CAT181 Movimento de Corpo Rígido

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Movimento de Corpo
Rígido
Prof. Samuel Gonçalves Carvalho
UFOP – Escola de Minas
Introdução
Para o desenvolvimento das equações cinemáticas do
manipulador há necessidade de estabelecer vários sistemas
de coordenadas para representar as posições e orientações
de corpos rígidos. Também é preciso conhecer as
transformações de coordenadas entre esses sistemas, de
modo a possibilitar que vetores representativos de posições,
velocidades e acelerações, dados em um determinado
sistema de coordenadas, possam ser representados em
outros sistemas de coordenadas.
Neste capítulo serão consideradas as operações de rotação e
de translação de um sistema em relação a um outro sistema e
apresentada a noção de transformação homogênea, muito
usada em Robótica.
1 - Rotações
Seja um ponto genérico P, do espaço 3D. Deseja-se
relacionar as coordenadas de P, dadas no sistema móvel
Ox1y1z1, com as coordenadas do mesmo ponto P, em
relação ao sistema fixo Ox0y0z0, conforme figura abaixo:
1 - Rotações
Sejam i0, j0 e k0 os vetores unitários do sistema fixo Ox0y0z0
e sejam i1, j1 e k1 os vetores unitários do sistema móvel
Ox1y1z1. Então, o ponto P pode ser representado nos dois
sistemas:
• Sistema Ox0y0z0:
p0 = p0x.i0 + p0y.j0 + p0z.k0 (1.1)
• Sistema Ox1y1z1:
p1 = p1x.i1 + p1y.j1 + p1z.k1 (1.2)
1 - Rotações
Como p0 e p1 representam, na realidade, o mesmo ponto
P, pode-se escrever:
p0x = p0.i0 = p1.i0
p0y = p0.j0 = p1.j0
p0z = p0.k0 = p1.k0
Aplicando a eq. 1.2:
p0x = p1x.i1.i0 + p1y.j1.i0 + p1z.k1.i0
p0y = p1x.i1.j0 + p1y.j1.j0 + p1z.k1.j0
p0z = p1x.i1.k0 + p1y.j1.k0 + p1z.k1.k0
1 - Rotações
Em forma compacta podemos escrever:
p0 = R01.p1 (1.3)
Onde, R01 pode ser definido como a matriz 3x3:
𝑅01 =
i1.i0 j1.i0 k1.i0
i1.j0 j1.j0 k1.j0
i1.k0 j1.k0 k1.k0
(1.4)
a qual permite a transformação do vetor p1 do sistema móvel
Ox1y1z1 para o sistema fixo Ox0y0z0 é denominada matriz de rotação.
Observe-se que os seus vetores colunas são os cossenos diretores
dos eixos do sistema móvel com relação aos eixos do sistema fixo.
1 - Rotações
Seguindo o mesmo raciocínio da Eq. 1.3, pode-se mostrar
p1 = R10.p0 (1.5)
Onde, R10 pode ser definido como a matriz 3x3:
𝑅10 =
i0.i1 j0.i1 k0.i1
i0.j1 j0.j1 k0.j1
i0.k1 j0.k1 k0.k1
(1.6)
é a matriz de rotação que permite a transformação do vetor p0 do 
sistema fixo Ox0y0z0 para o sistema móvel Ox1y1z1. Observe-se que os 
seus vetores colunas são os cossenos diretores dos eixos do 
sistema fixo com relação aos eixos do sistema móvel.
1 - Rotações
Multiplicando a Eq. 1.3 por (R01)
-1 , temos:
p1 = (R01)
-1.p0 (1.7)
Comparando as Eqs. (1.4), (1.5), (1.6) e (1.7), conclui-se que
R10 = (R01)
-1 = (R01)
T
isto é, a matriz inversa da matriz de rotação é igual a sua
transposta, logo a matriz de rotação é ortogonal.
