RESOLUÇÃO CAP 2 R. C. Hibbeler 7ª edição

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73 
 
Capítulo 2 
 
 
 
 
Deformação 
 
 
Deformação 
74 
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2.1 - PROBLEMAS 
2.1. O diâmetro de um balão de borracha cheio de ar é 150 mm. Se a pressão do ar em seu interior for aumentada até o 
diâmetro atingir 175 mm, determine a deformação normal média na borracha. 
 
∊ = 
∆s′− ∆s
∆s
=
πd − πd0
πd0
=
175 − 150
150
 = 0,1667 mm/mm 
2.2. O comprimento de uma fita elástica delgada não esticada é 375 mm. Se a fita for esticada ao redor de um cano de 
diâmetro externo 125 mm, determine a deformação normal média na fita. 
 
∊ = 
L− L0
L0
=
πd − L0
L0
=
π × 125 − 375
375
 = 0,0472 mm/mm 
 
2.3. A barra rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga provocar um 
deslocamento de 10 mm para baixo na extremidade C, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e 
BD. 
 
 
Figura 2.3 
 
 
 
7.000
10
=
3.000
∆BD
 ∴ ΔBD = 4,2857 mm 
∊CE = 
∆CE
LCE
=
10
4.000
 = 0,0025 mm/mm 
 ∊BD = 
∆BD
LBD
=
4,2857
4.000
 = 0,00107 mm/mm 
Deformação 
75 
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*2.4. O diâmetro da parte central do balão de borracha é d = 100 mm. Se a pressão do ar em seu interior provocar o 
aumento do diâmetro do balão até d = 125 mm, determine a deformação normal média na borracha. 
 
Figura 2.4 
 
∊méd = 
πd− πd0
πd0
 = 
d − d0
d0
=
125 − 100
100
 = 0,25 mm/mm 
2.5. A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a carga P aplicada à viga for deslocada 10 
mm para baixo, determine a deformação normal desenvolvida nos cabos CE e BD. 
 
 
Figura 2.5 
 
 
7.000
10
=
3.000
∆BD
 ∴ ΔBD = 4,2857 mm 
 
7.000
10
=
5.000
∆CE
 ∴ ΔCE = 7,142857 mm 
(∊CE)méd = 
∆CE
LCE
=
7,142857
4.000
 = 1,79 × 10-3 mm/mm 
 (∊BD)méd = 
∆BD
LBD
=
4,2857
3.000
 = 1,43 × 10-3 mm/mm 
Deformação 
76 
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2.6. A viga rígida é sustentada por um pino em A e pelos cabos BD e CE. Se a deformação admissível máxima em cada 
cabo for ∊máx = 0,002 mm/mm, determine o deslocamento vertical máximo da carga P. 
 
Figura 2.6 
 
∊máx = 
∆CE
LCE
 ∴ 0,02 =
∆CE
4.000
 ∴ ΔCE = 8 mm 
 
7.000
∆P
=
5.000
8
 ∴ ΔP = 11,2 mm 
2.7. Os dois cabos estão interligados em A. Se a força P provocar um deslocamento horizontal de 2 mm no ponto em 
A, determine a deformação normal desenvolvida em cada cabo. 
 
 Figura 2.7 
 
LCA’ = √(300cos30° + 2)2 + 150² = 301,733 mm 
∊AC = 
L
CA′
 − LCA
LAC
=
301,733 − 300
300
 = 0,00578 mm/mm 
Deformação 
77 
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*2.8. Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento rígido CBD e um cabo flexível AB. Se 
uma força for aplicada à extremidade D do elemento e provocar uma rotação θ = 0,3º, determine a deformação normal 
no cabo. Em sua posição original, o cabo não está esticado. 
 
 Figura 2.8 
(AB’)² = (400)² + (300)² − 2(400)(300)cos(90,3°) ∴ AB’ = 501,25506 mm 
∊AB = 
AB′− AB
AB
=
501,25506 − 500
500
 = 2,51 × 10-3 mm/mm 
2.9. Parte de uma ligação de controle para um avião consiste em um elemento CBD e um cabo flexível AB. Se uma 
força for aplicada à extremidade D do elemento e provocar uma deformação normal no cabo de 0,0035 mm/mm, 
determine o deslocamento do ponto D. Em sua posição original, o cabo não está esticado. 
 
