cos cos cos sen sen .\ \ \ \ \
34) a) O caso examinado inicialmente, e representado na figura utilizada, era aquele em que o
ângulo ! ! estava no primeiro quadrante, e portanto o ângulo ° estava no segundo quadrante.*! 
Nos casos em que está no segundo, no terceiro ou no quarto quadrantes, ° está nos ter-! !*! 
ceiro, quarto e primeiro quadrantes, respectivamente, e as figuras têm que ser adaptadas. Em
qualquer dos casos, constatamos que temos triângulos rectângulos congruentes por terem
hipotenuas com o mesmo comprimento e ângulos agudos iguais (por serem definidos por lados"
perpendiculares). Em qualquer dos casos o segmento que representa o co-seno de tem o mesmo!
comprimento que o que representa o seno de ° e o segmento que representa o seno de tem*!  ! !
o mesmo comprimento que o que representa o co-seno de ° , pelo que podemos escrever*!  !
sen ° , ° sen ,Ð*!  Ñ œ „ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ „ Ð Ñ! ! ! !cos cos
e apenas temos que nos preocupar em verificar que os sinais que efectivamente aparecem em cada
um dos três casos são os mesmos que os que aparecem no caso em que ! está no primeiro
quadrante. Ora, isso resulta de que:
 i) Se está no segundo quadrante, então ° está no terceiro e portanto! !*! 
sen ° , cos , cos ° e sen .Ð*!  Ñ  ! Ð Ñ  ! Ð*!  Ñ  ! Ð Ñ  !! ! ! !
 ii) Se está no terceiro quadrante, então ° está no quarto e portanto sen ° ,! ! !*!  Ð*!  Ñ  !
cos , cos ° e sen .Ð Ñ  ! Ð*!  Ñ  ! Ð Ñ  !! ! !
 iii) Se está no quarto quadrante, então ° está no primeiro e portanto! !*! 
sen ° , cos , cos ° e sen .Ð*!  Ñ  ! Ð Ñ  ! Ð*!  Ñ  ! Ð Ñ  !! ! ! !
 Se está no semi-eixo positivo das abcissas, então ° está no semi-eixo positivo dasb) ! !*! 
ordenadas e portanto tem-se
sen ° cos , cos ° sen .Ð*!  Ñ œ " œ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ ! œ  Ð Ñ! ! ! !
Se está no semi-eixo positivo das ordenadas, então ° está no semi-eixo negativo das! !*! 
abcissas e portanto tem-se
sen ° 0 cos , cos ° 1 sen .Ð*!  Ñ œ œ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ  œ  Ð Ñ! ! ! !
Se está no semi-eixo negativo das abcissas, então ° está no semi-eixo negativo das! !*! 
ordenadas e portanto tem-se
sen ° cos , cos ° sen .Ð*!  Ñ œ " œ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ ! œ  Ð Ñ! ! ! !
Se está no semi-eixo negativo das ordenadas, então ° está no semi-eixo positivo das! !*! 
– 21 –
abcissas e portanto tem-se
sen ° 0 cos , cos ° 1 sen .Ð*!  Ñ œ œ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ œ  Ð Ñ! ! ! !
35) Se eu deslocar para a esquerda o gráfico da função associada ao seno unidades, obtenho a*!
função associada ao co-seno.
36)
Ângulo Seno Co-seno Tangente
°
°
°
°
°
°
°
°
°
")! ! " !
"&!  
"$&   "
"#!   $
*! " !
'!   $
%&  "
$!  
! ! "
"
# # $
$ $
# #
# #
$
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# #
"
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$ $
È È
È È
È
È
È È
È È
È
È
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%& "
'! $
*! " !
"#!   $
"$&  "
"&!  
")! ! " !
°
°
°
°
°
°
°
°
"
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$ $
# #
# #
$
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"
$
# #
"
# #
# #
"
# # $
$ $
È È
È È
È
È
È È
È È
È
È
37) a) Uma vez que °")!  ! !œ ")!  Ð Ñ° , podemos aplicar sucessivamente as duas
propriedades já conhecidas e obter
sen °
cos °
tg °
Ð")! 
Ð")! 
Ð")! 
! ! !
! ! !
! ! !
Ñ œ  Ð Ñ œ Ð Ñ
Ñ œ  Ð Ñ œ  Ð Ñ
Ñ œ Ð Ñ œ  Ð ÑÞ
sen sen
cos cos
tg tg
– 22 –
 Analogamente, e uma vez que °b) *!  ! !œ *!  Ð Ñ° ,
sen ° cos cos
cos ° sen sen
tg °
tg tg
Ð*!  Ñ œ Ð Ñ œ Ð Ñ
Ð*!  Ñ œ  Ð Ñ œ Ð Ñ
Ð*!  Ñ œ  œ" "Ð Ñ Ð Ñ
! ! !
! ! !
! ! !
38) a)
sen ° sen ° ° ° °
sen °
Ð*!!  Ð(#!  ")!  (#!  ")!
œ Ð")! 
! ! ! !
! ! ! !
Ñ  Ð*!!  Ñ œ Ñ  Ð  Ñ œ
Ñ  Ð")!  Ñ œ  Ð Ñ  Ð Ñ
cos ° cos
cos ° sen cos
 b)
sen ° sen ° °
sen °
Ð#(!  Ð")!  *! 
œ  Ð*! 
! ! ! !
! !! !
Ñ  Ð*!  Ñ œ Ñ  œ"Ð Ñ
Ñ  œ  Ð Ñ " "Ð Ñ Ð Ñ
tg °
tg
tg tg
cos .
39) Vamos seguir os passos sugeridos:
 1) Tem-se,m para ! œ ! ß°
sen sen ° senÐ# Ñ œ Ð! Ñ œ ! œ # ‚ ! ‚ " œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos
e, para °,! œ *!
sen sen ° sen .Ð# Ñ œ Ð")! Ñ œ ! œ # ‚ " ‚ ! œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos
Verificámos assim que a igualdade é válida para cada ângulo entre °sen senÐ# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos ! !
e °, incluindo a extremidades.*!
 2) Suponhamos agora que é umn ângulo entre ° e °. Podemos então escrever! *! ")!
! " "œ *!  ! *!° com o ângulo entre ° e ° e então, lembrando o que já conhecemos sobre esses
ângulos ,"
sen sen ° sen sen
° sen ° sen .
Ð# Ñ œ Ð")!  # Ñ œ  Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ œ
œ # Ð*!  ÑÐ*!  Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ
! " " " "
" " ! !
cos
cos cos
A partir deste momento já sabemos que a igualdade sen sen é válida para todosÐ# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos
os ângulos ! entre ° e °.! ")!
 3) Suponhamos agora que é um ângulo entre ° e °. Procedendo de modo anâlogo ao! ")! $'!
da alínea precedente, podemos escrever ° com entre ° e ° e então, lembrando o! " "œ ")!  ! ")!
que já sabemos sobre esses ângulos ,"
sen sen ° sen sen
sen ° ° sen .
Ð# Ñ œ Ð$'!  # Ñ œ Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ œ
œ # ‚ Ð Ð")!  ÑÑ ‚ Ð Ð")!  ÑÑ œ # Ð Ñ Ð Ñ
! " " " "
" " ! !
cos
cos cos
A partir deste momento já sabemos que a igualdade sen sen é válida para todosÐ# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ! ! !cos
os ângulos ! entre ° e °.! $'!
 4) Consideremos enfim um ângulo arbitrário. Podemos então escrever ° ,! ! "œ 5 ‚ $'! 
com inteiro, positivo negativo ou nulo, e entre ° e ° (de entre os números da forma5 ! $'!"
– 23 –
5 ‚ $'!° considerar o maior que é inferior a ). Lembrando o que já sabemos sobre esses ângulos!
", vem finalmente
sen sen ° sen sen
sen ° ° sen .
Ð# Ñ œ Ð# ‚ 5 ‚ $'!  # Ñ œ Ð# Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ œ
œ # Ð5 ‚ $'!  Ñ Ð5 ‚ $'!  Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñ
! " " " "
" " ! !
cos
cos cos
40) Uma vez que ° , concluímos, por aplica"# œ Ð'! Ñcos ção directa da propriedade precedente,
que os ângulos tais que são os da forma ° ° e os da forma! !cosÐ Ñ œ '!  5 ‚ $'!"#
'!  5 ‚ $'! (#! "%%!° °. Vejamos quais, de entre estes, estão entre ° e °. O par de desigualdades
(#! Ÿ '!  5 ‚ $'! Ÿ "%%!
é sucessivamente equivalente a
''! Ÿ 5 ‚ $'! Ÿ "$)!
''! "$)!
$'! $'!Ÿ 5 Ÿ ,
e os valores inteiros de que verificam esta última são e . Os correspondentes valores de são5 # $ !
'!  # ‚ $'! œ ()! '!  $ ‚ $'! œ ""%!° ° °, ° ° °.
Do mesmo modo, o par de desigualdades
(#! Ÿ '!  5 ‚ $'! Ÿ "%%!
é sucessivamente equivalente a
()! Ÿ 5 ‚ $'! Ÿ "&!!
()! "&!!
$'! $'!Ÿ 5 Ÿ ,
e os valores inteiros de que verificam esta última são e . Os correspondentes valores de são5 $ % !
