Derivadas: Definição, Regras e Continuidade

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2.3. Derivadas
2.3.1. Definic¸a˜o e Interpretac¸a˜o Geome´trica
Anteriormente ja´ mostra´mos como o coeficiente angular de uma recta
- declive de uma recta - indica a taxa a` qual a recta sobe ou desce. para
uma recta, esta taxa e´ a mesma em todos os seus pontos. Para outros
gra´ficos que na˜o rectas, a taxa a` qual o gra´fico sobe ou desce pode variar
de ponto para ponto. Por exemplo, consideremos o seguinte gra´fico:
(x3,y3)
(x2,y2)
(x1,y1)
(x4,y4)
x
y
Podemos observar que a para´bola sobe mais rapidamente no ponto
(x1, y1) do que no ponto (x2, y2). No ve´rtice (x3, y3) o gra´fico deixa
de subir ou descer, e no ponto (x4, y4), o gra´fico esta´ a descer.
Para determinar a taxa a` qual um gra´fico sobe ou desce num deter-
minado ponto, podemos calcular o coeficiente angular da tangente no
ponto. Em termos simples, a tangente ao gra´fico duma func¸a˜o f num
ponto P (x, y) e´ a recta que melhor aproxima o gra´fico naquele ponto
conforme podemos ver pelo gra´fico anterior.
1
Assim, o problema da determinac¸a˜o da inclinac¸a˜o de um gra´fico num
ponto reduz-se ao de achar o coeficiente angular da tangente naquele
ponto.
Um me´todo para obtermos aproximac¸o˜es de tangentes consiste em
fazer uso da recta secante pelo ponto de tangeˆncia e por um segundo
ponto do gra´fico conforme se mostra na figura seguinte:
∆x
f(x +∆x) − f(x)
(x, f(x))
(x+∆x, f(x+∆x))
x
y
Se (x, f(x)) e´ ponto de tangeˆncia e (x+∆x, f(x+∆x)) e´ um segundo
ponto do gra´fico de f , enta˜o o coeficiente angular da secante que passa
por estes pontos e´
msec =
f(x +∆x)− f(x)
∆x
=
∆y
∆x
(1)
onde ∆x e´ a variac¸a˜o de x e ∆y e´ a variac¸a˜o de y. Se aproximarmos
cada vez mais o segundo ponto do ponto de tangeˆncia, obtemos mel-
hores aproximac¸o˜es do coeficiente angular da tangente como podemos
verificar pelos gra´ficos seguintes:
2
∆x
∆y
(x, f(x))
(x+∆x, f(x+∆x))
x
y
∆x
∆y
(x, f(x))
(x+∆x, f(x +∆x))
x
y
(x, f(x))
x
y
Utilizando o processo do limite, podemos determinar o coeficiente
angular exacto da tangente em (x, f(x)).
Definic¸a˜o 1 A derivada de f no ponto x e´ dada por
f ′(x) = lim
∆x→0
f(x + ∆x)− f(x)
∆x
= lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
(2)
desde que o limite exista. Uma func¸a˜o e´ diferencia´vel em x se
a sua derivada existe em x. O processo de ca´lculo de derivadas e´
chamado diferenciac¸a˜o.
Nota: Existem va´rias notac¸o˜es para representar a derivada de uma
func¸a˜o. As mais frequentes sa˜o:
f ′(x) =
dy
dx
(x) = y′(x) = d
dx
[f(x)]
f linha de x derivada de y y linha de x derivada de f(x)
em ordem a x em ordem a x
3
Exemplo 1. Calcule a derivada de f(x) = 3x2 − 2x.
Temos
f ′(x) = lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
= lim
h→0
[
3 · (x + h)2 − 2 · (x + h)]− (3x2 − 2x)
h
= lim
h→0
3 · (x2 + 2xh + h2)− 2x− 2h− 3x2 + 2x
h
= lim
h→0
3x2 + 6xh + 3h2 − 2x− 2h− 3x2 + 2x
h
= lim
h→0
6xh + 3h2 − 2h
h
= lim
h→0
h · (6x + 3h− 2)
h
= lim
h→0
(6x + 3h− 2) = 6x− 2
Pelo que a derivada de f(x) e´ f ′(x) = 6x− 2.