 Figura 2.9 
AB’ = (1 + ∊)AB = (1 + 0,0035)(500) = 501,75 mm 
 (501,75) ² = (400)² + (300)² − 2(400)(300)cos(ϕ) ∴ ϕ = 90,418° 
θ = 90,48º – 90° = 0,418° ∴ DD’ = (600 × 0,418º)(
π
180°
) = 4,38 mm 
Deformação 
78 
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2.10. O cabo AB não está esticado quando θ = 45º. Se uma carga vertical for aplicada à barra AC e provocar a mudança 
do ângulo para θ = 47º, determine a deformação normal no cabo. 
 
Figura 2.10 
 
 
 
 
 
2.11. Se a carga aplicada á barra AC provocar o deslocamento do ponto A para a esquerda de uma quantidade ΔL, 
determine a deformação normal no cabo AB. Originalmente, θ = 45º. 
 
 Figura 2.11 
 
 
 
AB = √2 L 
L² = (√5L)² + (BA’)² − 2(√5L)(BA’)cos(20,435º) ∴ BA’ = 1,4705L 
BC = √L² + (2L)2 = √5 L 
Φ = 18,435° + 2° = 20,435 
 
ϵAB =
BA′− AB
AB
=
1,4705L− √2L
√2L
=
0,0562864L
√2L
 
𝛜𝐀𝐁 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟗𝟖 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
(BA’)² = (ΔL)² + (√2 L)² − 2(ΔL)(√2 L)cos(135°) 
BA’ = √∆L² + 2L² + 2L∆L 
∊AB = 
BA′− AB
AB
=
√∆L² + 2L² + 2L∆L − √2L
√2L
 = √1 + 
∆L
L
+ 
∆L²
2L²
− 1 
∊AB = 
𝟎,𝟓∆𝐋
𝐋
 
 
 
Deformação 
79 
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*2.12. A forma original de uma peça de plástico é retangular. Determine a deformação por cisalhamento 𝛾xy nos cantos 
A e B se o plástico se distorcer como mostra as linhas tracejadas. 
 
 
 Figura 2.12 
 
 
 
 
2.13. A forma original de uma peça de plástico é retangular. Determine a deformação por cisalhamento 𝛾xy nos cantos 
D e C se o plástico se distorcer como mostram as linhas tracejadas. 
 
 
 Figura 2.13 
 
 
 
 
 
α = 
2
302
 = 0,00662252 rad 
β = θ = 
2
403
 = 0,00496278 rad 
 
 
(γ
B
)
xy
= α + β = 0,00662252 + 0,00496278 = 𝟏𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑 𝐫𝐚𝐝 
(γ
A
)
xy
= −(α + θ) = −(0,00662252 + 0,00496278) = −𝟏𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑 𝐫𝐚𝐝 
 
 
α = 
2
302
 = 0,00662252 rad 
β = θ = 
2
403
 = 0,00496278 rad 
 
 
(γ
C
)
xy
= −(α + β) = −(0,00662252 + 0,00496278) = −𝟏𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑 𝐫𝐚𝐝 
(γ
D
)
xy
= α + β = 0,00662252 + 0,00496278 = 𝟏𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑 𝐫𝐚𝐝 
Deformação 
80 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
2.14. A forma original de uma peça de plástico é retangular. Determine a deformação normal média que ocorrer ao 
longo das diagonais AC e DB. 
 
 Figura 2.14 
 
 
 
 
 
A′C′ = √(403,005)2 + (302,007)2 − 2(403,005)(302,007)cos (90° − 0,2843° − 0,3794°) = 500,8 mm 
∊AC = 
A′C′− AC
AC
=
500,8 − 500
500
 = 1,6 × 10-3 mm/mm ∊DB = 
506,4 − 500
500
 = 12,8 × 10-3 mm/mm 
2.15. Originalmente, o cabo de ancoragem AB de uma estrutura de edifício não está esticado. Devido a um terremoto, 
as duas colunas da estrutura inclinam-se até um ângulo θ = 2º. Determine a deformação normal aproximada do cabo 
quando a estrutura estiver nessa posição. Considere que as colunas são rígidas e giram ao redor de seus apoios inferiores. 
 
Figura 2.15 
 
 Continua… 
 AC = √4002 + 3002 = 500 mm 
 DC’ = √302² + 2² = 302,007 mm 
DB’ = √405² + 304² =506,4mm 
DA’ = √403² + 2²= 403,005 mm 
 
 
 
β = tang−1 (
2
302
) = 0,3794° 
 α = tang−1 (
2
403
) = 0,2843° 
 
Deformação 
81 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
 
 
 
 
 
*2.16. Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamentos indicados. Determine a deformação por cisalhamento ao 
longo das bordas da chapa em A e B. 
 