1 - Rotações
Resumo:
• dado um vetor p1 no sistema móvel Ox1y1z1, para levá-lo para 
sistema fixo Ox0y0z0, deve-se aplicar a eq. (1.3), onde a matriz de 
rotação é dada pela eq. (1.4);
• dado um vetor p0 no sistema fixo Ox0y0z0, para levá-lo para o 
sistema móvel Ox1y1z1, deve-se aplicar a eq. (1.5), onde a matriz 
de rotação é dada pela eq. (1.6).
2 - Composição de Rotações
Suponha-se, agora, a adição de um outro sistema móvel de 
coordenadas, O2x2y2z2, relacionado aos sistemas O0x0y0z0 (fixo) e 
O1x1y1z1 (móvel) por transformações rotacionais. 
Um dado ponto P pode então ser representado de três maneiras:
p0 = R01.p1 (2.1)
p0 = R02.p2 (2.2)
p1 = R12.p2 (2.3)
Ou seja, R01 e R02 representam rotações com respeito ao sistema
de coordenadas O0, enquanto que R12 representa a rotação com
respeito ao sistema de coordenadas O1.
2 - Composição de Rotações
Substituindo a Eq. (2.3) na Eq. (2.1):
p0 = R01. R12.p2 (2.4)
Temos então:
R02 = R01. R12 (2.5)
A relação da Eq. (2.5) pode ser interpretada como a composição de 
sucessivas rotações.
Na forma geral:
R0n = R01 . R12 ... Rn-1,n (2.6)
3 – Transformações Homogêneas
Até agora, foram consideradas apenas rotações de um sistema de
coordenadas em relação a um outro. Neste item, serão
introduzidos, também, os movimentos de translação.
As transformações homogêneas combinam as operações de
rotação e translação em uma matriz.
3 – Transformações Homogêneas
Seja um sistema móvel O1x1y1z1, obtido por translação pura a partir 
do sistema fixo O0x0y0z0, conforme figura abaixo:
Como se observa, a origem O1 do sistema móvel foi deslocada de 
uma distância representada pelo vetor d01. Tal vetor fornece 
apenas a posição do sistema móvel em relação ao sistema fixo, 
nada indicando quanto a sua orientação, a qual, conforme já foi 
visto, é dada pela matriz de rotação R01.
3 – Transformações Homogêneas
Consideremos, agora, a combinação de translação com rotação. 
Nesse caso, um ponto P do espaço 3D é representado, no sistema 
fixo O0x0y0z0, pela soma vetorial do vetor posição da origem do
sistema móvel, d01, com o vetor p1, em relação ao sistema móvel 
O1x1y1z1:
p0 = R01.p1 + d01 (3.1)
Desenvolvendo:
p0x
p0y
p0z
=
r11 r1𝟐 r13
r21 r22 r23
r31 r32 r𝟑𝟑
p1x
p1y
p1z
+
d01x
d01y
d01z
(3.2)
onde os elementos rij são os elementos da matriz de rotação.
3 – Transformações Homogêneas
Uma outra forma de apresentar a equação anterior com apenas 
uma multiplicação matricial, é:
p0x
p0y
p0z
=
r11 r1𝟐 r13 d01x
r21 r22 r23 d01y
r31 r32 r33 d01z
p1x
p1y
p1z
1
(3.3)
Pode-se, ainda, colocar a expressão acima em uma forma mais 
conveniente, de modo que a matriz seja quadrada 4 x 4:
p0x
p0y
p0z
1
=
r11 r1𝟐 r13 d01x
r21 r22 r23 d01y
r31
0
r32
0
r33 d01z
0 1
p1x
p1y
p1z
1
(3.4)
Rotação Translação
Perspectiva Fator de escala
A Transformação 
homogênea 
combina as 
operações de 
rotação e translação 
em um única matriz.
3 – Transformações Homogêneas
Assim, temos que:
q0 = T01.q1 (3.5)
Referências
• Spong. M., W., Hutchinson, S., Vidyasagar, M., Robot Modeling 
and Control. 1st ed. New York, NY, US: Wiley, 2005.
• Craig, J.J., Robótica. 3ª ed. Pearson, 2013. 
• Notas de Aula, Prof. José Alberto Naves Cocota Júnior, DECAT-
UFOP.