Artigo Cientifico

Prévia do material em texto

Triedro de Frenet Serret : curvatura e torção de uma curva . 
 
Luiany Santos de Assunção 
(Luianylu01@gmail.com) 
Rafael Gomes da Silva 
(rafa.gomessilva30@gmail.com) 
 
Cálculo IV – Professor Dr. Manoel Silvino 
 
Resumo 
 
 Em Geometria Diferencial, o triedro de Frenet Serret, é caracterizado por uma curva 
qual utiliza um referencial móvel, com base ortonormal que é obtida em cada ponto de uma 
curva regular. O referencial é dado por um sistema de coordenadas que pode ser 
tridimensional e a partir do triedro é possível determinar curvatura e torção que são capazes 
de determinar a forma de uma curva. 
 
Palavras-chave: Triedro de Frenet. Curvatura. Torção. 
 
 
 
Introdução 
 
 O presente trabalho aborda o conjunto de tres importantes vetores mediante uma curva 
no R3, no qual apresenta entre eles os planos osculador, retificante e normal, que definem 
geometricamente o Triedro de Frenet. 
 
 O triedro que foi uma homenagem a Jean-Fréderic Frenet, possibilita a criação de 
desenhos n-dimensionais, auxiliando a compreensão de gráficos e superfícies no Cálculo 
Diferencial, o que justifica sua ampla utilização no ensino superior, seja para diagonalização 
de matrizes e verificação de autovalores e autovetores, como também para determinação de 
máximos e mínimos em conjuntos compactos, através do método de Lagrange. 
 
 
1 Formatação geral 
 
Curva parametrizada 
 
 Vamos denotar por R3 o conjunto ordenado dos ternos (x, y, z) de números reais. 
Caracterizaremos certos subconjuntos de R3 (chamados de curvas) que são unidimensionais e 
que podem sofrer aplicação dos métodos do cálculo diferencial. Podemos definir esses 
subconjuntos, de maneira natural, através de funções diferenciáveis. Mas, o que seria uma 
função diferenciável? Uma função de uma variável real é dita diferenciável quando possui, 
em todos os seus pontos, derivadas de todas as ordens, obviamente contínuas. Vamos agora 
definir o que seria uma curva. 
 
Definição: Segundo Manfredo, “uma curva diferenciável parametrizada é uma aplicação 
diferenciável α : I → R3 de um intervalo aberto I = (a,b) da reta real R em R3”. 
 Quando dizemos que a função é diferenciável nessa definição acima, significa que α é 
uma correspondência que leva cada t ∈ I em um ponto α(t) = (x(t), y(t), z(t)) que pertence ao 
R3, onde as funções reais x(t), y(t) e z(t) são diferenciáveis. 
 Assim, temos que a variável t é o parâmetro da curva. Quando também falamos a 
palavra intervalo consideramos o seu sentido amplo, sem excluir os casos de a = - ∞ e b = +∞. 
 Denotaremos x’(t), y’(t) e z’(t) a primeira derivada das funções x, y e z, 
respectivamente, assim o vetor (x’(t), y’(t), z’(t)) = α’(t) ∈ R3 é o vetor tangente da curva α(t) 
em t. A imagem α(I) ⊂ R3 é o traço da curva α. 
Exemplo 1. Observemos a curva diferenciável parametrizada dada por 
 
ɣ (t) = (a cost, b sent, bt), t ∈ R, 
 
percebemos que o traço dessa curva é uma hélice de passo 2πb sobre o cilindro x2 + y2 = a2. 
Assim, o eixo Ox faz com a reta que liga a origem O à projeção do ponto ɣ(t) sobre o plano 
xy. 
 
 Observe a figura: 
 
 
 
 
Exemplo 2. Seja a curva parametrizada α(t) = (2 cost, 2 sent, t), t ∈ R. Vamos fazer um 
esboço da trajetória percorrida por essa partícula. 
 
Vamos identificar a curva. 
Pelas equações paramétricas da curva, obtemos o seguinte: 
 
x2(t) + y2(t) = (2 cost)2 + (2 sent)2 
 = 4 cos2t + 4 sen2t 
 = 4(cos2t + 4 sen2t) , pela identidade trigonometrica, temos que : cos2 (t)+ 
sen2 (t) = 1, então 
x2(t) + y2(t) = 4 
z(t) = t 
Como x2(t) + y2(t) = constante, então essa é uma helicoidal cilíndrica. 
Como z’(t) = 1 > 0, 
Portanto, a curva “sobe” de acordo com o aumento do parâmetro t. 
Como t ∈ R, ele possui variação de - ∞ a + ∞, fazendo t = 0, temos: 
 α(0) = (2, 0, 0) 
Agora vamos esboçar a curva: 
 
 
 
 
 
Comprimento de arco 
 
 Seja uma curva regular definida num intervalo I = ] a,b [, a < b.Vamos considerar qu o 
intervalo é percorrido no sentido crescente. 
 