 
 Figura 2.16 
 
 
 
 
(γA)xy = 2(45º − 43,5607°) (
π
180°
) = 0,05024 rad 
 (γB)xy = 2(45° − 46,43923°) (
π
180°
) = −0,05024 rad 
 
 
xB = 4sen(2°) = 0,1396 m 
yB = 4cos(2°) = 3,9976 m 
 xA = sen(2°) = 0,0349 m 
 
AB’ = √(yB − 1)2 + (4 + xB − xA)² = 5,0827 m 
∊AB = 
AB′− AB
AB
=
5,0827−5
5
 = 16,8 × 10-3 m/m 
 
θA = tang−1 (
250
250
) = 45° 
θA’ = tang−1 (
242,5
255
) = 43,5607° 
θB = tang−1 (
250
250
) = 45° 
θB’ = tang−1 (
255
242,5
) = 46,43923° 
 
 
Deformação 
82 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
2.17. Os cantos da chapa quadrada sofrem os deslocamentos indicados. Determine as deformações normais médias ao 
longo do lado AB e das diagonais AC e DB. 
 
 Figura 2.17 
 
 
 
 
 
 
 
2.18. O quadrado deforma-se até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação normal 
média ao longo de cada diagonal AB e CD. O lado D’B’ permanece horizontal. 
 
 Figura 2.18 
 
 
 
 
AC = 250 + 250 = 500 mm 
AC’ = 500 + 5 + 5 = 510 mm 
AB = √250² + 250² = 353,553 mm 
A’B’ = √255² + 242,5² = 351,897 mm 
DB = 250 + 250 = 500 mm 
D’B’ = 500 − 7,5 − 7,5 = 485 mm 
 
 
∊AC = 
AC′− AC
AC
=
510 − 500
500
 = 20 × 10-3 mm/mm 
∊AB = 
A′B′− AB
AB
=
351,897 − 353,553
353,553
 = −4,686 × 10-3 mm/mm 
∊DB = 
D′B′− DB
DB
=
485 − 500
500
 = −30 × 10-3 mm/mm 
 
AB = √250² + 250² = 70,711 mm 
AB’ = √(53cos1,5°)² + 47² = 70,824 mm 
C’D’ = √58² + 53² − 2 × 58 × 53 × cos (91,5°) = 79,6 mm 
 
∊AB = 
AB′− AB
AB
=
70,824 − 70,711
70,711
 = 1,61 × 10-3 mm/mm 
∊CD = 
C′D′− AB
C′D′
=
79,6 − 70,711
79,6
 = 126 × 10-3 mm/mm 
 
Deformação 
83 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
2.19. O quadrado deforma-se até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação por 
cisalhamento em cada um de seus cantos A, B, C e D. O lado D’B’ permanece horizontal. 
 
 Figura 2.19 
 
 
 
 
 
 
 
*2.20. O bloco é deformado até chegar à posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação normal 
média ao longo da reta AB. 
 
 Figura 2.20 
 
 
 
(γ
A
)xy = 
π
2
−
π
180°
(91,5°) = −0,0262 rad 
(γ
D
)xy= 
π
2
−
π
180°
(88,5°) = 0,0262 rad 
(γ
B
)xy= 
π
2
−
π
180°
(101,73°) = −0,205 rad 
(γ
C
)xy= 
π
2
−
π
180°
(78,27°) = 0,205 rad 
 
 
θC′ = arctang (
53cos1,5°
11
) = 78,27° 
θD′ = 90° − 1,5° = 88,5° 
θB′ = 360° − 88,5° − 91,5° − 78,27° = 101,73° 
AB = √100² + 40² = 107,7033 mm 
h = √110² − 15² = 108,9725 mm 
AB’ = √108,9725² + 25² = 111,8034 mm 
 
 
∊AB = 
AB′− AB
AB
=
111,8034 − 107,7033
107,7033
 = 0,0381 mm/mm 
 
Deformação 
84 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
2.21. Um cabo fino que se encontra ao longo do eixo x é deformado de tal modo que cada um de seus pontos sofre um 
deslocamento Δx = kx² ao longo do eixo. Se k for constante, qual é a deformação normal em qualquer ponto P ao longo 
do cabo? 
 
Figura 2.21 
ϵ =
d
dx
(∆x) =
d
dx
(kx2) = 2kx 
2.22. A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pela linha tracejada. Determine a deformação por 
cisalhamento média 𝛾xy da chapa. 
 