'!  $ ‚ $'! œ "!#! '!  % ‚ $'! œ "$)!° ° °, ° ° °.
Os ângulos pedidos são assim, °, °, ° e °()! "!#! ""%! "$)! Þ
41) Uma vez que senÐ! !Ñ œ Ð*!  Ñcos ° , a equação dada é equivalente a
cos cosÐ# Ñ œ Ð*!  Ñ! !° ,
que, de acordo com a propriedade que temos estado a utilizar, tem como soluções os ângulos para!
os quais existe com ° ° e aqueles para os quais existe com5 − # œ *!   5 ‚ $'! 5 −™ ! ! ™
# œ  *!  5 ‚ $'! 5 −! ! ™° °. A primeira condição é equivalente à existência de tal que
$ œ *!  5 ‚ $'! œ $!  5 ‚ "#!! !° °, ou seja, tal que ° ° e a segunda condição é equivalente à
existência de tal que ° °. Podemos assim dizer que a equação tem como5 − œ *!  5 ‚ $'!™ !
soluções os ângulos da forma ° °, com , e aqueles da forma ° °,$!  5 ‚ "#! 5 − *!  5 ‚ $'!™
com .5 − ™
 Apesar de a solução anterior ser perfeitamente correcta, ela pode ser simplificada se
repararmos no seguinte: Podemos escrever
– 24 –
*!  5 ‚ $'! œ $!  "#!  $5 ‚ "#! œ $!  Ð$5  "Ñ ‚ "#! œ $!  : ‚ "#!° ° ° ° ° ° ° ° °,
com . As soluções do tipo ° °, com são assim também: œ $5  " − *!  5 ‚ $'! 5 −™ ™
soluções do tipo ° °, com , pelo que podemos dizer mais simplesmente que as$!  5 ‚ "#! 5 − ™
soluções do nosso problema são as da forma ° °, com .$!  5 ‚ "#! 5 − ™
42) A equação é equivalente a ° e tem assim como soluções os valorescosÐ#! !Ñ œ Ð")!  Ñcos
de para os quais existe com ° ° e aqueles para os quais existe! ™ ! !5 − # œ ")!   5 ‚ $'!
5 − # œ ")!   5 ‚ $'!™ ! ! com ° °. A primeira condição é equivalente a
! œ ")!  5 ‚ $'!° °
e a segunda é equivalente sucessivamente a
$ œ ")!  5 ‚ $'! œ '!  5 ‚ "#!! !° °, ° °.
Podemos assim dizer que as soluções do problema são os ângulos que se podem escrever na!
forma ° °, com , e aqueles que se podem escrever na forma ° °,")!  5 ‚ $'! 5 − '!  5 ‚ "#!™
com .5 − ™
 Como no exercício anterior, a solução pode ser apresentada de modo mais simples se
repararmos que
")!  5 ‚ $'! œ '!  #%!  $5 ‚ "#! œ '!  Ð$5  #Ñ ‚ "#!° ° ° ° ° ° °,
com , pelo que as soluções do primeiro tipo são casos particulares das soluções do$5  # − ™
segundo.
43) A igualdade sen sen é equivalente a ° ° e tem assimÐ Ñ œ Ð Ñ Ð*!  Ñ œ Ð*!  Ñ! ! ! !! !cos cos
como solu ° °ções os ângulos tais que existe com ° e aqueles! ™5 − ‚ $'!*!  œ *!   5! !!
para os quais existe com ° ° °. A primeira condição é5 − *!  œ *!   5 ‚ $'!™ ! !!
sucessivamente equivalente a
 œ   5 ‚ $'! œ  5 ‚ $'!! ! ! !! !°, °.
A segunda condição é sucessivamente equivalente a
 œ ")!   5 ‚ $'! œ ")!   5 ‚ $'!! ! ! !° °, ° °.! !
Deduzimos assim que as soluções de para os quais existe tal quesen sen são os Ð Ñ œ Ð Ñ! !! ! ™5 −
! ! ™ ! !œ  5 ‚ $'! 5 − œ ")!   5 ‚ $'!! !° e aqueles para os quais existe tal que ° °.
Poderíamos talvez ser levados a pensar que tínhamos obtido uma solução diferente da enunciada na
propriedade anterior, por aparecer o sinal ” ” no lugar od sinal “ ”. No entanto, se pensarmos 
um pouco, reparamos que não há diferença, na medida que, se é um inteiro, então é também5 5
um inteiro e que qualquer inteiro se pode escrever na forma , com inteiro conveniente.5 5
44) Lembrando que sen ° , a equaÈ## œ Ð%& Ñ ção dada é equivalente a sen sen ° e temÐ& Ñ œ Ð%& Ñ!
assim como soluções os ângulos para os quais existe com ° ° e aqueles! ™ !5 − & œ %&  5 ‚ $'!
para os quais existe com ° °. A primeira condição é equivalente a5 − & œ "$&  5 ‚ $'!™ !
! ! !œ *  5 ‚ (# œ #(  5 ‚ (# à !° ° e a segunda a ° ° a primeira fornece valores de entre ° e
$'! 5 œ !ß "ß #ß $ß % 5° exactamente para os valores e a segunda para os mesmos valores de , pelo
– 25 –
que temos, por um lado, as soluções, ° ° ° ° ° e, por outro lado, as soluções* ß )" ß "&$ ß ##& ß #*(
#( ß ** ß "(" ß #%$ ß $"&° ° ° ° °. Se quisermos apresentar o conjunto das soluções de forma mais bonita,
podemos escrevê-lo com
Ö* ß #( ß )" ß ** ß "&$ ß "(" ß ##& ß #%$ ß #*( ß $"& ×° ° ° ° ° ° ° ° ° ° .
45) Uma vez que o raio é metros, o corredor passa metros a norte do diâmetro exactamente%& "&
quando o ângulo ! ! do movimento verifica a condição sen . Utilizando a calculadora,Ð Ñ œ "$
constatamos que um valor aproximado do ângulo entre ° e ° cujo seno é é ° e um! *! "*Þ%("#"$
valor aproximado do respectivo suplementar é °. Os instantes pedidos correspondem aos"'!Þ&#))
ângulos entre ° e °, para os quais sen , ângulos esses que são assim os da forma! ! "!)! Ð+Ñ œ "$
aproximada ° °, com , e os da forma ° °, com"*Þ%("#  5 ‚ $'! 5 œ !ß "ß # "'!Þ&#))  5 ‚ $'!
5 œ !ß "ß #. Podemos então organizar a lista dos valores aproximados dos ângulos correspondentes
aos instantes procurados:
"*Þ%("# "'!Þ&#)) $(*Þ%("# &#!Þ&#)) ($*Þ%("# ))!Þ&#))°, °, °, °, °, °.
Uma vez que o corredor percorre ° em cada segundo os tempos depois da partida em que ele"!
passa nas posições referidas são aproximadamente, em segundos,
"Þ* "'Þ" $(Þ* &#Þ" ($Þ* ))Þ", , , , , .
46) a) ° radianos radianos radianos.#! œ œ ¸ !Þ$&#!")! *
1 1
 ° radianos radianos radianos.b) "# œ œ ¸ !Þ#""#")! "&
1 1
 ° radianos radianos.c) "!!! œ œ ¸ "(Þ%&"!!! &!")! *
1 1
 ° radianos radianos radianos.d) "&! œ  œ  ¸ #Þ'#"&! &")! '
1 1
47) a) $1 radianos ° °.œ  œ &%!$ ‚")!1 1
 radianos ° °.b) * *‚")!# #
1 œ œ )"!
 radianos ° °.c) $ $‚")!"! "!
1 œ œ &%
 radianos ° °.d) #Þ& œ ¸ "%$Þ##Þ&‚")!1
– 26 –
48)
Ângulo sen tgcos
1
1
1
1
1
1
"!
' # #
" "$
$
&
% # #
# #
$
"!
$ # #
$ "
#
&
È ÈÉ È É È
É ÉÈ ÈÈ È
È ÈÉ È É È
É
&" &"
% %
"!# &
"!# &
"!# & "!# &
% %
&"
&"
&" &"
% %
"!# &
"!# &
"
È È
È È
È
"
$
1
È
!# & "!# &
% %
&"
&"
È ÈÈ ÉÈ
49) a) Uma vez que sen ° sen , os ângulos referidos são os da forma œ Ð$! Ñ œ Ð Ñ"# '
1
  #51 1 1' 1 ™ 1 1 1 ™, com , e os da forma ( +, com .5 − Ñ  #5 œ  #5 5 −' '(
 Não estudámos, na secção precedente, as equações trigonométricas do tipo tg tgb) Ð Ñ œ Ð Ñ! !!
mas é fácil adaptar os raciocínios então feitos, relativamente ao seno e ao co-seno, para concluir que
os ângulos que verificam aquela equação são os que correspondem à mesma semi-recta que e! !!
os que correspondem à semi-recta oposta, que é a associada a , e portanto são os ângulos da1 ! !
forma , com , e os da forma , com . No nosso caso, uma vez que! 1 ™ ! 1 1 ™! ! #5 5 −   #5 5 −
" œ Ð Ñ  #5tg , as soluções são as que se podem escrever nalguma das formas e1 1% %! 1
1
%   #5 5 −1 1 ™, com .
