Mecanica Aplicada 1

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Universidade Politécnica A`Politécnica – Escola Superior de Gestão e 
Ciências Tecnológicas - ESGCT– Curso de Engenharia Civil 
 
Aula 2 : Folhas do Docente da Disciplina de Mecânica Aplicada I. Semestre 2018 – 1 
 
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AULA 2 
SUMÁRIO: 
II . ESTÁTICA: 
 II.1.Princípios fundamentais; Leis de Newton; Trigonometria. 
 II.2. Grandezas Escalares e Grandezas Vectoriais; Forças Resultantes 
e Componentes de uma força. 
 Exercícios de Fixação e Exercícios propostos. 
 
 
II.1. Princípios Fundamentais 
As condições de repouso ou de movimento de partículas e de corpos rígidos, obedecem 
aos seguintes quatro conceitos: 
Espaço: necessário para a definição das coordenadas de um ponto. 
Tempo: necessário para definir o evento. 
Massa: caracterizar e comparar os corpos. 
Força: representa a acção de um corpo sobre o outro. 
Definições 
Partícula: quantidade muito pequena de material que se supõe ocupar um único ponto 
no espaço. 
Corpo rígido: combinação de um grande número de partículas ocupando posições fixas 
umas em relação as outras. 
Leis de Newton 
Primeira Lei de Newton: Se a resultante das forças que actuam sobre um corpo for 
nula, então, o corpo permanecera em repouso (se estiver inicialmente em repouso) ou 
mover se a com uma velocidade constante em linha recta (se estiver inicialmente em 
movimento). 
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Segunda Lei de Newton: Se a resultante que actua sobre um ponto material não e zero, 
então esse ponto material tem uma aceleração proporcional a intensidade da 
resultante, na mesma direcção e sentido: 
 F = m . a 
Terceira lei de Newton: as forças de acção e reacção entre dois corpos em contacto 
têm a mesma intensidade mas direcção e sentidos opostos. 
Trigonometria 
Antes de introduzirmos o estudo de grandezas vectoriais, é importante recordarmo-nos 
de algumas leis importantes da trigonometria que sem o conhecimento das quais não 
conseguiremos executar operações com vectores. Observemos o seguinte: 
 O Circulo e Funções Trigonométricas
D C
 B senα = FE Secα = OB
 F cosα = OE Cosecα= OC
tgα = AB
 O α A cotgα = DC
 E
B γ
 B A
α β
C A C
Nota Importante: O raio do círculo ( segmentos AO = OF = OD ) 
trigonométrico é igual a uma Unidade.
Fig 1
Fig 2 Fig 3
 
Para um Triângulo Rectângulo (Fig. 2): 
Dos três lados que compõem este triângulo o maior deles se chama Hipotenusa, neste 
caso o lado CB, enquanto os restantes dois se designam de Catetos. 
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Teorema de Pitágoras: O quadrado da Hipotenusa é igual a soma do quadrado dos 
catetos. 
CB2 = CA2 + AB2 
Num triângulo rectângulo, o seno de um ângulo é igual ao comprimento do cateto 
oposto dividido pelo comprimento da Hipotenusa. 
Sen (C) = AB : CB .:. Sen (B) = CA : CB 
 
O Co-seno de um ângulo é igual ao comprimento do cateto adjacente dividido pelo 
comprimento da hipotenusa: 
Cos (C) = CA : CB .:. cos (B) = AB : CB 
A tangente de qualquer dos dois ângulos agudos, é seno do ângulo sobre a co-seno 
desse mesmo ângulo: 
tg (C) = Sen (C) : Cos (C) 
A co-tangente de um ângulo é inverso da tangente desse mesmo ângulo: 
Ctg(C) = Cos (C) : Sen (C) 
Para um triangulo qualquer (Fig. 3) 
Lei dos Senos: dado um triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ. A lei dos senos 
é definida da seguinte forma: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são 
proporcionais aos senos dos lados opostos”: 
 
A : Senα = B : Senβ = C : Senγ 
 
Lei dos Co-senos: A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a 
lei dos co-senos é definida do seguinte modo: “Num triângulo, o quadrado da medida 
de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro 
do produto das medidas desses dois lados pelo co-seno do ângulo oposto ao primeiro 
lado”: 
 
C2 = A2 + B2 - 2. A . B . Cos(γ) 
 
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II.2. GRANDEZAS ESCALARES E VECTORIAIS 
Grandezas Escalares: 
Grandezas escalares são caracterizadas por um número real. Como exemplo de 
escalares podem se citar: o tempo, a massa, o volume, o comprimento, etc. 
 
 
Grandezas Vectoriais: 
Grandezas vectoriais são caracterizadas pela dependência de três elementos 
fundamentais, ou seja, representa um ente matemático que possui intensidade, 
direcção e sentido. 
 