 
1) Temos que T’(t) representa o vetor tangente à curva no ponto t e também o vetor 
velocidade. 
2) A norma de T’(t), || T’(t) || nos dá o comprimento do vetor . 
 
3) O produto || T’(t) || Δt é um comprimento infinitesimal na direção do vetor tangente. 
 
4) A somatória de todos esses comprimentos infinitesimais quando Δt → 0 no intervalo 
 
] a, b [ corresponde a integral definida da função tangente nesse intervalo. 
 
Definição : Chamamos de comprimento de arco de uma curva c, dada por T’(t) = ( T1 
(t), ... , Tn (t)) de t1 a t2 , ou a partir de t1 à integral . 
 
 
 
 
 
 Curva parametrizada pelo comprimento de arco 
 
Definição: Uma curva r: I ⊂ R → R3 é dita parametrizada pelo comprimento de arco, 
se para cada t0, t ∈ I, onde t0 ≤ t o comprimento do arco da curva r de t0 a t é igual a t – t0. Isto 
é: 
 . 
 
Que resulta em: 
 
Proposição: Uma curva r: I ⊂ R → R3 está parametrizada pelo comprimento de arco 
se, e somente se, ∀t ∈ I, |r’(t)| = 1. 
 
Exemplo 3: A curva representada por r(t) = (−sint, cost) é uma curva parametrizada 
por comprimento de arco. 
De fato, verificamos 
 
dt = dt = = t – t0 
 
Considerando a proposição acima, temos: 
 
 = = 1. 
 
 
Triedro de Frenet 
 
 Definição: Os vetores T(t) = tangente, N(t) = normal, B(t) = binormal juntos formam um 
triedro ortogonal ou um sistema de referência em cada ponto s da curva chamado de triedro de 
frenet. 
 Se denominarmos de T(t) o vetor unitário da tangente, N(t) o vetor da normal e B(t) o 
vetor unitário da binormal, teremos um triedro ortonormal.Se a curva está contida em R3, para 
cada ponto S0 da curva teremos um sistema de referência ou uma base ortonormal do espaço 
vetorial determinado por S0. 
 
 
Figura : Os vetores do Triedro de Frenet 
Fonte: http://calculoremedial2014r.blogspot.com.br/p/segunda-semana-r.html 
Em cada ponto temos determinados, além do espaço tangente ao ponto, três planos ortogonais 
formados chamados de osculador, Retificante e Normal. 
 
 
Figura : Planos do Triedro de Frenet 
Fonte : http://www.scielo.org.co/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0122-
34612015000100003 
 
 
 
 
 
Vetor Tangente (T) 
 
 Seja C uma curva representada por r (t) = x(t)i , y(t)j , r’(t) é um vetor tangente a curva 
C em um ponto P. O vetor tangente T(t) é um vetor com a mesma direção do vetor tangenre 
r(t) e de módulo 1. 
 
 
 
 
 
Vetor Normal (N) 
 
 Este vetor será definido a partir da condição de ortogonalidade entre T e N, ou seja T(t) 
. N(t) = 0 . Como o vetor T(t) é um vetor de módulo constante e igual a 1, então T(t) . T’(t) = 
0 e portanto T’(t) é ortogonal a T(t) . Então o vetor normal é 
 
 
 
 
 
 
 Obs : O vetor normal unitario possui a mesma direção de T’(t) e aponta para o interior 
da curva, ou seja , para o lado côncavo de C. 
 
Vetor Binormal (B) 
 
 Seja C uma curva parametrzada pelo comprimento de arco T(s). Sabemos que T’(t) é o 
vetor tangente e unitario, que T’’(t) é o vetor normal e que estes são ortogonais. Se 
calcularmos o produto vetorial dos dois, obtemos um vetor ortogonal aos dois. 
 
Definição : Chamamos o vetor binormal à curva C o vetorPlano Osculador 
 
 O plano determinado pelos vetores T’(t) (tangente) e T’’(t) (normal), num ponto S0 é 
chamado de plano osculador à curva no ponto S0. 
 Em R3, se T(t) = ( x(t), y(t), z(t)), então o plano osculador é dado pela equação : 
 
 
 
 
Exemplo: Seja a curva C, dada por . Determine o plano 
osculador da curva no ponto . 
 
Solução: 
Temos que r(0) = (1, 0, 0) 
 
 
 
 
 
 
Logo, a equação do plano osculador é: 
 
 = 0 
 
Resulta que é a equação do plano osculador da curva no ponto s0 = 0. 
 
