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Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4  é:
		
	 
	0
	
	4
	
	12
	
	1
	
	13
	
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 3  é um grupo ?
		
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	Considere as seguintes afirmações:
(I ) A operação  x⋆y=x+y2,  G = R sobre G é um grupo.
(II)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo.
(III)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4
Podemos concluir que
		
	
		A afirmação III é falsa
	
		A afirmação II  é verdadeira
	 
		A afirmação III é verdadeira
	
		As afirmações I e III são falsas
	
	A afirmação I é verdadeira
	
		
	 
	Não existe elemento neutro
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Existe elemento neutro e = 1
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x ⋆ y=x+y2   é um grupo ?
		
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	 
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Sim, pois existe elemento simétrico
	
	Sim, pois existe elemento neutro e = 1
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico.
		
	
	x-1 = 3 - x
	 
	x-1 = 6 - x
	
	x-1 = 3
	
	x-1 = 6 + x
	 
	x-1 = 3 + x
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência do elemento neutro.
		
	
	e = 1
	 
	e = -2
	 
	e = 2
	
	e = 0
	
	e = 3
	
		
	
	4
	 
	3
	
	12
	 
	1
	
	5
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
		
	
	e = 1
	
	e = -2
	 
	e = 3
	
	e = 4
	
	e = 6
	
	
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 4  é um grupo ?
		
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
		
	
	m < n
	
	m = k
	 
	m = n
	
	n = k
	
	m > n
	
	
	Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é:
		
	
	0
	 
	1
	 
	13
	
	4
	
	12
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência do elemento neutro.
		
	
	e = -2
	 
	e = 2
	
	e = 0
	
	e = 3
	
	e = 1
	
	Considere as seguintes afirmações:
(I ) A operação  x⋆y=x+y2,  G = R sobre G é um grupo.
(II)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo.
(III)  A  operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4
Podemos concluir que
		
	
		As afirmações I e III são falsas
	 
		A afirmação III é verdadeira
	
		A afirmação II  é verdadeira
	
		A afirmação III é falsa
	
	A afirmação I é verdadeira
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico.
		
	
	x-1 = 3 + x
	
	x-1 = 3 - x
	
	x-1 = 3
	 
	x-1 = 6 - x
	
	x-1 = 6 + x
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência de  elementos simétrizáveis.
		
	
	x-1 = 2 - x  
	
	x-1 = 4 + x
	
	x-1 = x + 1 
	
	x-1 = 1 - x
	 
	x-1 = 4 - x
	Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2
		
	
	5
	
	6
	 
	3
	
	4
	
	7
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
		
	 
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
		
	
	c
	
	e
	
	d
	 
	b
	
	a
	
Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
	De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
		
	
	2, 3 e 5
	 
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	2, 3, 4 e 5
	 
	1, 2 e 5
	
	1, 3 e 4
	Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8.
		
	
	4
	
	2
	 
	- 5/3
	 
	1
	
	3
	Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11.
 
		
	
	{(-14/13;119/39)}
	 
	{(1,4)}
	 
	{(0,6)}
	
	{(-3,7)}
	
	{(2,3)}
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
		
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	e = f4
	 
	Não existe elemento neutro.
	 
	e = f1
	
	e = f2
	
	e = f3
	
	
	Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
		
	 
	4
	
	48
	 
	6
	
	8
	
	5
	Considere o conjunto (Z8, +).  Marque a alternativa que indica a solução da equação  x + 5 = 3.
		
	
	0
	 
	6
	
	3
	
	2
	 
	-2
	
	
Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
	De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
		
	 
	1, 2 e 5
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	2, 3 e 5
	
	1, 3 e 4
	
	2, 3, 4 e 5
	Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8.
		
	
	4
	
	- 5/3
	 
	1
	
	3
	
	2
	
Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
	Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
 
 
		
	
	d
	
	a
	
	c
	
	e
	 
	b
A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
		
	
	x = d
 
	
	x = bx = f   
	
	x = a
 
	
	x = c
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
		
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	e = f2
	
	e = f4
	 
	e = f1
	
	e = f3
	
	Não existe elemento neutro.
	
	
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
		
	
	x = a
	 
	x = c
	
	x = d
	 
	x = f
	
	x = b
A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
		
	 
	x = f
	
	x = d
 
	 
	x = c  
	
	x = a
	
	x = b
	Considere o grupo (Z*7, .)  e  a = 5. Determine a2 .
		
	
	3
	 
	4
	
	1
	 
	25
	
	0
	Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição.
		
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	 
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H   e
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Então H é um subgrupo de G se é  satisfeita  a seguinte propriedade:   
 ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H.
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade:  Para todo h1,h2 ∈ H  temos  h1h2 ∈ H.
 