Exerc´ıcio 1. Determine a derivada de y em ordem a t para a
func¸a˜o y =
2
t
.
Nota: Na˜o se esquec¸a que a derivada de uma func¸a˜o da´ uma fo´rmula
para determinar o coeficiente angular da tangente em qualquer ponto
do gra´fico da func¸a˜o.
4
2.3.2. Continuidade e Derivabilidade
Nem toda a func¸a˜o e´ diferencia´vel. os gra´ficos seguintes mostram
algumas situac¸o˜es usuais em que uma func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel nalgum
ponto - tangentes verticais, descontinuidades e alterac¸o˜es bruscas. Os
gra´ficos seguintes mostram func¸o˜es que sa˜o diferencia´veis para todos
os valores de x excepto em x = 0.
2
−2
1 2−1−2
x
y
y = x1/3 2
−2
1 2−1−2
x
y
y =
|x|
x
2
−2
1 2−1−2
x
y
y = x2/3 2
−2
1 2−1−2
x
y
y = |x|
Os gra´ficos anteriores mostram que a continuidade na˜o e´ uma condic¸a˜o
suficientemente forte para garantir a diferenciabilidade. Todas as func¸o˜es
representadas sa˜o cont´ınuas em (0, 0) excepto uma, mas nenhuma e´
diferencia´vel na origem. Por outro lado, se uma func¸a˜o e´ diferencia´vel
num ponto enta˜o ela e´ cont´ınua nesse ponto.
5
Teorema 1 Se uma func¸a˜o e´ diferencia´vel em x = c, enta˜o e´
cont´ınua nesse ponto.
Corola´rio: Se uma func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = c, enta˜o na˜o e´
diferencia´vel nesse ponto.
2.3.3. Regras de Derivac¸a˜o
Ate´ agora calcula´mos derivadas utilizando a noc¸a˜o de limite. Um
outro processo para calcularmos derivadas e´ usar regras que nos per-
mitem calcular derivadas sem usar limites directamente:
Regras de Derivac¸a˜o
Sejam u, v f.r.v.r, c ∈ IR e n ∈ Z
(c)′ = 0 (c · u)′ = c · u′
(u± v)′ = u′ ± v′ (u · v)′ = u′ · v + v′ · u
(u
v
)′
=
u′ · v − v′ · u
v2
(
n
√
u
)′
=
u′
n · n
√
un−1
(un)′ = n · un−1 · u′ (uv)′ = v · uv−1 · u′ + (ln v) · uv · v′
(ln u)′ =
u′
u
(loga u)
′ =
u′
(ln a) · u
(eu)′ = eu · u′ (au)′ = (ln a) · au · u′
6
Exemplo 2. Aplicando as regras da derivac¸a˜o temos:
a)(7)′ = 0 b)(x3)′ = 3 · x2 c)(3x2)′ = 3 · (x2)′ = 3 · 2 · x = 6x
d)
[
(3x)2
]′
= 2 · (3x) · 3 = 18x e)
(
1
x2
)′
= (x−2)′ = −2 · x−3 · 1 = − 2
x3
f)
(
1
x2
)′
=
0 · x2 − 1 · 2 · x · 1
(x2)2
= −2x
x4
= − 2
x3
g) [ (x + 1) 3
√
x ]
′
= (x′ + 1′) · 3√x + (x + 1) · ( 3√x)′ =
= 1 · 3√x + (x + 1) ·
(
x′
3 · 3
√
x2
)
= 3
√
x + (x + 1) · 1
3
3
√
x2
=
= 3
√
x +
x + 1
3
3
√
x2
=
3x + x + 1
3
3
√
x2
=
4x + 1
3
3
√
x2
Exerc´ıcio 2. Calcule o valor das seguintes derivadas:
a)
(
6− 5x
x2 − 1
)2
b)
√
x− 1 +√x + 1
c) log10(x
2 + 6x) d) ln
1 + ex
1− ex
7
Derivadas de Ordem Superior
A derivada de f ′, segunda derivada de f , representa-se por f ′′
d
dx
[f ′(x)] = f ′′(x)
A derivada de f ′′, terceira derivada de f , representa-se por f ′′′
d
dx
[f ′′(x)] = f ′′′(x)
Continuando este processo, obtemos as derivadas de ordem superior,
a derivada f ′ costuma designar-se primeira derivada de f .