 Note-se que esta solução pode ser enunciada de forma equivalente dizendo que os ângulos
procurados são os da forma , com . Basta, com efeito, reparar que os valores desta1%  8 8 −1 ™
forma com par correspondem aos da expressão e aqueles com ímpar correspondem8  #5 81% 1
aos da expressão .1 1% %  #5 œ  Ð#5  "Ñ1 1 1
 A igualdade c) sen é equivalente a sen sen e tem assim comoÐ% Ñ œ Ð Ñ Ð% Ñ œ Ð  Ñ! ! ! !cos 1#
soluções os ângulos para os quais existe com e aqueles para os quais! ™ ! ! 15 − % œ   #51#
existe com . A igualdade é sucessivamente5 − % œ  Ð  Ñ  #5 % œ   #5™ ! 1 ! 1 ! ! 11 1# #
equivalente a
& œ  #5 œ # "! &
#5! 1 !1 1 1,
e a igualdade é sucessivamente equivalente a% œ  Ð  Ñ  #5! 1 ! 11#
$ œ  #5 œ # ' $
#5! 1 !1 1 1, ,
pelo que podemos dizer que as soluções são os ângulos que se podem escrever nalguma das!
formas e , com .1 1 1 1"! & ' $
#5 #5  5 − ™
– 27 –
50) A desigualdade em P9 pode ser escrita na forma
senÐ! ! !!Ñ  
Ð Ñ
Ð Ñ
sen
cos
e dela podemos deduzir, uma vez que e portanto sen!   Ð! !1# Ñ  !,
"  Ð Ñ Ð Ñ
"!
! !sen cos
e portanto também, invertendo os números positivos que intervêm nestas desigualdades,
"   Ð ÑÐ Ñsen .!! !cos
Quando , apesar de estritamente positivo, está próximo de , constata-se intuitivamente,! !
examinando o círculo trigonométrico, que está próximo de e portanto também , quecosÐ Ñ "! senÐ Ñ!!
está entre e , está próximo de . Mas é o declive da recta que une a origem docosÐ Ñ " "! senÐ Ñ!!
referencial ao ponto do gráfico com abcissa . O facto de esse declive estar próximo de explica! "
porque é que o gráfico está próximo da recta que passa pela origem e tem declive . Examinámos o"
que se passava no caso em que mas, quando está próximo de , tem-se com! ! ! " !  ! ! œ 
"  ! ! œ œ também próximo de e então , pelo que caímos no caso estudadosen sen senÐ Ñ  Ð Ñ Ð Ñ
! " "
! " "
anteriormente.
 Note-se que na resolução deste exercício utilizámos um conceito matematicamente pouco
explicado, nomeadamente o que significa “estar próximo”. O exame mais cuidado do que isso
significa será abordado mais à frente, quando se estudar as noções de limite e continuidade.
51) Tem-se
Ð# ? Ñ † Ð$ @ Ñ œ # Ð? † Ð$ @ ÑÑ œ # Ð$ Ð? † @ ÑÑ œ '?Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† @ .
52)
Figura 17
– 28 –
 Começámos por escolher um ponto sobre a recta e representar o três vectores por setas comS
origem em . Projectámos então as extremidades dessas três setas ortogonalmente sobre a recta eS <
utilizámos essas projecções como extremidades dos vectores projecção , e , representados@ @ @Ä Ä Äw w w" # $
com origem em . O vector é o vector e não aparece por isso assinalado na figura.S @ !Ä Äw$
53)
Figura 18
 
Representámos o vector por uma seta situada sobre a recta , desenhámos uma perpendicular àA <Ä
recta passando pela extremidade desta e considerámos os três vectores , e utilizando a< @ @ @Ä Ä Ä" # $
mesma origem que a da seta que representa e com as extremidades na recta perpendicularAÄ
referida. Repare-se que um dos vectores possíveis, que notámos , é o próprio vector .@ AÄ Ä$
54) a) Se a projec coincide com , uma vez que ação ortogonal de sobre , então @ @ −Ä Ä Äi iÄ Ä@< <
projec . Reciprocamente, se , então podemosção ortogonal pertence, por definição, a i iÄ Ä@< <Ä −
escrever a decomposi e pelo que, por definição , onde é ortogonal a ção,@ œ @  ! @ −Ä Ä ÄÄ Äi iÄ Ä!< <
@ @Ä Ä é a projecção ortogonal de sobre iÄ<.
 Se a projec for b) ção ortogonal de sobre , podemos escrever , com @ @ œ !  @ @Ä Ä Ä ÄÄ ÄiÄ !< ww ww
ortogonal a é orotognal a é ortogonal a i i iÄ Ä Ä@ @< < < e portanto . Reciprocamente, se ,Ä Ä Äœ @ ww
podemos escrever , pelo que, por defini@
ÄÄ Äœ !  @ ! − !Ä Ä Ä, com ção, é a projecção ortogonal dei <
@Ä sobre iÄ<.
55) Consideremos um plano vectorial iÄ @Ä! e um vector do espaço. Então:
 A projecção ortogonal de sobre é igual a se, e só se, .a) @ @ @ −Ä Ä Ä
Ä Äi i! !
 A projecção ortogonal de sobre é igual a se, e só se, é ortogonal a .b) @ ! @Ä Ä
Ä ÄÄi i! !
– 29 –
56) Se os vectores e têm projecções ortogonais e , respectivamente, sobre um plano@ A @ AÄ Ä Ä Äw w
vectorial , então a projecção ortogonal do vector sobre é o vector e, parai iÄ Ä@  A @  AÄ Ä Ä Ä! ! w w
cada real , a projecção ortogonal de sobre é .> > @ > @Ä Ä
Äi ! w
57) Para determinar aproximadamente o produto escalar ?Ä Ä† @ em cada um dos três casos,
recorremos às figuras seguintes, em que foram determinadas gráficamente as projecções ortogonais
de sobre a recta vectorial que contém , e obtemos respectivamente os valores aproximados@ ?Ä Ä
? † @ œ m?mm@ m ¸ #Þ# ‚ "Þ!& ¸ #Þ$Ä Ä Ä Ä
? † @ œ m? mm@ m ¸ #Þ# ‚ "Þ% ¸ $Þ"Ä Ä Ä Ä
? † @ œ !Ä Ä
w
w
.
Figura 19
 Para determinar aproximadamente o produto escalar @Ä Ä† ? em cada um dos três casos,
recorremos às figuras seguintes, em que foram determinadas gráficamente as projecções ortogonais
de sobre a recta vectorial que contém , e obtemos respectivamente os valores aproximados? @Ä Ä
@ † ? œ m@ mm? m ¸ "Þ(& ‚ "Þ#& ¸ #Þ#Ä Ä Ä Ä
@ † ? œ m@ mm? m ¸ "Þ*& ‚ "Þ& ¸ #Þ*Ä Ä Ä Ä
@ † ? œ !Ä Ä
w
w
.
Figura 20
Do exame dos resultados obtidos, e tendo em conta os inevitáveis erros nas medições efectuadas,
parece possível que, em cada um dos casos, se tenha (isso é de facto verdadeiro,? † @ œ @ † ?Ä Ä Ä Ä
como sejustificerá a seguir no curso).
58) Examinemos o caso da primeira igualdade, uma vez que o da segunda é análogo. A ideia é
reparar que ?Ä Ä Ä @ ? pode ser olhado como a de dois vectores, nomeadamente os vectores esoma
@Ä, e aplicar a propriedade distributiva que envolve a soma:
Ð?  @ Ñ † A œ Ð?  Ð@ ÑÑ † A œ ? † A  Ð@ Ñ † A œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ ? † A  ÐÐ@ † AÑÑ œ ? † A  @ † AÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä.
– 30 –
59) Podemos escrever
m?  @ m œ Ð?  @ Ñ † Ð?  @ Ñ œ ? † Ð?  @ Ñ  @ † Ð?  @ Ñ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† ?  ? † @  @ † ?  @ † @ œ m? m  m@ m  #? † @
#
# #œ ? .
No caso em que os vectores ?Ä Ä Ä Ä@ ? † @ œ ! e são ortogonais, tem-se e a fórmula anterior reduz-se à
igualdade , que já encontrámos no décimo ano (a versão vectorial dom?  @ m œ m? m  m@ mÄ Ä Ä Ä# # #
teorema de Pitágoras).
60) Podemos escrever
Ð?
œ ? œ
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä @ Ñ † Ð?  @ Ñ œ ? † Ð?  @ Ñ  @ † Ð?  @ Ñ œ
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† ?  ? † @  @ † ?  @ † @ m? m  m@ m# #
pelo que se tem m? m œ m@ m  @ Ñ † Ð?  @ Ñ œ !Ä Ä Ä Ä ÄÄ se, e só se, .
61)
Figura 21
 Nas condia) ções da figura, tem-se , tratando-se assim de um vector cujaB  @ œ F\Ä Ä
Ä
direcção é a da altura correspondente ao vértice . Daqui se conclui que este vector é ortogonal àF
base , e portanto ao vector , o que pode ser traduzido pela igualdade SE ?Ä ÐB  @ Ñ † ? œ !Ä Ä Ä .
Analogamente, .B ÐB  ? Ñ † @ œ !Ä Ä ÄÄ Ä Ä ? œ E\ @
Ä
 é ortogonal ao vector , e portanto 
 As igualdades obtidas em a) permitem-nos escreverb)
! œ ÐB  @ Ñ † ? œ BÄ Ä Ä
! œ ÐB  ? Ñ † @ œ BÄ Ä Ä
Ä Ä Ä Ä† ?  @ † ?