Em problemas de estática é muito comum a utilização de grandezas vectoriais como 
posição, força e momento. 
 
A posição de um ponto no espaço em relação a outro ponto caracteriza uma grandeza 
vectorial. Para descrever por exemplo a posição de uma cidade de Xai-xai em relação à 
cidade de Maputo, não é suficiente dizer que ambas estão separadas por uma distância 
de 200 km. Para se caracterizar um vector, deve-se dizer por exemplo, que a cidade 
Xai-xai se encontra 200 km a norte da cidade Maputo. 
 
A força também é caracterizada como uma grandeza vectorial, pois quando se empurra 
uma peça de móvel através do chão aplica-se na mesma uma força com intensidade 
suficiente para mover o móvel e com a direcção desejada para o movimento. 
 
 
Representação de Grandezas Vectoriais 
 
Uma grandeza vectorial pode ser representada graficamente por uma seta, que é 
utilizada para definir seu módulo, sua direcção e o seu sentido. 
 
 
Fig 4 : O sentido da força F é indicado pela seta (vector) 
 
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Graficamente o módulo de um vector é representado pelo comprimento da seta, a 
direcção é definida através do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de 
acção da seta e o sentido é indicado pela extremidade da seta. 
 
A figura abaixo mostra a representação gráfica de dois vectores força actuando ao 
longo dos cabos de fixação de um poste, o ponto O é chamado de origem do vector e o 
ponto P representa sua extremidade ou ponta. 
 
 
 
 
Solução escalar 
 
Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e subtracção 
vectorial, bem como a determinação das componentes de um vector podem ser 
resolvidos a partir das leis dos senos e dos co-senos, que representam propriedades 
fundamentais da trigonometria. 
 
 
 
Soma de Vectores – Regra do paralelogramo 
 
O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vectorial com a aplicação 
da regra do paralelogramo, Segundo a Figura a seguir. Duas Forcas V1 e V2 estão 
orientadas conforme a).As duas forças são unidas num ponto de origem, que é o ponto 
“O”, segundo a b).Pela regra do paralelogramo obtivemos a resultante R. O vector R 
representa a soma dos Vectores V1 e V2 e pode ser calculado com base nas leis da 
Trigonometria.
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 V1 V1
V1 A A
o o o
 B
 V2 V2 B V2
V2
a) b) c) d)
R R
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
Exercício 1: 
O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. 
Determine o módulo e a direcção da força resultante. 
 
Resolução: 
Construiremos um esquema aplicando a regra do paralelogramo de forma a identificar 
quais são as incógnitas: 
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Aplicando-se a lei dos co-senos, determina-se o módulo da força resultante FR. 
 
FR =√( F1
2 + F2
2 – 2 . F1 . F2 . Cos 70°) 
FR =√( 200
2 + 3002
2 – 2 . 200 . 300 . Cos 70°) 
FR = 298.25 N 
 
 
 
Exercício 2: 
 
Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas nos 
seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30kN, encontre suas 
componentes nas direcções AC e BC. 
(ângulo a direita é de 30° e a esquerda é de 40) 
 
 
 
A partir da regra do paralelogramo,deve-se construir um triângulo de vectores 
envolvendo as forças actuantes nos cabos CA e CB e a força resultante, de forma a 
identificar as incógnitas do problema. 
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A partir da aplicação da lei dos senos, pode-se determinar os módulos das forças 
actuantes em cada um dos cabos CA ou CB da seguinte forma: 
 
FR : Sen110° = FCB : Sen30° = FCA : Sen40° 
 Resolvendo em função de FCB encontramos: 
 
FCB = FR . Sen30°:Sen110° 
de Onde FCB = 30 . Sen30° : Sen110° 
FCB = 15.96 KN 
 
Por analogia calculamos FCA = 20.52 KN 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1 Determine a intensidade da força resultante e indique sua direcção, medida no 
sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo. 
 
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2 Determine a intensidade da força resultante e indique sua direcção, medida no 
sentido anti-horário, em relação ao eixo u positivo. 
 
 
 
 
3 A chapa está submetida a duas forças FA e FB como mostra a figura. Se = 60º, 
determine a intensidade da força resultante e sua intensidade em relação ao eixo 
horizontal 
 
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4 Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o 
ângulo θ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada 
verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N. 
 
 
5 A camionete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores de FA e FB 
de modo a produzir uma força resultante de 950N orientada no eixo x positivo, 
considere θ = 50º. 
 
 
 
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6 O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. 
Determine o módulo e a direcção da força resultante. 
 
7 A tora de madeira é rebocada pelos dois tractores mostrados, sabendo-se que a 
força resultante é igual a 10kN e está orientada ao longo do eixo x positivo, determine 
a intensidade das forças FA e FB. Considere θ = 15º.