 Figura 2.22 
 
 
 
2.23. A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação por 
cisalhamento média 𝛾xy da chapa. 
 
 Figura 2.23 
 tang(θ′) =
3
150
 ∴ θ′ = 1,1458°θ’ 
θ = 90° + 1,1458° = 91,1458º 
 
γ
xy
 = 
π
2
−
π
180°
(θ) =
π
2
−
π
180°
(91,1458°) = −0,02 rad 
 
θ = arctang (
150
3
) = 88,854° 
γ
xy
= 
π
2
−
π
180°
(θ) =
π
2
−
π
180°
(88,854°) = 0,02 rad 
 
 
Deformação 
85 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*2.24. A chapa retangular é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas. Determine as deformações 
normais médias ao longo da diagonal AC e do lado AB. 
 
 
 Figura 2.24 
 
 
 
 
 
 
2.25. A forma original da peça de borracha é retangular. Determine a deformação por cisalhamento média 𝛾xy, se os 
cantos B e D forem submetidos a deslocamentos que provoquem a distorção da borracha mostrada pelas linhas 
tracejadas. 
 
 
 Figura 2.25 
 
 
 
θ = arctang(
150
3
) = 88,854° 
 ϕ = 180° − 88,854° = 91,14576° 
CD’ = A’B =√150² + 3² = 150,03 mm 
A′C = √(150,03)2 + (200)2 − 2(150,03)(200) cos(91,15°) 
A′C = 252,40642 mm 
ϵAB =
150,03 − 150
150
= 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
ϵAB =
252,406 – 250
250
= 𝟗, 𝟔𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑 𝐦𝐦/𝐦𝐦 
θ = tang-1(
3
400
) = 0,4297° 
θ’ = tang-1(
2
300
) = 0,382° 
γ
xy
= θ + θ’ = 0,497° + 0,382° = 0,879° × 
π
180°
 = 0,0142 rad 
Deformação 
86 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
2.26. A forma original da peça de borracha é retangular e ela é submetida à deformação mostrada pelas linhas tracejadas. 
Determine a deformação normal média ao longo da diagonal DB e do lado AD. 
 
 Figura 2.26 
 
 
 
 
 
 
 
2.27. O material é distorcido até a posição, como mostra a figura. Determine (a) as deformações normais médias ∊x e 
∊y e a deformação por cisalhamento 𝛾xy em A e (b) a deformação normal média ao longo da reta BE. 
 
 Figura 2.27 
 
 
 
 
 
AD’ = √400² + 3² = 400,011 mm AB’ = √300² + 2² = 300,007 mm 
ϕ = arctng(
2
300
) = 0,382° θ = arctng(
3
400
) = 0,43° 
α = 90° − 0,382° – 0,43° = 89,1883° 
D’B’ = √400,0112 + 300,0072 − 2 × 400,011 × 300,007 × cos (89,19°) = 496,6 mm 
∊DB = 
D′B′− DB
DB
=
496,6 − 500
500
 = −0,00680 mm/mm ∊AD = 
AD′− AD
AD
=
400,011 − 400
400
 = 0,0281 × 10-3 mm/mm 
 
 
(a) ∊x = 0 ∊y = 
√125² + 10² − 125
125
 = 0,00319 mm/mm γxy = arctang(
10
125
) = 4,574° = 0,0798 rad 
 
(b) BB’ = 
100 × 10
125
 = 8 mm 
EE’ = 
50 × 15
125
 = 6 mm 
x’ = 80 + 6 – 8 = 78 mm 
 
B’E’ = √50² + 78² = 92,65 mm 
BE = √50² + 80² = 94,34 mm 
∊BE = 
BE′− BE
BE
=
92,65 − 94,34
94,34
 = −0,0179 mm/mm 
 
 
 
Deformação 
87Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*2.28. O material é distorcido até a posição, como mostra a figura. Determine a deformação normal média que ocorre 
ao longo das diagonais AD e CF. 
 
 Figura 2.28 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.29. O bloco é deformado até a posição mostrada pelas linhas tracejadas. Determine a deformação por cisalhamento 
nos cantos C e D. 
 
