Caderno de Modelagem e Análise de Sistemas Dinâmicos

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MODELAGEM   E   ANÁLISE   DE   SISTEMAS   DINÂMICOS   ­   CCE0267 
 
Professor:   Rodrigo   Brandolt   Sodré   de   Macedo 
Email:    sodredemacedo@gmail.com 
 
 
Tópicos: 
 
­ AV1 
­ Diagrama   de   blocos   (redução   de   diagrama   de   blocos) 
­ Função   de   transferência 
­ Gráfico   de   Bode 
­ Pólos   e   zeros 
­ Classificação   de   sistemas 
 
­ AV2: 
­ Equações   de   espaços   de   estado 
­ Diagramas   de   fluxo   e   regra   de   Mason 
­ Modelagem   em   frequência 
­ Modelagem   temporal 
 
Bibliografia: 
 
1)   Engenharia   de   Sistemas   de   Controle.   LTC,   Norman   S.   Nise. 
2)   Sistemas   de   Controle   Moderno.   Richard   Dorf. 
3)   Engenharia   de   Controle   Moderno,   K.   Ogata,   Prentice­Hall. 
4)   Sistemas   de   Retroação   e   Controle.   Coleção   Schaum   Mc­Hill. 
 
Provas: 
 
● AV1:   19/10/2016 
● AV2:   07/12/2016 
● AV3:   21/12/2016 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  1   de   66 
 
24/08/2016 
 
1) Sistema   de   controle 
 
● Controle a malha aberta. Sistemas em que a grandeza saída não produz efeitos                         
sobre   a   grandeza    excitação . 
○ Vantagens: 
■ Não   apresenta   problema   de   estabilidade. 
○ Exemplo:   Ferro   de   passar   roupa. 
 
 
 
 
● Controle a malha fechada. Sistemas em que a grandeza saída produz efeitos                       
sobre a grandeza excitação . Diferentemente do controle a malha aberta, no                     
controle a malha fechada existe a presença de retroação (realimentação) ou                     
feedback . 
○ Vantagens: 
■ Torna   a   resposta   relativamente   insensível   a   distúrbios   externos. 
■ Possibilita o emprego de componentes mais baratos e menos                 
precisos   para   se   obter   o   controle   desejado. 
 
 
 
 
 
2) Diagramas de blocos: Representam graficamente as funções de transferência de                   
sistemas dinâmicos. Permitem compor funções de transferência complexas a partir                   
do   agrupamento   de   outros   diagramas   mais   simples. 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  2   de   66 
 
 
Função   de   transferência:   Relação   entre   o   sinal   de   saída   e   o   sinal   de   entrada. 
 
 
a) Simplificação   de   blocos   em   Série: 
 
 
Equivale   a: 
 
 
 
 
b) Simplificação   de   blocos   em   paralelo: 
 
 
Equivale   a: 
 
 
 
 
c) Simplificação   de   blocos   com   retroação: 
 
 
Equivale   a: 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  3   de   66 
 
 
 
 
d) Elementos   de   um   diagrama   de   blocos: 
 
 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  4   de   66 
 
31/08/2016 
 
Exercícios)   Simplifique   os   seguintes   diagramas   de   blocos: 
 
a) 
 
 
 
Solução   que   eu   faço   (o   professor   faz   de   outra   forma): 
 
 
 
A:   R   ­   C 
D:   C   *   H 2 
E:   C   /   G 3 
F:   C   /   (G 2 G 3 ) 
G:   E   *   H 1    =   C*H 1    /   G 3 
B:   A   +   G   =   (R   ­   C)   +   (C*H 1    /   G 3 ) 
C:   G 1    *   B   =   G 1    *   ((R   ­   C)   +   (C*H 1    /   G 3 )) 
F   =   C   ­   D   ⇨   C   /   (G 2 G 3 )   =   G 1    *   ((R   ­   C)   +   (C*H 1    /   G 3 ))   ­   (C   *   H 2 ) 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  5   de   66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eu desenvolvi devagarinho, passo a passo... mas na hora de fazer, coloco os                         
valores já sobre a figura e vou desenvolvendo. Desta forma, eu não tenho de ficar                             
desenhando   a   figura   a   cada   passo. 
 
Até   tentei   fazer   pelo   método   do   professor,   mas   eu   sempre   me   enrolava! 
 
No   youtube   tem   uns   vídeos   ensinando   o   método   que   ele   usa. 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  6   de   66 
 
b) 
 
 
 
 
Minha   solução: 
 
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  7   de   66 
 
c) 
 
 
   
 
Minha   solução: 
 
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  8   de   66 
 
 
Solução que eu faço (o professor faz de outra forma): Esse já tem uma pequena                             
complicação. Como está na solução, terei de chamar um ponto de “x” e irei                           
desenvolvendo   como   anteriormente   feito. 
 
 
 
 
 
Substituindo   o   valor   de   x   e   manipulando   a   equação: 
 
 
 
Substituindo   os   valores   de   G 1 ,   H 1    e   H 2 : 
 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  9   de   66 
 
e) 
 
 
Sendo: 
 
 
H 1    =   3 H 2    =   1 
 
Resposta: 
 
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  10   de   66 
 
f) 
 
 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  11   de   66 
 
14/09/2016 
 
 
Diagrama   de   Bode 
 
São   ferramentas   visuais   para   o   estudo   em   amplitude   e   em   fase. 
 
Seja   G(s)   a   função   de   transferência   definida   a   seguir: 
 
● s zi :   são   chamados   de   zeros   (valores   de   s   que   anulam   o   numerador) 
● s pi :   são   chamados   de   polos   (valores   de   s   que   anulam   o   denominador) 
 
Para aproveitar a propriedade do produto (log|AB| = log|A| + log|B|), vamos aplicar                         
log|G(s)|. 
 
Antes,   vamos   arrumar: 
 
onde 
 
O decibel (dB) é uma unidade logarítmica que indica a proporção de uma                         
quantidade   física   em   relação   a   um    nível   de   referência    especificado   ou   implícito. 
 
dB : d é a abreviação do prefixo deci e B é o símbolo da unidade bel (homenagem                                 
a   Alexander   Graham   Bell). 
 