Exemplo 3.
Func¸a˜o Original f(x) = 2x4 − 3x2 f ′′′(x) = 48x 3a Derivada
1a Derivada f ′(x) = 8x3 − 6x f iv(x) = 48 4a Derivada
2a Derivada f ′′(x) = 24x2 − 6 f v(x) = 0 5a Derivada
Notac¸a˜o para Derivadas de Ordem Superior
1a Derivada y′ f ′
dy
dx
d
dx
[f(x)] Dx(y)
2a Derivada y′′ f ′′
d2y
dx
d2
dx2
[f(x)] Dxx(y)
n.a Derivada y(n) f (n)
dny
dxn
dn
dxn
[f(x)] Dxn(y)
Exerc´ıcio 3. Calcule f (vi)(x) sendo f (iv)(x) = ln
x2
9− x2
8
2.3.4. Teoremas da Derivada da Func¸a˜o Composta e da
Func¸a˜o Inversa
Teorema 2 Se y = f(u) e´ uma func¸a˜o deriva´vel na varia´vel u,
e u = g(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel na varia´vel x, enta˜o y = f(g(x))
e´ uma func¸a˜o deriva´vel na varia´vel x e tem-se
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
(3)
ou equivalentemente
d
dx
[f(g(x)] = f ′(g(x)) · g′(x) (4)
Exemplo 4.
y = f(g(x)) u = g(x) y = f(u)
a) y =
1
x + 1
u = x + 1 y =
1
u
b) y =
√
3x2 − x + 1 u = 3x2 − x + 1 y = √u
Exemplo 5. Para a func¸a˜o y = u3 com u = x2 + 1 temos
dy
dx
= [3u2]u=x2+1 · (2x + 1)′ = 3(x2 + 1)2 · (2x) = 6x(x2 + 1)2
9
Exerc´ıcio 4. Uma indu´stria esta´ a aumentar a sua produc¸a˜o de
um artigo a` raza˜o de 200 unidades por semana. A func¸a˜o procura
semanal admite como modelo a equac¸a˜o p = 100− 0.001x onde p e´ o
prec¸o unita´rio e x e´ o nu´mero de unidades produzidas numa semana.
Calcule a taxa de variac¸a˜o da receita relativamente ao tempo, quando
a produc¸a˜o semanal e´ de 2 000 unidades.
Teorema 3 Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel num intervalo I.
Se f tem inversa f−1, enta˜o f−1 e´ diferencia´velem qualquer x
para o qual f ′(f−1(x)) 6= 0 e nesse caso
(f−1)′(x) =
1
f ′(f−1(x))
, f ′((f−1)(x)) 6= 0 (5)
Exemplo 6. Calcule a derivada da func¸a˜o f(x) = 3x utilizando
o teorema da derivada da func¸a˜o inversa. Determine (f−1)′(a) sendo
f(x) = x3 − 4
x
e a = 6.
Resoluc¸a˜o: y = 3x ⇔ x = log3 y
Enta˜o
f ′(x) =
1
(f−1)′(f(x))
=
1
(f−1)′(y)
=
1
1
y·ln 3
=
= y · ln3 = 3x · ln 3
10
Exemplo 7. Seja f(x) =
1
4
x3 + x− 1
a) Qual e´ o valor de f−1(x) quando x = 3?
b) Qual e´ o valor de (f−1)′(x) quando x = 3?
