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1 Funções Exponenciais Definição: Dada um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a função f: IR IR+* definida por f(x) = ax. Exemplos: a) f(x) = 4x b) f(x) x 2 1 c) f(x) = 10x d) f(x) = x2 As restrições a > 0 e a ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois: Para a = 0 e x negativo, não existiria ax (Não teríamos uma função definida em IR); Observe: a) 02 = 0 b) 0-2 = 0 1 0 1 2 (Não existe divisão por zero) Para a < 0 e x = 2 1 , por exemplo, não haveria ax (Não teríamos uma função em IR); Observe: a) 99 2 1 IR Para a = 1 e x qualquer número real, ax = 1 (Função constante); Observe: a) 15 = 1 Crescimento e Decaimento exponencial A fórmula f(x) = fo ax gera uma família de funções exponenciais com parâmetro fo e base a. A base tem a mesma importância para uma função exponencial do que a declividade tem para uma função linear. O crescimento ou decaimento exponencial é descrito com frequência em forma de porcentagem. Por exemplo, se uma população está aumentando 20% , o fator de crescimento é a = 1 + 100 20 = 1 + 0,20 = 1,2. De modo análogo, se uma população está diminuindo 20%; o fator de decaimento é a = 1 - 100 20 = 0,8. 2 Gráfico da função exponencial Função exponencial: f(x) = ax a > 1 (função crescente) 0 < a < 1 (função decrescente) y = 0 1 2 3 4 5 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 x y - f(x) é crescente, pois a > 1; - O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV; 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y - f(x) é decrescente, pois 0 < a < 1; - O gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV; Equações Exponenciais: Equações exponenciais são aquelas em que as variáveis aparecem nos expoentes. Veja alguns exemplos: a) 2x = 16 b) 22x = 64x - 2 c) 3 . 5x = 75 d) 27 8 2 3 x e) 12 43xx 2 f) 32x – 6. 3x – 27 = 0 (Equações exponenciais que exigem transformações e artifícios) x5 x x y 2 2 1 3 O número irracional e e a função exponencial xe . Atribui-se a John Napier a descoberta do número de Neper. É um importante número irracional, que é estudado em Cálculo Diferencial e Integral, e surge como limite, para valores muito grandes de n, da sucessão n n 1 1 . Vamos considerar a expressão n n 1 1 com n {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}: , 1000 1 1,, 100 1 1,, 10 1 1,, 4 1 1, 3 1 1, 2 1 1, 1 1 1 1000100104321 2,000 ; 2,250 ; 2,370 ; 2,441 ; ... ; 2,594 ; ... ; 2,705 ; ... ; 2,715 ; ... Quando n aumenta indefinidamente, a expressão n n 1 1 tende ao número irracional ...7182818284,2e Uma função exponencial muito importante em matemática é aquela cuja base é e : f(2) = 2e = 7,39 f(x) = xe f(5) = 5e = 148,41 f(-1) = 1e = 0,37 Gráfico da função exponencial f(x) = xe f(x) = e x 0 5 10 15 20 25 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y f(x) = e - x 0 5 10 15 20 25 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y 4 Exercícios Resolvidos 1) Uma população de bactérias aumenta 50% em cada dia. Se no início da contagem havia 1 milhão de bactérias, quantas haverá ao fim de x dias? Solução. Observando o crescimento, temos: - ao fim de 1 dia: 1.(1 + 0,5) = 1.(1,5) = 1,5 milhões; - ao fim de 2 dias: 1,5.(1 + 0,5) = 1,5.(1,5) = (1,5)2 milhões; - ao fim de 3 dias: (1,5)2.(1 + 0,5) = (1,5)2.(1,5) = (1,5)3 milhões; ... - ao fim de x dias: (1,5)x milhões. 2) No dia 1 de Janeiro de 2010, o Sr. José investiu 10.000 euros num depósito a prazo, remunerado com a taxa de 3% ao ano. Admitindo que os juros fossem sendo capitalizados, determine o montante que o Sr. José tinha no dia 1 de Janeiro de 2014. Solução. Num processo de juros compostos, com capital inicial C e uma taxa de juros i, o valor do capital acumulado M ao fim de x anos é dado por M = C.(1 + i)x. Como em 1 de Janeiro de 2014, decorreram 4 anos, o montante pedido é: A = 10.000(1 + 0,03)4 = 10.000(1, 03)4 = 11255,08 euros. F. 3) Certa substância radioativa desintegra-se de modo que, decorrido o tempo t, em anos, a quantidade ainda não desintegrada da substância é S = S0.2-0,25t, em que S0 representa a quantidade de substância que havia no início. Qual é o valor de t para que a metade da quantidade inicial se desintegre? Solução. A quantidade inicial ao fim de t anos será 2 S0 . 