 
	
	Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se  é  satisfeita a seguinte propriedade:  ∀ h1,h2 ∈H, temos  h1h2 ∈H.  
	Considere as seguintes afirmações:
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z.   
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +).  
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +)  
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que
		
	
	As afirmações III e IV são falsas
	
	A afirmação I é verdadeira
	 
	As afirmações I e II são verdadeiras
	 
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	As afirmações I e III são falsas
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
		
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	Considere o grupo (Z6,+) e 2 um elemento de Z6. Determine a ordem do elemento 2.
		
	
	o(2) = 1
	
	o(2) = 2
	 
	o(2) = 3
	
	o(2) = 4
 
	
	o(2) = 5
	Considere o grupo (Z6 ,+)  e  a = 4. Determine a2 .
		
	 
	2
	
	8
	 
	16
	
	4
	
	1
	
		Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3}  subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais.
	
	
	
	 
	4
	
	
	2
	
	
	6
	
	 
	3
	
	
	1
		Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	
	
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	 
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	 
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
		
	
	
	
	
	1 + H
	
	 
	3 + H
	
	
	2 + H
	
	 
	H + H
	
	
	H
	
		
	
	
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
		Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
	
	
	
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	 
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	
	H é cíclico
		Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que:
	
	
	
	
	H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal.
	
	 
	H∩J é um subgrupo normal de G.
	
	 
	H∩J é um subgrupo cíclico de G.
	
	
	H∩J não é um subgrupo de G.
	
	
	H∩J é um subgrupo abeliano de G.
		Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	
	
	 
	{i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	 
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
		Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	
	 
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
		
	
	
	
	 
	(12342314)
	
	
	(12344213)
	
	
	(12341432)
	
	 
	(12343241)
	
	
	(12343124)
		
	
	
	
	
	N(f) = {2}.
	
	 
	N(f) = {0}
	
	 
	N(f)= {4}.
	
	
	N(f) = {3}
	
	
	N(f) = {1}.
	
		Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os  grupos S3 e Z6  não são isomorfos.
PORQUE
S3 não é abeliano e Z6 é abeliano.
	
	
	
	 
	As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
	
	
	Apenas a primeira afirmativa é verdadeira.
	
	 
	Apenas a segunda afirmativa é verdadeira.
	
	
	As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
	
	
	As duas afirmativas são falsas.
		
	
	
	
	 
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{matrix}\)
	
	
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\)
	
	 
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\)
	
	
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{matrix}\)
	
	
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4\end{matrix}\)
	
		
	
	
	
	
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\)
	
	 
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\)
	
	
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{matrix}\)
	
	 
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4\end{matrix}\)
	
	
	\( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{matrix}\)
		Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta.
 
(I)    Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+)  não são  isomorfos. 
(III)  Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+)   são isomorfos.                    
                  
	
	
	
	 
	II , apenas
	
	
	II e III , apenas
	
	
	I , apenas
	
	 
	I e II , apenas
	
	
	III , apenas
		Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	
	N(f) = {3}
	
	
	N(f) = {1}
	
	
	N(f) = {4}
	
	 
	N(f) = {0}
	
	
	N(f) = {2}
		
	
	
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 2 3 1
	
	 
	x é igual a  1 2 3 4
                  2 1 3 4
	
	
	x é igual a   1 2 3 4
                   1 4 3 2
	
	
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 3 1 2
	
	 
	x é igual a  1 2 3 4
                  4 1 3 2
	
		
	
	
	
	 
	(12343241)
	
	
	(12344213)
	
	
	(12342413)
	
	
	(12343124)
	
	
	(12341432)
	
		
	
	
	
	
	(12341432)
	
	
	(12344213)
	
	 
	(12343241)
	
	
	(12342413)
	
	
	(12343124)
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos.
 
	
	
	
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆).  Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	 
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	
	Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀ ∈ G1 onde  f é um homomorfismo de grupos.
	
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção.
	
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆).  se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀ ∈ G1  onde f é um homomorfismo de grupos.
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos.
	
	
	
	
	Dizemos que f é um homomorfismo de grupos  se, e somente se, 
 f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
	 
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2.  Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se,
f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
	 
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆)  e uma aplicação f: G1 →G2.  Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1
	
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆)  . Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆)   se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
	
	Sejam  dois grupos (G1,*) e (G2,∆),  e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se,
f(x*y) = f(x)*f(y), ∀ x,y ∈G1.
	
		
	
	
	
	 
	(12344213)
	
	
	(12342413)
	
	
	(12343124)
	
	 
	(12343241)
	
	
	(12341432)
	
		
	
	
	
	 
	(12343124)
	
	
	(12343241)
	
	
	(12344213)
	
	 
	(12342413)
	
	
	(12341432)
	
		Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	
	N(f) = {2}
	
	 
	N(f) = {0}
	
	
	N(f) = {3}
	
	
	N(f) = {1}
	
	
	N(f) = {4}
	
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de monomorfismo de G.
	
	 
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo.
 
	
	
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de homomorfismo de G.
	
	 
	Quando G1 = G2 = G  e  f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de automorfismo de G.
	
	
	Quando G1 = G2 = G  e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de epimorfismo de G.

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