Por definição, uma quantidade Q em dB é igual a 10 vezes o logaritmo decimal da                               
relação de duas potências, ou seja: Q(dB) = 10 log (P1/P2). Como a potência é                             
proporcional   ao   quadrado   da   tensão   dividida   pela   resistência   do   circuito,   temos: 
 
Q   (dB)   =   20   log   |V1/V2|   +   10   log   (R2/R1) 
 
Se   R1   =   R2:    Q(dB)   =   20   log   |V1/V2| 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  12   de   66 
 
Para   o   diagrama   de   Bode   em   amplitude,   aplicamos   20   log|G(s)|: 
 
 
 
Temos   os   seguintes   termos 
 
1) log |K|: uma constante. Com isso, no gráfico de 20 log|G(s)| vs ω (rad/s), temos                             
termos    da   forma: 
 
 
 
 
2) Termos   da   forma: 
 
Quando   (s   <<   a)   aproximamos: 
 
Quando   (s   >>   a)   aproximamos: 
 
Com   isso,   no   gráfico   de   20   log|G(s)|    vs    ω   (rad/s),   temos    termos    da   forma: 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  13   de   66 
 
 
 
 
3) Termos   da   forma: 
 
No   gráfico   de   20   log|G(s)|    vs    ω   (rad/s),   temos    termos    da   forma: 
 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  14   de   66 
 
Exemplos: 
 
1) 
 
 
Aplicando   a   fórmula   de   decibéis   para   a   função   G(s),   temos: 
 
20   log|G(s)|   =   |G(s)| dB 
 
|G(s)| dB    =   20   log|10|   +   20   log|(s/10)+1|   +   20   log|(s/100)+1|   ­   20   log|s²|   ­   20   log|(s/1000)+1| 
 
● 20   log   |10|   =   20. 
 
● 20   log|(s/10)   +1|: 
 
○ Para   s   <   10: 
■ 20   log   |(s/10)   +1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   10: 
■ 20   log   |(s/10)   +1|   ≈   +   20   dB   /   década. 
 
● 20   log   |(s/100)   +1|: 
 
○ Para   s   <   100: 
■ 20   log   |(s/100)   +1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   100: 
■ 20   log   |(s/100)   +1|   ≈   +   20   dB   /   década. 
 
● ­   20   log|s²|   =   ­   40   log   |s|: 
 
○ ­   40   dB   /   década   ∀   s. 
○ ­   40   log   |s|   =   0   para   s   =   1. 
 
● ­   20   log   |(s/1000)   +1|: 
 
○ Para   s   <   1000: 
■ ­20   log   |(s/1000)   +1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   1000: 
■ ­20   log   |(s/1000)   +1|   ≈   ­   20   dB   /   década. 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  15   de   66 
 
De   posse   de   todos   estes   termos,   passo   a   somar   a   contribuição   de   cada   um   deles 
para   finalmente   obter   o   gráfico   aproximado   da   função   20   log   |G(s)|: 
 
 
  0,1  1  10  100  1k  10k 
20   log   |10|  20  20  20  20  20  20 
20   log   |(s/10)   +1|  0  0  0  20  40  60 
20   log   |(s/100)   +1|  0  0  0  0  20  40 
­40   log   |s|  40  0  ­40  ­80  ­120  ­160 
­   20   log   |(s/1000)   +1|  0  0  0  0  0  ­20 
Σ  60  20  ­20  ­40  ­40  ­60 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  16   de   66 
 
2) 
 
 
Arrumando   G(s): 
 
 
Aplicando   a   fórmula   de   decibéis   para   a   função   G(s),   temos: 
 
20   log|G(s)|   =   |G(s)| dB 
 
|G(s)| dB    =   20   log|5x10⁶|   +   20   log|(s/10)+1|   +   20   log|((s/1000)+1)²|   ­   20   log|s|   ­   20 
log|(s/100)+1| 
 
● 20   log|5x10⁶|   =   20   log|5|   +   120   log|10|   ≈   134. 
 
● 20   log   |(s/10)   +1|: 
 
○ Para   s   <   10: 
■ 20   log   |(s/10)   +1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   10: 
■ 20   log   |(s/10)   +1|   ≈   +   20   dB   /   década. 
 
● 20   log|((s/1000)+1)²|   =   40   log|(s/1000)+1| 
○ Para   s   <   1000: 
■ 40   log   |(s/1000)   +1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   1000: 
■ 40   log   |(s/1000)   +1|   ≈   +   40   dB   /   década. 
 
● ­   20   log|s| 
 
○ ­   20   dB   /   década   ∀   s. 
○ Para   s   =   1:   ­   20   log   |s|   =   0. 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  17   de   66 
 
 
● ­   20   log   |(s/100)   +1|: 
 
○ Para   s   <   100: 
■ ­20   log   |(s/100)   +1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   100: 
■ ­20   log   |(s/100)   +1|   ≈   ­   20   dB   /   década. 
 
De   posse   de   todos   estes   termos,   passo   a   somar   a   contribuição   de   cada   um   deles 
para   finalmente   obter   o   gráfico   aproximado   da   função   20   log   |G(s)|: 
 
  0,1  1  10  100  1k  10k 
20   log|5x10⁶|  134  134  134  134  134  134 
20   log   |(s/10)   +1|  0  0  0  20  40  60 
40   log|(s/1000)+1|  0  0  0  0  0  40 
­   20   log|s|  20  0  ­20  ­40  ­60  ­80 
­   20   log   |(s/100)   +1|  0  0  0  0  ­20  ­40 
Σ  154  134  114  114  94  114 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  18   de   66 
 
3) 
 
 
 
Arrumando   G(s): 
 
 
Aplicando   a   fórmula   de   decibéis   para   a   função   G(s),   temos: 
 
20   log|G(s)|   =   |G(s)| dB 
 
|G(s)| dB    =   20   log|15|   +   20   log|s+1|   +   20   log|s/10   +1|   ­   20   log|(s/20)   +   1| 
 
● 20   log|15|   ≈   23,52. 
 
● 20   log   |s   +1|: 
 
○ Para   s   <   1: 
■ 20   log   |s   +   1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   1: 
■ 20   log   |s   +   1|   ≈   +   20   dB   /   década. 
 
● 20   log|(s/10)+1| 
○ Para   s   <   10: 
■ 20   log   |(s/10)   +   1|   ≈   0. 
 