Resoluc¸a˜o: Atendendo a que f e´ injectiva, tem inversa
a) Como f(x) = 3 quando x = 2, enta˜o f−1(3) = 2
b) Atendendo ao teorema anterior vem:
(f−1)′(3) =
1
f ′(f−1(3))
=
1
f ′(2)
Enta˜o
f ′(x) =
3
4
x2 + 1⇒ (f−1)′(3) = 1
3/4 · 22 + 1 =
1
4
2.3.5. Equac¸a˜o da Recta Tangente e da Recta Normal
Como sabemos a equac¸a˜o da recta que passa pelo ponto de coordenas
(x0, y0) e tem declive m e´
y − y0 = m(x− x0) (6)
Vimos anteriormente que o declive da recta tangente ao gra´fico de uma
func¸a˜o f no ponto de coordenadas (x0, y0).
m = f ′(x0)) (7)
Enta˜o de (6) e (7) vem que a equac¸a˜o da recta tangente ao
gra´fico de f no ponto de coordenadas (x0, y0) e´
y − y0 = f ′(x0)(x− x0) (8)
11
Dado que:
• a recta normal ao gra´fico de f no ponto de coordenadas (x0, y0) e´
perpendicular a` recta tangente ao gra´fico de f nesse ponto
• rectas perpendiculares teˆm declives inversos sime´tricos
vem que a equac¸a˜o da recta normal ao gra´fico de f no ponto
de coordenadas (x0, y0) e´
y − y0 = − 1
f ′(x0)
(x− x0) (9)
Exemplo 8. Escreva a equac¸a˜o da recta tangente e da recta normal
ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = ln (3x2 + 1) no ponto de abcissa x = 1.
Resoluc¸a˜o: (x0, y0) = (1, f(1)) = (1, ln 4)
f ′(x) =
6x
3x2 + 1
⇒ f ′(1) = 6
4
=
3
2
equac¸a˜o da recta tangente: y − ln 4 = 3
2
(x− 1)
equac¸a˜o da recta normal: y − ln 4 = −2
3
(x− 1)
12
2.3.6. Aplicac¸o˜es da Derivada
2.3.6.1. Extremos e a Primeira Derivada
Nesta secc¸a˜o vamos estudar os pontos em que uma func¸a˜o passa de
crescente a decrescente, ou vice-versa. Podemos utilizar a derivada de
primeira ordem de uma func¸a˜o para determinar se a func¸a˜o e´ crescente
ou decrescente num intervalo.
Teorema 4 Seja f uma func¸a˜o que admite primeira derivada
num intervalo aberto I.
1. f ′(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f e´ crescente em I.
2. f ′(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f e´ decrescente em I.
3. f ′(x) = 0, ∀x ∈ I ⇒ f e´ constante em I.
Nos pontos onde, uma func¸a˜o passa de crescente a decrescente, ou
vice-versa, a func¸a˜o tem um extremo relativo. Os extremos relativos
de uma func¸a˜o incluem os mı´nimos relativos e os ma´ximos relativos da
func¸a˜o.
Observando o gra´fico que se apresenta abaixo podemos constatar este
resultado, a func¸a˜o tem dois extremos relativos - o ponto a` esquerda
e´ um ma´ximo e o ponto a` direita e´ um mı´nimo relativo. Estes pontos
sa˜o pontos onde ha´ alterac¸a˜o de monotonia da func¸a˜o.
13
x
y
ma´ximo relativo
mı´nimo relativo
f. crescente
f. decrescente
f. crescente
Se observarmos os gra´ficos seguintes podemos verificar que em ambos
os casos temos um ma´ximo relativo. Esse ma´ximo e´ obtido em pontos
onde f ′(x) = 0 ou f ′(x) na˜o esta´ definida - pontos cr´ıticos.
x
y ma´ximo relativo
c
f ′(c) = 0
tangente horizontal
x
y
ma´ximo relativo
c
f ′(c) na˜o e´ definida
Teorema 5 Se f tem um mı´nimo relativo ou ma´ximo relativo
quando x = c, enta˜o ou f ′(c) = 0 ou f ′(c) na˜o esta´ definida.