4 25,0 1 t1t25,022 2 1 2 2 S 2.S 2.SS 2 S S 1t25,0t25,00t25,0 0 t25,0 0 0 . A situação ocorrerá ao fim de 4 anos. 5 Exercícios – Função exponencial 1) Resolva as equações exponenciais: a) 2x = 32 b) 103x = 1000 c) 25x = 125 d) 9x = 243 e) 32 1 2 1 x f) 27 125 5 3 2 x g) 4x = 64 1 h) 2x-3 = 8 1 i) 813 5 2 x j) 23x+1 = 4x-2 l) 25x-1 = 125x+3 m) 3x-1=27 n) 2x= 16 1 o) 3 42 x p) 125x + 2 = 1 q) 3 4 2 1 x r) 42 x s) 32 1 25 x t) 9x - 2 = 27 u) (0,25)2x = 32 v) 2x - 4 + 2x = 34 x) 3x + 3x - 1 – 3x - 2 = 11 2) Qual é o ponto comum aos gráficos de f(x) = 4 x – 1 e g(x) = 2x? 3) Dada a função exponencial f(x) = 4x, determine: a) f(3) b) f(-1) c) f(-1/2) d) f(x) = 1024 e) f(x) = 3 32 4) Resolva a equação x1 1x 8 1 0,25 . 5) Resolva a equação 2x x2 8 2 1 4 . 6) Observe o gráfico da função definida de IR em IR, que esta ao lado e responda: a) A função é crescente ou decrescente? b) Qual é Im(f) e D(f)? c) Em que ponto a função corta o eixo y? d) Em que ponto a função corta o eixo x? e) Determine a imagem para x = -1 f) Determine x de modo que f(x) = 5. 7) Calcule o valor de y = [3-1 – (-3)-1]-1. f(x) = 4 x + 1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y 6 8) Supondo a ≠ 0 e b ≠ 0, vamos simplificar a expressão E = (- a-1 )2 + (b2)-1 + 2(ab)-1. 9) Qual é o valor de 1 2 2 2 3 3 2 1 4 y ? 10) Calcular o valor de cada uma das seguintes expressões: a) 2 1 11 2 1 )2(2 b) 2 22 )2.3( 3.22.3 11) Simplifique x xx 3 3312 . 12) Calcule o valor de y = 4132 818 . 13) Efetue: a) 6 5 2 1 2 3 8 4.2 b) 4 1 2 1 2 3 2 1 10000 36.4. 4 1 14) Resolva, em IR, as seguintes equações exponenciais: a) 23x + 2 = 32 f) 12313 162 xx b) 162 16 2 xx g) 7 149 7 1 x c) 811 – 3x = 27 h) 4x – 2x – 2 = 0 d) 15 232 2 xx i) 9x + 3x + 1 = 4 e) 3 2 1 xe e 15) Simplifique a expressão 12 124 22 222 nn nnn . 16) Resolva as equações: (a) 642.154 21 22 xx e (b) 3055.105 510 xx 7 17) Suponha que exista inicialmente 1 bactéria em certa cultura. Sabendo que a cada hora o número de bactérias duplica, escreva a lei da função que relaciona o número de bactérias com o tempo em horas. 18) A pressão que a camada de ar exerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de 1 atm(atmosfera). Para cada metro de altitude acima do nível do mar, essa pressão cai em 10 %. Construa uma tabela que forneça a pressão, em atmosferas, em função da altitude, em metros. Escreva a lei que relaciona a pressão com a altitude. 19) A tabela abaixo nos dá a população do México no período de 1980-1986: Ano População ( em milhões) 1980 67,38 1981 69,13 1982 70,93 1983 72,77 1984 74,66 1985 76,60 1986 78,59 Escreva a lei da função que relaciona a população do México em função do tempo. 20) Suponha que Q= f(t) é uma função exponencial de t. Se f(4) = 8.100 e f(7) = 218.700: a) Encontre a base. b) Encontre a taxa de crescimento percentual. c) Calcule f(0). d) Calcule f(10). 21) Uma droga é injetada na corrente sangüínea de um paciente ao longo de um intervalo de cinco minutos. Durante esse tempo, a quantidade de droga no sangue cresce linearmente. Após os cinco minutos a injeção é interrompida, e, então, a quantidade de droga decai exponencialmente. Esboce um gráfico da quantidade versus tempo. 22) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e0,02t milhões de habitantes. a) Qual é a população atual do país? b) Qual será a população, daqui a 30 anos? 23) Uma certa máquina desvaloriza de tal forma que, após t anos, seu valor é dado pela função Q(t) = Qoe-0,04t . Após 20 anos, a máquina vale R$ 8.986,58. Qual era seu valor original? 24) Suponha que existam inicialmente 2000 bactérias em certa cultura e que existirão 6000 bactérias 20 minutos depois. Sabendo que o número de bactérias cresce exponencialmente, determine o número de bactérias que existirão, após uma hora. 8 Respostas: 1) a. S={5} b. S={1} c. S={3/2} d. S={5/2} e. S={5} f. S={-3/2} g. S={-3} h. S={0} i. S={-3,+3} j. S={-5} l. S={-11} m. S={4} n. S={-4} o. S={2/3} p. S={-2} q. S={-2/3} r. S={4} s. S={-25} t. S={11/4} u. S={-5/8} v. S={ 5 } x. S={ 2 } 2) S = (2,4) 3) a. 64 b. ¼ c. ½ d. 5 e. 5/6 4) {1} 5) {-2, -1} 6) a. crescente b. Im = ]0, + ] c. y = 2 d. Nunca corta e. f(-1) = 4 5 f. x = 1 7) y = 2 3 8) 2 ab ba E 9) 5 7 y 10) a. 4 b. 19 11) 6 12) 7 13) a. 1 b. 3 20 14) a. {1} b. {5, -4} c. 12 1 d. 2 1 ,2 e. {1} f. 7 5 g. 2 5 h. {1} i. {0} 15) 3 82 16) a) (-2,2) b) 5 1 17) N(t) =2t 18) P(h) =(0,9)h 19) P(t) = 67,38(1,026)t 20) a) 3 b) 200 % c) 100 d) 5.904.900 22) a) 50 milhões b) 91,11 milhões 23) R$ 20.000,00 24) 54.000 9 Aos interessados: - Matemática, contexto aplicações. Luiz Roberto Dante, Volume 1. - Cálculo, Função de uma e várias variáveis. Pedro A. Morrettin. Editora Saraiva. - Pré-Cálculo. Valéria Zuma Medeiros, et al. - Pré-Cálculo. Franklin D. Demana, et al..
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