○ Para   s   >   10: 
■ 20   log   |(s/10)   +1|   ≈   +   20   dB   /   década   ≡   +   6   dB   /   oitava. 
 
● ­   20   log|(s/20)   +   1| 
○ Para   s   <   20: 
■ ­   20   log|(s/20)   +   1|   =   0 
○ Para   s   >   20: 
■ ­   20   log|(s/20)   +   1|   ≈   ­   20   dB   /   década   ≡   ­   6   dB   /   oitava. 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  19   de   66 
 
 
Observação:   20   dB/década   equivale   a   6   db/oitava. 
 
O   motivo: 
 
● 20log|10x|   =   20log|10|   +   20log|x|   =   20   +   20log|x|   ⇒   20   db   em   uma   década 
 
● 20log|2x|   =   20log|2|   +   20log|x|   ≈   6   +   20log|x|   ⇒   6   db   em   uma   oitava 
 
 
 
De   posse   de   todos   estes   termos,   passo   a   somar   a   contribuição   de   cada   um   deles   para 
finalmente   obter   o   gráfico   aproximado   da   função   20   log   |G(s)|: 
 
  0,1  1  10  20  100  200 
20   log|15|  23,52  23,52  23,52  23,52  23,52  23,52 
20   log   |s   +1|  0  0  20  26  40  46 
20   log|(s/10)+1|  0  0  0  6  20  26 
­   20   log|(s/20)   +   1|  0  0  0  0  ­14  ­20 
Σ  23,52  23,52  43,52  55,52  69,52  75,52 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  20   de   66 
 
21/09/2016 
 
Diagrama   de   Bode   ­   Fase 
 
Seja   G(s)   a   função   de   transferência   definida   a   seguir: 
 
 
 
Se   transformarmos   cada   um   dos   termos   de   G(s)   na   forma   e jω ,   teremos   condições 
de   encontrar   o   diagrama   de   fase   apenas   somando   a   contribuição   de   cada   um   dos   termos 
de   G(s). 
 
Novamente, temos três tipos de termos distintos. Agora estamos interessados em                     
analisar   a   contribuição   de   cada   termo   no   ângulo   de   fase   da   função   de   transferência   G(s). 
 
1) k:   uma   constante.   Temos   duas   hipóteses: 
● k   >   0:   k   =   |k|.e j0 .   Ângulo   de   fase   0°. 
● k   <   0:   k   =   |k|.e jπ    Ângulo   de   fase   ­180°. 
 
k   >   0 
 
 
 
 
 
k   <   0 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  21   de   66 
 
 
2) Termos   da   forma   (s   +   a).   Como   s   =   jω,   o   ângulo   deste   termo   é: 
 
an⁻¹ (ω / a)  t  
 
Quando   (ω   <<   a)   aproximamos:    an⁻¹ (ω / a)  0°  t =    
 
Quando   (ω   =   a),   temos:    an⁻¹ (ω / a)  45°  t =    
 
Quando   (ω   >>   a)   aproximamos:    an⁻¹ (ω / a)  90°  t =    
 
 
 
3) Termos   da   forma   (s).   Como   s   =   jω,   o   ângulo   deste   termo   é   90°. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
● arctan(0j   /   50)   =   0° 
 
● arctan(jω   /   10): 
○ Para   ω   <   1: 
■ arctan(jω   /   10)   ≈   0° 
○ Para   ω   =   10: 
■ arctan(jω   /   10)   =   45° 
○ Para   ω   >   100: 
■ arctan(jω   /   10)   ≈   90° 
 
● arctan(jω   /   1000): 
○ Para   ω   <   100: 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  22   de   66 
 
■ arctan(jω   /   1000)   ≈   0° 
○ Para   ω   =   1000: 
■ arctan(jω   /   1000)   =   45° 
○ Para   ω   >   10000: 
■ arctan(jω   /   1000)   ≈   90° 
 
● ­   arctan(jω)   =   ­90° 
 
● ­   arctan(jω   /   100): 
○ Para   ω   <   10: 
■ arctan(jω   /   100)   ≈   0° 
○ Para   ω   =   100: 
■ arctan(jω   /   100)   =   ­45° 
○ Para   ω   >   1000: 
■ arctan(jω   /   100)   ≈   ­90° 
 
De posse de todos estes termos, passo a somar a contribuição de cada um deles                             
para   finalmente   obter   o   gráfico   aproximado   da   função   20   log   |G(s)|: 
 
  0,1  1  10  100  1.000  10.000 
arctan(0j   /   50)  0°  0°  0°  0°  0°  0° 
arctan(jω   /   10)  0°  0°  45°  90°  90°  90° 
arctan(jω   /   1000)  0°  0°  0°  0°  45°  90° 
­   arctan(jω)  ­90°  ­90°  ­90°  ­90°  ­90°  ­90° 
­   arctan(jω   /   100)  0°  0°  0°  ­45°  ­90°  ­90° 
Σ  ­90°  ­90°  ­45°  ­45°  ­45°  0° 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  23   de   66 
 
Pólos   e   Zeros   da   função   de   transferência: 
 
Seja   G(s)   a   seguintefunção   de   transferência   de   malha   fechada: 
 
 
 
● Zeros:   são   as   raízes   do   numerador   de   G(s):   ­z 1 ,   ­z 2 ,   ...   –z m 
● Pólos:   são   as   raízes   do   denominador   de   G(s):   ­p 1 ,   ­p 2 ,   ...   –p n 
● K:   constante   que   define   o   ganho   do   sistema 
 
Pólos   e   zeros   podem   ser   escritos   como: 
 
 
Onde: 
 
● σ   é   a   parte   real   do   pólo   ou   zero. 
● jω   é   a   parte   complexa   do   pólo   ou   zero. 
 
 
Diagrama   de   Pólos   e   Zeros 
 
Pólos ou zeros são números reais ou ocorrem em pares complexos conjugados                       
como   (σ   ±   jω). 
 
σ:   Parte   real 
jω:   Parte   imaginária 
 
Os pólos e zeros de uma FT podem ser representados em um diagrama de pólos                             
e   zeros.   Exemplo: 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  24   de   66 
 
Estabilidade 
 
Um sistema é dito estável se a resposta temporal for limitada para qualquer sinal de                             
entrada   também   limitado. 
 