Desta forma, para sabermos quais os extremos relativos de uma
func¸a˜o basta testar os pontos cr´ıticos da func¸a˜o. Encontrados estes,
o seguinte resultado permite-nos identificar os ma´ximos e mı´nimos re-
lativos e/ou pontos sela.
14
Teorema 6 Seja x = c um ponto cr´ıtico da func¸a˜o f cont´ınua
no intervalo (a, b) que conte´m c. Se f e´ diferencia´vel no intervalo
(a, b), com a poss´ıvel excepc¸a˜o de x = c, enta˜o:
1. f ′(x) muda de positivo para negativo em x = c, enta˜o f
tem um ma´ximo relativo em (c, f(c)).
2. f ′(x) muda de negativo para positivo em x = c, enta˜o f
tem um mı´nimo relativo em (c, f(c)).
3. f ′(x) e´ positivo em ambos os lados de x = c, ou negativo
em ambos os lados de x = c, enta˜o f(c) na˜o e´ ma´ximo
relativo nem mı´nimo relativo, e´ um ponto sela.
Exemplo 9. Para calcularmos os extremos, se existirem, da func¸a˜o
f(x) = −3x5 + 5x3 comec¸amos por determinar os pontos cr´ıticos:
f ′(x) = −15x4+15x2 = 15x2(1−x2) = 0⇔ x = 0∨x = −1∨x = 1
Valor de x −∞ −1 0 1 +∞
f ′(x) − 0 + 0 + 0 −
f(x) ց min ր pt ր ma´x ց
rel sela rel
Enta˜o f(−1) = −2 e´ mı´nimo relativo, f(1) = 2 e´ ma´ximo relativo e
x = 0 e´ ponto sela.
15
2.3.6.2. Concavidade e a Segunda Derivada
Analisando o gra´fico de uma func¸a˜o facilmente constatamos os inter-
valos onde a sua concavidade e´ voltada para cima ou para baixo. No en-
tanto, se na˜o estivermos a visualizar o gra´fico da func¸a˜o para sabermos
as concavidades dos gra´ficos temos de fazer um teste anal´ıtico. Acon-
tece que podemos utilizar a segunda derivada da func¸a˜o para determi-
nar esses intervalos, precisamente como utilizamos a primeira derivada
da func¸a˜o para determinar os intervalos onde a func¸a˜o e´ crescente e
decrescente.
Teorema 7 Seja f uma func¸a˜o que admite segunda derivada
num intervalo aberto I.
1. f ′′(x) > 0, ∀x ∈ I ⇒ f tem concavidade voltada para
cima em I.
2. f ′′(x) < 0, ∀x ∈ I ⇒ f tem concavidade voltada para
baixo em I.
Para uma func¸a˜o f cont´ınua, podemos calcular os intervalos em que f
tem concavidade e´ voltada para cima ou para baixo.( Para uma func¸a˜o
descont´ınua, os intervalos de teste devem ser formados utilizando-se os
pontos de descontinuidade juntamente com os pontos em que f ′′(x) e´
zero ou na˜o e´ definida).
16
Exemplo 10. Para estudarmos a concavidade da func¸a˜o f(x) =
−3x5 + 5x3 comec¸amos por determinar os pontos onde a segunda
derivada se anula:
f ′′(x) = 0 ⇔ 30x(1− x2) + 15x2(−2x) = 0
⇔ −60x3 + 30x = 0
⇔ 30x(−2x2 + 1) = 0
⇔ x = 0 ∨ x = −
√
2
2
∨ x =
√
2
2
Valor de x −∞ −
√
2
2
0
√
2
2
+∞
f ′′(x) + 0 − 0 + 0 −
f(x)
⋃
pt
⋂
pt
⋃
pt
⋂
inf inf inf
Enta˜o, podemos afirmar que a func¸a˜o tem concavidade voltada para
baixo no intervalo (−
√
2
2
, 0) ∪ (
√
2
2
,+∞) e concavidade voltada para
cima no intervalo (−∞,−
√
2
2
) ∪ (0,
√
2
2
).