Ä Ä Ä Ä† @  ? † @
.
Subtraindo membro a membro as igualdades precedentes, obtemos
! œ BÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä† ?  B † @ œ B † Ð?  @ Ñ
o que mostra que o vector BÄ Ä Ä?  @ œ FE S\Ä
 é ortogonal ao vector . Isso quer dizer que a recta é
perpendicular à recta , sendo assim a altura correspondente ao vértice , o que nos permiteEF S
concluir que esta última passa pelo ponto .\
– 31 –
62) Podemos escrever
" œ
œ @
m@  ?m œ Ð@  ? Ñ † Ð@  ? Ñ œ @ † Ð@  ? Ñ  ? † Ð@  ? Ñ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† @  @ † ?  ? † @  ? † ? œ "  #? † @  "
#
,
de onde deduzimos que #?Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä† @ œ " ? † @ œ ? † @ œ m? mm@ m Ð Ñ œ, ou seja, . Uma vez que "# cos !
cosÐ Ñ '! ! ")!! !, e que ° é o ângulo entre ° e ° cujo cos-seno é , podemos dizer que o ângulo entre"#
os dois vectores é °. A conclusão pode ser interpretada geometricamente do seguinte modo:'!
Representamos os dois vectores e por duas setas com a mesma origem e extremidades e? @ S EÄ Ä
F, respectivamente.
Figura 22
Uma vez que , as hipóteses do exercício mostram que o triângulo tem os três@  ? œ EF ÒSEFÓÄ Ä
Ä
lados com o mesmo comprimento . Trata-se assim de um triângulo equilátero cujos ângulos"
medem portanto °.'!
63) a) Tem-se
? † @ œ m? mm@ m Ð"#! Ñ œ Ä Ä Ä Ä "#cos ° .
 Vemb)
Ð#?Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä $@ Ñ † @ œ #? † @  $ @ † @ œ "  $ œ 4
e
m#?  $@ m œ Ð#?  $@ Ñ † Ð#?  $@ Ñ œ %? † ?  '? † @  ' @ † ?  * @ † @ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä ÄÉ È
œ %  $  $  * œ "*È È .
 Uma vez quec)
% œ Ð#?Ä Ä Ä Ä Ä Ä $@ Ñ † @ œ m#?  $@ mm@ m Ð Ñ œ "* Ð Ñcos cos! !È ,
concluímos que cosÐ! !Ñ œ  ¸ !Þ*"('' ¸ "&'Þ&*%
"*È , e portanto °.
– 32 –
64) Tem-se
E\
E\
Ä Ä Ä Ä Ä Ä
† EF œ EF † EF EG † EF
Ä Ä Ä Ä Ä Ä
† EG œ EF † EG  EG † EG
e portanto, uma vez que EF † EF œ mEFm œ mEGm œ EG † EG
Ä Ä Ä Ä Ä Ä# # ,
E\ E\
Ä Ä Ä Ä
† EF œ † EG .
Mas, sendo e os ângulos que o vector faz com e , respectivamente, tem-se! " E\ EF EGÄ Ä Ä
E\ E\
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
† EF œ mE\mmEFm Ð Ñ † EG œ mE\mmEGm Ð Ñcos cos! ",
pelo que, tendo em conta mais uma vez o facto de se ter , concluímos quemEFm œ mEGm
Ä Ä
cos cosÐ Ñ œ Ð Ñ ! ")! œ! " ! ", ou seja, uma vez que estamos em presença de ângulos entre ° e °, .
65) a) Sabemos que a soma dos ângulos interno dum polígono convexo com lados é igual a8
Ð8  #Ñ ‚ ")! $ ‚ ")! œ &%!°. No caso do pentágono essa soma é ° ° e portanto cada um dos
ângulos internos mede °. Tem-se ° ° sen ° e&%!& %
&"° œ "!) Ð"!) Ñ œ  Ð(# Ñ œ  Ð") Ñ œ cos cos È
assim
? † @ œ m? mm@ m Ð"!) Ñ œ Ä Ä Ä Ä & "%cos ° .
È
 Vemb)
m@  ?m œ Ð@  ? Ñ † Ð@  ? Ñ œ @ † @  #? † @  @ † @ œ #  œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä & " $  &# #
m?  @ m œ Ð?  @ Ñ † Ð?  @ Ñ œ ? † ?  #? † @  @ † @ œ #  œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä & " &  &# #
#
#
È È
È È
.
Do segundo resultado podemos deduzir facilmente a fórmula pedida para :m?  @ mÄ Ä
m?  @ m œ œ œÄ Ä & & "!  # &# % #
"!  # &Ë ËÈ È É È .
Poderíamos chegar do mesmo modo a uma fórmula para mas essa fórmula não seria tãom@  ?mÄ Ä
simples como a que nos é sugerida e poderíamos sentir dificuldade em simplificá-la. Podemos, no
entanto, tirar partido do resultado que nos é sugerido e verificar se ele está correcto. Mais
precisamente, para verificar que È È&" $ &# # é a raíz quadrada de , basta calcular o quadrado deÈ È&" $ &
# # e verificar que ele é igual a . Ora,
 È È È È È&  " Ð &  "Ñ &  "  # & '  # & $  &# % % % #œ œ œ œ
# #
,
como queríamos.
 Completemos a figura do seguinte modo, indicando os valores em graus de alguns dosc)
ângulos envolvidos:
– 33 –
Figura 23
Desta figura podemos concluir que o ângulo dos vectores IH
Ä
? $'Ä e é °, e portanto que
IH † ? œ Ð$' Ñ œ
Ä Ä cos °
È&  "
%
e que o ângulo dos vectores e é °, e portanto queIH @ (#
Ä Ä
IH † @ œ Ð(# Ñ œ Ð") Ñ œ
Ä Ä cos ° sen °
È&  "
% .
Podemos escrever , com os coeficientes e a determinar pelas equaçõesIH œ +?  ,@ + ,
Ä Ä Ä
È
È È
&  "
% œ IH
&  " &  "
% %œ IH +  ,
Ä
† ? œ +? † ?  ,? † @ œ +  ,Ä Ä Ä Ä Ä & "%
Ä
† @ œ +? † @  ,@ † @ œ Ä Ä Ä Ä Ä
È
.
A segunda equação é equivalente a
, œ
È È&  " &  "
% % +
e, substituindo este valor de na primeira equação, obtemos sucessivamente,È    È È È
È È È
È È
&  "
% œ +   +
&  " '  # & '  # &
% "' "'œ +  + 
&  " '  # & "!  # &
% "' "' œ +
"!  # & "!  # &
"' "'œ +
È È&  " &  "
% %
+ œ "
# #
,
e, substituindo na equação anterior, vem
– 34 –
, œ
È È È&  " &  " &  "
% % # œ .
Obtivémos assim a primeira fórmula pedida
IH œ ?  @
Ä Ä Ä& "
#
È
.
A segunda fórmula obtém-se de modo análogo, trocando os papéis de e :? @Ä Ä
FG œ ?  @
Ä &  "
#
Ä ÄÈ .
Enfim, podemos escrever
GH œ EHEG œ Ð@  IHÑ  Ð?  FGÑ œ Ð@   @  ? Ñ œ
Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä ÄÄ & "
#
œ @  ? œ Ð@  ? Ñ&  " &  " &  "# # #
Ä Ä Ä Ä
?  @ Ñ  Ð?Ä Ä&  "#
È È
È È È
.
Nota: Tal como foi referido na nota de pé de página, os cálculos algébricos que acabámos de fazer
admitem uma alternativa geométrica porventura mais simples. Partimos da constatação de que as
rectas e são paralelas, o que pode ser facilmente justificado utilizando a seguinte figura,EI FH
obtida por prolongamento dos lados e do pentágono.ÒIHÓ ÒEFÓ
Figura 24
Retomamos em seguida a figura inicial e traçamos um paralela a passando por que vaiIH E
intersectar num ponto .FH J
– 35 –
Figura 25
ÒEIHJÓ é assim um paralelogramo e portanto
IHœ EJ œ ?  FJ
Ä ÄÄ Ä .
O comprimento de pode ser calculado a partir do triângulo isósceles , com os ladosFJ ÒEFJÓ
Ä
iguais de comprimento , sendo assim igual a sen ° tem a mesma" # Ð") Ñ œ
ÄÈ&"
# . Uma vez que FJ
direcção e sentido que o vector , de norma , podemos concluir que , portanto@ " FJ œÄ Ä
Ä È&"
# @
IHœ EJ œ ? 
Ä Ä Ä ÄÈ&  "
# @ .
66) a) Tal como verificámos no exercício precedente, tem-se ?Ä Ä† @ œ È&"% e, do mesmo
modo, e . Vem então? † A œ  @ † A œ Ä Ä Ä ÄÈ È&" &"% %
m?  @  Am œ Ð?  @  AÑ † Ð?  @  AÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ ? † Ð?  @  AÑ  @ † Ð?  @  AÑ  A † Ð?  @  AÑ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ ? † ?  ? † @  ? † @  @ † ?  @ † @  @ † A  A † ?  A † @  AÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
#
† A œÄ
œ $  ' ‚ œ œ&  " "#  ' &  ' *  $ &% % #
È È È
,
e portanto
m?  @  Am œÄ Ä Ä * $ &#
Ë È .