Um sistema pode ser dito estável se para entradas limitadas, isto é, finitas, geram                           
saídas limitadas. A estabilidade dos sistemas pode ser determinada pela posição dos                       
pólos    no   plano   s. 
 
Por convenção, no plano s os pólos são representados por “x” e zeros são                           
representados   por   “o”. 
 
Um sistema que tenha todos os pólos no semiplano da esquerda é estável . Se                           
houver ao menos um pólo no semiplano da direita, o sistema é instável . Se não houver                               
nenhum pólo no semiplano da direita e pelo menos um pólo no eixo imaginário, o sistema                               
é    criticamente   estável . 
 
● Sistema   estável :   A   saída   do   sistema   retorna   ao   seu   valor   em   estado   de   equilíbrio. 
 
● Sistema criticamente estável : A saída do sistema apresenta oscilações que se                     
conservam   indefinidamente. 
 
● Sistema   instável :   A   saída   do   sistema   não   tem   limite! 
 
 
Exemplo   de   sistema   estável: 
 
 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  25   de   66 
 
Exemplo   de   sistema   criticamente   estável: 
 
 
 
 
Exemplo   de   sistema   instável: 
 
 
 
Exemplo:   Dada   a   função   de   transferência   G(s),   determine   os   pólos   e   zeros. 
 
 
z 1    =   –   50  p 1    =   0 
z 2    =   –   100  p 2,3    =   ­   5   (pólo   duplo) 
 
G(s)   é   um   sistema   criticamente   estável. 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  26   de   66 
 
Sistema   de   2ª   Ordem 
 
Seja   G(s)   a   seguinte   função   de   transferência   de   malha   fechada: 
 
 
Trata­se de um sistema de segunda ordem que possui as seguintes                     
características: 
 
● Sistema   sub­amortecido,   se   0   <   ξ   <   1; 
● Sistema   criticamente   amortecido,   se      ξ   =   1; 
● Sistema   sobre­amortecido,   se   ξ   >   1. 
 
 
 
Exercício)   Determine   k,   w n    e   ξ   da   seguinte   função   de   transferência: 
 
 
ω n    =   3   rad/s 
 
2   ξ   ω n    =   4 ⇒ ξ   =   ⅔ ξ   ≈   0,67 
 
9   k   =   10 ⇒ k   =   10   /   9 
 
Exercício)   Encontre   k,   ξ   e   ω n : 
 
 
Solução: 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  27   de   66 
 
ω n    =   10   rad/s  2ω n ξ   =   10   ­>   ξ   =   0,5  k   =   1 
28/09/2016 
 
Amplificadores   operacionais   e   função   de   transferência 
 
Amplificadores Operacionais são amplificadores diferenciais com ganho muito alto,                 
impedância   de   entrada   alta   e   impedância   de   saída   baixa. 
 
O amplificador operacional ideal apresenta ganho infinito, impedância de entrada                   
infinita   e   curto   circuito   virtual   entre   V +    e   V l . 
 
Exemplo:   Determine   a   função   de   transferência   V o (s)   /   V i (s). 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
Exemplo: Dado o exemplo anterior e sejam Z1 e Z2 os circuitos abaixo indicados.                           
Encontre   o   gráfico   de   Bode. 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  28   de   66 
 
C 1    =   C 2    =   1F  R 1    =   10   Ω   e   R 2    =   1   Ω 
 
 
Componente  Impedância   (Z,   em   ohms) 
Resistor  R 
Indutor  sL 
Capacitor  1   /   (sC) 
 
 
 
 
 
Substituindo   Z 1    e   Z 2    em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo   os   valores   de   C 1 ,   C 2 ,   R 1    e   R 2 : 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  29   de   66 
 
 
Para   o   gráfico   de   Bode   de   amplitude: 
 
  0,01  0,1  1  10  100 
20   log|s|  ­40  ­20  0  20  40 
­20   log|s   +   1|  0  0  0  ­20  ­40 
­20   log|s/0,1   +   1|  0  0  ­20  ­40  ­60 
Σ  ­40  ­20  ­20  ­40  ­60 
 
 
 
 
Para   o   gráfico   de   Bode   de   fase: 
 
 
  0,01  0,1  1  10  100 
+   arctan(­1)  ­180°  ­180°  ­180°  ­180°  ­180° 
+   arctan(jω/0)  90°  90°  90°  90°  90° 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  30   de   66 
 
­   arctan(ω/1)  0°  0°  ­45°  ­90°  ­90° 
­   arctan(10ω/1)  0°  ­45°  ­90°  ­90°  ­90° 
Σ  ­90°  ­135°  ­225°  ­270°  ­270° 
 
 
 
 
 
 
Exemplo:   Encontre   a   função   de   transferência: 
 
 
 
   Solução: 
 
Reorganizando   o   circuito: 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  31   de   66 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
Z 4    é   o   paralelo   de   R 1    e   C 1 .   Z 1    é   o   paralelo   de   R 4    e   C 4 .   Substituindo   esses   valores 
na   última   expressão   encontrada: 
 
 
 
 
Exemplo:   Para   o   exemplo   anterior,   determine   o   diagrama   de   Bode   considerando: 
 
R 1    =   R 4    =   1   Ω 
R 2    =   R 3    =   10   Ω 
C 1    =   1F 
C 4    =   10   mF 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  32   de   66 
 
 
Para   o   gráfico   de   Bode   de   amplitude: 
 
  0,1  1  10  100  1000 
+   20   log|   s   +1   |  0  0  20  40  60 
­   20   log|s/100   +   1|  0  0  0  0  ­20 
Σ  0  0  20  40  40 
 
 
 
 
 
Para   o   gráfico   de   Bode   de   fase: 
 
  0,1  1  10  100  1000 
arctan   (   ω   /   1   )  0°  45°  90°  90°  90° 
­   arctan   (   ω   /   100   )  0°  0°  0°  ­   45°  ­   90° 
Σ  0°  45°  90°  45°  0° 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  33   de   66 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  34   de   66 
 
26/10/2016 
Entrega   da   primeira   avaliação 
 
1ª Questão ­ 1,5 ponto) DIAGRAMA DE BLOCOS. Com relação ao diagrama de blocos                           
abaixo,   determine   a   função   de   transferência   em   malha   fechada.   Considere   G(s)   =   1. 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  35   de   66 
 
Substituindo os valores de G 1 , H 1 e H 2 , após simplificar chegamos à função de                           
transferência: 
 
 
 
 
2ª Questão ­ 2,0 pontos) Considere o circuito com amplificador operacional, utilizado em                         
um sistema de controle abaixo. Supondo condições iniciais nulas e o modelo de                         
amplificador   operacional   ideal,   obtenha   a   função   de   transferência   V o (s)/V i (s). 
 