2.3.7. Indeterminac¸o˜es: Regra de Cauchy
Em secc¸o˜es anteriores estuda´mos limites como
lim
x→1
x2 − 1
x− 1 e limx→+∞
x2 − 1
x− 1
17
e um processo para calcular esses limites. Vamos agora aprender um
novo processo anal´ıtico para o ca´lculo de limites.
Regra de Cauchy: Seja (a, b) um intervalo que conte´m c. Sejam
f e g func¸o˜es dife- rencia´veis em (a, b), excepto possivelmente em c. Se
o limite de
f(x)
g(x)
quando x tende para c resulta na forma indeterminada
0
0
ou
∞
∞, enta˜o
lim
x→c
f(x)
g(x)
= lim
x→c
f ′(x)
g′(x)
desde que o limite da direita exista ou seja infinito.
A forma indeterminada
∞
∞ pode apresentar-se de quatro formas:
+∞
+∞,
+∞
−∞,
−∞
+∞ e
−∞
−∞.
A Regra de Cauchy pode aplicar-se sucessivamente.
Exemplo 11.
a) lim
x→+∞
ex
e2x + 1
∞
∞= lim
x→+∞
ex
2e2x
= lim
x→+∞
1
2ex
= 0
b) lim
x→−∞
x2
e−x
∞
∞= lim
x→−∞
2x
−e−x
∞
∞= lim
x→−∞
2
−e−x = 0
18
2.3.8. Exerc´ıcios
1. Considere a func¸a˜o real de varia´vel real definida por f(x) =
√
x.
(a) Mostre que lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
=
1
2f(x)
.
(b) Interprete o significado matema´tico do limite calculado na al´ınea anterior.
2. Na figuraesta˜o representadas treˆs func¸o˜es, a func¸a˜o f , f ′ e f ′′.
Fac¸a corresponder a cada uma das func¸o˜es o respectivo gra´fico.
3. De uma func¸a˜o f sabe-se que f ′(2) = 5.
(a) Qual e´ o significado geome´trico do valor 5, indicado como derivada da func¸a˜o no ponto
de abcissa x = 2.
(b) Determine o valor de lim
x→2
f(x)− f(2)
x2 − 4
4. Determine as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) f(t) = t7 + 8t4 − t
2
+ 1 (b) f(x) = (x2 − 1)x+ 2 (c) f(x) = ln(x)ex + 1
x
(d) f(s) = (2s2 − 3s+ 1)(9s− 1)4 (e) f(x) = 23x2 + x− ln√x (f) f(y) = y
2 − 1
y + 3
(g) f(x) = ln(x2 + 2x) + e
√
2+x (h) f(x) = log3(x+ e
x) + xe (i) f(u) = ln
(
eu
u
)
19
5. Seja g(x) =


ax+ 3b se x ≤ 2
x+ 4 se x > 2
, (a, b ∈ IR) uma func¸a˜o de domı´nio IR.
(a) Determine os valores de a e b de modo que a func¸a˜o f seja cont´ınua em IR.
(b) Comente a seguinte afirmac¸a˜o : “Existem valores a e b diferentes dos obtidos na al´ınea
anterior onde a func¸a˜o f e´ diferencia´vel em x = 2.”
6. Determine, caso existam, os pontos em que o gra´fico da func¸a˜o f(x) = x4 − 3x2 + 3 tem
recta tangente horizontal.
7. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) =
3x
2
+ 1− ex/2
(a) Estude os intervalos de monotonia e existeˆncia de extremos para a func¸a˜o f .
(b) Estude a concavidade e a existeˆncia de pontos de inflexa˜o para a func¸a˜o f .
(c) Mostre que a recta tangente ao gra´fico de f na origem e´ perpendicular a` recta dos
quadrantes pares e coincide com a recta dos quadrantes ı´mpares.