Este não é o resultado que nos é proposto e pode não ser muito claro como fazer para chegar àquele
a partir deste. No entanto, e como já fizémos num exercício anterior, podemos proceder ao contrário
e verificar se o quadrado do valor proposto é igual a . E, de facto, assim é:*$ &#
È
  È È ÈÈ È$ &  "#
# #
œ $ ‚ œ $ ‚ œÐ &  "Ñ '  # & *  $ &% % # .
– 36 –
 A alínea c) do exercício precedente permite-nos escrever, a partir dos vectoresb)
correspondentes a dois lados consecutivos dum pentágono regular, os vectores correspondentes aos
restantes lados. Vamos determinar os vectores pedidos como combinação linear de , assim? ß @ ß AÄÄÄ
como outros que sejam necessários como auxiliares utilizando esse facto, relativamente a diferentes
faces do dodecaedro. Notamos na figura os vectores que vão sendo sucessivamenteD ß D ßáÄ Ä" #
calculados.
Figura 26
– 37 –
D œ ? Ä Ä Ä
D œ A Ä Ä Ä
D œ D  œ A    @ œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ A  @  œ A  @ Ä Ä Ä Ä Ä Ä
D œÄ Ä
"
#
$ # "
#
%
È
È
È È È È
È È È È
È
&  "
# @
&  "
# @
&  " &  " &  " &  "
# # # #D @ ?
&  " '  # & &  " &  "
# % # # ? ?
&  "
# ?
 
 
 Ä
D œ D  œÄ Ä Ä
œ     ? œÄ Ä Ä Ä Ä
œ ?  œ ? Ä Ä Ä Ä
È
È
È È È È È
È È È È
&  "
# @
&  "
# D
&  " &  " &  " &  " &  "
# # # # #? @ A @
&  " '  # & &  " &  "
# % # # A A
& % $
# 
  .
Repare-se que este último resultado podia ser obtido mais facilmente se reparássemos que o vector
D ? AÄ Ä Ä& coincide com um dos vectores da face onde estão representadose . Análoga observação
podia ser feita para os resultados obtidos a seguir para e .D DÄ Ä' (
D œ  œÄ Ä Ä
œ  @   @ œÄ Ä Ä Ä
œ Ä Ä
D œ D  œÄ Ä Ä
œ    AÄ Ä Ä
' # "
# #
( ' &
#
È È
È È È È
È È
È
È È È È
&  " &  "
# #D D
&  " &  " &  " &  "
# # # #A ?
&  " &  "
# #A ?
&  "
# D
&  " &  " &  " &  "
# # # #A ? ?
   
 Äœ
œ Ð œ AÄ Ä
È È&  " '  # &
# % ÑA .
 Tem-sec)
SE œ @  D  D  D  D œ
Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ @  ?   A  @   ?   A œÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ # Ð?  @  AÑ œ Ð?  @  AÑÄ Ä Ä Ä Ä Ä$ &#
" $ & (È È È
È
&  " &  " &  "
# # #@ ? A
&  "
#  È .
– 38 –
Daqui deduzimos que
mSEm œ m?  @  Am œ $ œ
Ä $  & $  & &  "
# # #
Ä Ä Ä
œ $ œ $&  $  $ &  & &  "% #
È È ÈÈ
È ÈÈ È È .
Este vai ser o diâmetro da esfera circunscrita ao dodecaedro e o raio desta é assim
raio .œ $ &  "%
È È
67) Tem-se FG
Ä
œ EG EF
Ä Ä
, e portanto
+ œ mFGm œ ÐEG  EFÑ † ÐEG  EFÑ œ EG † ÐEG  EFÑ  EF † ÐEG  EFÑ œ
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ EG † EG  EG † EF EF † EG  EF † EF œ ,  -  #EF † EG œ
Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä
œ ,  -  # ,- ÐEÑ
# #
# #
# # cos .
68)
Figura 27
Sendo a distância referida, em Km, podemos aplicar directamente a propriedade precedente para.
deduzir que
. œ $  #  ## # # ‚ $ ‚ # ‚ Ð$& Ñcos °
e portanto, utilizando a calculadora,
. œ "$  "# ¸ "Þ()È ‚ Ð$& Ñcos ° .
A distância pedida é assim cerca de Km."Þ()
– 39 –
69) A ideia é considerar um referencial vectorial ortonormado /Ä Ä Ä Ä Äß / ß / / œ /B C D B tal que . Uma
vez que os vectores e são ambos ortogonais a , qualquer combinação linear dos vectores / / / /Ä Ä Ä ÄC D C
e é também ortogonal a , e portanto à recta . Se é um vector arbitrário do espaço, sabemos/ / < ?Ä Ä ÄD
que se pode escrever
? œ Ð? † / Ñ /  Ð? † / Ñ /  Ð? † / Ñ /Ä Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä ÄC C D D ,
com Ð? † / Ñ / < Ð? † / Ñ /  Ð? † / Ñ / <Ä ÄÄ Ä Ä Ä Ä Ä Ä vector da recta e vector ortogonal à recta e este factoC C D D
implica, por defini é a projecção, que ção orotogonal de sobre a recta vectorial e queÐ? † / Ñ /Ä ÄÄ ?Ä
Äi <
Ð? † / Ñ /  Ð? † / Ñ /Ä Ä Ä Ä Ä ÄC C D D é a projecção ortogonal de sobre o plano vectorial .?Ä
Äi !
70) a) Tem-se, neste referencial ortonormado, EF
Ä Ä
Ç Ð$ß "Ñ EG Ç Ð$ß %Ñ e , pelo que
EF † EG œ $ ‚ $  " ‚ % œ &
Ä Ä
mEFm œ Ð$Ñ  " œ "!
Ä
mEGm œ $  % œ &
Ä
,
,
.
È ÈÈ # ## #
 Da fórmula , deduzimos queb) EF † EG œ mEFmmEGm ÐEÑ
Ä Ä Ä Ä
cos
cosÐEÑ œ œ œ EF † EG & "
Ä Ä
mEFmmEGm
Ä Ä & "! "!È È .
Utilizando a calculadora, obtemos então o valor aproximado
E ¸ "!)Þ%$%*°.
 Para se obter um vector directo de norma da recta , basta dividir o vector pela suac) " EG EG
Ä
norma (isto é, multiplicá-lo por ). Obtemos assim o vector director"
mEGm
Ä
/ œ EG Ç Ð ß ÑÄ " $ %
mEGm
Ä
Ä
& & .
De acordo com o que se concluíu no exercício 69, a projecção pedida é
ÐEF † / Ñ / œ Ð$ ‚  " ‚ Ñ / œ / Ç Ð ß  Ñ
Ä ÄÄ Ä Ä$ % $ %
& & & & .
– 40 –
71)
Figura 28
Escolhemos um referencial ortonormado determinado pela origem e pelos vectoresE
/ / /Ä Ä Äœ EF œ EH œ EI
Ä Ä Ä
B C D, , .
Relativamente a este referencial vem
E Ç Ð!ß !ß !Ñ F Ç Ð"ß !ß !Ñ G Ç Ð"ß "ß !Ñ
H Ç Ð!ß "ß !Ñ I Ç Ð!ß !ß "Ñ J Ç Ð"ß !ß "Ñ
K Ç Ð"ß "ß "Ñ L Ç Ð!ß "ß "Ñ \ Ç Ð!ß ß "Ñ"#
] Ç Ð ß !ß "Ñ E\ E]$%
, , ,
, , ,
, , ,
Ä Ä
Ç Ð!ß ß "Ñ Ç Ð ß !ß "Ñ" $# % .
Deduzimos daqui que
mE\m œ  " œ
Ä " &
% #
mE] m œ  " œ
Ä * &
"' %
Ä Ä
† E] œ ! ‚  ‚ !  " ‚ " œ "$ "% #
Ê È
Ê
,
,
E\
e portanto, sendo ! o ângulo destes dois vectores, tem-se
cosÐ Ñ œ œ" )
‚ & &
! È&
# %
& È .
Utilizando a calculadora científica, obtemos o valor aproximado de !
! ¸ %%Þ$"°.
– 41 –
72) a) De acordo com o que se viu no exercício referido, tem-se
B œ Ð$)ß ("( Ñ Ð*Þ"#& Ñ ¸ !Þ((!$(
C œ Ð$)ß ("( Ñ Ð*Þ"#& Ñ ¸ !Þ"#$(%
D œ Ð$)ß ("( Ñ ¸ !Þ'#&%(
B œ Ð$)ß ("( Ñ Ð"'Þ#*" Ñ ¸ !Þ(%)*
P
P
P
Q
cos cos
cos
cos cos
° °
° sen °
sen °
° ° #
C œ Ð$)ß ("( Ñ Ð"'Þ#*" Ñ ¸ !Þ#"))(
D œ Ð$)ß ("( Ñ ¸ !Þ'#&%(
Q
Q
cos ° sen °
sen °
 O comprimento do túnel é simplemente a distância no espaço dos pontos e , sendob) P Q
assim dado por
. œ ÐB  B Ñ  ÐC  C Ñ  ÐD  D Ñ ¸È Q P Q P Q P# # # 0.34328.
 c)
Figura 29
O raio da circunfrência percorrida mede ° . O perímetro, que corresponde acosÐ$)Þ("( Ñ ¸ !Þ()!#%&
percorrer um arco de ° sobre essa circunferência meda aproximadamente$'!