 
 
Solução: 
 
Substituindo temporariamente as associações de resistores e capacitores por                 
impedâncias   e   passando   do   domínio   do   tempo   para   o   domínio   da   frequência: 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com­   novembro/2016  36   de   66 
 
Considerando o modelo de amplificadores operacionais ideais (curto circuito virtual                   
nos pinos de entrada, ganho infinito e impedância de entrada infinita) e aplicando as Leis                             
de   Kirchhoff,   temos: 
 
 
Obtendo o valor resultante de cada associação de resistores e capacitores,                     
obtemos: 
 
 
 
 
 
Substituindo   as   impedâncias,   encontramos   a   função   de   transferência   solicitada: 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão ­ 1,5 ponto) DIAGRAMA DE BODE EM AMPLITUDE. Os diagramas de Bode                           
são ferramentas visuais para estudo em frequência em amplitude e em fase, além de                           
servirem como ferramentas indicativas de estabilidade de sistemas. Esboce o diagrama                     
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  37   de   66 
 
de Bode em amplitude |G(s)| dB , explicando passo a passo seu raciocínio, dado G(s) a                           
seguir: 
 
 
 
Solução: 
 
Inicialmente,   arrumaremos   a   função   G(s): 
 
 
De forma a analisarmos a contribuição de cada termo de G(s), aplicamos a fórmula                           
de   decibéis   para   a   função   G(s),   temos: 
 
20   log|G(s)|   =   |G(s)| dB 
 
|G(s)| dB    =   20   log|50|   +   20   log|s+1|   +   20   log|(s/1000)+1|   ­   20   log|s|   ­   20   log|(s/20)+1| 
 
A   contribuição   de   cada   termo   é   dada   por: 
 
● 20   log|50|   =   20   log   10   +   20   log   5   ≈   34 
 
● 20   log|s+1|: 
 
○ Para   s   <   1: 
■ 20   log   |s   +1|   ≈   0. 
○ Para   s   >   10: 
■ 20   log   |s   +1|   ≈   +   20   dB   /   década. 
 
● 20   log|(s/1000)+1|: 
○ Para   s   <   1000: 
■ 20   log|(s/1000)+1|   ≈   0. 
○ Para   s   >   1000: 
■ 20   log|(s/1000)+1|   ≈   +   20   dB   /   década. 
 
● ­   20   log|s|: 
 
○ ­   20   dB   /   década   ∀   s. 
○ Para   s   =   1:   ­   20   log   |s|   =   0. 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  38   de   66 
 
 
● ­   20   log|(s/20)+1| 
 
○ Para   s   <   20: 
■ ­   20   log|(s/20)+1|   ≈   0. 
○ Para   s   >   20: 
■ ­   20   log|(s/20)+1|   ≈   ­   20   dB   /   década. 
■ Em   s   =   200:   ­20 
■ Em   s   =   100:   ­20   +   6   =   ­14 
■ Em   s   =   1.000:   ­   14   ­   20   =   ­34 
■ Em   s   =   10.000:   ­   14   ­   20   =   ­54 
 
De posse de todos esses termos, somamos a contribuição de cada um deles para                           
finalmente   obter   o   gráfico   aproximado   da   função   20   log   |G(s)|: 
 
  0,1  1  10  20  100  1k  10k  100k 
20   log|50|  34  34  34  34  34  34  34  34 
20   log|s+1|  0  0  20  26  60  80  100  120 
20   log|(s/1000)+1|  0  0  0  0  0  0  20  40 
   ­   20   log|s|  20  0  ­20  ­26  ­60  ­80  ­100  ­120 
   ­   20   log|(s/20)+1|  0  0  0  0  ­14  ­34  ­54  ­74 
Σ  54  34  34  34  34  0  0  0 
 
Reunindo   os   resultados   num   gráfico: 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  39   de   66 
 
4ª Questão ­ 2,5 pontos) DIAGRAMA DE BLOCOS. Um robô utiliza uma realimentação                         
unitária para controlar a posição do eixo de cada uma de suas juntas. O diagrama de                               
blocos   do   sistema   em   malha   fechada   é   apresentado   na   figura   a   seguir.   Determine: 
 
a)   A   função   de   transferência   do   sistema   com   a   malha   fechada   (escreva   seu   raciocínio). 
 
b) Se a função de transferência do sistema resultante é subamortecida, superamortecida,                       
criticamente amortecida ou instável, explicando seu raciocínio, supondo K = 16. Diga o                         
valor   de   ξ   e   ω n . 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
5ª Questão ­ 2,5 pontos) REDUÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS. Considere o                       
diagrama de blocos que representa um sistema genérico em malha fechada com                       
múltiplos laços de retroação interna. Determine a função de transferência de malha                       
fechada   da   figura   a   seguir,   C(s)/R(s),   desenvolvendo   seu   raciocínio   passo   a   passo. 
 
 
 
Solução: 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  40   de   66 
 
Estudando   no   Youtube 
 
Espaço   de   Estados 
 
Uma representação em espaço de estados é um modelo matemático de um                       
sistema físico composto de um conjunto de variáveis de entrada, de saída e de estado                             
relacionadas   entre   si   por   meio   de   equações   diferenciais   de   primeira   ordem. 
 
Estado : É uma descrição completa do sistema obtida através do menor conjunto de                         
variáveis possível. Um estado está associado a um vetor de estado, cujos componentes                         
são   as    variáveis   de   estado . 
 
Variáveis   de   estado :   É   o    menor    conjunto   de   variáveis   que   descrevem   o   sistema. 
 
Exemplo: Vamos supor um pêndulo ideal. O ângulo entre a vertical e a linha do pêndulo é                                 
a única variável que descreve o sistema. Neste caso, temos apenas uma variável de                           
estado. 
 