8. Considere a func¸a˜o f definida por
g(x) =


ln(x+ 1) se x > 0
x2 + 2x
2
se x ≤ 0
(a) Determine caso exista g′(0).
(b) Comente a seguinte afirmac¸a˜o: “A func¸a˜o g tem concavidade voltada para cima para
x < 0 e e´ mono´tona crescente para x > 0.”
(c) Determine a equac¸a˜o da recta tangente e da recta normal ao gra´fico de g em x = 1.
9. As func¸o˜es prec¸o de venda e custo de um produto admite respectivamente como modelos:
Pv(x) = 75− x e C(x) = 0.5x2 + 62x+ 125
onde x e´ o nu´mero de unidades produzidas.
(a) Estabelec¸a a func¸a˜o lucro para este produto.
(b) Determine o lucro marginal para a produc¸a˜o de 80 unidades.
(c) Que n´ıvel de produc¸a˜o proporcionara´ lucro ma´ximo?
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10. O custo anual (em milho˜es de euros) para um departamento do governo apreender p% de
uma droga ilegal e´
C(p) =
528p
100− p, 0 ≤ p < 100.
Determine a taxa de variac¸a˜o do custo quando p = 30%.
11. Um contabilista estimou que o custo de aquisic¸a˜o e armazenagem de x unidades de um
produto e´ dado por
C(x) = 3x+
432
x
, 0 < x < 200.
Determine o numero de unidades de modo que o custo seja mı´nimo.
12. Numa fa´brica, o custo total da produc¸a˜o mensal de q centenas de pec¸as, expresso em
milhares de euros, e´ dada por:
C(q) = q3 − 12q2 + 21q + 1000
(a) Determine o custo marginal, e calcule o seu valor para seis centenas de pec¸as.
(b) Estude a variac¸a˜o do custo total no intervalo ]0, 8[. Qual o nu´mero de pec¸as que
aconselha ao fabricante para que o custo total seja mı´nimo?
13. O custo com ma´quinas registadoras de um supermercado e´ func¸a˜o do nu´mero de ma´quinas
que esta˜o a operar num dado momento.
Sendo x o nu´mero de ma´quinas, o custo estimado C, em euros, e´ dado por C(x) =
10x+
1000
x
.
Quantas ma´quinas deveriam estar a operar de modo que o custo fosse mı´nimo?
14. O custo de inventa´rio depende dos custos de execuc¸a˜o da encomenda e da armazenagem,
e e´ dado por
C(x) =
(
Q
x
)
s+
(x
2
)
r,
onde Q e´ o nu´mero de unidades vendidas por ano, r e´ o custo da armazenagem de uma
unidade durante 1 ano, s e´ o custo da colocac¸a˜o de um pedido, e x e´ o nu´mero de unidades
no pedido. Determine o tamanho do pedido que minimize o custo quando Q = 10000,
s = 4, 5 e r = 5, 76.
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15. A venda anual S de um novo produto e´ dada por:
S(t) =
5t
8 + t2
, 0 ≤ t ≤ 3,
onde t e´ o tempo em anos.
Determine o instante exacto em que a venda anual estara´ a crescer com taxa ma´xima.
16. Um comerciante vende 2 000 unidades por meˆs ao prec¸o de 10 ε cada. Ele pode vender
mais 250 unidades por meˆs para cada 0.25 ε de reduc¸a˜o no prec¸o. que prec¸o unita´rio
maximizara´ a receita?
17. Se h(x) = f(g(x)) com f(2) = −4, g(2) = 2, f ′(2) = 3 e g′(2) = 5, calcule h′(2).
18. Mostre que
d
dx
(ln(1 + ex)) =
ex
1 + ex
, utilizando:
(a) O teorema da derivada da func¸a˜o composta.
(b) O teorema da derivada da func¸a˜o inversa.
19. Se s = 3r2− 2√r + 1 e r = t3 +1, utilize a regra da cadeia para determinar o valor de ds
dt
.