#1 ‚ !Þ()!#%& ¸ %Þ*!#%#$
e portanto o caminho percorrido ao longo do paralelo, correspondente a um arco de
"'Þ#*"  *Þ"#& œ° ° 25.416°
mede aproximadamente
. ¸ !Þ$%'""%Þ*!#%#$$'!
w œ ‚ #&Þ%"' .
 O arco percorrido ao da circunferência de centro no centro da Terra é igual ao ângulo d) !
entre os vectores e , o qual, uma vez que estes vectores têm norma , está definido porSQ SP "
Ä Ä
cosÐ Ñ œ SQ † SP ¸ ‚ ‚ ‚
Ä Ä
¸ !Þ*%"!)
! !Þ((!$( !Þ(%)*#  !Þ"#$(% !Þ#"))(  !Þ'#&%( !Þ'#&%(
,
portanto
– 42 –
! ¸ "*Þ('(°
O caminho percorrido calcula-se, mais uma vez, por proporcionalidade: Um arco de °$'!
corresponde a uma distância de e portanto o arco de aproximadamente 19.767° corresponde#1
aproximadamente à distância
. ¸ ¸ !Þ$%&!!# ‚ "*Þ('($'!
ww 1 .
Do exame da figura seguinte (que não está à escala)
Figura 30
concluímos que o ponto mais profundo do caminho em linha recta de para tem uma distânciaP Q
ao centro igual a e portanto uma profundidadecosÐ Ñ!#
: œ "  Ð Ñ ¸ !Þ!"%)%#cos
!
.
 O objectivo desta alínea é dar uma interpretação mais familiar aos resultados obtidos nase)
outras alíneas, traduzindo para Km os comprimentos, que até agora utilizaram como unidade o raio
da Terra. Lembrando que este mede aproximadamente Km, podemos dizer que:'$''
 e1) O comprimento do túnel é aproximadamente Km.#")&
 e2) O caminho ao longo do paralelo, sempre na direcção Leste, é aproximadamente Km.##!$
 e3) O caminho mais curto sobre a superfície da Terra é aproximadamente Km.#"*'
 e4) A profundidade máxima atingida pelo túnel é aproximadamente Km.*%
– 43 –
73) a)
sen ° ° ° ° ° ° sen ° sen °
sen ° ° ° ° °
Ð"& Ñ œ Ð(& Ñ œ Ð%&  $! Ñ œ Ð%& Ñ Ð$! Ñ  Ð%& Ñ Ð$! Ñ œ
œ ##
Ð(& Ñ œ Ð"& Ñ œ Ð%&  $! Ñ œ Ð%& Ñ
cos cos cos cos
cos cos cos c
È
‚  ‚ œ$ # " '  ## # # %
È È ÈÈ
,
os
cos
Ð$! Ñ  Ð%& Ñ Ð$! Ñ œ
œ ##
Ð"& Ñ œ œ œ œ œÐ"& Ñ ÐÐ"& Ñ Ð
œ '  #  # "
° sen ° sen °
tg °
sen °
°
È
È
‚  ‚ œ$ # " '  ## # # %
'  # '  #Ñ
'  # '  #ÑÐ '  #Ñ
È È ÈÈ
È ÈÈ ÈÈ È ÈÈ È È
,
È È
È È
' #
%
' #
%
#
# )  # $ %
'  # %œ œ #  $
Ð(& Ñ œ œ œ œ œÐ(& Ñ ÐÐ(& Ñ Ð
œ œ œ #  $'  #  # "# )  # $ %'  # %
È È È
È È È È
,
tg °
sen °
°
.
cos
È È
È È
' #
%
' #
%
#È ÈÈ ÈÈ È ÈÈ È È'  # '  #Ñ'  # '  #ÑÐ '  #Ñ
 Uma vez que acabámos de determinar os valores do seno e do co-seno de ° e queb) "&
determinámos no exercício 5 os valores destas razões trigonométricas para o ângulo de °,")
podemos utilizar as fórmulas para o seno e o co-seno da diferença de dois ângulos para determinar
o seno e o co-seno do ângulo de °. A partir destes dois valores podemos determinar, por divisão, o$
valor da tangente de °.$
 Conseguiríamos determinar os valores das razões trigonométricas para os ângulos da formac)
5 ‚ $ 5 −°, com .™
74) a) A fórmula pedida vale, naturalmente, apenas para os valores de ! " e para os quais o
segundo membro faz sentido, ou seja, para os quais e são diferentes de . Pode entãocos cosÐ Ñ Ð Ñ !! "
escrever-se
tg
sen sen sen
sen sen
Ð  Ñ œ œ œÐ  Ñ Ð Ñ Ð Ñ  Ð Ñ Ð ÑÐ  Ñ Ð Ñ Ð Ñ  Ð Ñ Ð Ñ
œ
! " ! " ! " ! "! " ! " ! "cos cos cos
cos cos
sen sen
s
Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ
Ð Ñ Ð Ñ
Ð Ñ Ð Ñ
! " ! "
! "
! "
cos coscos cos
cos cos en senÐ Ñ Ð Ñ
Ð Ñ Ð Ñ
! "
! "cos cos
œ Ð Ñ  Ð Ñ"  Ð Ñ Ð Ñ
tg tg
tg tg
.
! "
! "
 Reparando que , vemos queb) ! " ! " œ  Ð Ñ
tg .
tg tg tg tg
tg tg tg tg
Ð  Ñ œ œÐ Ñ  Ð Ñ Ð Ñ  Ð Ñ"  Ð Ñ Ð Ñ "  Ð Ñ Ð Ñ! "
! " ! "
! " ! "
75) a) Tem-se
senÐ#! ! ! ! ! ! ! ! !Ñ œ Ð  Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ  Ð Ñ Ð Ñ œ # Ð Ñ Ð Ñsen sen sen sen .cos cos cos
 Tem-seb)
– 44 –
cosÐ#! ! ! ! ! ! ! ! !Ñ œ Ð  Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ  Ð Ñ Ð Ñ œ Ð Ñ  Ð Ñcos cos cos cossen sen sen .# #
Se lembrarmos a identidade sen#Ð! !Ñ  Ð Ñ œ "cos# , podemos substituir, na igualdade obtida,
sen por ou por sen de modo a obter respectivamente# # # #Ð Ñ "  Ð Ñ Ð Ñ "  Ð Ñ! ! ! !cos cos
cos cos cos cos
cos
Ð# Ñ œ Ð Ñ  Ð"  Ð ÑÑ œ # Ð Ñ  "
Ð# Ñ œ Ð"  Ð ÑÑ  Ð Ñ œ "  # Ð Ñ
! ! ! !
! ! ! !
# # #
# # #sen sen sen .
 Das duas últimas fórmulas obtidas na alínea precedente podemos deduzir respectivamentec)
cos
cos
cos
#
#
Ð Ñ œ "  Ð# Ñ#
Ð Ñ œ "  Ð# Ñ#
! !
! !
,
sen ,
portanto
cos
cos
cos
Ð Ñ œ „ "  Ð# Ñ#
Ð Ñ œ „ "  Ð# Ñ#
! !
! !
Ê
Ê
,
sen .
Uma vez que estas igualdades são válidas para um ângulo arbitrário, podemos, dado um ângulo!
" !, considerar e, fazendo a substituição, obtemos as fórmulas no enunciado. Para explicarœ "#
porque razão nunca é possível obter umas fórmulas deste tipo sem ambiguidade de sinal, basta
repararmos que, dados um ângulo , podemos considerar o ângulo °, para o qual se" " "w œ  $'!
tem e, no entanto, °, pelo quecos cosÐ Ñ œ Ð Ñ œ  ")!" "w # #
" "w
cos cosÐ Ñ œ  Ð Ñ# #
Ð Ñ œ  Ð Ñ# #
" "
" "
w
w
sen sen ;
temos assim dois ângulos com o mesmo co-seno mas cujas metades têm senos e co-senos simétri-
cos.
76) Tomemos como unidade de comprimento o lado da quadrícula do papel. O ângulo na
primeira figura pode ser calculado como soma de dois ângulos ! " e associados a triângulos rectân-
gulos cujos catetos podem ser medidos directamente na figura e cujas hipotenusas medem respecti-
vamente e .È ÈÈ È%  * œ "$ "  % œ &
– 45 –
Figura 31
O seu co-seno pode então ser facilmente calculado a partir da fórmula
cos cos cosÐ  Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ  Ð Ñ Ð Ñ œ ‚  ‚ œ$ # # " %
"$ "$& & '&
! " ! " ! "sen sen .È È È È È
O ângulo da segunda figura é um ângulo dum triângulo rectângulo cujos catetos podem ser#
medidos directamente e cuja hipotenusa mede .È È"'  %* œ '&
Figura 32
Tem-se assim
cos cosÐ Ñ œ œ Ð  Ñ%
'&
# ! "È ,
o que mostra que as duas amplitudes referidas são efectivamente iguais. Se reprarmos, além disso,
que está “próximo” de , que e que ° , compreendemos porque é que os'& '% œ Ð'! Ñ œ% " "
'% # #È cos
ângulos referidos medem aproximadamente °.'!