 
 
Poderíamos dar a posição do pêndulo de acordo com as variáveis x e y no eixo xy.                                 
Ocorre, porém, que este não é o menor conjunto que descreve o sistema . Deste modo, as                               
variáveis   x   e   y    não    constituem   uma   variável   de   estado. 
 
Vetor   de   estados   (x) :   é   um   vetor   formado   pelas   variáveis   de   estado. 
 
Exemplo:   Num   sistema   cujas   variáveis   de   estado   são   x 1 ,   x 2    e   x 3 : 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  41   de   66 
 
Entrada   (u) :   É   a   variável   do   sistema    diretamente   controlada . 
 
No exemplo do pêndulo, eu posso colocar um motor em que temos controle sobre                           
o torque. No caso, teremos uma variável de estado θ e o torque do motor fica sendo a                                   
variável   de   entrada. 
 
 
τ:   Entrada   (torque) 
Ө:   Variável   de   estado 
 
Saída   (y) :   Variável   que   é   função   do   vetor   de   estados   (x),   da   entrada   (u)   e   do   tempo. 
 
De   forma   generalizada,   temos: 
 
 
 
É interessante que estas equações sejam lineares . A linearização de um sistema                       
dinâmico não­linear é feita em torno de uma condição de operação . O sistema linear é                             
válido para operação “ em torno ” da condição de linearização. Para a linearização é                         
usado   o   método   da   Série   de   Taylor. 
 
Partindo   direto   para   o   resultado: 
 
 
 
Onde   A,   B,   C   e   D   são   matrizes   (que    podem    ter   a   variável   tempo). 
 
Exemplo : Vamos modelar usando espaço de estados um sistema massa mola com um                         
elemento   forçante.   A   entrada    u    é   uma   força. 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  42   de   66 
 
 
 
 
● Definindo   a   entrada:   u 
 
● Definindo   a   saída:   y   ⇾   Posição   em   relação   ao   estado   de   equilíbrio   da   mola. 
 
● Variáveis   de   estados: 
○ x 1    ⇾   Posição 
○ x 2    ⇾   Velocidade 
 
● Vetor   de   estados: 
 
 
Verificamos que a saída y é igual à variável de estado x 1 . Com isso, temos                             
condições   de   estabelecer   C   e   D   na   equação   matricial: 
 
 
 
 
 
Desejamos, agora, obter as matrizes A e B. Para isso, precisamos da derivada do                           
vetor   de   estados,   compostopelos   elementos   x 1    e   x 2 . 
 
Temos   que   a   derivada   da   posição   em   relação   ao   tempo   é   a   velocidade.   Portanto: 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  43   de   66 
 
A derivada da velocidade é a aceleração, ou seja, a derivada de x 2 é a aceleração                               
da massa m. Sendo k a constante elástica da mola e lembrando que u é uma força                                 
aplicada   sobre   a   massa,   temos: 
 
 
 
Isolando   a   derivada   de   x 2 : 
 
 
 
Olhando   para   a   equação: 
 
 
 
Podemos   substituir: 
 
 
 
 
Verificando,   conseguimos   descobrir   as   matrizes   A   e   B: 
 
 
 
Com   isso,   encontramos   a   segunda   equação   do   espaço   de   estados.   O   sistema   fica 
modelado   da   seguinte   forma: 
 
 
Onde: 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  44   de   66 
 
   
   
 
 
Correlação   entre   o   espaço   de   estados   e   a   função   de   transferência. 
 
Sejam   as   seguintes   equações   de   espaço   de   estados: 
 
 
 
Desejamos obter um método para u ⇾ y, ou seja uma formulação para, dada uma                             
entrada,   obtermos   uma   saída. 
 
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados de ambas as equações,                         
obtemos: 
 
s   X(s)   =   A   X(s)   +   B   U(s) 
Y(s)   =   C   X(s)   +   D   U(s) 
 
Obtendo   X(s)   na   primeira   equação: 
 
s   X(s)   ­   A   X(s)   =   B   U(s)   ⇾   (sI   ­   A)   X(s)   =   B   U(s)   ⇾   X(s)   =    (sI   ­   A) ­1    B   U(s) 
 
Usando   o   resultado   obtido   na   segunda   equação: 
 
Y(s)   =   C    X(s)    +   D   U(s)   ⇾   Y(s)   =   C    (sI   ­   A) ­1    B   U(s)    +   D   U(s) 
 
Y(s)   =   (C   (sI   ­   A) ­1    B   +   D)   U(s) 
 
Com isso, observando a última equação obtida, temos que a função de                       
transferência   matricial   G(s)   =   Y(s)   /   U(s): 
 
G(s)   =   C   (sI   ­   A) ­1    B   +   D 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  45   de   66 
 
09/11/2016   ­   Aula   do   Sodré 
 
Espaço   de   Estado:   Forma   de   representação   matemática   de   sistemas   elétricos, 
hidráulicos,   químicos,   mecânicos   etc. 
 
 
A   =   Matriz   dinâmica   do   sistema 
B   =   Matriz   de   entrada 
C   =   Matriz   de   saída 
D   =   Matriz   de   ganho   estático 
 
 
 
x(t):   Vetor   de   espaço   de   estado. 
u(t):   entrada 
y(t):   saída 
 
 
Exemplo)    Seja 
 
 
 
Determine   A,   B,   C   e   D: 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  46   de   66 
 
Podemos   representar   o   sistema   anterior   através   de   um   diagrama   de   fluxo: 
 
 
 
1°   Passo: 
 
2°   Passo: 
 
 
 
3°   Passo: 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  47   de   66 
 
Exemplo)    Seja   o   seguinte   circuito: 
 
 
Considere   v(t)   a   entrada.   Obtenha   a   saída   i c (t). 
 
Observação: Num circuito, a corrente no indutor e a tensão no capacitor costumam ser                           
boas   escolhas   para   variáveis   de   estado. 
 