 
 
 
O que é uma curva curva? 
 
 A curvatura mede quanto é que a curva se afasta de estar contida numa reta (portanto, 
linhas retas tem curvatura zero), e a torsão mede quanto é que a curva se afasta de estar 
contida num plano (portanto, curvas planas tem torsão zero). Acontece que a curvatura e a 
torsão determinam completamente a forma da curva, como veremos. 
 
Curvatura 
 
 A medida que uma particula se move ao longo de uma curva, T = dr/ds vira à medida 
que a curva dobra. Como T é um vetor unitario, seu comprimento permanece constante e 
apenas sua direção muda à medida que a particula se move ao longo da curva. A taxa na qual 
T vira por unidade de comprimento ao longo da curva é chamada curvatura. 
 
Definição : Se T é o vetor unitario de uma curva lisa, a funçaõ curvatura da curva é 
 
 
 
 
 
Formula para calcular curvatura 
 
 , onde T é um vetor 
 
Torção 
 
 O vetor binormal de uma curva no espaço é B= T x N, um vetor unitario ortogonal tanto 
quanto a N. Juntos, T, N e B definem um referencial positivo móvel que tem papel 
significativo no cáçculo de trajetorias de particulas movendo- se no espaço. Ele é chamado 
triedro de Frenet. 
 
Sejam B = T x N. A função torção de uma curva lisa é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um artigo deve conter partes pré-textuais (título, autoria, resumo, palavras-chaves), partes 
textuais (introdução, desenvolvimento desdobrado em subitens, e considerações finais 
apresentando a conclusão do estudo) e as partes pós-textuais, que neste formato restringe-se 
às referências bibliográficas (de obras citadas durante o texto) e à bibliografia consultada 
(obras lidas, mas não citadas). Na seqüência este modelo apresenta cada uma dessas partes. 
 Na introdução, deve-se apresentar o tema do artigo e a problemática em que se insere. 
Também se deve apresentar como a pesquisa foi realizada para discussão do tema-problema. 
 No desenvolvimento e em seus subitens, discorre-se sobre a questão envolvida no 
tema, recorrendo às referências teóricas levantadas durante a pesquisa. 
 As considerações finais tratam do fechamento do tema, ainda que reconhecendo os 
limites do próprio artigo para apontar soluções, podendo-se pontuar a necessidade de novas 
investigações. 
 Quanto à formatação do corpo do texto: deve-se iniciar o texto imediatamente abaixo 
do título das seções. O corpo de texto utiliza fonte tipo Times New Roman, tamanho 12, 
justificado na direita e esquerda, com espaçamento entre linhas simples. 
 
 
 
3 Citações 
 
 Segundo as normas da ABNT “o recurso das citações contribui para explicitação das 
referências teóricas adotadas na construção do trabalho, as quais introduzem os autores com 
que o texto manterá seu diálogo. A chamada de autores deverá ser feita pelo sistema AUTOR-
data”. 
 Reparem que a citação de autores ao longo do texto é feita em letras minúsculas, 
enquanto que a citação de autores entre parênteses, ao final do parágrafo, deve ser feita em 
letra maiúscula, conforme indicado no próximo parágrafo. Deve-se recorrer às Normas da 
ABNT para esclarecer demais detalhes sobre a apresentação e formatação. 
 Na verdade, citar trechos de trabalhos de outros autores, sem referenciar 
adequadamente, pode ser enquadrado como plágio (CEZAR, 2007) 
 No caso de citações com mais de 4 linhas, estas devem vir destacadas do texto do 
artigo, com recuo de 4cm da margem esquerda, com texto justificado e em corpo menor (neste 
caso fonte 11). 
 
Considerações Finais 
 Para as referências, deve-se utilizar texto com fonte Times New Roman, tamanho 12, 
espaçamento simples, e para organização das informações que devem constar nas referências 
deve-se consultar o Manual de Normas da ABNT. As referências devem aparecer em ordem 
alfabética e não devem ser numeradas. Todas as referências citadas no texto, e apenas estas, 
devem ser incluídas ao final, na seção Referências. No caso de obras consultadas, porém não 
referenciadas deve-se indicar na Bibliografia Consultada. Seguem os exemplos logo abaixo. 
 
 
Bibliografia Consultada 
De Maio, Waldemar. Geometria : Geometria diferencial/ Waldemar De Maio- Rio de 
Janeiro: Ltc, 2007. 
Carmo, Manfredo Perdigão do. Geometria diferencial de curvas e superficies/ Manfredo 
Perdigão do Carmo. -5. Ed. – Rio de Janeiro: SBM, 2012. 
Thomas,G.: Cálculo – vol.2, 10 ª edição. Editora Addilson Wesley, 2003;