 Figura 2.29 
(γ
C
)xy = 
π
2
− [
π
2
+
π
180°
arcsen (
15
110
)]= −0,137 rad 
(γ
D
)xy = 
π
2
− [
π
180°
arccos (
15
110
)]= 0,137 rad 
AD = CF = √125² + 80² = 148,408 mm 
α = tang-1(
15
125
) = 6,843° β = tang-1(
10
125
) = 4,574° 
FD’ = √125² + 15² = 125,90 mm AC’ = √125² + 10² = 125,4 mm 
AD’ = √125,902 + 802 − 2 × 125,90 × 80 × cos(90° + 6,843°) = 157,0032 mm 
C’F = √125,42 + 802 − 2 × 125,4 × 80 × cos(90° − 4,574°) = 143,2654 mm 
 
 
 
∊AD = 
AD′− AD
AD
=
157,0032 − 148,408
148,408
 = 0,0579 mm/mm ∊CF =
FC′− CF
CF
=
143,2654 − 148,408 
148,408
 = −0,0347 mm/mm 
 
 
Deformação 
88 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
2.30. O comprimento original da barra é 30 mm quando está reta. Se ela for submetida a uma deformação por 
cisalhamento definida por γxy = 0,02x, onde x é dado em milímetros, determine o deslocamento Δy na extremidade de 
sua borda inferior. A barra foi distorcida até a forma mostrada, na qual não ocorre alongamento da barra na direção x. 
 
 Figura 2.30 
 
dy
dx
= tang(γ
xy
) = tang(0,02x) 
∫ dy = ∫ tang(0,02x)dx
300
0
∆y 
0
 ∴ Δy = 2,03 mm 
 
2.31. O raio original do tubo curvado é 0,6 m. Se ele sofrer aquecimento não uniforme que provoque uma deformação 
normal ao longo de seu comprimento ∊ = 0,05cosθ, determine o aumento no comprimento do tubo. 
 
Figura 2.31 
 
 
 
dδ = ∊rdθ ∴ δ = ∫ 0,05 cos(θ) × 0,6dθ
π
2
0
 = 0,03 ∫ cos(θ) dθ
π
2
0
 = 0,030 m = 30 mm 
 
Deformação 
89 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
*2.32. Resolva o Problema 2.31 considerando ∊ = 0,08senθ. 
 
 
Figura 2.32 
 
 
dδ = ∊rdθ ∴ δ = ∫ 0,08sen(θ) × 0,6dθ
π
2
0
 = 0,048 ∫ sen(θ) dθ
π
2
0
 = 0,048 m = 48 mm 
 
2.33. Um cabo fino é enrolado ao longo da superfície cuja forma é y = 0,02x², onde x e y são dados em mm. A posição 
original da extremidade B é x = 250 mm. Se o cabo sofrer uma deformação normal ∊ = 0,0002x ao longo de seu 
comprimento, determina mudança no comprimento do cabo. Dica: Para a curva y = f(x), ds = √1 + (dy/dx)² dx. 
 
Figura 2.33 
dδAB = ∊ds = 0,0002x√1 + (
dy
dx
)
2
 
 δAB = 0,0002 ∫ x√1 + 0,0016x²dx
π
2
0
 = 42,252 mm 
Deformação 
90 
Resolução: Steven Róger Duarte dos Santos, 2016 
2.34. A fibra AB tem comprimento L e orientação θ. Se suas extremidades A e B sofrerem deslocamentos muito 
pequenos uA e vB, respectivamente, determine a deformação normal na fibra quando ela estiver na posição A’B’. 
 
 
Figura 2.34 
 
 
LA’B’ = √(Lcosθ − uA)2 + (Lsenθ + vB)² = √L² + uA² + vB² + 2L(vBsenθ − uAcosθ) 
∊AB = 
LA′B′ − L
L
 = √1 + 
2(vBsenθ − uAcosθ)
L
+
uA² + vB²
L²
 − 1 = 
𝐯𝐁𝐬𝐞𝐧𝛉 − 𝐮𝐀𝐜𝐨𝐬𝛉
𝐋
 
 
2.35. Se a deformação normal for definida em relação ao comprimento final, isto é: 
 
em vez de em relação ao comprimento original, Equação 2.2, mostre que a diferença entre essas deformações é 
representada como um termo de segunda ordem, a saber, ∊n - ∊’n = ∊n∊’n. 
 
ϵn − ϵn
′ =
∆S′−∆S
∆S
−
∆S′−∆S
∆S′
=
∆S′
2
− ∆S∆S′− ∆S′∆S + ∆S2
∆S∆S′
=
∆S′
2
+ ∆S2− 2∆S′∆S
∆S∆S′
=
(∆S′− ∆S)
2
∆S∆S′
= (
∆𝑆′− ∆𝑆
∆𝑆
) (
∆𝑆′− ∆𝑆
∆𝑆′
) 
Logo: ϵn − ϵ′n = ϵnϵ′n