Lembre   que: 
 
   
 
Aplicando   Kirchhoff   (malhas   e   nós): 
 
 
 
 
Definindo   o   vetor   de   estados   x: 
 
 
 
Substituindo   i C (t)   e   v L (t)   nas   fórmulas   obtidas   através   de   Kirchhoff: 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  48   de   66 
 
Arrumando: 
 
 
 
 
 
Podemos   escrever   essas   duas   expressões   anteriores   na   forma   matricial: 
 
 
 
Comparando   com   a   equação: 
 
 
 
Temos: 
   
Para   obter   a   saída   i C (t),   usamos   a   equação: 
 
 
Arrumando: 
 
 
Na   forma   matricial: 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  49   de   66 
 
Exemplo)    Seja   o   seguinte   circuito: 
 
Considere   v(t)   a   entrada.   Obtenha   a   saída   i c2 (t).   Faça   para   R 1    =   R 2    =   R 3    =   1   Ω,   C1 
=   C2   =   1   F,   L   =   1H. 
 
 
Solução: 
 
Definindo   o   vetor   de   estados   x: 
 
 
 
Aplicando   Kirchhoff   (malhas   e   nós): 
v   =   R 1    i R1    +   v C1 
V C1    =   R 2    i R2    +   v L 
v L    =   R 3    i R3    +   v C2 
i R1    =   i C1    +   i R2 
i R2    =   i R3    +   i L 
 
Equações   do   capacitores   e   do   indutor: 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  50   de   66 
 
Substituindo   na   equação   v   =   R 1    i R1    +   v C1 : 
 
v   =   R 1    (i C1    +   i R2 )   +   v C1          ⇾      v   =   R 1    (i C1    +   i R3    +   i L )   +   v C1          ⇾       v   =   R 1    (i C1    +   i C2    +   i L )   +   v C 1 
 
 
Substituindo   na   equação   V C1    =   R 2    i R2    +   v L : 
 
V C1    =   R 2    (i R3    +   i L )   +   v L       ⇾          V C1    =   R 2    (i C2    +   i L )   +   v L 
 
 
Substituindo   na   equação   v L    =   R 3    i R3    +   I C2 : 
 
v L    =   R 3    i R3    +   I C2       ⇾          v L    =   R 3    i C2    +   v C2 
 
 
Substituindo   os   valores   de   R 1 ,   R 2 ,   R 3 : 
 
v   =   i C1    +   i C2    +   i L    +   v C 1  V C1    =   i C2    +   i L    +   v L  v L    =   i C2    +   v C2 
 
Usando   as   equações   do   capacitores   e   do   indutor: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo   os   valores   de   C 1 ,   C 2    e   L: 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  51   de   66 
 
 
 
Organizando   as   equações   anteriores   e   usando   a   forma   reduzida   para   simbolizar   a 
derivada,   temos: 
 
 
 
 
 
Somando   as   duas   últimas   equações,   obtemos: 
 
 
 
Subtraindo   as   duas   últimas   equações,   obtemos: 
 
 
 
Com   este   último   resultado,   isolamos   o   valor   da   derivada   do   primeiro   capacitor   na 
primeira   equação: 
 
 
 
 
 
 
 
Reunindo   os   resultados,   temos: 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  52   de   66 
 
 
 
Passando   para   a   forma   matricial: 
 
 
 
 
Usaremos   as   relações   já   obtidas   para   obter   a   saida   i c2 (t).   Precisamos   que   i c2 (t)   seja 
função   apenas   das   variáveis   de   estado    i L (t) ,    v C 1 (t) ,    v C2 (t)    e   da   variável   de   entrada    v(t) . 
 
v   =   i C1    +    i C2    +   i L    +   v C 1  V C1    =    i C2    +   i L    +   v L  v L    =    i C2    +   v C2 
 
v C1    =    i C2    +   i L    +   v L          ⇾       v C1    =    i C2    +   i L    +   ( i C2    +   v C2 )      ⇾    2i C2    =    v C1    ­   i L    ­   v C2 
 
 
i C2    =   0,5v C1    ­   0,5v C2    ­   0,5i L 
 
Na   forma   matricial: 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  53   de   66 
 
Finalmente,   temos: 
 
 
Matriz   dinâmica   do   sistema 
 
 
Matriz   de   entrada 
 
 
Matriz   de   saída 
 
 
Matriz   de   ganho   estático 
 
 
 
 
 
Exemplo)    Obtenha   o   diagrama   de   fluxo   para   a   seguinte   função   de   transferência: 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Aplicando   a   Transformada   Inversa   de   Laplace: 
 
 
 
Para construir o diagrama, temos de ter em mente que r(t) é a entrada do sinal e                                 
c(t)   é   a   saída. 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  54   de   66 
 
 
Isolando   o   termo   de   maior   derivada   de   c(t): 
 
 
 
Passamos   a   montar   o   diagrama: 
 
1º   Passo: 
 
 
 
2º   Passo:3º   Passo: 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  55   de   66 
 
16/11/2016   ­   Aula   do   Sodré 
 
Exemplo) Modelagem usando E. D. O. (Equação Diferencial Ordinária). Encontre a                     
função   de   transferência   G   (s)   =   X   (s)   /   P   (s),   dado   que   as   condições   iniciais   são   nulas. 
 
 
 
Solução: 
 
OBSERVAÇÃO:   Transformada   de   Laplace   da   derivada   de   uma   função. 
 
 
 
 
Deste   modo,   temos: 
 
 
 
 
 
Aplicando   a   fórmula   na   equação   do   exemplo: 
 
 
 
 
 
Considerando   as   condições   iniciais   nulas: 
 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  56   de   66 
 
 
 
 
 
Exemplo) Um sistema de controle de temperatura opera sentindo a diferença entre o                         
ajuste do termostato e a temperatura real e em seguida abrindo uma válvula de                           
combustível de uma quantidade proporcional a esta diferença. Desenhe um diagrama de                       
blocos funcional a malha fechada, identificando os transdutores de entrada e de saída, o                           
controlador e a planta. Além disso, identifique os sinais de entrada e saída para todos os                               
subsistemas   descritos   anteriormente. 
 
 
 
 
 
Funções   de   Transferência   de   Sistema   Eletromecânico 
 
Num   sistema   eletromecânico   existe   a   mistura   de   variáveis   elétricas   e   mecânicas. 
 
Exemplos: 
 
­ Sistema   de   controle   do   posicionamento   de   uma   antena   em   azimute; 
­ Controle   de   robôs,   rastreadores   do   sol   e   rastreadores   estelares; 
­ Controle   de   posição   de   acionadores   de   fita   e   de   disco   para   computadores 
 
Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento de                     
saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica gerada por uma entrada                             
elétrica. 
 