20. Seja f uma func¸a˜o real de varia´vel real tal que a equac¸a˜o da recta tangente ao gra´fico de
f no ponto de abcissa 1 e´ y = 2x. Sabendo que g(x) = f
(
ex
2+2x
)
, calcule g′(0).
21. Seja f uma func¸a˜o diferencia´vel em IR tal que f(2) = 1 e f(4) = −1.
Considere a func¸a˜o g(x) = xf(x), x ∈ IR.
(a) Prove que a func¸a˜o g(x) = 0 tem pelo menos uma raiz positiva.
(b) Prove que existe um β ∈]0, 2[ tal que a tangente ao gra´fico de g no ponto de abcissa
β e´ paralela a` recta y = x.
22. Calcule, caso exista, cada um dos seguintes limites:
(a) lim
x→0
4x − 3x
x
(b) lim
x→+∞
ex
x2
(c) lim
x→1
ex−1 − x
(x− 1)2
(d) lim
x→0
2
ex − 1 −
2
x
(e) lim
x→0+
x ln(x) (f) lim
x→−∞
4
x2
− 1
x+ 1
22
23. Considere a func¸a˜o f(x) = ex + ln(x)
(a) Determine o diferencial de f .
(b) Determine a variac¸a˜o da func¸a˜o f se x varia de 1 para 1,02.
(c) Calcule o valor aproximado de e1.1 + ln(1.1).
24. O lucro auferido com a venda de x unidades de um produto admite como modelo
P = 0.0002x3 + 10x.
Utilize o diferencial dP para aproximar a variac¸a˜o no lucro quando o n´ıvel de produc¸a˜o
aumenta de 50 para 51 unidades. Compare com o lucro efectivo decorrente do aumento
do n´ıvel de produc¸a˜o de 50 para 51 unidades.
25. Considere as func¸o˜es f(x) = ln(x) e g(x) =
1
1− x
(a) Calcule o diferencial de fog.
(b) Mostre, utilizando diferenciais que (fog)(0.1) ≃ 0.1
26. A venda mensal de cotas de um clube recem-inaugurado tem por modeloM(t) =
300t
t2 + 1
+8,
onde t e´ o nu´mero de meses decorridos desde a abertura do Clube. Sabendo que o Clube
abriu no inicio de Janeiro de 2005, determine:
(a) o meˆs do ano onde se venderam mais cotas.
(b) a variac¸a˜o das vendas de cotas na primeira semana de Junho.
27. O custo anual do controle de stock para um fabricante e´ C =
1008000
Q
+ 6, 3Q, onde Q e´
o vulto do pedido quando se repo˜e o stock. Determine a variac¸a˜o anual do custo quando
Q e´ aumentado de 350 para 351.
28. O custo (em euros) da produc¸a˜o de x unidades de um artigo e´ dado por C(x) = 3
√
x+500.
Determine, utilizando diferenciais o valor aproximado do custo da produc¸a˜o de 15 unidades
do artigo.
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29. Na figura seguinte esta´ representado o gra´fico de uma func¸a˜o r.v.r., y = f(x):
2
4
6
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4
y
x
y = f(x)
(a) Sem efectuar ca´lculos, justifique que f(x) na˜o e´ diferencia´vel no ponto de abcissa
x = −1.
(b) Seja h(x) = ex− 1, x ∈ IR. Determine a expressa˜o que define f(x), x ∈ IR, sabendo
que f(x) = h−1(x), x ≥ 2.
(c) Com base no gra´fico de f(x), indique a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o x · f(x) < 0.
(d) i. Sem efectuar ca´lculos, indique, justificando, qual o valor do declive da recta tan-
gente ao gra´fico de f quando x = 0.
ii. Prove que o ponto de abcissa x = 0 e´ o u´nico ponto do domı´nio de f onde o declive
da recta tangente ao gra´fico tem o valor apurado na al´ınea anterior.
(e) Mostre, na˜o efectuando ca´lculos, que a func¸a˜o
g(x) =


f(x) se x < −1
f(x)− 2 se −1 ≤ x < 2
f(x) se x ≥ 2
e´ cont´ınua em x = −1.
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