– 46 –
77) Uma vez que os declives destas rctas são e , respectivamente, podemos escolher dois# "
vectores não nulos com estes declives como vectores directores das rectas. É o que acontece, por
exemplo, com os vectores ?Ä ÄÇ Ð"ß #Ñ @ Ç Ð"ß"Ñ e . O ângulo entre estes dois vectores é!
definido por
cosÐ Ñ œ œ œ  ¸ ? † @ " "
Ä Ä
m?mm@ mÄ Ä & # "!
! È È È 0.31623
e portanto 108.4°. Uma vez que este ângulo é maio que ° o ângulo das duas rectas é o seu! ¸ *!
splementar, ou seja, aproximadamente, °.("Þ'
78) a) Como no exercício precedente, estas rectas admitem como vectores directores os vectores
?Ä ÄÇ Ð"ß7Ñ @ Ç Ð"ß7 Ñ e . O ângulo das rectas é o ângulo dos vectores ou o seu suplementarw
conforme aquele seja ou não menor ou igual a ° e portanto o co-seno do ângulo das rectas é o*!
valor absoluto do ângulo dos vectores. Tem-se assim
cosÐ Ñ œ œl? † @ l l"  77 l
Ä Ä
m?mm@ mÄ Ä " 7 " 7
!
w
# w#È È .
 Como já referimos a recta admite o vector como vector director. Por outrob) < ? Ç Ð"ß7ÑÄ
lado, o eixo das ordenadas admite como vector director. Tem-se assim que o ângulo @ Ç Ð!ß "ÑÄ "
das duas rectas está definido por
cosÐ Ñ œ œ œl? † @ l l" ‚ ! 7‚ "l l7l
Ä Ä
m?mm@ mÄ Ä " 7 ‚ " " 7
" È È# # .
 Como caso particular de , com , vemos que o ângulo de com o eixo dasc) +Ñ 7 œ ! <w #
abcissas está definido por
cosÐ Ñ œ "
" 7
# È # .
Lembrando que tg , constatamos que esta fórmula é uma consequência da fórmula em P47 œ Ð Ñ#
tg# #Ð Ñ  " œ
"
Ð Ñ# #cos
(lembrar que por estar entre ° e °).cosÐ Ñ   ! ! *!# #
79) A recta admite o vector < ?ÄÇ Ð"ß"ß #ÑÈ como vector director. Os ângulos , e com! " #
os três eixos estão assim definidos por
– 47 –
cos
cos
cos
Ð Ñ œ œ œl? † / l l"l "
Ä Ä
m?mm/ mÄ Ä "  "  # ‚ " #
Ð Ñ œ œ œl? † / l
Ä Ä
m?mm/ mÄ Ä
l"l "
"  "  # ‚ " #
Ð Ñ œ œ œl? † / l l #l #
Ä Ä
m?mm/ mÄ Ä "  "  # ‚ " #
!
"
#
B
B
C
C
D
D
È
È È ÈÈ
,
,
,
e portanto ° e °.! " #œ œ '! œ %&
80) Sendo um ponto da recta , tam-se \ÐBß CÑ < E\
Ä
Ç ÐB  "ß C  %Ñ E\ e então a recta é
perpendicular à recta se, e só se, os vectores e forem perpendiculares, isto é, .< E\ ? E\ † ? œ !
Ä ÄÄ Ä
Esta última condição é traduzida pela equação , ou seja, .ÐB  "Ñ ‚ "  ÐC  %Ñ ‚ # œ ! B  #C œ (
Juntando a esta equação a equação que traduz o facto de pertender à recta , ficamos\ÐBß CÑ <
reduzidos a resolver o sitema de duas equaçãos a duas incógnitas
œB  #C œ (C œ #B  " .
Resolvemos este sistema por um dos métodos habituais, por exemplo passando pelos sucessivos
sistemas equivalentes
œ œ œB  #Ð#B  "Ñ œ ( &B œ & B œ "C œ #B  " C œ #B  " C œ $ 
pelo que o ponto pedido é o ponto .\Ð"ß $Ñ
81) a) Sendo , tem-se \ Ç ÐBß Cß DÑ E\
Ä
Ç ÐB  "ß Cß DÑ F\ Ç ÐB  "ß Cß DÑ
Ä
 e pelo que o
conjunto dos pontos tais que e sejam ortogonais pode ser traduzido pla condição de ser\ F\
Ä Ä
E\
! o respectivo produto escalar, isto é pela equação
ÐB  "ÑÐB  "Ñ  C  D œ !# # ,
equivalente a . Lembrando o que estudámos no décimo ano, esta é a equação deB  C  D œ "# # #
uma superfície esférica de centro na origem do referencial e de raio .S "
 Se e são dois pontos distintos do espaço, o lugar geométrico dos pontos do espaçob) E F \
tais que e são ortogonais é uma superfície esférica de centro no ponto médio doE\ F\ S
Ä Ä
segmento e de raio igual a metade do comprimento desse segmento. Para o reconhecermos,ÒEFÓ
utilizando a conclusão a que chegámos na alínea precedente, podemos tomar como unidade de
medida metade do comprimento do segmento e considerar um referencial ortonormado com origem
S / œ SF / /Ä Ä Ä
Ä
, com e com os restantes vectores e escolhidos como quisermos; tem-se entãoB C D
F Ç Ð"ß !ß !Ñ E Ç Ð"ß !ß !Ñ e .
82) Se , dizer que o vector e equivale\ Á S S\ SE SF
Ä ÄÄ
 faz o mesmo ângulo com os vectores
a dizer que os co-senos dos dois ângulos são iguais, ou seja, que se tem
– 48 –
S\ S\œ
Ä Ä Ä
† SE † SF
Ä
mS\mmSEm
Ä Ä Ä Ä
mS\mmSFm
 .
Esta última condição é equivalente, para , à condição\ Á S
S\ S\œ
Ä Ä Ä
† SE † SF
Ä
mSEm
Ä Ä
mSFm
 ,
a qual é verificada trivialmente para . Esta última condi\ œ S ção caracteriza assim o lugar
geométrico pedido. Podemos agora escrever a condição obtida em termos de coordenadas,
reparando que
mSEm œ "  %  % œ $ mSFm œ *  !  "' œ &
Ä ÄÈ È, ,
e que, sendo ,\ Ç ÐBß Cß DÑ
S\ † SE œ B  #C  #D S\ œ $B  %D
Ä ÄÄ
, .
O lugar geométrico pedido é assim caracterizado pela equação
B #C  #D $B  %D
$ &œ ,
que pode ser sucessivamente simplificada:
&ÐB  #C  #DÑ œ $Ð$B  %DÑ
&B  "!C  "!D œ *B  "#D
"%B  "!C  #D œ !
(B  &C  D œ !Þ
83) a) Tem-se
EF EG
EH FG
FH GH
Ä Ä
Ç Ð"ß "ß !Ñ Ç Ð"ß !ß "Ñ
Ä
Ç Ð!ß "ß "Ñ Ç Ð!ß"ß "Ñ
Ä
Ä
Ç Ð"ß !ß "Ñ Ç Ð"ß "ß !Ñ
Ä
, ,
, ,
, .
Concluímos daqui que todos estes seis vectores têm norma igual a . O sólido emÈ È"  " œ #
questão é o tetraedro.
 Tem-seb)
EF
EG
EH
Ä
† GH œ " ‚ "  " ‚ "  ! ‚ ! œ !
Ä
Ä
† FH œ " ‚ "  ! ‚ !  "‚ " œ !
Ä
Ä
† FG œ ! ‚ !  " ‚ "  " ‚ " œ !
Ä
.
 Tem-se os vectores c) SH EF
Ä
Ç Ð"ß "ß "Ñ EG EFG
Ä Ä
 e e são vectores não nulos do plano e
não têm a mesm direcção. Uma vez que
– 49 –
SH † EF œ " ‚ "  " ‚ "  " ‚ ! œ !
Ä Ä
SH † EG œ " ‚ "  " ‚ !  " ‚ " œ !
Ä Ä
,
,
o vector é ortogonal àqueles dois vectores, e portanto é ortogonal ao plano . Sejam , eSH EFG
Ä ! "
# os ângulos da recta com cada uma das rectas , e , respetivamente. Tem-seSH EH FH GHÄ Ä Ä
cos
cos
cos
Ð Ñ œ œ ¸ !Þ)"'&!lSH † EHl #
Ä Ä
mSHmmEHm
Ä Ä $ #
Ð Ñ œ œ ¸ !Þ)"'&!lSH † FHl #
Ä Ä
mSHmmFHm
Ä Ä $ #
Ð Ñ œ œ ¸ !Þ)"'&!lSH † GHl #
Ä Ä
mSHmmGHm
Ä Ä $ #
!
"
#
È È
È È
È È
,
,
,
e portanto °.! " #œ œ ¸ $&Þ$
 Sabemos que as coordenadas do ponto médio de um segmento são as médias dasd)
correspondentes coordenadas das duas extremidades. Tem-se assim, para o ponto médio do\
segmento , . Tem-se então e eÒEFÓ \ Ç Ð!Þ&ß !Þ&ß !Ñ \H Ç Ð!Þ&ß !Þ&ß "Ñ \G Ç Ð!Þ&ß!Þ&ß "Ñ
Ä Ä
portanto
\H † EF œ !Þ& ‚ "  !Þ& ‚ "  " ‚ ! œ !