Vamos estudar a função de transferência do servomotor de corrente contínua                     
controlado   pela   armadura. 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  57   de   66 
 
Na figura ao lado, o campo magnético é               
produzido por ímãs permanentes       
estacionários ou por meio de um eletroímã             
estacionário chamado campo fixo . Um         
circuito rotativo chamado armadura ,       
através do qual circula a corrente i a (t),             
corta o campo magnético segundo um           
ângulo   reto   e   experimenta   uma   força 
 
 
F   =   Bli a (t) 
 
Onde: 
● B é a intensidade do campo           
magnético 
● l   é   o   comprimento   do   condutor. 
 
O torque resultante aciona o rotor, o             
elemento   girante   do   motor. 
 
 
Há um outro fenômeno que ocorre no motor: quando um condutor se desloca                         
perpendicularmente a um campo magnético, é gerada uma tensão nos terminais do                       
condutor igual a e = Blv, onde e é a tensão e v é a velocidade do condutor perpendicular                                     
ao campo magnético. Como a armadura conduzindo a corrente está girando no interior de                           
um   campo   magnético,   sua   tensão   é   proporcional   à   velocidade.   Portanto, 
 
 
● v b (t)   de   força   contra­eletromotriz   (fcem); 
● K b    é   uma   constante   de   proporcionalidade 
chamada   constante   de   fcem; 
● dθ m (t)/dt   =   ω m (t)   é   a   velocidade   angular   do 
motor. 
 
Aplicando   a   Transformada   de   Laplace: 
 
 
 
Podemos relacionar a corrente de armadura, a tensão aplicada na armadura e a                         
fcem: 
 
 
 
O   torque   produzido   pelo   motor   é   proporcional   à   corrente   de   armadura: 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  58   de   66 
 
 
 
● T m :   Torque   gerado   pelo   motor; 
● K t :   é   uma   constante   de   proporcionalidade 
(constante   de   torque   do   motor).   Depende   de 
detalhes   construtivos   do   motor   e   das 
características   do   campo   magnético. 
 
 
Com os resultados obtidos, podemos obter a função de transferência do motor.                       
Queremos   obter   θ m (t)   /   E a (s): 
 
 
 
 
 
Precisamos   relacionar   T m (s)   e   θ m (s).   Modelamos   T m (s)   com   a   seguinte   fórmula: 
 
T m (s)   =   (J m s²   +   D m s)   θ m (s) 
● J m : Inércia equivalente na armadura. Inclui os             
valores da inércia própria da armadura e da inércia                 
da   carga   refletida   na   armadura. 
 
● D m : Amortecimento viscoso equivalente na         
armadura. Inclui os valores do amortecimento           
próprio da armadura e da inércia da carga refletida                 
na   armadura. 
 
 
 
 
Substituindo: 
 
 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  59   de   66 
 
Como   R a    é   bem   maior   do   que   L a ,   podemos   suprimir   L a    e   simplificar   a   expressão: 
 
 
 
Com   isso,   chegamos   até   a   função   de   transferência: 
 
 
 
Pode   parecer   complicada,   mas   ela   se   resume   a: 
 
 
 
 
 
Exemplo)    Dado   o   circuito   abaixo,   sendo   x 1 (t)   =   v R (t),   x 2 (t)   =   i(t)   e   u(t)   a   entrada,   determine
. 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  60   de   66 
 
 
 
 
Colocando   na   forma   matricial: 
 
 
 
Observação: Perceba que a matriz A possui determinante igual a zero, ou seja, não                           
possui matriz inversa. Isto ocorre porque a tensão no resistor não deveria ser uma                           
variável de estado. O menor conjunto de variáveis necessárias para modelar o sistema                         
possui   apenas   um   elemento:   i L (t). 
 
 
Exercício) Dado o circuito abaixo, obtenha o diagrama de blocos da função de                         
transferência   G(s)   =   V C (s)   /   U(s). 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
Substituindo: 
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  61   de   66 
 
 
 
 
 
Este   resultado   refere­se   a   um   diagrama   de   blocos   com   a   seguinte   forma: 
 
 
Fazendo   C(s)   =   V C (s),   R(s)   =   U(s),   G 1 (s)   =   1/RCs   e   G 2 (s)   =   ­1,   temos: 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
   
 
a.saboia@hotmail.com    ­   novembro/2016  62   de   66 
 
23/11/2016   ­   Aula   do   Sodré 
 
Exercício) a) Obter a FTMF (Função de Transferência de Malha Fechada); b) Obter A                           
para ξ = 0,3; c) Para ξ do item anterior, o que se pode falar da saída temporal desse                                     
diagrama   para   uma   entrada   do   tipo   degrau   unitário? 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a) FTMF: 
 
 
b) Comparando   a   função   de   transferência   de   malha   fechada   com   a   equação   de   um 
sistema   amortecido   de   segunda   ordem,   temos: 
 
 
 
Como   ξ   =   0,3,   temos   que   2   =   2   x   0,3   x   ω n . 
 
Desta   forma,   ω n    =   1/0,3.   A   =   (10/9)²   ≈    11,111 
 
 
c) Como 0 < ξ < 1, o sistema é subamortecido. Devido a isso, o sinal oscila até                                 
estabilizar   no   valor   igual   ao   do   degrau   unitário. 
 
 
 
Exercício)    Obtenha   a   função   de   transferência   V Out (s)   /   V in (s): 
 
 
 
 
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C1   =   C2   =   0,1F 
R1   =   10   Ohm 
R2   =   100   Ohm 
 
 
 
 
 
 
Exemplo) Seja a saída y(t), a entradax(t) e as condições iniciais nulas. Encontre a função                               
de   transferência   de: 
 
 
 
Solução: 
 
Aplicando   Laplace: 
 
 
 
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Exemplo)    Obter   o   modelamento: 
 
 
 
Solução: 
 
Para   o   carrinho   2: 
 
 
 
Para   o   carrinho   1: 
 
 
 
Arrumando   ambas   as   expressões: 
 
 
 
 
Fazendo   com   que: 
 
 
 
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Temos: 
 
 
 
 
Podemos   agora   colocar   na   forma   matricial: 
 
 
 
 
 
 
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