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Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4 é: 0 4 12 1 13 O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. Não, pois não existe elemento neutro. Não, pois não existe elemento simétrico. Considere as seguintes afirmações: (I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. (II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo. (III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4 Podemos concluir que A afirmação III é falsa A afirmação II é verdadeira A afirmação III é verdadeira As afirmações I e III são falsas A afirmação I é verdadeira Não existe elemento neutro Existe elemento neutro e = 2 Existe elemento neutro e = 1 Existe elemento neutro e = 0 Existe elemento neutro e = -1 O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. Sim, pois existe elemento simétrico Sim, pois existe elemento neutro e = 1 O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico. x-1 = 3 - x x-1 = 6 - x x-1 = 3 x-1 = 6 + x x-1 = 3 + x Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y - 2 Verifique a existência do elemento neutro. e = 1 e = -2 e = 2 e = 0 e = 3 4 3 12 1 5 O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro. e = 1 e = -2 e = 3 e = 4 e = 6 O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo. Não, pois não existe elemento simétrico. Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. Não, pois não existe elemento neutro. Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. m < n m = k m = n n = k m > n Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 15 * (-2) é: 0 1 13 4 12 Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y - 2 Verifique a existência do elemento neutro. e = -2 e = 2 e = 0 e = 3 e = 1 Considere as seguintes afirmações: (I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. (II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo. (III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4 Podemos concluir que As afirmações I e III são falsas A afirmação III é verdadeira A afirmação II é verdadeira A afirmação III é falsa A afirmação I é verdadeira O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico. x-1 = 3 + x x-1 = 3 - x x-1 = 3 x-1 = 6 - x x-1 = 6 + x Considere em Z a operação * definida por: * : Z x Z → Z (x,y) → x*y = x + y - 2 Verifique a existência de elementos simétrizáveis. x-1 = 2 - x x-1 = 4 + x x-1 = x + 1 x-1 = 1 - x x-1 = 4 - x Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2 5 6 3 4 7 Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações: (I) e * x = x = x * e, para todo x. (II) a * x = a = x * a, para todo x. (III) x * x = e, para todo x diferente de a. (IV) b * d = c; (V) b, c, d são regulares. Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. c e d b a Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 2, 3 e 5 1, 2 ,3, 4 e 5 2, 3, 4 e 5 1, 2 e 5 1, 3 e 4 Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 4 2 - 5/3 1 3 Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. {(-14/13;119/39)} {(1,4)} {(0,6)} {(-3,7)} {(2,3)} Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. e = f4 Não existe elemento neutro. e = f1 e = f2 e = f3 Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 4 48 6 8 5 Considere o conjunto (Z8, +). Marque a alternativa que indica a solução da equação x + 5 = 3. 0 6 3 2 -2 Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 1, 2 e 5 1, 2 ,3, 4 e 5 2, 3 e 5 1, 3 e 4 2, 3, 4 e 5 Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 4 - 5/3 1 3 2 Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações: (I) e * x = x = x * e, para todo x. (II) a * x = a = x * a, para todo x. (III) x * x = e, para todo x diferente de a. (IV) b * d = c; (V) b, c, d são regulares. Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. d a c e b A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G. x = d x = bx = f x = a x = c Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. e = f2 e = f4 e = f1 e = f3 Não existe elemento neutro. A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G. x = a x = c x = d x = f x = b A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G. x = f x = d x = c x = a x = b Considere o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2 . 3 4 1 25 0 Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente essa proposição. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade: Para todo h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes propriedades: ∀ h1,h2 ∈H, temos h1h2 ∈H e ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H. Então H é um subgrupo de G se é satisfeita a seguinte propriedade: ∀ h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte propriedade: Para todo h1,h2 ∈ H temos h1h2 ∈ H. Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se é satisfeita a seguinte propriedade: ∀ h1,h2 ∈H, temos h1h2 ∈H. Considere as seguintes afirmações: (I) 3Z é subgrupo de 6Z. (II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +). (III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +) (IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) Podemos concluir que As afirmações III e IV são falsas A afirmação I é verdadeira As afirmações I e II são verdadeiras As afirmações II e III são verdadeiras As afirmações I e III são falsas Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈3Z Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z. Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z. Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). Considere o grupo (Z6,+) e 2 um elemento de Z6. Determine a ordem do elemento 2. o(2) = 1 o(2) = 2 o(2) = 3 o(2) = 4 o(2) = 5 Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4. Determine a2 . 2 8 16 4 1 Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). Determine o número de classes laterais. 4 2 6 3 1 Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G. G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 1 + H 3 + H 2 + H H + H H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: Grupos finitos não têm subgrupos. A ordem de H divide a ordem de G. A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. A ordem de G divide a ordem de H. H é cíclico Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. H∩J é um subgrupo normal de G. H∩J é um subgrupo cíclico de G. H∩J não é um subgrupo de G. H∩J é um subgrupo abeliano de G. Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica as classes laterais G. {i, - i} {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} {1, -1} , {i, - i} {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} Considere o Teorema de Lagrange: Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). (12342314) (12344213) (12341432) (12343241) (12343124) N(f) = {2}. N(f) = {0} N(f)= {4}. N(f) = {3} N(f) = {1}. Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os grupos S3 e Z6 não são isomorfos. PORQUE S3 não é abeliano e Z6 é abeliano. As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. Apenas a primeira afirmativa é verdadeira. Apenas a segunda afirmativa é verdadeira. As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira. As duas afirmativas são falsas. \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 3\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 2 & 4 & 1\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 4\end{matrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3\end{matrix}\) Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta. (I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. (II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. (III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. II , apenas II e III , apenas I , apenas I e II , apenas III , apenas Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f. N(f) = {3} N(f) = {1} N(f) = {4} N(f) = {0} N(f) = {2} x é igual a 1 2 3 4 4 2 3 1 x é igual a 1 2 3 4 2 1 3 4 x é igual a 1 2 3 4 1 4 3 2 x é igual a 1 2 3 4 4 3 1 2 x é igual a 1 2 3 4 4 1 3 2 (12343241) (12344213) (12342413) (12343124) (12341432) (12341432) (12344213) (12343241) (12342413) (12343124) Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos. Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f é uma bijeção e f(x*y) = f(x)*f(y) ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção e f(x*y) = f(x)∆f(y) ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e somente se, f é uma bijeção e f(x*y) = f(x)*f(y) ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção. Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆). se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y) ∀ ∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) . Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀ x,y ∈G1. Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆), e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)*f(y), ∀ x,y ∈G1. (12344213) (12342413) (12343124) (12343241) (12341432) (12343124) (12343241) (12344213) (12342413) (12341432) Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f. N(f) = {2} N(f) = {0} N(f) = {3} N(f) = {1} N(f) = {4} Marque a alternativa correta. Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de monomorfismo de G. Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo. Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de homomorfismo de G. Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de automorfismo de G. Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de epimorfismo de G.
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