Ä Ä
\G † EF œ !Þ& ‚ "  !Þ& ‚ "  " ‚ ! œ !
Ä Ä
,
.
Vemos assim que a recta é uma recta do plano e a recta é uma recta do plano ,\H EFH \G EFG
ambas perpendiculares à intersecção dos dois planos pelo que, por definição, o ângulo dosEF :
dois planos é o ângulo das rectas e . Tem-se assim\H \G
cosÐ Ñ œ œ œ œ ¸ !Þ$$$$$l\H † \Gl l!Þ#&  !Þ#&  "l !Þ& "
Ä Ä
m\Hmm\Gm
Ä Ä !Þ#&  !Þ#&  " !Þ#&  !Þ#&  " "Þ& $
: È È ,
e portanto °.: ¸ (!Þ&
 Verificámos, como passo intermédio da alínea c), quee)
cosÐ Ñ œ #
$ #
! È È .
Tem-se então
cos cosÐ# Ñ œ # Ð Ñ  " œ # ‚  " œ  " œ% % "$ ‚ # $ $! !
#
pelo que, uma vez que , tal como 2 , é um ângulo entre ° e 180°, também com ,: ! :! Ð Ñ œcos "$
tem-se efectivamente .: !œ #
84) De acordo com a propriedade enunciada, o plano perpendicular a @Ä que passa pela origem
admite a equação
– 50 –
B #C œ !
e aquele que passa pelo ponto admite a equaçãoE Ç Ð#ß $Ñ
ÐB  #Ñ  #ÐC  $Ñ œ !,
que também pode ser escrita na forma .B #C œ %
85) a) Procuremos um ponto particular da recta com, por exemplo, . Fazendo aC œ "
substituição, obtemos a equação , donde , o que mostra que é um ponto#B  $ œ " B œ # EÐ#ß "Ñ
particular da recta. Examinando os coeficientes de e na equação dada, constatamosB C
imediatamente que o vector é um vector perpendicular à recta.? Ç Ð#ß$ÑÄ
 Substtuindo na equação por , obtemos , pelo que é um ponto particular dab) B ! C œ & EÐ!ß &Ñ
recta. Uma vez que a equação da recta também pode ser escrita na forma , vemos que" C  B œ &$%
o vector é ortogonal à recta. Este vector tem norma? Ç Ð"ß ÑÄ $%
m? m œ "  œ œÄ * #& &"' "' %Ê Ê
pelo que, para obter um vector de norma com a mesma direcção, basta multiplicar pelo inverso" ?Ä
da norma, obtendo o vector
@ Ç Ð ß ÑÄ % $& % .
86) O vector ?ÄÇ Ð#ß$Ñ < < é perpendicular à recta , e portanto as rectas paralelas a são aqueles
que são também perpendiculares a . A recta pedida admite assim a equação? <Ä w
#B  $C œ %.
87) O vector ?ÄÇ Ð#ß $Ñ é perpendicular à primeira recta e, uma vez que a equação da segunda
pode ser escrita na forma equivalente , o vector é perpendicular à segundaC  #B œ ! @ Ç Ð"ß#ÑÄ
recta. O ângulo das duas rectas é igual ao ângulo das duas rectas que lhes são perpendiculares, e!
que admitem e como vectores directores, pelo que se tem? @Ä Ä
cosÐ Ñ œ œ œ ¸ !Þ%*'"%l? † @ l l# ‚ "  $ ‚ #l %
Ä Ä
m?mm@ mÄ Ä %  * "  % "$ ‚ &
! È È È
e portanto °.! ¸ '!Þ#&&
88) A distância pedida é a distância de ao pé da perpendicular à recta que passa por \ F < \Þ
Substituindo por na equaC ! ção da recta, obtemos a equação , com solução , pelo que$B œ ' B œ #
o ponto é um ponto particular da recta Como é claro a partir da figuraEÐ#ß !Ñ <Þ
– 51 –
Figura 33
o vector é a projecção ortogonal do vector sobre a recta vectorial perpendicularF\ E\ Ç Ð&ß &Ñ
Ä Ä
a , a qual admite como vector director qualquer vector não nulo ortogonal a , por exemplo o< <
vector . Para determinar a projecção ortogonal referida basta conhecermos um vector? Ç Ð$ß %ÑÄ
director de norma da recta perpendicular, por exemplo o que se obtém dividindo pela sua" ?Ä
norma . Partimos então de e obtemos, pela caracterização no exercícioÈ$  % œ & @ œ Ð ß ÑÄ# # $ %& &
69,
F\ œ ÐE\ † @ Ñ @ œ Ð& ‚  & ‚ Ñ @ œ @
Ä Ä ÄÄ Ä Ä$ %
& & .
A distância pedida é assim .mF\m œ m@ m œ "
Ä Ä
89) Queros arranjar dois números, não ambos nulos, tais que multiplicando o primeiro por e o$
segundo por e somando os resultados obtém-se . Uma ideia é reparar que multiplicando por # ! $ #
se obtém o mesmo resultado que multiplicando por , pelo que uma solu# $ ção simples é
escolhermos os números e . O vector é assim um vector não nulo, para o qual# $ @ Ç Ð#ß$ÑÄ
? † @ œ !Ä Ä .
90) De acordo com o que nos é sugerido, sendo a norma do vector < œ +  , ?È # # Ä e um dos!
ângulos generalizados a que corresponde a semi-recta associada a , tem-se?Ä
? Ç Ð< Ð Ñß < Ð ÑÑÄ cos ! !sen ,
ou seja, e sen . O vector com a mesma norma a que corresponde a semi-recta+ œ < Ð Ñ , œ < Ð Ñcos ! !
obtida por rotação de ° no sentido directo vai ter coordenadas*!
Ð< Ð*!  ß < Ð*!  ÑÑ œ Ð< Ð Ñß < Ð ÑÑ œ Ð,ß +Ñcos cos° ) sen ° sen ,! ! ! !
pelo que este vector é precisamente o vector considerado.@Ä
– 52 –
91) Um vector ortogonal à recta é o vector < ?Ä ÄÇ Ð#ß$Ñ @ Ç Ð$ß #Ñ e portanto o vector , que ''e
ortogonal a , é também ortogonal à recta . A recta admite assim a equação? < <Ä w w
$B  #C œ -,
com , ou seja, admite a equação .- œ $ ‚ "  # ‚ # œ ( $B  #C œ (
92) O vector AÄÇ Ð $  "ß $  "Ñ <È È é ortogonal à recta e portanto o vectorw
@ Ç Ð $  "ß $  "Ñ <Ä È È , que é ortogonal a este, é um vector director de . O ângulo das rectasw !
< < e está assim definido porw
cosÐ Ñ œ œ œ œ œl? † @ l l $  "  $  "l # # "
Ä Ä
m?mm@ mÄ Ä # $  "  # $  $  "  # $ # ) "' #
!
È ÈÈ É È È È ÈÈ ,
o que mostra que °.! œ '!
93) Relativamente ao primeiro sistema, obtemos sucessivamente os sistemas equivalentes:
œ œ 
œ œ
#B  $C œ &
%B  'C œ &
B œ
%B  'C œ &
B œ
%  'C œ &
B œ B œ
"!  'C  'C œ & ! œ "&
&$C
#
&$C
#
&$C
#
&$C &$C
# #
e a segunda equação do último sistema mostra que temos um sistema impossível. Relativa,ente ao
segundo sistema vem analogamente:
œ œ 
œ œ e
#B  $C œ &
%B  'C œ "!
B œ
%B  'C œ "!
B œ
%  'C œ "!
B œ B œ
"!  'C  'C œ "! ! œ !
B œ &  $C#
&$C
#
&$C
#
&$C
#
&$C &$C
# #
e constatamos que, dando um valor arbitrário a , existe sempre um valor de que verifica aC B
condição, pelo que temos um sistema indeterminado.
94) a) À primeira equação corresponde uma recta perpendicular ao vector e à? Ç Ð"ß#ÑÄ
segunda corresponde uma recta perpendicular ao vector . Uma vez que os dois@ Ç Ð#ß$ÑÄ
vectores não têm a mesma direcção, as rectas não são paralelas; elas são assim concorrentes, o que
mostra que o sistema é possível e determinado.
 ção corresponde uma recta perpendicular ao vector e àb) À primeira equa ? Ç Ð#ß%ÑÄ
segunda corresponde uma recta perpendicular ao vector . Uma vez que os dois@ Ç Ð$ß'ÑÄ
vectores têm a mesma direcção, por o segundo ser o primeiro multiplicado por , as rectas são para-$#
lelas, o que mostra que o sistema é impossível, se elas forem estritamente paralelas, ou
indeterminado, se elas forem coincidentes. Fazendo na primeira equação, vem , peloC œ ! B œ &#
que a primeira recta passa pelo ponto . Por substituição, constatamos que a segunda recta nãoÐ ß !Ñ&#
passa por esse ponto. As duas rectas são assim estritamente paralelas e o sistema é impossível.
– 53 –
 ção corresponde uma recta perpendicular ao vector e à segundac) À primeira equa ? Ç Ð"ß "ÑÄ
corresponde uma recta perpendicular